UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8 7 şi B = Discutaţi în funcţie de a dacă există matrice X = În caz afirmativ, determinaţi matricele X. x y z a a a 3, a R. cu elemente din R pentru care AX = B. ) ( puncte) Pentru a, b Q considerăm funcţia f a,b : Q Q, f a,b (x) = ax + b. Determinaţi mulţimea tuturor perechilor (a, b) pentru care f a,b este un izomorfism de la grupul (Q, +) la el însuşi. 3) (5 puncte) Rezolvaţi ecuaţia 4x + 8 = în inelul (Z, +, ). SUBIECTUL II (3 puncte) ) ( puncte) Se dă punctul P (, ) şi dreptele d : x 3y + = şi d : x + y 8 =. Prin P se duce o dreaptă d care intersectează d într-un punct A şi d într-un punct B. Determinaţi ecuaţia dreptei d pentru care punctul P este mijlocul segmentului [AB]. ) ( puncte) Rezolvaţi ecuaţia sin(x + 3 ) + cos(x + 6 ) = + cos x. SUBIECTUL III (3 puncte) ) Considerăm funcţia f : D R, definită prin relaţia x + f(x) =, x unde D R este domeniul maxim de definiţie al funcţiei f. a) (5 puncte) Determinaţi mulţimea D. b) (5 puncte) Calculaţi f. c) (5 puncte) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei f. d) (5 puncte) Demonstraţi că 6 7 5 > 6. ) ( puncte) Calculaţi + x dx şi lim n n n k + n. NOTĂ: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. k=
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ Barem SUBIECTUL I (3 puncte) x + y + z = x + 3y + z = a ) AX = B (S) 4x + 9y + z = a 8x + 7y + z = a 3 Cum 3 4 9 =, (S) e compatibil d =...................................................... p 3 a 4 9 a 8 7 a 3 =......................... p d = (a )(a )(a 3) = a {,, 3}................................................... 3p Dacă a R \ {,, 3} sistemul (S) este incompatibil, deci nu există X............................ p Dacă a {,, 3} sistemul (S) este compatibil determinat........................................ p echivalent cu sistemul (S ) x + y + z = x + 3y + z = a 4x + 9y + z = a................................................. p x = ( a)(3 a), y = ( a)( a), z = ( a)(3 a)................................... 3p a = X =, a =, a = 3........................................ p Observaţie: Ultimele 6 puncte din barem pot fi redistribuite în cazul în care se tratează separat fiecare caz de compatibilitate, acordându-se puncte pentru fiecare caz. ) f a,b endomorfism al lui (Q, +) f a,b () = b =....................................... p a Q, x, y Q, f a,b (x + y) = a(x + y) = ax + ay = f a,b (x) + f a,b (y), prin urmare, f a,b morfism b =........................................................................ 3p f a, bijecţie y Q, x Q unic determinat astfel încât y = f a,b (x) = ax a şi x = y (unica soluţie a ecuaţiei ax = y)........................................... 4p a Observaţie: Dacă se verifică separat injectivitatea şi surjectivitatea lui f a, se acordă câte puncte pentru analiza corectă a fiecăreia dintre ele şi obţinerea condiţiei a. Mulţimea căutată este {(a, ) a Q }........................................................... p 3) 4x + 8 = 4(x + ) =. Folosind tabelul operaţiei (tabla înmulţirii) deducem x + {, 3, 6, 9}....................... 3p x {, 4, 7, }.......................................................................... p
SUBIECTUL II (3 puncte) Problema (prima soluţie) forma generală (d) : y = kx +..................................................................5p punctele A şi B în funcţie de k...................................................................4p condiţia x A + x B = x P (= ).................................................................... 3p determinarea pantei k............................................................................4p verificarea faptului că P e mijlocul lui [AB]...................................................... 3p ecuaţia dreptei (d) : x + 4y 4 =.............................................................. 3p analiza cazului când ecuaţia dreptei d este x =................................................5p Problema (a doua soluţie) coordonatele punctului Q........................................................................ 4p determinarea vectorului QP......................................................................p coordonatele lui A şi B în funcţie de parametri...................................................4p determinarea vectorilor QA şi QB............................................................... 3p condiţia QA + QB = QP....................................................................... p determinarea coordonatelor lui A şi B........................................................... 3p ecuaţia dreptei AB, (d) : x + 4y 4 =..........................................................p Problema membrul I al ecuaţiei poate fi scris sin(x + 3 ) + cos(x + 6 ) = cos x............................3p scrierea ecuaţiei sub forma cos x ( cos x ) =................................................. 3p scrierea soluţiilor ecuaţiei cos x =...............................................................p scrierea soluţiilor ecuaţiei cos x =.............................................................. p SUBIECTUL III (3 puncte) ) x +.....................................................................................p x........................................................................................... p D = [, + ) \ {}............................................................................. p ) f (x) = x+ x x+.............................................................................5p 3) f (x) <, x D............................................................................. 3p f descrescătoare pe [, )...................................................................... p f descrescătoare pe (, + ).....................................................................p 4) f(5) = 6 5.............................................................................. p f(6) = 7 6.................................................................................p f descrescătoare, 5 < 6 f(5) > f(6).............................................. 3p 5) + x dx = ( + x) dx................................................................ p ( + x) dx = 3 ( + x) 3..................................................................... p 3 ( + x) 3 = 3 ( 3 )..........................................................................p L = lim n n k + n = lim + k n n n n..................................................p k= k= + kn = + x dx............................................................... p lim n n k= L = 3 ( 3 )................................................................................... p NOTĂ: Orice altă soluţie corectă va fi punctată corespunzător.
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ Soluţii SUBIECTUL I (3 puncte) A se vedea baremul. SUBIECTUL II (3 puncte). Soluţia. Orice dreaptă care trece prin punctul P are ecuaţia de forma y = kx sau x =. Dreapta de ecuaţie x = intersectează dreptele d şi d în punctele A(, 3 ) şi B(, 8). Mijlocul acestui segment [AB] are coordonatele M(, 34 3 ), deci nu coincide cu P. Astfel putem presupune că dreapta căutată are ecuaţia (d) : y = kx +, deci ceea ce trebuie să determinăm este panta k a dreptei d. Derterminăm mai întâi punctele de intersecţie ale dreptei d cu dreptele date. Astfel, coordonatele lui A sunt soluţiile sistemului { y = kx +, de unde adică şi x 3y + =, x 3xk 3 + =, x A = 7 3k y A = k 3k. Analog, coordonatele lui B sunt date de sistemul { y = kx +, care ne conduce la adică şi x + y 8 =, x + kx + 8 =, x B = 7 k + y B = 8k + k + ; Abscisa mijlocului segmentului AB este x = ( 7 3k + 7 ) = 7 k + 4k + (3k )(k + ).
Dar noi vrem ca această abscisă să coincidă cu abscisa punctului P, adică x =. De aici obţinem k =. Cu această valoare a lui k, obţinem 4 A = A( 4, ), B = B(4, ) şi se verifică imediat că P este mijlocul segmentului AB. Ecuaţia dreptei care trece prin P şi are panta /4 este sau y = 4 x + x + 4y 4 =. Soluţia. Ideea soluţiei este să determinăm, mai întâi, punctul de intersecţie Q al dreptelor date. Alegem apoi un punct (în prima fază, oarecare) A pe d şi un punct B pe d. Atunci P este mijlocul lui AB dacă şi numai dacă QP = QA + QB. Dreapta pe care o căutăm va fi dreapta AB. Coordonatele punctului Q sunt date de soluţia sistemului { x 3y + =, x + y 8 =, ceea ce ne conduce la punctul Q(, 4). Aşadar, componentele vectorului QP vor fi (, 3). Fie acum A un punct oarecare de pe dreapta d. Legătura dintre coordonatele lui A vor fi, atunci, x A 3y A + =. Dacă notăm y A = t, atunci x A = 3t, deci A = (3t, t), deci vectorul care uneşte pe Q cu A va fi QA(3t, t 4). Analog, fie B un punct de pe dreapta d, adică x B + y B 8 =. Atunci, dacă punem x B = s, obţinem B(s, s + 8), deci vectorul de poziţie al lui B relativ la Q este QB(s, 4 s). Prin urmare, ecuaţia QA + QB = QP este echivalentă cu sistemul { 3t + s =, t s = 6. Soluţia acestui sistem este t =, s = 4, ceea ce ne conduce la punctele A( 4, ), B(4, ). Ecuaţia dreptei d este ecuaţia dreptei AB, adică sau. Ecuaţia se poate scrie x + 4 4 + 4 = y x + 4y 4 =. sin (x + 3 ) + sin (9 x 6 ) = + cos x sau de unde sin (x + 3 ) + sin (3 x) = + cos x, sin x + 3 + 3 x cos x + 3 3 + x = + cos x
sau sau, încă, Această ecuaţie se poate scrie sin 3 cos x = + cos x cos x = + cos x. cos x = + cos x = cos x. Avem, prin urmare, de rezolvat ecuaţia cos x ( cos x ) =. Obţinem, prin urmare:. cos x =, ceea ce ne conduce la soluţia x = π + kπ, k Z;. cos x =, ceea ce ne conduce la soluţia x = ± π 3 + kπ, k Z. În final mulţimea soluţiilor ecuaţiei iniţiale este S = { π + kπ k Z } {± π 3 + kπ k Z }. SUBIECTUL III (3 puncte). Condiţia de existenţă a redicalului este x + şi condiţia de existenţă fracţiei este x. Astfel domeniul maxim de definiţie este D = [, + ) \ {}.. Folosim regula de derivare a fracţiilor, derivata funcţiei radical şi regula de derivare a funcţiei compuse: f (x) = x+ x x + x = x x x+ x = x + x x +. 3. Dacă x D, atunci x + > x +, x şi x +. Astfel f (x) <, pentru orice x D, deci f este strict descrescătoare pe intervalele [, ) şi (, + ). 4. f fiind descrescătoare pe intervalul (, + ) putem scrie Pe de altă parte f(5) = 5. lim n n n 5 < 6 f(5) > f(6). 6 5 şi f(6) = 7 6, deci 6 5 > 7 6. + x dx = k= k + n = lim n n ( + x) dx = 3 ( + x) 3 k= + kn = = 3 ( 3 ). + x dx = 3 ( 3 ).