Κανάρη 6, Δάφνη Τηλ 9794 & 976976 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 99 Α Σχολικό βιβλίο σελ 8 Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β Αρχικά πρέπει η να είναι συνεχής στο : n lim ( ) = lim ( ) = () lim ( α ) = lim β α α β + + + = = Επίσης ( ) () α α α( ) α( )( + ) lim = lim = lim = lim = α και n n β + α ( ) () lim lim lim n = = = lim = lim = + + + + DLH + ( ) () ( ) () Πρέπει να είναι lim = lim a= a= + Επομένως : α = β =, Β Είναι ( ) = n, + > Η είναι παραγωγίσιμη στο (,) ως πολυωνυμική με ( ) = και στο
n (, + ) ως πράξεις παραγωγίσιμων με ( ) = Επίσης απ το Β έχουμε, () = Επομένως ( ) = n, > n Για > : ( ) e Τα πρόσημα της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: e + ( ) + + Επίσης η είναι συνεχής στο ως παραγωγίσιμη Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και στο [e, + ) ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο [, e ] Η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο, ίσο με () = και τοπικό μέγιστο στο e, ίσο με (e) = + e Η είναι παραγωγίσιμη στο (,) ως πολυωνυμική με ( ) = και στο n (, + ) ως πράξεις παραγωγίσιμων με ( ) = Στο η δεν είναι παραγωγίσιμη γιατί: ( ) () ( ) () lim = και lim = +, < Επομένως ( ) = n, > n Για > : ( ) e Τα πρόσημα της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: e + ( ) + + Άρα η είναι κυρτή στο (,] και στο Τα σημεία (, ( ) ) και e, e e, + ενώ είναι κοίλη στο είναι σημεία καμπής της C, e
Β H είναι συνεχής στο, οπότε η C δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες Στο η είναι πολυωνυμική δευτέρου βαθμού οπότε η n lim ( ) = lim + = = + + y = είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C στο + Άρα η ευθεία y C δεν έχει ασύμπτωτη O e Β4 Θέτουμε = u, οπότε d = du d = du d = udu u Για = 4: u = και για = 9: u =, οπότε nu Ι= u ( u) du = u du ( u nu) du 6 n 4 n + = + = = + u ΘΕΜΑ Γ Γ Η είναι συνεχής και δυο φορές παραγωγίσιμη στο ως σύνθεση και πράξεις συνεχών και δυο φορές παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με ( ) = ( + ) και e + ( ) = ( + ) e + Τα πρόσημα της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: + ( ) + Άρα η είναι κοίλη στο (, ] και κυρτή στο [, + ) Το σημείο (, ( ) ) είναι σημείο καμπής της C Γ Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως σύνθεση και πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων
Απ το Γ έχουμε ότι η είναι συνεχής στο ως παραγωγίσιμη και είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) Επίσης ( ) = < e ((, ) ) = ( lim ( ), lim ( ) ) =, e, οπότε () < για κάθε (, ) (, + ) = lim ( ), lim ( ) =, + + e Το περιέχεται στο ((, + )) και η γνησίως αύξουσα στο (, ) υπάρχει μοναδικό (, + ) τέτοιο ώστε ( ) = ( ) ( ) Για (, + ) έχουμε: < ( ) < ( ) = και > ( ) > ( ) = H είναι συνεχής στο αφού είναι συνεχής στο Επομένως η είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) Άρα η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το οποίο είναι μοναδικό Γ Η είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο +, οπότε [, + ), επομένως η εξίσωση ( ) = έχει το πολύ δύο ρίζες και αφού ( ) = () =, το και το είναι μοναδικές ρίζες Προφανώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ Rolle για την στο [, ] υπάρχει ένα, τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε ( ξ ) = Απ το Γ έχουμε ότι η εξίσωση ( ) = έχει μοναδική ρίζα το = (, ), δηλαδή < < Γ4 Η εφαπτομένη της C στο σημείο (, ()) y () = ()( ) y = ( e ) Α έχει εξίσωση, οπότε, επομένως Επίσης η είναι κυρτή στο [, + ), οπότε η C βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη e E = d = e e d = = + ( ( ) y ) ( ( ) ) τμ
ΘΕΜΑ Δ Δ Στο δοσμένο όριο θέτουμε = u = u+ Όταν, τότε u, οπότε ( u+ ) ( u) () έχουμε lim = u u ( u+ ) ( u) () Θέτουμε gu ( ) = για u κοντά στο Είναι lim gu ( ) = u u ( u ) gu ( ) + () ( u) = u + α) H είναι συνεχής στο ως παραγωγίσιμη, οπότε ( u ) gu ( ) + () () = lim ( u) = lim = () u u u + Άρα () = () = ( u ) gu ( ) + ( u) () = lim = lim u + = u u ( u ) gu ( ) (u ) gu ( ) = lim = lim = u ( u ) (u+ ) u u+ β) ( ) u u Δ α) Προφανώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ Rolle για την στο [, ], οπότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε ( ξ ) = Έστω ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο Τότε: < ξ () < ( ξ) < ΑΤΟΠΟ Επομένως η είναι γνησίως φθίνουσα στο Άρα η είναι κοίλη β) Η εφαπτομένη της C στο σημείο (, () ) y () = ()( ) y = Η είναι κοίλη, οπότε η Επομένως για κάθε ισχύει ( ) Επίσης lim = Άρα lim ( ) = Δ Για Για < : έχει εξίσωση C βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη = η ανισότητα αληθεύει ως ισότητα Προφανώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ για την στο [,] ένα, τουλάχιστον κ (,) τέτοιο ώστε, οπότε υπάρχει () ( ) ( ) ( κ) = =
( ) > < κ ( ) > ( κ) ( ) > ( ) ( ) > ( ) ( ) ( ) ( ) > Δ4 ( ) d (+ ) ( ) + ( ) = ( ) (+ ) ( ) + ( ) ( ) ( ) d+ = Θέτουμε [,] h( ) = ( ) (+ ) ( ) + ( ) ( ) ( ) d+, Η h είναι συνεχής στο [,] ως σύνθεση και πράξεις συνεχών συναρτήσεων h() = ( ) ( ) + <, απ το Δ για = και h() = ( ) d + >, γιατί: απ το Δ β) έχουμε ότι για κάθε, οπότε και για κάθε [,] ισχύει ( ) και η ισότητα ισχύει για =, επομένως ( ) d < d ( ) d < ( ) d < ( ) d + > Δηλαδή ισχύει h() h() < Από Θ Bolzano η εξίσωση h ( ) = έχει μια, τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΒΑΓΕΝΑΣ ΘΟΔΩΡΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΪΣΚΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΚΛΑΥΔΙΑΝΟΣ ΔΙΟΝΥΣΗΣ ΛΑΜΠΡΟΠΟΥΛΟΥ ΓΙΟΥΛΗ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ