d i ( t ) d u C ( t ) u ( t ) = u R ( t ) + u L ( t ) + u C ( t ); u L ( t ) = L ; i ( t ) = C (3.58)

3.7 Serijski spoj aktivnog otpora - otpornosti R, električne zavojnice - induktivnosti L i električnog kondenzatora - kapacitivnosti C, u električnom krugu sa naponskim izvorom prostoperiodičnog napona Ponašanje serijskog spoja realna zavojnica induktivnosti L i realnog kondenzatora električne kapacitivnosti C, kada se isti nađe u električnom krugu sa naponskim izvorom prostoperiodičnog napona u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ), može se dovoljno dobro predstaviti na osnovu razmatranja serijskog spoja, idealiziranog, linearnog, vremenski nepromjenljivog, aktivnog otpora R, ( LVNR ), idealizirane, linearne, vremenski nepromjenljive, električne zavojnice, induktivnosti L, (LVNL) i idealiziranog, linearnog, vremenski nepromjenljivog, električnog kondenzatora, kapacitivnosti C, (LVNC), podvrgnutog djelovanju idealnog naponskog izvora, sa sinusoidalnim naponom u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ). Na slici 3.21, šematski je prikazan električni krug, u kojem je upravo potrošač, iskazan kao serijski spoj ( LVNR ) aktivnog otpornika, (LVNL) zavojnice i (LVNC) kondenzatora, izložen djelovanju idealnog naponskog izvora sinusoidalnog napona: u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ), koji očigledno ima ulogu generatora. Označimo li sa i ( t ) električnu struju, koja se upostavlja u električnom krugu sa slike 3.21, a sa u R ( t ), u L ( t ) i u C ( t ), padove napona, koji nastaje na (LVNR) aktivnom otporniku, (LVNL) zavojnici, odnosno na ( LVNC) kondenzatoru, respektivno, i to upravo zbog prolaska te iste struje, i ( t ), kroz upravo pobrojane električne elemente, tada se uz pomoć jednačina dinamičke ravnoteže, koje važe u svakom trenutku t, za predočenu električnu šemu ( one proizilaze iz II Kirchhoffovog zakona), može pisati da je: d i ( t ) d u C ( t ) u ( t ) = u R ( t ) + u L ( t ) + u C ( t ); u L ( t ) = L ; i ( t ) = C (3.58) d t d t Slika 3.21 Električni krug, u kojem se potrošač, iskazan kao serijski spoj ( LVNR ) aktivnog otpornika, (LVNL) zavojnice i ( LVNC) kondenzatora, izlaže djelovanju idealnog naponskog izvora sinusoidalnog napona: u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ). 1

Na osnovu relacija, predočenih sa (3.58), potom se može formirati i jednačina (3.59): d i ( t ) 1 u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ) = R i ( t ) + L + d t C i ( t ) dt + A (3.59) u kojoj je sa A označena konstanta, do na čiju vrijednost je određena familija primitivnih funkcija, koja se dobija u okviru određivanju pada napona u C ( t ), posredstvom relacije: i ( t ) = C (d u C ( t ) / d t ). Na osnovu diferenciranja integralno-diferencijalne jednačine (3.59), lako se formira i relacija (3.60): d i ( t ) d 2 i ( t ) U m w C cos ( wt + θ u ) = R C + LC + i ( t ) (3.60) d t d t 2 koja, u skladu sa matematičkom Teorijom diferencijalnih jednačina, pripada klasi linearnih, nehomogenih, diferencijalnih jednačina II reda, sa konstantnim koeficijentima. Uz uvažavanje, prethodno definisanih početnih uslova: i ( 0 ) = 0 i u C ( 0 ) = 0, nakon provođenja odgovarajućeg postupka njenog rješavanja, može se pokazati da je rješenje jednačine (3.60), upravo ona električna struja, i ( t ), koja ima slijedeći oblik vlastite promjene unutar vremenskog domena: i ( t ) = I m sin (wt + θ u φ) ((e - ( R / 2 L ) t ) / (sinα )) ((C/L) 1/2 U Cm (cos (θ u φ))sinw s t I m (sin(θ u φ))(sin (w s t α)) (3.61) Nije teško primjetiti da se takva električna struja i ( t ), praktično sastoji od dvije komponente, odnosno da je osnovano pisati: i ( t ) = i S ( t ) + i P ( t ). Pri tome je komponenta i S ( t ) = I m sin (wt + θ u φ), ona električna struja, koja se javlja i održava tokom ustaljenog - dakle stacionarnog, režima rada analiziranog kruga, dok se komponenta i P ( t ); i P (t)=((e - ( R / 2 L ) t )/(sinα )) ((C/L) 1/2 U Cm (cos(θ u φ))sinw s t I m (sin(θ u φ))(sin(w s t α)) pojavljuje samo u trenucima uspostavljanja analizirane električne struje i ( t ), te traje kraće, ili duže vrijeme. S obzirom, da struja i P ( t ), obavezno, nakon nekog vremena, iščezava, ona se u elektrotehnici označava kao struja prelaznog režima, u radu analiziranog kruga. Simboli, upotrebljeni u prethodnim relacijama poglavlja 3.7, imaju slijedeća značenja : I m = ( U m / Z ); Z = ( R 2 + ( w L- 1/ (wc) 2 ) (1/2) ; φ = arctg (( wl-1/(wc ))/R ) sinα = w s (LC) 1/2 ; w s = ( 1/(LC)- (R/(2L)) 2 ) 1/2 ; U Cm = I m /( wc) Saglasno spomenutoj Teoriji diferencijalnih jednačina, proizilazi da električna struja i ( t ) predstavlja ono partikularno rješenje diferencijalne jednačine (3.60), koje se dobije iz 2

opšteg rješenja iste te diferencijalne jednačine, kada se uvažavaju navedeni početni uslovi: i ( 0 ) = 0 i u C ( 0 ) = 0 ( treba također znati da je opšte rješenje bilo koje nehomogene diferencijalne jednačine, jednako zbiru opšteg rješenja, utvrđenog za homogeni dio, te analizirane jednačine ( u predmetnom slučaju to je komponenta: i P ( t )) i bilo kojeg partikularnog rješenja cijelokupne, dakle nehomogene diferencijalne jednačine ( u predmetnom slučaju to je komponenta i S ( t ))). Pri određivanju početnih uslova za tražene promjenljive veličine, tokom rješavanja diferencijalnih jednačina, generalno treba uvažavati slijedeće relacije: i ( t ) = i P ( t ) + i S ( t ); u C ( t ) = u CP ( t ) + u CS ( t ) (3.62) Veličine U co i I o, koje za slobodni režim predstavljaju nezavisne početne uslove, imaju u predmetnom postupku, ulogu početnih uslova slobodnog režima, pri čemu njihovi iznosi, zavise od stvarnih nezavisnih početnih uslova, u svakom konkretnom slučaju. Oni se određuju tako, da budu zadovoljeni nezavisni, početni uslovi analiziranog konkretnog slučaja, ali i odnosi iskazani relacijom (3.62), i to u trenutku t = 0 +: U co = u CP ( 0 +) = u C ( 0 ) - u CS ( 0 + ); I o = i P ( 0 +) = i P ( 0 ) - i S ( 0 + ) (3.63) Prema posljednjoj relaciji, ukoliko je: i ( 0 ) = 0, zbog i S ( 0 ) = I m sin ( θ u φ), struja I o mora imati vrijednost : I o = I m sin ( θ u φ). Koristeći se odnosima iskazanim relacijom (3.58), uz pomoć relacije (3.61), moguće je doći i do izraza, koji opisuju vremenski tok promjena napona u C ( t ), u električnom krugu sa slike (3.21). u C ( t ) = U Cm cos(wt + θ u φ)+((e - ( R / 2 L ) t ) / (sinα )) (U Cm (cos (θ u φ))sin(w s t +α ) I m (sin (θ u φ)) (L/C) 1/2 (sin(w s )) (3.64) Nakon uvažavanja početnog uslova u C ( 0 ) = 0, ali i podatka da je prema (3.64) u CS ( 0 + ) = U Cm cos ( θ u φ), potom se dobija da je napon U co jednak: U co = u CP ( 0 +) = u C ( 0 ) - u CS ( 0 + ) = U Cm cos ( θ u φ) Simbolom, Z = ( R 2 + ( w L- 1/ (wc) 2 ) (1/2), označena je ukupna električna otpornost analiziranog serijskog R-L-C električnog kruga, kojoj se vrlo često, pridružuje i znatno kraći naziv impendansa serijskog R-L-C električnog kruga. Ugao φ, φ = arctg (( wl-(1/wc ))/R ), iskazuje fazni pomjeraj struje i ( t ), u odnosu na električni napon u ( t ) i zajedno sa uglom θ u, značajno utiče na tok uspostavljanja električne struje i ( t ) u električnom krugu, čija je šema prikazana na slici 3.21. Tokom analize uticaja faznog stava električne struje i ( t ), dakle ugla Ө = ( θ u φ), na tok uspostavljanja te iste električne struje i ( t ) i električnog napona u C ( t ), potrebno je posebnu pažnju obratiti na slijedeće slučajeve: 3

1. Ukoliko je ugao Ө, određen relacijom Ө = ( θ u φ), jednak nuli, ili je pak taj ugao Ө, takav da vrijedi relacija Ө = π, tada je vremenska promjena električne struje i ( t ) i električnog napona u C ( t ),. analitički opisana slijedećim izrazima: i ( t ) = ± I m sin ( wt ) ( ± (e - ( R / 2 L ) t ) / ( sinα )) ( C/L) 1/2 U Cm (sin(w s t )) = = ± I m sin ( wt ) ( ± (e - ( R / 2 L ) t ) / ( sinα ) 2 ) ( w S / w ) I m (sin (w s t )) u C ( t ) = - ( ± U Cm cos ( wt ) ± ((e - ( R / 2 L ) t ) / ( sinα )) ( U Cm sin (w s t +α )) S obzirom da kod nekih energetskih uređaja, važe relacije: sinα 1; ( w s >> w ), kod takvih uređaja, neposredno nakon trenutka njihovog uključivanja na izvor električne energije, amplituda električne struje, koju oni povlače iz izvora, može višestruko premašiti nominalnu vrijednost, amplitude struje stacionarnog stanja ( recimo da pri uključenju asinhronog motora, udarna struja uključenja, može dostići čak i ( 7-8 ) puta veću vrijednost struje, od vrijednosti, nominalne amplitude struje stacionarnog stanja; slično tome pri uključenju neopterećenih energetskih transformatora, udarna struja njihovog uključenja, može dosegnuti čak i vrijednosti, koje su 50-100 puta veće, od amplitude struje praznog hoda u stacionarnom stanju pogledati sliku 3.22 ). Električni napon na ( LVNC) kondenzatoru, prema prethodno navedenom izrazu, može doseći i dvostruku vrijednost u odnosu na U Cm. Slika 3.22 Grafički prikaz uspostavljanja stacionarnog režima električne struje praznog hoda, i ( t ), energetskog transformatora u uslovima kada je udarna struja uključenja jako izražena. 4

2. Ukoliko je ugao Ө, određen relacijom Ө = ( θ u φ), upravo takav, da važi relacija: Ө = ( π / 2 ), ili je pak ugao Ө, takav da vrijedi relacija Ө = - ( π / 2 ), tada je komponenta i P ( t ) ( kojom se opisuje struja prelaznog režima, unutar integralnog izraza za električnu struju i ( t )) ponovo prisutna u izrazu za ukupnu električnu struju, koja se registruje neposredno nakon trenutka pomenutog uključenja na izvor električne energije, pa u nekom trenutku vremena t, koji se desi prije uspostavljanja stacionarnog režima električne struje i ( t ), struja, i ( t ), prema relaciji koja slijedi, može dostići i dvostruku vrijednost amplitude I m. i ( t ) = ± I m sin ( wt + π / 2) ± ( I m ) (( e - ( R / L ) t ) (sin (w s t α))/( sinα )) U ovakvim okolnostima, električni napon na ( LVNC) kondenzatoru, u C ( t ), mijenja se tokom vremena, u skladu sa funkcionalnom vezom koja slijedi: u C ( t ) = ± U Cm sin ( wt ) ( ± (e - ( R / 2 L ) t ) ( w S / w ) U Cm (sin (w s t ) ) Zbog već ranije uočenog odnosa ( w s >> w ), električni napon na ( LVNC) kondenzatoru, u C ( t ), u ovakvim uslovima, može i značajnije premašiti amplitudnu vrijednost U Cm. 3. U posebnom slučaju, kada je R male vrijednosti, dakle kada R 0, tada važe i relacije: ( w s ) >> (R/(2L)) i ( w s w ), pa se struja i ( t ), pojavljuje u obliku: i ( t ) = I m sin ( wt + θ u φ ) I m (( e - ( R / L ) t ) (sin (wt + θ u φ)) koji je grafički interpretiran na slici 3.23. Uspostavljanje električne struje i ( t ), sada se očigledno, odvija vrlo lagano, sa postepenim porastom amplitude, koja će tek nakon okončanja prelaznog procesa doseći nominalnu vrijednost I m = ( (U m ) / ( R 2 + ( w L- 1/ (wc) 2 ) (1/2) ) Slika 3.23 Grafički prikaz uspostavljanja stacionarnog režima električne struje, i ( t ), u uslovima kada R 0 i kada važe još i relacije: ( w s ) >> (R/(2L)), ( w s w ) 5

Trenutna električna snaga p ( t ), koju angažuje potrošač, iskazan kao serijski spoj (LVNR ) aktivnog otpornika, (LVNL) zavojnice i ( LVNC) kondenzatora, kada je izložen djelovanju idealnog naponskog izvora, sinusoidalnog napona, u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ), određuje se pomoću relacije (3.65) p ( t ) = u ( t ) i ( t ) = (u R ( t ) + u L ( t ) + u C ( t )) i ( t ), (3.65) Kao što je već i ranije naglašavano, električnu snagu p ( t ), uobičajno je analizirati tek u uslovima, kada se prethodno uspostavila stacionarna vrijednost struje i ( t ). U skladu sa ovim ograničenjima i uz uvažavanje ranije utvrđenih relacija: da je napon u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ), a električna struja i ( t ) = ( U m /( Z )) sin ( wt + θ u φ), moguće je uspostaviti novu relaciju za trenutnu vrijednost električne snage, p ( t ), u obliku (3.66): p ( t ) = u ( t ) i ( t ) = U m I m ( sin ( wt + θ u )) (sin ( wt + θ u φ) ) = 1 = ( U m ) 2 ( cos φ - cos (2 ( wt + θ u ) φ )) (3.66) 2 ( Z ) Trenutni oblik električne snage, angažovane od strane serijskog spoja (LVNR ) aktivnog otpornika, (LVNL) zavojnice i ( LVNC) kondenzatora, kada je isti izložen djelovanju idealnog naponskog izvora, sinusoidalnog napona, u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ), prema relaciji (3.66), pokazuje, da ta snaga ima dvije komponente: jednu koja nije funkcija vremena i drugu koja je harmonijska funkcija vremena i to dvostruko veće frekvencije nego napon naponskog izvora, ili pak uspostavljena struja i ( t ). Srednja vrijednost trenutne električne snage p ( t ), određena je relacijom (3.67) T P sr = (1/ T ) 0 p ( t ) dt = ( U m ) 2 ( 1 / (2 Z) ) ( cos φ ) (3.67) i određuje onaj dio električne snage, angažovane pomoću potrošača, iskazanog serijskim spojem ( LVNR ) aktivnog otpornika, (LVNL) zavojnice i ( LVNC) kondenzatora, u uslovima kada je takav električni spoj izložen djelovanju idealnog naponskog izvora, sinusoidalnog napona, u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ), koji se nepovratno transformiše u toplotu, po osnovu Jouleovih gubitaka na aktivnom otporu R. Takva snaga, naziva se i aktivnom električnom snagom i formalno označava simbolom P. Ukoliko se umjesto maksimalnih vrijednosti napona U m i električne struje I m = ( U m / Z ), uvedu efektivne vrijednosti istog napona ( U ) i iste struje ( I ), ( U m = ( 2 ) 1/ 2 U ), tada se aktivna električna snaga P, može izraziti i u obliku: T P sr = (1/ T ) 0 p ( t ) dt = P = ( U I ) ( cos φ ) (3.68) Druga komponenta trenutne vrijednosti električne snage izražene sa relacijom (3.66), koja je harmonijska funkcija vremena i to dvostruko veće frekvencije nego napon 6

naponskog izvora, ili pak uspostavljena struja i ( t ), može se očigledno, razviti na dvije subkomponente : - subkomponentu (- UI ( cos φ ) cos (2 ( wt + θ u ) )) - subkomponentu (- UI ( sin φ ) sin (2 ( wt + θ u ) )) Prva subkomponenta (- UI ( cos φ ) cos (2 ( wt + θ u ) )) predstavlja onaj dio trenutne snage, p ( t ), koji oscilira oko stalne vrijednosti ( U I ) ( cos φ ), odnosno oko aktivne snage P. Druga subkomponenta (- UI ( sin φ ) sin (2 ( wt + θ u ) )), je onaj dio trenutne snage, p ( t ), čija je amplituda određena relacijom (- UI ( sin φ ) i primarno označava snagu koja oscilira između naponskog izvora i reaktivnog električnog otpora ( wl-(1/wc )), koji je sastavni dio ukupne impendanse Z, analiziranog serijskog R, L, C spoja. S obzirom da se ova električna snaga ne može konvertovati u koristan rad, nego služi samo za izgradnju, ili razgradnju, bilo magnetnog polja zavojnice, bilo električnog polja uptrebljenog kondenzatora, ona očigledno ima prirodu reaktivne snage. Takva električna snaga, formalno se označava simbolom Q = ( - UI ( sin φ )). Obično se uvažava slijedeća konvencija: ukoliko je analizirani spoj potrošača, pretežno induktivan, odnosno vrijedi relacija ( wl-1/(wc )) > 0, tada je predmetna reaktivna snaga Q < 0. Ukoliko je međutim, analizirani spoj potrošača pretežno kapacitivan, dakle ako vrijedi relacija: ( wl-1/(wc )) < 0, predmetna reaktivna snaga Q > 0. Reaktivna snaga Q i aktivna snaga P, zajedno po osnovu relacije (3.69), određuju prividnu snagu S, na koju mora biti dimenzioniran upotrebljeni naponski izvor: S = ( P 2 + Q 2 ) (1/ 2) (3.69) U okviru prenosa električne energije na daljinu, nastoji se preko upotrbljenog dalekovodnog prenosnog sistema, prenositi što manji iznos reaktivne snage Q. U okviru oblasti Racionalno korištenje električne energije, pokazuje se da generisanje reaktivne snage direktno na mjestu njene potrošnje, ima punu tehnoekonomsku opravdanost ( kako je većina industrijskih potrošača, pojednostavljeno gledano, dominantno, definisana kao električni krugovi R-L tipa, to je neposredno uz njih, evidentno potrebno, instalirati baterije električnih kondenzatora, da bi se povećao faktor snage ( cos φ ) novoformiranog sistema ( baterija kondenzatora + električni krug R-L tipa) koji je spojen na napojnu električnu mrežu; u tehničkoj literaturi, ovakav pristup, označava se obično kao kompenzacija reaktivne snage, ili pak popravka faktora snage, ( cos φ )) Trenutna vrijednost električne energije, angažovane tokom vremenskog intervala ( 0, t ), i u slučaju potrošača, iskazanog serijskim spojem ( LVNR ) aktivnog otpornika, (LVNL) zavojnice i ( LVNC) kondenzatora, u uslovima kada je takav električni spoj izložen djelovanju idealnog naponskog izvora, sinusoidalnog napona, u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ), određena je relacijom (3.70), t W = 0 p ( t ) dt (3.70) 7

3.8 Predstavljanje prostoperiodičnih signala pomoću fazora Ponašanje karakterističnih veličina ( električnih napona i električnih struja ) u linearnim električnim krugovima stalnih jednosmjernih struja i napona, u uslovima uspostavljenog stacionarnog stanja njihovih promjena, opisuje se putem linearnih algebarskih jednačina, čija su rješenja po pravilu konstantne veličine. Sa takvim veličinama, tada očigledno nije teško provesti sve potrebne elementarne algebarske operacije, bilo da one proizilaze iz primjene Kirchhoffovih zakona, ili su pak nametnute, upotrebom drugih metoda za rješavanje linearnih električnih krugova. Međutim i u takvim električnim krugovima, ukoliko se pristupi analizi prelaznih stanja, odnosno utvrđivanju zakonitosti po kojima se uspostavljaju, ili pak iščezavaju pripadne im električne struje i naponi, odgovarajući analitički opis takvih procesa se mora oslanjati i na diferencijalne jednačine, što odmah navodi na zaključak, da onda ni sam proces iznalaženja analitičkih izraza, koji određuju karakteristične veličine, nije više tako jednostavan, kao u uslovima stacionarnog stanja. Kod razmatranja električnih krugova, unutar kojih se uspostavljaju prostoperiodične struje i naponi, na poteškoće se nailazi već i u uslovima sagledavanja stacionarnih stanja. Naime bez obzira na neophodni uslov, da svi upotrebljeni izvori prostoperiodičnih struja i napona unutar jednog električnog kruga, moraju imati istu frekvenciju ostvarivanja vlastitih promjena, zbog inherentno otvorene mogućnosti da amplitude struja i napona, kao i njihovi pripadajući fazni stavovi, mogu imati međusobno različite vrijednosti, dosta posla zadaje već i elementarni zahtjev, da se nađe recimo rezultantna vrijednost prostoperiodične struje, koju formiraju dvije, ili tri struje grana, što su vezane u zajedničko čvorište ( navedeni primjer generiše primjena I Kirchhoffovog zakona ). Ovakav problem, značajno se može reducirati, ukoliko se tražena algebarska operacija, umjesto u vremenskom domenu ( dakle direktno sabiranje sinusoidalnih veličina i ( t ) = i 1 ( t ) + i 2 ( t ) = I 1m sin (wt +φ 1 ) + I 2m sin (wt +φ 2 ) ) obavi uz pomoć fazorskih dijagrama. Prikazivanje prostoperiodičnih veličina posredstvom fazorskih dijagrama, bazira se na uvođenju fazora-veličine koja proizilazi iz uslovno govoreći jednog vještački uvedenog pojma, koji ima uistinu i dosta sličnosti sa obrtnim vektorom, ali ipak i neke vrlo bitne, čak suštinske rezlike, u odnosu na te iste obrtne vektore ( fazori se naime mogu, ne samo sabirati, oduzimati i množiti ( mada je množenje fazora, bitno drugačije od množenja vektora ), nego čak i dijeliti). Ipak unošenje i ovakvog formalizovanog fazorskog pojma, a s njim i otvaranje prostora za jednostavno provođenje mogućih raspoloživih računskih operacija sa njima, u mnogim osnovnim analizama električnih krugova prostoperiodičnih struja i napona, omogućava kao što to pokazuje praksa, da se vrlo brzo dođe do osnovnih traženih informacija. Fazor, kao i svaki obrtni vektor svojom dužinom izražava veličinu vlastitog intenziteta, dok se položajem nosača fazora, u odnosu na pozitivan smjer apscisne ose, određuje pravac i smjer njegovog djelovanja. Činjenica da je fazor kao veličina formalno potpuno određen sa samo dva parametra ( dužinom fazora i položajem nosača fazora u odnosu na pozitivan smjer apscisne ose), uz naprijed izrečenu konstataciju da i prostoperiodične veličine ( električne napone i električne struje) u linearnom električnom krugu, definisane frekvencije, potpuno 8

određuju samo njihova amplituda i početna faza, omogućava uspostavljanje vrlo jednostavne korespondencije, između prostoperiodične forme prikazivanja struja i napona i njoj ekvivalentnog fazorskog predstavljanja istih veličina. Na slici 3.24, dat je grafički prikaz predstavljanja električne struje i ( t ), u fazorskoj formi slika lijevo i u klasičnom vremenskom prostoperiodičnom prikazu slika desno. Slika 3.24 Grafički prikaz predočavanja električne struje i ( t ) u fazorskoj formi lijevo i u klasičnom vremenskom prostoperiodičnom prikazu desno. Sa naznačenog fazorskog prikaza, trenutna vrijednost neke prostoperiodične struje i ( t ), i ( t ) = I 1m sin ( wt + Ө 1 ), u proizvoljnom trenutku t i, određuje se tako da se nosač fazora iz svog osnovnog položaja, kada isti leži na apscisnoj osi, u njenom pozitivnom smjeru, zarotira, oko koordinatnog početka, suprotno smjeru kazaljke na satu, za ugao ( wt i + Ө 1 ). U novouspostavljenom položaju fazora, njegova projekcija na ordinatnu osu, određuje vrijednost električne struje, i ( t ), u trenutku t i, odnosno i ( t i ) = I 1m sin ( wt i + Ө 1 ). Na slici 3.25, dat je i jedan primjer, kako se, uz pomoć fazorskog računa, može znatno jednostavnije ostvariti sabiranje prostoperiodičnih veličina i ( t ) = i 1 ( t ) + i 2 ( t ) i ( t ) = I 1m sin (wt +φ 1 ) + I 2m sin (wt +φ 2 ) Slika 3.25 Uz pomoć fazorskog računa, može se znatno jednostavnije ostvariti sabiranje prostoperiodičnih veličina, dakle provesti računanje rezultantne struje i ( t ) = i 1 ( t ) + + i 2 ( t ) = I 1m sin (wt +φ 1 ) + I 2m sin (wt +φ 2 ), nego što je to moguće putem analitičkog računanja i određivanja ekvivalentne sinusoide 9

Ukoliko se sa i ( t ), označi tražena rezultantna struja, zbog okvirno poznate relacije za tu struju : i ( t ) = I m sin ( wt + Ө ), nepoznate vrijednosti parametara rezultantne struje I m i Ө, se određuju direktno sa fazorskog dijagrama, pomoću relacija: I m sin ( Ө ) = I m1 sin ( φ 1 ) + I m2 sin ( φ 2 ), I m cos ( Ө ) = I m1 cos ( φ 1 ) + I m2 cos ( φ 2 ), Sada se može mnogo brže doći i do analitičkih izraza za određivanje parametara I m i Ө : Nego što je to slučaj kada se koristi postupak određivanja ekvivalentne sinusoide. I m = ( ( I m1 ) 2 + ( I m2 ) 2 + 2 I m1 I m2 cos ( φ 2 φ 1 ) (3.71) I m1 sin ( φ 1 ) + I m2 sin ( φ 2 ) Ө = arctg (3.72) I m1 cos ( φ 1 ) + I m2 cos ( φ 2 ) Na slici 3.26 dat je fazorski dijagram serijskog spoja ( LVNR ) aktivnog otpornika, (LVNL) zavojnice i ( LVNC) kondenzatora, u uslovima kada je takav električni spoj izložen djelovanju idealnog naponskog izvora, sinusoidalnog napona, u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ). Zbog jednostavnijeg crtanja fazorskog dijagrama, uvedena je i dodatna pretpostavka, da je početna faza φ, uspostavljene struje i ( t ) = I m sin ( wt + φ ), jednaka nuli, dakle važi relacija φ = 0. Slika3.26 Fazorski dijagram serijskog spoja ( LVNR ) aktivnog otpornika, (LVNL) zavojnice i ( LVNC) kondenzatora, u uslovima kada je takav električni spoj izložen djelovanju idealnog naponskog izvora, sinusoidalnog napona, u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ). Fazori se simbolički označavaju tako da im se iskaže amplituda i pripadajući im argument. Tako recimo za električni napon u ( t ) = 310 sin ( wt + (π/4)), fazorsko predstavljanje istog napona bi izgledalo u obliku Ū = 310 /(π/4) 10

3.9 Simbolički pristup u rješavanju linearnih električnih krugova sa prostoperiodičnim strujama i naponima Tokom prethodnih razmatranja je zaključeno, da analiza linearnih električnih krugova sa prostoperiodičnim strujama i naponima, kada se provodi u vremenskom domenu najčešće zahtjeva i rješavanje diferencijalnih jednačina, koje se pojavljuju kao jednačine dinamičke ravnoteže, za takve krugove. Pojednostavljenja, koja nudi fazorski račun dobrodošla su ipak samo za jednostavnije električne krugove. U traženju pristupa, koji bi problem iznalaženja karakterističnih veličina stacionarnog stanja linearnih električnih krugova sa prostoperiodičnim strujama i naponima, učinio jednostavnijim i lakšim ( postupci rješavanja linearnih električnih krugova sa stalnim jednosmjernim strujama i naponima, zasnovani na rješavanju linearnih algebarskih jednačina sa realnim koeficijentima i vlastitim rješenjima, u formi realnih brojeva bili su vodilja u predmetnom traženju prikladnijeg pristupa), zadovoljavjuće rezultate je ponudio takozvani simbolički pristup. Simbolički pristup se bazira na ideji, da se prostoperiodične veličine, formalno iskažu pomoću kompleksnih brojeva, nakon čega se odmah otvara put da se i integralnodiferencijalne jednačine, pridružene analiziranom linearnom električnom krugu, a proistekle iz jednačina njegove dinamičke ravnoteže, zamjene sa linearnim algebarskim jednačinama sa kompleksnim koeficijentima, čija su i rješenja, u opštem slučaju, također u formi kompleksnih brojeva. Ovakvo simboličko predstavljanje formalno se iskazuje oznakom koja slijedi: dakle Z je impendansa neke grane iskazana u kompleksnom obliku i može se razložiti na vlastite komponente, putem nekoliko pristupa. Tako ukoliko se koristi algebarski oblik kompleksnog broja za impendansu Z, tada je Z = Re { Z } + j Im { Z }, pri čemu komponenta Re { Z }određuje aktivnu otpornost u predmetnoj impendansi, dok komponenta Im { Z }određuje reaktivnu otpornost u toj istoj impendansi. Pri upotrebi trigonometrijskog oblika predstavljanja kompleksnog broja, za istu impendansu, važi relacija: Z = Z ( cosφ + j sinφ ). Ipak najčešće se u tehničkoj praksi u okviru predstavljanja, bilo impendanse Z, bilo električne struje, ili pak električnog napona, koristi eksponencijalni oblik za izražavanje kompleksnog broja, baziran na Ojlerovom obrascu ( cosφ + j sinφ ).= e j φ. Sve ono što pružaju fazori, može pružiti i amlituda ovakvog simboličkog pristupa, ako mu se tokom njegove primjene, odgovarajuća amplituda iskaže u kompleksnom obliku. I m = I m e j φ (3.73) Množenjem ovakve kompleksne amplitude, sa faktorom e jwt ista se praktično zarotira za ugao wt, u pozitivnom matematičkom smjeru. Kada se odredi relacija za električnu struju u obliku I m ( t ) = ( I m e j φ e j w t ), tada se vrlo jednostavno pronalazi tražena struja i ( t ), u vremenskom domenu, koristeći relaciju i ( t ) = Im { I m ( t ) }= Im { I m e j φ e j w t }= I m sin (wt + φ). 11

U slučaju kada prostoperiodična struja i ( t ) = I m sin (wt + φ), prolazi kroz (LVNR) aktivni otpornik otpornosti R, stvoreni pad napona u R ( t ) na tom otporniku, koji je po smjeru usaglašen sa tom strujom, u vremenskom domenu je definisan relacijom: u R ( t ) = R i ( t ) = R I m sin (wt + φ) = U m sin (wt + φ) (3.74) Ukoliko se pak iskazivanje istih odnosa provede uz pomoć simboličkog pristupa, tada se uz pomoć kompleksnog izraza za struju i ( t ), dakle uz korištnje relacije I m ( t ) = ( I m e j φ e j w t ), odgovarajući kompleksni izraz U mr ( t ), za pad napona na (LVNR) aktivnom otporniku, otpornosti R, određuje u formi: U mr ( t ) = R I m ( t ) = R I m e j w t = U mr e j w t, U mr = R I m = R I m e j φ (3.75) Uz pomoć relacije (3.75), sada se lako može rekonstruisati i izraz za pad napona u R ( t ) na (LVNR) otporniku, otpornosti R, koji je po smjeru usaglašen sa strujom, i ( t ): u R ( t ) = Im { U mr ( t ) }= Im { R I m e j φ e j w t }= U m sin (wt + φ) (3.76) Nije teško primjetiti da se i u okviru simboličkog pristupa, ponovo potencira važna činjenica da, između električne struje u kompleksnom obliku I m ( t ) i pada napona na (LVNR) otporniku, otpornosti R, u kompleksnom obliku U R ( t ), izazvanog upravo prolaskom te struje, nema faznog pomaka, jer je : arg ( U mr ( t ) ) arg ( I m ( t ) ) = arg ( U mr ) arg ( I m ) = 0 (3.77) U skladu sa posljednjom relacijom slijedi zaključak da se pri simboličkom pristupu, argument dobijen nakon provedenih matematičkih operacija, može odrediti i korištenjem samo vrijednosti kompleksnih amplituda. Kada prostoperiodična struja i ( t ) = I m sin (wt + φ), prolazi kroz (LVNL) zavojnicu, induktivnosti L, stvoreni pad napona u L ( t ) na toj zavojnici, koji je po smjeru usaglašen sa tom strujom, u vremenskom domenu je definisan relacijom: d i ( t ) u L ( t ) = L = wl I m sin (wt + φ + (π / 2)) = U ml sin (wt + φ+(π / 2)) (3.78) dt Ukoliko se pak iskazivanje istih odnosa provede uz pomoć simboličkog pristupa, tada se uz pomoć kompleksnog izraza za struju i ( t ), dakle uz korištnje relacije I m ( t ) = ( I m e j φ e j w t ), odgovarajući kompleksni izraz U ml ( t ), za pad napona na (LVNL) zavojnici, induktivnosti L, određuje u formi: 12

d I m ( t ) d ( I m e j φ e j w t ) U ml ( t ) = L = L = j wl ( I m e j φ e j w t ) (3.79) dt dt U ml ( t ) = wl ( I m e j φ e j w t+j (π/2) ) = wl I m e j ( φ + w t+ (π/2)) ) (3.80) Uz pomoć relacije (3.80), sada se lako može rekonstruisati i izraz za pad napona u L ( t ) na (LVNL) zavojnici, induktivnosti L, koji je po smjeru usaglašen sa strujom, i ( t ): u L ( t ) = Im { U ml ( t ) }= Im { wl I m e j ( φ + w t+ (π/2)) ) }= wl I m sin (wt + φ (π / 2)) = U ml sin (wt + φ +(π / 2)) (3.81) U okviru simboličkog pristupa, ponovo se potencira važna činjenica, da između električne struje u kompleksnom obliku I m ( t ) i pada napona na (LVNL) zavojnici, induktivnosti L, u kompleksnom obliku U L ( t ), izazvanog upravo prolaskom te struje, postoji fazni pomak, i to od (π / 2)), jer je : arg ( U ml ( t ) ) arg ( I m ( t ) ) = arg ( U ml ) arg ( I m ) = (π / 2) (3.82) Prema posljednjoj relaciji ponovo slijedi zaključak da se pri simboličkom pristupu, argument dobijen nakon provedenih matematičkih operacija, može odrediti korištenjem samo vrijednosti kompleksnih amplituda upotrebljenih veličina. Veličina određena relacijom wl, ima prirodu električnog otpora i u elektrotehnici se naziva induktivna otpornost. Ova otpornost se formalno označava sa X L. Induktivnoj otpornosti X L, pridružuje se vrijednost impendanse Z L = j X L = j wl. Na osnovu prethodnih relacija može se uočiti da se u okviru simboličkog pristupa, efekat diferenciranja formalno iskazuje množenjem sa operatorom j, odnosno unošenjem dodatnog faznog pomaka od (π / 2). Sa stanovišta simboličkog pristupa, ima smisla pisati da je po Ohmovom zakonu, pri usaglašenim smjerovima električne struje i pada električnog napona na zavojnici, zbog prolaska te struje, u važnosti slijedeći odnos: U ml = Z L I m = j wl I m = j wl I m e j φ = wl I m e j (φ + (π/2)) j (φ + (π/2)) = U ml e Kada prostoperiodična struja i ( t ) = I m sin (wt + φ), prolazi kroz (LVNC) kondenzator, kapacitivnosti C, stvoreni pad napona u C ( t ) na tom kondenzatoru, koji je po smjeru usaglašen sa tom strujom, u vremenskom domenu je definisan relacijom: d u C ( t ) i ( t ) = C ; u C ( t ) = U mc sin (wt + φ (π / 2)) (3.83) dt Ukoliko se pak iskazivanje istih odnosa provede uz pomoć simboličkog pristupa, tada se uz pomoć kompleksnog izraza za struju i ( t ), dakle uz korištenje relacije 13

I m ( t ) = ( I m e j φ e j w t ), do odgovarajućeg kompleksnog izraza U mc ( t ), za pad napona na (LVNC) kondenzatoru, kapacitivnosti C, dolazi na osnovu relacije: 1 U mc ( t ) = ( I m e j φ e j w t ) dt + A (3.84) C Sa A je označena integraciona konstanta, koja se pojavljuje pri računanju neodređenog integrala, a određuje se u skladu sa zadatim početnim uslovima. Ukoliko kondenzator nije raspolagao nabojem u trenutku t = 0, tada je A = 0. U mc ( t ) = (1 / (jwc)) ( I m e j φ e j w t ) = (1 / (wc)) I m e j ( φ + w t- (π/2)) ) (3.85) Uz pomoć relacije (3.85), sada se lako može rekonstruisati i izraz za pad napona u c ( t ) na (LVNC) kondenzatoru, kapacitivnosti C, koji je po smjeru usaglašen sa strujom, i ( t ): u C ( t ) = Im { U mc ( t ) }= Im { ( 1 / (wc)) I m e j ( φ + w t- (π/2)) ) } = ( ( 1 / (wc)) I m sin (wt + φ (π / 2)) = = U mc sin (wt + φ (π / 2)) (3.86) I u ovom slučaju u okviru simboličkog pristupa, ponovo se potencira važna činjenica, da između električne struje u kompleksnom obliku I m ( t ) i pada napona na (LVNC) kondenzatoru, kapacitivnosti C, u kompleksnom obliku U C ( t ), izazvanog upravo prolaskom te struje, postoji fazni pomak, od ( π / 2)) jer je : arg ( U mc ( t ) ) arg ( I m ( t ) ) = arg ( U mc ) arg ( I m ) = ( π / 2) (3.87) Prema posljednjoj relaciji slijedi i novo potvrđivanje već spominjanog zaključka, da se pri simboličkom pristupu, argument dobijen nakon provedenih matematičkih operacija, može odrediti korištenjem samo vrijednosti kompleksnih vrijednosti amplituda upotrebljenih veličina. Veličina određena relacijom 1/(wC), ima također prirodu električnog otpora i u elektrotehnici se naziva kapacitivna otpornost. Ova otpornost se formalno označava sa X C. Kapacitivnoj otpornosti X C, pridružuje se vrijednost impendanse Z C = j X C ; Z C = ( j ) /(wc). Na osnovu prethodnih relacija može se uočiti da se u okviru simboličkog pristupa, efekat integriranja, formalno iskazuje množenjem sa (-j), odnosno unošenjem dodatnog faznog pomaka od (- π / 2). Sa stanovišta simboličkog pristupa ima smisla pisati da je po Ohmovom zakonu, pri usaglašenim smjerovima električne struje i pada električnog napona na kondenzatoru, nastalog zbog prolaska te struje, u važnosti slijedeći odnos: U mc = Z C I m = (-j /(wc)) I m = (-j /(wc)) I m e j φ j (φ - (π/2)) = (1/(wC)) I m e = U mc e j (φ - (π/2)) (3.88) 14