Matematička logika. Madarász Sz. Rozália. Departman za matematiku i informatiku Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Novom Sadu

Departman za matematiku i informatiku Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Novom Sadu Matematička logika Madarász Sz. Rozália Novi Sad, novembar 2012.

Predgovor Ovaj tekst je pomoćni materijal koji služi da studentima olakša praćenje kurseva Matematička logika odnosno Matematička logika u računarstvu na Departmanu za matematiku i informatiku PMF Univerziteta u Novom Sadu. On nije dovoljan da bi se kursevi savladali u potpunosti, jer ne sadži zadatke, a često nedostaju i primeri koji bi ilustrovali date pojmove odnosno teoreme. Navedene kurseve je, naravno, najlakše savladati tako što se redovno pohad a nastava (predavanja i vežbe) i koristi dopunska literatura. No, iskustvo pokazuje da izvestan broj studenata nije u mogućnosti da pohad a nastavu, pa ove skripte služe umesto (tud ih) beleški sa predavanja. Grubo govoreći, kurs Matematička logika, koji se pod raznim nazivima sluša na osnovnim ili master studijama matematike, oslanja se na poglavlja 1, 2 i 4, a kurs Matematička logika u računarstvu na poglavlja 1, 2 i 3. No, predavanja iz navedenih kurseva se svake godine prilagod avaju slušaocima, u zavisnosti od predznanja i zainteresovanosti, pa shodno tome, ove skripte će ponekad biti presiromašne u odnosu na pokriveni materijal, a opet neke godine se ne stigne da se obradi svaka tema koja je ovde navedena. Na kraju, shvatite ovaj materijal kao živo biće, koje će vremenom rasti, menjati se i poboljšavati. Nikako ga ne treba shvatiti kao nešto što je završeno i spremno za štampu. Savetujemo takod e da se poseti sajt http://sites.dmi.rs/personal/madaraszr/ i proveri ima li nešto što bi moglo biti od koristi čitaocu prilikom spremanja ispita iz navedenih kurseva. Rozália Sz. Madarász 1

2 Predgovor

Sadržaj 1 Iskazna logika 7 1.1 Počeci logike i matematičke logike............... 7 1.2 Logika iskaza........................... 8 1.3 Sintaksa iskazne logike...................... 10 1.4 Interpretacije........................... 12 1.5 Tautologije, logička ekvivalencija................ 14 1.6 Normalne forme i baze iskazne algebre............. 18 1.7 Modeli i teorije.......................... 21 1.8 Logička (semantička) posledica................. 24 1.9 Semantički tabloi......................... 26 1.10 Deduktivni sistemi........................ 30 1.11 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku...... 33 1.12 Mala teorema kompletnosti i odlučivost iskaznog računa... 41 1.13 Teorema kompletnosti i kompaktnost.............. 44 1.14 Rezolucija u iskaznoj logici................... 50 2 Predikatska logika 57 2.1 O predikatskoj logici....................... 57 2.2 Sintaksa predikatske logike................... 59 2.3 Semantika predikatske logike.................. 61 3

4 Sadržaj 2.4 Operatori Mod i Th, semantičke posledice........... 66 2.5 Valjane formule.......................... 68 2.6 Preneksna forma i skolemizacija................. 74 2.7 Rezolucija u predikatskoj logici -Uvod............. 79 2.8 Klauzalna forma i Erbranova teorema............. 80 2.9 Rezolucija u predikatskoj logici................. 84 2.10 Rezolucija u predikatskoj logici - Primeri............ 88 2.11 Predikatski račun kao deduktivni sistem............ 92 2.12 Pouzdanost i kompletnost predikatskog računa........ 99 2.13 Predikatska logika sa jednakošću................ 104 3 Temporalne logike 109 3.1 Uvod................................ 109 3.2 Sintaksa i semantika PTL.................... 110 3.3 Linear time propositional temporal logic............ 113 3.4 Deduktivni sistem za linear time propositional temporal logic 116 4 Skupovi, ordinali, kardinali 121 O paradoksima u matematici..................... 121 Naivna teorija skupova i paradoksi.................. 123 Kako izbeći paradokse u teoriji skupova............... 125 Malo filozofije.............................. 127 ZF sistem aksioma za teoriju skupova................ 130 Operacije sa skupovima........................ 134 Relacije................................. 135 Funkcije................................. 137 Aksioma izbora............................. 139 ured eni skupovi - Osnovne definicije................. 141 Induktivnost i dobro ured eni skupovi................. 146

Sadržaj 5 Dobro ured eni i striktno dobro ured eni skupovi........... 148 Ured eni skupovi i Aksioma izbora.................. 151 Definicija ordinala i osnovne osobine................. 153 Osobine klase svih ordinala...................... 157 Ordinalni tip dobro ured enog skupa................. 160 Prirodni brojevi kao ordinali..................... 163 Ekvipotentni skupovi.......................... 166 Kardinal kao specijalni ordinal.................... 169 Operacije sa kardinalima........................ 171 Konačni kardinali............................ 175 Beskonačni kardinali.......................... 177 Alefi................................... 180 Operacije sa beskonačnim kardinalima................ 183 Kontinuum hipoteza.......................... 186 Literatura 187 Indeks 191

6 Sadržaj

Glava 1 Iskazna logika 1.1 Počeci logike i matematičke logike Prvi narod u istoriji koji se bavio problemima ispravnog zaključivanja bili su Stari Grci. Zahvaljujući svom društvenom ured enju, koje je ohrabrivalo slobodne ljude da raspravljaju i dokazuju da su u pravu, oni su postavili temelje logike, pre svega kao dela filozofije. U tom smislu, Grčki filozofinaučnici se mogu smatrati za začetnike logike kao nauke - to su prve svega Tales, Pitagora, Parmenid, Zenon, Protagora, Sokrat, Platon i Aristotel. Jedna posebna grupa filozofa, tzv. sofisti, bavila se podučavanjem veštine raspravljanja, koja je Starim Grcima bila korisna prilikom učešća u upravljanju gradom-polisom, kao i u ličnim sporovima, u kojima su, pred nekom vrstom suda, svoja prava morali sami braniti. Oni, koji su bili veštiji u baratanju sa rečima i zakonima pravilnog zaključivanja, imali su svakako prednost nad onima koji te veštine nisu imali. Sofisti su takod e postali poznati po svojim iščašenim pričama, tzv. sofizmima, u kojima se polazeći od prividno istinitih pretpostavki, po pravilima logičkog zaključivanja, stiže do apsurdnih zaključaka. Aristotel je, verovatno motivisan izmed u ostalog i takvim sofizmima, sakupio i katalogizirao sve tada poznate šeme ispravnog, logičkog zaključivavnja u svom delu Organon. Aristotelova logika, poznata i pod nazivom Aristotelova teorija silogizama, činila je skoro dve hiljada godina obavezan deo svakog ozbiljnog obrazovanja. Prvi značajniji pomak u logici kao nauci, posle stotina i stotina godina mračnog srednjeg veka, možemo otkriti u delima naučnika-filozofa, pre svega kod Dekarta i Leibniza. Dekart je zastupao stanovište, da se matematički 7

8 Glava 1. Iskazna logika način razmišljanja mora primenjivati i u ostalim naukama, ako želimo da dod emo do pravih istina. Pri tome, ne treba verovati nikakvim autoritetima, nego se jedino treba oslanjati na svoj sopstveni razum i moć logičkog zaključivanja. Leibniz je imao još ambiciozniji projekat: želelo je da stvori jedan univerzalni formalni račun, Characteristica Universalis, nalik na matematiku, u kome bi svi objekti, pojmovi i relacije imale svoje oznake, i u kome bi sve istine mogle biti izražene, a razni sporovi med u filozofima, naučnicima ili političarima mogli biti razrešeni prostim računom. Zbog tih svojih ideja, Leibniz se ponekad smatra za pra-oca matematičke logike. Zvanično, prava matematička logika stiže sa radovima Georgea Boolea, u 19. veku. On je u svojoj teoriji (tzv. račun klasa) razvio dve ideje: prvo, da prilikom rada sa iskazima, treba koristiti oznake, i drugo, da zakoni mišljenja imaju zapanjujuće mnogo sličnosti sa zakonima aritmetike. Korišćenjem tri fundamentalne operacije med u klasama, koje mi danas zovemo unija, presek, komplement, on je zapisao i dokazao osnovne zakone iskaznog računa - danas su ti identiteti poznati pod nazivom aksiome Booleove algebre. Mi ćemo početi izučavanje matematičke logike upravo Booleovim tragom - ispitujući prvo zakone ispravnog mišljenja u logici iskaza. 1.2 Logika iskaza Pre nego što krenemo da izgrad ujemo iskaznu logiku (kao formalnu, matematičku teoriju), podsetimo se osnovnih pojmova logike iskaza (neformalne teorije koja predstavlja najjednostavniji deo logike). Osnovni pojmovi logike iskaza su: iskaz, istinitosna vrednost iskaza, logički veznici. Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu vredost: tačno ili netačno. Iskaze ćemo obeležavati slovima, recimo p, q, r,.... Umesto iskaz koji je obeležen slovom p, mi ćemo kraće reći iskaz p. Ako iskaz p ima istinitosnu vrednost tačan, onda kažemo i da je iskaz p tačan (i analogno za istinitosnu vrednost netačan ). Logički veznici služe da od polaznih iskaza dobijemo složenije iskaze. Logički veznici koje ćemo ovde razmatrati su: i, ili, ako...onda, ako i samo ako (binarni veznici), i nije (unarni veznik): konjunkcija iskaza p i q je iskaz p i q, disjunkcija iskaza p i q je iskaz : p ili q,

1.2. Logika iskaza 9 implikacija iskaza p i q je iskaz : ako p onda q, ekvivalencija iskaza p i q je iskaz : p ako i samo ako q, negacija iskaza p je iskaz : nije p. Istinitosna vrednost složenog iskaza zavisi od istinitosnih vrednosti iskaza od kojih se taj iskaz sastoji, i to na sledeći način: iskaz p i q je tačan ako i samo ako su i p i q tačni, iskaz p ili q je netačan ako i samo ako su i p i q netačni, iskaz ako p onda q je netačan ako i samo ako je p tačan a q netačan, iskaz p ako i samo ako q je tačan ako i samo ako iskazi p i q imaju istu istinitosnu vrednost, iskaz nije p je tačan ako i samo ako je iskaz p netačan. Osnovni pojam koji želimo formalizovati je pojam logičke posledice: Neka je Σ neki skup iskaza. Kažemo da je iskaz p logička posledica od Σ ako je iskaz p nužno tačan svaki put kada su svi iskazi iz skupa Σ tačni. U tom slučaju takod e kažemo da je zaključivanje iz Σ sledi p (logički) ispravno. Primer 1.1 Posmatrajmo sledeće zaključivanje: Ako poplava uništi vašu kuću ili ako ona izgori u požaru, osiguravajuće društvo će vam platiti. Prema tome, ako vam osiguravajuće društvo nije platilo, onda vam poplava nije uništila kuću i ona nije izgorela u požaru. Ovo zaključivanje je ispravno, jer bez obzira na tačnost iskaza koji su navedeni, zaključak će biti tačan, pod uslovom da je pretpostavka tačna. Primer 1.2 Posmatrajmo sledeće zaključivanje: Ako je neko talentovan i vredan, postaće slavan. Svi slavni ljudi su bogati. Ja nisam bogat. Dakle, ja nisam talentovan i nisam vredan. Ovo zaključivanje nije ispravno, jer može da se desi da samo recimo nisam vredan, a jesam talentovan, pa da su sve pretpostavke tačne, a zaključak nije tačan.

10 Glava 1. Iskazna logika 1.3 Sintaksa iskazne logike Iskazna logika nastaje formalizacijom ( matematizacijom ) logike iskaza. Prvo ćemo definisati jezik iskazne logike. U opštem slučaju, azbuka (ili alfabet) je skup simbola - znakova koji su nedeljivi. Ako je A neka azbuka, svaki konačan niz simbola iz A zovemo reč nad A. Svaki podskup skupa svih reči nad A jeste jezik nad A. Dakle, da bismo definisali jezik iskazne logike, potrebno je zadati odgovarajuću azbuku, i izdvojiti skup onih reči nad tom azbukom, koje ćemo smatrati da su dobro formirani izrazi (tzv. iskazne formule). Definicija 1.1 Standardna azbuka iskazne logike se sastoji od sledećih simbola: prebrojiv skup iskaznih slova S, simboli logičkih operacija:,,,,, pomoćni znaci: (, ). Standardnu azbuku iskazne logike ćemo obeležavati sa L, i u daljem tekstu, ako drugačije ne kažemo, smatraćemo da je S = {p 1, p 2,..., p n,... }. Definicija 1.2 Skup iskaznih formula je najmanji skup reči nad azbukom L koji zadovoljava sledeće uslove: 1. Sva iskazna slova su iskazne formule; 2. Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeći izrazi: (A B), (A B), (A B), (A B), ( A) Ovako definisan skup svih iskaznih formula zovemo i standardan skup iskaznih formula i obeležavamo sa F orm. Umesto ovako definisanih iskaznih formula, ponekad je zgodno iskazne formule definisati na drugi način, korišćenjem tzv. poljske (prefiksne) notacije. U toj notaciji simboli logičkih operacija se pišu ispred (a ne izmed u) iskaznih slova na koje utiču, pa je na taj način izbegnuto korišćenje zagrada. No, iako takav način zapisivanja iskaznih formula ponekad ima svoje prednosti,

1.3. Sintaksa iskazne logike 11 većini ljudi je mnogo lakše čitati i razumeti iskazne formule opisane Definicijom 2. Uobičajeno je da se prilikom rada u iskaznoj logici pridržavamo sledećih dogovora: radi jednostavnosti, možemo brisati spoljne zagrade kod formula; da bismo koristili što manje zagrada, dogovor je da je prioritet logičkih operacija sledeći:, zatim,, i na kraju, ; umesto iskazna formula govorićemo samo formula. Kako su formule reči (izrazi konačne dužine), u svakoj formuli učestvuje samo konačno mnogo iskaznih slova. Po dogovoru, zapis A = A(p 1, p 2,..., p n ) će značiti da su sva iskazna slova formule A u skupu {p 1, p 2,..., p n }. Vrlo često ćemo prilikom dokazivanja raznih osobina formula koristiti tzv. dokaz po složenosti iskaznih formula. Naime, ako treba dokazati da neka osobina O važi za sve iskazne formule, dovoljno je dokazati da tu osobinu imaju sva iskazna slova (baza indukcije), i da iz pretpostavne da formule A i B imaju osobinu O sledi da i formule A B, A B, A B, A B, A imaju tu osobinu (indukcijski korak). Drugim rečima, važi sledeća teorema: Teorema 1.1 Neka je O neki podskup skupa svih iskaznih formula F orm tako da važe sledeći uslovi: S O, Ako formule A i B pripadaju skupu O, tada i formule pripadaju skupu O. Tada je O = F orm. A B, A B, A B, A B, A Dokaz. Primetimo da skup formula O zadovoljava oba uslova iz Definicije 2. Kako je F orm najmanji skup reči koji zadovoljava ta dva uslova, sledi da je F orm O, iz čega sledi O = F orm.

12 Glava 1. Iskazna logika 1.4 Interpretacije Za definiciju semantike Iskazne logike koristićemo jednu veoma jednostavnu, dvoelementnu algebru, čije elemente možemo označiti na primer sa 0 i 1, ili T i F, ili kao što ćemo mi, sa i. Ta algebra će imati četiri binarne operacije i jednu unarnu, koje bismo trebali, u principu, označiti nekim simbolima koji se razlikuju od simbola logičkih operacija. No, mi ćemo ih označiti istim simbolima (jer će, na kraju krajeva, simbol logičke operacije da se interpretira kao njegov odgovarajući par iz kolekcije operacija iskazne algebre), s tim da ćemo imati u vidu da se radi o različitim pojmovima. Definicija 1.3 Iskazna algebra je algebra I = {, },,,,,, gde su operacije,,, binarne, a unarna operacija, definisane svojim Cayleyevim tablicama na sledeći način: p p Definicija 1.4 Valuacija u iskaznoj logici je svako preslikavanje τ : S {, }. Ako je p S, za τ(p) kažemo da je vrednost tog iskaznog slova u valuaciji τ. Interpretacija iskaznih formula za datu valuaciju τ jeste preslikavanje v τ : F orm {, } koje je definisano na sledeći način: ako su A i B iskazne formule, onda ako je p S iskazno slovo, onda v τ (p) = τ(p), v τ (A B) = v τ (A) v τ (B), v τ (A B) = v τ (A) v τ (B), v τ (A B) = v τ (A) v τ (B), v τ (A B) = v τ (A) v τ (B), v τ ( A) = v τ (A). Za v τ (A) kažemo da je vrednost formule u valuaciji τ (ili u interpretaciji v τ ). Ukoliko je v τ (A) =, kažemo da je formula A u toj valuaciji (interpretaciji) tačna, a ako je v τ (A) =, da je netačna.

1.4. Interpretacije 13 Nije teško uvideti da za datu valuaciju τ postoji jedna i samo jedna interpretacija (tj. jedna funkcija koja proširuje preslikavanje τ sa skupa S na ceo skup F orm). Teorema 1.2 Vrednost iskazne formule A u nekoj valuaciji zavisi samo od vrednosti onih iskaznih slova koja figurišu u formuli A. Dokaz. Neka je A = A(p 1, p 2,..., p n ) neka iskazna formula, i neka su τ i τ dve valuacije, takve da imaju istu vrednost za sva iskazna slova koja figurišu u A. Tada se indukcijom po složenosti iskazne formule A lako dokazuje da je v τ (A) = v τ (A). Definicija 1.5 Istinitosna funkcija je svaka funkcija f : {, } n {, }, gde n 1. Ako je A = A(p 1, p 2,..., p n ) neka formula, onda istinitosna funkcija indukovana sa A jeste funkcija f A : {, } n {, } takva da za sve a 1, a 2,..., a n {, } važi f A (a 1, a 2,..., a n ) = v τ (A), gde je τ valuacija u kojoj je τ(p i ) = a i, za sve i {1, 2,..., n}. Prema tome, imajući u vidu da vrednost formule ne zavisi od vrednosti onih iskaznih slova koje ne učestvuju u formuli, istinitosna funkcija indukovana datom formulom pokazuje koje vrednosti ta formula može imati za sve moguće valuacije. Po dogovoru, umesto da uvodimo novu oznaku (f A ) za tako indukovanu istinitosnu funkciju, umesto f A (a 1,..., a n ) možemo pisati samo A(a 1,..., a n ). Indukovanu istinitosnu funkciju najpreglednije je predstaviti tzv. istinitosnom tablicom, u kojoj ćemo sistematično ispisati sve moguće kombinacije vrednosti za ona iskazna slova, koja učestvuju u formuli. Ako imamo n različitih iskaznih slova, istinitosna tablica će imati 2 n vrsta. Primer 1.3 Neka je A = (p 2 p 5 ) p 3. Tada, radi jednostavnosti, označimo iskazna slova p 2, p 5 i p 3 redom slovima p, q, r. Tako, formulu A zapisujemo kao A = (p q) r. Vrednost formule A zavisi samo od vrednosti iskaznih slova p, q, r, pa će odgovarajuća istinitosna tablica izgledati ovako:

14 Glava 1. Iskazna logika p q r p q (p q) r Definicija 1.6 Kažemo da je iskazna formula A zadovoljiva ako postoji valuacija u kojoj je vrednost te formule tačna, oboriva ako postoji valuacija u kojoj je vrednost te formule netačna, tautologija ili valjana formula je tačna za sve valuacije, kontradikcija ako je njena vrednost netačna za sve valuacije. Problem da li je data iskazna formula zadovoljiva označava se sa SAT (Satisfiability Problem). Ispostavilo se da je problem SAT veoma značajan u teoriji složenosti algoritama. Prvo, još uvek nije pronad en algoritam koji bi taj problem rešio u polinomnom vremenu (metod istinitosnih tablica ima eksponencijalnu složenost). Važi i više od toga: SAT problem spada u klasu tzv. NP-kompletnih problema, što intuitivno znači da ako se za taj problem pronad e algoritam polinomne složenosti, tada su klase P i NP jednake, tj. svaki problem složenosti NP se može rešiti u polinomnom vremenu. 1.5 Tautologije, logička ekvivalencija Tautologije možemo shvatiti kao zakone mišljenja. Neke od njih koristimo (nesvesno) i u svakodnevnom rezonovanju. Naravno, matematičari ih koriste češće od ostalih, jer je priroda matematičkih dokaza takva da zahtevaju čistu logičku strukturu. U sledećoj teoremi smo naveli prvih 16 najčešće korišćenih tautologija, od kojih su poneke poznate i po svojim latinskim nazivima: Teorema 1.3 Sledeće formule su tautologije:

1.5. Tautologije, logička ekvivalencija 15 1. p p Zakon dvojne negacije 2. p p Tertium non datur 3. (p p) Zakon neprotivrečnosti 4. (p (p q)) q Modus Ponens 5. ((p q) q) p Modus Tollens 6. (p q) ( q p) Kontrapozicija 7. (p q) p q De Morganov zakon za 8. (p q) p q De Morganov zakon za 9. ((p q) (q r)) (p r) Zakon silogizma 10. ( p (q q)) p Reductio ad absurdum 11. p (p q) Ex falso quolibet 12. p (q p) Verum ex quolibet 13. ((p r) (q r)) ((p q) r) Zakon nabrajanja 14. (p q) ((q r) (p r)) Tranzitivnost za 15. ((p q) (q r)) (p r) Tranzitivnost za 16. ((p q) p) p Pierceov zakon Dokaz. Direktnom proverom. Neka je A = A = A(p 1, p 2,..., p n ), i neka su B 1, B 2,..., B n neke formule. Sa A(B 1, B 2,..., B n ) označimo formulu koja nastaje simultanom zamenom formule B i umesto iskaznog slova p i (i {1, 2,..., n}). Teorema 1.4 Neka je A = A = A(p 1, p 2,..., p n ) neka tautologija. Tada za proizvoljne formule B 1, B 2,..., B n važi da je A(B 1, B 2,..., B n ) takod e tautologija. Dokaz. Lako je uvideti da je vrednost formule A(B 1, B 2,..., B n ) za svaku valuaciju uvek. Definicija 1.7 Za dve formule A i B kažemo da su logički ekvivalentne ako je formula A B tautologija. U tom slučaju pišemo A B. Važno je primetiti sledeće: A B je formula, koja može imati različite istinitosne vrednosti za različite valuacije, dok izraz A B znači da formule A i B imaju istu vrednost za svaku valuaciju. Naravno, na skupu svih iskaznih formula F orm relacija je relacija ekvivalencije, tj. ona je refleksivna, simetrična i tranzitivna: za sve formule A, B, C važi

16 Glava 1. Iskazna logika A A, ako A B onda B A, ako A B i B C onda A C. U sledećoj teoremi smo naveli najpoznatije logički ekvivalencije. Teorema 1.5 Neka su A, B i C proizvoljne formule. Tada važi: 1. A A A Idempotentnost konjunkcije 2. A A A Idempotentnost disjunkcije 3. A B B A Komutativnost konjunkcije 4. A B B A Komutativnost disjunkcije 5. A B B A Komutativnost ekvivalencije 6. (A B) C A (B C) Asocijativnost konjunkcije 7. (A B) C A (B C) Asocijativnost disjunkcije 8. (A B) C A (B C) Asocijativnost ekvivalencije 9. A (A B) A Apsorpcija prema 10. A (A B) A Apsorpcija prema 11. A (B C) (A B) (A C) Distributivnost prema 12. A (B C) (A B) (A C) Distributivnost prema U sledećoj teoremi su prikazane veze izmed u logičkih operacija, koje ćemo u daljem vrlo često koristiti: Teorema 1.6 Za proizvoljne iskazne formule A i B važi: A B A B A B (A B) A B A B A B (A B) A B ( A B) A B ( A B) A B (A B) (B A) A B ( A B) ( B A) Dokaz. Direktnom proverom. Jedan od veoma često korišćenih tehnika u logici iskaza je tzv. ekvivalencijska transformacija formula. Neformalno rečeno, to je postupak kada se od jedne formule konstruiše lanac ekvivalentnih formula, tako da se u svakom koraku iskoristi Teorema 1.4 ili se neka potformula zameni njoj ekvivalentnom formulom.

1.5. Tautologije, logička ekvivalencija 17 Definicija 1.8 Neka je F neka formula. Skup potformula formule F definišemo kao najmanji skup formula koji zadovoljava sledeća dva uslova: svaka formula je sama sebi potformula; ako je F jednaka nekoj od formula A B, A B, A B, A B, onda je svaka od podformula formula A i svaka potformula formule B ujedno i potformula od F ; ako je F = A, onda je svaka potformula formule A ujedno i potformula od F. Rezultat zamene svih pojavljivanja potformule C u formuli A iskaznom formulom D obeležavamo sa A[C D] (ovaj pojam se može definisati i formalnije, indukcijom po složenosti formula). Sada možemo dokazati sledeću teoremu: Teorema 1.7 Neka je A neka formula i C njena potformula. neka formula tako da je C D tada je A A[C D]. Ako je D Prilikom logičkih transformacija formula pokazalo se korisnim da uvedemo posebnu oznaku za dve logičke konstante - jednu koja će uvek biti interpretirana kao, i druga koja će uvek biti interpretirana sa. Kada bismo se trudili da po svaku cenu izbegnemo moguću konfuziju, te dve logičke konstante bismo trebali označiti potpuno novim simbolima, recimo kao i, ili true i false. No, mi ćemo ih, radi jednostavnosti, označiti kao i njihove interpretacije, tj. kao i. Definicija 1.9 Proširena azbuka iskazne logike L se dobija dodavanjem dva simbola logičkih konstanti i standardnoj azbuci L. Skup iskaznih formula F orm je najmanji skup reči nad azbukom L tako da važi: 1. Sva iskazna slova i simboli logičkih konstanti i su iskazne formule; 2. Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeći izrazi: (A B), (A B), (A B), (A B), ( A) Valuacija τ odnosno odgovarajuća interpretacija v τ iskaznih formula na proširenoj azbuci se definiše na isti način kao na standardnoj azbuci, s tim da za svaku valuaciju τ važi da je v τ ( ) = i v τ ( ) =.

18 Glava 1. Iskazna logika Ovako dobijen jezik nazivamo prošireni jezik iskazne logike. Na proširenom jeziku iskazne logike možemo navesti još nekoliko važnih logičkih ekvivalencija. Teorema 1.8 Neka su A, B, C iskazne formule na proširenom jeziku iskazne logike. Tada važi: A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A Dokaz. Direktnom proverom. U daljem tekstu, ako ne kažemo drugačije, radićemo na proširenom jeziku iskazne logike. 1.6 Normalne forme i baze iskazne algebre Videli smo u Sekciji 4. da svaka iskazna formula A = A(p 1,..., p n ) na prirodan način indukuje jednu n-arnu istinitosnu funkciju f A = f A (x 1,..., x n ). Naime, za sve a 1,..., a n {, }, f A (a 1,..., a n ) je interpretacija (vrednost) formule A u valuaciji τ u kojoj je τ(p i ) = a i, za sve i {1, 2,..., n}. Prirodno je postaviti pitanje, da li važi obrat, tj. da li je svaka istinitosna funkcija indukovana nekom iskaznom formulom? Naravno, ako neka istinitosna funkcija ima stalno ima vrednost, onda je indukuje bilo koja tautologija, recimo p p. Slično, ako funkcija f ima stalno vrednost, onda je indukuje bilo koja kontradikcija. No, odgovor je pozitivan i u opštem slučaju: za proizvoljnu istinitosnu funkciju postoji formula koja je indukuje. Pre nego što dokažemo teoremu iz koje će slediti ovo tvrd enje, pogledajmo sledeći primer: Primer 1.4 Neka je istinitosna funkcija f = f(p, q, r) zadata svojom tablicom na sledeći način:

1.6. Normalne forme i baze iskazne algebre 19 p q r f Posmatrajmo one redove (vrste) tablice u kojima funkcija f ima vrednost, i pokušajmo da konstruišemo formulu A f koja će imati vrednost tačno za te četiri valuacije. Formula p q r je tačna samo u jednom slučaju: kada je τ(p) = τ(q) = τ(r) =, i to odgovara prvoj vrsti tablice. Dalje, posmatrajmo četvrtu vrstu: formula koja je jedino tačna za tu kombinaciju vrednosti iskaznih slova p, q, r jeste p q r. Šesta vrsta takod e daje tačnu vrednost, što postižemo formulom p q r, dok poslednjoj vrsti odgovara formula p q r. Formulu koja će biti tačna ako i samo ako nastupi jedna od prethodna četiri sučaja dobijamo tako što napravimo disjunkciju prethodne četiri formule: (p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r). Teorema 1.9 (Disjunktivna normalna forma) Neka istinitosna funkcija f : {, } n {, } nije kontradikcija (tj. nema stalno vrednost ). Tada za sve x 1,..., x n {, } važi: f(x 1,..., x n ) = {x 1 a 1 x n a n : a 1,..., a n {, } n, f(a 1,..., a n ) = } gde je x i znači x i, a x i znači x i. Dokaz. Prvo primetimo da za a, b {, } važi a b = akko je a = b. Prema tome konjunkt x a 1 1 x a n n ima vrednost akko za sve i {1, 2,..., n} važi x i = a i. Ako je f(b 1,..., b n ) =, onda će se sa desne b strane pojaviti konjunkt b 1 b 1 b n n, pa će cela desna strana imati vrednost. U suprotnom, ako je f(b 1,..., b n ) =, onda će sa desne strane a u svakom konjunktu b 1 a 1 b n n biti makar jedan i takav da je b i a i, pa će svaki konjunkt imati vrednost. Na dualan način dobijamo sledeću teoremu: Teorema 1.10 (Konjunktivna normalna forma) Neka istinitosna funkcija f : {, } n {, } nije tautologija (tj. nema stalno vrednost ). Tada

20 Glava 1. Iskazna logika za sve x 1,..., x n {, } važi: f(x 1,..., x n ) = {x 1 a 1 x n a n : a 1,..., a n {, } n, f(a 1,..., a n ) = } gde je x i znači x i, a x i znači x i. Dokaz. Dualno od dokaza prethodne teoreme. Kao posledicu bilo koje od prethodne dve teoreme, kao i Teoreme 6: Teorema 1.11 Za svaku iskaznu formulu A postoji njoj ekvivalentna iskazna formula B, koja od logičkih veznika ima samo:,,,,,,,,. Kažemo da su skupovi {,, }, {, }, {, }, {, } potpuni skupovi logičkih operacija, ili da čine bazu iskazne algebre I. U opštem slučaju, pojam potpunog skupa funkcija (ili baze) se može definisati za proizvoljan skup operacija na nekom skupu X: to je takav skup operacija na X da se njihovom kompozicijom može dobiti bilo koja operacija tog skupa. Precizna definicija ovog pojma uključuje (prilično tehničke) definicije pojma kompozicije operacija različite arnosti kao i pojma kompozicije. No, pošto ćemo mi raditi uglavnom sa unarnim i binarnim operacijama, za koje je jasno šta je njihova kompozicija, možemo prihvatiti sledeću definiciju: Definicija 1.10 Neka je F neki skupo istinitosnih funkcija. Kažemo da je F baza iskazne algebre I ako se svaka istinitosna funkcija može dobiti kompozicijom funkcija iz skupa F. Lako je videti da ni jedna od fundamentalnih operacija iskazne algebre,,, ne čini sama za sebe bazu. Postoje tačno dve binarne operacije na skupu {, } koje, svaka za sebe, čine bazu:

1.7. Modeli i teorije 21 Definicija 1.11 Shefferova operacija (ili operacija nand), u oznaci je binarna operacija skupa {, } koja se definiše sa p q := (p q). Lukasiewiczeva operacija (ili operacija nor), u oznaci je binarna operacija skupa {, } koja se definiše sa p q := (p q). Teorema 1.12 Jedine binarne operacije skupa {, } koje, svaka za sebe, čine jednoelementnu bazu iskazne algebre jesu Shefferova operacije odnosno Lukasiewiczeva operacija. Dokaz. Prvo, dokazimo da se pomoću operacija odnosno mogu izraziti operacije,, : p p p p p p p q (p q) (p q) p q (p q) (p q) p q (p p) (q q) p q (p p) (q q) Neka je sada f = f(p, q) neka binarna operacija skupa {, }, pomoću koje možemo izraziti sve ostale operacije, pa specijalno i operaciju negacije. Onda mora f(, ) = i f(, ) =. Ostaje još da se odredi vrednost od f(, ) i f(, ). Od četiri mogućnosti dve će dati baš operacije odnosno, a preostale dve daju unarne operacije, pomoću kojih se ne bi mogla izraziti ni jedna operacija arnosti veće od 1. 1.7 Modeli i teorije Definicija 1.12 Neka je τ neka valuacija i F neka formula. Kažemo da je τ model formule F (ili da formula F važi na τ, ili da τ zadovoljava F ) ako je vrednost formule F u toj valuaciji tačna tj. ako je v τ (F ) =. Skup svih modela (tj. skup svih valuacija) obeležavamo sa Mod. Kako je tehnički jednostavnije je raditi sa skupovima iskaznih slova umesto sa valuacijama (tj. preslikavanjima), valuacije ćemo obeležavati navod enjem skupa iskaznih slova τ = {p S : τ(p) = } koja u toj valuaciji imaju vrednost, i to u uglastim zagradama. Tako, recimo, oznaka [p 1, p 3, p 8, p 2 ] je drugi zapis valuacije τ u kojoj je τ(p i ) = akko i {1, 3, 8, 2}.

22 Glava 1. Iskazna logika Primer 1.5 Po definicij, recimo, [p 1, p 5, p 2 ] = p 2 p 1 p 7 p 5, [p 4 ] = p 2. Ako je A tautologija, ona važi na svakom modelu. Kontradikcija ne važi ni na jednom modelu. Teorema 1.13 Neka je τ Mod, p S, F, G F orm. Tada važi: τ = p akko p τ, τ = F G akko τ = F i τ = G, τ = F G akko τ = F ili τ = G, τ = F G akko (iz τ = F sledi τ = G), τ = F G akko (τ = F akko τ = G), τ = F akko nije τ = F. Dokaz. Sledi po definiciji modela. Definicija 1.13 1. Neka je τ Mod i Σ F orm. Tada kažemo da je τ model skupa formula Σ, i pišemo τ = Σ, ako je τ model svake formule iz Σ. 2. Neka je K Mod i F F orm. Tada kažemo da F važi na skupu modela K, i pišemo K = F, ako formula F važi na svakom modelu iz skupa K. 3. Neka je K Mod i Σ F orm. Kažemo da na klasi K važi skup formula Σ, i pišemo K = Σ, ako na K važi svaka formula F iz Σ. 4. Neka je Σ F orm. Tada je klasa modela odred ena sa Σ skup M od(σ) definisan sa Mod(Σ) = {τ Mod : τ = Σ}. 5. Neka je K Mod. Tada je teorija klase K skup formula T h(k) odred en sa T h(k) = {F F orm : K = F }. Primer 1.6 Ako skup formula Σ sadrži neku kontradikciju, onda je Mod(Σ) =. Obrnuto, ako su sve formule u Σ tautologije, onda je Mod(Σ) = Mod.

1.7. Modeli i teorije 23 Preslikavanja M od i T h imaju izuzetnu važnost u matematici uopšte. Vrlo često, probleme u matematici možemo svrstati u jednu od sledeće četiri klase: data je neka klasa struktura K, i zadatak je opisati osobine tih struktura (tj. naći teoriju te klase); dat je neki skup osobina (tj. neki skup formula Σ na nekom jeziku), i pitamo se kako izgledaju strukture koje su odred ene tim aksiomama (dakle, kako izgleda M od(σ). ako je data neka klasa struktura K, pitamo se da li postoji skup formula Σ tako da je Mod(Σ) = K (aksiomatizacija klase K), ako je dat neki skup formula Σ, pitamo se da li postoji klasa struktura K tako da je T h(k) = Σ. Definicija 1.14 Za model (valuaciju) τ kažemo da je konačan ako je skup τ = {p S : τ(p) = } konačan. Za dva modela α i β kažemo da su disjunktni ako ne postoji p S tako da je α(p) = β(p) =, tj. ako su skupovi α i β disjunktni. Primer 1.7 Neka je α neki konačan model. Konstruisati skup formula Σ tako da je Mod(Σ) = {α}... Primer 1.8 Data su dva konačna disjunktna modela α i β. Konstruisati skup formula Σ tako da je Mod(Σ) = {α, β}... U sledeće tri teoreme navodimo najvažnije osobine prelikavanja M od i T h. Kasnije ćemo videti da će iste osobine imati i preslikavanja Mod i T h koja rade i u drugim logikama, i da sve te osobine ne slede iz specifičnih osobina iskazne logike, nego da imaju šire značenje. Teorema 1.14 1. Neka su Σ 1 i Σ 2 dva skupa formula. Tada ako Σ 1 Σ 2 onda Mod(Σ 2 ) Mod(Σ 1 ). 2. Neka su K 1 i K 2 dva skupa modela. Ako je K 1 K 2 onda je T h(k 2 ) T h(k 1 ). Dokaz. Po definiciji preslikavanja M od odnosno T h.

24 Glava 1. Iskazna logika Teorema 1.15 1. Za sve Σ F orm važi Σ T h(mod(σ)). 2. Za sve K Mod važi K Mod(T h(k)). Dokaz. 1. Neka F Σ, treba dokazati da je F T h(mod(σ)), tj. Mod(Σ) = F. To znači da za sve τ Mod(Σ) treba da važi τ = F. No, ako je τ Mod(Σ) onda τ = Σ, pa kako je F Σ, sledi da τ = F. 2. Slično kao pod 1). Teorema 1.16 1. Za sve Σ F orm važi Mod(Σ) = Mod(T h(mod(σ))). 2. Za sve K Mod važi T h(k) = T h(mod(t h(k))). Dokaz. 1. Prema prethodnoj teoremi imamo da je Σ T h(mod(σ)), pa prema Teoremi 1.14 imamo Mod(Σ) Mod(T h(mod(σ))). Obrnuto, ako označimo sa K klasu M od(σ), onda prema prethodnoj teoremi imamo da je K Mod(T h(k)), tj. da je Mod(Σ) Mod(T h(mod(σ))). 2. Slično kao 1). 1.8 Logička (semantička) posledica Glavni zadatak logike je izučavanje pojma logičke posledice ili logičkog zaključivanja tj. kada iz tačnosti pretpostavki nužno sledi tačnost zaključka. Formalizacija tog pojma je pojam logičke (semantičke) posledice: Definicija 1.15 Neka je Σ neki skup formula, i F neka formula. Kažemo da je F logička (semantička) posledica skupa hipoteza Σ ako je F važi u svim modelima skupa Σ. U tom slučaju pišemo Σ = F.

1.8. Logička (semantička) posledica 25 Primer 1.9 Neka su p, q, r S. Tada {p q, r, q r} = p. Zaista, ako je za neku valuaciju τ vrednost formule r tačna, onda je zbog v τ (q r) = sledi da je τ(q) =. No, kako je po pretpostavci v τ (p q) =, sledi da je τ(p) =, što znači da je v τ ( p) =. Razmotrimo šta bi značilo da je neka formula A logička posledica praznog skupa hipoteza: po definiciji, za svaku valuaciju τ, ako je svaka formula F tačna u valuaciji τ, mora i formula A da bude tačna u toj valuaciji. No, trivijalno, implikacija ako je F onda v τ (F ) = je tačna, jer je pretpostvaka F uvek lažna. Dakle, imamo da je = A akko za sve τ,v τ (A) =, tj. akko je formula A tautologija. Oznake Umesto = A pišemo samo = A, dakle, = A znači da je A tautologija. Umesto {A 1,..., A n } = B pišemo samo A 1,..., A n = B. Slično, vitičaste zagrade možemo izostaviti i ako imamo beskonačan skup hipoteza. U sledećoj teoremi smo naveli tri važne osobine semantičke rampe =, tzv. pravila o prebacivanju preko rampe. Teorema 1.17 Neka su A, B, A 1,..., A n neke iskazne formule. Tada važi: 1. A = B akko = A B, 2. A 1,..., A n = B akko = (A 1 A n ) B, 3. A 1,..., A n = B akko A 1,..., A n 1 = A n B. Dokaz. Po definiciji logičke posledice.. Sledeća jednostavna teorema govori o jednoj suštinski važnoj osobini logičke posledice: Teorema 1.18 Neka Σ neki skup formula, B neka formula. Tada Σ = B akko skup formula Σ { B} ima model.

26 Glava 1. Iskazna logika 1.9 Semantički tabloi Metod semantičkih tabloa prvi je opisao Evert Beth, 1955. godine, a dalje ga razvio Raymond Smullyan, 1971. godine. U principu, taj metod je samo zgodno zapisano zdravorazumsko sistematično traganje za valuacijom koja zadovoljava neku formulu (ili, ekvivalentno, traganje za modelom u kome ta formula važi). Ako je recimo formula oblika B C, onda da bi ona bila tačna u nekoj valuaciji, moraju i formula B i formula C da budu tačne. U slučaju da je formula oblika B C, imamo dve mogućnosti: možda je formula B tačna, a možda je C tačna. Takod e, ako želimo da ispitamo kada je neka formula netačna, u zavisnosti od glavnog iskaznog veznika, imamo različite mogućnosti: recimo formula oblika B C je netačna samo u slučaju da je B tačna a C netačna, i tako dalje. Metod semantičkih tabloa se najčešće koristi za ispitivanje da li je data formula A tautologija i to na sledeći način: pretpostavimo da postoji valuacija u kojoj je A netačna, pa silazeći sve dublje u potformule formule A, zapisujemo kakve sve mogućnosti imamo. Ponekad ćemo imati situaciju da iz date pretpostavke zaključimo nešto o nužnoj istinitosnoj vrednosti obe (glavne) potformule, a ponekad ćemo imati grananje na dve mogućnosti. Ako iscrpimo sve mogućnosti, i nismo došli do kontradikcije, onda možemo rekonstruisati valuaciju za koju će polazna formula biti netačna, ili ćemo konstatovati da sve mogućnosti vode do kontradikcije, pa takva valuacija ne postoji (dakle, polazna formula A je tautologija). Razlika izmed u zdravorazumskog rezonovanja i metoda semantičkih tabloa je u zapisivanju: kod semantičkih tabloa ceo proces zapisujemo u obliku stabla, i na kraju rezultat čitamo tako što pogledamo kako su se grane završile - da li su ostale otvorene (onda tražena valuacija postoji) ili su se sve grane zatvorile (pa smo svuda došli do kontradikcije, i tražena valuacija ne postoji). U ovoj priči smatraćemo da su iskazne formule konstruisane nad skupom iskaznih veznika,,,. Umesto da pišemo v τ (A) = pisaćemo jednostavno A (ili (A)), a umesto v τ (A) = pišemo A (ili (A)). Izraze A i A zovemo označene formule. Za označenu formulu A kažemo da je zadovoljiva ako postoji valuacija τ takva da je v τ (A) =. Analogno, označena formula A je zadovoljiva ako postoji valuacija τ takva da je v τ (A) =. Skup označenih formula S je zadovoljiv ako postoji valuacija koja zadovoljava sve označene formule iz skupa S. Na označene formule ćemo primenjivati razna pravila: na neke formule možemo primeniti pravila tipa α, a na druge formule pravila tipa β:

1.9. Semantički tabloi 27 Pravila tipa (α) ( A) A ( A) A (A B) A B (A B) A B (A B) A B Pravila tipa (β) (A B) A B (A B) A B (A B) A B Prema tome, pravila tipa α imaju oblik α α 1 ili α α 1 α 2 dok sva pravila tipa β imaju oblik β β 1 β 2. Za označenu formulu kažemo da je tipa α ako je na nju moguće primeniti neko pravilo tipa α (i analogno za tip β). Radi lakšeg praćenja, formule tipa α obeležavamo sa α (i analogno za formule tipa β). Semantički tablo za neku označenu formulu F je ured eno stablo (tj. stablo u kome je skup sledbenika svakog čvora ured en) tako da je svakom čvoru pridružena neka označena formula, i konstruiše se iterativno na sledeći način: Korenu stabla je pridružena označena formula F. Ukoliko neka grana od korena do lista sadrži označenu formulu tipa α (odnosno β) na koju još nije primenjeno odgovarajuće pravilo (kažemo da ta označena formula nije iskorišćena), onda primenimo odgovarajuće pravilo: primena pravila tipa α α 1 na označenu formulu α u datoj grani znači da se listu te grane doda jedan čvor označen sa α 1, primena pravila tipa α α 1 α 2

28 Glava 1. Iskazna logika na formulu α u datoj grani znači dodavanje listu te grane sukcesivno (tj. jedan ispod drugog) dva nova čvora koji su označeni redom sa α 1 i α 2, β primena pravila tipa β 1 β 2 na formulu β u nekoj grani znači dodavanje listu te grane dva sledbenika, kojima pridružujemo redom označene formule β 1 i β 2, Grana koja sadrži formule oblika B i B je zatvorena, u suprotnom je otvorena Proces konstrukcije semantičkog tabloa se zaustavlja ako u njegovim otvorenim granama nema više neiskorišćenih formula. Tada kažemo da je tablo kompletiran. Kompletiran tablo je zatvoren ako su sve grane zatvorene. U suprotnom, ako postoji bar jedna otvorena grana, tablo je otvoren. Primer 1.10...trazi se dobar program kompatibilan sa LaTexom, u kome je zgodno crtati stabla... Iz same konstrukcije tabloa vidimo da za isto označenu formulu možemo konstruisati više različitih tabloa, u zavisnosti od toga kojim redosledom primenjujemo pravila α i β na neiskorišćene formule. Strategija može biti recimo da pravila nikad ne primenjujemo na označenu formulu ukoliko nisu već iskorišćene sve formule koje su u istoj grani iznad nje (tzv. sistematična konstrukcija). Druga strategija je da uvek primenjujemo α-pravila, na sve neiskorišćene formule, a tek posle β-pravila (tzv. prednost α formulama). Primer 1.11 (sistematična konstrukcija) Sistematično konstruisan tablo označene formule ((p (q r)) ((p q) (p r))) izgleda ovako:... Primer 1.12 (prednost α-formulama) Konstruišimo sada semantički tablo za označenu formulu ((p (q r)) ((p q) (p r))) davajući prednost α-formulama:... Lako je uvideti da se svaki semantički tablo kompletira posle konačno mnogo koraka: svaka označena formula koja je u korenu stabla ima konačno mnogo simbola, svaka primena α- ili β-pravila smanjuje broj simbola označene

1.9. Semantički tabloi 29 formule u novim čvorovima makar za 1, pa prema tome, posle konačno mnogo koraka stižemo do tabloa u kome više nema neiskorišćenih označenih formula. Prema tome, konstrukcija semantičkog tabloa za svaku označenu formulu se zaustavlja. Dokažimo sada sledeću teoremu: Teorema 1.19 (Saglasnost metoda semantičkih tabloa) Ako je kompletiran tablo za označenu formulu F zatvoren, onda je formula F tautologija. Dokaz. Treba dokazati da označena formula (koja je u korenu semantičkog tabloa) F nije zadovoljiva. Za granu semantičkog tabloa (koja polazi od korena) kažemo da je zadovoljiva ako postoji valuacija koja zadovoljava sve označene formule na toj grani. Lako je uvideti da primena proizvoljnog α- ili β-pravila na označenu formulu koja se nalazi u nekoj zadovoljivoj grani semantičkog taboa čuva zadovoljivost (u slučaju β-pravila makar jedan dodati čvor je zadovoljiv). S druge strane, ni jedna zatvorena grana semantičkog tabloa (tj. grana koja sadrži neke označene formule oblika B i B) nije zadovoljiva. Prema tome, ako je tablo zatvoren (znači sve grane su zatvorene), nijedna grana tabloa nije zadovoljiva, pa nije zadovoljiva ni početna označena formula F. Dakle, formula F je tautologija. Ostaje da se dokaže kompletnost metoda semantičkih tabloa: Ako je formula F tautologija, onda je svaki kompletiran tablo za označenu formulu F zatvoren. Definicija 1.16 Za skup označenih formula H kažemo da je Hintikin ako zadovoljava sledeće uslove: Ne postoji iskazna promenljiva tako da je p i p istovremeno u skupu H Skup H je zatvoren u odnosu na primenu svih α-pravila tj. za svako α-pravilo α α 1, ako α H onda i α 1 H, i za svako α-pravilo ako α H, onda α 1, α 2 H α α 1 α 2

30 Glava 1. Iskazna logika Skup H je zatvoren u odnosu na primenu svih β-pravila, tj. za svako β β-pravilo β 1 β 2, ako β H onda β 1 H ili β 2 H. Jasno, ako je tablo kompletiran, onda je skup označenih formula koje pripadaju svakoj otvorenoj grani tog tabloa Hintikin. Lema 1.1 Svaki Hintikin skup označenih formula je zadovoljiv. Dokaz. Neka je H dati Hintikin skup označenih formula. Traženu valuaciju τ u kojoj će biti tačna svaka formula iz H definišemo na sledeći način: ako je p neko iskazno slovo, onda τ(p) = akko p H. Tada se lako, indukcijom po složenosti označenih formula, dokazuje da valuacija τ zadovoljava sve oznažene formule iz skupa H. Teorema 1.20 (Kompletnost metoda semantičkih tabloa) Ako je formula F tautologija, onda je svaki kompletiran tablo za označenu formulu F zatvoren. Dokaz. Dokazaćemo kontrapoziciju: ako postoji neki kompletiran tablo za F koji je otvoren, onda formula F nije tautologija. Kako je tablo otvoren, to znači da ima bar jednu otvorenu granu, tj. granu koja ne sadrži par suprotnih označenih formula B i B. Kako je skup označenih formula koje pripadaju toj grani Hintikin, onda na osnovu prethodne leme zaključujemo da je taj skup zadovoljiv. Prema tome, zadovoljiva je i označena formula F, pa formula F nije tautologija. 1.10 Deduktivni sistemi Postoji nekoliko različitih prilaza pojmu deduktivnih sistema, no suština je uvek da su to sistemi u kojima se pojmu dokaza odnosno teoreme stiže preko preciznih, sintaktiči definisanih pravila izvod enja. Ponekad krećemo od malog broja polaznih istina (tj. aksioma), i imamo puno pravila, u nekim drugim sistemima imamo puno aksioma i samo malo pravila izvod enja. Ponekad dokaz ide ka teoremi, a opet u drugim deduktivnim sitemima dokaz kreće od teoreme tj. od onog što želimo da dokažemo. Mi ćemo se na

1.10. Deduktivni sistemi 31 ovom mestu opredeliti za Hilbertovski pristup - imaćemo više aksioma i samo jedno pravilo izvod enja. Pre nego što izložimo deduktivni sistem za iskaznun logiku, odgovarajuće pojmove ćemo definisati u opštem slučaju. Definicija 1.17 Deduktivni sistem (ili formalna teorija) je ured ena četvorka D = X, F orm, Ax, R, gde je X neprazan skup simbola, tzv. azbuka, F orm je neprazan skup nekih reči nad X, tzv. skup formula, Ax je neprazan podskup skupa F orm, tzv. aksiome, R je neprazan skup tzv. pravila izvod enja, oblika ρ = A 1,A 2,...,A n B, gde su A 1, A 2,..., A n, B neke formule. U tom slučaju kažemo da formula B sledi iz A 1, A 2,..., A n na osnovu pravila ρ. Za D kažemo da je aksiomatska formalna teorija (ili aksiomatski (deduktivni)sistem) ako postoji algoritam za odlučivanje koja formula jeste, a koja nije aksioma. Primer 1.13 Neka je X = {, }, skup formula F orm neka bude skup svih nepraznih reči nad X, Ax = {, }, i R = {α, β}, gde je α : w w β = w w, gde je w F orm. Tada je D = X, F orm, Ax, R jedan deduktivni sistem. Definicija 1.18 Neka je D = X, F orm, Ax, R neki deduktivni sistem. Dokaz (u D) je konačan niz formula A 1, A 2,..., A n takav da je u tom nizu svaka formula aksioma ili sledi iz ranijih formula u nizu na osnovu nekog pravila izvod enja iz R. U tom slučaju kažemo da je A 1, A 2,..., A n dokazni niz za A n (ili samo dokaz za A n ). Formula B je teorema u D ako postoji dokaz za B. U tom slučaju pišemo D B ili samo B. Sa Th(D) obeležavamo skup svih teorema deduktivnog sistema D. Primer 1.14 Neka je D = X, F orm, Ax, R deduktivni sistem iz Primera 1.13. Tada je recimo,,,,

32 Glava 1. Iskazna logika jedan dokazni niz. Svaka formula u tom dokaznu nizu je teorema tog deduktivnog sistema. Nije teško videti da se skup svih teorema sistema D sastoji od reči koje imaju paran broj simbola (bar dva), ili neparan broj simbola, (ali bar 3). Definicija 1.19 Za deduktivni sistem D kažemo da je odlučiv ako postoji algoritam za odlučivanje koja formula jeste, a koja nije teorema te teorije. Definicija 1.20 Neka je D = X, F orm, Ax, R neki deduktivni sistem, Σ F orm, B F orm. Kažemo da je B sintaktička posledica od Σ (ili da Σ dokazuje B) ako postoji konačan niz formula A 1, A 2,..., A n u kome je A n = B, tako da je svaka formula u tom nizu aksioma, ili iz Σ ili sledi iz ranijih formula u tom nizu po nekom pravilu izvod enja iz R. U tom slučaju kažemo da je taj niz dokazni niz za B iz Σ i pišemo Σ D B ili samo Σ B. Formule iz skupa Σ zovemo hipoteze, a za B kažemo da je zaključak. Sa Cons(Σ) obeležavamo skup svih sintaktičkih posledica od Σ. Za skup formula Σ kažemo da je deduktivno zatvoren skup ako je Cons(Σ) = Σ. Primer 1.15 Neka je D = X, F orm, Ax, R deduktivni sistem iz Primera 1.13, Σ = { }. Tada je Cons(Σ) unija skupa svih teorema Th(D) i skupa svih reči oblika gde je broj simbola neparan. Po dogovoru, umesto {A 1, A 2,..., A n } B pišemo A 1, A 2,..., A n B, a slično ako imamo beskonačan skup hipoteza. Teorema 1.21 Neka je D = X, F orm, Ax, R neki deduktivni sistem. Tada za sve Σ, Σ 1, Σ 2 F orm važi: 1. Σ Cons(Σ); 2. Ako je Σ 1 Σ 2 onda Cons(Σ 1 ) Cons(Σ 2 ); 3. Cons(Cons(Σ)) = Cons(Σ). Dokaz. Lako, po definiciji sintaktičke posledice.

1.11. Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku 33 Teorema 1.22 (Teorema kompaktnosti) Neka je D = X, F orm, Ax, R neki deduktivni sistem. Tada za sve Σ F orm i sve A F orm važi: Σ A akko postoji konačan Σ 0 Σ tako da je Σ 0 A. Dokaz. Naravno, smer ( ) je trivijalan. Obratno, neka je Σ A. Tada postoji konačan niz formula A 1, A 2,..., A n tako da je to dokazni niz za A iz Σ. Tada je {A 1, A 2,..., A n } Σ traženi konačan skup formula koji takod e dokazuje A. 1.11 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku Definicija 1.21 Iskazni račun je deduktivni sistem H = X, F orm, Ax, R, gde je X = S {,, (, )}, gde S = {p 1, p 2,..., p n,... }, F orm je skup iskaznih formula definisan nad skupom iskaznih veznika {, }, Ax = Ax 1 Ax 2 Ax 3, gde su Ax 1, Ax 2, Ax 3 skupovi formula definisani pomoću tzv. šema aksioma (dakle, A, B, C F orm): Ax 1 : A (B A) Ax 2 : (A (B C)) ((A B) (A C)) Ax 3 : ( A B) (B A) R = {MP}, (tzv. modus ponens), MP : A, A B. B Naravno, pojmovi dokaznog niza, teoreme, sintaktičke posledice su samo specijalni slučajevi odgovarajućih pojmova definisanih u slučaju bilo kog deduktivnog sistema. U daljem ćemo dokazati nekoliko najvažnijih osobina iskaznog računa H. Lema 1.2 U iskaznom računu H za sve formule A F orm važi A A.

34 Glava 1. Iskazna logika Dokaz. Korake dokaznog niza ćemo pisati vertikalno, zajedno sa rednim brojem koraka i sa obrazloženjem zašto je to legalan korak u dokazu: 1. A ((A A) A).................................... Ax 1 2. ( A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)) Ax 2 3. (A (A A)) (A A)............................ MP 1.2. 4. A (A A).......................................... Ax 1 5. A A................................................. MP 3.4. U daljem ćemo isključivo raditi u deduktivnom sistemu H, pa to nećemo posebno navoditi. Sledeća teorema će nam omogućiti da formule prebacujemo preko sintaktičke rampe : Teorema 1.23 (Teorema dedukcije) Neka je Σ F orm, A, B F orm. Tada Σ {A} B akko Σ A B. Dokaz. Smer ( ): Neka je Σ A B. Tada postoji dokazni niz za A B iz Σ: A 1, A 2..., A n = A B. Tada je sledeći niz formula dokaz za formulu B iz skupa Σ {A}: A 1, A 2..., A n 1, A B, A, B. Smer ( ): Neka je sada Σ F orm, A, B F orm, i neka je odgovarajući dokazni niz: A 1, A 2,..., A n = B. Indukcijom po n dokažimo da je Σ A B. 1. n = 1: Dokazni niz za B iz Σ {A} ima samo jednu formulu, B, pa imamo tri mogućnosti: a) B je aksioma. Tada je dokazni niz za A B iz Σ sledeći: B, B (A B), A B. b) B Σ. Tada je dokazni niz isti kao u prethodnom slučaju (samo sa drugim obrazloženjem). c) B = A. Tada je formula A B ustvari A A, a ta formula je teorema, pa sledi iz svakog skupa hipoteza.

1.11. Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku 35 2. Prepostavimo da tvrd enje važi za sve formule čiji je dokaz dužine manje od n. Neka je sada A 1, A 2,..., A n = B dokazni niz formule B iz skupa Σ {A}. Tada za B imamo više mogućnosti: a) B je aksioma. b) B Σ. c) B = A. Ova prva tri slučaja su ista kao u bazi indukcije. d) B sledi iz ranijih formula u nizu na osnovu pravila MP, recimo iz formula A i i A i B. Kako su formule A i i A i B ranije u nizu, imaju dokaze kraće od n, pa za njih važi indukcijska hipoteza. To znači da imamo Σ A A i, Σ A (A i B). Neka je B 1, B 2,..., B m dokazni niz za formulu A A i (dakle, B m = (A A i )), a C 1, C 2,..., C k dokazni niz za formulu A (A i B) (dakle, C k = (A (A i B))). Tada traženi dokazni niz za formulu A B nastaje nadovezivanjem sledećih nizova formula: B 1, B 2,..., B m 1, A A i, C 1, C 2,..., C k 1, A (A i B), (A (A i B)) ((A A i ) (A B)), (A A i ) (A B), A B. Dakle, Σ A B. U lemama koje slede, A, B, C su proizvoljne formule. Lema 1.3 A B, B C A C Dokaz. Zbog Teoreme dedukcije, dovoljno je dokazati A B, B C, A C. Dokazni niz je: 1. A B hipoteza 2. B C hipoteza 3. A..... hipoteza 4. B..... MP 1.3. 5. C..... MP 2.4.