Fiic cutic pte dou 4. Aplictii le ecutiei lui Scodige 4. Gop de potetil cu peeti ifiiti (ipeetbili) Gop de poteţil uidiesiolă Gop de poteţil e fo di figu şi este descisă de elţi: petu << U() (4.) î est U() Fig. Aşd pticul se işcă libe î iteioul gopii, d u pote ieşi fă di e (cul electoilo libei î etle). Soluţi ecuţiei Scödige v fi scisă petu egiue di iteioul gopii, deoece pticul u se pote fl î iteioul gopii, deci: d Ψ Ψ (4.) d Notâd: (4.) elţi () devie: d Ψ Ψ (4.4) d
şi e soluţi: Ψ Asi ( ) (4.5) Costtele şi se obţi di codiţiile l liită: Ψ() şi Ψ() deci: Asi, eultâd şi Asi, de ude se obţie: (4.6) Cuoscâd se obţi iedit vloile eegiei pticulei pe b elţiei () (4.7) Aşd codiţiile stdd le pobleei sut stisfăcute do petu u şi discet de vloi le eegiei. Ste î ce pticul e ce i ică vloe se ueşte ste fudetlă, i tote celellte stăi sut stăi ecitte. Se pote ăt că spectul cutic este pus î evideţă tuci câd pticul cutică se flă ît-o gopă de diesiui cutice, î cul î ce pticul se flă ît-o gopă de diesiui clsice copote cutică efiid sesibilă. Astfel î cul uui electo ( 9, g) flt ît-o gopă de lăţie clsică (c), eegi stăii este: 5 ev i distţ dite două uvele succesive este: 5 ( ) [ev] (4.8) cest itevl eegetic fiid ete de ic, cee ce fce să se cosidee că pticul se copotă c î cul clsic (spectul eegetic fiid cotiuu). Dcă îsă se cosideă că electoul se flă ît-o gopă de diesiui cutice (A ), tuci se obţie: ( ) [ev] (4.9) cest fiid o difeeţă sesibilă, cee ce îseă că eegi este cutifictă. Fucţi de udă socită pticulei dtă de elţi (5) pote fi coplet deteită utiliâd codiţi de oe: * Ψ Ψd (4.) su A si d (4.) de ude eultă A Îcât î fucţiile popii socite vloilo popii le eegiei vo fi Ψ si (4.)
Dcă di puct de vedee clsic o pticulă se pote fl cu eglă pobbilitte î oice puct l gopii, î cul cutic, pobbilităţile de găsi ît-u puct l gopii este dtă de Ψ ( ). I figu este epeettă ( ) Ψ petu diefeite vloi le lui. Se vede că î ste fudetlă pobbilitte de fl pticul î popiee peetelui este ulă î tip ce î cetul gopii pobbilitte este iă. Se obsevă de seee că odtă cu ceştee uăului cutic iele cubei se popie, stfel îcât l vloi fote i le lui se obţie o eptiţie ielo ce coespude stăii coscopice (pobbilitte de găsi pticul pe ivelul eegetic fiid pctic ceeşi petu oice poiţie). Fig. Ste eegetic cu ( ) t c pobbilitte de gsi pticul i vecitte ijlocului gopii este i, i pobbilitte de gsi lg peeti este ul. Acest eultt dife de cel obtiut petu o pticul coscopic. O seee pticul o pute gsi cu egl pobbilitte i oice loc l gopii, ict petu pticul coscopic cub desittii de pobbilitte v fi plele cu o. Figu t c pi ie eegiei pticulei (cestee uului cutic ) iele cubei se stbilesc tot i pope uele de ltele, ict petu vloi fote i le uului cutic se obtie o eptitie ce coespude pticulei coscopice. Aici, c si i tote cuile, picipiul de coespodet este stisfcut (cd ), eulttele ecicii sut celesi c si i ecic clsic. Cosidee sisteului cutic cel i siplu (pticul i gop de potetil cu peeti ifiiti) coduce l utoele cocluii, ce u u ccte geel : ) eegi icopticulei ce se isc it-o gop de potetil, pote s i ui o seie discet de vloi; ) ci petu ste ol ( ) pticul u se gsete i ste de epus totl (eegie cietic eul); ) ccteul discet l eegiei ivelelo este i evidet petu copui cu se ici si petu diesiui ici le doeiului i ce e loc isce;
4 4) petu vloi fote i le uului cutic eltiile di ecic cutic, tec i eltiile fiicii clsice (cul pticul l picipiului de coespodet). 4.. Gop de potetil tidiesiol. Degeee Coside cul uei pticule este icise it-o gop de potetil de fo uei cutii plelipipedice de diesiuile, b, c i ce potetilul e fo : doeiului petu estul c b petu U < < < < < < ),, ( cuti Scödige tepol, scis petu iteioul cutiei, ude eegi potetil este ul e fo : (4.) Coditiile l liit, sut : c b ; li ; li ; li (4.4) deoece pobbilitte c pticul s se fle pe peetii icitei este ul. Folosi etod sepii vibilelo i ecuti si scie fucti de ud sub fo: ) ( ) ( ) ( ),, ( Di ecuti () se obtie: (4.5)
5 su ( ) (4.6) ude Se obti ecutiile: d d d d d d Not ; ; Solutiile ecutiilo teioe, devi : c F b D C B A < < < < < < ; cos si ) ( ; cos si ) ( ; cos si ) ( D si iplic C si D iplic A si B iplic si () si () si () Pud celellte coditii l liit
6,,... ; si ) (,,... ; si ) (,,... ; si ) ( c c c b b C b A (4.7) Cofo ottiilo (4.6) si folosid eltiile (4.7) se obtie ; c si b (4.8) i eegi totl, cofo eltiilo (4.5) si (4.8) este c b (4.9) cu...,,,,, c A b A A si ) ( si ) ( si ) ( ict c b AC si si si (4.) Di coditi de oe ddd se obtie vloe costtei AC si si si d c d b C d A c b Su pi itege bc AC 8 Fo fuctiilo de ud otoote, sut
7 c b bc si si si 8 ),, ( (4.) Cocluii : ) Se obsev c ce i ic vloe eegiei u pote fi ul (... ). b) Dc potul lugiilo cel puti dou ltui este u u tiol, tote ivelele eegetice sut edegeete. c) Dc b c pe degeee, dic uei vloi popii eegiei ii coespud i ulte fuctii popii. I cul degeeii, vloile popii si fuctiile popii sut : ) ( c b / si si si Degeee se pote ui uso pe tbelul II si si si 6 si si si si si si si si si 4
9 si si si...... Nivelul eegetic cel i de jos ( ) u este degeet, el coespude uei sigue fuctii de ud ( ). Nivelele utoe u gdul de degeee tei ; cci fiecui ivel ii coespude tei fuctii de ud difeite. Petu vloi i le ueelo,,, difeet eegetic dite dou ivele vecie devie fote ic, ft de vloile eegiei cesto ivele, cci 5. Bie de poteţil 5. Bie de poteţil de lugie fiită (Tept de poteţil) Î cul geel, pi bieă de poteţil, se îţelege u doeiu de sepţie eistet îte lte două doeii, câpul de foţe ce cţioeă sup uei pticule cutice fiid defiit î doeii difeite. I cul î ce pticul cutică se deplseă ît-u doeiu l căui poteţil viă după lege: petu < U() (5.) U petu Ave de- fce cu o teptă de poteţil. Atât di puct de vedee clsic cât şi cutic se pot coside două situţii dcă se ţie se de ăie eegiei totle pticulei () î pot cu ăie eegiei bieei (U ). Asfel dcă > U, î cul clsic, pticul v pătude î ediul l doile, icşoâdu-şi vite deoece o pte di eegi s este tsfotă î eegie poteţilă câpului de foţe pe ce îl îtâleşte. Tot î cul clsic, o pticulă ce îtâleşte o bieă căei eegie poteţilă depăşeşte eegi pticulei u v pătude î iteioul bieei, îtucât cest lucu pesupue c pticul să ibe o eegie cietică egtivă, cee ce u este posibil. Ali uei pticule ce se copotă cutic î celed două situţii de i sus duce l cu totul lte eultte. De cee vo li cele două situţii: ) Cul > U. Se scie ecuţi Scödige petu cele două egiui. Vo ve: d Ψ Ψ (5.) d 8
d Ψ d ( U ) Ψ ( ) (5.) Notâd şi ( ) U (5.4) ecuţiile (5.) şi (5.) devi d Ψ d d Ψ d Ψ Ψ (5.5) (5.6) Soluţiile cesto ecuţii sut: Ψ A ep( i) B ep( i) (5.7) Ψ A ep( i ) B ep( i ) (5.8) ude şi sut ueele de udă socite pticulelo î cele două egiui. Î elţi (5.7) teeul A ep( i) epeită ud de Boglie icidetă de plitudie A, i B ep( i) este ud de Boglie eflecttă de bieă. Teeul A ep( i ) di (5.8) epeită ud de Boglie ce se deplseă î diecţi -ilo poitivi. Teeul B ep( i ) u e seificţie fiică, deoec el este de fo uei ude eflectte, ce îsă upote eist îtucât î egiue II u i eistă discotiuitte de poteţil. Deci î ediul II fucţi socită udei e fo: Ψ A ep( i ) (5.9) Î cotiue vo scie codiţiile l giţă () petu fucţie şi pi deivtă. U() U() U U Fig. Fig. 9
deci: Ψ ( dψ d ) Ψ ( ) (5.) dψ d (5.) A B A (5.) i A i B i (5.) A Di sisteul fot di ecuţiile (5.) şi (5.) eultă: şi A B A (5.4) (5.5) A stfel îcât fucţiile de udă se sciu cu: Ψ A ep( i) A ep( i) (5.6) Ψ A ep( i) (5.7) Difeeţ dite cul cutic şi cel clsic este evidetă, î cul clsic eistâd şi o udă eflecttă î egiue I ( B ) deşi eegi pticulei este supeioă celei bieei de poteţil. Fptul cest se dtoeă copotăii odultoii pticulei cutice. Clculă î cotiue eflectţ (R) şi tsitţ (T) le bieei de poteţil. Reflectţ epeită pobbilitte c pticul să fie eflecttă l fotie dite cele două doeii, fiid dtă de potul dite desitte fluului de pticule eflectte J şi desitte fluului de pticule icidete J i. Tsitţ T epeită pobbilitte c pticulele să tecă î ediul II şi este eglă cu potul dite desitte fluului de pticule tsise şi desitte fluului de pticule icidete. Deci: J R (5.8) J i i Jt T (5.9) J ude desităţile sut dte de elţii de fo: i * * J ( Ψ Ψ Ψ Ψ) (5.) I cul pticulei libee (pticul icidetă) vo ve:
( ) Ψ Ψ p t i ep (5.) ( ) Ψ Ψ p t i ep * * (5.) Pi itoducee elţiilo () şi () î () se obţie: * ΨΨ p J (5.) ude * Ψ ΨΨ (5.4) Ţiâd se de elţiile (5.) şi (5.4) se obţi uşo epesiile desităţilo fluuilo de pticule: A p J i i i Ψ (5.5) B p J Ψ (5.6) ) ( A U p J t t t Ψ (5.7) Utiliâd elţiile (5.5) (5.7)obţie epesiile eflectţei şi tsitţei: A B J J R i (5.8) ( ) 4 U A A U J J T i t (5. 9) Îlocuid costtele şi î epesiile (5.8) şi (5. 9) se obţie: U U R (5.) şi ( ) ) ( 4 U U T (5.) Clculele tă că petu cul >U pobbilitte efleiei este ică, cescâd pid cu scădee lui, stfel îcât petu U pobbilite efleiei este %. Î epeieţe efectute cu electoi u se obsevă o stfel de efleie petu otivul că l fotieă poteţilul u viă busc ci pe o egiue de diesiui coscopice.
b) Cul <U Î cele două egiui ecuţi Scödige se scie: d Ψ Ψ, < d (5.) şi d Ψ ( U ) Ψ, d (5.) Făcâd otţiile: ( U ) şi, soluţiile vo fi: Ψ ( ) A ep( i) B ep( i) (5.4) Ψ ( ) A ep( i ) B ep( ) (5.5) Î elţi (5) se vede că petu cul câd, ficţi este ăgiită do dcă A. Deci Ψ ( ) B ep( ) (5.6) Codiţiile de cotiuitte l fotieă se sciu pe b elţiilo (), () A B B (5.7) i ( A B ) B 5.8) Di elţiile (7) şi (8) eultă A B i (5.9) B B i (5.4) Reflectţ bieei v fi R J J i tsitţ: i B A B 4 B 4 i i i i (5.4) T. (5.4) Pobbilitte c pticul să pătudă î egiue > este ude: P Ψ () (5.4) ( U ) Ψ ( ) B ep( ) B ep (5.44)
Deci: P II B ep ( U ) (5.45) Se obsevă că deşi eflectţ este ulă, pticulele pătud pe o distţă ică î doeiul II, după ce e loc o efleie totlă şi se îtoc î ediul I. Î figu este ilusttă setic evoluţi pticulei petu cele două cui discutte i sus. >U U <U Fig. Se obsevă că î cul câd >U, plitudie udei este i e î egiue î ce vite pticulei este i ică. 5. Pătudee uei pticule pit-o bieă de poteţil (fectul tuel) Cosideă o bieă de poteţil de îălţie U şi de lăţie l şi o pticulă cu eegi ce se işcă î egiue I spe bieă (fig. 4).
U() II II III l Fig. 4 Potivit legilo ecicii clsice copote pticulei este uătoe: ) dcă >U, pticul tece peste bieă, î egiue bieei vâd o viteă i ică decât î est. b) Dcă <U pticul v fi eflecttde bieă, făă tece pi cest. Copote pticulei î cul cutic se pote stbili pi deteie fucţiilo de udă socite cestei, fucţii cu jutoul căo se pote detei tsitţ bieei T. Aliă situţi î ce <U. cuţi Scödige î cele tei egiui se scie: d Ψ d Ψ (5. 46) petu egiuile I şi III şi: d Ψ d ( U ) Ψ (5. 47) petu egiue II. Vo ot: ( U ). şi Scie soluţiile ecuţiilo (46) şi (47) Ψ A ep( i) B ep( i) (5. 48) Ψ A ep( ) B ep( ) (5. 49) 4
Ψ A ep( i) B ep( i) 5. 5) Deoece î egiue III, u eistă veo discotiuitte de poteţil, u eistă udă eflecttă stfel îcât pue B. Codiţiile de cotiuitte fucţiilo şi pielo deivte l giţă sut ( Ψ ) ( Ψ ) ( Ψ ) ( ) l l (5.5) Ψ (5.5) dψ dψ d d (5.5) dψ dψ d d (5.54) l l su: A B A B (5.55) A ep( l) B ep( l) A ep( il) (5.56) ia ib A B (5.57) A ep( l) B ep( l) i A ep( il) (5.58) Îpăţi ecuţiile pi A şi itoduce otţiile: B b, A A, A A, A U. cuţiile (55) (58) se sciu cu stfel: b b (5.59) ep( l) b ep( l) ep( il) (5. 6) i ib b (5.6) ep( l) b ep( l) i ep( il) (5.6) Clculă tsitţ bieei dtă de: A T (5.6) A ce deteiă pobbilitte c pticul să pătudă pi bieă. Îulţi ecuţi (5.59) cu i, o duă cu elţi (5.6) şi obţie: i ( i) b (5.64) ( i) Îulţi ecuţi (5.6) cu i şi o scăde di (5.6): 5
( i) ep( l) ( i) ep( l) b (5.65) Di sisteul fot cu ecuţiile (5.64) şi (5.65) obţie: b i( i) ep( l) ( i) ep( l) ( i) ep( l) i( i) ep( l) ( i) ep( l) ( i) ep( l) (5.66) (5.67) Itoducâd vlotile lui şi b î elţi (5.6), obţie epesi lui : 4i (5.68) ( i) ep( l) ( i) ep( l) Recă fptul că, ăie: l ( U ) l este ult i e decât uitte, cee ce fce c teeul ce coţie ep( l ) de l uito să potă fi eglijt, ţiâd se şi de fptul că ueele coplee (i) şi (-i) u ceeşi ăie. Noi pute pesupue stfel că: 4i ep( il) ep( ) (5.69) ( i) l ude i. Tsitţ dtă de elţi (6) se v scie cu: 6 T ep( l) (5.7) ( ) ude U U 6 pesi este de odiul de âie l uităţii (e e u i egl cu 4 ( ) petu ). Se pote coside cu buă poiţie că: 6
T ep( l) ep ( U ) l (5.7) Di epesi (5.7) se vede că pobbilitte c o pticulă să stă btă o bieă de poteţil depide de lăţie bieei l, de s pticulei şi de difeeţ U -. Astfel tsitţ scde ete de pid cu ceştee sei pticulei şi difeeţei U -, d i les cu ceştee lăţiii l bieei. Relţi (5. 7) se i scie: T T ep ( U ) l (5.7) ude T este o costtă. Aliâd copote uei pticule cutice ( 4 g) ce tebuie să tecă pit-o bieă de lăţie coscopică (l c) se juge l o vloe lui T de ~ -, cee ce îseă că l scă coscopică pobbilitte de tecee pi efect tuel este fote ică. Î cul studieii copotăii uei pticule cutice cu >U se juge l eisteţ uei efleii, lucu ce u se poduce î cul clsic. Petu cul uei biee de poteţil de o foă oece (fig. 5), clculele coduc l o epesie tsitţei de fo: T T ep ( U ) d (5.7) ude: UU(). U() Fig.5 7
Feoeul î u căui o pticulă cutică pote tece pit-o bieă de poteţil este cuoscut c efect tuel. Aş cu s- văut cest efect este u feoe specific ecicii cutice, evâd u log clsic. pi vedee s- păe că tecee pticulei î egiue <U costituie o îcălce legii cosevătii eegiei. Acest lucu u este îsă devăt dcă se ţie se de fptul că î ecic cutică eegi u pote fi îpăţită î eegie cietică şi poteţilă, îtucât elţi de icetitudie ( p ) e tă că ipulsul şi poiţi pticulei cutice u pot fi ăsute siult fote pecis, cee ce iplică iposibilitte cuoşteii siulte eegiei cietice şi eegiei poteţile. Pute spue că l b efecctului tuel se flă copote odultoie icopticuleleo. fectul tuel fost descopeit de Gov, Codo şi Gue î ul 98. Pe b lui pot fi eplicte o seie de feoee c de eeplu eisi l ece electoilo di etle, deitege α, copote putătoilo de sciă ît-o jocţiue seicoductoe. Î cotiue vo îcec să plică teoi stăpugeii bieei de poteţil î cul uei situţii fiice ele. Deitege lf 5. Aplictii ele efectului tuel Deitege lf costă î epule spotă de căte ucleele gele (A>) uo pticule cu sci poitivă eglă cu e şi vâd s ucleului de eliu 4 ( 6,64 g), uite pticule α. egi tipică uei pticule α eise de u ucleu se găseşte î itevlul 4 MeV. Atât tip cât pticul α se flă î iteioul ucleului, sup ei cţioeă foţe uclee ti. Aceste foţe u o ă de cţiue ică, cţiue lo efiid siţită î f ucleului. Î eteioul supfeţei ucleului foţ doită este foţ de espigee dite ucleul eultt î u deitegăii şi pticul α. Î figu 6 se epeită scetic eegi poteţilă î ce se flă pticul α î popiee ucleului. Aş cu se vede î iteioul ucleului foţele sut puteic tctive, i î f ucleului, l distţe i i decât R poteţilul este de tip coulobi. Recă fptul că fo ectă poteţilului u este cuoscută. 8
Regiue Regiue de espigee coulobiă fotei de de tctie R Fig. 6 Î pocesul deitegăii α-dioctive se distig două etpe, î pi etpă e loc foe pticulei α î ucleu (ît-u tip fote scut), i î ce de- dou etpă, ce e loc ît-u tip ult i lug, se poduce eisi pticulelo. Î dou etpă pticulele α tveseă bie de poteţil pi efect tuel, bie peetâd o tspeţă: R c e Ze T ep d (5.7) R 4ε ude R c este dt de itesecţi deptei ce epeită eegi pticulei cu cub ce descie poteţilul di eteioul ucleului: Ze Rc (5.74) 4ε c ude c este egi cietică pticulei. egie cietică pticulei î iteioul ucleului este ult i e decât î f cestui, deoece l păăsie ucleului de căte pticulă e loc o coseve ipulsului, ucleul peluâd o pte eegiei pticulei, stfel îcât î f ucleului pticul e eegi: e ( Z ) d (5. 75) R 9
6. Osciltoul cutic lii oic Î ecic cutică osciltoul lii oic peită o deosebită ipotţă, dcă se ţie se că vibţiile toilo î oleculele bitoice, işce ioilo î cistle ioice şi toice c şi işcăile lto pticule cutice pot fi ttte c işcăi osciltoii lii oice. U oscilto cutic pote fi siilt cu o pticulă cutică, ce efectueă ici oscilţii î juul uei poiţii de ecilibu. ste cuoscut fptul că î ecic clsică o işce osciltoie se ccteieă pi cţiue uei foţe elstice sup copului ce efectueă oscilţi. Foţ e fo: F (6.) ude epeită costt de elesticitte esotului. egi poteţilă osciltoului se obţie pi itege elţiei (6.): U Fd (6.) ste cuoscut fptul că pulsţi oscilţiei este dtă de elţi ω, îcât eegi poteţilă osciltoului clsic se i scie: ω U (6.4) pesi (6.4) epeită opetoul socit eegiei poteţile osciltoului cutic oic uidiesiol. Deteie vloilo popii le eegiei şi fucţiilo popii le osciltoului cutic se fce poid de l fo tepolă ecuţiei Scödige: d Ψ ω d Iulţid elţi (6.5) cu Ψ Ψ se obţie: ω d Ψ ω Ψ Ψ (6.6) ω d ω I elţi de i sus ott cu eegi osciltoului flt î ste, i cu Ψ, fucţi osciltoului î ceeşi ste. Se efectueă uătoele scibăi de vibile: ω şi ε ω şi elţi (6) v devei: d ( ) ( ) Ψ d Ψ ε (6.7) d d Vo plic poi succesiv fucţiei Ψ opetoii şi : d d d d d d d Ψ d Ψ (6.8) 6.5)
Copâd elţiile (7) şi (8) se juge iedit l: d d Ψ ( ε ) Ψ (6.9) d d d Pi plice opetoului vo ve: d d d d d Ψ ( ε ) Ψ (6.) d d d d Dcă se lieă elţi (6.) se obsevă că sut posibile două situţii: d ) Ψ (6.) d cee ce coduce l o vloe lui Ψ (obţiută î u itegăii) ce tide spe ifiit petu. d b) Ψ Ψ (6.) d d cest îseâd că plice opetoului, fucţiei Ψ ceă o ouă fucţie d ce s- ott cu Ψ di otive ce vo fi eplicte ultio. Itoducâd elţi (6.) î (6.) se obţie: d d d d Ψ ( ) Ψ ε (6.) Dc vo plic cei doi opetoi i odie ives vo obtie: d d d d Ψ d d Ψ (6.4) Tid se de (6.7) eult d d d Ψ ( ε ) Ψ (6.5) d Aplicd eltiei (6.4) opetoul d d vo obtie: d d d d d Ψ d d d ( ε ) Ψ
Sciid elţi (6.5) petu fucţi Ψ se obţie: d d d d Ψ ( ) Ψ ε (6.6) Copâd elţiile (6.) şi (6.6) eultă: ε ε (6.7) d Dcă se plică elţiei () opetoul se costtă că sut de seee posibile d două situţii: d ) Ψ (6.8) d cestă elţie coducâd l o fucţie ăgiită. d b) Ψ Ψ (6.9) d d cee ce îseă că pi plice opetoului se obţie o ouă fucţie. d Pi itoducee elţiei (6.7) î () eultă d Ψ ( ε ) Ψ (6.) d d Aplică elţiei (8) opetoul d d d d d Ψ ( ) Ψ ε (6.9) elţi (6.9) scisă petu fucţi Ψ - e fo: d d Ψ ( ε ) Ψ (6.) d d Copâd elţiile (6.9) şi (6.) obţie: ε ε (6.) Di elţiile (6.5) şi (6.) se tge coclui că dcă se cuoşte Ψ căei îii coespude vloe popie ε, tuci se pot detei vloile ε - şi ε le stăilo Ψ - şi espectiv Ψ.
Ţiâd se de oduile î ce o fucţie este tsfotă î lte fucţii d d utiliâd opetoii şi ceşti potă uele de opeto de ceee şi d d espectiv opeto de iile. Aplicâd opetoul de iile stăii eegetice celei i scăute osciltoului (ste fudetlă) se obţie: d Ψ (6.) d deoece ici o ltă ste cu eegie i ică u eistă. Dcă se scie cu elţi (6.) petu fucţi Ψ eultă: d d Ψ ( ε ) Ψ () d d Copâd elţiile (6.) şi (6.) vo ve: -ε su: ε (6.4) Pe b elţiilo (6.5), (6.) şi (6.4) se pote scie succesiv: ε ε ε.. ε (6.5) Ţiâd se de substituţi ε şi de elţi (6.5) se obţie: ω ω (6.6) ude:,, şi se ueşte uă cutic de vibţie. Aş cu se vede egi stăii fudetle osciltoului este difeită de eo, i spectul eegetic l osciltoului este cutifict, ivelele eegetice fiid ecidistte, septe îte ele pi cut de eegie ω. Tecee osciltoului de pe u ivel pe ltul se fce pi bsobţie su cede de eegie. d Opetoul de ceee coespude bsobţiei uei cute ω, i opetoul de d d iile coespude eisiei uei cute de eegie. d Cu î cdul difeitelo feoee fiice eistă itecţii îte difeite foe de eegie şi difeite clse de pticule, opetoii de ceee şi iile vo coespude cesto itecţii. Astfel î cul itecţiei dite o udă electogetică şi teie, cut de eegie coespuătoe opetoilo de ceee su iile potă uele de
foto. cite su deecite uui set de osciltoi i uei eţele (vibţii le eţelei) se elieă pi iteediul uei cute de eegie uită foo, i î cul ecităii su deecităii oduilo ole î cul uui cop getit, opetoilo de ceee şi iile le coespude cut uită go. Î cee ce piveşte eegi stăii fudetle este de ect fptul că cest fost cofită pi epeieţe î ce s- studit îpăştiee udelo electogetice pe cistle l tepetui scăute. S- stbilt că itesitte diţiei îpăştite u tide spe eo odtă cu scădee tepetuii spe K. Acest tă că l eo bsolut oscilţiile î eţeu uui cistl u îceteă. Mecic cutică peite să se clculee pobbilitte difeitelo tiţii le uui siste cutic de l o ste l lt. Clculele tă că petu u oscilto oic sut posibile do tiţii îte ivele dicete. Î stfel de tiţii uăul cutic se scibă cu o uitte ± Codiţiile ipuse sup scibăii uui uă cutic sut cuoscute c eguli de selecţie. Recă de seee că eegi stăii de eo osciltoului ω este o ecesitte ipusă de elţiile de icetitudie. Astfel dcă eegi devei ulă, osciltoul ve ipulsul ul şi î celşi tip ve poiţi bie pecită (vâd eeg poteţilă ulă). Icetitudie î cee ce piveşte deteie siultă poiţiei şi ipulsului iplică. Fucţiile popii le osciltoului pot fi obţiute poid de l fucţi Ψ, ce l âdul ei se obţie pi itege elţiei (6.). Itegâd (6.) î u sepăii vibilelo se obţie: Ψ ep (6.7) Poid de l (7) pute deduce uătoele fucţii popii: d Ψ ( ) ep ep (6.8) d d ( ) Ψ Ψ ( ) ( ) 4 ep (6.9) d Fctoii di pteă epeită polioele Heite defiite de elţi: d [ ep( )] H ( ) ( ) ep( ) (6.) d Î cest fel se obsevă că fucţiile de udă pot fi scise sub fo: ( ) A ep H ( ) Ψ (6.) ude costt A se deteiă di codiţi de oe: * Ψ Ψd (6.) Î u clculelo se obţie 4
v fi: ude: / ω A! (6.) Fo fucţiilo de udă ote socite osciltoului lii oic Ψ! / ω / ep ( ) ep( d ) ep( d ) (6.4) ω Fucţiile de udă sut otogole şi ote stisfăcâd codiţi * Ψ Ψd δ Î figu 9 sut dte gficele câtov fucţii popii petu ueele cutice,,. Ψ Ψ Ψ Ψ Fig. 9 Obsevă di figu 9 că î tip ce fucţi Ψ u se uleă iciodtă, fucţiile Ψ şi Ψ se uleă o dtă şi espectiv de două oi, puctele î ce se uleă fucţi sut uite odui de fucţie de udă. Nuăul de odui este dt de uăul cutic. Aliâd pobbilităţile de găsi pticul ce oscileă î uite pucte di spţiu pe u uit ivel eegetic se obsevă iedit deosebie eistetă îte osciltoul clsic şi cel cutic. Î figu sut epeette desităţile de pobbilitte le celo doi osciltoi, osciltoul cutic fiid cosidet î ste fudetlă. 5
- Fig. Desităţile de pobbilitte le osciltoilo clsic şi cutic (ste ). Di puctul de vedee l ecicii clsice osciltoul se găseşte cu ce i e pobbilitte î puctele de plitudie iă, ude vite pticulei este ulă. Î cul osciltolui cutic cest se pote găsi cu ce i e pobbilitte î puctul, d el se pote fl şi î f puctelo ( ± ) cee ce ste iposibil di puct de vedee clsic. 7. Mişce î câp cetl de foţe uei pticule cutice eeltiviste 7. Teoi cutică oetului cietic obitl 7... Opetoii sociţi poiecţiei pe oetului cietic obitl ( ) şi păttului oetului cietic obitl ( ) Moetul cietic l uui puct teil clsic se defieşte pi elţi vectoilă: p (7.) ude epeită vectoul de poiţie l puctului î pot cu o ă, i p este ipulsul puctului teil. Copoetele pe ele, şi le oetului cietic sut: p p p p (7.) p p Ţiâd se de elţi geelă de foe opetoilo î ecic cutică şi utiliâd opetoii sociţi coodotelo şi ipulsuilo socite cesto, obţie uătoele epesii petu opetoii sociţi poiecţiilo pe e le oetului cietic: i i (7.) 6
i Opetoul păttului oetului cietic este: (7.4) Vo deduce î cotiue epesi opetoului (socit diecţiei uui câp getic) î coodote sfeice. Petu cest se utilieă elţiile de tsfoe: siθ cos siθ si (7.5) cosθ Cosideă o pticulă cutică descisă de fucţi de ude Ψ. Deivt fucţiei Ψ î pot cu coodot v fi: Ψ Ψ Ψ Ψ (7.6) Utiliâd (7.5) eultă Ψ Ψ Ψ (7.7) Obsevâd epesiile (7.) şi (7.7), eultă că: i (7.8) Acestă epesie epeită opetoul î coodote sfeice. Petu clcul epesi opetoului î coodote sfeice, pocedă c i sus petu clculul lui şi. Se v obţie: i si ctgθ cos (7.9) θ i cos ctgθ si (7.) θ Itoduce elţiile (4.8), (4.9) şi (4.) î elţi (4.4) şi eultă; si θ (7.) si θ θ θ si θ Se oteă cu Λ epeis Λ si θ (7.) si θ θ θ si θ ce epeită pte ugiulă optoului plce î coodote sfeice şi potă uele de opeto l lui egede. Se pote deci scie: 7
Λ (7.) Opetoul egede jocă u ol îset î teoi fucţiilo sfeice. 4... Popietăţile oetului cietic Moetul cietic î ecic cutică posedă uite popietăţi, ce îl deosebesc de oetul cietic di ecic clsică. O piă ccteistică oetului cietic cutic este cee că poiecţiile sle,, u pot ve vloi bie deteite deteite siult, stfel îcât dcă u dite poiecţii este deteită celellte sut edeteite. Acest lucu este evideţit şi pi elţiile de ecoute eistete îte opetoi. Astfel opetoii ), ) şi ) u coută îte ei, cee ce îseă că ei u dit celeşi sistee de vloi popii. Se pote uşo ăt că îte opetoii ) şi ) eistă elţi: Astfel [, ] i (7.4) ( p p )( p p ) (7.5) ( p p )( p p ) (7.6) î u clcullo se obţie: ( p p p p ) ( p p p p ) (7.7) Utiliâd elţi de coute: p p i (4.8) se obţie după siplificăi: i (7.9) Ît-o ieă seăătoe se obţi elţiile: i (7.) i (7.) O ltă ccteistică oetului cietic obitl cutic este legtă de fptul că păttul oetului cietic (şi deci odulul oetului cietic) şi u di poiecţiile sle pot ve vloi siult deteite. Acest lucu eultă di elţiile de coute eistete îte opetoul coespuăto lui şi cel coespuăto uei poiecţii oetului cietic (,, ). Vo ăt î cotiue că coută cu oice dite opetoii sociţi poiecţiilo lui. Multiplică elţi (4.9) cu : i (7.) Cu jutoul elţiei (4.9), l doile tee di dept se scie: i (7.) îcât pute scie: 8
9 ) ( i (7.4) Multiplică elţi (4.) l dept cu şi plicâd di ou foul (4.) obţie: ( ) i (7.5) de ude: ( ) i (7.6) Îsuâd (4.4) cu (4.6) eultă: ( ) ( ) (7.7) su ( ) ( ) de ude eultă: (7.8) Î od log se vo obţie elţiile: (7.9) (7.) Relţiile (7.8), (7.9) şi (7.) tă că opetoul păttului oetului cietic posedă fucţii popii coue cu opetoii oicăei dite poiecţiile sle. Acest îseă că oetul cietic şi u dite poiecţiile sle pot fi ăsute siult î od pecis. Acestă cocluie este o coseciţă bseţei oţiuii de tiectoie petu pticul cutică (elţiile Heisebeg). O ltă popiettte păttului oetului cietic şi copeetelo oetului cietic ), ), ) este cee că ele se cosevă î cul işcăii pticulei ît-u câp cu sietie cetlă (UU()). Vo deost cest lucu sciid i îtâi opetoul eegiei î coodote pole: ) ( ) ( U U U H Λ Λ (4.) Pi logie cu opetoul socit ipulsului lii q i p q se pote itoduce opetoul ipulsului dil p, defiidu-l î odul uăto Ψ Ψ Ψ Ψ i i p ) ( (7.) Pute scie deci: Ψ Ψ Ψ Ψ p (7.) Ţiâd se că: epesi (7.) se v scie: ) ( U p H (7.4) cest fiid fo fucţiei Hilto petu o pticulă ce se işcă î câp cetl.
Î cotiue cosideă elţi; Ψ Ψ ude fucţi Ψ este o fucţie de coodotele, θ,. Aplică elţiei de i sus opetoul dt de (4.4) l stâg: H Ψ p U ( ) Ψ (7.5) Deoece, ş cu s- ătt opetoul ) este i şi u cţioeă decât sup fucţiilo depedete de î tip ce opetoii p şi cţioeă do sup fucţiilo depedete de pute scie: p Ψ p Ψ (7.6) şi p ( ) Ψ ( ) U U p Ψ (7.7) D cu ) coută cu, eultă iedit: H H (7.8) Cosideâd că î os siil opetoii ) şi ) cţioeă dect sup fucţiilo ugiule şi că ceşti opetoi coută cu eultă că toţi ceşti opetoi coută cu opetoul socit eegiei. Acest îseă că vloe ueică oetului cietic c şi oice dite copoetele sle se cosevă î tip. Se pote de see fi că cei tei opetoi, ) şi Ĥ posedă fucţii popii coue stfel că vloe ueică oetului cietic, u dite poiecţiile sle şi eegi pot ve vloi bie deteite î od siult. 7.. Vloi popii si fuctii popii le le opetoului ) Folosi epesi di elti (7.8) i cuţi cu vloi popii le lui ) este Φ Φ (7.9) su: Φ i Φ (7.4) Notâd ecuţi (7.4) devie; Φ iφ cuţi (7.4) e soluţi: (7.4)
Φ()Cep(i) (7.4) ude C este o costtă ce se deteiă di codiţi de oe. Peiodicitte fucţiei Φ() (cu peiod ) ipue c Φ()Φ() (7.4) Itoducâd (4.45) î (4.46) eultă ep(i) (7.44) deci, ±, ±... (7.45) Î cul oetului cietic obitl, uăul este uit uă cutic obitl. Φ( ) Codiţi de oe fucţiei Φ() se scie: d (7.46) su C d deci: C şi fucţi Φ() e fo: Φ ( ) ep( i) (7.47) 7..4. Vloi popii şi fucţii popii le opetoului socit păttului oetului cietic - A ătt i îite că opetoul socit păttului oetului cietic pote fi scis î coodote sfeice, utiliâd opetoul lui egede: Λ
Fucţiile popii socite cestui opeto sut depedete de coodotele ugiule (θ,), opetoul Λ fiid depedet de ceste coodote. cuţi cu vloi popii socită lui este: Y( θ, ) Y( θ, ) (7.5) cuţi se scie după îlocuie lui sub fo: ΛY Y (7.5) Fce otţi: λ şi eplicită opetoul egede: Y Y si θ λy (7.5) si θ θ θ si θ Î cotiue pocedă l sepe vibilelo puâd Y ( θ, ) Θ( θ ) Φ( ) (7.54) Îlocuid (4.54) î (4.5) obţie: Θ Φ si θ si θ λ si θ (7.55) Θ θ θ Φ Itucât ebul stâg este fucţie do de θ, i ebul dept do de, eultă că ecuţi este stsfăcută idetic do dcă cei doi ebi sut egli cu o ceeşi costtă. Vo ot cestă costtă cu, şi vo pute scie: d Φ (7.56) Φ d su d Φ Φ (7.57) d cuţi (4.57) e soluţi; i Φ ( ) Ce (7.58) ceeşi cu soluţi (4.45). Uivocitte fucţiei Φ() ipue: Φ()Φ() (7.59) Îlocuid Φ() di ecuţi (7.45) î ecuţi (7.47) obţie:, ±, ±... Se obsevă că Φ() este o fucţie popie petu şi petu. cuţi efeitoe l fucţi Θ(θ) se scie: d dθ si θ si λ si θ θ θ Θ (7.6) d d θ Fce scibe de vibilă wcosθ şi ecuţi (7.6) devie:
d dp β ( w ) λ P (7.6) dw dw w Ude Θ tebuie să fie fiită î itevlul [-,]. cuţi (7.49) se pote scie sub fo: d P w dp λ P (7.6) dθ w dw w ( w ) cuţi (4.6) e sigulităţi î puctele w ±, ude uii coeficieţi devi ifiiţi. Petu cul câd w ± pute scie: w w w w w şi ( w ) 4( w ) Acest îseă că î ecuţi (7.6) teeul î λ este eglijbil î pot cu cel ce coţie, îcât ecuţi devie: d P dp P (4.6) dw w dw 4( w) Petu ecuţi (4.5) se lege o soluţie de fo α P ( w) ( w) ( w)... (7.64) ude. [ ] Dcă se itoduce soluţi (7.64) î (7.6) se obţie: α α α ( α ) α ( w) α ( α ) α ( w) 4 4 α α ( α ) 5α 4 ( w)... (4.65) 4 Relţi (7.65) este devătă dcă se uleă coeficieţii tutuo puteilo lui (-w). Aulâd coeficietul lui (-w) α- şi ţiâd se că eultă: α ± (7.66) Reultă că ecuţi (4.5) dite două soluţii idepedete: P () ( w) w () [ ( )...] [ ' '( w)...] (7.67) P ( w) (7.68) idicii soluţiilo ătâd că pi tide l, i dou l tuci câd w. Deci () P este fiită tuci câd w. Petu u clcul siil efectut petu w se obţi de seee două soluţii idepedete:
şi ( ) [ b b ( w)...] P ( w) P ( ) [ b ' b '( w)...] ( w) ( ) Θ este fiită. Aşd petu w soluţi (7.69) (7.7) Î ceste codiţii vo coside soluţi ecuţiei (4.6) de fo:, cest putâd fi scisă stfel: Pλ ( w) ( w ) Z ( w) (7.7) Itoducâd (4.68) î (4.6) se obţie: d Z dz ( w ) ( ) w [ λ ( ) ]Z (7.7) dw dw ude se v lu Z(w) sub fo uei seii de putei: Z ( w ) w (7.7) Îtoducâd (4.7) î (4.7) se obţie o ecuţie cu difeite putei le lui w. cuţi v fi vlbilă dcă toţi coeficieţii puteilo lui w sut uli. Aulâd coeficieţii lui w vo eult elţiile: [ ( ) ] {[ ( ) ] ( ) } λ ; λ ;.. ( )( ) λ ( ) {[ ( )] ( ) } Pe b elţiilo de i sus se obţie uătoe foulă de ecueţă: ( )( ) β (7.74) [( )( ) ] Acestă elţie de ecueţă peite să se clculee coeficieţii pi poid de l şi pe cei ipi poid de l. Dcă ve o seie ifiită de, tuci se costtă că petu fote e vo ve. Acest îseă că î popiee lui w ±, Z(w) se copotă c (-w ) - (ce e o devolte î seie seăătoe). Deci petu vloi i le lui Θ l devie divegetă. Petu elii cest lucu este eces c Z(w) să ibă o seie fiită de coeficieţi, dică să fie u polio. iitâd sei l odiul eultă: λl(l) (7.75) ude l su l. Petu l ip, şi soluţi Θ (w) este u polio de putei ipe, i petu l p, şi Θ l (w) este u polio de putei pe. Vloile popii le lui vo fi l( l ), l,, (7.76) Se pote deduce iedit o elţie îte ueele şi l pe b elţiei l. Deoece este u uă îteg şi poitiv, eultă că l este i e su cel puţi egl cu, deci: l 4
, ±, ±..., ±l (7.77) Î cee ce piveşte fucţiile popii socite cesto vloi popii, ceste se obţi ţiâd se de ecuţiile (7.75) şi (7.6). Itoducâd (7.7) î (7.6) ve: d dpl ( w) ( w ) l( l ) ( ) Pl w (7.78) dw dw w ude P l (w) epeită fucţi socită lui egede de gdul l şi de odiul, l şi fiid uee îtegi şi poitive. Petu, soluţi ecuţiei (7.6) este dtă de polioul egede siplu. Astfel polioul siplu de odi l este de fo: Fctoul l l d ( w ) Pl ( w) (7.79) l l l! dw Petu, se v obţie polioul socit de odi l şi gd vâd fo: l d d w P l ( l ( w) ( w ) P l ( w) ( w ) l l dw l! este u fcto de oe les stfel c: l l! [ ( w) ] dw dw ) l (7.8) P l (7.8) Aşd soluţiile ecuţii (7.64) sut polioele egede socite şi foeă u siste de fucţii otogole î itevlul w. Dă î cotiue u eeplu de clcul l polioelo egede luâd cul polioului de odiul l şi gdul, 5 5 w w 6 4 P ( w) ( w ) ( w w w ) 5 5!8 w 48 w 4 w 5 ( 6w w 6w)... 5w( w ) 4 48 w Ţiâd se de substituţi wcosθ vo ve: P (cosθ ) 5si θ cosθ Petu câtev cui pticule siple peetă i jos polioele egede socite: l P (cosθ ) siθ cosθ si θ l 5
siθcosθ ( cos θ ) 5si θ 5cosθsi θ ( 5cos θ ) si θ ( 5cos θ cosθ ) Tbelul Pe b codiţiei de oe (7. 8) şi ţiâd se că polioul coespude u polio Θ l pute scie: P l îi Θl Θl siθdθ (7.8) obţiâd fucţiile otoote: ( l )! ( l )! l Θ l ( θ ) Pl ( cosθ ) (7.8) Î ceste codiţii se pot scie fucţiile sfeice Y(θ,), ce stisfc ecuţi (7.5): Y l ( θ ) ( l )! ( l )! l, ( ) ep( i) Pl (cosθ ) (7.84) ude e vloile dte de (7.47), petu şi petu <. Fucţiile sfeice foeă u set coplet otoot, dică: * l θ, )siθdθd Y ( δ ll δ (7.85) ' ' Pe b elţiilo (7.75) şi (7.8) eultă că fiecăei vloi popii păttului oetului cietic îi coespud (l) fucţii popii Y l difeite, fucţii ce difeă pi uăul cutic. A văut că cest uă cutic cutifică poiecţi pe oetului cietic. Vo ăt că cest uă cutifică de seee poiecţi pe oetului getic socit oetului cietic. Di cest otiv uăul cutic potă uele de uă cutic getic. Î cul oetului cietic obitl el se ueşte uă cutic getic obitl. Aliâd cele de i sus se costtă că fucţi Y l (θ,) este î celşi tip fucţie popie couă opetoilo şi. Fucţiile de udă Y l (θ,) petu stăile l, şi sut peete î tbelul. 6
4... Pitte oetului cietic obitl Teeul de pitte este folosit î ecic cutică petu cctei popietăţile de sietie le fucţiilo de udă fţă de ivesie (eflei pi oigie. Ivesi este ecivletă cu scibe seului fiecăei coodote cteiee. Pitte pă su ipă se efeă l cuile sietice su tisietice. Opetoul pitte Ĝ efectueă tsfoe,, şi e deci popiette: G Ψ (,, ) Ψ(., ) (4.86) ste evidet că G Ψ (,, ) G Ψ(,, ) Ψ(., ) (4.87) Aşd vloe popie opetoului P este, i vloile socite opetoului pitte sut ±. Astfel vloe coespude pităţii pe, i vloe coespude pităţii ipe. Petu stbili odul î ce se scibă coodotele sfeice, θ, î fucţie de scibe seului coodotelo cteiee,,, liă figu. Obsevă că l scibe coodotelo cteiee,, coodotele sfeice se odifică stfel: θ -θ (4.88),θ,,θ. θ θ Figu Petu stbili cţiue opetoului Ĝ sup fucţiei de udă Y l (θ,) ce descie ste oetului cietic obitl, obsevă că tsfoăile (4.88) coduc l: cosθ cosθ ; ep( i) ( ) ep( i) ; 7
î d l P l ( cosθ ) ( ) P (cosθ ), ce eultă di scibe deivtei d [ cos( θ )] de odiul l-. Se v obţie î od succesiv: GY ( θ, ) N P (cosθ ')ep( i' ) l l l l [ cos( θ )] ep[ i( )] N P l N ( cos )ep( )( ) lpl θ i l l D: P l ( cosθ ) ( ) Pl (cosθ ) ş îcât l l GYl ( θ, ) ( ) Pl (cosθ )ep( i) ( ) Yl ( θ, ) (4.89) Pute spue cu că pitte stăii l oicăui oet cietic obitl este specifict de uăul cutic obitl l este (-) l. d d cosθ.4.6 Cutifice spţilă Î pgful teio stbilit că vloile posibile petu şi sut dte de elţiile: l( l ) şi ude: l,,,, i, ±, ±,..., ± l. Î cdul spectoscopiei toice se obişuieşte ote după sce uătoe: uul cutic obitl: l,,, ste: s, p, d, f Se obsevă că uite de ăsuă petu şi este costt lui Plc ħ. Petu o vloe fiă păttului oetului cietic obitl, poiecţi oetului cietic pe O pote lu (l) vloi cupise îte lħ şi lħ. O epeete geoetică vloilo pe ce le pote lu î cul l, este dtă î figu. ħ -ħ Figu 8
Î figu este îfăţişt ît-u siste de coodote cteiee oetul cietic obitl Figu Aş cu s- văut oetul cietic obitl pote fce cu O. Do uite ugiui obţiute pe b elţiei cosθ (4.9) deci: cosθ (4.9) l( l ) l( l ) Relţi (4.9) stbileşte uăul oietăilo posibile pe ce le pote lu oetul cietic cu O. Petu fiece vloe lui sut peise ui l oietăi difeite le lui fţă de O. Nuăul de oietăi le lui coicide cu uăul vloilo pe ce le pote lu poiecţi oetului cietic. Aş cu se vede î figu vâful vectoului eecută o işce de pecesie î juul ei O. Petu o uită oiete oetului cietic se cuoşte vloe poiecţiei, î tip ce celellte două poiecţii (, ) sut coplet edeteite. Aşd î ecic cutică este iposibil să se cuoscă siult i ult de o copoetă oetului cietic şi odulul său. I ceste codiţii pute vobi do de oiete lui fţă de, î tip ce oiete lui spţilă ăâe edeteită (ecuoscâdu-se tote cele tei poiecţii siult). Situţi pivilegtă ei O ftă de celellte două pe di cuă că Y l (θ,) epeită o fucţie popie couă ui petu opetoii şi, e efiid fucţie şi opetoilo şi. videt că se pote eli c oice dite cele două e să fie pivilegite. 4..5 Moetul getic obitl l electoului. ste cuoscut di electogetis c u cuet ce stbte o spi detei piti uui oet getic µ I (4.9) 9
ude epeit i spiei cu oiete dt de vectoul olei l supft cestei. I cul cd spi este cicul vo ve µ I (4.9) I celsi tip itesitte uui cuet electic este dt de elti: I q/t ude q este sci electoului, i peiod T /v, v fiid vite electoului pe obit I cul uui electo vo ve: ev I (4.94) Itoducd (4.9) i (4.94) se obtie: ev µ I τ Deoece oetul getic ptie electoului i isce pe obit, cest epeit oetul getic obitl µ deci se pote scie elti vectoil: l e e e µ l ( v) ( v) l (4.95) ude l este oetul cietic obitl si i ce s- tiut se de fptul c sci electoului este egtiv. Itoducd ie obtie: e µ B,97. J / T, uit geto l lui Bo, µ B µ l l (4.96) Tid se de cutifice oetului cietic obitl vo ve: µ µ l( l ) (4.97) l B Asd oetul getic obitl este cutifict de uul cutic obitl l, i oiete s este opus celei oetului ietic obitl. 4
5. Atoul de idoge ste olă Vo studi isce uui electo de sci -e flt i juul uui ucleu icct poitiv, de sci Ze (toi idogeoii). Petu: Z se obtie toul de idoge. Foţ ce legă electoul cu ucleul de sciă Ze, l distţe de odiul diesiuilo toice (~ -8 c) este foţ de tcţie Coulob. egi poteţilă ce îi coespude este: Ze U 4ε egi potetil electoului i cpul ucleului este Z e U (5.) 4 ude este distt electo ucleu. Alegd u siste de coodote sfeice cu oigie i cetul ucleului toic, ecuti Scödige tepol: devie ψ Uψ ψ Ze ψ 4 ψ ude fucti de ud este: (5.) ψ ψ (, θ, ) Reolv ecuti Scödige (5.). I cul pticul l toului cu sietie sfeic, c i ce fucti de ud v fi: ψ ψ (, θ, ) ψ ( ) Acest ste este ccteit pi l, dic uul cutic obitl este ul. si θ si θ θ θ si θ (5.) 4
di cu sietiei sfeice, devie (5.4) I ceste coditii, ecuti (5.) devie d ψ dψ ( d d Ze )ψ (5.5) 4 Notd Z α ; e β 4 (5.6) se obtie d ψ dψ β α ψ d d γ Ce i sipl solutie cestei ecutii, ce e o vloe fiit petu si ce tide spe eo petu, este γ ( γ ) A e (5.7) Ilocuid i ecuti de i sus, eult su dic γ A e γ γ A e γ ( γ α ) ( β γ ) γ α β γ β α Ae γ α β (5.8) Tid cot de substituti (5.8) si de elti (5.6) eult dic Z e 6 4 4
4 Z e (5.9) Foul ivelelo eegetice deduse di teoi lui Bo 4 Z e se educe l elti (5.9) petu, dic l eegi toului de idogeoid flt i ste fudetl. Deteie costtei A di epesi fuctiei de ud se fl di coditi de oe ψ siθ d dθ dψ su A e γ γ d si θ dθ d 4 e d Se stie c : e d α α si deivd de dou oi i pot cu α, ve α e d α ict α e d α e γ d (γ ) Deci : A γ i fucti de ud e fo 4
ψ γ γ ( ) e (5.) Pobbilitte de gsi electoul i eleetul de volu dv este P( ) dv ψ ( ) dv γ e γ si θ d dθ d Pobbilitte c electoul s se fle l distt d de ucleu, este γ γ γ P( ) d e d si θ dθ dψ 4γ e γ d Repeetd gfic P() se costt c desitte de pobbilitte devie ul petu (di cu lui ) si petu (di cu epoetilei) ( Fig.7 ). (5.) Fig. 7 Deci, eist i geel o uit pobbilitte eul de gsi electoul l o distt oece de ucleu, cupis ite si. S clcul distt si ce pobbilitte devie i ict dp ) 4γ d γ γ [ e γ e ] ( /γ 44
Deci γ epeit ivesul disttei, ude eist pobbilitte i de gsi electoul ict e γ β e Petu idoge e dic, distt l ce pobbilitte oului electoic este i, coicide cu piei obite Bo ( ). Fucti P() fiid i geel eul, ise c electoul se pote gsi oiude i to, d cu pobbilitti difeite. Sut ecluse stile petu ce si, d ceste dou sti u i desciu u to de doge. Petu electoul se gseste ci i ucleu, deci sisteul u i este fot di dou pticule disticte. Petu itesecti dite ucleu si electo este ul, deci electoul u i fce pte di to. R piei obite (otiue clsic) di ucleu Bo u este ltcev dect distt de i pobbilitte electoului ft de ucleu. Modelul cutic dite c electoul se pote gsi l oice distt de ucleu (d cu pobbilitti difeite) cee ce fce c otiue de obit s u i ib ses ( cocluie obtiut si pe b eltiilo de edeteie Heisebeg). Atoul se epeit deci c u siste fot dit-u ucleu cetl icojut de u o electoic itelegd cest c u o l desittii de pobbilitte, l disttei i sptiu pobbilittii de gsi electoul. Spiul electoului 45
Ipote spiului electoului O seie de eultte epeietle c: stuctu de ultiplet ivelelo eegetice le toului, efectul Zee, epeit Ste- Gelc s., u pus i evidet o ou popiette electoului ( i f de s si sci). ste vob de u oet cietic popiu dtot uei isci ecuoscute electoului. Popiette se ueste spi si oetul cietic dtot iscii de spi se ote cu s. istet spiului fost postult de fiicieii oldei Ulebec si Goudsit i ul 95. Spe deosebie de s si sci, cest isce u e u log clsic. C si i cul oetului cietic obitl poiectiile oetului pe cele tei e u pot fi sute siult ci do do s si s. peiet Ste- Gelc U fscicul de toi, obtiut pi evpoe uui etl oovlet (Cs, Ag) it-o icit cu u vid suficiet de iitt, se deplse pe diecti ite piesele pole le uui electoget co fo este les stfel ict s cee u cp getic puteic eooge pe diecti. ste eces c gdietul lui B s fie tt de e ict fot dtot cestui s se pot siti pe diesiue uui to. Sce otjul epeietei Ste-Gelc I iteioul cuptoului se itoduce o pies de Ag. Atoii sut icliti i iteioul cuptoului l o stfel de tepetu suficiet de scut, ict electoul de vlet l toilo de Ag s i ste fudetl cu uul cutic obitl l. Dup tecee pit-u siste de fte, fscicolul it ite polii getului dup ce este tiis pe o plc fotogfic. Pe plc p dou ue sietice i pot cu diecti iitil fscicolului. Fot ce se eecit sup toilo este deteit de itectiue dite oetul getic l toului si cpul getic eooge. B B F µ µ cosα () Acest fot detei o devitie toilo pe diecti dt de: Cupto 46
B µ cosα () ude este s toului. Di puct de vedee clsic, cos (µ, B ) pote lu tote vloile i itevlul si -, stfel ict pe plc tebui s se obti o u cotiu ite vloile etee /-, ude B µ I elitte epeiet t c depuee este sub fo dou ue discete, sietice ft de diecti iitil. Dt fiid c electoul de vlet se fl i ste s, descis de l, cest e u oet getic obitl ul ( l ), cee ce ise c deviee fscicolului u este legt de electoul de vlet. Restul toului e cofiguti uui g iet (K), ce este digetic, deci este lipsit de oet getic, cee ce ise c deviti u este deteit ici de cest est. Sigu ipote disibil este cee eistetei uui oet getic popiu socit electoului ltul dect cel obitl. I b cestei ipotee s- dis c electoul e u oet cietic de spi s, cui ii coespude u oet getic de spi µ s, ce itectioe cu cpul getic, cest tectie deteid deviti toilo. Moetul cietic de spi este cutifict i od seto cu cel obitl. s s(s) Si oetul getic de spi este cutifict i od seto cu oetul getic de spi. ist is o olie de spi, ce cost i fptul c potul getoecic l spiului este: γ s µ s/ s e/ Acest olie lueste eultele epeietei istei de Hs. Moetul getic de spi este legt de oetul su cietic pi elti: µ B µ s s Cutifice oetului cietic de spi se fce i celsi od cu ce oetului cietic obitl obitl: s s( s ) ude s este uul cutic de spi. i cutifice oetului getic de spi v fi: µ s µ s( s ) B Poiecti pe oetului getic de spi este dt de elti: 47
µ µ s B s de s e u u de s vloi. Dt fiid c uul de ue pe plc este egl cu uul de vloi le lui s, se pote deci scie: s Deci s ½, de ude eult c s /- ½ 5.5 Moetul ecic eultt l uui to cu i ulţi electoi Fiece electo dit-u to e u oet ecic obitl (l) şi u oet ecic itisec (s). Ite oetele cietice eit itectiui, ce du posibilitte obtieii uui oet cietic totl. Pi copuee, oetele cietice l şi s foeă oetul ugiul eultt l toului, ott cu J. istă două cui posibile:. Moetele obitle l itecţioeă i puteic îte ele şi fote puţi cu oetele de spi s ce, l âdul lo, itecţioeă i puteic îte ele şi fote puţi cu oetele l. Pi copuee, tote oetele cietice obitle vo fo oetul eultt i oetele cietice de spi s vo fo oetul S. Do după cee, pi copuee oetelo S şi se foe oetul cietic totl l toului J. Acest tip de cuplj este fote des îtâlit, fiid uit Russell-Sudes su cupljul S. Moetele cietice totle sut cutificte i celsi od cu cele le electoului. Cutificile sut elite cu jutoul ueelo cutice, obitl totl si de spi totl S. Moetul cietic totl l toului este cutifict dup ceisi egul cu jutoul uului cutic totl J.. fiece peece de l şi s, eistă o itecţiue i puteică îte pteeii ce foeă peece decât itecţiue dite u ptee l peecii şi u l espectiv s, l ltei peeci. Pi ue fiece electo e u oet ietic j eultt i ulteio, e loc copuee oetelo j le toului. Acest tip de cuplj, uit cuplj jj se obsevă l toii gei. Moetele ugiule se îsueă cu especte egulilo ecicii cutice. Vo coside de eeplu, îsue oetelo ugiule l u cuplj Russell-Sudes. Nueele cutice obitle l i sut îtotdeu uee îtegi. Pi ue, uăul cutic l oetului obitl totl este de seee u uă îteg (su eo). Nuăul cutic S l oetului eultt de spi l uui to S pote fi u uă îteg su seiîteg, î fucţie de uăul totl de electoi i toului, ce pote fi p su ip. Petu u uă (N) p, de electoi, uăul cutic S i tote vloile îtegi de l N / (tote oetele S sut plele îte ele) l (tote oetele S se copeseă ecipoc, î peeci). De eeplu, petu N 4, uăul cutic S pote ve vloile,, su. Atuci câd N este u uă ip, S i tote vloile 48
seiîtegi de l N / (tote oetele S sut plele îte ele) l / (tote oetele S cu ecepţi uui, se copeseă ecipoc, î peeci). De eeplu, câd N 5, vloile posibile le petului S sut 5/, /, /. Petu işte vloi dte le ueelo cutice şi S, uăul cutic J l oetului cietic totl (eultt ) pote ve u dite uătoele vloi: J S, S,, - S Aş cu se pote obsev, J v fi u uă îteg dcă S este u uă îteg (u uă p de electoi i toului), şi seiîteg dcă S este seiîteg (to cu u uă ip de electoi). De eeplu: ) dcă şi S, vloile posibile le lui J sut,, ; ) dcă şi S /, vloile posibile le lui J sut 7/, 5/, / şi /. egi uui to depide de oiete oetelui cietic (dică de uăul cutic ), de oiete oetului cietic de spi S(dică de uăul cutic S) şi de oiete ecipocă oetelo şi S (de uăul cutic J). U ivel eegetic toic su ltfel spus u tee spectl toic se oteă î geel cu: S J (5.9) ude pote fi u dite uătoele litee: S, P, D, F, etc., depiâd de vloe uăului. De eeplu, teeele: P, P, P (5.4) sut socite cu stăile vâd idetic, S idetic, d şi vloile J,, su, difeite. Sibolul - S J - coţie ifoţii legte de vloile tei uee cutice, S şi J. Atuci câd S <, teeul supeio di pte stâgă otţiei: S, ofeă ultiplicitte teeului, dică uăul de subivele difeite di vloe uăului J, ş cu este eeplifict teio pi: P, P, P. Atuci câd S >, ultiplicitte ctulită este. Cu tote ceste, sibolul teeului este scis tot î fo S J, petu că ltfel u coţie ifoţii despe vloe uăului cutic S. 5.6 Moetul getic l uui to A i ott de câtev oi fptul că oetul getic µ este socit cu oetul ugiul ecic l uui to M. Rpotul µ/m este uit pot giogetic. Rpotul deteit epeietl îte oetul obitl getic µ şi oetul ugiul obitl ecic coicide cu potul giogetic ce eiese di teoi clsică ). Acest pot este e/ e c; Pi ue, 49
(5.4) Ctitte: e µ (5.4) B e este uită getoul Bo şi este uitte oetului getic. Seul ius di ecuţi (5.4) idică fptul că diecţiile oetului getic şi le oetului ugiul ecic sut opuse (spect ce se dtoeă sciii egtive electoului). Peeţ seului ius e peite să obţie poiecţi pe lui µ pi sipl substituie uăului cutic petu î ecuţi 5.4: µ, -µ B (5.4) Câd >, poiecţi lui este poitivă, î tip ce poiecţi lui µ este egtivă. Câd <, poiecţi lui este egtivă, şi poiecţi lui µ este poitivă. U uă de dte epeietle idică fptul că potul giogetic l oetului getic itisec (spi) şi oetului ugiul este dublul potului giogetic l oetului obitl getic şi oetului ugiul. Astfel, (5.44) egt de cest spect, se spue că spiul e u getis dublu. Mgetisul dublu l spiului eultă di epeietul elit de A. istei şi W. De Hs pecu şi di epeietul elit de S. Bett. Dtoită getisului dublu l spiului, potul giogetic l oetului getic totl µ J şi oetului ugiul totl J este depedet de ueele cutice, S şi J. Tebuie să obsevă că ueele şi S ccteieă potul vloilo lui şi S, î tip ce uăul J deteiă oiete ecipocă oetelo ugiule de spi şi obitl. Clculele elite pe b egulilo ecicii cutice, ofeă uătoe foulă petu oetul getic l uui to: ude (5.45) 5
(5.46) pesi (5.46) d epesi fctoului de (g). Atuci câd oetul ugiul totl de spi l uui to e vloe eo (S ), oetul ugiul totl coicide cu cel obitl (J ). Itoducâd S şi J î ec. (5.46) eultă g, şi juge l vloe oetului getic deteită pi ec. (5.4). Atuci câd oetul ugiul obitl totl l uui to este eo ( ), oetul ugiul totl coicide cu cel de spi (J S). Itoducee cesto vloi le ueelo cutice î ec. (5.46) coduce l obţiee vloii g, şi juge l vloe oetului getic deteită pi ec. (5.44). Tebuie să obsevă că fctoul de g pote ve vloi i ici decât uitte, şi pote fi ci eo (ş cu se obţie, de eeplu, petu vloile, S şi J ). Î ultiul c, oetul getic l uui to este eo, deşi oetul ugiul ecic difeă de eo. Peeţ seului ius î ec. (5.45) fce posibilă obţiee poiecţiei lui µ J pe pi sipl substituie lui J petu. Astfel, (5.47) Figu 5.9 U uă de îtebăi de fiic toului îşi pot găsi ăspusui pi folosie ş uitului odel vectoil l toului. Î costucţi uui stfel de odel, oetele ugiule ecice şi oetele getice sut descise sub foă vectoilă (lugie liiilo diecţiole). Ît-o epie fote ectă, dtoită icetitudiii eistete î cee ce piveşte diecţiile vectoilo M î spţiu, o stfel de bode este poitivă. De cee, tuci câd se luceă cu u odel vectoil, tebuie să ţie 5
cot de tu liitelo î ce se obţi costucţii elevte. U odel vectoil u tebuie îţeles d litte. l tebuie cosidet c o ulţie de eguli ce e peit să obţie eultte l căo devă este cofit de clcule sticte de ecică cutică. U odel vectoil este costuit î cofoitte cu uătoele eguli. Fie M şi M cu vloi bie pecite (ici se cosideă că M şi M u sut deteite). Pi ue, vectoul M pote ve diecţi uei dite geetoele coului di fig. 5.9. Ne pute igi lucuile c şi cu vectoul M se oteşte uifo î juul diecţiei ce coicide cu coului. Să pesupue u câp getic B, oiett î diecţi. Moetul getic µ este socit cu oetul ecic ugiul M. De cee, câpul este eecitt de M (pi µ). Cu cât vite de pecesie oetului M fţă de B este i e, cu tât este i puteic câpul ce cţioeă sup oetului ugiul dică, i puteic devie B. Î cofoitte cu egulile de costuie uui odel vectoil, oetele ugiule M şi M ce u fost dăugte u o işce de pecesie î diecţi dtă de oetul ugiul eultt M (fig. 5.). Moetele ugiule itecţioeă îte ele (pi oetele getice µ şi µ ). Se pesupue că vite işcăii de pecesie este popoţiolă cu itesitte itecţiuii. Î ăsu (ste) î ce M şi M u fost deteiţi, vectoul M elieă o pecesie, otidu-se î juul diecţiei. Dcă itoduce u câp getic B de- lugul ei, se vo obsev feoee difeite ce vo depide de elţi dite itecţiue oetelo ugiule îte ele şi cu câpul getic. Să pesupue două cui: ) u câp slb itecţiue oetelo ugiule ce e loc îte ele este i puteică decât cţiue câpului getic sup fiecăui dite ele; ) u câp puteic cţiue câpului sup fiecăui dite oetele ugiule este i puteică decât itecţiue ce e loc îte oice dite oetele ugiule. 5
Figu 5. Figu 5. Î piul c (fig. 5.), oetele ugiule se copu petu fo oetul ugiul eultt M ce este poiectt pe diecţi câpului. Aici p două foe le işcăii de pecesie: pecesi oetelo ugiule M şi M î juul diecţiei M şi pecesi vectoului eultt M î juul diecţiei lui B. Vite piei işcăi de pecesie v fi ult i e petu că itecţiue oetelo ugiule îte ele depăşeşte cţiue câpului getic sup fiecăui dite ele. Î l doile c, (fig. 5.b), câpul upe cupljul dite oetele ugiule M şi M, şi fiece dite ceste eecută o pecesie î juul diecţiei câpului, idepedet, uul fţă de celăllt. Fiece dite vectoii M şi M v fi de seee poiectt sept pe diecţi câpului. 5
Figu 5. Să îcecă să obţie foul (5.45) cu jutoul odelului vectoil. Figu 5. îfăţişeă vectoii M, M S şi M J şi vectoii µ, µ S şi µ J sociţi. Scl fost lesă, stfel îcât vectoii M şi µ sut epeetţi pi săgeţi cu ceeşi lugie. Î ceste codiţii, vectoul µ S v fi epeett cu o săgetă ce e o lugie dublă fţă de vectoului ce îfăţişeă M S. Dtoită getisului dublu l spiului, vectoul µ J u este colii cu vectoul M J. Vectoii M şi M S u o işce de pecesie î juul diecţiei lui M J, şi iplică de seee î cestă işce de pecesie vectoul eultt l oetului getic µ J. Î tipul uei peiode de obseve suficiet de îdelugtă, se v ot vloe edie vectoului µ J ce este ottă î figu 5. pi sibolul <µ J >. Să căută poiecţi cestui vecto pe diecţi lui M J, pe ce o vo ot siplu cu µ J. pi vedee, figu tă că: (5.48) ude µ J şi µ S sut plitudiile vectoilo elevţi. Î cofoitte cu ec 5.4 şi 5.44 Petu găsi vloe lui cos α, să idică l pătt elţi M S M J M : (5.49) 54
ude Petu găsi vloe lui cos β, să idică l pătt elţi: M M J M S (5.5) ude (5.5) Itoducâd ec (5.49), (5.5) şi (5.5) î ec. 5.48, obţie: Î u eglijăii teeilo i puţi ipotţi, cobită cu dăuge şi, î plus, ultiplice uăătoului şi uitoului cu epesi eulttă este: ce coicide cu ec. 5.45 5.9 Picipiul lui Puli. Distibuţi electoilo pe ivelele eegetice le toului. Fiece electo di to se deplseă ît-o piă poiţie ît-u câp cetl sietic, o-coulobi. Ste uui electo î cest c este deteită de cele tei uee cutice, l şi căo seificţie fiică fost stbilită î secţiue 5.. Dtoită eisteţei spiului uui electo, este eces să dăugă l ceste uee cutice, uăul cutic s ce pote lu vloi de ± / şi deteiă poiecţi spiului pe o uită diecţie. Î cele ce ueă, vo folosi sibolul l î locul lui petu uăul cutic getic, petu sublii că cest uă deteiă poiecţi oetului ugiul obitl căui vloe este dtă de uăul cutic l. Astfel, ste fiecăui electo di to este ccteită de 4 uee cutice: - picipl: (,,, ) - iutl: l (l,,,, -), 55
- getic: l ( l -l,., -,,,., l) - spi: s ( s /, - /) egi uei stăi depide î picipl de ueele şi l. Î plus, eistă o depedeţă uşoă eegiei de ueele l şi s petu că vloile cesto sut socite cu oiete ecipocă oetelo ugiule M l şi M s de ce depide gitudie itecţiuii dite oetele getice obitle şi itiseci le electoului. egi uei stăi ceşte i pid cu ăie uăului decât cu uăului l. De cee, eultă egul cofo căei, o ste cu o vloe i e uăului e i ultă eegie, idifeet de vloe uăului l. u to flt î ste de bă (e-ecittă), electoii tebui să fie pe ivelele eegetice dispoibile petu ei, ivele ce u ce i puţiă eegie. De cee, s- păe că l oice to flt î ste de bă, toţi electoii tebui să fie î ste s (, l ), i teeii fudetli i tutuo toilo tebuie să fie de tipul teeilo S ( ). peietele deosteă că u este eeu ş. Se pot eplic tipuile de teei obsevţi, după cu ueă. Î cofoitte cu u dite legile ecicii cutice, uită picipiul de ecluiue l lui Puli (lege uită ş î ciste descopeitoului, u fiici ustic Wolfgg Puli, 9-958), celşi to (su oice lt siste cutic) u pote coţie doi electoi ce u celşi set de ptu uee cutice, l, l şi s. Cu lte cuvite, doi electoi u se pot fl siult î ceeşi ste. S- deostt î secţiue 5. că stăi difeite pi vloile lui l şi l, coespud uui uit. Nuăul cutic s pote lu două vloi: ± /. Pi ue, u i ult de electoi pot fi î stăi cu o uită vloe ît-u to: Nuăul cutic. 4 5 Nuăul i posibil de electoi ît-o ste.. 8 8 5. 56
Tbelul 5. Setul de electoi ce u vloi idetice le uăului cutic foeă u stt. Sttuile sut î cotiue descopuse î substtui ce difeă pi vloe uăului cutic l. Ţiâd cot de vloe lui, sttuile u piit sibolui îpuutte di spectoscopi cu e X: Nuăul cutic.. 4 5 6 7. Sibolul sttului K M N O P Q Divie stăilo posibile le uui electo dit-u to î sttui şi substtui este peettă î tbelul 5., î ce siboluile u fost folosite î locul deuiilo/otţiilo ce folosesc s ± /. Substtuile, ş cu este idict î tbel, pot fi otte î două odui (de eeplu su s). U substt coplett î totlitte, este ccteit de eglitte cu eo oetelo ugiule totle de spi şi obitle (, S ). Î plus, oetul ugiul l uui stfel de substt este egl cu (J ). Să e covige petu eeplifice, că cest spect este devăt petu substtul d. Spiul tutuo celo electoi di cest substt se copeseă uul cu celăllt î peeci, şi pi ue S. Nuăul cutic l poiecţiei oetului ugiul obitl eultt M l cestui 57
substt pe e o siguă vloe Σ l. Pi ue, este de seee eo,. Astfel, câd deteiă şi S le uui to, u tebuie codtă teţie substtuilo coplette. 5. Sisteul peiodic de eleete l lui Medeleev. Picipiul lui Puli ofeă o eplicţie epetăii peiodice popietăţilo uo toi. Să vede cu este costuit sisteul peiodic l eleetelo descopeit de ciistul us Diti Medeleev (84-97). Tebuie să îcepe cu toul de idoge ce e electo. Fiece to ce ueă, este obţiut pi ceştee sciii ucleului toului pecedet cu o uitte şi dăuge uui electo, pe ce-l vo pls î ste cu ce i ică eegie ccesibilă petu el, î cofoitte cu picipiul lui Puli. Atoul de idoge e u electo -s î ste de bă cu o oiete bită spiului său. Nueele cutice le toului u vloile, S /, J /. Pi ue, teeul fudetl l toului de idoge, e fo S /. Dcă ceşte sci ucleului toului de idoge, cu o uitte şi dăugă u lt electo, obţie toul de eliu. Abii electoi di cest to pot fi î sttul K, d cu o oiete tiplelă spiului lo. Aş uit cofiguţie electoică toului, pote fi scisă c s (doi electoi s). Teeul fudetl v fi S (, S, J ). Uplee sttului K se teiă l toul de eliu. Al teile electo l toului de litiu pote ocup do ivelul s (fig. 5.9). Se obţie cofiguţi electoică s s. Ste de bă este ccteită de, S /, J /. De cee, S / v fi teeul fudetl, c şi l toul de idoge. Al teile electo l toului de litiu, ocupâd u ivel eegetic i idict decât l celollţi doi electoi, este legt de ucleul toului i slb decât ceşti. Pi ue, deteiă popietăţile optice şi ciice le toului. 58