8 Magnetické pole v látkovom prostredí V úvodných historických poznámkach o magnetizme sme sa zmienili o magnetických vlastnostiach niektorých minerálov. S magnetickými materiálmi sa však stretávame denne. Sú vo všetkých reproduktoroch, slúchadlách, bankomatových kartách, magnetofónoch, atď., vo forme permanentných magnetov. Permanentné magnety sú tvorené z usporiadaných elementárnych magnetov. Magnetické pole permanentného tyčového magnetu je analogické magnetickému poľu cievky a priebeh indukčných čiar je rovnaký. Časti tyčového magnetu, z ktorej indukčné čiary vychádzajú, hovoríme severný pól (N), časti do ktorej indukčné čiary vchádzajú južný pól (S). Zem sa navonok tiež prejavuje ako permanentný magnet. V blízkosti severného zemepisného pólu sa nachádza južný magnetický pól Zeme. V blízkosti severného zemepisného pólu indukčné čiary magnetického poľa Zeme do Zeme vchádzajú. V blízkosti južného zemepisného pólu je severný magnetický pól Zeme a tam indukčné čiary zemského magnetického poľa zo Zeme vychádzajú. Permanentný magnet môžeme rozlomiť a dostaneme vždy dva magnety, každý bude mať svoj severný a južný pól, každý sa bude chovať ako prúdový závit magnetický dipól. Dochádzame k poznatku, že najmenšia magnetická štruktúra je magnetický dipól. Vyvstáva otázka, čo je príčinou tohto elementárneho magnetizmu. Príčiny sú dve: vlastný magnetický moment elementárnych častíc a to hlavne elektrónov a magnetické pole vytvorené orbitálnym pohybom elektrónov. Elektrón má vlastný moment hybnosti spin. Konštatujme, že je to základná vlastnosť mikročastice a nebudeme sa pokúšať o jeho znázornenie. Merateľný je iba priemet spinu do určitého smeru. Tento smer je určený orientáciou vonkajšieho magnetického poľa a stotožňujeme ho so smerom osi z. Pre veľkosť tohoto priemetu platí Sz = ms, (8.1) 1 h kde m s =± je spinové magnetické kvantové číslo a = = 1,05 10 34 J s je redukovaná 2 2π hodnota Planckovej konštanty h. Znamienko plus znamená, že spin je orientovaný v kladnom smere osi z, záporné znamienko označuje opačnú orientáciu. So spinom elektrónu súvisí jeho spinový magnetický moment. Priemet spinového magnetického momentu do smeru vonkajšieho magnetického poľa sa rovná e s, z = S z, (8.2) me kde e je absolútna hodnota elektrického náboja elektrónu a m e je hmotnosť elektrónu. Aby nedošlo k nedorozumeniu poznamenávame, že na rozdiel od označenia magnetického momentu závitu m v časti 6.1.3, v atómovej fyzike sa pre označenie magnetického momentu prednostne používa symbol. Po dosadení za priemet spinu do (8.2) dostávame pre priemet magnetického momentu elektrónu e sz, = = B. (8.3) 2me Znamienka plus, resp. mínus odpovedajú súhlasne, resp. nesúhlasne orientovanému priemetu magnetického spinového momentu do smeru osi z. Veľkosť s, z pre elektrón je 24 2 B = 9, 274 10 Am a túto veličinu voláme Bohrov magnetón. Druhým zdrojom elementárneho magnetického momentu je orbitálny pohyb elektrónov v atómoch a molekulách. Ak na predstavu štruktúry atómu použijeme Bohrov model atómu, potom pohybujúci sa elektrón okolo atómového jadra predstavuje elektrický 110
prúd elementárny závit. Orbitálny magnetický moment súvisí s orbitálnym momentom hybnosti elektrónu vzťahom e orb = L, (8.4) 2me kde L je vektor orbitálneho momentu hybnosti elektrónu. Merateľný je len priemet momentu hybnosti do smeru vonkajšieho magnetického poľa. Smer vonkajšieho magnetického poľa stotožňujeme so smerom osi z a pre priemet orbitálneho magnetického momentu platí e orb, z = m, m = 0, ± 1, ± 2,... ±, (8.5) 2me kde m l je orbitálne magnetické kvantové číslo. orb 8.1 Druhy magnetických materiálov Elementárny spinový a orbitálny magnetický moment každého z elektrónov v atóme sa skladajú do výsledného magnetického momentu atómu, resp. molekuly a ten sa sčíta s magnetickými momentami ostatných atómov a molekúl. Ak sa takýmto súčtom vytvorí makroskopické magnetické pole, je látka magnetická. Rozlišujeme tri základné druhy magnetických materiálov (magnetík): diamagnetické, paramagnetické a feromagnetické. Diamagnetické látky (diamagnetiká) Diamagnetické chovanie majú všetky látky. Tento jav je však veľmi slabý a je niekedy prekrytý paramagnetizmom a feromagnetizmom. Názov diamagnetické látky používame pre materiály, ktorých spinový aj orbitálny magnetický moment atómov, alebo molekúl je nulový. Príkladmi takýchto látok sú napríklad zlato, bizmut, ortuť, voda, vzácne plyny a mnohé organické látky. Magnetické vlastnosti materiálov charakterizuje relatívna permeabilita r, alebo s ňou súvisiaca magnetická susceptibilita κ = r 1. Relatívna permeabilita vyjadruje pomer medzi veľkosťou magnetickej indukcie výsledného magnetického poľa v magnetiku B a veľkosťou magnetickej indukcie B 0 vo vákuu. B r = (8.6) B0 Pre diamagnetiká je relatívna permeabilita r o niečo menšia než jedna a magnetická susceptibilita κ < 0. Príčinou diamagnetizmu je pohyb elektrónov v magnetickom poli. Ak akýkoľvek materiál umiestnime do magnetického poľa, v atómoch sa indukujú veľmi malé magnetické momenty, ktoré sú vždy orientované proti vonkajšiemu magnetickému poľu. Toto je všeobecný jav a dochádza k nemu u všetkých látok. Ak do magnetického poľa vložíme diamagnetikum, potom sa diamagnetizmus môže prejaviť, lebo nie je prekrytý inými magnetickými vlastnosťami látok. Ak bude magnetické pole nehomogénne, diamagnetikum bude mať snahu dostať sa do oblasti s menšou magnetickou indukciou poľa. Hovoríme, že diamagnetikum je vytláčané z magnetického poľa. Pokiaľ je hustota častíc materiálu konštantná, diamagnetizmus nezávisí od teploty. Paramagnetické látky (paramagnetiká) Atómy, alebo molekuly paramagnetických látok majú vlastný elementárny magnetický moment. Príčinou môže byť nepárny počet elektrónov a teda nevykompenzovaný spinový a orbitálny magnetický moment. Nenulový magnetický moment však môže mať aj molekula s 111
párnym počtom elektrónov, ako je napríklad kyslík. Magnetizácia paramagnetík je založená na orientácii týchto elementárnych magnetických momentov vo vonkajšom magnetickom poli. Vonkajšie magnetické pole pôsobí na elementárne magnetické momenty otáčavým momentom (pozri 6.1.3), snaží sa dosiahnuť stav ich minimálnej potenciálnej energie a teda ich orientovať do smeru vonkajšieho magnetického poľa. Proti tejto orientácii pôsobí chaotický tepelný pohyb. Magnetizácia paramagnetika preto s rastúcou teplotou klesá. Na druhej strane znižovaním teploty a zväčšovaním veľkosti vonkajšieho magnetického poľa môžeme dosiahnuť stav, kedy sú zorientované všetky elementárne momenty a dosiahli sme nasýtenú magnetizáciu. Magnetizáciu môžeme kvantitatívne vyjadriť vektorom magnetizácie M. vektorovýsúčet elementárnych momentov mi i 1 M = = lim [ M ] = Am.(8.7) objem Δτ 0 Δτ Vektorom magnetizácie kvantitatívne charakterizujeme magnetizáciu všetkých druhov magnetík. Pierre Curie v roku 1895 objavil, že magnetizácia paramagnetika je priamo úmerná magnetickej indukcii vonkajšieho magnetického poľa a nepriamo úmerná absolútnej teplote ext M = C B. (8.8) T Táto závislosť sa volá Curieho zákon a C je Curieho konštanta. Paramagnetickými materiálmi sú mnohé kovy ako hliník, platina, titán, početné zliatiny, ale aj NO, O 2, MnO, FeCl 2 a iné. Pre paramagnetiká je relatívna permeabilita r o málo väčšia ako jedna a magnetická susceptibilitaκ > 0. Ak paramagnetikum umiestnime do nehomogénneho magnetického poľa paramagnetikum bude do poľa vťahované. Táto vlastnosť nehomogénneho magnetického poľa sa aj využíva na meranie magnetizácie na magnetických váhach. Feromagnetické látky (feromagnetiká) Feromagnetické látky sú tuhé látky, v ktorých pri teplotách nižších ako určitá kritická teplota dochádza k spontánnej magnetizácii. Táto významne rastie, ak feromagnetikum vložíme do magnetického poľa. Kritická teplota, pod ktorou sa látka chová ako feromagnetikum, sa volá Curieho teplota a je pre feromagnetiká rôzna. Feromagnetiká majú významné technické využitie, pretože relatívne malým vonkajším magnetickým polom možno v nich vytvoriť silnú magnetizáciu, ktorá u niektorých z nich pretrváva aj po zániku vonkajšieho poľa. Feromagnetickými materiálmi sú Fe, Co, Ni, Gd a ich zliatiny. Relatívna 3 6 permeabilita feromagnetika dosahuje vysoké hodnoty r = 10 10, pričom magnetický moment jedného atómu feromagnetika sa výrazne nelíši od magnetického momentu paramagnetika. Feromagnetizmus nie je vlastnosťou jedného atómu, ale je dôsledkom interakcie elektrónov určitého súboru atómov. Vo feromagnetikách existuje vnútorné pole, ktoré pri teplotách nižších ako je Curieho teplota vytvorí v celých oblastiach feromagnetika nasýtenú magnetizáciu. K tejto magnetizácii dochádza spontánne, bez prítomnosti vonkajšieho poľa. Príčinou sú takzvané výmenné interakcie medzi elektrónmi atómov viazaných v určitej kryštalickej oblasti, a ktoré bolo možné vysvetliť len pomocou zákonov kvantovej mechaniky. Takéto oblasti spontánnej magnetizácie sa volajú magnetické domény. 4 1 Rozmery domén sú 10 10 mm (obr. 8.1). 112
Smerovanie vonkajšieho poľa Obr. 8.1 Domény bez vonkajšieho magnetického poľa a s vonkajším magnetickým poľom Bez vonkajšieho magnetického poľa sú domény chaoticky orientované a výsledná magnetizácia je nulová. Po vložení do magnetického poľa sa najprv zväčšujú rozmery domén súhlasne orientovaných s vonkajším magnetickým poľom, pri ďalšom zvyšovaní vonkajšieho poľa sa skokom mení smer magnetizácie ďalších domén do smeru vonkajšieho magnetického poľa a výsledkom je vysoká celková magnetizácia materiálu. Táto zostáva aj po vypnutí vonkajšieho poľa a voláme ju zvyšková magnetizácia. Je to magnetizácia, ktorú pozorujeme u trvalých magnetov. Magnetizácia feromagnetík sa vyznačuje hysteréziou. Hysterézna krivka, zobrazená na obr. 8.2, predstavuje závislosť magnetizácie od intenzity magnetického poľa. Obr. 8.2a Hysterézna krivka pre tvrdé magnetiká Obr. 8.2b Hysterézna krivka pre mäkké magnetiká Magnetizačná krivka vychádzajúca z počiatku sa volá krivka prvotnej magnetizácie ( panenská krivka ). Zvyšovaním intenzity magnetického poľa H magnetizácia narastá až do nasýteného stavu. Pri znižovaní intenzity magnetického poľa H magnetizácia klesá, ale nie po krivke pôvodnej magnetizácie. Pri nulovej hodnote intenzity vonkajšieho magnetického poľa magnetizácia nezanikne a túto magnetizáciu voláme zvyšková magnetizácia (tiež remanentná magnetizácia). Ako vidieť z hysteréznej krivky magnetizácia zanikne len vtedy, ak zmeníme smer intenzity vonkajšieho magnetického poľa. Podľa tvaru hysteréznej krivky feromagnetiká rozdeľujeme na magneticky tvrdé materiály s vysokou hodnotou zvyškovej magnetizácie a magneticky mäkké materiály, pri ktorých je zvyšková magnetizácia malá. Tieto materiály majú rôzne technické využitie. Tvrdé magnetiká sa používajú na výrobu permanentných magnetov, mäkké magnetiká sa používajú na výrobu plechov pre jadrá transformátorov. 113
8.2 Ampérov zákon v magnetickom prostredí V úvahách o príčinách elementárneho magnetizmu v materiáloch sme zaviedli elementárne magnetické momenty atómov a molekúl. Ak je látka vložená do magnetického poľa dochádza k orientácii elementárnych magnetických momentov a v magnetiku sa vplyvom vonkajšieho magnetického poľa vytvorí určitá magnetizácia. Kvantitatívnou mierou magnetizácie je vektor magnetizácie M definovaný vzťahom (8.7). Magnetizácia predpokladá orientáciu elementárnych momentov. Magnetický moment závitu sme definovali ako súčin plochy závitu a elektrického prúdu, ktorý závitom preteká m = IS. Ak použijeme pre elementárne magnetické momenty v magnetiku predstavu elementárnych molekulárnych elektrických prúdov (elementárny magnetický moment predstavuje prúdový závit), potom v zmagnetizovanom magnetiku sa v zmysle magnetizácie budú orientovať aj tieto molekulárne elektrické prúdy. Majme toroid, ktorým preteká elektrický prúd. V jadre toroidu nech sa nachádza homogénne diamagnetikum. Magnetické indukčné čiary v toroide majú tvar sústredných kružníc a v diamagnetiku sa nezávisle od teploty zorientujú všetky elementárne magnetické momenty. V prípade nášho diamagnetika opačne so smerom magnetického poľa vytvoreného elektrickým prúdom. (Predstava diamagnetika úvahy zjednodušuje v tom zmysle, že predpoklad o orientácii všetkých elementárnych magnetických momentov je splnený). Vyberme v zmagnetizovanom prostredí elementárny valček výšky dl, s plochou základne ds. Os valčeka nech je rovnobežná so smerom vektora magnetizácie. Elementárnym magnetickým momentom odpovedajú elementárne elektrické prúdy, ktoré vzhľadom na zvolenú orientáciu osi valčeka tečú v rovinách rovnobežných sa základňou valčeka. Ako je vidieť z obr. 8.3 vnútorné elementárne prúdy sa budú navzájom kompenzovať a makroskopicky sa prejaví iba elektrický prúd po obvode valčeka. Valček zmagnetizovaného magnetika sa nám efektívne bude javiť tak, ako by na jeho povrchu pretekal elektrický ds prúd. Tento elektrický prúd budeme volať magnetizačný dl J prúd. Na plášti valčeka výšky dl tečie magnetizačný prúd M dim = JMd, kde sme symbolom J M zaviedli dĺžkovú hustotu magnetizačného prúdu vyjadrenú v jednotkách Am 1. Skúsme teraz vyjadriť veľkosť vektora magnetizácie pomocou takýchto prúdov. Zvolený valček magnetizovanej látky má magnetický moment rovnajúci sa dim ds a magnetický moment objemovej jednotky bude dimds JMd ds 1 M = = = JM [ JM] = Am. (8.9) Obr. 8.3 Magnetizácia látky a d ds d ds magnetizačný prúd. Vidíme, že veľkosť vektora magnetizácie sa rovná dĺžkovej hustote magnetizačného prúdu. Je treba zdôrazniť, že je to elektrický prúd nedostupný priamemu meraniu. Podobne tomu bolo aj pri polarizácii dielektrika. Viazané náboje na polarizovanom dielektriku rovnako nie sú dostupné priamemu meraniu. Podľa Ampérovho zákona cirkulácia vektora magnetickej indukcie sa rovná celkovému elektrickému prúdu prechádzajúcemu plochou preloženou integračnou krivkou. B d = 0Icelk K vodivostnému elektrickému prúdu pretekajúcemu integračnou krivkou musíme v magnetiku pripočítať ešte magnetizačný prúd. Na obrázku 8.4 je zjednodušene zobrazený problém magnetizačných prúdov. Integračnou krivkou (K) nachádzajúcou sa v magnetiku 114
sme preložili určitú plochu. Túto plochu pretína vodič, ktorým tečie vodivostný elektrický prúd I v. Okrem tohto elektrického prúdu plochu pretínajú elementárne elektrické prúdy, pochádzajúce od orientácie elementárnych magnetických momentov magnetika. Z nich sú nezaujímavé tie, ktoré plochu pretínajú dvakrát, lebo vtekajúce prúdy sa rušia s vytekajúcimi. I v (K) Obr. 8.4 Do celkového elektrického prúdu budú prispievať len tie elementárne prúdy, ktorých stredy sú blízo integračnej krivky, a ktoré integračnú plochu pretínajú iba jeden raz. Ak celkový elektrický prúd rozdelíme na vodivostný prúd a magnetizačný prúd, Ampérov zákon pre magnetikum bude mať tvar B d = I + I, (8.10) k ( ) 0 v M kde symbolom I M sme označili celkový magnetizačný prúd pretekajúci plochou integračnej krivky. Magnetizačný prúd môžeme vyjadriť pomocou dĺžkovej hustoty magnetizačného prúdu a veľkosti vektora magnetizácie (8.9) vzťahom I = J d = M d M M (8.11) k k Podrobnejšia analýza by nám ukázala, že platí M d = M d. Rovnicu (8.10) môžeme potom zapísať vo vektorovom tvare B d = 0 Iv+ M d, (8.12) k k z ktorého po úprave dostávame Ampérov zákon pre magnetikum v tvare B d Iv M =. (8.13) k 0 Výraz v zátvorke je intenzita magnetického poľa H v magnetiku, ktorú sme v časti (6.6) už definovali pre vákuum vzťahom (6.36). Intenzita magnetického poľa B H = M (8.14) 0 je veličina určená iba celkovým vodivostným elektrickým prúdom, pretože platí H d = I. (8.15) k v Pri odvodení rovnice (8.15) sme použili zjednodušujúce predpoklady. Dá sa však ukázať, že táto rovnica platí všeobecne. Vodivostné prúdy sú elektrické prúdy pretekajúce závitmi cievok. Vyjadrenie (8.15) Ampérovho zákona má veľký praktický význam, pretože vodivostné elektrické prúdy sú prúdy dostupné priamemu meraniu a pomocou nich môžeme určiť intenzitu magnetického 115
poľa. Aj v materiálovom prostredí je pre nás najviac zaujímavou veličinou magnetická indukcia. Určenie magnetickej indukcie B predpokladá, že poznáme vzťah medzi vektormi magnetizácie M a intenzity magnetického poľa H. V homogénnom izotropnom magnetiku je magnetizácia úmerná intenzite magnetického poľa a platí vektorová rovnica M=κ H, (8.16) kde κ je magnetická susceptibilita. Po dosadení do (8.14) dostávame B= 0( 1+ κ) H = 0rH = H. (8.17) V praxi sa pri určovaní magnetickej indukcie zvyčajne postupuje tak, že zo známych vodivostných elektrických prúdov určíme intenzitu magnetického poľa a z dostupných experimentálnych závislostí pre B = B(H), resp. M = M(H) sa určí magnetická indukcia. S komplikáciami sa môžeme pritom stretnúť u feromagnetík, kde magnetizácia závisí na histórii magnetizácie ako sme to už mohli vidieť na hysteréznej krivke. 8.3 Súhrn poznatkov o elektromagnetizme - Maxwellove rovnice Postupne, hlavne vychádzajúc z experimentálnych poznatkov, sme sa oboznamovali s dôležitými zákonmi vyjadrujúcimi vlastnosti elektrických a magnetických polí. Možno takto, zovšeobecnením experimentálnych poznatkov, škótsky fyzik a matematik James Clerk Maxwell (1831-1879) dal známe javy do vzájomných súvislostí a formuloval ucelenú teóriu elektromagnetizmu (Treatise on Electricity and Magnetism 1873). Jej základom sú štyri Maxwellove rovnice, z ktorých sa dajú odvodiť všetky pozorované prejavy elektriny a magnetizmu. To by však pre správnu teóriu bolo málo. Teória musí vypovedať viac, ako sme do nej vložili. Z Maxwellových rovníc sa dali teoreticky predpovedať aj neznáme javy, ako napr. elektromagnetické vlny, neskôr experimentálne dokázané H. Hertzom (1857-1894). Sústavu Maxwellových rovníc tvoria nasledovné rovnice, ktoré uvádzame v ich integrálnom tvare. Gaussov zákon pre elektrické pole d S = Q (8.18) celk D Tok vektora elektrickej indukcie uzavretou plochou sa rovná celkovému voľnému elektrickému náboju uzatvorenému vo vnútri tejto plochy. Gaussov zákon vyjadruje súvislosť medzi elektrickým indukčným tokom uzavretou plochou a celkovým elektrickým nábojom vo vnútri tejto uzavretej plochy. Elektrické pole má zdroje v elektrických nábojoch. Ak je elektrický náboj kladný, potom siločiary elektrického poľa z elektrického náboja vychádzajú, ak je záporný, do elektrického náboja vchádzajú. Gaussov zákon pre magnetické pole d S = 0 B Tok vektora magnetickej indukcie uzavretou plochou je vždy rovný nule. (8.19) Vyplýva z neho, že magnetické indukčné čiary sú uzavreté krivky a že nejestvujú magnetické náboje. 116
Faradayov zákon elektromagnetickej indukcie dφ E d =, (8.20) dt (k) kde Φ = B d S. S Elektromotorické napätie indukované na uzavretej krivke sa rovná zápornej časovej zmene toku vektora magnetickej indukcie plochou preloženou danou krivkou. Faradayov zákon vyjadruje súvislosť medzi cirkuláciou vektora intenzity elektrického poľa a časovou zmenou magnetického toku. Všade tam, kde sa mení magnetický tok, vzniká elektrické pole. Integrácia po uzavretej krivke na ľavej strane rovnice (8.20) vôbec nemusí súvisieť s konkrétnym vodičom. Môže to byť ľubovoľná myslená krivka napr. vo vákuu, alebo v dielektriku. Ak sa plochou preloženou takouto krivkou mení magnetický tok, bude cirkulácia intenzity elektrického poľa rôzna od nuly. Ampérov zákon D H d ds, (8.21) t (k) = I + v S Cirkulácia vektora intenzity magnetického poľa sa rovná súčtu celkového vodivostného elektrického prúdu prechádzajúceho plochou preloženou integračnou krivkou a celkového posuvného prúdu reprezentovaného časovou zmenou elektrického indukčného toku touto plochou. Príčinou magnetického poľa je podľa tohto zákona je buď elektrický prúd voľných elektrických nábojov (vodivostný elektrický prúd), alebo časová zmena elektrického indukčného toku. K týmto štyrom rovniciam ešte pristupujú: - rovnica pre určenie sily pôsobiacej na pohybujúci sa elektrický náboj ( v ) F = Q E + B, (8.22) - rovnica definujúca hustotu vodivostného elektrického prúdu J =σ E (8.23) - vzťahy medzi E, D, B a H v izotropnom prostredí D = ε ε E, B = H. (8.24) 0 r 0 r 8.4 Diferenciálny tvar Maxwellových rovníc* Vektorová analýza umožňuje formulovať a charakterizovať lokálne vlastnosti vektorových polí, t.j. vlastnosti v určitom bode priestoru. Charakteristické vlastnosti vektorových polí sú matematicky vyjadrené parciálnymi diferenciálnymi rovnicami. Tieto vyplývajú z integrálnych rovníc po úprave s využitím Gaussovej, resp. Stokesovej vety vektorovej analýzy. Vyjadríme teraz sústavu Maxwellových rovníc v diferenciálnom tvare. Diferenciálny tvar Maxwellových rovníc vyjadruje lokálne vlastnosti elektrického a magnetického poľa. 117
Gaussov zákon pre elektrické pole div D = ρ, (8.25) kde ρ je hustota voľného elektrického náboja. Zdrojom elektrického poľa sú elektrické náboje. Gaussov zákon pre magnetické pole div B = 0 (8.26) Z rovnice vyplýva, že v žiadnom bode priestoru nie sú zdroje magnetického poľa a neexistujú magnetické náboje. Dôsledkom potom je, že magnetické indukčné čiary musia byť uzavreté krivky. Faradayov zákon elektromagnetickej indukcie B rot E = (8.27) t Faradayov zákon vyjadruje vzájomný vzťah medzi premenlivým magnetickým poľom a elektrickým poľom. Elektrické pole, ktoré vzniká časovou zmenou magnetického poľa je vírové (rot E π 0). (Elektrostatické pole takéto nie je, pre elektrostatické pole rote = 0). Vo vírovom elektrickom poli nemôžeme definovať potenciál ani napätie. Ampérov zákon D rot H = J vod +, (8.28) t kde J vod. je vektor prúdovej hustoty vodivostného prúdu. Zákon vyjadruje dve možné príčiny vzniku magnetického poľa. Magnetické pole môže vzniknúť buď v dôsledku vodivostného elektrického prúdu, alebo časovou zmenou elektrického poľa. Magnetické pole je vírové pole, pre každé magnetické pole platí roth π 0. K štyrom základným rovniciam pribudnú rovnice (8.22-8.23). Z Maxwellových rovníc je zreteľne vidieť už spomínané vzájomné prepojenie a väzbu elektrických a magnetických javov. 118