Fakule rojarva i brodogradje Sveučiliše u Zagrebu Polijediplomka aava ANTUN GALOVIĆ ODABANA POGLAVLJA IZ KONDUKCIJE I. Aaliičko rješeje eacioarog jedodimezijkog provođeja oplie II. III. IV. Provođeje oplie u polubekoačoj kruii Aaliičko rješeje emperaurog polja kod reuih, koiuiraih i pomičih oplikih izvora Neacioaro provođeje oplie fazom promjeom Zagreb,.
I. Poglavlje; Aaliičko rješeje eacioarog jedodimezijkog provođeja oplie - bekoača ploča - bekoači cilidar - kugla I. Aaliičko rješeje jedodimezijkog eacioarog rovođeja oplie u kruii. Uvod U okviru dodiplomke aave iz područja kodukivog rapora oplie reirai u problemi, glede jihova aaliičkog rješeja, jedodimezijkog acioarog provođeja oplie za ri oova geomerijka oblika kruie: rave ijeke, cilidriče i feriče ijeke. Kodukcijki rapor oplie u avedeim oblicima dealjo je prikaza u lierauri []. Opća rješeja acioarih emperaurih polja za e ri oove geomerije, ravu ijeku, ijeku cilidra i ijeku kugle u: ( ) () r C C Clr C C () r C r Iegracijke koae C i C e određuju iz rubih (graičih ) uvjea, i kojih kako zademo, pooje ri vre; a)- rubi uvjei. vre, kod kojega je a graičim (rubim) površiama ijela (kruie) pozaa (propiaa) emperaura; b)- rubi uvje. vre, kod kojega je a graičim površiama pozaa guoća oplikog oka; c)- rubi uvje. vre, koji je opia Newoovim ikuveim avkom, koji e u lieraruri još aziva i Newoov zako hlađeja. O govori o oplikoj ierakciji između vajkih površia kruia i okoliša i izražava e jedadžbom ( ) q α, u kojoj veličia α predavlja ukupi koeficije prijelaza oplie, a koji u ajširem obliku uključuje kovekivu izmjeu oplie i izmjeu oplie zračejem između graičih površia i okoliša. Kod eacioarog provođeja oplie u kruii, emperauro polje, oim o proorim koordiaama, fukcija je i vremeke varijable, pa je za rješavaje akvih problema, pored pozavaja graičih uvjea, porebo dodao pozavaje i počeog (iicijalog) uvjea. Počei uvje e odoi a pozavaje emperaurog polja u kruii
u počeom reuku odvijaja eacioare izmjee oplie. Dakako da u za akve probleme aaliička rješeja bio kompliciraija i mogu e proaći amo za određee jedoave oblike kruie. Gdje god je o moguće proalaze e aprokimacijka, ali još uvijek dovoljo oča aaliička rješeja, u obliku koiuirae fukcije, koja e zbog ižejerke aplikacije čeo prikazuju i grafički u bezdimezijkom obliku. Kao akva mogu e koriii za proraču emperaurog polja u kruii za ve lučajeve koji udovoljavaju krierijkim bezdimezijkim varijablama. azvoj elekroičkih račuala omogućio je primjeu umeričkih meoda za rješavaje ložeih kodukcijkih problema. U e meode ubrajaju e: meoda koačih diferecija (MKD), meoda koačih elemeaa (MKE) kao i meoda korolog volumea (MKV) ili eergijka bilaca meoda. Svaka od ih meoda ima voje predoi i edoake. Numeričke meode pored vojih predoi, imaju i jeda bii edoaak, i koji e vodi a čijeicu da oe daju približa, dakako i dovoljo oča dikreizira rezula, ali amo za doiči promarai problem. U okviru ovog poglavlja pokazuje e aaliički ači proračua jedodimezijkog eacioarog emperaurog polja emperaurog u ravoj ijeci koaih fizikalih vojava. ava ijeka zaemarivih oplikih opora a graičim površiama p -δ δ δ Slika I-. ava ijeka zaemarivih oplikih opora a graičim površiama Ovakav model prikazuje lika I-. Ploča ima debljiu δ, pozaa koaa fizikala vojva ρ, c,. O umjerea je po debljii, i u mjeru doiče oi domiao je kodukivo šireje oplie. To zači da e zaemaruju emperauri gradijei u mjeru druge dvije oi y i z. Neka je doiča ploča u počeom reuku jedoliko progrijaa a emperauru p, j; počei (iicijali) uvje je (, ) p Nadalje eka e ploči aglo maji vrijedo površike emperaure a vrijedo, čime e zbog imeričog šireja oplie mogu zapiai rubi (graiči) uvjei a ljedeći ači: ; (I - a) δ ; (I - b) Navedea iuacija u praki je moguća, kada e labo vodljivi maerijal aglo uroi u kapljeviu, pri čemu e između površie urojee kruie i kapljevie poižu vrlo vioki koeficijei kovekivog prijelaza oplie, pa e može zaemarii kovekivi opliki opor. Za aj lučaj Bioov broj Bi α l / poaje jako velik, šo dopuša vrlo jedoavo bezdimezijko rješeje ovog vrlo važog eacioarog problema.
Parcijala diferecijala jedadžba promaraog problema ima oblik a (I - ). Prikaz problema u bezdimezijkom obliku Prije izalažeja rješeja azačee jedadžbe zajedo a počeim i rubim uvjeima, priklado je ie prevei a bezdimezijki oblik. Prvo formirajmo bezdimezijke prooru, emperauru i vremeku varijablu: - bezdimezijka proora varijabla η (I-4) δ - bezdimezijka emperaura varijabla (, ) Θ p p (I-5) Tko defiirae bezdimezijke varijable mijejaju e od do. Korieći zadje dvije bezdimezijke jedadžbe, jedadžbu (I-) prevodimo a bezdimezijki oblik ljedećom procedurom: δη ; d δdη (a) ( ) Θ ; d ( ) dθ p (b) p Uvršavajem jedadžbi (a) i (b) u jedadžbu (I-) dobiva e jezi modificirai oblik ( ) p Θ a ( ) p δ Θ η kojeg e lako modificira a bezdimezijki oblik (c) Θ Θ ( a / δ ) η (d) Uvođejem bezdimezijke vremeke varijable u gorju jedadžbu ξ (I-7) ( a / δ ) dobiva e koači bezdimezijki oblik jedadžbe (I-) 4
Θ ξ Θ η (I-8) U jedadžbi (I-7) veličia a (I-9) ρ c p predavlja koeficije emperaure vodljivoi (oplika difuzivo) kruie. Počei i rubi uvjei u bezdimezijkom prikazu u ljedeći: ξ ; Θ (I-a) Θ η ; ; (adijabaki uvje!) (I-b) η η ; Θ (I-c) Bezdimezijka veličia a Fo (I-) δ aziva e Fourierov broj, i kojeg e formalo može apiai u obliku Fo (I-) c gdje veličia c δ (I-) a predavlja karakeriičo vrijeme odoo vremeku koau kruie pri jedodimezijkom eacioarom provođeju oplie. Bezdimezijko rješeje ima će oblik ( Fo η) f ( ξ η) Θ f, (I-4), u kojemu bezdimezijke varijable Fo, η odoo ξ predavljaju varijable ličoi. Poašaje amog rješeja u mogome ovii o omu da li je Fo mogo maji, reda veličie ili puo veći od jediice. 5
.. Bezdimezijko rješeje emperaurog polja Jeda od ačia poavljeog problema je meoda eparacije varijabli. Prepoavimo da e fukcija (I-4) može prikazai kao produk amo fukcije varijable ξ, Z ( ξ ) i H η, j.: fukcije varijable η, ( ) ( ξ η) ( ξ ) H ( η) Θ f, Z (I-5) Supiucijom u jedadžbu (I-8) dobiva e dz d H H Z (I-6) dξ dη pri čemu u oali diferecijali zamijeili parcijale, jer je veličia Z zavia amo od ξ, a H zavia amo o η. Gorju jedadžbu možemo oga prevei a oblik Z dz d H (I-7) dξ H dη Kako je vaka raa gorje jedadžbe fukcija jede ezavie varijable, jedako može bii zadovoljea ako u obje rae jedake ioj koai. Da bi zadovoljili rube uvjee, a koaa mora bii egaiva broj kojeg ćemo ozačii -, pa e za gorju jedadžbu može apiai Z dz dξ H d H dη (I-8) Iz gorje jedadžbe e mogu apiai dvije običe diferecijale jedadžbe: dz Z dξ (I-9) d H H dη (I-) Opće rješeje jedadžbe (I-9) je Z C ep( ξ ) (I-) a opće rješeje diferecijale jedadžbe (I-) je H C coη Ciη (I-) Uvršavajući gorje jedadžbe u jedadžbu (I-5) dobiva e zapi emperaurog polja u općem bezdimezijkom obliku 6
Θ ( ξ, η) ( A coη Biη) ep( - ξ ) (I-) pri čemu je uzeo da je A C C i. B C C Primijeivši rubi uvje (I-b) i jedadžbu (I-) lijedi šo daje Θ η η ( η Bcoη) ep( - ξ ) A i (a) η B (I-4) ubi uvje (I-c) i jedadžbe (I-) i (I-4) daju jedadžbu ( ξ η) coη ep( ξ ) Θ A (b), η η koja će bii zadovoljea kada je odoo co (c) π ;,,,,... (I-4) Kako u vlaie vrijedoi problema, ada e odgovarajuće - o rješeje može apiai u obliku π ξ Θ ( ξ η), A e co πη (I-5) Opće rješeje jedadžbe (I-8) oga e dobije kao uma pojediačih rješeja dobiveih iz (I-5) Θ Koae π ξ (I-6) ( ξ η), A e co πη A određuju e iz gorje jedadžbe i počeog uvjea (I-a) ( ) Θ ξ, η ξ Aco πη (d) 7
Soga koaa koja proizlazi iz počeog uvjea mora bii izražea bekoačim brojem člaova fukcije coiu, a šo e vodi a razvoj u Fourierov red. Ili više Θ ξ, η η f η je jeda fukcija od η, pa je ada ražei razvoj općeio, ( ) ( ) ( ) f η A co πη (I-7) azvojem u Fourierov red lijedi π A F( ) co d π pa prema jed. (I-7) lijedi da je πη ; d πdη, e adalje uz η i π η pa izraz za A iz gorje jedadžbe glai A f ( η) co πηdη (I-8) ješeje gorjega iegrala je vrlo jedoavo kako e vidi iz ljedeće procedure A f ( η) co πηdη co πdη, pa e gorji iegral rješava uvođejem upiucije u u πη; du πdη A coudu i πη π π a šo e lako prevodi u oblik ( ) A i πη (I-9) π π Supiucijom gorje jedadžbe u jedadžbu (I-6) dobiva e parikularo rješeje jedodimezijkog eacioarog emperaurog polja kroz ravu ijeku ameuim imeričim emperaurim rubim uvjeima 8
Θ ( ξ, η) ( ) e π π ξ co πη (I-) Gorju jedadžbu možemo izrazii kao (, ) η δ i Fo a δ (, ) ( ) π Fo, ako e u ju uvedu pozae jedadžbe e co π (I-) p δ π Gorju fukciju prikazuje dijagram a lici I-, gdje je a apciu aešea varijabla η, a paramearke krivulje u vrijedoi Fourierova broja Fo. p.8 Θ Fo. Fo. Fo. Bezdimezijka emperaura,.6.4. Fo. Fo...4.6.8 Bezdimezijka duljia, δ Slika I-. Bezdimezijko jedodimezijko eacioaro emperauro polje u fukciji bezdimezijke proore koordiae η i bezdimezijke vremeke paramearke veličie Fo.. Guoća oplikog oka Od poebog am je ierea izvod jedadžbe za guoću oplikog oka ovareog a graičim (rubim) površiama ijeke. Dakako vezu između guoće emperaurog polja i guoće oplikog oka daje am Fourierov avak, e korieći jega i jedadžbu (I-), ovarea guoća oplikog oka a δ (ruba površia) je 9
q L ( ) π Fo ( ) ( p ) e δ. co π / δ δ ( ) π Fo p e (I-) δ ili ako gorju umu izrazimo u ekoliko prvih člaova dobiva e izraz ( ) π π 5π 7π Fo Fo Fo Fo p q δ q e e e e... δ iz kojeg e može kvaificirai ujecaj prva čeiri člaa ume a vrijedo ovaree guoće oplikog oka. Tablica I-. pokazuje doičo. Tablica I-. Ujecaj prva čeiri člaa ume a vrijedo ovaree guoće oplikog oka Fo π Fo π Fo 5π Fo 7 π Fo e e e e,.9756,88,596,985,,78,85, -5,,65,8-6,,477,,,848 - Tablica pokazuje da uma vrlo brzo kovergira, oim za malee vrijedoi Fourierova broja. Za Fo,, može e zadržai amo prvi čla ume, pa je q ( ) π Fo p e (I-) δ Načijea pogreška akcepirajući jedadžbu (I-) je maja od % u odou a rezula dobive jedadžbom (I-). Kako je Fo a δ, ada proizlazi da će uvojea aprokimacija (I-), za odabrai maerijal i debljiu kruii, bii priklada za duža vremea šireja oplie u kruii. Ako bi Fo, (kraka vremea šireja oplie), ada e lako dokazuje da je lim Fo e π Fo π Fo pa upiuirajući ga u (I-) dobiva e izraz za guoću oplikog oka
q ( ) ( π a) ( ) p p (I-4) π a Gorji e izraz može koriii uz ipujeje uvjea Fo,5. Promarajući emperauro polje, lika I-, može e zaključii da e uuar krakog vremea provođeja oplie emperaura mijeja u akom loju ipod površie kruie, dok emperaura u uurašjoi kruie oaje prakički epromijejea. Soga debljia ploče za akav krierij ema prakički ikakvog ujecaja a guoću oplikog oka, pa e kao varijabla ii e pojavljuje u jedadžbi (I-4). Ta čijeica upućuje a dodau aalizu provođeja oplie kroz polubekoaču kruiu, a šo e obrađuje u poglavlju II... Neimeriči rubi uvjei Tijekom provedee aalize ameuli mo iu emperauru obje rae ijeke, šo je uvjeovalo imeričo šireje oplie. Ta je čijeica dopuila rješeje problema a poludebljii ijeke, δ, ako da u e mogli ipuii rubi uvjei η i η. Ako ada ameemo različie izoerme rube uvjee i o: ( δ, ) i ( δ, ) kako o prikazuje lika I-. (I-5a,b) p p ( ; ) Ovako defiirai problem e dopuša jede rae defiiraje bezdimezijke emperaure Θ a obje graice, a i bez homogeih rubih uvjea ije moguće ako jedoavo odredii vlaie vrijedoi problema, kao šo je o raije pokazao ijekom izvođeja jedadžbe (I-4). Da bi izbjegli avedee poeškoće problem reduciramo a uperpoziciju acioarog i eacioarog dijela problema, j. u maemaičkom zapiu -δ δ Slika I-. Neimeriči izoermi rubi uvjei d d ( ) ( ) ( ) (, ), u kojem čla ( ) ozačuje acioari a (, ) eacioari čla. Diferecijala jedadžba acioarog člaa je (b) a pripadajući rubi uvjei u: δ ; (c) δ ; (c)
pa je jezio parikularo rješeje ( ) (d) δ Diferecijala jedadžba eacioarog člaa je (, ) ( ), a (e) kojemu u rubi uvjei: ±δ ; (f,) a počei uvje je ; p (g) e je jezio parikularo rješeje ( ), π Fo A e π co δ (h) Koae A određuju e iz jedakoi π A co p δ δ (I-6) Dea raa jedadžbe (I-6) ozačava fukciju f(), pa e hodo raije pokazaom poupku razvoja u Fouirerov red, vidi izvod jed. (I-9), može apiai izraz za A π A π π π δ δ δ ' ' ( p )co co d (I-6a) Prikazai pricip uperpozicije zoro prikazuju dijagrami a lici I-4.
p p - p - p - -δ δ -δ δ -δ δ ili ; ρ ; c δ Slika I-4. Uz pojašjeje pricipa uperpozicije Ili ako bi promarai problem formulirali hodo ozakama a lici I-5, ada e rješeje promaraog eacioarog emperaurog polja emperauro eimeričog rubog problema može apiai u obliku p δ (, ) ( ) ρ, c, ( π ) [( ) ( ) ( )] e Fo p p π (I-7) π i δ δ Slika I-5. Iegrali prikaz eimeričog kodukcijkog problema Temperauro polje u ekoliko vremekih reuaka, hodo gorjoj jedadžbi, kvaiaivo prikazuje lika I-6, i koja je preuzea iz [].
6 C Svojva kruie (zida):,4 W/(m K) c 87 J/(kgK) ρ kg/m δ 5 mm i acioaro aje - C -7,5 C δ Slika I-6. Kvaiaivi prikaz eacioarog emperaurog polja u ravoj ijeki Korieći gorju jedadžbu i Fourierov avak lako e dolazi do vrijedoi guoća oplikih okova a graičim plohama i δ. q ( ) ( ), δ π ( ) Fo [( ) ( ) ( )] e π p p π (I-8) δ q, δ ( δ ) ( ) π ( ) Fo [( ) ( ) ( )] e π p p π (I-9) δ Ako vrijeme ada eacioari člaovi u gorjim jedadžbama eže uli, j., poiže e acioaro provođeje oplie kroz ravu ijeku, šo za obom povlači ie guoće oplikih okova a graičim površiama, a koji u opiai prvim umadima deih raa gorjih jedadžbi. Temperauro polje u ravoj ijeki, cilidru i kugli ameuim rubim uvjeima.vre U ovom pauu promorimo geeraliji problem eacioare jedodimezijke kodukcije za ri opća oblika kruie: bekoače ploče (rave ijeke), bekoačog cilidra (ijeke cijevi) i kugle, čije u rube površie izložee rubom uvjeu. vre. Prvo e aalizira problem ploče, a rezuai doiče aalize e zaim modificiraju a bekoači cilidar i kuglu. 4
. Aaliza ploče (rave ijeke) U prehodom poglavlju aalizira je problem eacioarog emperaurog polja u ravoj ijeki, za lučaj zaemarivaja opora prijelazu oplie površie kruie a okoliši fluid i obrao. To je bilo zadovoljeo za velike vrijedoi krierijkog Bioova broja; Bi αδ. S druge rae u okviru dodiplomke aave u predmeu Termodiamika II, [], obrađe je problem eacioare kodukcije uz zaemareje kodukivog opora kruie, a šo odgovara maleim vrijedoima krierijkog Bioova broja. Soga u ovom pauu aalizirajmo jeda geeraliji lučaj kod kojega u opor provođeja kruie i opor prijelazu oplie po vojim magiudama međuobo umjerljive veličie. To zači da je za akav lučaj Bioov broj reda veličie broja jeda, j; Bi. Ploču relevai koordiai, uav prikazuje lika I-7. fluid α p α fluid -δ δ Slika I-7. Uz aalizu eacioarog provođeja oplie u ravoj ijeki, za lučaj da je Bi. S obje rae rave ijeke debljie δ, alazi e fluid emperaure. Ii u i koeficijei prijelaza oplie α a obim rubim ijekama, j; α δ α δ α. To zači da je ploča izložea imeričim rubim uvjeima. vre. Poovo defiirajmo bezdimezijku prooru i vremeku varijablu kao i u predhodom pauu: η / δ i ξ a/δ, ali bezdimezijku emperauru Θ defiirajmo ada u odou a emperauru fluida (,) Θ p (I-4) Aaliza je aaloga proceduri iz prehodog paua, pa e može piai Θ ξ ( ξ, η) ( coη Biη) e A (a) Zbog ameuih imeričih rubih uvjea, i ovdje egziira adijabaki uvje u redii ijeke Θ η η (b) ako da gorja jedadžba daje B (c) 5
pa e jedadžba (a) raformira a pojedoavljei oblik Θ ( ξ η) ξ, coη Ae (I-4) Nadalje rubi uvje. vre može e povezai emperaurim poljem u jedadžbom: δ α ( ) δ (e) koja e uvođejem avedeih bezdimezijkih veličia raformira a oblik ili δ η η ( ) η α Θ (f) Θ η η ( Θ ) η Bi (I-4) Supiuirajući (I-4) u (I-4) lijedi ξ ξ Ae i BiAe co (g) odakle lijedi jeda racedea jedadžba cg (I-4) Bi koja ima bekoači broj rješeja ili bekoači broj vlaiih (vojveih) vrijedoi. Grafički prikaz prva čeiri rješeja gorje jedadžbe za zadau vrijedo Bioova broja prikazuje lika I-8. 6
cg Bi π π π 4 4π Slika I-8. Grafički prikaz prva čeiri rješeja racedee jedadžbe (I-4) Za vaku vlaiu vrijedo dobiva e vlaia fukcija η i jeda koaa A, pa jihova uma predavlja geeralo rješeje Θ ( ) ξ, η A e ξ co η (I-44) Koae A e razvijaju iz zadaog počeog uvjea (I-a) ( ) η, Θ A co η (h) azvojem gorjeg izraza u Fourierov red, koji e poupak pokazuje umekom, dobivaju e rješeja za A A i i co (I-45) Uvršavajem jedadžbe (I-45) u (I-44) dobiva e parikularo bezdimezijko rješeje jedodimezijkog emperaurog polja u ravoj ijeci ameuim imeričim rubim uvjeima. vre Θ e p φ Fo i co i co δ (I-46) 7
Dijagram a lici I-9 kvaiaivo prikazuje gorje rješeje u fukciji bezdimezijke koordiae η δ i Fourierova broja za vrijedo Bioova broja Bi,...6. Bezdimezijka emperaura, Θ ( - e )/( - e ).8.6.4.. Fo.6. Bi....4.6.8.. Bezdimezijka koordiaa, η /δ Slika I-9. Bezdimezijki dijagramki prikaz jedadžbe (I-46) Iz dijagrama e uočava da agee povučee a bilo kojoj krivulji emperaurog polja a mjeu η δ, graiča površia, pogađaju pol koji ima koordiae η / Bi, Θ. Umeak: Prikaz ačia izvođeja jedadžbe (I-45) Kako u fukcije δ ck co δ co k i co l δ δ međuobo ezavie, ada vrijedi i vojvo ormalizacije: k co δ δ δ δ k d ck d ck i k δ δ k δ δ c k δ δ k Dakle, ako je i ( ) k c k δ k k i( k ) Q k () c k co k δ δ k k i( k ) co k δ oda vrijedi 8
9 () () Q a f i () () δ δ Q f a d Kako je u ašem lučaju () f, ada je () ( ) ( ) δ δ δ δ δ δ δ δ i i co i d Q a pa e koačo može apiai izraz za A ( ) ( ) i i i δ δ δ c a A i co i i co i i i i koji je azače u jedadžbi (I-45)! Čeo pua a zaima odo izmijejee oplie uuar vremekog iervala prema izmijejeoj oplii za lučaj da vrijeme. Ozačivši aj odo ψ, može e apiai jedadžbu ( ) ( ) ( ) ( ) ρδ ρδ ψ p p p Ac Ac Q Q (I-47) u kojoj veličia predavlja proječu emperauru ad cjelokupim volumeom kruie u vremekom iervalu od ; ( ) V V V V d, d (I-48) Korieći jedadžbu (I-46) i čijeicu da je δ A V, odoo da je A V d d, lako e rješava jedadžbu (I-48), pa jeziim uvršavajem u (I-47) lijedi izraz za ražei odo oplia i e ψ co i i Fo (I-49)
Kvaiaivi dijagramki prikaz gorjeg izraza u fukciji Fourierova i Bioova broja prikazuje lika I-...8.6 Bi. Ψ.4.. 4 6 8 Fourierov broj, Fo a/δ. Geeralizirai oblik rješeja Slika I-. Odo izmijejeih oplia u fukciji Fourierova i Bioova broja Prikazai algoriam rješavaja za ploču može e poopćii a ači da e prilagodi rješeju, pored ploče, još i za bekoači cilidar i kuglu. Shodo lici I-., može e piai Θ ( ) Fo Ae f η (I-5) ψ Θ A e (I-5) Fo B
α c α c L α c r r α δ η c δ ; a Fo δ ; Bi Ploča η r ; a α Fo c Bi ; Cilidar η r ; a α Fo c Bi ; Kugla Slika I-. Shema za geeralo rješeja emperaurog polja, ameuim rubim uvjeom. vre za bekoaču ploču, bekoači cilidar i kuglu Svojvee (vlaie) vrijedoi određuju e iz ljedećih jedadžbi: Ploča: Bi co - i (I-5a) Cilidar: ( ) BiJ ( ) J (I-5b) Kugla: co ( ) i Bi (I-5c) U jedadžbi (I-5b) fukcije J ( ) i ( ) J u Beelove fukcije prve vre reda jeda i reda ula. Ove u vrijedoi određee i abličo prikazae u Prilogu a kraju kripi. Nadalje reba uočii da u karakeriiče lieare dimezije koje egziiraju u Bioovu broju: za ploču polovia jezie debljie δ, za cilidar i kuglu polumjer. No kod razmaraja problema zaemarivaja kodukcije, gdje je lieara dimezija bila defiiraa kao l V A, j. volume/površia, za ravu ijeku je ii broj l δ, dok je za cilidar l, a za kuglu l, šo ukazuje a čijeicu da du različie defiicije Bioova broja. A B f,η za ri avedee geomerije kruie. Tablica I- daje ( ); ( ) i ( ) Tablica I-. A ( ); B ( ) i f (,η) za ploču, cilidar i kuglu Geomerija A ( ) B ( ) f ( η) Ploča Cilidar Kugla i ico J( ) ( ) J ( ) [ J ] i co i co i ( ) co δ J r J i co r i r
..Aprokimacijka rješeja za duga vremea U odjeljku. pokazao je da erija rješeja rapido kovergira za duga vremea rajaja kodukcijkog šireja oplie. Kako je vremeka varijabla adržaa u bezdimezijkom Fourierovu broju, pokazao je da za Fo >,, uzevši amo prvi čla ume odovoljeo je očoi oko %. Čeo am je u praki iereaa odziv za redišju emperauru ijela ( ili r ), a koji je i ajporiji. Ozačivši redišju emperauru a c, odoo jezi bezdimezijki oblik Θ c c (a) p e uzevši amo prvi čla jedadžbe (I-5), dobiva e približi oblik jedadžbe bezdimezijke redišje emperaure Fo Θ A e ; za Fo >, (I-5) c budući da za f ( η ), za η. Kako pokazuje jedadžba (I-5), uzimajem amo prvog člaa ume jedadžbe (I-5), oblik emperaure diribucije je epromjeljiv vremeom. Soga e emperauru a bilo kojem mjeu kruie može jedoavo odredii prema redišjoj emperauri ( η) Θ Θc f za Fo >, (I-54) Sličo, zadržavši amo prvi čla u jedadžbi (I-5), dolazi e do izraza za približu vrijedo veličie ψ ψ B Θ za Fo >, (I-55) c Vrijedoi, A i B u fukciji Bioova broja daje ablica I-. Tablica I-. Numeričke vrijedoi prvih člaova, B u fukciji Bioova broja za ploču, cilidar i kuglu Ploča A Bi B Bi A B,,989,,9967,,6,8,876,4,948,66,994 4,,6,9,754,6,588,98,99 6,,8,48,79,8,779,,987 8,,954,57,747,,9678,6,989,4,6,698,,87,,969,8,7,6665,4,59,58,944,,7,657,6,497,8,99 4,,7,65,8,657,,8989 5,7,7,649,,74,9,88,49,7,649,467,7,666
Cilidar Bi A B Bi A B,,98,5,995,,558,8,75,4,799,,986 4,,64,47,68,6,8,5,9844 6, 4,98,56,5589,8,568,,984 8, 4,5,55,56,,95,5,9749 4,5,568,55,,87,49,956 5,5,59,476,4,755,94,9 5,4,598,4598,6,7,5,875 4 5,5,6,457,8,,7,84 5 5,556,6,4485,,577,8,847 5,669,6,44 5,784,6,47 Kugla Bi A B Bi A B,,5978,6,994, 4,6,479,6445,4,9,,988 4, 6,,7,5,6,778,8,98 6, 7,4,84,456,8,6,4,9766 8, 7,647,89,47,,94,,97 8,45,95,95,,5765,59,945 8,94,978,5,4,8,6,895 9,5,99,46,6,599,7,849 4 9,8,994,69,8,5,4,894 5 9,479,996,,,467,7,774 9,67,999, 9,869,,4 Slika I- prikazuje veličiu ψ za u fukciji Bi i Fo, za va ri promaraa oblika kruie...8 Kugla Cilidar Ψ.6 Ploča.4. Fo.. - Bioov broj, Bi Slika I-. Veličia Ψ u fukciji Bi i Fo, za kuglu, cilidar i ploču
Aprokimacija rješeja amo jedim člaom ume pokazuje e veoma vrihodom, jer je primjeljiva za dugi period ohlađivaja kruia. Veličia ψ za period hlađeja kojeg pokriva avedea aprokimacija e povećava kako opada Bioov broj kao i omjer površia/volume (kugla - cilidar - ploča). Iu e aprokimaciju korii i u problemima kod kojih e emperaura fluida poro mijeja vremeom. Za akve je lučajeve iereao defiirai zv. uurašji koeficije prijelaza oplie za provođeje oplie u kruii, koji kao akav opiuje opliko zbivaje cjelokupog uava. Tako defiirai koeficije prijelaza oplie može e izrazii jedadžbom α δ (I-56) u kojoj ozačuje koeficije vodljivoi oplie kruie a derivacija ( iz emperaurog polja kruie. ) δ e dobije 4
II. Poglavlje; Provođeje oplie u polubekoačoj kruii Općeio U prehodom poglavlju, vidi pau.., je pokazao da za kraka vremea emperaura promjea ije peerirala igifikao dovoljo daleko od rube površie ijeke, ako da pri akvim vremekim kodicijama debljia ijeke ije imala ikakav efek a proce provođeja oplie kroz ijeku. Takve e iuacije mogu pojavii i u praki, šo pr. predavlja lučaj kaljeja čeličih alaa, koji zahijeva hlađeje od vrlo vioke počee emperaure u vrlo krakom vremeu, pri čemu je amo dio alaa eporedo uz površiu brzo ohlađe i zakalje. Uurašjo alaa e hladi porije, pa ako hlađeja uurašjo alaa ije zakaljea. Soga, ijekom procea kaljeja promjea emperaure podalje od površie (dublje u uurašjoi) poaje zaemarivo malea, pa ime i debljia alaa (ijeke) ime poaje irelevaom. Dakle, za akve je lučajeve proce provođeja ograiče a ako područje ipod površie uuar kojega je došlo do emperaure peeracije. Iz avedeih razloga je priklado imai aaliičke izraze (formule) koji daju emperauru diribuciju i opliki ok za različie rube uvjee, a koji u aplikaibili i za ovakve peeracijke probleme. Iače e akve kruie, kod kojih iz avedeih razloga opada ujecaj jihovih debljia, u lierauri azivaju polubekoačim kruiama.. Maemaička formulacija problema Odgovarajući model peeracijkog problema je eacioaro (razijeo) provođeje oplie u polubekoačoj kruii, kako o prikazuje lika II-. (, ) p (, ) (, ) kruia c, ρ, p Slika II-. Polubekoača kruia Slika II-. Kvaliaivi prikaz emperaurog polja u polubekoačoj kruii Ako prepoavimo koai koeficije oplike vodljivoi kruie, epoojaje u kruii bilo oplikog izvora (poora), e šireje oplie amo u mjeru proore koordiae, ada parcijala diferecijala jedadžba provođeja oplie kroz kruiu ima oblik 5
a (II-) Ako je kruia a počeku jedoliko progrijaa a emperauru p, ada e počei (iicijali) uvje može zapiai u obliku ; (, ) p (II-) Ako emperaura graiče površie, aglo promjei voju vrijedo a vremeki koau i jedaku, ada e rubi (graiči) uvjei mogu zapiai ; (, ) (II-a) ; (, ) p (II-b). Bezdimezijko rješeje emperaurog polja Procedura rješavaja emperaurog polja kod ovog problema, meodom eparacije varijabli, kao u prehodom poglavlju, ije podea, jer ovdje koordiaa, ije koordiaa graiče površie. Soga e za rješeje poavljeog problema korii proceduru kako lijedi. Prvo defiirajmo bezdimezijku emperauru Θ Θ p (II-4) p Ovako uvedeom veličiom, uav jedadžbi (II-)-(II-b) e raformira a oblik Θ Θ a (II-5) ; Θ (II-6) ; Θ (II-7a) ; Θ (II-7b) I rješeje ovog problema može e vei a rješeje običe diferecijale jedadžbe po emperauri Θ, a ači da e formira bezdimezijku ezaviu varijablu, koju azivamo varijablom ličoi. Oa je odgovarajuća kombiacija veličia i. Jeda od ačia formiraja varijable ličoi e bazira a fizikalom zaključivaju glede poašaja problema uz iovremeo dimezijko razmaraje, pa ako lika II-. kvaliaivo prikazuje emperauro polje za ri vremeka reuka. Možemo u oj kruii proizvoljo defiirai eku debljiu δ, za koju u vrijedoi veličie Θ jedake recimo, odoo,. Tada je veličia δ očio fukcija vremea i koeficijea emperaure vodljivoi (oplike difuzivoi) a kruie; veći a zači i dublju 6
peeraciju oplie u daom vremeu. Treba adalje uočii da uav jedadžbi (II-5)- (II-7b) u vojoj rukuri e adrži veličie o kojima ovii veličia δ. Kako vrijeme ima dimeziju ekuda,, a oplika difuzivo m /, ada jedia kombiacija ovih dviju veličia koja će dai zahijevau dimeziju mear, m, je ( a ). Za emperauri profil koji će bii fukcija amo jede bezdimezijke varijable, razmaci u kruii moraju bii mjerilo peeriraja debljie zbog oplike difuzije u polubekoačoj kruii. Soga e za bezdimezijku zaviu varijablu odabire η (II-8) ( 4a) pri čemu je u 4 uvede amo zbog prikladih daljjih algebarkih raformacija. Korieći jedadžbu (II-8) e korišejem vojava parcijlog deriviraja, lako je parcijalu diferecijalu jedadžbu (II-5) prevei a običu diferecijalu jedadžbu. Poupak je ljedeći: Θ dθ η dθ dη dη Θ dθ η dθ dη d η ( 4a) ( 4a) (a) (b) Θ d Θ Θ dη ( 4a) (c) Uočimo čijeicu da mo piali popuu derivaciju Θ po varijabli η, budući mo prepoavili da je veličia Θ fukcija amo varijable η. Supiuirajući (a) i (c) u (II-5) dobiva e oblik dθ a d Θ (d) dη 4a dη ( 4a) koji e lako preiačuje a koači oblik dθ d Θ η (II-9) dη dη Jedadžba (II-9) je elieara diferecijala jedadžba drugoga reda, koja zahijeva dakako i dva bezdimezijka ruba uvjea. Korieći jedadžbu (II-8) rubi uvjei (II-7a) i (II-7b) poprimaju bezdimezijki oblik 7
η ; Θ, budući je η za (II-a) η ; Θ, budući da ili (II-b) Vidi e da je uvedea raformacija upjela, budući da e u rukuri jedadžbe (II-9) i rubim uvjeima (II-a) i (II-b) e pojavljuju zaebo veličie ii ii. Jedadžbu (II-9) rješavamo uvođejem pomoće varijable dθ p (a) dη pa e ia raformira a oblik ili dp ηp (b) dη dp p ηdη dη (c) Nako prve iegracije lijedi dθ η p Ce, (d) dη dok ljedeća iegracija daje jedadžbu općeg rješeja bezdimezijkog emperaurog polja η u e du C Θ C, (II-) u kojoj varijabla u predavlja zv. pomoću varijablu ijekom amoga iegriraja. Iegracijke koae C ;C proizlaze iz rubih uvjea (II-a) i (II-b), kako lijedi: Korieći gorju jedadžbu i rubi uvje (II-a) može e piai u e d C u C (a) iz čega lijedi da je C (b) jer je vrijedo gorjeg iegrala, zbog ie gorje i doje graice, jedaka uli. Nadalje, korieći (II-), (b) i (II-b) lijedi jedako 8
C e u du (c) Vrijedo iegrala u gorjoj jedadžbi može e aći u ablicama i oa izoi π e u du (e) pa je vrijedo iegracijke koae C jedaka C (f) π Supiuirajući (f) i (b) arag u jedadžbu (II-) dobiva e parikularo bezdimezijko rješeje emperaurog polja Iegral η p e u Θ du (II-) π p π η e u du erfη (II-) predavlja površiu fukcije vjerojaoi e -u erf η u; (η) erf η u e, lika II-, odoo ako dobivea fukcija pozaa je u maemaici kao Gauov iegral vjerojaoi. U agloakokoj lierauri doiča e fukcija aziva error fucio (fukcija pogreške) pa e zao u lierauri ozačuje kao erfη. Vrijedoi doiče fukcije prikazuje ablica II-. u Prilogu. Za aša daljja razmaraja zgodije je rabii komplemearu fukciju fukcije (II-). Ozačuje e kao erfcη i zbog avedeog vojva komplemearoi je Slika II-. Fukcija vjerojaoi e u fukcija Gauova iegrala vjerojaoi erf η, u η erfc η - erfη Tako uvedeom fukcijom, emperauro polje (II-) može e izrazii 9
p Θ erfcη erfc erfc (II-5) p ( 4a) 4a Kvaiaivi ijek gorje fukcije za vrijedo varijable η prikazuje lika II-4.. Θ.8.6 Θ erfc η (, ) p θ p.4...5..5. η 4a Slika II-4. Kvaiaivi ijek bezdimezijke emp. fukcije Θ u ovioi o bezdimezijkoj varijabli η Zgodo je a ovom mjeu korieći jedadžbu (II-5) umerički pokazai ljedeći iluraivi primjer. Primjer II-. Porebo je izračuai vremea za koja e za zadae maerijale, bakar, željezo, aklo i drvo i zadae vrijedoi cm, dm i m, poižu vrijedoi fukcije Θ.5! ješeje. Za bakar, željezo, aklo i drvo koeficijei emperaure vodljivoi izoe redom: 7-6 ; 6, -6 ;,67-6 i,9-6 m /. Nadalje za vrijedo Θ,5 može e očiai iz ablica II-. ili iz like II- 4. vrijedo varijable η,477, 4a pa e iz e veličie mogu odredii ražea vremea. ezulae izračua prikazuje ablica II-. Tablica II-. Vrijedoi vremea za različie avedee peeracijke dubie i maerijale za η,477 i Θ,5. a, m / Bakar a 7-6 Željezo a 6, -6 Saklo a,67-6 Drvo a,9-6 cm, 6,77,97 mi, mi dm,7 mi, mi 4,95 h, h m,87 h 8,8 h,6 da 9,6 da Tablica II- jao pokazuje kako vrijeme oplikog peeriraja rae povećajem debljie peeracije, i majejem koeficijea emperaure vodljivoi, a, maerijala polubekoače kruie.
Primjer II-. Počea emperaura zemlje je C. Zemlja je koiuirao izložea koaoj površikoj emperauri -5 C u rajaju od 6 daa. Porebo je odredii a kojoj će dubii m, lika II- 5, za ih 6 daa bii poigua emperaura zemlje C, ako koeficije emperaure vodljivoi zemlje izoi a,8-6 m /! Površia zemlje -5 C Zemlja p C m ( ; 6d) C Slika II-5. Uz primjer II-. ješeje. Prema zadaim podacima moguće je izračuai bezdimezijku veličiu Θ p Θ p 5,574 erfc 4a Za vrijedo Θ,574 iz ablica II- u Prilogu očia e vrijedo argumea η,4 m, 4a iz koje e, zajedo a oalim zadaim podacima, izračua vrijedo m 6 m,4 4a,4 4,8 6 4 6,677 m Primjer II-. Beoka ploča počee emperaure 7 C iezivo e polijeva mlazom vode emperaure 7 C. Nako koliko će e vremea lokacija 5 cm ipod površie ploče ohladii a emperauru 47 C? ješeje. ješeje poavljeog problema provodi e akcepirajući ljedeće prepoavke: a) - količia vode kojom e ploča polijeva je dovolja, da e održava emperaure ploče koaom i jedakom 7 C. b) - ploču e može marai polubekoačim ijelom Iz zadaih podaaka može e odredii bezdimezijku emperauru Θ p Θ p 47 7 7 7,8 Iz ablice II- u Prilogu lijedi da je za Θ,79, η,79 pa je ražea vrijedo jedaka
4aη,5 6 4,75,79,6 4 7h. Površika guoća oplikog oka Guoću oplikog oka a površii polubekoače kruie dobije e dobije e korišejem (II-5), Fourierova avka i pravila o lačaom deriviraju q η ( p ) π e u du ( ) p η e π 4a (a) η Nako ređivaja izraza (a) dobiva e koači oblik izraza za površiku guoću oplikog oka q ( ) p q( ) (II-6) πa Gorje je rješeje ideičo rješeju prema jedadžbi (I-4) a koje e odoilo za eacioari problem u ploči za vrlo malea (kraka) vremea rajaja oplike difuzije...koaa površika guoća oplikog oka Ako u reuku, površiu, aglo izložimo vremeki koaoj površikoj guoći oplikog oka q, pr. zračejem ekog vioko emperaurog izvora, ada e počei i rubi uvjei mogu zapiai (, ) p (II-7) q (II-8a) (, ) p (II-8b) Prikaz izalažeja rješeja emperaurog polja ubi uvje (II-8a), može e formalo izrazii u obliku c (II-8a )
iz čega proizlazi da je q c (II-8a ) Ako uvedemo ovu varijablu v c (II-8a ) možemo formulirai ljedeću diferecijalu jedadžbu v a (II-8a 4 ) koja diferecirajem prelazi u oblik v v a (II-A) Ova diferecijala jedadžba zadovoljava zadaui rubi uvje II. vre (jed. (II-8a), ako veličia v ima oblik v N π f ( u) c (II-B) pri čemu je veličia N koaa, a fukcija f(u) defiiraa je jedadžbom (II-). Iegrirajući jedadžbu (II-B), ia prelazi u oblik π c Φ() N f ( u) d (*) pri čemu je Φ () jeda proizvolja fukcija. Korieći vojvo parcijale iegracije, gorji e iegral može apiai u obliku π π f ( ) ( ) ( u) N f u d N f u d (**) Parcijalu derivaciju podiegrale fukcije, rješavamo meodom lačaog deriviraja f ( u) f ( u) u u e u a π (***) Tijekom deriviraja u jed. (***), korišei u fukcijki oblici (II-) i (II-8), pri čemu je u jedadžbi (II-8) izvršea formala zamjea veličie η veličiom u. Nadalje je
a u; d a du pa uvršavajući dobivee izraze i jed.(***) u jed.( **), ia e raformira a oblik u N π (****) ( u) u u f d N e du ae Uvršavajući jed.(****) u jed. (*) dobiva e c Φ () u u u N e du ae (II-C) Uvršavajući u jedadžbu (II-C), zadai počei uvje (II-7), e uvažavajući čijeicu da za je za, u, a vrijedo iegrala je jedaka π /, lijedi () c Φ N p π Kako dea raa gorje jedadžbe ovii amo o varijabli, ada o zači da i je Φ, pa je () p c N π odakle e dobiva izraz za koau N N c π Supiuirajući gorju veličiu u jed. (II-C) dobiva e u c u u Φ() e u ae d c π Uvrivši u gorju jedadžbu graiči uvje p za, dobiva e ideie p p c π π c odoo c c 4
odakle e vidi da je Φ () p za vaku vrijedo varijable. Korieći za koau c, izraz da jedadžbom (II-8a ), jedadžbu (II-C) e može apiai u obliku p q u u 4 4a π e a du e π odoo korieći jedadžbu erfcu u e π u d u dobiva e koači izraz za emperauro polje q 4a 4a p e erfc π ( 4a) (II-9) Kvaliaivi emperauri ijek prikazuje lika II-6. (, ) kruia > > q c, ρ, p Slika II-6. Kvaliaivi emperauri ijek po polubekoačoj kruii ameuom koaom površikom guoćom oplikog oka Ako e u jedadžbu (II-9) uvri, dobiva e izraz za površiku emperauru u vremeu 5
q 4a ( ) p (II-9a) π koji pokazuje da je vrijedo površike emperaure izravo proporcioala. Puimo li da vrijeme, ada iz jedadžbe (II-9) proizlazi da je q ( ) p (II-9b) Jao je da e lieari emperauri pad permaeo pooji, zbog ameuog rubog uvjea II. vre, a rubu, širi i u uurašjo ijela poraom vremea oplike difuzije, i kao akav domiira, kada iščezava vrijedo ekpoecijke fukcije u jedadžbi (II-9)..4 Površiki eergijki pul Ako e eergijom E, J/m, izloži reuo u vremeu u vremeu površia polubekoačog ijela (pr. ako površiu izložimo laerkom eergijkom pulu), e ako va eergija ijekom vremea peerira u ijelo, ada e počei i rubi uvjei mogu apiai kao: (, ) p (II-) lim q E (II-a), (, ) p (II-b) pa rješeje emperaurog polja za aj lučaj ima oblik E 4a p e (II-) ρc πa Kvaliaivi ijek emperaurog polja, hodo gorjoj jedadžbi, prikazuje lika II-7. 6
kruia (, ) E c, ρ, p Slika II-7. Temperauro polje u polubekoačoj kruii za lučaj djelovaja reuog površikog pula Iz like e vidi da ijekom vremea površika emperaura pada i dolazi do raezaja emperaurog polja po oi kruie..5 Periodička varijacija površike emperaure Čeo pua u ižejerkoj praki pooje problemi kod kojih pooji periodičko variraje površike emperaure, kao recimo a ijeci cilidra kod moora uurašjim izgarajem. Soga prepoavimo da e bezdimezijka površika emperaura polubekoače kruie mijeja po zakou koiua: Θ π N co Nco( ) (II-) o, ω c u kojemu c ozačava vrijeme rajaja ciklua, a veličia π ω (II-4) c ozačava kružu frekveciju ciklua. Za zadai emperauri poremećaj a površii polubekoače kruie, jed. (II-), parikulari iegral parcijale diferecijale jedadžbe (II-) ima oblik e a Θ e (II-5) Ne reali ekpoe druge e fukcije zadovoljava uvjeu prigušeja e-cikličkih promjea. Samo imagiari ekpoe iω može udovoljii zadaom uvjeu cikličkih promjea, pa, pozivajući e a algebru komplekih brojeva, može piai 7
e i ω ( ω) ii( ω) co (II-6) Upoređujući jedadžbe (II-5) i (II-4) dolazi e do: iω a ili iω ± (II-7) a Kako je i i ± Ako površika emperaura varira kao, ada zajedo (II-7) lijedi da je ω ± a ( i) ± ( i)m pri čemu je, zbog jedoavoi, uvedeo ω m (II-8) a Supiuirajući ove veličie u (II-5) dobiva e rješeje oblika odoo Θ e ± ( i) m i( ω± m) e [ ( ω ± m) ii( m) ] Θ e ± m co ω ± (II-9) Gorju jedadžbu e može prikazai i a ljedeći ači gdje je Θ Θ Θ ( m) Θ e m co ω ± ( m) Θ e m i ω ± (II-) Jedadžbe (II-) u parikulari iegrali parcijale diferecijale jedadžbe (II-), a šo u i bilo koje oblici NΘ i MΘ, pri čemu u M i N koae. No amo jedadžba NΘ zadovoljava zadai rubi uvje, jed. (II-), šo zači da je M. I više od oga, poziivi predzaci uz veličiu m oje u rakoraku fizikalim fakima promaraog problema, a šo e lako dokazuje ljedećim razmarajem. Ako e polubekoačo 8
ijelo, koje je a počeku progrijao a emperauru p, periodički grije ili hladi a ači da mu e površika emperaura mijeja po ameuom zakou koua, ada vrijedo emperaure Θ u očki kruie, a ekoj udaljeoi od površie, ikad e može prijeći vrijedo ampliude Θ o, a a. Kako za poziivu vrijedo veličie m vrijedo fukcije e m u jed. (II-), u, kada, ada o zbog avedeog opada a olucija. Soga rješeje jed. (II-9) ima jedivei oblik m Θ Θ o, ae co ( ω m) Θ co( ω-m), a (II-) pri čemu pojedie ozake zače: Θ * o, a p ampliuda emperaure razlike ameue poremećaje fukcije, vrijedo površike emperaure, p, vrijedo počee emperaure Θ,a ampliuda emperaure razlike (,)- p (,), emperaura kruue a udaljeoi od površie u vremeu Iz jedadžbe (II-) iščiavaju e ljedeće oobioi dobiveog rješeja emperaurog polja:. Nii e frekvecija, ω/π, ii koiui oblik emperaure e e mijeja varijablom, ego e mijeja amo ampliuda poraom, prema ljedećoj jedadžbi Θ (II-) m a o ae, Θ,. S poraom varijable, ampliuda ocilacija e javlja pri većim vremeima oplike difuzije, šo e dobije kada vrijedo argumea fukcije koiu poaje jedaka uli m (II-) ω ωa. Temperaura ima makimum u vremeu i. Sljedeći makimum a je u vremeu c. U om reuku makimum pooji i a jeu, gdje je ω c m, j. a razmaku ωc a ωa c π (II-4) m ω U vremeu ν c, poiže e makimum u očki m, pri čemu je ν poziivi cijeli broj. Soga predavlja valu duljiu emperaurog vala koji peerira u polubekoačo ijelo. Zbog oga šo je emperauri makimum uvijek porebo vrijeme c, da bi val prešao pu, ada e aj val giba brziom 9
ω v ωa (II-5) m c Slika II-8 prikazuje emperauru diribuciju za dva vremeka reuka i, pri čemu je >. Pua liija predavlja emperauru diribuciju u vremeu, a crkaa u vremeu. Liija očka-cra predavlja fukcije Θ Θ e m, a Θ o, a i Θ Θ, a. Očio je, da će vaka krivulja ko., dodirivai krivulju Θ Θ, a, kadgod je vrijedo koiua u jedadžbi (II-) jediici. To će e deii kada je vrijedo varijable ω/m - νπ/m. Nadalje, vaka će krivulja ko. dodirivai liiju Θ Θ, a za vrijedo koiua jedake, j., za vrijedo varijable ω/m - (ν-)π/m. Sve oale očke krivulja ko.leža će između ih limiirajućih vrijedoi, pa oga u fukcije Θ ±Θ, a jihove avelope. Θ Θ o, Θ o, Θ,a Θ o,a Θ,a Θ,a Θ -Θ,a ωa c ω / m ω / m Θ Θ e,a,a o,a o,a m Θ Θ e m Slika II-8. Temperauro polje u polubekoačoj kruii za dva različia vremea, čija e povrika emperaura mijeja periodički Naravo, da makimumi i miimumi (lokali ekremi) krivulja ko. leže uuar ih avelopa. Njihova pozicija (acioare očke) proizlaze iz ipujeja uvjea /, pa e ako derviraja (II-) po varijabli dobiva jedadžba Θ [ i( ω m) co( ω m) ] o, ae m 4
iz koje proizlazi da e makimum ili miimum javlja ili za (šo am ije iereao), ili uz ipujeje uvjea da je ( ω mr) g iz čega proizlazi da vrijedo varijable mora bii jedaka ω ( 4* ν ) π (II-6) m 4 m U jedadžbi (II-6) ν predavlja bilo koji cijeli broj, uključujući i ulu. Pozivajući e a jedadžbu (II-) vidi e da dolazi do opadaja ampliude emperaurog vala poraom koordiae, j., poraom dubie jegovog peeriraja u kruiu. Pri ome je logariamki dekreme m ω a. To zači da je majeje ampliude veće kod viših frekvecija oplikog vala, a maje za iže vrijedoi koeficijea oplike difuzivoi. Također e iz jedadžbe (II-) lako izalazi debljiu kruie a kojoj e ampliuda maji za µ - i dio ampliude Θ o,a : µ lµ,564 a c lµ (II-7) m Debljia kruie, a kojoj je ampliuda amajea a % vrijedoi Θ o,a je µ /,564 ac l, 6 a Sijeka ovakve debljie i čak poekad i aja može e marai varom bekoačom debljiom. Primjeo je da vrijedo µ ovii o produku a c. Soga e ove jedadžbe dobivee za bekoaču debljiu mogu primjeii priličo dobro i a cilidriču ijeku moora uurašjim izgarajem, jer iako meali imaju velik koeficije oplike difuzivoi a, imaju izrazio krako vrijeme c rajaja ciklua. Pored emperaure promjee odoo emperaurog polja, od ierea am je i zai izo oplikog oka koji ulazi u ijelo ili iz jega izlazi u vakom reuku, a poebo a zaima izo akumulirae oplie u kruii uuar polovice vremea rajaja ciklua, e izo oplikog oka koji e preda okolišu u drugoj polovici ciklua. Topliki ok koji ulazi u kruiu kroz vajku površiu A je c Φ A Θ Korieći gorju jedadžbu i jed. (II-) ω π Φ A Θ o,a coω (II-8) a 4 4
Soga je ampliuda oplikog oka, AΘ o,a ω a veća za više frekvecije, dok e više oplie akumulira u kruii pri ižim frekvecijama, a šo e dokazuje a ljedeći ači. Vrijedo oplikog oka Φ je poziiva uuar graičih vrijedoi ωπ/4 - π/, j., za vrijedo vremeke varijable - π/4ω π/4ω. Iegrirajući jedadžbu (II-8) uuar ovih graičih vrijedo, dobiva e izraz za akumulirau eergiju u polovici vremea rajaja ciklua Q akum AΘ o,a ω a π 4ω π 4ω π coω d 4 ω ρc AΘ o,a ρc π (II-9) AΘ ω o,a Ako bi rubi uvje bio zada fukcijom oblika * ( ) ( ) iω (II-4) p p ada bi po prikazaoj proceduri došli do jedadžbe emperaurog polja oblika * p p e ω i ω a ω a (II-4) čije rješeje kvaliaivo prikazuje lika II-9. (, ) kruia * (, ) - p * - p i (ω ) c, ρ, p Slika II-9. Temperauro polje u polubekoačom ijelu za periodičku varijaciju površike emperaure ( * - p ) iω u vremeu 4
Iz prikaza prema lici II-9. uočljivo je, a šo proizlazi iz (II-4) da ampliuda varijacije emperaure opada opada ekpoecijki uuar kruie poraom člaa ( ω a). Primjer II-4. Površiu polubekoačog čeličog ijela, pozaih fizikalih vojava ρ 78 kg/m, 58 W/(m K) i c 6 J/(kgK), izložimo cikličkom emperaurom operećeju prema jedadžbi N co ω, pri čemu veličia N ( * - p ) predavlja ampliudu površike ademperaure u odou a počeu emperauru kruie. Neka vrijeme ciklua poremećaja izoi i * o C. Za zadae uvjee porebo je odredii: a)- emperauru rapodjelu uuar 5 mm debljie ijela u vremeu. b)- vrijedoi i pozicije lokalih emperaurih ekrema u iom om vremekom reuku c)- pozicije i vrijedoi emperaura, u vremeu, koje odgovaraje avelopkim vrijedoima d)- ''valu duljiu'' emperaurog vala kojom o peerira u kruiu e)-dijagramki kvaiaivo prikazai i ierpreirai emperaure diribucije za ri različia vremea rajaja procea šireja oplie: 6, i. ješeje: Za zadae podake i jed. (-4) kruža frekvecija emperaurog cikličkog poremećaja je π ω.4/,68 c Koeficije emperaure vodljivoi kruie ima vrijedo ( ) a ρc 58/(78 6),66-5 m pa eka ekplicii oblik ameue cikličke fukcije glai: * ( ) coω (-)co,68 co(,68) (*) p Prema jedadžbi (II-), jedadžba emperaurog polja ima ekplicii oblik Θ * m m ( ) e co( ωω m) e co( ω m) p Veličiu m račuamo prema jedadžbi (II-8) 5 ( ).68 (,66 ) m ω a 9,9 /m, pa jedadžba emperaurog pola im voj koači oblik Θ e -9,9 co(,68 9,9) (**) Tablica II- prikazuje vrijedoi gorje jedadžbe u fukciji varijable. U ioj u ablici prikazae i evelopke vrijedoi ± e -9,9, dok dijagram a lici II-, prikazuje e fukcijke vrijedoi akođer u fukciji debljie polubekoačog ijela. Tablica II-. Vrijedoi emperaure Θ, i avelopkih vrijedoi ± e -9,9 fukcije (*) u ovioi o debljii polubekoače kruie u vreme., m Θ, C e -9,9 -e -9,9,5674 -, 8,66 86,999-86,999, 4,78 75,679-75,679, 44,55 65,8849-65,8849,4 44,869 57,6446-57,6446,5 4,959 49,8458-49,8458 4
,6 9,686 4,9-4,9,7 6,899 7,696-7,696,8,4954,799 -,799,9 8,557 8,565-8,565, 4,5578 4,849-4,849,,75,5866 -,5866, 7,44 8,7787-8,7787,,89 6,59-6,59,4,854 4, -4,,5 8,499,645 -,645,6 5,98687,757 -,757,7 4,78 9,54-9,54,8,4957 8,76-8,76,9,98 7,787-7,787,, 6,578-6,578, -,56886 5,567-5,567, -,74 4,6598-4,6598, -,589 4,559-4,559,4 -,7659,56 -,56,5 -,89,6748 -,6748,6 -,95,6684 -,6684,7 -,8785,7 -,7,8 -,788,98 -,98,9 -,654,75658 -,75658, -,49447,585 -,585, -,594,96 -,96, -,56,56 -,56, -,984,59 -,59,4 -,875,875 -,875,5 -,6777,769 -,769,6 -,565,667 -,667,7 -,45,576 -,576,8 -,954,58 -,58,9 -,94,4589 -,4589,4 -,45,799 -,799,4 -,889,986 -,986,4 -,4,8694 -,8694,4,774,496 -,496,44,68,74 -,74,45,5758,8889 -,8889,46,74,64 -,64,47,795,494 -,494,48,87,44 -,44,49,848,87 -,87 Gorje abliče vrijedoi prikazuje dijagram a lici II -. 44
8 av / e -m Θ, C 4 Θ ma Θmi (.59) Θ -4-8 -e -m av -....4.5, m Slika II -. Temperaure i avelopke vrijedoi po debljii polubekoačog ijela prema jedadžbi (**) za cikličko emperauro površiko operećeje zadao jedadžbom (*), u vremeu. Iz ijeka krivulje Θ vidljivo je da uuar zadae debljie 5 mm polubekoačog ijela, pooje ri lokala ekrema i o dva makimuma i jeda miimum. Njihove pozicije e dobiju iz jedažbe II-6, pa je za ν 4 ω/m-(4 ν) π/(4m),68 /9,7- (4 4)π/(9,7 4),8 m Vrijedo emperaure u oj očki je, prema jedadžbi (**) Θ ma (,8) e -9,7,8 co(,68-9,7,8) 44,45 C Za ν dobiva e acioara vrijedo za koju fukcija ima lokali ekrem-mimimum ω/m-(4 ν) π/(4m),68 /9,7- (4 )π/(9,7 4),59 m, pa je vrijedo emperaure u oj očki jedaka Θ mi (,59) e -9,7,59 co (,68-9,7,59) -, C Treća acioara očka, u kojoj e poiže lokali ekrem (makimum), dobije e uvršavajem u jed. (II-6) ν, pa lijedi ω/m-(4 ν) π/(4m),68 /9,7- (4 )π/(9,7 4),4844 m, pa je vrijedo emperaure u oj acioaroj očki jedaka 45
Θ ma (,4844) e -9,7,4844 co(,68-9,7,4844),8 C c) Vrijedo varijable, za koje u vrijedoi avelopkih vrijedoi jedake vrijedoima prema fukciji (**), proizlaze iz iedadžbi azačeih u eku ovoga paua av ω/m - νπ/m av ω/m (ν-)π/m Uvršavajem ν u gorje jedadžbe dobivaju e vrijedoi varijable za koje u vrijedoi emperaure jedake avelopkim vrijedoima: av,9 m; av,54 m Vrijedoi emperaura u im očkama u: Θ acv e -9,7,9 8,49 C Θ acv - e -9,7,54 -, C d) Valu duljiu emperaurog vala dobijemo iz jedadžbe (II-4) ω c /m,68 /9,7,45 m e) Temperauri ijek za ri različia vremea 6,, i prikazuje dijagram a lici II -. U ii u dijagram uešee avelopke vrijedoi ± e -m. 46
8 Θ Θ, C 4 e -m Θ Θ 6-4 -e -m -8 -....4.5, m Slika II-. Temperaura diribucija u polubekoačoj kruii za ri različia vremea 6, i..6 Izravi dodir (koak) dva polubekoača ijela Sada promorimo dva polubekoača ijela (kruie) A i B apravljea od različiih maerijala i različiih počeih emperaura A i B, dovedea u međuobi avršei izravi dodir, kako o prikazuje lika II-9. B B i A B A A Slika II-9. Izravi dodir dva polubekoača ijela 47
ubi uvjei za promarai problem u: ( q ( ) ) ( q( )) q (II-5a) A ( ( ) ) ( ( )) m A B (II-5b) B Dakako emperaura rapodjela u kruiama opiaa je odgovarajućom fukcijom erfc. No a u ovom reuku zaima vrijedo dodire emperaure. Kako e ovdje radi o izrazio krakim vremeima oplike difuzije, ada e vrijedo doiče dodire emperaure dobije iz azačeih rubih uvjea, ime da e guoće oplikog oka izraze jedadžbom (II-6). A ( ) ( ) A πa A B πa B B (a) Iz gorje jedadžbe lijedi izraz za dodiru emperauru ( ρc) AA ( ρc) B ( ρc) A ( ρc) B B (b) Veličiu (ρc) ozačujemo a b i azivamo koeficijeom oplikog prodiraja. Oa ima dimeziju W.5 /Km, i dakako iključivo je vojvo vari polubekoačog ijela. b ρc (II-6) pa e korieći gorju jedadžbu, jedadžbu (b) može apiai b b A A B B (II-7) ba bb Primjer II-4. Temperaura kože ljudke ruke je C a koeficije oplikog prodiraja može e procijeii a W.5 /(Km ). Porebo je izračuai dodiru emperauru pri doicaju ljedećih maerijala emperaure C i pozaih koeficijeaa oplikog prodiraja: bakra, željeza, pješčae ijee, drvea i pjeaog maerijala. ješeje. Primjer e rješava korieći jedadžbu (II-7), a rezulae izračua prikazuje ablica II-. Tablica II-. Vrijedoi dodirih emperaura ljudke ruke ijekom krakorajog dodira različiim maerijalima emperaure C Maerijal b m, C W.5 /(Km ) Bakar 6 98 Željezo 5 96 Pješčaa ijea 86 77 Drvo 7 49 Pjeai maerijal 4 48
Tablica II- jao pokazuje da dodira emperaura leži bliže vrijedoi emperaure ooga maerijala koji ima veći koeficije oplikog prodiraja. Iim ačiom možemo povrdii i zašo ojećamo različiu hladoću pri dodiru različiih maerijala koji u u zimkim uvjeima izložei okolišoj (amoferkoj) emperauri. Jedadžbu (II-7) može e apiai i u obliku A B A bb b b A B (II-8).6. Polubekoačo ijelo a zadaim rubim uvjeom. vre Ako e površia, u reuku aglo izloži fluidu koae emperaure o, e ako je poza veukupi koeficije prijelaza oplie α, lika II-, u kruia (, ) > > c, ρ, α u p Slika II-. Temperauro polje u polubekoačom ijelu uz rubi uvje. vre ada e počei i rubi uvjei mogu izrazii u obliku (, ) p (II-9) α u o, ( ( )) (II-a) (, ) p (II-b) Temperauro polje u om lučaju ima oblik 49
o p p erfc 4a e αu αu a erfc 4a α u a (II-) čiji kvaliaivi ijek prikazuje lika II-. Provedea aaliza a modelu polubekoačog ijela pokazuje da u dobivea rješeja primjeljiva i za ijela koače debljie, ako dugo dok je ograiče opliki ujecaj a oale rube (graiče) površie. Soga u a dobivea rješeja primjeljiva za vrlo mala vremea oplike difuzije. 5
III.Poglavlje. Aaliičko rješeje emperaurog polja kod reuih, koiuiraih i pomičih oplikih izvora Treui opliki izvori Složea aaliza emperaurih polja u kruii kao poljedice djelovaja koiuiraih i pomičih oplikih izvora, polazi od dobiveih rješeja za lučajeve djelovaja reuih oplikih izvora.. Toplika ekplozija. (Treui očkai opliki izvor) Pod oplikom ekplozijom podrazumijevamo reuo olobađaje oplie u jedom volumekom elemeu bekoačog ijela (kruie). Čeo e akav ači olobađaja oplie aziva reuim očkaim oplikim izvorom. Ovakav lučaj oplikog olobađaja može aai ijekom brzih kemijkih reakcija, uklearih reakcija, adalje može pojecai iz elekričog luka (pr. pri krakom poju), olobađajem oplie pri fazim promjeama, kao šo u pr. agli kodezacijki procei... Temperauro polje oko jedog očkaog oplikog izvora Neka u jedom bekoačom ijelu u vremeu, a radiju vekoru (proorom radijuu) r, reui očkai opliki izvor olobodi Q, J, (džula) oplie, lika III-. Q z bekoačo ijelo (ρ, c, ) r y - - y - z Slika III-. Uz pojašjeje emperaurog polja oko reuog očkaog izvora Nadalje eka je počea emperaura (odoo ademperaura) kruie jedaka C e eka je adalje ipujea važa prepoavka koaih fizikalih vojava (, ρ, c) kruie. Uz e prepoavke može e apiai jedo ikuveo rješeje jedadžbe emperaurog polja, [5,6] 5
4a ( r, ) f ( ) e r (III-) Veličiu f() dobije e iz uvjea da olobođea oplia Q mora ijekom šireja kroz bekoaču kruiu, oai vremeki koaa, budući da u promaraom lučaju ema ii dodaih oplikih izvora ii oplike diipacije prema okolišu. Soga iegral ( r, ) 4π r ρc dr Q (III-) mora bii eovia o vremeu. Uvršavajem izraza (III-) u (III-), e uvodeći varijablu dobiva e izraz r ξ ; dr 4adξ (III-) 4a ( 4a) f () ξ e ξ 4πρc ξ d Q (a) iz kojeg lijedi, zbog čijeice da je jegova vrijedo eovia o vremeu, oblik fukcije f() C f (b) () Kako je adalje pozaa vrijedo iegrala π ξ ξ e dξ (c) 4 ada iz (c), (b) i (a) lijedi izraz za koau C Q C (d) ρc ( 4a) Uvršavajući (d) u (III-) dobiva e ražeo rješeje emperaurog polja r Q 4a ( r, ) e ; ( r y z ) ρc( 4πa) koje ipujava ljedeće vremeke i proore uvjee: (III-4) 5
za i < r < je (III-5a) za i r je (III-5b) za je (III-5c) Da je jedadžba (III-4) jedo od rješeja, može e o eizravo pokazai da oa zadovoljava parcijalu diferecijalu jedadžbu eacioarog provođeja oplie apiau u ferim koordiaama, pri čemu e uzima poojaje emperaurog gradijea jedio u mjeru proorog radijua r, []: a r r r (III-5) Derivirajući parcijalo jedadžbu (III-4) po varijabli dobiva e ρc Q ( 4πa) e r 4a r 4a (a) dok u prva i druga parcijala derivacija po varijabli r r r a r 4a ρc Q ( 4πa) ρc e r 4a r r Q 4a e ( 4aπ) (b) (c) Vraivši (c), (b) i (a) arag u (III-5) dobiva e jedako ρc Q ( 4πa) e r 4a r 4a ρc Q ( 4πa) e r 4a r 4a (e) koja dokazuje da je jedadžba (III-4) jedo od rješeja parcijale diferecijale jedadžbe (III-5)! Primjer III-. Jedu debelu ploču koju e može polubekoačim ijelom pogodi projekil mae m g brziom w 5 m/. Pozaa u fizikala vojva ploče: a 5-6 m / i ρc 9 kj/(km ). Porebo je odredii jedadžbu emperaurog polja pod prepoavkom da e dvoruka kieička eergija projekila provođejem peerira u ploču! ješeje. Akcepirajući avedee prepoavke, problem e može riješii korieći jedadžbu (III-4), reirajući pri omu da je u poluproor predaa va kieička eergija projekila, kao eergiju reuog očkaog izvora, pa je 5