Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32

Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni erijuhud)................................ 7.2.2 Kombinatoorika elemendid....................... 8.2.3 T~oenäosuse omadused......................... 9.2.4 Tinglikud t~oenäosused......................... 0.3 S~oltumatud sündmused ja katsed....................... 2.3. S~oltumatud sündmused........................ 2.3.2 Liitkatsed, nende s~oltumatus...................... 3.3.3 Binoomjaotus.............................. 4 2 Juhuslikud suurused 5 2. Jaotusfunktsioonid............................... 5 2.2 Juhusliku suuruse keskväärtus ja dispersioon................. 7 2.3 Tuntumad diskreetsed jaotused........................ 20 2.3. Bernoulli ehk kahepunktiline jaotus.................. 20 2.3.2 Geomeetriline jaotus.......................... 20 2.3.3 Binoomjaotus.............................. 2 2.3.4 Poissoni jaotus............................. 22 2.4 Näiteid pidevatest jaotustest.......................... 23 2.4. Ühtlane jaotus............................. 23 2.4.2 Eksponentjaotus............................ 24 2.4.3 Normaaljaotus............................. 24 2.5 Mitmem~o~otmelised juhuslikud suurused................... 26 2.5. Mitmem~o~otmelised diskreetsed juhuslikud suurused......... 27 2.5.2 Mitmem~o~otmelised pidevad jaotused................. 29 2.5.3 Kahem~o~otmeline normaaljaotus.................... 30 2.5.4 S~oltumatute pidevate juhuslike suuruste summa jaotus....... 3 3 T~oenäosuse piirteoreemid 32 3. Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)............... 32

3.2 Tsentraalne piirteoreem............................ 33 3.3 Monte-Carlo meetod keskväärtuste ja integraalide arvutamiseks...... 34 2

Sissejuhatus Juhuslikkus on inimeste igapäevaelu lahutamatu osa juhuslikud kohtumised, öeldud s~onad, ilmataadi vembud jms on paljude inimeste elus mänginud väga olulist rolli. Kuigi inimese poolt kontrollimatuid sündmuseid ja situatsioone tuleb paratamatult ette, on juhuslikkusel tihti üsna selge struktuur ning seda arvestades on v~oimalik oma riske vähendada v~oi eduv~oimalusi suurendada. K~oige ilmekamalt tuleb juhuslikkuse struktuuri ehk erinevate sündmuste t~oenäosuste teadmise kasulikkus ilmsiks k~oikv~oimalikes ~onnemängudes, seet~ottu ei ole üllatav, et t~oenäosusteooria arengu algus on seotud just mitmesuguste täringu- ja kaardimängudest tulenevate probleemidega. Kuigi ~onnemängudede ajalugu on arvatavasti peaaegu sama pikk, kui kogu inimkonna ajalugu, hakati t~oenäosuste arvutamistega t~osisemalt tegelema alles kuueteistkümnendal sajandil. Esimene teadaolev t~oenäosuste süstemaatilise arvutamisega tegelev raamat on Gerolamo Cardano (50-576) Liber de Ludo Aleae ("Raamat ~onnemängudest"), mis avaldati alles pärast tema surma (aastal 663). T~oenäosusteooria kui matemaatilise distsipliini arengu alguseks v~oib aga lugeda prantsuse aadliku ja mänguri Chevalier de Méré poolt püstitatud ülesannete lahendamisest Blaise Pascali ja Pierre de Fermat poolt aastal 654. Esimene nendest oli täringumänguga seotud probleem. Nimelt oli de Méré märganud, et nelja täringuviskega on vähemalt ühe kuue saamise t~oenäosus suurem kui 2. Tehes aga panuseid sellele, et täringupaari viskamisel 24 korda tuleb vähemalt üks kord kuute paar, hakkas talle aga tunduma, et v~oidu t~oenäosus on väiksem kui 2. Seet~ottu tahtis ta teada, mitu viset on vaja selleks, et vähemalt ühe kuuepaari tulemise t~oenäosus oleks vähemalt. Pascal näitas, et selleks läheb vaja 25 viset. 2 Teine ülesanne oli keerulisem. Tegemist oli küsimusega, kuidas ausalt jagada raha juhul, kui panused olid tehtud mängude seeria v~oitmise peale ning mingil p~ohjusel ei olnud v~oimalik seeriat l~opetada. Näitena v~oib m~oelda situatsioonile, kus mängijad on panustanud kumbki 32 krooni ning kogu summa saab see, kelle valitud mündipool jääb esimesena kolmandat korda pealmiseks. Lahendamist n~oudvaks probleemiks on see, et kuidas jagada panustatud summa, kui mäng jääb pooleli näiteks situatsioonis, kus on sooritatud kolm viset, millest kahe tulemuseks oli "vapp"ja ühe tulemuseks "kiri". Sellele küsimusele oli pakutud mitmeid v~oimalikke vastuseid, kuid korrektse vastuse leidsid Pascal ja Fermat omavahelise diskussiooni käigus, kusjuures kumbki lahendas selle küsimuse täiesti erinevat arutelu kasutades. Järgnevalt arendasid t~oenäosusteooriat mitmed kuulsad matemaatikud (Huygens, Bernoulli, Moivre, Laplace, Tšeb~ošov, von Mises, Markov), kuid kulus veel palju aega, kuni leiti v~oimalus t~oenäosuse rakenduste jaoks piisavalt üldiseks defineerimiseks. Matemaatiliselt korrektse käsitluse järele oli aga suur vajadus, kuna ilma selleta oli v~oimatu leida rahuldavat seletust mitmetele t~oenäosusteooria paradoksidele. Üheks paradoksi näiteks on järgmine nn Bertrandi paradoks. Vaatleme v~ordkülgset kolmnurka koos ümberringjoonega. Ülesandeks on leida t~oenäosus, 3

et selle ringjoone juhuslikult valitud k~o~olu pikkus on suurem kui kolmnurga küljepikkus. Paradoks seisneb selles, et k~o~olu juhuslikuks valikuks on mitmeid v~oimalusi, mis annavad erinevad tulemused. Näiteks: K~o~ol on määratud oma otspunktidega. Kui valime k~o~olu, valides juhuslikult tema otspunktid, siis saame otsitavaks t~oenäosuseks 3. K~o~ol on määratud oma keskpunktiga. Kui valime juhuslikult tema keskpunkti ringi sees, siis saame otsitavaks t~oenäosuseks 4. K~o~ol on määratud temaga risti oleva raadiuse punktiga. Kui valime juhuslikult raadiuse ning sellel juhuslikult ühe punkti, siis saame otsitavaks t~oenäosuseks 2. Milline on ~oige vastus? Tuleb välja, et ühte ~oiget vastust polegi, kuna ülesandepüstitus on puudulik. Üsna palju segadust on tekitanud ka järgmine situatsioon. Oletame, et olete osalenud mingis telemängus ning v~oitnud auhinna. Auhinna saamiseks peate valima kahe ümbriku vahel, mille kohta on teada, et m~olemas on rahasumma, kusjuures ühes ümbrikutest on täpselt kaks korda suurem summa kui teises. Oletame, et olete valite ümbriku, avate selle ja näete, et seal on 000 krooni. Pärast avamist pakutakse teile v~oimalust vahetada oma ümbrik (koos rahaga!) teise vastu. Tundub, et seda on kasulik teha: kui teie ümbrik oli suurema summaga, siis vahetades kaotate 500 krooni; kui aga käesolev ümbrik sisaldas väiksemat summat, siis v~oidate 000 krooni. Ning m~olemad v~oimalused tunduvad olevat v~ordt~oenäosed, seet~ottu peaks vahetamisega keskmiselt v~oitma. Kui aga eelnev arutelu on ~oige, siis on alati kasulik vahetada, st alati peaks olema kasulik v~otta hoopis teine ümbrik! Aga miks siis kohe mitte teine ümbrik v~otta? Kaasaegse t~oenäosusteooria käsitluse rajajaks v~oib pidada Kolmogorovit, kes 933. aastal l~oi t~oenäosuse aksiomaatilise käsitluse. 4

Peatükk Sündmused ja t~oenäosused. Sündmused Definitsioon Juhuslik katse on igasugune tegevus, mille tulemus ei ole antud tingimustes üheselt määratud. Juhuslikul katsel on rohkem kui üks v~oimalik tulemus, kusjuures me eeldame, et katsetulemused on üksteist välistavad v~oimalikest tulemustest realiseerub ainult üks. Definitsioon 2 Juhusliku katse v~oimalikke tulemusi nimetatakse elementaarsündmusteks, mida tähistame kujul ω, ω, ω 2,.... Antud katse k~oigi elementaarsündmuste hulka nimetatakse elementaarsündmuste ruumiks, mida tähistatakse sümboliga Ω. Elementaarsündmused s~oltuvad sellest, mida katse tulemusena kirja pannakse. Seega v~oib sama reaalse katse (näiteks täringuvise) korral vaadelda erinevaid elementaarsündmuste ruume. Toome m~oned näited juhusliku katse kohta. Näide 3 Mündivise, kus tavaliselt vaadeldakse olukorda Ω = {vapp, kiri}. S~oltuvalt katse sooritamise viisist, eesmärgist ja kasutatavast mündist v~oib m~onikord olla vajalik ka vaadelda olukorda, kus v~oimalikeks elementaarsündmusteks on Ω = {vapp, kiri, serva peal} v~oi Ω = {lapiti, serva peal}. Viimasel juhul huvitab meid ainult see, kas münt jääb serva peale seisma v~oi mitte. Näide 4 Täringuvise. Tavaliselt Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6}, kuid kui täringut kasutatakse näiteks mündi asendajana, siis v~oib v~otta ka Ω = {paaris, paaritu}. Näide 5 Mündivise esimese vapi tulekuni. Sel juhul on elementaarsündmusi loenduv hulk ning Ω = {v, kv, kkv, kkkv,...}, kus v = vapp ja k = kiri. Näide 6 Juhuslikult valitud inimese pikkus meetrites. Sel juhul v~oib v~otta näiteks Ω = [0, 3] ning elemetaarsündmuste ruum on kontiinumi v~oimsusega. Näide 7 Aktsiahinna käitumine järgneva kuu jooksul. Sel juhul on elementaarsündmuseks aktsiahinna v~oimalik trajektoor. Sageli ei huvita meid mitte katsetulemus otseselt, vaid ainult mingi väite kehtimine katsetulemuse kohta (näiteks see, et aktsiahind oleks kuu aja pärast t~ousnud vähemalt 0%). Lihtsustatult v~oibki öelda, et sündmus on teatud väite kehtimine katsetulemuse korral. 5

Kuna igale väitele vastab elementaarsündmuste ruumi Ω selline alamhulk, kuhu kuuluvate elementaarsündmuste ω korral see väide kehtib, siis v~oib sündmusi samastada ka hulga Ω alamhulkadega. Kuna aga mitteloenduvate elementaarsündmuste ruumide korral ei pruugi olla v~oimalik k~oigi Ω alamhulkade korral isegi katsetulemuse sinna kuulumist kindlaks teha, siis ei ole sageli m~oistlik (ning t~oenäosuse arvutamise seisukohalt v~oimalik) nimetada sündmusteks ruumi Ω k~oiki alamhulki. Osutub, et sobiv alamhulkade komplekt peab rahuldama mitmeid loomulikke omadusi. Definitsioon 8 Elementaarsündmuste ruumi Ω alamhulkade süsteemi F nimetatakse σ- algebraks (loe: sigma-algebra), kui ta rahuldab järgmisi n~oudeid: ) F sisaldab tühihulka ja koguhulka, st, Ω F; 2) kui A i F, i =, 2,..., siis ka A i F (süsteem F on kinnine loenduva ühendi v~otmise suhtes); i= 3) kui A F, siis Ā = Ω \ A F (süsteem F on kinnine täiendi v~otmise suhtes). Definitsioon 9 Sündmusteks nimetatakse σ-algebra F elemente. Lemma 0 Olgu A ja B mingi σ-algebra elemendid. Siis ka hulgad A B, A B ja A\B kuuluvad sinna σ-algebrasse. T~oestus. Harjutus lugejale. Definitsioon Öeldakse, et sündmus A toimub antud katses, kui katse tulemus ω sisaldub hulgas A, st ω A. Sündmust nimetatakse v~oimatuks sündmuseks ning sündmust Ω F nimetatakse kindlaks sündmuseks. Definitsioon 2 Tehted sündmustega: Sündmuste A ja B summaks nimetatakse sündmust A B, mis tähendab sündmuse A, sündmuse B v~oi m~olema toimumist. Sündmuste A ja B korrutiseks nimetatakse sündmust A B, mis tähendab nii sündmuse A kui ka B toimumist. Sündmuste A ja B vaheks nimetatakse sündmust A \ B, mis tähendab sündmuse A toimumist, kuid B mittetoimumist. Sündmuse A vastandsündmuseks Ā nimetatakse sündmuse A mittetoimumist, Ā = Ω \ A. Definitsioon 3 Kui A B =, siis sündmusi A ja B nimetatakse teineteist välistavateks. M~onikord on kasulik sündmuste σ-algebrast m~oelda ka kui komplektist sellistest Ω alamhulkadest, millesse kuulumist suudab vaatleja temale antava (sageli osalise) informatsiooni p~ohjal kindlaks teha. Mida rohkem informatsiooni vaatleja katsetulemuse kohta saab, seda rohkem hulki sisaldab ka vastav σ-algebra. Näide 4 Kui me vaatleme mündiviset situatsioonis, kus münt servale ei saa jääda (st Ω = {v, k}, siis on v~oimalik defineerida kaks erinevat sündmuste σ-algebrat: F = {, Ω} 6

ja F = {, Ω, {v}, {k}}. Esimene neist on nn triviaalne (ehk ebahuvitav) σ-algebra, mis vastab sellele, et vaatlejale edastatakse ainult teade, et katse toimus. Teine σ-algebra vastab juhule, kus vaatlejale teatatakse mündiviske tulemus (st täielik info katsetulemuse kohta) ning seet~ottu on v~oimalik teha kindlaks katsetulemuse suvalisse Ω alamhulka kuulumine, st F 2 on ruumi Ω k~oigi alamhulkade hulk (F 2 = 2 Ω ). Näide 5 Täringuviske korral Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6}. Kui vaatleja saab teada viske tulemuse, siis F = 2 Ω = {, {}, {2},..., {6}, {, 2}, {, 3},..., {5, 6},..., Ω}, seega F = 2 Ω = 2 6 = 64. Näide 6 Kui punkti juhuslikul valimisel l~oigust [0, ] meile öeldakse, kas tulemus oli väiksem, v~ordne v~oi suurem kui 2, siis vastav σ-algebra on F = {, [0, 2 ), { 2 }, ( 2, ], [0, 2 ], [ 2, ], [0, 2 ) (, ], [0, ]}. 2 Näide 7 Tihti pakub huvi väikseim σ-algebra, mis sisaldab mingit fikseeritud sündmuste komplekti. Sel juhul öeldakse, et vastav σ-algebra on indutseeritud vaadeldava sündmuste komplekti poolt. Olgu Ω = [0, ] ning A = [0, 3 4 ), B = [ 2, ]. Siis sündmuste A ja B poolt indutseeritud σ-algebraks on F = {, [0, 2 ), [ 2, 3 4 ), [3 4, ], A, B, [0, 2 ) [3, ], Ω}. 4 Punkti juhuslikul valimisel l~oigust [0, ] on loomulik lugeda sündmusteks valitud punkti sattumist osal~oikudesse [a, b] (kus a b). Seega pakub suurt huvi ka vähim σ-algebra, mis sisaldab k~oiki osal~oike. Definitsioon 8 L~oigu [0, ] Boreli σ-algebraks nimetatakse vähimat σ-algebrat, mis sisaldab l~oikusid [a, b], kus 0 a b ning tähistastatakse kujul B[0, ]. Hulga B[0, ] elemente nimetatakse Boreli hulkadeks. Näiteid Boreli hulkadest: Ühepunktised hulgad {a} B[0, ] (kus a [0, ]), sest {a} = [a, a]. K~oik l~oigu [0, ] l~oplikud ja loenduvad osahulgad, sh k~oigi ratsionaalarvude hulk Q [0, ]. Iga poollahtine interval (a, b] [0, ], kuna Iga lahtine interval (a, b) [0, ]. (a, b] = [a, b] \ {a} = [a, b] ([0, ] \ {a}). Cantori hulk, mis on saadud nii, et l~oigust [0, ] eemaldatakse keskmine kolmandik ( 3, 2 3 ), seejärel allesjäänud osadest eemaldatakse keskmised kolmandikud jne. Kokkuv~ottes v~oib öelda, et Boreli hulkade süsteem on väga rikkalik. Saab näidata, et k~oikide Boreli hulkade süsteem on kontiinumi v~oimsusega. Kuna hulga [0, ] k~oikide alamhulkade v~oimsus on kontiinumist suurema v~oimsusega, siis leidub tohutult palju selliseid alamhulki, mis ei ole Boreli hulgad. Analoogiliselt v~oime defineerida Boreli σ-algebra reaalteljel IR. 7

Definitsioon 9 Reaaltelje IR Boreli σ-algebraks nimetatakse vähimat σ-algebrat, mis sisaldab k~oiki l~oikusid [a, b], kus < a b <. Definitsioon 20 Paari (Ω, F) nimetatakse sündmuste ruumiks (m~o~otuvaks ruumiks)..2 T~oenäosus Aastal 933 v~ottis vene matematik Andrei Kolmogorov 300 aastat kestnud t~oenäosusteooria arengud kokku järmise aksiomaatilise definitsiooniga. Definitsioon 2 T~oenäosuseks (ehk t~oenäosusm~o~oduks) sündmuste ruumil (Ω, F) nimetatakse funktsiooni, mis igale sündmusele A F seab vastavusse l~opliku arvu P (A) ning rahuldab n~oudeid P. P (A) 0 A F (mittenegatiivsus); P2. P (Ω) = (normeeritus); ( ) P3. kui A i F (i =, 2,...) ja A i A j =, i j, siis P A i = P (A i ) i= i= (σ-additiivsus). Definitsioon 22 Kolmikut Ω, F, P nimetatakse t~oenäosusruumiks..2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni erijuhud) T~oenäosusteooria rakendamiseks peab olema eelnevalt defineeritud sobiv t~oenäosusruum, st sündmuste σ-algebra ning t~oenäosusm~o~ot; praktilise situatsiooni jaoks sobiva m~o~odu valimine ei ole t~oenäosusteooria ülesanne ning v~oib osutuda küllalt keeruliseks probleemiks. Teatud juhtudel on aga olemas mingi "loomulik"t~oenäosusm~o~ot. Tuntuimad juhud on järgmised.. Klassikaline t~oenäosus. Oletame, et Ω koosneb n v~ordv~oimalikust elementaarsündmusest ning olgu F mingi Ω alamhulkade σ-algebra (tavaliselt v~oetakse F = 2 Ω ). Siis suvalise sündmuse A F t~oenäosust arvutatakse valemiga P (A) = n A n, kus n A = A (sündmusele A vastava hulga elementide arv). 2. Geomeetriline t~oenäosus. Punkti valimisel l~oigust tuleb sageli ette olukord, kus valitava punkti sattumine l~oigu [a, b] mingisse osal~oiku on proportsionaalne selle osal~oigu pikkusega. Sel juhul on loomulik v~otta F = B[a, b] ning arvutada hulga A F t~oenäosust valemiga P (A) = l A b a, kus hulga a "pikkuse"l A definitsiooniks on l A = inf A i [a i,b i ] (b i a i ). Mitmem~o~otmelisel juhul tuleb geomeetrilise t~oenäosuse arvutamisel kasutada pikkuse asemel pindala (kahem~o~otmeliste piirkondade korral) v~oi ruumala. i 8

3. Statistiline t~oenäosus. Sageli ei ole v~oimalik kasutada ei klassikalist, ega ka geomeetrilist t~oenäosust. Sel juhul on küllalt levinud t~oenäosuste arvutamise viisiks juhusliku katse kordamine, mille tulemusena saadakse sündmuse A nn statistiline t~oenäosus P (A) = N A N, kus N A on vaadeldava sündmuse esinemiskordade arv ning N on katsete arv. Selge on see, et statistiline t~oenäosus s~oltub samuti juhusest ning ei pruugi alati olla väga lähedane tegelikule t~oenäosusele. Siit tuleneb oluline ja huvitav küsimus, et kui suur peaks olema katsete arv N, et me v~oiksime olla piisavalt kindlad selles, et statistiline t~oenäosus oleks hea hinnang tegelikule t~oenäosusele..2.2 Kombinatoorika elemendid Sageli ei ole mingile sündmusele vastavate elementaarsündmuste arvu leidmine väga lihtne, sarnaste ülesannete lahendamise vajadus on andnud p~ohjuse terve matemaatikaharu kombinatoorika tekkele. Käesolevas kursuses läheb meil vaja ainult m~oningaid elementaarteadmisi kombinatoorikast. Kombinatoorika p~ohireegel.kui me moodustame k-elemendilist järjestatud kogumit, kusjuures esimesele kohale on v~oimalik valida n elemendi vahel, pärast esimese elemendi valimist on teisele kohale alati v~oimalik valida n 2 elemendi vahel,... ja pärast eelviimase elemendi valimist on meil viimasele kohale alati v~oimalik valida n k elemendi vahel, siis on kokku v~oimalik saada n n 2 n k erinevat järjestatud kogumit. Selle reegli abil on v~oimalik tuletada mitmeid tuntud valemeid: k-elemendiliste järjestatud komplektide moodustamisel n erinevast elemendist nii, et kordused on lubatud, on v~oimalik saada n k erinevat komplekti. Näiteks kolm korda täringut visates on erinevaid tulemuste kolmikuid (kus ka järjekord on fikseeritud) 6 3. n elemendi k~oikv~oimalikke järjestusi ehk permutatsioone on n!, kuna esimesele kohale saame paigutada suvalise nendest n elemendist, teisele kohale tuleb paigutada üks ülejäänud (n )-st elemendist jne. Näiteks 5 ~opilast v~oivad reastuda 5! = 20 erineval moel. Variatsioonideks n elemendist k kaupa nimetatakse k elemendiliste järjestatud (kordusi mittesisalduvate) komplektide moodustamist n erinevast elemendist. Kombinatoorika p~ohireegli kohaselt on nende arvuks V k n = n (n ) (n k + ) = n! (n k)!. Näiteks kuue v~oistkonnaga turniiri korral on esemese kolme koha jagunemiseks V 3 6 = 20 erinevat v~oimalust (eeldusel, et kohta jagama ei saa jääda). Kuna n-elemendilise hulga k-elemendilisele alamhulgale vastab k! erinevat k-elemendilist järjestatud ilma kordusteta komplekti, siis neid hulki ehk kombinatsioone n elemendist k kaupa on kokku C k n = ( ) n = V n k k k! = n! k! (n k)!. Näiteks 52 mängukaardi abil saab moodustada C 3 52 = 52! 3! 39! erinevat 3-kaardilist bridžikätt. 9

.2.3 T~oenäosuse omadused Lemma 23 Olgu (Ω, F, P ) mingi t~oenäosusruum. Siis kehtivad järgnevad omadused:. P ( ) = 0; 2. kui A i F, i =, 2,..., n on vastastikku välistavad, st A i A j =, i j, siis kehtib v~ordus n n P ( A i ) = P (A i ); 3. P (Ā) = P (A); 4. kui A, B F, A B, siis P (A) P (B) (monotoonsus). i= 5. P (A \ B) = P (A) P (A B) A, B F; 6. P (A) A F; 7. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) A, B F; n n P ( A i ) = P (A i ) P (A i A j ) + i= i= i<j n i= i<j<k n ( ) n P (A A 2... A n ), A i F, i =, 2,..., n; 8. P (A B) P (A) + P (B) A, B F; P ( A i ) P (A i ), A i F, i IN; i= i= 9. T~oenäosuse pidevus: P (A i A j A k )... + A i F, i IN, A A 2 A 3... lim n P (A i ) = P ( i= A i); A i F, i IN, A A 2 A 3... lim n P (A i ) = P ( i= A i); T~oestus. Harjutus lugejale. 0

Näide 24 Leiame t~oenäosuse, et kahe hästi segatud kaardipaki kaartide laotamisel lauale üksteise alla satub vähemalt üks kaart kohakuti (st näiteks ruutu seitse ülemisest pakist ja ruutu seitse alumisest pakist satuvad kohakuti). Selleks olgu A i sündmus, et i-ndas positsioonis olevad kaardid on kohakuti, siis sündmus vähemalt ühe kaardi kohakuti sattumise sündmus A on esitatav kujul A = seega t~oenäosuse 7.-nda omaduse kohaselt Kuna P (A) = 52 i= P (A i ) i<j 52 i= A i, P (A i A j ) +... P (A A 2... A 52 ). P (A i ) = 5! 52!, P (A ia j ) = 50! 52!,..., P (A A 2... A 52 ) = 0! 52! ning arvestades, et erinevaid k sündmuse korrutisi on C k 52, saame P (A) = 52 k= ( ) k+ 52! k!(52 k)! (52 k)! 52! = 52 k= ( ) k+. k! Pannes tähele, et e x = xk k= ( )k+ k!, v~oime öelda, et P (A) e 0, 632..2.4 Tinglikud t~oenäosused Definitsioon 25 Olgu antud sündmus B, mille t~oenäosus ei ole null (P (B) > 0). Sündmuse A tinglikuks t~oenäosuseks tingimusel, et B on toimunud, nimetatakse suhet P (AB) P (B) ning seda tähistatakse kujul P (A B). Osutub, et kui me igale sündmusele A seame vastavusse tema tingliku t~oenäosuse P (A B), siis me saame uue t~oenäosusm~o~odu. Lemma 26 Olgu (Ω, F, P ) mingi t~oenäosusruum ning B F selline, et P (B) > 0. Defineerime kujutuse Q : F IR valemiga Q(A) = P (A B) A F. Siis Q on t~oenäosusm~o~ot sündmuste ruumil (Ω, F). T~oestus. Harjutus lugejale. Otse tingliku t~oenäosuse definitsioonist järelduvad järgnevad reeglid sündmuste korrutiste t~oenäosuste arvutamiseks. Lemma 27 (T~oenäosuste korrutamise reegel) Kehtivad valemid P (AB) = P (B)P (A B) = P (A)P (B A) ja P (A A 2... A n ) = P (A )P (A 2 A )... P (A n A A 2... A n ).

Näide 28 Kaardipakist valitakse kolm kaarti. Leiame t~oenäosuse, et need on v~otmise järjekorras risti emand, poti kümme ning viimasena mingi punase masti kaart. Selleks tähistame sündmused A = esimesena v~oetakse risti emand, B = teisena v~oetakse poti kümme ning C = kolmandana v~oetakse punane kaart. Siis P (ABC) = P (A)P (B A)P (C AB) = 52 5 26 54 = 5508. M~onikord on loomulik sündmuste ruum Ω jagada üksteist paarikaupa välistavateks osadeks B, B 2,..., B n, st sellisteks osadeks B i, i =,..., n, et kehtivad omadused n P (B i ) 0, i =, 2,..., n; B i B j =, i j; B i = Ω. (.) Selliste sündmuste komplekti B i, i =,..., n nimetatakse sündmuste täissüsteemiks. Sel juhul on v~oimalik kasutada tinglike t~oenäosuseid suvalise sündmuse A t~oenäosuse arvutamisel. Lemma 29 (Täist~oenäosuse valem). Rahuldagu sündmused B i F, i =,..., n tingimusi (.). Siis iga sündmuse A F korral kehtib v~ordus T~oestus. Harjutus lugejale. P (A) = n P (B i )P (A B i ). i= Märkus. Täsit~oenäosuse valemi kehtimiseks ei pea sündmused B i tingimata moodustama täissüsteemi, vaid piisab sellest, et sündmused A B i oleks vastastikku välistavad ning et A n i= B i. Näide 30 Oletame, et meil on rahakotis kolm münti, millest kaks on ausad, kuid kolmandal on kirja tulemise t~oenäosus 0, 6. Leiame kirja tulemise t~oenäosuse juhuslikult valitud mündi viskamisel. Selleks olgu A sündmus, et tuleb kiri; B sündmus, et valiti aus münt ning B 2 sündmus, et valiti ebaaus münt. Täist~oenäosuse valemi kohaselt siis P (A) = P (B )P (A B ) + P (B 2 )P (A B 2 ) = 2 3 2 + 3 i= 3 5 = 8 5. Eelneva näite korral v~oib huvi pakkuda ka küsimus, et mida me saame öelda ebaausa mündi valimise t~oenäosuse kohta mündiviske tulemuse p~ohjal. Selle jaoks sobib nn. Bayesi valem. Lemma 3 Olgu B i, i =,..., n tingimusi (.) rahuldav sündmuste täissüsteem. Siis kehtib valem P (B j A) = T~oestus. Definitsiooni p~ohjal saame P (B j )P (A B j ) n i= P (B, j {, 2,..., n}, A F. i)p (A B i ) P (B j A) = P (AB j) P (A). Kasutades t~oenäosuste korrutamise reeglit ning täist~oenäosuse valemit, saame n P (AB j ) = P (B j )P (A B j ), P (A) = P (B i )P (A B i ), i= 2

seega kehtib lemmas toodud v~ordus. Märkus. Sageli on kasulik ka Bayesi valemi lihtsustatud (ilma sündmuste täissüsteemita) versioon P (B)P (A B) P (B A) =. P (A) Näide 32 Arvutame näites 30 toodud tingimustel t~oenäosuse, et visati ebaausat münti tingimusel, et viske tulemusena saadi kiri. Bayesi valemi kohsaselt P (B 2 )P (A B 2 ) P (B 2 A) = P (B )P (A B ) + P (B 2 )P (A B 2 ) = 3 0, 6 8 = 3 8. 5 Siin kasutasime teadmist, et nimetajas olev summa on tegelikult sündmuse A t~oenäosus, mis on näites 30 juba arvutatud..3 S~oltumatud sündmused ja katsed Väga sageli on intuitiivselt selge, et ühe sündmuse toimumine v~oi mittetoimumine ei m~ojuta kuidagi teise sündmuse toimumist v~oi mittetoimumist; samuti on erinevate katsete korral m~onikord selge, et ühe katse tulemus on täiesti s~oltumatu teise katse tulemusest. T~oenäosusteooriaga tegelemisel on aga vaja s~oltumatuse m~oiste matemaatilist definitsiooni..3. S~oltumatud sündmused Definitsioon 33 Sündmusi A ja B nimetatakse s~oltumatuteks, kui P (AB) = P (A)P (B). Sündmuste komplekti A i, i =, 2,..., n nimetatakse täielikult s~oltumatuteks, kui iga arvu k {2, 3,..., n} ja iga v~orratusi i < i 2 <... < i k n rahuldava indeksite komplekti korral kehtib v~ordus P (A i A i2... A ik ) = P (A i )P (A i2 )... P (A ik ). Järeldus 34 Kolm sündmust A, B ja C on täielikult s~oltumatud, kui kehtivad v~ordused P (AB) = P (A)P (B), P (AC) = P (A)P (C), P (BC) = P (B)P (C), P (ABC) = P (A)P (B)P (C). Näide 35 Visatakse kolm korda ausat münti. Olgu sündmused A, B ja C defineeritud järgnevalt: A= esimesel ja teisel viskel tuleb kokku täpselt üks kull ; B= esimesel ja kolmandal viskel tuleb kokku täpselt üks kull ; C= teisel ja kolmandal viskel tuleb kokku täpselt üks kull ; Sel juhul A = {Kkk, KkK, kkk, kkk}, B = {KKk, Kkk, kkk, kkk}, C = {KKk, kkk, KkK, kkk}, seega P (A) = P (B) = P (C) = 2 ning P (AB) = A B Ω = {Kkk, kkk} 8 = 4 P (AC) = = P (A)P (C), 4 = P (A)P (B), P (BC) = 4 = P (B)P (C), 3

mist~ottu sündmuste paarid A ja B, A ja C ning B ja C on k~oik s~oltumatud. Kuna aga A B C = (st ABC on v~oimatu sündmus), siis P (ABC) = 0 P (A)P (B)P (C) ning järelikult sündmused A, B ja C ei ole täielikult s~oltumatud. Lemma 36 Sündmused A ja B (kus P (B) > 0) on s~oltumatud parajasti siis, kui kehtib v~ordus P (A B) = P (A) (v~oi P (A)>0 ja P (B A) = P (B)). T~oestus. Olgu A ja B s~oltumatud, siis P (A B) = P (AB) P (B) P (A)P (B) = = P (A). P (B) Vastupidi, kehtigu P (A B) = P (A). Kuna t~oenäosuste korrutamise reegli kohaselt siis P (AB) = P (B)P (A B) = P (A)P (B), on sel juhul sündmused A ja B definitsiooni kohaselt s~oltumatud. Sageli informatsioon ühe sündmuse toimumise kohta suurendab v~oi vähendab teise sündmuse toimumise t~oenäosust. Sel juhul on tegemist s~oltuvate ehk korreleeritud sündmustega. Definitsioon 37 Sündmusi A ja B nimetatakse positiivselt korreleerituteks, kui P (A B) > P (A) ning negatiivselt korreleerituteks, kui P (A B) < P (A). Näide 38 Visatakse kaks korda münti. Olgu A sündmus, et tuli kaks kulli, B sündmus, et tuli vähemalt üks kull ning B 2 sündmus, et esimesel viskel tuli kiri. Kuna P (A B ) = P (AB ) P (B ) = P (A) P (B ) = 4 = 3 > 4 = P (A), siis A ja B on positiivselt korreleeritud (sündmuse B toimumine suurendab A toimumise t~oenäosust). Et A ja B 2 on teineteist välistavad sündmused, siis 3 4 P (A B 2 ) = P (AB 2) P (B 2 ) = 0 < P (A), siis A ja B 2 on negatiivselt korreleeritud sündmused..3.2 Liitkatsed, nende s~oltumatus. Sageli vaadeldakse situatsiooni, kus katse koosneb mitmest alamkatsest, mis toimuvad korraga v~oi järjest (näiteks katse koosneb kolmest mündiviskest). Sel juhul tekib küsimus, kuidas on liitkatse sündmused loomulik siduda alamkatsete sündmustega ning mis tingimused on täidetud juhul, kui alamkatsed on üksteisest s~oltumatud. Vaatleme juhtu, kus liitkatse koosneb n (n 2) alamkatsest, millele vastavad t~oenäosusruumid (Ω i, F i, P i ), i =, 2,..., n. Enamasti on sel juhul m~oistlik v~otta liitkatse elementaarsündmuste ruumiks Cartesiuse korrutis Ω = Ω Ω 2... Ω n = {(ω, ω 2,..., ω n ) : ω i Ω i, i =, 2,..., n}. Selge on see, et nii defineeritud hulk Ω rahuldab elementaarsündmuste ruumile vastavaid n~oudeid, kuigi v~oib sisaldada m~onel juhul ka v~oimatuid katsetulemusi. Samuti on intuitiivselt selge see, et kui A i F i on sündmused osakatsete jaoks, siis A i A 2... A n peaks olema sündmus liitkatse jaoks (kui me suudame iga i korral teha i-nda osakatse tulemuse kohta saadava info p~ohjal öelda, kas sündmus A i toimus, siis suudame ka teha kindlaks, 4

kas vastavate sündmuste korrutis toimus liitkatse korral). Ostub, et selliste korrutistena saadud hulkade kollektsioon F F 2... F n = {A A 2... A n : A i F i, i =, 2,..., n} ei rahulda σ-algebra n~oudeid, seet~ottu v~oetakse liitkatsete korral enamasti sündmuste σ- alebraks vähimat σ-algebrat, mis selliseid korrutisi sisaldab, st F = σ(f F 2... F n ) Osutub, et liitkatse sündmuste ruumil (Ω, F) saab defineerida l~opmatult palju t~oenäosusm~o~ote P, mis on koosk~olas osakatsete t~oenäosusm~o~otudega P i, st mille korral kehtib P (Ω... Ω i A Ω i+... Ω n ) = P i (A) A F i. Samuti saab näidata, et leidub täpselt üks t~oenäosusm~o~ot P, mis rahuldab tingimusi P (A A 2... A n ) = P (A ) P 2 (A 2 ) P n (A n ) A i F i, i =, 2,..., n. Definitsioon 39 Kui liitkatse t~oenäosusm~o~ot rahuldab tingimust P (A A 2... A n ) = P (A ) P 2 (A 2 ) P n (A n ) A i F i, i =, 2,..., n, siis katseid nimetatakse s~oltumatuteks. Seda definitsiooni kasutatakse kahte moodi: kui mingite kaalutluste p~ohjal on selge, et liitkatse osakatsed on s~oltumatud, siis definitsiooni kohaselt teame me t~oenäosusm~o~otu liitkatse sündmuste ruumil; kui meil on teada t~oenäosusm~o~ot liitkatsete sündmuste ruumil, siis definitsioonis toodud tingimuse kontrollimise teel saame me teha kindlaks, kas osakatsed on s~oltumatud v~oi mitte..3.3 Binoomjaotus Tihti vaadeldakse liitkatset, mis koosneb sama katse n s~oltumatust kordamisest (näiteks viis täringuviset), kusjuures jälgitakse mingi fikseeritud osakatse tulemuse kohta käiva sündmuse kordumiste arvu. Sel juhul kehtib järgmine tulemus. Lemma 40 Olgu fikseeritud mingi sündmus A, mille toimumise t~oenäosus ühel katsel on p. Sel juhul t~oenäosus, et see sündmus toimub täpselt k korda katse n s~oltumatul sooritamisel, on antud valemiga P n,p (k) = C k np k ( p) n k, k = 0,,..., n. 5

Peatükk 2 Juhuslikud suurused 2. Jaotusfunktsioonid Olgu meil antud t~oenäosusruum (Ω, F, P ). Sageli pakuvad meile huvi sündmused, mis on seotud katsetulemustest s~oltuvate funktsioonide (ehk juhuslike suuruste) väärtustega. Definitsioon 4 Funktsiooni X : Ω IR nimetatakse juhuslikuks suuruseks, kui {ω Ω : X(ω) x} F iga reaalarvu x korral. Tihti pakuvad ka huvi juhuslike suuruste funktsioonid (näiteks X 2 ). Oluline on teada, et üsna üldistel eeldustel on ka need juhuslikud suurused. Lemma 42 Olgu g : IR IR tükiti pidev funktsioon ning X juhuslik suurus. Siis on ka Y = g(x) juhuslik suurus. See lemma t~oestatakse näiteks T~oenäosusteooria II kursuses. Juhusliku suuruse definitsioon garanteerib, et hulgad {ω Ω : X(ω) x} (ehk lühemalt hulgad {X x}) on sündmused, seega saame arvutada ka nende t~oenäosusi. Definitsioon 43 Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F (x) = P ({X x}), x IR. Näide 44 Vaatleme katset, mis seisneb ausa mündi viskamises kolm korda. Olgu juhuslikuks suuruseks X vappide arv katses. Siis on juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks 0, kui x < 0, 8 kui 0 x <, F (x) = 8 + 3 8 = 2 kui x < 2, 2 + 3 8 = 7 8 kui 2 x < 3, kui x 3. Näide 45 Vaatleme katset, mis seisneb punkti valikus ühikl~oigust [0, ]. Olgu juhuslikuks suuruseks X selle punkti koordinaat ning olgu tegemist geomeetrilise t~oenäosuse juhuga. Siis on juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks 0, kui x < 0, F (x) = x, kui 0 x <, kui x. 6

K~oikidel jaotusfunktsioonidel on mitmeid ühiseid omadusi. Lemma 46 Olgu X juhuslik suurus ning F tema jaotusfunktsioon. Siis kehtivad järgnevad omadused.. 0 F (x) iga x IR korral. 2. F on monotoonselt kasvav: kui x < x 2, siis F (x ) F (x 2 ). 3. Kehtivad piirväärtused lim F (x) = 0, lim x F (x) =. x 4. F on paremalt pidev: lim F (x) = F (a) x>a,x a a IR. 5. Kehtib v~ordus P ({X = a}) = F (a) lim F (x). x<a,x a 6. Kehtib v~ordus P ({a < X b}) = F (b) F (a). T~oestus. Harjutus lugejale. Eelnevast lemmast järeldub, et kui jaotusfunktsioon on pidev punktis a, siis P ({X = a}) = 0. Sageli on vaadeldavatel juhuslikel suurustel ainult l~oplik v~oi loenduv arv v~oimalikke väärtusi. Definitsioon 47 Juhuslikuks suurust X : Ω IR nimetatakse diskreetseks, kui X omab ülimalt loenduva arvu erinevaid väärtusi, st. X(ω) {x i, i I}, kus I < (tavaliselt I = {, 2,..., n}) v~oi I = IN. Lihtne on näha, et diskreetse juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on tükiti konstantne, omades katkevusi ainult punktides x i, i I, kusjuures nendes punktides jaotusfunktsiooni väärtus suureneb suuruse p i = P ({X = x i }) v~orra. Seet~ottu on jaotusfunktsioon määratud paaridega (x i, p i ). Definitsioon 48 Diskreetse juhusliku suuruse X jaotuseks nimetatakse paaride komplekti (x i, p i ), kus {x i : i I} on juhusliku suuruse X väärtuste hulk ning p i = P ({ω : X(ω) = x i }). Lemma 49 Kui (x i, p i ), i I on mingi juhusliku suuruse X jaotus, siis kehtib v~ordus p i =. i I T~oestus. Olgu A i = {ω Ω : X = x i }, siis A i A j =, i j ning Ω = i I A i. Seega = P (Ω) = P ( i I A i ) = i I P (A i ) = i I p i. Diskreetse juhusliku suuruse jaotust esitatakse kas tabelina (kui väärtusi on suhteliselt vähe) v~oi valemi kujul. 7

Näide 50 Olgu urnis 5 valget ja 3 punast kuuli. Urnist valitakse korraga 3 kuuli, X on saadud valgete kuulide arv. Kuna P ({X = i}) = suuruse X jaotustabeliks on x i 0 2 3 p i 56 5 56 5 28 Ci 5 C3 i 3, i = 0,, 2, 3, siis juhusliku C8 3 Mittediskreetsetest juhuslikest suurustest on k~oige lihtsam tegeleda sellistega, mille jaotusfunktsioonid on esitatavad integraali kujul. Definitsioon 5 Juhuslikku suurust X nimetatakse pidevaks, kui tema jaotusfunktsioon on esitatav kujul F (x) = x 5 28 f(s) ds mingi funktsiooni f korral. Funktsiooni f nimetatakse juhusliku suuruse X tihedusfunktsiooniks. Kuna integraal ülemise raja funktsioonina on pidev, siis pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on pidev funktsioon. Saab näidata, et vastupidine ei kehti: leidub pidevaid jaotusfunktsioone, mis ei ole definitsioonis toodud kujul integraalina esitatavad. Jaotusfunktsiooni omadustest järelduvad tihedusfunktsiooni järgnevad omadused: Lemma 52 Olgu X pidev juhuslik suurus tihedusfunktsiooniga f. Siis kehtivad järgnevad omadused:. tihedusfunktsioon on mittenegatiivne: f(x) 0, 2. kehtib v~ordus f(x) dx =, 3. kui F on diferentseeruv punktis x, siis f(x) = F (x), 4. suvaliste reaalarvude a b korral kehtivad v~ordused P ({X (a, b)}) = P ({X [a, b)}) = P ({X (a, b]}) = P ({X [a, b]}) = 2.2 Juhusliku suuruse keskväärtus ja dispersioon b a f(x) dx. Kuni aksiomaatilise t~oenäosusteooria loomiseni käsitleti eraldi diskreetseid ja pidevaid juhuslikke suurusi, andes nendel juhtudel erinevad definitsioonid samadele matemaatilistele m~oistetele (nt keskväärtus, dispersioon jne). Osutub aga, et tegelikult on v~oimalik enamik definitsioone tuua ja tulemusi t~oestada nii, et need kehtiksid samaaegselt igat tüüpi juhuslike suuruste korral. Nimelt saab näidata, et iga t~oenäosusruumi (Ω, F, P ) korral on v~oimalik defineerida nn Lebesgue integraal m~o~odu P suhtes X(ω) dp (ω), millel on tavalise integraaliga sarnased omadused: Ω 8

positiivsus: kui juhuslik suurus X on mittenegatiivne, siis integraal on mittenegatiivne; lineaarsus: summa integraal on integraalide summa, konstantse teguri v~oib integraali ette tuua; koosk~ola pindala arvutamise omadusega: kui juhuslikul suurusel X on ainult l~oplik arv väärtusi, siis n X(ω) dp (ω) = x i P ({X = x i }). Ω Lisaks saab näidata, et k~oik varem kasutatud keskväärtuse definitsioonid (nii pidevate kui diskreetsete juhuslike suuruste korral) vastavad mainitud integraali arvutamisele. Seega on m~oistlik keskväärtus defineerida selle integraali abil. Definitsioon 53 Kui juhuslik suurus X on integreeruv m~o~odu P suhtes, siis selle juhusliku suuruse keskväärtuseks on suurus EX = X(ω) dp (ω). Ω Selle integraali täpne defineerimine ja integreeruvuse tingimuste lahtiseletamine toimub kursuses T~oenäosusteooria II. Küll aga on praktilisteks keskväärtuse arvutamiseks hea teada, et tegelikult piisab meil juhusliku suuruse (ja ka tema funktsioonide) keskväärtuse arvutamiseks tema jaotusfunktsiooni teadmisest. Lemma 54 Olgu X juhuslik suurus ning F tema jaotusfunktsioon. Kui g on selline tükiti pidev funktsioon, mille korral juhuslik suurus g(x) on m~o~odu P suhtes integreeruv, siis E[g(X)] = i= g(x) df (x). Eelnevas lemmas olevat integraali v~oib m~oista järgmiselt: l~opliku l~oigu [a, b] korral jagame l~oigu osadeks punktidega a = x 0 < x <... < x n = b ning m~oistame integraali b a g(x) df (x) all summa n i= g(x i )(F (x i ) F (x i )) piirväärtust juhul, kus n ja maksimaalne l~oigupikkus läheneb samaaegselt nullile. Üle l~opmatu piirkonna integreerimiseks leiame täiendavalt piirväärtuse, kus a ja b. Sellest, et keskväärtus on defineeritud integraali abil ning lemmast 54 järeldub mitmeid keskväärtuse omadusi. Teoreem 55 (Keskväärtuse omadused) Keskväärtuse leidmise operaator rahuldab järgmisi omadusi.. Kui juhuslik suurus X on mittenegatiivne, siis tema keskväärtus on samuti mittenegatiivne: (X(ω) 0 ω Ω) EX 0. 2. Kui X ja Y on keskväärtust omavad juhuslikud suurused ning α ja β on suvalised reaalarvud, siis E(αX + βy ) = αex + βey. 9

Üldisemalt, kui X i, i =,..., n on keskväärtust omavad juhuslikud suurused ning α i, i =,..., n on suvalised reaalarvud, siis n E( α i X i ) = i= n α i EX i. i= 3. Kui X on diskreetne juhuslik suurus jaotusega (x i, p i ) i I ning i I x i p i <, siis juhuslikul suurusel X on l~oplik keskväärtus ning EX = i I x i p i. 4. Kui mingi reaalarvu c korral kehtib P ({X = c}) =, siis EX = c. 5. Kui X on pidev juhuslik suurus tihedusfunktsiooniga f X, mille korral x f X(x) dx <, siis juhuslikul suurusel X on l~oplik keskväärtus ning EX = x f X (x) dx. 6. Kui g : IR IR on tükiti pidev ning juhusliku suuruse X korral omab g(x) keskväärtust, siis { i I E(g(X)) = g(x i)p i, kui X on diskreetne j.s., g(x)f X(x) dx, kui X on pidev j.s. Mainitud keskväärtuse olemasoluks on piisav, kui vaadeldav summa v~oi integraal koondub absoluutselt. 7. Juhusliku suuruse keskväärtus on tema väikseima ja suurima väärtuse vahel: inf ω Ω X(ω) EX sup X(ω) ω Ω Lisaks keskväärtusele pakub praktilisest seisukohast enamasti suurt huvi ka hajuvus keskväärtuse ümber. Selle m~o~otmiseks on mitmeid arvsuuruseid, k~oige enamkasutavamad on dispersioon ja standardhälve. Definitsioon 56 Keskväärtust omava juhusliku suuruse dispersiooniks nimetatakse suurust DX = E(X EX) 2. Lemma 57 Kehtib v~ordus DX = E(X 2 ) (EX) 2. T~oestus. Harjutus lugejale. Dispersiooni numbriline väärtus ei ole üldjuhul hästi interpreteeritav, seda eriti juhul, kui juhuslikul suuruse X väärtusel on mingi loomulik ühik (näiteks Eesti kroon aktsiaturul investeerimise korral). Samas aga ruutjuur dispersioonist on juhusliku suurusega X samasuguse ühikuga suurus. 20

Definitsioon 58 Juhusliku suuruse X standardhälbeks nimetatakse suurust σ X = DX. Dispersiooni m~oningad lihtsamad omadused on toodud järgnevas lemmas. Lemma 59 Olgu X keskväärtust omav juhuslik suurus ning c IR mingi konstant. Siis kehtivad järgnevad tulemused.. Kui P ({X = c}) =, siis DX = 0. 2. Konstandi liitmine ei muuda dispersiooni: D(X + c) = DX. 3. D(cX) = c 2 DX. 2.3 Tuntumad diskreetsed jaotused Selleks, et arvutada juhusliku suuruse väärtuste abil defineeritud sündmuste t~oenäosusi, ei pea me teadma elementaarsündmuste ruumi Ω, sellel defineeritud σ-algebrat F ja t~oenäosusm~o~otu P, vaid piisab vaadeldava juhusliku suuruse X jaotuse teadmisest. Seet~ottu t~oenäosusteooria vahendite rakendamisel enamasti ei alustata t~oenäosusruumi defineerimisest, vaid tehakse eeldused huvipakkuvate juhuslike suuruste jaotuse kohta. Konkreetse juhusliku suuruse jaoks sobiva jaotuse valimisel on aga suureks abiks tüüpsituatsioonidele vastavate jaotuste ning nende arvkarakteristikute (keskväärtus, dispersioon) teadmine. 2.3. Bernoulli ehk kahepunktiline jaotus Definitsioon 60 Juhuslik suurus X on Bernoulli jaotusega, kui tema v~oimalikeks väärtusteks on 0 ja. Tähistame siis p = P ({X = }), q = ( p) = P ({X = 0}), EX = 0 q + p = p, DX = EX 2 (EX) 2 = 0 q + p p 2 = p( p) = pq. Bernoulli jaotusega juhusliku suuruse näiteks on vappide arv mündiviskel. 2.3.2 Geomeetriline jaotus Geomeetriline jaotus vastab juhule, kus s~oltumatuid katseid sooritatakse kuni vaadeldava sündmuse A (toimumist~oenäosusega p = P (A)) esimese toimumiseni. Juhuslikuks suuruseks on seejuures katsete arv, v~oimalikeks väärtusteks k~oik naturaalarvud ning P ({X = k}) = P (Ā }. {{.. Ā } A) = ( p) k p, k IN. k korda Definitsioon 6 Diskreetne juhuslik suurus X on Geomeetrilise jaotusega, kui tema väärtuste hulgaks on naturaalarvude hulk ning jaotus on mingi p (0, ] korral antud valemiga ning seda tähistatakse kujul X G(p). P ({X = k}) = p( p) k, k =, 2,... 2

Keskväärtuse ja dispersiooni arvutamiseks kasutame teadmist, et funktsiooni Taylori rida v~oib liikmeti diferentseerida selle koonduvusraadiuse poolt määratud lahtises intervallis: kuna kehtib x = x k, x <, siis kehtivad ka v~ordused ja k=0 ( x) 2 = kx k, x < k= 2 ( x) 3 = k(k )x k 2, x <. Kasutades neid v~orduseid juhul x = p saame, et EX = kp( p) k = p k( p) k = p p 2 = p ning DX = = k= k=2 k= k 2 p( p) k (EX) 2 k= kp( p) k + p( p) k(k )( p) k 2 p 2 k= 2.3.3 Binoomjaotus k=2 = p + p( p) 2 p 3 p 2 = p p 2. Varasemast on meil teada, et binoomjaotus vastab juhule, kus juhuslikuks suuruseks on mingi konkreetse sündmuse toimumiste arv n s~oltumatu katse teostamisel. Definitsioon 62 Diskreetne juhuslik suurus X on binoomjaotusega parameetritega n ja p (X B(n, p)), kui tema väärtuste hulgaks on hulk {0,, 2,..., n} ning kehtib v~ordus P ({X = k}) = C k np k ( p) n k, k =, 2,..., n. Leiame definitsiooni kohaselt binoomjaotusega juhusliku suuruse keskväärtuse. Selleks tuleb meil arvutada summa n EX = kcnp k k ( p) n k. k=0 Kasutame geomeetrilise jaotuse keskväärtuse ja dispersiooni leidmisel rakendatud ideed. Paneme tähele, et Newtoni binoomvalemi t~ottu kehtib v~ordus n Cnx k k ( p) n k = (x + p) n, k=0 mille diferentseerimisel saame n kcnx k k ( p) n k = n(x + p) n. k=0 22

Korrutades m~olemaid pooli muutujaga x, saame v~orduse n kcnx k k ( p) n k = nx(x + p) n, (2.) k=0 millest järeldub juhul x = p valem Dispersiooni leidmiseks kasutame v~ordust DX = EX 2 (EX) 2 = EX = np. n k 2 Cnp k k ( p) n k (np) 2. Valemit (2.) diferentseerides saame n k 2 Cnx k k ( p) n k = n(x + p) n + nx(n )(x + p) n 2 k=0 ehk pärast muutujaga x korrutamist n k 2 Cnx k k ( p) n k = nx(x + p) n + nx 2 (n )(x + p) n 2. k=0 Juhul x = p järeldub saadud v~ordusest ja dispersiooni avaldisest, et 2.3.4 Poissoni jaotus k=0 DX = np + n(n )p 2 n 2 p 2 = np np 2 = np( p). Küllaltki sageli on otstarbekas eeldada, et vaadeldav juhuslik suurus on nn Poissoni jaotusega. Definitsioon 63 Juhuslik suurus on Poissoni jaotusega (X P(λ)), kui tema väärtuste hulgaks on k~oigi mittenegatiivsete täisarvude hulk ning kehtivad v~ordused P ({X = k}) = λk k! e λ. Poissoni jaotusega juhusliku suuruse keskväärtuse ja dispersiooni leidmiseks kasutame v~ordust e x λ = e x e λ x k = k! e λ, k=0 kust diferentseerides ja x-ga korrutades saame v~ordused k xk k! e λ = xe x λ ja k=0 k=0 k 2 xk k! e λ = x(x + )e x λ. Kasutades neid v~orduseid juhul x = λ saame EX = λ, DX = EX 2 (EX) 2 = k 2 λk k! λ2 = λ(λ + ) λ 2 = λ. Järgneva teoreemi kohaselt on sageli otstarbekas kasutada Poissoni jaotust ka juhul, kui juhusliku suuruse X väärtused on tegelikult t~okestatud mingi suure arvuga. k=0 23

Teoreem 64 (Poissoni piirteoreem) Olgu X n B(n, p n ) selline binoomjaotusega juhuslike suuruste jada, et EX n = np n λ > 0. Siis binoomjaotuse t~oenäosused koonduvad Poissoni jaotuse n t~oenäosusteks: P ({X n = k}) = ( ) n p k k n( p n ) n k λ k n k! e λ. Näide 65 0000-pealisest linnuparvest on r~ongastatud 00. Aasta jooksul püüavad ornitoloogid vaatluse eesmärgil paarvest 200 lindu (ükshaaval, lastes hiljem tagasi). Leiame t~oenäosused, et püütud lindude hulgas on 0 r~ongastatut, r~ongastatud, 2 r~ongastatut, 3 r~ongastatut, 4 r~ongastatut, 5 r~ongastatut. Kui me eeldame, et vaatlused on s~oltumatud, siis on tegemist binoomjaotusega ning valemi P n,p (k) = C k np k ( p) n k kohaselt saame juhul p = 0.0, n = 200 tabeli k 0 2 3 4 5 p k 0,3398 0,27067 0,27203 0,836 0,09022 0,03572. Arvestades eelnevat piirteoreemi v~oime vastavate t~oenäosuste arvutamisel kasutada ka Poissoni jaotust parameetriga λ = 200 0, 0 = 2, sel juhul saame k 0 2 3 4 5 p 0,3534 0,27067 0,27067 0,80447 0,09022 0,03609. Nagu näga, on saadud t~oenäosused t~oepoolest väga lähedased. 2.4 Näiteid pidevatest jaotustest 2.4. Ühtlane jaotus Definitsioon 66 Öeldakse, et juhuslik suurus X on ühtlase jaotusega l~oigul [a, b] (tähistatakse X U(a, b), kui tema tihedusfunktsioon avaldub kujul { f(x) = b a, kui x [a, b] 0 mujal. Ühtlase jaotusega juhusliku suuruse jaotusfunktsioon avaldub kujul 0, kui x < a, F (x) = x a b a, kui a x < b kui x b. Keskväärtus on definitsiooni p~ohjal EX = x f(x) dx = ning dispersioon avaldub valemina DX = E[(X EX) 2 ] = b a b a x b a dx = x 2 2(b a) b x=a = a + b 2 (x a + b 2 )2 b a 2 )3 a+b (x dx = 3(b a) b a = (b a)2. 2 Kuna tihedusfunktsioon on sümmeetriline punkti x = a+b 2 suhtes, siis on ühtlase jaotusega juhusliku suuruse mediaaniks (st arvuks, mille korral F X (m) = a+b 2 ) l~oigu keskpunkt 2 (sama tulemuseni j~ouame v~orrandi F (x) = 2 lahendamisega). 24

2.4.2 Eksponentjaotus Definitsioon 67 Öeldakse, et juhuslik suurus X on eksponentjaotusega parameetriga λ (λ > 0, tähistatakse kujul X Exp(λ)), kui tema tihedusfunktsiooniks on { 0, kui x < 0, f(x) = λ e λx, kui x 0. Eksponentjaotusega juhusliku suuruse jaotusfunktsiooniks on { 0, kui x < 0, F (x) = e λx, kui x 0. Ositi integreerides saame keskväärtuseks ning dispersiooniks EX = DX = EX 2 (EX) 2 = 0 x λ e λx = λ, 0 x 2 λ e λx dx λ 2 = λ 2. V~orrandi F (x) = 2 lahendamisel saame leida mediaani: e λx = 2 x = ln 2 λ. Lemma 68 Kui X U(0, ), siis juhuslik suurus Y = ln( X) λ on jaotusega Exp(λ). 2.4.3 Normaaljaotus Definitsioon 69 Juhuslik suurus X on normaaljaotusega parameetritega µ IR ja σ > 0 (tähistatakse X N(µ, σ)), kui tema tihedusfunktsioon avaldub kujul f(x) = σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, x IR. Parameetritega µ = 0, σ = normaaljaotust nimetatakse standardseks normaaljaotuseks. Veendume k~oigepealt, et definitsioonis antud funktsioon sobib jaotusfunktsiooniks. Selleks peame kontrollima, integraal temast on. Tähistame siis muutujavahetust s = x µ σ Seega I 2 = 2π e s2 2 I = kasutades saame ds I = f(x) dx, 2π e s2 2 ds. e t2 2 dt = 2π 2π e s 2 +t 2 2 ds dt. 25

Kasutades kahekordses integraalis üleminekut polaarkoordinaatidele s = r cos θ, t = r sin θ saame 2π I 2 = 2π e r 2 2π 2 r dr dθ = dθ e r2 r 2 2 d( 2π 2 ) =. 0 0 Kuna I > 0, siis siit järeldub v~ordus I =, seet~ottu on t~oepoolest iga µ ja σ > 0 korral tegemist tihedusfunktsiooniga. Järgnevalt näiteme, et jaotusega N(µ, σ) juhusliku suuruse keskväärtuseks on µ ja dispersiooniks σ 2. Arvutame k~oigepealt keskväärtuse. Definitsioonist lähtuvalt saame EX = = σ 2π x f(x) dx = (x µ) = σ 2π ( e (x µ)2 = µ. σ 2 2σ 2 ) x= 0 (x µ + µ)f(x) dx e (x µ) 2 2σ 2 dx + µ + µ Dispersiooni arvutamisel tuleb kasutada ositi integreerimist: 0 f(x) dx DX = E[(X EX) 2 ] = σ 2π = σ [ x µ (x µ) 2π σ 2 = σ (x µ)( e (x µ)2 2σ 2 ) 2π = 0 + σ 2 f(x) dx = σ 2. (x µ) 2 e (x µ)2 2σ 2 ] e (x µ) 2 2σ 2 dx x= + σ 2π dx e (x µ)2 2σ 2 dx Normaaljaotuse jaotusfunktsioon ei ole esitatav elementaarfunktsioonide kaudu, seet~ottu tema väärtuste arvutamiseks tuleb kasutada numbrilisi meetodeid v~oi tabeleid. Standardse normaaljaotuse jaotusfunktsiooni väärtuste tabelid on laialdaselt saadaval ning järgnev lemma v~oimaldab suvaliste parameetritega normaaljaotusega juhusliku suuruse X väärtuse mingisse vahemikku kuulumise t~oenäosust taandada standardse normaaljaotuse jaotusfunktsiooni kasutamisele. Lemma 70 Olgu X pidev juhuslik suurus jaotusega N(µ, σ). Siis juhuslik suurus Y = on standardse normaaljaotusega. X µ σ T~oestus. Paneme tähele, et juhusliku suuruse Y jaotusfunktsioon avaldub kujul F Y (y) = P ({Y y})p ({ X µ σ y}) = P ({X σy + µ}) = F X (σy + µ), seega Y on pidev juhuslik suurus ning tema tihedusfunktsioon avaldub kujul f Y (y) = F Y (y) = d dy (F X(σy + µ)) = f X (σy + µ) σ = 2π e (σy+µ µ)2 2σ 2 = 2π e y2 2. Kuna Y tihedusfunktsiooniks on standardse normaaljaotuse tihedusfunktsioon, siis oleme sellega näidanud, et Y N(0, ). 26

Näide 7 Olgu X N(, 3). Leiame P ({0 < X 3}). Selleks defineerime Y = X 3 ning paneme tähele, et seet~ottu {0 < X 3} = { 0 3 < Y 3 3 }, P ({0 < X 3}) = P ({ 3 < Y 2 3 ) = Φ(2 3 ) Φ( 3 ), kus Φ on standardse normaaljaotuse jaotusfunktsioon. Kuna standardse normaaljaotuse tihedusfunktsioon on sümmeetriline nullpunkti suhtes, siis kehtib valem Φ( x) = Φ(x) x IR, seega v~oime tulemuse esitada ka kujul P ({0 < X 3}) = Φ( 2 3 ) + Φ( 3 ). Tabelitest leiame Φ( 2 3 ) 0.74857, Φ( 3 ) 0.62930, seega on otsitav t~oenäosus ligikaudu 0,37787. 2.5 Mitmem~o~otmelised juhuslikud suurused Sageli määratakse ühes katses mitme juhusliku suuruse väärtused (näiteks inimese pikkus ja kaal). Sellisel juhul ei aita paljude huvipakkuvate sündmuste t~oenäosuste arvutamiseks nende juhuslike suuruste jaotustest, vaid on vaja informatsiooni selle kohta, kuidas need juhuslikud suurused koos käituvad. Definitsioon 72 Juhusliku vektori (X, Y ) jaotusfunktsiooniks (ehk juhuslike suuruste X ja Y ühisjaotuse jaotusfunktsiooniks) nimetatakse funktsiooni F X,Y (x, y) = P ({X x, Y y}), x, y IR. Lemma 73 (Juhusliku vektori jaotusfunktsiooni omadused). Olgu (X, Y ) juhuslik vektor jaotusfunktsiooniga F X,Y. Siis kehtivad järgnevad omadused. 0 F X,Y (x, y) (x, y) IR 2, 2. F X,Y on kummagi muutuja järgi paremalt pidev igas punktis, 3. lim y F X,Y (x, y) = F X (x) x IR, lim x F X,Y (x, y) = F Y (y) y IR, 4. lim F X,Y (x, y) = 0 x IR, lim F X,Y (x, y) = 0 y IR. y x Definitsioon 74 Juhuslikku vektorit (X, Y ) nimetatakse pidevaks, kui tema jaotusfunktsioon avaldub kujul x ( y ) F X,Y (x, y) = f X,Y (u, v) dv du, x, y IR mingi funktsiooni f X,Y : IR 2 IR korral. Funktsiooni f X,Y nimetatakse sel juhul juhusliku vektori (X, Y ) tihedusfunktsiooniks (ehk juhuslike suuruste X ja Y ühistiheduseks). 27

Definitsioon 75 Juhuslikku vektorit (X, Y ) nimetatakse diskreetseks, kui X ja Y on diskreetsed juhuslikud suurused. Diskreetse juhusliku suuruse korral nimetatakse kolmikuid (x i, y j, p ij ), i I, j J, kus p ij = P ({X = x i, Y = y j } ning {x i : i I} ja {y j : j J} on vastavalt juhuslike suuruste X ja Y väärtuste hulgad, juhusliku vektori (X, Y ) jaotuseks ehk juhuslike suuruste X ja Y ühisjaotuseks. Definitsioon 76 Juhuslikke suurusi X ja Y nimetatakse s~oltumatuteks, kui nende ühisjaotuse jaotusfunktsioon avaldub kujul F X,Y (x, y) = F X (x)f Y (y) x, y IR, kus F X ja F Y on vastavalt juhuslike suuruste X ja Y jaotusfunktsioonid. Mitme juhusliku suuruse korral pakub enamasti huvi ka nendevahelise seose olemasolu. Lineaarse seose olemasolu kindlakstegemise seisukohalt on tähtsad m~oisted kovaratsioon ja korrelatsioonikordaja. Definitsioon 77 Olgu X ja Y l~oplikku dispersiooni omavad juhuslikud suurused. Siis nende kovaratsiooniks nimetatakse suurust cov(x, Y ) = E[(X EX)(Y EY )] ning korrelatsioonikordajaks nimetatakse arvu r X,Y = cov(x, Y ) DX DY. Lemma 78 Olgu X, Y ja Z l~oplikku dispersiooni omavad juhuslikud suurused. Siis kehtivad valemid. cov(x, X) = DX; 2. cov(x, Y ) = E(XY ) EX EY ; 3. D(X + Y ) = DX + DY + 2cov(X, Y ), D( n i= X i) = n i= DX i + 2 n n i= j=i+ cov(x i, X j ); 4. cov(x, Y ) = cov(y, X). 5. cov(α X + β Y, Z) = α cov(x, Z) + β cov(y, Z) α, β IR; 6. kui X ja Y on s~oltumatud, siis cov(x, Y ) = 0; T~oestus. Harjutus lugejale. 2.5. Mitmem~o~otmelised diskreetsed juhuslikud suurused Toome k~oigepealt m~oningad lihtsamad diskreetse jaotuse omadused. Lemma 79 Juhusliku vektori (X, Y ) jaotuse {(x i, y j, p ij ) : i I, j J} korral kehtivad v~ordused p ij = P ({Y = y j }), p ij = P ({X = x i }), p ij =. i I j J i I, j J 28