CURS METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 0 Prelmar: Norma uu vector s orma ue matrc rapel Ssteme de ecuaţ elare Deţ Metoda puctulu 3 Metoda Newto; metode cvas-newto 0 Norma uu vector ş orma ue matrc e V u spaţu vectoral: î cazul de aţă, V este Norma uu vector 0, ş = 0 = 0 R sau C V este aplcaţe : V R, satsăcâd aomele:, scalar R sau C 3 y y Eemple de orme ale uu vector: ma orma- orma mamum, orma- / orma- orma eucldaă e A este mulţmea matrclor Norma ue matrc 3, ş î plus, următoarele: 4 A B A B 5 A V A V cu elemete scalare reale, complee A A este o aplcaţe : A R, care satsace aomele ach Octombre 00
Î aomele 4-5, B A, ar este u vector Î aoma 5: Presupuem că î spațul vectoral V, este detă o ormă de vector, V Normele care satsac 5 se zc compatble cu orma vectorulu Observaţe Norma ue matrc, dusă de orma vectorulu, se deește pr: A A sup 0 V V ma Au u V Petru detal prvd orma uu vector ş orma ue matrc, vez Captolul 4-I Eemple de orme ale ue matrc: A ma a - orma llor A ma a - orma coloaelor A / A A - orma eucldaă, î care: T A A A cougat traspus; ma, ude, sut valorle propr ale matrc A se zce rază spectrală - Petru o matrce reală avem T A / A A T A A, ş orma eucldaă deve, - Dacă A este hermtaă, A A, î partcular, reală ş smetrcă: Avem A A A ş A A, ude A este o valoare propre a lu A Notâd ma ma A, rezultă A A A ma Deţ e sstemul de ecuaţ elare,,,,,, 0 0 Acesta se scre vectoral ach Octombre 00
3 0 ude : I R, I R Eplct:, 0 0 0, 0, O soluţe a sstemulu se va ota cu, adcă: α 0 Petru rezolvarea pr metoda puctulu, sstemul se va cosdera pus sub orma: g î care g : I R, I R, O soluţe a lu se va ota, adcă: α gα Î ceea ce urmează, se presupu cuoscute oţule de ormă a uu vector, ş ormă a ue matrc pătratce A Î partcular, orma- este: ma ; A ma a Ord de covergeță Cosderăm u șr-vector, 0, ude Ordul de covergeță se deește ca petru u șr scalar, îlocud modulul cu orma Aume: Deţa e şrul de terate 0, ş presupuem că α Dacă: p real, p ş ach Octombre 00
4 c 0, 0 α p c α atuc se zce că şrul coverge către, cu ordul p Costata c se umeşte rata covergeţe Cazul p = Covergeţa lară Teoremă Dacă c 0 c, 0 α c α atuc coverge către lar Costata c se umeşte rata covergeţe lare Metoda puctulu Ecuaţ de orma g Metoda Metoda costă î costrurea şrulu: T [ ] - apromaţa ţală, dată; g, 0 A u se couda dcele superor dcele terate cu ordul al sstemulu dce eror al coordoate Covergeţa procesulu teratv este asgurată de următoarele codţ: g este cotractată pe o vecătate I a rădăc: petru, y I g g y M y, M < Apromaţa ţală 0 I este sucet de apropată de rădăca Observaţe ach Octombre 00
5 Dacă g : C C ş C R este u compact mulțme mărgtă ș îchsă, atuc procesul coverge petru 0 C Teorema Presupuem: g are o rădăcă g este cotuă ş are dervate parţale de ordul cotue, pe I det de: α 3 Dervatele satsac codţa: ma g, I Atuc, 0 I : a Iteratele I b Şrul α c este uca rădăcă î I y Itervalul I d Codța ach Octombre 00
6 Sumarul demostraţe: e, y I: α, y α D desvoltarea Taylor, se arată că avem: g g y y Rezultă: α g g α α ş pr ducţe: α Cum <, rezultă 0, sau α Cocluza c se demostrează pr cotradcţe Observaţ Matrcea acoba a ucţe g: Itroducem acobaul G a lu g, pr: g G g g g g g g Cu deţa orme A ma a, codţa 3 se scre: 3' G, I G oacă rolul lu g petru o ucţe scalară Covergeţa lară: Î codţle d Teorema, cu > 0, covergeţa este lară, coorm relaţe: ach Octombre 00
7 α α 3 Covergeţa de ordul pătratcă Să presupuem că î rădăca, avem: g G α O 0;, =,,, α ude O este matrcea ulă, ş că g / sut cotue pe o vecătate a lu Atuc, 0 astel îcât codţa 3 sau 3' este satsăcută Dacă, î plus, dervatele de ordul estă ş sut mărgte pe α, adcă: ma,, g M, atuc d ormula Taylor rezultă: g g α M α, ude M M, Cu, g, rezultă: α M α care arată că covergeţa este de ordul Procedură eplctă de puct Cosderăm sstemul dat sub orma 0 ş vrem să-l trasormăm îtr-u sstem echvalet de orma g e A [ a ] o matrce, esgulară pe o vecătate a lu Dem: g A ach Octombre 00
ach Octombre 00 8 Este evdet că, A d esgulară, avem: 0 g Eemplu : Iterare cu matrce costată A = A, ude A = matrce costată a = costat ş esgulară A g Se vercă medat că, acobaul lu g este dat de: A I G, ude I este matrcea utate, ar este acobaul lu, Eplct: Coorm Teoreme, teraţa va coverge dacă elemetele matrc G sut sucet de mc, ş este sucet de apropat de Petru o covergeţă ma rapdă, să cerem v Observaţa 3: O α G Rezultă I α A, sau α A 3 Cum u este cuoscut, luăm de eemplu, α, rezultă: A 4
9 Iteraţa va detă de A, 5 ude A este detă de 4 Procedura se zce terare cu matrcea costată A, ş este aaloagă cu metoda coarde petru o ucţe scalară 3 Schema practcă de terare Procedeul practc, care evtă versarea matrc, este următorul Puem:, ş rezultă petru 0: 6a 0 6b Procedeul reve la determarea corecţe pr rezolvarea sstemulu lar 6a Iteraţa se opreşte pr testele eps, 7a + lt 7b ude toleraţa eps ş umărul lmtă de teraţ lt, sut alese date Procedeul este utl ma ales dacă actualzăm A după u umăr de paş, coorm Observaţe Codul ortra care mplemetează această schemă, cu actualzarea matrc A după 3 paş, este dat î ANA _Sys Eemplu : Metoda Newto Să presupuem că, petru a avea A α ecare pas Iteraţa 5 deve:, actualzăm matrcea A d 4,5, la ach Octombre 00
0 Aceasta repreztă metoda Newto petru sstemul = 0 v î cotuare 3 Metoda Newto Ecuaţ de orma 0 Metoda Cosderăm ecuaţa echvaletă g, ude g A Căutăm A, astel ca metoda puctulu petru g să abă ordul do Codţa este v ma sus, G α O, sau g α 0,, =,,, Se vercă aptul că aceasta coduce la codţa Atuc, presupuem că: A α α - este cotuă ş cu dervate parţale de ordul cotue, pe o vecătate a lu rădăc - Jacobaul lu este esgular î : det α 0 Determatul d ucţe cotuă de elemetele acobaulu, 0 astel că petru α să avem det 0 Alegem atuc A, α, care asgură A α α g Metoda Newto este atuc: Rezultă: ach Octombre 00
6 Coorm Teoreme ş Observaţe 3, rezultă următoarea Propozţe Notă Dacă are dervate parţale de ordul, mărgte pe α, ş este sucet de apropat de, atuc metoda Newto are covergeţă pătratcă Î propozţa de ma sus, ş î relaţle ateroare, este Ipotezele de ma sus, î partcular det α 0, se poate îlocu cu altele v Cap 3-IV, 3, Teorema 3 Astel, metoda se poate aplca ş î cazul det α 0 Î acest caz, covergeţa este lară 3 Schema practcă de terare Schema practcă de terare este cea de la 3, evtâdu-se versarea matrc, ş aume petru 0: 7a 7b Corecţa se calculează pr rezolvarea sstemulu lar 3a Iteraţa se opreşte pr testul eps, 8a ude toleraţa eps este aleasă date Obşut, se adaugă ş testul: Număr de teraţ lt, 8b ude lt este umărul lmtă prescrs de teraţ Codul ortra care mplemetează această schemă se dă î ANA Newto_Sys ach Octombre 00
33 Calculul umerc al dervatelor parţale Evaluarea acobaulu, la pasul, cere evaluarea a ucţ / Char dacă acestea se pot calcula aaltc, petru mare eortul de calcul este mare Alteor, sut date umerc Î astel de cazur, dervatele se calculează umerc, pr dereţe dvzate:,, h,,,,, h,, ude h este mc Creşterea h poate costată, sau poate varată de la u pas la altul luâd h h h u se a ecesv de mc, petru a u coduce la eror de roture mar Se arătă că, petru a meţe covergeţa pătratcă, h trebue să satsacă codţa la pasul : h C, ude C este o costată poztvă, ată date Ralsto & Rabowtz 978 34 Metode cvas-newto Metoda Newto este metoda descrsă de ormula de terare 6, care utlzează acobaul evaluat la ecare pas aaltc, sau umerc Dacă acobaul este îlocut cu o apromaţe a acestua, metodele se zc metode Newto-modcate sau metode cvas-newto Petru a reduce eortul de calcul se procedează la îlocurea acobaulu de la pasul, cu o apromaţe a acestua, e aceasta scheme: A, după ua d următoarele - Jacobaul u se actualzează după ecare pas, c după u umăr m de paş: l A - petru l,, m Această schemă reduce vteza covergeţe, dar este ecoomcă la o rulare lugă ach Octombre 00
ach Octombre 00 3 - Apromaţa acobaulu la pasul + se geerează d cea de la pasul, ără evaluăr suplmetare de ucţ Această schemă este ma buă decât precedeta Petru modaltăt de geerare a lu A - v Ralsto & Rabowtz 978 Cu modcărle precedete, ormula de terare 6 deve: ] [ A 9 Nota : Metoda Newto pr larzarea ecuaţlor e ecuaţa elară 0, sau eplct, sstemul,,, 0, Dacă este î vecătatea rădăc, cosderăm desvoltarea Taylor a lu î urul lu : ude terme escrş sut de ord ma mare sau egal cu do î Presupuem că aceşta sut eglabl î raport cu terme de ordul îtâ, ş avem Notăm elemetele acobaulu al lu, adcă / / / / Desvoltarea deve,
4 Sau, matrceal, [ ] 0 0 0 Ecuaţle scrse petru,,,, dau: Rezolvăm apromatv sstemul 0, îlocud pr epresa sa larzată î membrul do al relaţe precedete; puem semul = î loc de Rezultă:, 0 ude s-a pus Relaţa 0 este ormula scheme de terare î metoda Newto Soluţa larzat este o apromaţe a rădăc este soluţa sstemulu Presupuâd că apromaţa este ma buă decât aplcarea repetată a ormule 0, îlocud, la pasul următor, Astel, î geeral, metoda Newto este:, atuc metoda costă î cu, 0,, ude Problema costă acum, î a proba că şrul α ach Octombre 00
5 Nota : Iterpretare geometrcă petru cazul = Să puem z,, z, Acestea sut ecuaţle a două supraeţe, e acestea S ş S y y Ecuaţa, y 0, reve la z 0, adcă la tersecţa supraeţe S cu plaul -y: aceasta este o curbă C Soluţa sstemulu, y 0,, y 0, reve la tersecţa curbelor C ş C ucţa larzată este: z, y, y y, y y y Aceasta repreztă ecuaţa plaulu taget î, y, la supraaţa S Dec, metoda reve la îlocurea supraeţe, î vecătatea rădăc, pr plaul taget Aalog, cu metoda Newto petru o ecuaţe scalară 0, ude gracul se îlocueşte cu tageta la grac Itersecţle plaelor tagete cu plaul -y vor două drepte care apromează curbele C ş C Itersecţa dreptelor este apromaţa rădăc Eemplu e sstemul de două ecuaţ elare:, y y 5 0,, y y e 0 Apromaţle ţale se au:,, ş 05, De eemplu, acestea se pot găs aalzâd tersecţa gracelor curbelor y 5, y e ach Octombre 00
6 Matrcea acoba este: y, y e Luăm eps = E-6 Calculul este eectuat î smplă precze Soluţa calculată, y, umărul de teraţ, ş valorle lu î soluţe, sut date î tabelele de ma os Metoda puctulu, terare cu matrcea costată A, cu actualzare după 3 paş: ach Octombre 00
7 Nr teraţ y, y, y -, 5-99 684 46 653-76 E-7-995 E-8 05, 7 0043 374 6 7 70 E-8-4654 E-8 Observaţ Dervatele parţale ale ucţlor sut calculate umerc, cu h = 000 Numărul de teraţ petru a doua rădăcă este ma mare decât cel petru prma rădăcă, îtrucât apromaţa ţală 05, este ma îdepărtată de rădăcă Cu apromaţa = 0,, se găseşte aceeaş soluţe î 8 teraţ Metoda Newto: Nr teraţ y, y, y -, 4-99 684 46 653-76 E-7-995 E-8 05, 5 0043 374 6 7 5384 E-8 889 E-9 Notă: Dervatele parţale sut calculate cu matrcea acoba, y Eercţu Să se rezolve sstemul: y z yz y 4 y e e z 7 Să se găsească rădăcle d vecătatea puctelor w 0,, ş w 0,, ach Octombre 00