Sisteme de ecuaţii diferenţiale

Curs 5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale 5. Sisteme normale Definiţie 5.. Se numeşte sistem normal sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi dx dt = f (t, x, x 2,..., x n ) dx 2 dt = f 2(t, x, x 2,..., x n )..................... dx n dt = f n (t, x, x 2,..., x n ). Exemplu 5.2 (Modelul pradă-prădător sau Ecuaţiile Lotka-Volterra). Acest model a fost propus iniţial în 9 de A. Lotka în studiul reacţiilor chimice, iar apoi independent a fost studiat de matematicianul V. Volterra în anii 92 în analiza statistică pe care a făcut-o a tipurilor de peşti din Marea Adriatică. Fie x(t) numărul populaţiei pradă la momentul de timp t şi y(t) numărul prădătorilor. Pentru a obţine un model cât mai simplu facem următoarele presupuneri:. în absenţa prădătorilor, populaţia pradă creşte cu rata dx/ dt = ax, a >. 2. în absenţa pradei, populaţia pradătorilor scade cu rata dy/ dt = by, b >. 3. când ambele populaţii sunt prezente, consumul pradei de către prădători duce la o scădere în x proporţională cu xy (adică pxy, p > ) şi o creştere în y proporţională cu xy (adică qxy, q > ); motivul pentru care am luat proporţionalitate cu produsul dintre x şi y este următorul: dacă oricare din populaţii se dublează, frecvenţa întâlnirilor dintre populaţii se dublează, iar dacă ambele populaţii se dublează, numărul întâlnirilor creşte de patru ori. Se obţine sistemul { x = ax pxy y = by + qxy. Definiţie 5.3. Se numeşte soluţie a sistemului normal pe intervalul I o funcţie vectorială X = (x,..., x n ) ce verifică egalităţile x i(t) = f i (t, x (t), x 2 (t),..., x n (t)), pentru orice i de la la n şi orice t I.

2 CURS 5. SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE Definiţie 5.4. Se numeşte problemă Cauchy cerinţa determinării unei soluţii a sistemului care verifică condiţii iniţiale: x i (t ) = x i,, t I, şi x i, R. Observaţie 5.5. Sistemul se poate scrie sub formă vectorială dx dt = F (t, X) cu condiţia iniţială X(t ) = X. Teoremă 5.6 (Teoremă de existenţă şi unicitate). Dacă funcţiile f i : D R sunt continue pe D = { (t, x,..., x n ) t [t a, t + a], x i [x i, b i, x i, + b i ] } şi lipschitziene în raport cu x,..., x n pe D atunci există o unică soluţie a problemei Cauchy dx dt = F (t, X) cu condiţia iniţială X(t ) = X. definită pe intervalul [t h, t +h] unde h = min(a, b i /M) cu M = max f i (t, x,..., x n ). Demonstraţie. Demonstraţia este analoagă cu cea din cazul ecuaţiilor diferenţiale de ordinul întâi. Observaţie 5.7. O ecuaţie de ordin superior x (n) = f(t, x, x,..., x (n ) ) este echivalentă cu sistemul x = x 2 x 2 = x 3... x n = x n x n = f(t, x,..., x n ). Deci teorema de existenţă şi unicitate pentru sisteme se aplică şi unei astfel de ecuaţii. 5.2 Sisteme liniare cu coeficienţi constanţi Un sistem liniar cu coeficienţi constanţi se poate scrie sub forma matriceală: dx dt = AX + F, unde A este o matrice de n n cu elemente numere reale, iar F este o matrice coloană de n, care are ca şi elemente, funcţiile f i (t). x (t) a, a,2... m,n f (t) x 2 (t) X =., A = a 2, a 2,2... a 2,n......, F = f 2 (t).. x n (t) a n, a n,2... a n,n f n (t) Dacă F =, atunci sistemul este liniar omogen. La fel ca şi la ecuaţii diferenţiale liniare, soluţia sistemului este de forma X = X o + X p, X o fiind soluţia sistemului omogen dx = MX, iar X dt p soluţia particulară. Vom prezenta în continuare două metode de rezolvare: prima, metoda eliminării succesive a funcţiilor necunoscute şi a doua, metoda vectorilor şi valorilor proprii. Vom ilustra cele două metode prin câteva exemple.

5.2. SISTEME LINIARE CU COEFICIENŢI CONSTANŢI 3 Exemplu 5.8. Să se integreze sistemul Metoda I Derivăm prima ecuaţie şi obţinem { x = x + 3y + 2e t y = 3x + y + e t + e 2t. x = x + 3y + 2e t = x + 6y + 7e t + 3e 2t. Eliminăm pe y, înmulţind prima ecuaţie a sistemului cu -2 şi adunând la relaţia obţinută anterior. Rezultă ecuaţia diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi: care are soluţia generală Din prima ecuaţie a sistemului, se obţine x 2x 8x = 3e t + 3e 2t, x = C e 4t + C 2 e 2t 3 et 2 te 2t. y = 3 (x x 2e t ) = C e 4t C 2 e 2t 2 3 et + 2 te 2t 6 e 2t. Metoda II Rezolvăm întâi sistemul omogen X = AX. Căutăm soluţia sub forma X = [ ] α e rt. (5.) β Înlocuind în sistemul de ecuaţii diferenţiale, rezultă sistemul algebric (A ri) [ ] α = O. (5.2) β Acest sistem are soluţii nebanale, dacă det(a ri) =. Soluţiile aceste ecuaţii sunt valorile proprii ale matricei A, r = 2 şi r 2 = 4. Înlocuind r = 2 în sistemul (5.2) obţinem 3α + 3β =, adică β = α. Luând α = C, rezultă vectorul propriu corespunzător şi deci soluţia corespunzătoare [ ] X = C e 2t. Pentru r = 4 sistemul (5.2) se reduce la 3α + 3β =, adică α = β. Luând α = C 2, rezultă [ ] X 2 = C 2 e 4t. Soluţia sistemului omogen este [ ] [ ] X o = X + X 2 = C e 2t + C 2 e 4t.

4 CURS 5. SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE Pentru a rezolva sistemul neomogen, descompunem pe F într-o formă convenabilă: [ ] 2e t F = e t + e 2t = [ ] 2 e t + [ ] e 2t. Soluţia particulară X p o alegem de forma X p = [ ] A e t. B Înlocuind în sistemul iniţial se obţine A = 3 şi B = 2 3. Soluţia X p 2 X p2 = [ ] At + B e 2t, Ct + D se caută de forma deoarece 2 este valoare proprie. Înlocuind în sistemul neomogen X = AX +F se obţine A =, C = şi B + D =. Putem alege B = şi D = (altfel se renotează 2 2 6 6 C := C + B şi se ajunge la aceeaşi formă a rezultatului). Soluţia generală e sistemului va fi [ ] [ ] X = X o + X p + X p2 = C e 2t + C 2 e 4t + [ ] 2 et 6 [ ] 3t e 2t. 3t + Exemplu 5.9. Să se rezolve sistemul de ecuaţii liniare Metoda I Derivând prima ecuaţie avem x = 4x y 2z y = 2x + y 2z z = x y + z. x = 4x y 2z = 4(4x y 2z) (2x + y 2z) 2(x y + z) = 2x 3y 8z. Mai derivând încă o dată se obţine x = 2x 3y 8z = 2(4x y 2z) 3(2x + y 2z) 8(x y + z) = 34x 7y 26z. Rezolvăm sistemul { { x = 4x y 2z y + 2z = 4x x x = 2x 3y 8z 3y + 8z = 2x x Înmulţim prima ecuaţie cu -3 şi adunăm la a doua. Obţinem 2z = 3x x. Înmulţim prima ecuaţie cu 4 şi scădem a doua ecuaţie. Rezultă y = 4x + x 4x. Înlocuind aceste relaţii în ecuaţia cu x avem x = 34x 7(4x + x 4x ) 3(3x x ) = 6x + 6x x. Rezultă ecuaţia liniară de ordinul 3 cu coeficienţi constanţi: x 6x + x 6x =. Ecuaţia caracteristică este r 3 6r 2 + r 6 =. Folosind schema lui Horner obţinem

5.2. SISTEME LINIARE CU COEFICIENŢI CONSTANŢI 5-6 -6-5 6 2-3 3 rădăcinile r =, r 2 = 2 şi r 3 = 3. Atunci x = C e t + C 2 e 2t + C 3 e 3t. Folosind relaţia y = 4x+x 4x rezultă y = C e t +C 3 e 3t, iar din 2z = 3x x se obţine z = C e t +C 2 e 2t. Metoda II Scriem sistemul sub formă matricială: x 4 2 x y = 2 2 y. z }{{} X } {{ } A Determinăm mai întâi valorile proprii ale matricei A Adunând a doua coloană la prima avem z }{{} X 4 r 2 2 r 2 r =. 3 r 2 2 2 3 r r 2 = (3 r) r 2 = (3 r) 2 r r λ r. Obţinem (3 r)(2 r)( r) =, cu soluţiile r =, r 2 = 2 şi r 3 = 3. Vectorul propriu corespunzător lui r se determină rezolvând sistemul α 3α β 2γ = (A r I) β = 2α 2γ = γ α β = α = γ α = β Vectorul propriu corespunzător lui r 2 se determină rezolvând sistemul α 2α β 2γ = (A r 2 I) β = 2α β 2γ = γ α β γ = β = α = γ iar vectorul propriu corespunzător valorii proprii r 3 se obţine din sistemul α α β 2γ = (A r 3 I) β = 2α 2β 2γ = γ α β 2γ = γ = α = β α β = C. γ α β = C 2. γ α β = C 3. γ Atunci x C e t + C 2 e 2t + C 3 e 3t y = C e t + C 2 e 2t + C 3 e 3t = C e t + C 3 e 3t. z C e t + C 2 e 2t

6 CURS 5. SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE Metoda III [ x Dacă x() = x, y() = y şi z() = z, notând X = y diferenţiale X = A X este unde X = e At X, e At = n= t n n! An. z ] soluţia sistemului de ecuaţii Puterea n a matricei A se calculează utilizând forma Jordan A = P JP : A n = A A A = P JP P JP P JP = P J n P. Cu această reprezentare a matricei A n avem e At = n= t n n! An = P n= Folosind calculele de la metoda II de rezolvare avem J n = 2 n. 3 n t n n! J n P = P e Jt P. Utilizând formula e z = z n n=, adevărată pentru orice z C, obţinem n! t n n= e t n! t n n= n! 2n n= e Jt = [ Notând P C ] X = C 2 obţinem C 3 e t X = P e Jt P X = P e 2t e 3t adică t n n! 3n C C 2 C 3 = x y = C e t + C 2 e 2t + C 3 e 3t. z Exemplu 5.. Să se rezolve sistemul de ecuaţii liniare x = 2x y + z y = 5x y + 4z z = 5x + y + 2z. Metoda I Derivând prima ecuaţie avem e 2t e 3t. C e t = C 2 e 2t, C 3 e 3t x = 2x y + z = 2( 2x y + z) (5x y + 4z) + (5x + y + 2z) = 4x + 4y 4z.

5.2. SISTEME LINIARE CU COEFICIENŢI CONSTANŢI 7 Rezolvăm sistemul { x = 2x y + z x = 4x + 4y 4z Înmulţim prima ecuaţie cu 4 şi adunăm la a doua. Obţinem x + 4x + 4x =. Ecuaţia caracteristică este r 2 + 4r + 4 =, care are rădăcinile r = 2, r 2 = 2. Atunci x = C e 2t + C 2 te 2t. Derivăm a doua ecuaţie a sistemului y = 5x y + 4z = 5( 2x y + z) (5x y + 4z) + 4(5x + y + 2z) = 5x + 9z. Din sistemul { y + y = 5x + 4z y = 5x + 9z rezultă 5z = y y y şi 25x = 4y + 9y + 9y. Calculăm acum y. Va rezulta y = 5x + 9z = 5( 2x y + z) + 9(5x + y + 2z) = 35x + 4y + 23z. y 2y = 25x + 4y + 5z = 4y + 9y + 9y + 4y + y y y. Obţinem ecuaţia de ordinul 3: y + y 8y 2y =. Ecuaţia caracteristică ataşată este r 3 + r 2 8r 2 =. Folosind schema lui Horner obţinem -8-2 -2 - -6-2 -3 3 rădăcinile r = 2, r 2 = 2 şi r 3 = 3. Soluţia ecuaţiei diferenţiale este y = C e 2t + C 2te 2t + C 3 e 3t. Din egalitatea 25x = 4y + 9y + 9y obţinem C = C C 2 şi C 2 = C 2. Din egalitatea 5z = y y y rezultă z = C e 2t C 2 te 2t + C 3 e 3t. Soluţia sistemului este x C e 2t + C 2 te 2t y z = C e 2t C 2 e 2t C 2 te 2t + C 3 e 3t C e 2t C 2 te 2t + C 3 e 3t Metoda II Scriem sistemul sub formă matricială: X = A X, unde 2 5 4. 5 2 Determinăm valorile proprii ale matricei A 2 r 5 r 4 5 2 r =..

8 CURS 5. SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE Scădem din linia a treia, linia a doua şi adunăm a doua coloană la a treia: 2 r 5 r 4 2 + r 2 r = 2 r 5 r 3 r 2 + r = (3 r)(2 + r)2 =. Obţinem soluţiile r = 2, r 2 = 2 şi r 3 = 3. Soluţia corespunzătoare valorii proprii duble se caută sub forma: α + α 2 t X = β + β 2 t e 2t. γ + γ 2 t Obţinem sistemele α 2 α α 2 (A r I) β 2 = şi (A r I) β = β 2 γ 2 γ γ 2 Din primul sistem notând α 2 = C 2 rezultă β 2 = γ 2 = C 2, iar din cel de-al doilea prin notarea lui α = C obţinem β = C C 2 şi γ = C. Soluţia corespunzătoare valorii proprii r 3 se se caută sub forma α X = β e 3t. γ Rezultă α = şi β = γ. Notăm cu C 3 valoarea comună a lui β şi γ. Soluţia sistemului este x y = C e 2t + C 2 e 2t t + + C 3 e 3t. z Metoda III [ x Dacă x() = x, y() = y şi z() = z, notând X = y diferenţiale X = A X este X = e At X = P e Jt P X. Folosind calculele de la metoda II de rezolvare avem 2 ( 2) n n( 2) n J = 2 şi J n = ( 2) n. 3 3 n Utilizând formula nz n n= = ze z, obţinem n! t n e Jt n= n! ( 2)n nt n n= n! ( 2)n = t n n= n! ( 2)n Notând P X = [ C ] C 2 C 3 obţinem e 2t te 2t X = e 2t e 3t C C 2 C 3 n= = z ] t n n! 3n soluţia sistemului de ecuaţii e 2t te 2t = e 2t. e 3t C e 2t + C 2 te 2t C e 2t C 2 e 2t C 2 te 2t + C 3 e 3t C e 2t C 2 te 2t + C 3 e 3t.

5.2. SISTEME LINIARE CU COEFICIENŢI CONSTANŢI 9 Exemplu 5.. Să se rezolve sistemul de ecuaţii liniare x = x + y y = 4x 2y + z z = 4x + y 2z. Scriem sistemul sub formă matricială: X = A X, unde A = 4 2. 4 2 Determinăm valorile proprii ale matricei, rezolvând ecuaţia r = 4 2 r 4 2 r = r r 4 2 r = ( + r) 4 3 r r r. Obţinem ecuaţia (r + )(r 2 + 2r + ) =, cu rădăcinile r = r 2 = r 3 =. Căutăm soluţia sub forma α + α 2 t + α 3 t 2 X = β + β 2 t + β 3 t 2 e t. γ + γ 2 t + γ 3 t 2 Rezultă β 3 = 2α 3 şi γ = 2α 3. Notăm α 3 = C 3. De asemenea rezultă β 2 = 2α 2 +2C 3 şi γ 2 = 2α 2 2C 3. Vom nota α 2 = C 2. Mai rezultă β = 2α + C 2 şi γ = 2α C 2 + 2C 3. Cu notaţia α = C obţinem soluţia sub forma x y = C e t 2 + C 2 e t t 2 + + C 3 e t t 2 2 + t 2 +. z 2 2 2 2 2 Exemplu 5.2. Să se rezolve sistemul de ecuaţii liniare x = 4x 5y + 7z y = x 4y + 9z z = 4x + 5z. Scriem sistemul sub formă matricială: X = A X, unde 4 5 7 A = 4 9. 4 5 Determinăm valorile proprii, rezolvând ecuaţia 4 r 5 7 = 4 r 9 4 5 r = 4 5 7 4 r 9 + (5 r) 4 r 5 4 r = 4( 45 + 28 + 7r) + (5 r)(r 2 6 + 5). Obţinem ecuaţia r 3 + 5r 2 7r + 3 =. Folosind schema lui Horner obţinem

CURS 5. SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE - 5-7 3-4 -3 soluţia r = şi ecuaţia r 2 + 4r 3 =, cu soluţiile r 2 = 2 + 3i şi r 3 = 2 3i. Soluţia corespunzătoare valorii proprii r se se caută sub forma α X = β e t. γ Rezultă β = 2α şi γ = α. Notăm cu C valoarea lui α. Soluţia corespunzătoare rădăcinilor complexe o căutăm sub forma α 2 X = β 2 e 2t cos 3t + β 3 e 2t sin 3t. γ 2 γ 3 Notând γ 2 = 4C 2 şi γ 3 = 4C 3 rezultă α 2 = 3C 2 3C 3, α 3 = 3C 2 + 3C 3 şi β 2 = 5C 2 3C 3, β 3 = 3C 2 + 5C 3. Soluţia este x 3 3 3 3 y = C e t 2 +C 2 e 2t cos 3t 5 + e 3t sin 3t 3 +C 3 e 2t cos 3t 3 + e 3t sin 3t 5. z 4 4 5.3 Sisteme simetrice Definiţie 5.3. Un sistem simetric este un sistem scris sub forma dx f (x,..., x n+ ) = dx 2 f 2 (x,..., x n+ ) = = dx n+ f n+ (x,..., x n+ ). Pentru rezolvarea sistemului se caută integrale prime. Definiţie 5.4. Se numeşte integrală primă o funcţie F neconstantă ce ia valori constante pe orice soluţie a sistemului, adică α 3 F (x,..., x n+ ) = C. Pentru a rezolva sistemul simetric este nevoie de determinarea a n integrale prime independente, adică F,... F n cu proprietatea că există n variabile (de exemplu x,..., x n ) astfel încât determinantul F F D(F,..., F n ) D(x,..., x n ) = x... x n F 2 F x... 2 x n......... F n F x... n să nu se anuleze. Teoretic aceasta înseamnă că din integralele prime respective se pot exprima variabilele x,..., x n în funcţie de x n+. Pentru a determina integrale prime folosim următoarele metode:. dacă două rapoarte depind doar de două necunoscute (eventual după simplificări) ele reprezintă o ecuaţie de ordinul întâi care se rezolvă; x n

5.3. SISTEME SIMETRICE 2. dacă dintr-o integrală primă se poate exprima o necunoscută în funcţie de celelalte, se ajunge uneori la cazul anterior; 3. se fac combinaţii integrabile de forma dx f = = dx n+ f n+ = g dx + + g n+ dx n+ g f + + g n+ f n+ cu proprietatea că g f + + g n+ f n+ = şi g dx + + g n+ dx n+ = dω. Va rezulta că dω = adică ω(x,..., x n+ ) = C şi astfel am obţinut o integrală primă. Exemplu 5.5. Să se rezolve sistemul dx z 2 y = dy 2 z = dz y. Ultimile două rapoarte ne arată că y dy = z dz. Integrând se obţine y 2 /2 = z 2 /2 + C. După o redenumire a constantei obţinem y 2 + z 2 = C. Aceasta este prima integrală primă. Amplificând cu z al doilea raport şi cu y al treilea raport şi adunându-le se obţine dx z dy + y dz =. z 2 y2 z 2 y 2 După simplificarea numitorului avem dx = z dy + y dz = d(z y), de unde x = zy + C 2. Am găsit şi cea de-a doua integrală primă: x yz = C 2. Exemplu 5.6. Să se integreze sistemul simetric dx y + z = dy x + z = dz x + y. Adunând toate trei rapoartele şi scăzând din primul raport celelalte rapoarte rezultă: dx y + z = dy x + z = dz x + y = dx + dy + dz 2(x + y + z) = dx dy y x dx dz = z x. Ultimile două rapoarte prin integrare ne dau x y = C (x z), iar din penultimile deducem d(x + y + z) (x + y + z) = 2d(x y) x y ln(x+y+z) = 2 ln(x y)+ln C 2 x+y+z = C 2 (x y) 2. Exemplu 5.7. Să se rezolve următorul sistem normal aducându-l sub forma simetrică { y = y(y + z) Forma simetrică a sistemului este dy y(y + z) = Din primele două rapoarte avem dy y y = zc. Înlocuind pe y obţinem dz z(y + z) = z = z(y + z). = dz z. dz z(y + z) = dx. Prin integrare ln y = ln z + ln C, adică dz z 2 (C + ) = dx. Integrând, avem z(c +) = x C 2. Rezultă a doua integrală primă x + y + z = C 2.

2 CURS 5. SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 5.4 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi Notaţie 5.8. Vom folosi notaţia z x pentru derivata parţială a funcţiei z în raport cu z x. În unele cursuri se foloseşte notaţia sau z x x în loc de z x. 5.4. Ecuaţii liniare şi omogene Definiţie 5.9. Se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul întâi liniară şi omogenă o ecuaţie de forma X (x,..., x n ) z x + X 2 (x,..., x n ) z x 2 + + X n (x,..., x n ) z x n = unde X i : D R sunt funcţii continue pe un domeniu D R n şi există i {,..., n } astfel încât X i să nu se anuleze pe D. Pentru a rezolva această ecuaţie ataşăm sistemul simetric dx X = dx 2 X 2 = = dx n X n. Putem presupune în continuare că X nu se anulează. Teoremă 5.2. Fie G : D R o integrală primă a sistemului simetric ataşat. Atunci z = G(x,..., x n ) este o soluţie a ecuaţiei cu derivate parţiale. Demonstraţie. Deoarece X, putem considera în sistemul simetric pe x ca variabilă independentă. Avem dx 2 = X 2 dx n,..., = X n. dx X dx X Pentru că G este o integrală primă a sistemului simetric ataşat atunci este verificată relaţia G(x,..., x n ) = C, unde C este o constantă. Derivând în raport cu x rezultă De aici, obţinem G x + G x 2 dx 2 dx + + G x n dx n dx =. G x + G x 2 X2 X + + G x n Xn X =, ceea ce, după o înmulţire cu X, ne arată că G este soluţie a ecuaţiei cu derivate parţiale X z x + X 2 z x 2 + + X n z x n =. Teoremă 5.2. Fie F : D R o funcţie care are derivate parţiale de ordinul întâi pe D R n şi fie G,..., G n : D R n integrale prime ale sistemului simetric ataşat. Atunci este soluţie a ecuaţiei cu derivate parţiale. z = F (G (x,..., x n ),..., G n (x,..., x n ))

5.4. ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL ÎNTÂI 3 Demonstraţie. Avem z x k = F G (G ) x k + + F G n (G n ) x k pentru orice k de la la n şi ( n n ) X k F G i (G i ) x k = k= X k z x k = k= i= n i= F G i ( n k= X k (G i ) x k ) = pentru că G i sunt integrale prime şi conform teoremei anterioare sunt şi soluţii ale ecuaţiei, adică n k= X k (G i ) x k =. Teoremă 5.22. Fie G,..., G n : D R n integrale prime independente ale sistemului simetric ataşat ecuaţiei cu derivate parţiale. Atunci orice soluţie a ecuaţiei este de forma z = F (G (x,..., x n ),..., G n (x,..., x n )). Demonstraţie. Fie z o soluţie a ecuaţiei cu derivate parţiale. Fiindcă şi G,..., G n sunt soluţii ale ecuaţiei, se obţine sistemul X z x + X 2 z x 2 + + X n z x n = X (G ) x + X 2 (G ) x 2 + + X n (G ) x n =.................................... X (G n ) x + X 2 (G n ) x 2 + + X n (G n ) x n =. Fiindcă există cel puţin o funcţie X i care nu se anulează, sistemul are soluţie nebanală. Aceasta înseamnă că determinantul său este identic nul, adică D(z, G,..., G n ) D(x, x 2,..., x n ) Aceasta înseamnă că funcţiile z, G,..., G n sunt funcţional dependente. Fiindcă integralele prime G,..., G n sunt independente, relaţia de dependenţă se poate scrie =. z = F (G, G 2,..., G n ). Exemplu 5.23. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei Avem Rezolvăm sistemul simetric (x z) u x + (y z) u y + 2z u z =. dz 2z dx x z = = dx dy x y dy y z = dz 2z. = dx + dy + 2 dz, x + y + 2z de unde 2 ln(x y) = ln z + ln C, ceea ce ne arată că (x y) 2 = zc. Prima integrală primă este (x y)2 = C z. Pe de altă parte, avem 2 ln(x + y + 2z) = ln z + ln C 2, adică (x + y + 2z) 2 = zc 2, ceea ce ne dă a doua integrală primă a sistemului: (x+y+2z)2 = C z 2. Soluţia ecuaţiei cu derivate parţiale este ( (x y) 2 u = F, z ) (x + y + 2z)2, z unde F este o funcţie oarecare ce admite derivate parţiale de ordinul întâi.

4 CURS 5. SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE Definiţie 5.24. Problema Cauchy pentru ecuaţia n X i (x,..., x n ) z x i = i= este problema determinării acelei soluţii a ecuaţiei care pentru o valoare fixată a uneia dintre variabile să spunem x i = a R se reduce la o funcţie dată z(x,..., x i, a, x i+,..., x n ) = g(x,..., x i, x x+,..., x n ). Se mai spune că se caută suprafaţa integrală z = F (x,..., x n ) care conţine curba { z = g(x,..., x i, x i+,..., x n ) x i = a. Exemplu 5.25. Să se găsească soluţia ecuaţiei x u x + y u y + xy u z = ce corespunde condiţiei u(x, y, ) = x 2 + y 2. Sistemul simetric ataşat este dx = dy = dz. Din primele două rapoarte rezultă x y xy x = yc. Ţinând cont de prima integrală primă, din ultimile două rapoarte rezultă yc dy = dz. De aici C y 2 = z + C 2 2, adică xy 2z = C 2. Pentru a afla soluţia ce corespunde condiţiei iniţiale rezolvăm sistemul x = yc xy 2z = C 2 z = u = x 2 + y 2. Avem xy = C 2 şi x = yc de unde x 2 = C C 2 şi C 2 = y 2 C. Obţinem u = C C 2 + C 2 C. Rezultă soluţia u = x y (xy 2z) + y x (xy 2z) = x2 + y 2 2z x2 + y 2. xy 5.4.2 Ecuaţii cvasiliniare Definiţie 5.26. Se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniară o ecuaţie de forma X (x,..., x n, z) z x + + X n (x,..., x n, z) z x n = X n+ (x,..., x n, z). unde X i : D R sunt funcţii continue pe un domeniu D R n+ şi există i {,..., n } astfel încât X i să nu se anuleze pe D. Teoremă 5.27. Soluţia generală a ecuaţiei cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniară este dată implicit de ecuaţia F (G (x,..., x n, z),..., G n (x,..., x n, z)) =, unde G,..., G n sunt integrale prime ale sistemului dx X = dx 2 X 2 = = dx n X n = dz X n+.

5.4. ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL ÎNTÂI 5 Proof. Căutăm soluţia în forma implicită V (x, x 2,..., x n, z) =, unde V este o funcţie ce urmează a fi determinată şi care are derivate parţiale de ordinul întâi astfel încât V z nu se anulează. Avem V x i + V z z x i =, pentru orice i de la la n. De aici x i V z z x i = V Înlocuind aceste relaţii în ecuaţia cu derivate parţiale ce trebuie rezolvată rezultă Această ecuaţie omogenă are soluţia X V x + + X n V x n + X n+ V z =. V = F (G (x,..., x n, z),..., G n (x,..., x n, z)) unde G,..., G n sunt integrale prime ale sistemului simetric ataşat dx X = dx 2 X 2. = = dx n X n = dz X n+. Aşadar soluţia ecuaţiei cu derivate parţiale cvasiliniară este dată în formă implicită de F (G (x,..., x n, z),..., G n (x,..., x n, z)) =. Exemplu 5.28. Să se integreze x z x + (xz + y) z y = z. Să se scrie soluţia generală a ecuaţiei şi apoi suprafaţa integrală ce se sprijină pe curba x + y = 2z, xz =. Ataşăm sistemul simetric dx x = dy xz + y = dz z. Din primul şi ultimul raport deducem că ln x = ln z +ln C, adică x = C z. Din egalitatea dz z dx dy+x dz = rezultă ln z = ln(xz y) C z xz y 2. A doua integrală primă este xz y = C z 2. Soluţia generală a ecuaţiei este dată în forma implicită de ecuaţia suprafeţei ( x F z, xz y ) =. z Pentru a determina suprafaţa ce se sprijină pe curba x + y = 2z, xz = rezolvăm sistemul x = zc xz y = zc 2 x + y = 2z xz =. Din a doua şi a treia relaţie xz+x = zc 2 +2z şi înlocuind şi prima egalitate şi simplificând cu z rezultă x = C 2 C + 2. Din prima şi ultima relaţie obţinem x 2 = C. Va rezulta că (C 2 C + 2) 2 = C. Ecuaţia suprafeţei căutate este ( xz y x ) 2 z z + 2 = x z (xz x y + 2z)2 = xz.

6 CURS 5. SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 5.5 Bibliografie. I. Crivei, Matematici speciale, Editura Fundaţiei pentru Studii Europene, Cluj-Napoca, 26. 2. S. Toader, G. Toader, Matematici speciale, vol, U. T. Press, Cluj-Napoca, 29. 3. C. H. Edwards, D. E. Penney, Elementary differential equations, Pearson, 6 edition, 27.