PREFAŢĂ, După ce î lucrre [5] m prezett elemetele de bză le ş zse lgebre bstrcte (mulţm ordote, grupur, ele, corpur, ele de polome, elemete de teor ctegorlor) c o coture frescă cestor, î lucrre de fţă se preztă umte elemete de lgebră lră. Cptolul este dedct studulu modulelor peste u el utr (î ce m mre prte presupus comuttv) ş î prtculr l spţlor vectorle. Î cdrul cestu cptol o teţe deosebtă este cordtă studulu ctegorlor de module (solctâd cttorulu umte oţu ş rezultte prezette î Cptolul 5 d [5]) precum ş modulelor lbere de rg ft (î prtculr spţlor vectorle de dmesue ftă peste u corp). Cptolul este dedct studulu determţlor ş sstemelor de ecuţ lre cu coefceţ îtr-u corp comuttv. Lucrre se dreseză î prmul râd studeţlor de l fcultăţle de mtemtcă ş formtcă (m les petru prm de studu) putâd f îsă utlztă ş de profesor de mtemtcă d îvăţămâtul preuverstr î cdrul procesulu de perfecţore (umte prgrfe, î specl cele legte de spţle vectorle, sut utle ş studeţlor de l îvăţămâtul poltehc). Acestă lucrre (c ş [5] - căre coture frescă este) u r f văzut lum tprulu fără efortul deosebt depus de D Pcu (cre prtre ltele, sgurt ce m mre prte dfclelor operţ de tehoredctre ş corectură); folosesc cest prlej petru - mulţum petru colborre l relzre tât ceste lucrăr (cât ş lucrărlor [4,5]), dr m les petru sperţ de relz î vtor ş lte lucrăr de lgebră ecesre îvăţămâtulu superor. Crov, 6 mrte Prof.uv.dr. Dumtru Buşeg
CUPRINS CAPITOLUL : odule ş spţ vectorle. odul. Submodul. Clcule îtr-u modul. Operţ cu submodule. Submodul geert de o mulţme. Ltce submodulelor uu modul. Sstem de geertor. Elemete lr depedete (depedete). odule lbere. Spţ vectorle. Submodul mml. odul smplu. Fctorzre uu modul prtr-u submodul. odul fctor.......................................... orfsme de module. Edomorfsme. Operţ cu morfsme de module. Imge, ucleul, comge ş coucleul uu morfsm de module. Ctegorle od s (A) ş od d (A). oomorfsme, epmorfsme, zomorfsme de module. Nucleul ş coucleul ue perech de morfsme. Teorem fudmetlă de zomorfsm petru module. Cosecţe. Şrur ecte de A-module. Fuctor h ş h de l od s (A) l Ab. Bmodule. Dulul ş bdulul uu modul....... 4. Produse ş sume drecte î od s (A). Sume drecte de submodule. Produse ş sume drecte de morfsme de A-module. Sume ş produse fbrte î od s (A)..........................4 4. Lmte ductve ş proectve î od s (A). Lmte ductve ş proectve de morfsme de A-module.................. 47 5. Submodule eseţle ş superflue. Submodule complemet. Submodule îchse. odule jectve. Grupur dvzble. Avelope jectve. odule proectve. Avelope proectve. Geertor, cogeertor petru od s (A). Lmte ductve ş proectve î od s (A). Lmte ductve ş proectve de morfsme de A-module..6
6. Produs tesorl de module. Produs tesorl de morfsme. Fuctor S ş T N ; trsportul şrurlor ecte scurte pr ceşt fuctor. Comuttvtte produsulu tesorl. Permutre produsulu tesorl cu sumele drecte. Produs tesorl de module lbere. Asoctvtte produsulu tesorl. Proprette de djucţe. odule plte.... 8 7. odule lbere de rg ft. trce de trecere de l o bză l lt. Formul de schmbre coordotelor uu elemet l schmbre bzelor. Lem substtuţe. trce tştă ue plcţ lre ître module lbere de rg ft; formul de schmbre ceste l schmbre bzelor....................... CAPITOLUL : Determţ. Ssteme de ecuţ lre.. Defţ uu determt de ord. Propretăţle determţlor. Dezvoltre uu determt după elemetele ue l. Regul lu Lplce. Formul Bet-Cuchy.............. trce versblă. Ivers ue mtrce. Rgul uu sstem de vector. Rgul ue mtrce. Rgul ue plcţ lre ître spţ vectorle de dmesu fte..................... Ssteme de ecuţ lre cu coefceţ îtr-u corp comuttv. Ssteme omogee. Vector ş vlor propr uu opertor lr. Teorem Cyley-Hmlto.....................4 BIBLIOGRAFIE..........................57
Refereţ ştţfc: Prof.uv.dr. Costt NIŢĂ UNIVERSITATEA BUCUREŞTI Prof.uv.dr. Aledru DINCĂ UNIVERSITATEA CRAIOVA EUC CRAIOVA All rghts reserved. No prt of ths publcto my be reproduce, stored retrevl system, or trsmtted, y forms or by y mes, electroc, mechcl, photocopyg, recordg, or other wse, wthout the pror wrtte permsso of the publsher. Tehoredctre computerztă : D Pcu Copert: Cătăl Buşeg Bu de tpr: 9.. Tpogrf Uverstăţ d Crov, Strd, Al. Cuz, r. Crov, Româ Publshed Rom by: EDITURA UNIVERSITARIA CRAIOVA 4 Descrere CIP Bblotec Nţole Dumtru Buşeg (coordotor), Algebră lră 6p.; cm Crov Edtur Uverstr Bblogr. 5,5.55,56.64 ISBN 97 84 6
CAPITOLUL : ODULE ŞI SPAŢII VECTORIALE Î cdrul cestu cptol pr A vom desem u el utr (câd v f czul vom precz dcă A este su u comuttv).. odul. Submodul. Clcule îtr-u modul. Operţ cu submodule. Submodul geert de o mulţme. Ltce submodulelor uu modul. Sstem de geertor. Elemete lr depedete (depedete). odule lbere. Spţ vectorle. Submodul mml. odul smplu. Fctorzre uu modul prtr-u submodul. odul fctor. Defţ.. Vom spue despre u grup bel (,) că este A-modul stâg (su modul l stâg peste A) dcă este deftă o operţe lgebrcă eteră pe, φ:a, φ(,), petru orce A ş.î. petru orcre, b A ş verfcte codţle: 5 () (y)y () (b) b () (b)(b) (v), y sut Î cest cz, elemetele lu A se umesc sclr r φ se umeşte îmulţre cu sclr. Î mod log se defeşte oţue de A-modul l drept: u grup bel (,) se zce că este A-modul drept (su modul l drept peste A ) dcă este deftă o îmulţre cu sclr, ψ: A ψ(,), petru orce A ş.î. petru orcre, b A ş, y sut verfcte codţle:
( ) (y)y ( ) (b)b ( ) ()b(b) (v ). Fptul că este u A-modul l stâg (drept) se m oteză ş pr A ( A ). Observţ... Dcă A o este elul opus lu A (dcă elul î cre operţ de dure cocde cu ce de pe A r îmulţre de pe A o se defeşte petru, b A pr bb) tuc orce A-modul stâg deve î mod coc A o -modul drept (ş recproc), defd petru ş A o îmulţre cu sclr pr. De fecre dtă oul modul stfel obţut se v ot pr o ş se v um opusul lu. Astfel, î czul î cre elul A este comuttv, cum A cocde cu A o, oţule de A-modul l stâg ş l drept cocd; î cest cz, despre vom spue pur ş smplu că este A-modul.. Î czul î cre elul A este u corp K, tuc orce K-modul l stâg (drept) se zce spţu vectorl l stâg (drept) peste K (su K-spţu vectorl). De obce, î cest cz grupul dtv bel se oteză pr V r elemetele lu V se umesc vector. Î cele ce urmeză (dcă u meţoăm cotrrul) pr A-modul (su modul dcă u este percol de cofuze), vom îţelege u A-modul l stâg, (oţule ş rezulttele trspuâdu-se drect ş petru A-modulele l drept). Adoptăm ceeş coveţe ş petru K-spţle vectorle. Eemple. Ielul A deve î mod coc A-modul cosderâd îmulţre de pe A c îmulţre cu sclr.. Dcă (G, ) este grup bel, tuc G deve î mod coc Z-modul defd petru Z ş G îmulţre φ cu sclr 6
44. petru > or φ(,) petru. ( ) ( ) petru < 4444 or. Dcă elul A este î plus ş comuttv, tuc elul A[X] l polomelor îtr-o edetermtă deve A-modul, defd petru A ş 7 P X X A[X] îmulţre cu sclr φ pr φ(, P) ( )( )X ( )X A[X]. 4. Dcă A este comuttv, tuc grupul dtv m, (A) l mtrcelor de tpul (m, ) (m, ) deve î mod coc A-modul pr j m defd îmulţre cu sclr petru A ş o mtrce ( j ) ( j ) m ( j ) j j m m,(a). 5. Cosderâd u umăr turl N * ş grupul dtv A A A (fţă de dure y( y ), cu ( ) ş y(y ) A ) tuc A deve î mod coc u A-modul defd îmulţre φ cu sclr petru A ş ( ) A pr φ(, ) ( ) A. 6. Dcă I este u tervl de umere rele, tuc mulţme C(I, R){f : I R f este cotuă} (cre deve grup bel fţă de dure cocă fucţlor cotue) deve R-spţu vectorl defd îmulţre φ cu sclr petru R ş f:i R pr φ(, f): I R, φ(, f)()f(), orcre r f I. Propozţ.. Dcă este u A-modul, tuc petru orce, b,,, A ş, y,,, m vem: () () (-)(-)-() r ( )(-) () (-y)-y r (-b)-b (v) ( ) r ( m ) m.
8 Demostrţe. (). D deducem că (). Alog deducem ş că. (). Scrd că (-) deducem că (-), de ude ( )-(). Alog restul de frmţ. (). Se ţe cot de (). (v). Se fce ducţe mtemtcă după m ş. Defţ.4. Fd dt u A-modul, o submulţme evdă lu se zce submodul dcă este subgrup l grupulu dtv (,) r restrcţ îmulţr cu sclr l î coferă lu structură de A-modul. Vom ot pr L A () fml submodulelor lu. Î mod evdet, {} ş fc prte d L A (). Orcre lt submodul l lu dfert de {} ş se zce propru. Dcă A este u el comuttv tuc L A (A)Id(A). Dcă u este percol de cofuze, submodulul {} se m oteză ş pr ş portă umele de modulul ul. Următorul rezultt este medt: Propozţ.5. Dcă este u A-modul, tuc petru o submulţme evdă N lu următorele frmţ sut echvlete: uu () N L A () () Petru orce, y N ş A, -y N ş N () Petru orce, y N ş, b A, by N. Propozţ.6. Dcă ( N ) I este o fmle de submodule le A-modul, tuc I N L A (). Demostrţe. Fe NI I N I ş, y N (dcă, y N petru orce I) r, b A. Atuc by N petru orce I, dcă by I N N, dec N L A (). I Propozţ.6. e permte să troducem petru u A-modul ş o submulţme evdă s, oţue de submodul geert de c
fd cel m mc submodul l lu (fţă de relţ de cluzue), ce coţe pe. Dcă otăm pr ( ) cest submodul vem î mod evdet ( ) I { N LA ( ) N}. Propozţ.7. Dcă este u A-modul r o submulţme evdă s, tuc ( ){,, A,,,, N * }. Demostrţe. Să otăm pr mulţme combţlor fte cu elemete d d prte dreptă egltăţ d euţ. Se rtă medt că este submodul l lu ce coţe pe, de ude cluzue ( ). Dcă legem N L A ().î. N tuc N ş cum N este orecre deducem că N( ), de ude egltte ( ). Observţ.8.. Dcă ( ), elemetele lu se zc geertor petru. Dcă este ftă, se zce A- modul ft geert su de tp ft.. Dcă {} cu, tuc submodulul lu geert de mulţme {} se zce prcpl ş coform propozţe precedete vem: ({}){ A} A.. ulţme ordotă (L A (), ) deve î mod coc ltce completă, ude petru o fmle ( N ) I de elemete d L A () vem N I N I r N ( U N I ); î mod evdet cestă ltce este I I mărgtă, ude {} r. 4. Dcă N, P L A (), tuc N P(N P){y N ş y P} NP, r ({,, }) A A. Propozţ.9. Petru orce A-modul, ltce (L A (), ) este modulră. 9
Demostrţe. Trebue să rătăm că dcă P, Q, R L A () ş R P, tuc P (Q R)(P Q) R P (QR)(P Q)R. Cum cluzue (P Q)R P (QR) este evdetă, fe P (QR). Atuc P ş yz cu y Q ş z R. Cum R P deducem că y-z P ş cum y Q vem că y P Q, dcă (P Q)R, dec este devărtă ş cluzue P (QR) (P Q)R, de ude egltte P (QR)(P Q)R. Observţ... Î geerl, ltce (L A (), ) pote să u fe dstrbutvă. Cotreemplul e este ofert de Z-modulul Z Z (vez [, Ec. 6.6.] ş [9, p. 77]).. Ltce submoduleleor Z-modululu Z (dcă ltce delelor elulu (Z,, )) este dstrbutvă. Îtr-devăr, dcă vem tre dele I, J, K le elulu Z tuc ImZ, JZ, KpZ cu m,, p N. Se verfcă medt că I J[m, ]Z r IJ(m, )Z, stfel că egltte I (J K)(I J) (I K) este echvletă cu [m, (, p)]([m, ], [m, p]) r ultm egltte este devărtă (vez [4]). elemetele Defţ.. Fe u A-modul stâg. Vom spue despre,, că sut lr depedete peste A dcă vâd o combţe lră ulă cu,, A, deducem că. Dcă otăm F{,, } covem să otăm fpul că elemetele lu F sut lr depedete peste A scrd d A F. Dcă este o submulţme orecre lu, vom spue că elemetele lu sut lr depedete peste A dcă orce submulţme ftă F este formtă d elemete lr.( depedete peste A (vom ot lucrul cest scrd d A Î czul î cre elemetele,, u sut lr depedete peste A vom spue despre ele că sut lr
depedete peste A (cest lucru reved l spue că estă,, A u tote ule.î. ). Eemple.. Dcă N * ş A tuc otâd cu e elemetele lu ce u pe pozţ ş î rest ( ) se deduce medt că elemetele e, e,.., e sut lr depedete peste A.. Fe m, N * ş m, (A) r E j mtrce de tp (m,) ce re pe pozţ (, j) ş î rest ( m, j ). Se verfcă medt că j m sut lr depedete peste A. elemetele ( ) E j. Dcă A este comuttv r A[X], tuc mulţme ftă {, X, X,.} este formtă d polome lr depedete peste A. 4. Dcă N ş tuc orce submulţme evdă F Z-modululu (Z, ) este formtă d vector lr depedeţ peste Z. Îtr-devăr, dcă F,, p (p ), tuc p p ˆ ˆ ˆ. Defţ.. Dcă este u A-modul, o submulţme S lu se zce bză petru dcă (S) ş d A S. Î cest cz, spuem despre A-modulul că este lber (î mod evdet ). D cele prezette teror deducem că A-modulele A ş m, (A) (cu m, ) sut lbere ş u bze fte r dcă elul A este comuttv tuc A-modulul A[X] este de semee lber, vâd îsă o bză ftă. Tot d cele prezette m îte deducem că Z-modul (Z, ) ( ) u este lber. Teorem.. Fe K u corp rbtrr, V u K-spţu vectorl eul, I, G V.î. d K I, (G)V ş I G. Atuc estă o bză B V petru V.î. I B G. Demostrţe. Să remrcăm l îceput fptul că estă submulţm I ş G le lu V cu propretăţle d euţ. Îtr-devăr, putem cosder î cel m efvorbl cz GV r I{} cu G, (căc V ).
Fe F{B V I B G ş d K B} (deorece I F deducem că F ). Se verfcă medt că dcă (B ) I este o fmle totl ordotă (fţă de cluzue) de elemete d F, tuc U B F, de ude cocluz că (F, ) este o mulţme ductvă. Coform Leme lu Zor estă u elemet mml B F. Dcă vom demostr că (B )V, cum d K B, vom deduce că B este bză petru V ş teorem este demostrtă. Petru cest este sufcet să demostrăm că G (B ) (căc tuc m deduce că V(G) (B ), de ude (B )V). Cum B G, fe G\B. Atuc I B { } G r dtortă mmltăţ lu B deducem că vector d B { } trebue să fe lr depedeţ peste K. Estă dec λ, λ,, λ K u toţ ul ş,, B.î. λ λ λ. Să observăm că λ (căc î cz cotrr, cum d K B m deduce că λ λ, bsurd), de ude deducem că ( λ λ ) ( λ λ ) dcă (B ). Deducem dec că G (B ) ş stfel (B )V, dcă B este o bză petru V. Ţâd cot de observţ de l îceputul demostrţe Teoreme.., deducem medt următorul rezultt: Corolr.4. () Dcă K este u corp orecre, tuc orce K-spţu vectorl eul dmte cel puţ o bză. () Orce prte I lr depedetă uu sstem de geertor G l uu K-spţu vectorl V pote f complettă cu elemete d G pîă l o bză lu V. () Orce sstem de vector lr depedeţ uu spţu vectorl pote f complett pîă l o bză spţulu. Teorem.5. (Teorem schmbulu). Fe K u corp orecre r V u K-spţu vectorl eul. Dcă,, V sut lr depedeţ peste K r y,, y m V u sstem de geertor petru V, tuc m ş estă o redere vectorlor y,, y m.î. (,,, y,, y m )V. I
Demostrţe. Se fce ducţe mtemtcă după. Dcă tuc î mod evdet m. Deorece (y,,y m )V, estă,, m K.î. y m y m ; cum, estă u sclr eul (să zcem ). Atuc y ( ) y ( m ) y m, de ude cocluz că (, y,,y m )V. Să presupuem frmţ devărtă petru -. Deorece,, sut lr depedeţ peste K tuc ş,, - sut lr depedeţ peste K ş coform poteze de ducţe - m ş estă o redere vectorlor y,,y m.î. (,, -, y, y,, y m )V. Atuc estă b,, b -, b, b,, b m K.î. b b - - b y b m y m. ( ) Dcă -m tuc b b - - cee ce cotrzce fptul că vector,, -, sut lr depedeţ peste K. Atuc - m-, de ude m. D ( ) deducem că estă u dce, m.î. b (să zcem ). Atuc d ( ) deducem că y b ( b b ) ( b b ) ( b b ) y ( b b m ) y m cee ce e rtă că (,,, y,, y m )V ş stfel, coform prcpulu ducţe mtemtce teorem este complet demostrtă. Corolr.6. Fe K u corp orecre r V u K-spţu vectorl eul. Atuc orcre două bze fte le lu V u celş umăr de elemete. Demostrţe. Dcă B {,, } ş B {y,, y m } sut două bze le lu V cu respectv m elemete, deorece î prtculr d K {,, } ş (y,, y m )V, coform teoreme schmbulu vem m. Schmbâd rolul lu B cu B deducem că ş m, de ude m. Teorem.7. Fe u A-modul lber r (e ) I ş (f j ) j J două bze petru. Atuc : () I este ftă dcă ş um dcă J este ftă () Dcă I ş J sut fte, tuc I J (ude remtm că pr I m ott crdlul lu I).
(cu 4 Demostrţe. (). Petru fecre I estă ( ) j j J de suport ft e f, ude C supp ( ) { j J } (cre A).î. j j C este mulţme ftă). Să demostrăm că JU j j C I j j J r petru cest fe j J. Deorece (e ) I este bză petru, estă b, b,, b A.î. f j b e b e. Deducem medt că : ( ) Dcă pr bsurd, f j b j f j b j C j C j f. j U j tuc cu tît m mult U j C I dec f j u se găseşte prtre elemetele ( U deducem că { f } { } Pr urmre j f k U k C p p U C I ) U f k k p C p j C k k ş ş stfel d ( ) este o mulţme lr depedetă, bsurd. J ş tuc este clr că dcă J este ftă tuc cu ecestte ş I este ftă (deorece C este mulţme ftă petru orce I). Alog deducem că dcă I este ftă tuc ş J este ftă. (). Ţâd cot de fptul că J ş de umte rezultte U C I elemetre d teor mulţmlor (vez Cptolul, prgrful ) deducem că I J. J UC C χ I I ş smetrc, I J, de ude I I Corolr.8. Dcă V este u K-spţu vectorl eul tuc orcre două bze le lu V u celş crdl. Observţ.9. Cev m tîrzu vom demostr u rezultt semăător Corolrulu.6. ş petru module (vez Teorem.5.). Defţ.. Dcă V este u K-spţu vectorl eul vom ot cu dm K V su [V:K] crdlul ue bze rbtrre lu V ce se v um dmesue lu V peste K.
Dcă dm K V este ftă vom spue despre V că este de dmesue ftă. Dcă V{} covem c dm K V. D cele epuse m îte deducem că dcă K este u corp orecre tuc dm K K, dm K m, (K)m, (m, ) r dm K K[X] este ftă. Dcă petru N otăm K [X]{f K[X] grd(f) }, tuc dm K K [X] (căc {, X,, X } este o bză lu K [X] peste K). Defţ.. Fe u A-modul stâg. U submodul propru N l lu se zce mml dcă N este elemet mml î ltce L A () submodulelor lu (dcă petru orce submodul propru N l lu.î. N N, vem NN ). Propozţ.. Petru u A-modul stâg ş u submodul propru N l lu următorele frmţ sut echvlete: () N este mml () NA petru orce \N () NN petru orce submodul N l lu.î. N N. Demostrţe. () (). Dcă N este mml, cum NA(N {}) (coform Observţe.8., ).) r N NA deducem medt că NA. () (). D N N deducem că estă N.î. N. Atuc NA (N {}) (N N ) NN ş cum NA deducem că NN, dcă NN. () (). Presupuem pr bsurd că N u este mml; tuc estă N submodul propru.î. N N ş N N. Cum N N r trebu c NN. Îsă NN N ş stfel jugem l cocluz flsă că N bsurd!. Teorem.. Fe u A-modul stâg ft geert. Atuc orce submodul propru N l lu este coţut îtr-u submodul mml. 5
Demostrţe. Fe P N mulţme submodulelor propr le lu ce coţ pe N (cum N P N deducem că P N Ø). Să rătăm cum că (P N, ) este o mulţme ductv ordotă r petru cest fe (N ) I o prte totl ordotă lu P N. Î mod evdet N este submodul l U N I lu ce coţe pe N. Dcă N u r f propru (dcă N ), cum este ft geert estă u umăr ft de geertor,, lu ş v est j I.î.,, N j de ude r rezult că N j, bsurd!. Dec N P N ş este u mjort petru (N ) I. Coform Leme lu Zor, P N coţe u elemet mml N ; deducem medt că N este submodul mml l lu ce coţe pe N. Defţ.4. U A-modul stâg se zce smplu dcă ş sgurul său submodul propru este submodulul ul. Dcă este u A-modul stâg ş N este u submodul l său ce c A-modul este smplu, tuc N se zce submodul mml. Observţ.5. Dcă este u A-modul stâg smplu, tuc estă,.î. A. Fe cum u A-modul stâg ş N u submodul l său. Deorece grupul (, ) este bel deducem că N ş dec putem vorb de grupul dtv fctor /N (vez Cptolul,.4). Remtm că /N{N }, ude N{y y N} r operţ de dure pe /N se defeşte stfel: (N)(yN)(y)N, orcre r f, y. Î coture să-l orgzăm pe /N c A-modul. Petru A 6
ş defm: (N)N /N. Dcă m vem y.î. NyN, tuc -y N ş dec (-y) N, de ude cocluz că NyN, dcă operţ deftă m sus este corectă. Se verfcă medt că î felul cest /N deve A-modul stâg cre portă umele de modulul fctor l lu pr submodulul N. Spuem de multe or că m fctorzt modulul pr submodulul său N. Dcă N tuc /N{ }{ } r dcă N, tuc /{ }{} r cum N este elemetul eutru l grupulu dtv (/N, ) covem să spuem că / este A-modulul ul (ott de obce pr ). Astfel, /N dcă ş um dcă N este submodul propru l lu (dcă N ). Observţ.6. Aplcţ p N : /N, p N ()N, orcre r f portă umele de surjecţ cocă; câd u este percol de cofuze î loc de p N vom scre smplu p r petru folosm deseor otţ p() ˆ. 7
. orfsme de module. Edomorfsme. Operţ cu morfsme de module. Imge, ucleul, comge ş coucleul uu morfsm de module. Ctegorle od s (A) ş od d (A). oomorfsme, epmorfsme, zomorfsme de module. Nucleul ş coucleul ue perech de morfsme. Teorem fudmetlă de zomorfsm petru module. Cosecţe. Şrur ecte de A-module. Fuctor h ş h de l od s (A) l Ab. Bmodule. Dulul ş bdulul uu modul. Defţ.. Fe ş N două A-module stâg. O fucţe f: N se zce morfsm de A-module (stâg) dcă () f(y)f()f(y) () f()f(), orcre r f, y ş A. Dcă ş N sut A-module drepte tuc () se îlocueşte cu ( ) f()f(), orcre r f ş A. orfsmele de A-module se m zc ş plcţ lre (su plcţ A-lre, dcă este percol de cofuze). Î coture e vom ocup dor de morfsmele de A-module stâg. Observţ... Se verfcă medt că dcă ş N sut două A-module stâg, tuc f: N este morfsm de A-module dcă ş um dcă f(by)f()bf(y), orcre r f, y ş, b A. Deorece î prtculr f este morfsm de grupur dtve deducem că f() ş f(-)-f(), orcre r f.. U morfsm de A-module f: se zce edomorfsm l lu ; î prtculr :, (), orcre r f este edomorfsm l lu (umt edomorfsmul detc l lu ).. Dcă este u A-modul stâg r N este u submodul l său, se verfcă medt că surjecţ cocă p N : /N, p N ()N, orcre r f este morfsm de A-module ş î cosecţă p N se v um morfsmul surjectv coc. De semee fucţ cluzue N, :N, N, (), orcre r f N este morfsm de module. 8
9 4. Dcă ş N sut două A-module stâg, tuc fucţ : N, (), orcre r f este morfsm de module umt morfsmul ul. 5. Dcă este u A-modul ul ş u A-modul rbtrr, tuc morfsmul ul este sgurul morfsm de module de l l c ş de l l. Petru două A-module stâg ş N vom ot Hom A (, N){f: N f este morfsm de A-module} r petru f, g Hom A (, N) defm fg: N pr (fg)()f()g(), orcre r f. Propozţ.. (Hom A (, N), ) este grup bel. Demostrţe. Se verfcă medt că dure morfsmelor este soctvă, comuttvă ş dmte morfsmul ul : N c elemet eutru. Petru f Hom A (, N), fe f: N dtă pr ( f)()-f(), orcre r f. Deorece petru orce, y ş, b A vem ( f)(by)-f(by)-(f()bf(y))-f()-bf(y)(-f())b(-f(y)) deducem că -f Hom A (, N) ş cum f(-f)(-f)f rezultă că f este opusul lu f î Hom A (, N). Propozţ.4. Fe, N, P tre A-module stâg ş f Hom A (, N), g Hom A (N, P). Atuc g f Hom A (, P). Demostrţe. Îtr-devăr, dcă, y ş, b A tuc (g f)(by)g(f(by))g(f()bf(y))g(f())bg(f(y))(g f)() b(g f)(y), de ude cocluz că g f Hom A (, P). Propozţ.5. Fe, N două A-module stâg ş f Hom A (, N). Atuc: () L A () f ( ) L A (N) () N L A (N) f - (N ) L A (). Demostrţe. (). Ţem cot de Propozţ.5. r petru cest fe f(), y f(y) d f( ) (cu, y ) ş, b A. Deorece
y f()bf(y)f(by) f( ) (căc by ) deducem că f( ) L A (N). (). se probeză log cu (). Propozţ.5. e permte să dăm următore defţe: Defţ.6. Fe, N două A-module stâg r f Hom A (, N). Pr: ) Imge lu f (ottă Im(f)) îţelegem Im(f)f() ) ) v) Nucleul lu f (ott Ker(f)) îţelegem Ker(f)f - (){ f()} Comge lu f (ottă Com(f)) îţelegem Com(f)N/Im(f). Coucleul lu f (ott Coker(f)) îţelegem Coker(f)/Ker(f)). D cele epuse m sus deducem că modulele l stâg (drept) peste u el A formeză o ctegore pe cre o vom ot pr od s (A) ( od d (A) ) î cre obectele sut A-modulele l stâg (drept), morfsmele sut morfsmele de A-module stâg (drepte) r compuere este compuere obşută fucţlor. Petru umte chestu legte de ctegor (defţ, rezultte de bză, etc) recomdăm cttorlor 5. Î coture vom crcterz moomorfsmele, epmorfsmele ş zomorfsmele î od s (A). Teorem.7. Î ctegor od s (A) () moomorfsmele cocd cu morfsmele jectve () epmorfsmele cocd cu morfsmele surjectve () zomorfsmele cocd cu morfsmele bjectve. Demostrţe. Fe, N două A-module ş f Hom A (, N). (). Să presupuem l îceput că f este c fucţe o jecţe ş să demostrăm că f este tuc moomorfsm î od s (A) r petru cest să m legem P u A-modul stâg ş g, h Hom A (P, ).î. f gf h. Atuc f(g())f(h()), orcre r f P ş cum f este jecţe
deducem că g()h(), orcre r f P, dcă gh ş dec f este moomorfsm î ctegor od s (A). Recproc, să presupuem că f este moomorfsm î od s (A) ş să demostrăm că f c fucţe este jecţe. Dcă pr bsurd f u este jecţe, tuc cum f este î prtculr morfsm de grupur dtve deducem că Ker(f). Alegâd PKer(f) ş g, h:p, g (morfsmul ul) r h P, (morfsmul cluzue de l P l ) vem î mod evdet f gf h ş cum P, g h -bsurd (căc m presupus că f este moomorfsm). (). Să presupuem că f este c fucţe o surjecţe ş să demostrăm că f este epmorfsm î od s (A). Petru cest m legem P u lt A-modul stâg ş g, h Hom A (N, P).î. g fh f. Dcă vem y N, cum f este surjecţe putem scre yf() cu ş d g fh f deducem că g(f())h(f()) g(y)h(y), de ude gh, dcă f este epmorfsm î ctegor od s (A). Recproc, să presupuem că f este epmorfsm î od s (A) ş să demostrăm că f c fucţe este surjecţe. Dcă pr bsurd f u este surjecţe, tuc Im(f)f() N ş legâd PN/Im(f)Com(f) vem că P. Cosderâd morfsmele g, h:n P, gmorfsmul ul r hp Im(f) vem că g h (căc P ) r g fh f -bsurd (căc m presupus că f este epmorfsm). (). Deorece zomorfsmele sut î prtculr moomorfsme ş epmorfsme, dcă f este zomorfsm î od s (A), tuc f este cu ecestte jecţe ş surjecţe dec bjecţe. Recproc, dcă f r f bjecţe, tuc se probeză medt că gf : N este morfsm de A-module stâg ş cum g f r f g N deducem că f este zomorfsm î od s (A). Observţ.8. Dcă f: N este u zomorfsm de A-module stâg vom spue despre ş N că sut zomorfe ş vom scre N. U edomorfsm l lu ce este zomorfsm se zce utomorfsm l lu. Notăm pr Ed() (respectv Aut()) mulţme edomorfsmelor (utomorfsmelor) lu. Se verfcă medt pr clcul că (Ed(),, o ) este el umt elul edomorfsmelor lu (ude dou lege de compozţe este compuere edomorfsmelor!).
Teorem.9. Ctegor od s (A) este o ctegore cu uclee ş couclee de săgetă dublă. Demostrţe. Fe, N două A-module stâg ş f, g Hom A (, N). Alegem K{ f()g()} ş K, :K cluzue. Se probeză medt că dcă, y K ş, b A tuc by K, dcă K este submodul l lu. Să demostrăm cum că dubletul (K, )Ker(f, g). Codţ f K, g K, se verfcă d felul î cre m deft pe K. Dcă m vem K u lt A-modul stâg ş :K u morfsm de A-module stâg.î. f g, tuc f( ())g( ()), orcre r f K, dcă () K. Se probeză medt că u:k K deft pr u() (), orcre r f K, este ucul morfsm de A-module cu proprette că K, u, de ude deducem că îtr-devăr (K, )Ker(f, g). Petru czul coucleulu perech (f, g), fe hf-g Hom A (, N), PN/Im(f-g) ş p:n P epmorfsmul coc. Să demostrăm l îceput că p fp g, r petru cest fe. Atuc p(f())p(g()) f()-g() Im(f-g), cee ce este devărt. Fe cum N u lt A-modul stâg ş p :N N u lt morfsm de A-module.î. p fp g. Defm v:p N pr v(im(f-g))p (), orcre r f N. Dcă, y N ş Im(f-g)yIm(f-g), tuc -y Im(f-g), dcă -y(f-g)(z) cu z. Deducem că p (-y) p ((f-g)(z))p (f(z)-g(z))p (f(z))-p (g(z)) (deorece p fp g), dcă v este corect deftă. Se verfcă cum medt că v este ucul morfsm de A-module cu proprette că v pp, de ude cocluz că (P, p)coker(f, g). Observţ.. Ţâd cot de teorem de m îte ş de Defţ.6. deducem că dcă f Hom A (, N), tuc Ker(f) Ker(f, ) r Coker(f)Coker(f, ).
Î coture vom prezet umte rezultte cuoscute sub umele de teoremele de zomorfsm petru module (semăătore cu teoremele de zomorfsm petru grupur ş ele; vez Cptolele, ). Teorem.. (Teorem fudmetlă de zomorfsm). Dcă ş N sut două A-module r f Hom A (, N), tuc /Ker(f) Im(f). Demostrţe. Defm g: /Ker(f) Im(f) pr g(ker(f))f(), orcre r f. Dcă, y ş Ker(f)yKer(f), tuc -y Ker(f), dec f()f(y), dcă g este corect deftă. Se verfcă medt că g este morfsm bjectv de A-module, de ude cocluz d euţ. Corolr.. Dcă f Hom A (, N) este surjecţe tuc /Ker(f) N. Corolr.. (Noether) Dcă N ş P sut două submodule le modululu, tuc (NP)/N P/(P N). Demostrţe. Fe f:p (NP)/N, f()n, orcre r f P. Se verfcă medt că f este morfsm surjectv de A-module r Ker(f)P N. Coform Corolrulu.., P/Ker(f) (NP)/N P/P N (NP)/N. Corolr.4. (Noether) Dcă N ş P sut două submodule le modululu.î. N P tuc (/N)/(P/N) /P. Demostrţe. Fe f:/n /P, f(n)p, orcre r f. Dcă m vem y, d NyN -y N P -y P PyP, dec f este corect deftă. Se probeză medt că f este morfsm surjectv de A-module r Ker(f)P/N, stfel că totul rezultă d Corolrul.. Observţ.5.. Î umte cărţ de mtemtcă, Corolrele.. ş.4. sut umte lătur de Teorem fudmetlă de zomorfsm.. c fd,,teoremele de zomorfsm petru module.. Teorem.. se m pote formul ş stfel:
Dcă ş N sut două A-module, tuc estă u uc zomorfsm de A-module u:com(f)/ker(f) Im(f).î. dgrm de m jos să fe comuttvă, dcă f Im(f),N u p Ker(f) (ude remtm că p Ker(f) este epmorfsmul coc r Im(f), N este morfsmul cluzue de l Im(f) l N). f N p Ker(f) Im(f),N 4 Com(f) Im(f) u Fe, N două A-module, f: N u morfsm de A-module, X( ) I ş Y(y ) I N.î. f( )y petru orce I. Propozţ.6. () Dcă d A X ş f este moomorfsm, tuc d A Y () Dcă d A Y, tuc d A X () Dcă (X) ş f este epmorfsm, tuc N(Y) (v) Dcă N(Y), tuc f este epmorfsm (v) Dcă f este zomorfsm, tuc X este bză lu dcă ş um dcă Y este bză lu N. Demostrţe. (). Fe Iʹ I ftă.î. I y cu A, petru Iʹ. Atuc f f( ) y ş cum f este c I I I fucţe o jecţe deducem că. Cum d AX deducem că petru orce Iʹ, dcă d A Y. (). Alog c l (). I (). Fe y N. Cum f este epmorfsm, estă.î. f()y. Deorece (X), estă Iʹ I ftă.î. cu A, petru Iʹ. I f y, de ude cocluz că N(Y). Atuc yf() ( ) I I
(v). Dcă y N, tuc cum N(Y) estă Iʹ I ftă.î. y y cu A. Cum y f( ) obţem că y f I, dcă f este I surjecţe. lber. 5 (v). Rezultă medt d ()-(v). Corolr.7. U A-modul zomorf cu u A-modul lber este Demostrţe. Fe ş N două A-module zomorfe, cu lber. Dec estă f: N u zomorfsm de A-module, stfel că dcă X, X( ) I este o bză lu, Y(f( )) I este o bză lu N (coform Propozţe.6.). Corolr.8. Fe u A-modul r L u submodul l său. Atuc: () Dcă este ft geert tuc ş /L este ft geert () Dcă L ş /L sut ft geerte rezultă că ş este ft geert. Demostrţe. (). Dcă cosderăm epmorfsmuul coc p: /L, totul rezultă d Propozţ.6., (). (). Să presupuem că ({e,,e })L ş ({,, })/L m (ude,, m r petru m ott p()). Dcă, tuc estă,, m A.î. m m -( m m ) L stfel că estă b,,b A.î. m m b e b e, de ude cocluz că ({,, m,e,,e }). lbere). Teorem.9. (Proprette de uversltte modulelor Fe u A-modul lber de bză X(e ) I. Petru orce A-modul N ş orce fmle Y(y ) I de elemete d N estă u uc morfsm f Hom A (, N).î. f(e )y petru orce I (ltfel zs, orce fucţe f:x N se etde î mod uc l u morfsm de A- module fʹ: N).
Demostrţe. Dcă, tuc e, ude A sut I uc determţ ş prope toţ ul. Defm f: N pr def ( ) I f y ş se verfcă medt că f Hom A (, N) r f(e )y petru orce I. Dcă m vem g Hom A (, N).î. g(e )y petru orce I, tuc petru orce, I vem g g e f e f, de ude gf. ( ) ( ) ( ) ( ) I I Teorem.. ( defectulu) Fe V ş W două K-spţ vectorle de dmesu fte r f Hom K (V, W). Atuc: dm K Ker(f)dm K Im(f)dm K V. Demostrţe. Fe (v ) bză petru Ker(f) r (w j ) j m bză petru Im(f). Alegem (v jʹ) m V.î. f(v jʹ)w j petru orce j m. Vom demostr că B{v,,v, v ʹ,,v mʹ} este o bză petru V ş stfel teorem v f demostrtă. Să rătăm l îceput d K B r petru cest fe α,,α, β,,β m K.î. α v α v β v ʹ β m v mʹ. Deducem că α f(v ) α f(v )β f(v ʹ) β m f(v mʹ) su β w β m w m, de ude β β m. Atuc α v α v, de ude ş α α. Petru răt că B este ş sstem de geertor petru V (dcă (B)V), fe V. Atuc f() Im(f) ş dec estă β,,β m K.î. f()β w β m w m β f(v ʹ) β m f(v mʹ)f(β v ʹ β m v mʹ), de ude cocluz că -(β v ʹ β m v mʹ) Ker(f), dcă estă α,,α K.î. -(β v ʹ β m v mʹ)α v α v α v α v β v ʹ β m v mʹ. Corolr.. Fe V u K spţu vectorl de dmesue ftă r Vʹ V u subspţu l lu V. Atuc dm K Vdm K Vʹdm K (V/Vʹ). 6
7 Demostrţe. Dcă p:v WV/Vʹ este epmorfsmul coc, tuc Ker(p)Vʹ, Im(p)V/Vʹ ş totul rezultă d Teorem.. Fe u A-modul ş. Notăm A A (){ A }. Propozţ.. Petru orce, A A () A este del l stâg l lu A. Demostrţe. Dcă, b A A (), tuc b ş cum (-b)-b deducem că -b A A (). Dcă A A () ş c A tuc dec ş (c), dcă c A A (), de ude cocluz cerută. Corolr.. Dcă otăm AA( ) I AA( ), tuc A A () este del blterl l lu A. Demostrţe. Cum A A () este tersecţe de dele l stâg le lu A deducem că A A () este del l stâg l lu A. Dcă A A () ş c A, tuc (c)(c), dcă c A A () ş dec A A () este ş del l drept, dcă este blterl. Să cosderăm u A-modul, I A, u del blterl.î. I A A () ş A A/I. Petru A otăm I. Lem.4. Aplcţ φ: A, φ(, ) este corect deftă ş coferă grupulu bel subcet A-modululu o structură de A -modul. mult, submodulele lu c A -modul cocd cu submodulele lu c A-modul. Demostrţe. Dcă, b A.î. b, tuc -b I A A (), dec (-b) petru orce, dcă b, ş dec φ este corect deftă. Restul frmţlor se probeză medt. Teorem.5. Fe A u el comuttv utr cu ş L u A-modul lber ce dmte o bză ftă. Atuc tote bzele lu L sut fte ş dmt celş umăr de elemete.
Demostrţe. Fe u del mml (vez Cptolul, ) r L mulţme combţlor lre fte le elemetelor d L cu sclr d (dcă L{,, ş,, L}). Se deduce medt că L este u A-submodul l lu L ş fe VL/L. Cum KA/ este corp (vez Cptolul, ) ş A A (V), ţâd cot de Lem.4., deducem că V deve î mod coc K-spţu vectorl. Vom ot petru A pr mge lu pr epmorfsmul coc A A/LK r pr p:l VL/L celăllt epmorfsm coc. Fe B{e,,e } L o bză ftă lu L (ce estă coform euţulu). Este sufcet să demostrăm că p(b){p(e ),,p(e )} este o bză lu V c spţu vectorl peste K (vez Corolrul.8.). Cum p este epmorfsm, coform Propozţe.6., deducem că p(b) este u sstem de geertor lu V. vem de demostrt d K p(b) r petru cest fe,, K (,, A).î. p( e ) p( e ) p( ). Obţem că p(e ) p(e )p() p( e e )p(), dcă e e L, dec estă m,,m.î. e I I m e, de ude deducem că m,, dec,, dcă d K p(b). Defţ.6. Spuem că u A-modul lber L este de rg ft dcă dmte o bză ftă ş re proprette de vrţă umărulu elemetelor bze, umăr ce se oteză pr rg A L. Coform Teoreme.5., dcă A este el utr comuttv cu, tuc orce A-modul lber ce dmte o bză ftă se bucură de proprette de vrţă umărulu de elemete d ce bză. ft): Defţ.7. U şr de morfsme ş A-module (ft su () f f f f f. 8
se umeşte şr ect de module dcă Im(f - )Ker(f ) petru orce î czul î cre şrul () este ft ş petru orce î czul î cre şrul () este ft ş de lugme ( ). Spuem că şrul () este ect î dcă Im(f - )Ker(f ) ( < < ). Să observăm că dcă ş N sut două A-module stâg r f Hom A (, N) tuc ) Şrul f N este ect f este moomorfsm ) Şrul f N este ect f este epmorfsm ) Şrul f N este ect f este zomorfsm. U şr ect de A-module f g se umeşte şr ect scurt su o etese lu pr. Eemple.. Dcă f Hom A (, N) tuc şrul: f p Ker( f ) N Co ker( f ) ude cluzue r pepmorfsmul coc este u şr ect.. Dcă este u A-modul r N u submodul l său, tuc şrul: p N / N ude cluzue r pepmorfsmul coc este eemplul clsc de şr ect scurt. Propozţ.8. (Lem celor cc morfsme). Î od s (A) cosderăm dgrm comuttvă f f f f4 4 5 h h h h 4 h 5 N g g g g4 N N N 4 N 5 cu lle şrur ecte. Dcă 9
() Coker(h ), Ker(h ), Ker(h 4 ), tuc Ker(h ) () Coker(h ), Coker(h 4 ), Ker(h 5 ), tuc Coker(h ). Demostrţe. (). Fe.î. h () ş să demostrăm că. Avem că (g h )()g (h ())g () ş cum h 4 f g h h 4 (f ()) f () Ker(h 4 ) f () Ker(f ) Im(f ) f ( ) cu. Cum g h h f g (h ( )) h (f ( ))h () h ( ) Ker(g )Im(g ), dec h ( )g (y) cu y N. Cum h este surjecţe (căc Coker(h )), yh ( ) cu. Astfel, h ( )g (h ( ))h (f ( )), de ude f ( ). Dr tuc f ( )f (f ( )), de ude. Alog se verfcă ş (). Lem.9. Î od s (A) cosderăm dgrm comuttvă: f N u v f N Atuc estă ş sut uce morfsmele u ş v.î. dgrm: f p ( f ) N Co ker( f ) Ker u u v v f p ( f ) N Co ker( f ) Ker să fe comuttvă, ude, sut cluzule coce r p, p sut epmorfsmele coce.
Demostrţe. Dcă Ker(f), tuc f (u())v(f())v(), dcă u() Ker(f ) ş stfel u se v def pr u ()u(), petru orce Ker(f). Dcă yim(f) Coker(f), defm v (yim(f))v(y)im(f ) ş cum v(im(f)) Im(f ) deducem că ş v este be deftă. Se verfcă cum medt că u ş v sut morfsmele căutte. Propozţ.. (Lem serpete). Î od s (A) cosderăm dgrm comuttvă: f g u u u f g N N N Atuc estă u morfsm h:ker(u ) Coker(u ).î. şrul f g h f g Ker( u ) Ker( u) Ker( u ) Coker( u ) Coker( u) Coker( u ) este ect, ude f, g, f, g sut morfsmele descrse î Lem.8. Demostrţe. Dcă Ker(u ), tuc estă.î. g(). Atuc u ( )u (g())g (u()), de ude rezultă că u() Ker(g )Im(f ), dcă estă y N.î. u()f (y ). Defm h:ker(u ) Coker(u ) pr h( )y Im(u ) ş să rătăm că h este corect deftă. Fe dec cu g( ) ş y N cu u( )f (y ). Cum g( )g() - Ker(g)Im(f), dec estă.î. - f( ). Dec u() u( f( )) f (y )u(f( )) f (y )f (u ( )) f (y u ( )), de ude f (y )f (y u ( )) ş dec y y u ( ), dcă y Im(u )y Im(u ), de ude cocluz că h este corect deftă. Se verfcă cum medt că h este morfsm î od s (A) ş re proprette d euţ.
Fe od s (A) ft. Petru N od s (A) defm h (N)Hom A (, N); coform Propozţe.., h (N) împreuă cu dure morfsmelor deve grup bel. Dec, dcă otăm cu Ab ctegor le căre obecte sut grupurle belee r morfsmele sut morfsmele de grupur, tuc h (N) Ab. α h (N). Să m cosderăm P od s (A) ş f Hom A (N, P). Defm h (f):h (N) h (P) pr h (f)(α)f α, orcre r f Deorece petru orcre α, β h (N), h (f)(αβ)f (αβ)f αf βh (f)(α)h (f)(β) deducem că h (f) este morfsm î Ab. Lem.. h :od s (A) Ab este u fuctor covrt. Demostrţe. Dcă vem N, P, Q od s (A) cum h ( )(α) αα, orcre r f α h () deducem că h ( ) h ( ) r d h (f g)(α)(f g) αf (g α)(h (f) h (g))(α), orcre r f f Hom A (N, P), g Hom A (P, Q) ş α h (N) deducem că h (f g)h (f) h (g), dcă h este fuctor covrt de l od s (A) l Ab. Observţ.. Alog se probeză că h :od s (A) Ab deft pr h (N)Hom A (N, ) orcre r f N od s (A) r petru P od s (A) ş f Hom A (N, P) h (f):h (P) h (N) h (f)(α)α f, orcre r f α h (P) este fuctor cotrvrt de l od s (A) l Ab. Propozţ.. Petru orce od s (A), fuctorul h duce moomorfsme î moomorfsme r h duce epmorfsme î moomorfsme. Demostrţe. Remtm că î Cptolul se probeză că î Ab moomorfsmele cocd cu morfsmele jectve de grupur, epmorfsmele cu morfsmele surjectve de grupur r crcterzre
moomorfsmelor ş epmorfsmelor î od s (A) este dtă de Teorem.7. Fe f Hom A (N, P) u moomorfsm î od s (A) ş h (f):h (N) h (P). Să legem α h (N).î. h (f)(α) ş să probăm că α. Avem că f α, dcă f(α()), orcre r f. Cum f este moomorfsm deducem că α(), orcre r f, dcă α, dec h (f) este moomorfsm î Ab. Fe cum f Hom A (N, P) u epmorfsm î od s (A) ş să probăm că h (f):h (P) h (N) este moomorfsm î Ab. Petru cest fe α h (P).î. h (f)(α) α f. N f P α Dcă y P, cum m presupus că f este epmorfsm î od s (A), estă N.î. yf(). Atuc α(y)α(f())(α f)() ş cum y este orecre deducem că α, dcă h (f) este moomorfsm î Ab. Î coture prezetăm u rezultt cre e rtă cum,,trsportă fuctor h ş h şrurle ecte d od s (A) î Ab. Propozţ.4. Fe od s (A) () Dcă g g N N N este u şr ect î od s (A), tuc şrul () ( ) ( ) h ( N ) g g h ( N) h ( N ) este ect î Ab. () Dcă P f P P este u şr ect î od s (A), tuc şrul () h ( f ) h ( f ) h ( P ) h ( P) h ( P ) este ect î Ab. Demostrţe. (). Deorece g este moomorfsm î od s (A), coform Propozţe.., h (g ) este moomorfsm î Ab, stfel că şrul () este ect î h (N ). Petru prob că şrul () este ect m vem
de probt ecttte s î h (N) ş ume că Ker(h (g ))Im(h (g )). Deorece g g deducem că h (g ) h (g ), dcă Im(h (g )) Ker(h (g )). Petru celltă cluzue fe α Ker(h (g )) dcă h (g )(α) g α. Trebue să costrum β h (N ).î. αh (g )(β) αg β. 4 Fe ; tuc g (α()), de ude α() Ker(g )Im(g ), dec estă u uc N.î. α()g ( ) (căc g este moomorfsm î od s (A)). Defm tuc β: N pr β() ş se probeză medt că β este morfsmul de A-module căutt. Avem dec egltte Ker(h (g ))Im(h (g )), dcă şrul () este ect. este (). Se probeză log c (). Să presupuem că î fr elulu A m vem u el utr B. Defţ.5. Spuem despre grupul bel dtv că (A; B)-bmodul dcă este A-modul stâg ş B-modul drept ş î plus ()b(b) petru orce, A ş b B. Pr otţ A B vom cosem fptul că este (A; B)-bmodul. Eemple. Orce modul peste u el comuttv A este u (A; A)-bmodul.. Dcă f:a B este u morfsm de ele utre, tuc (B, ) deve î mod coc (A; B)-bmodul ude structur de A-modul stâg se obţe defd petru B ş A, f(). Î prtculr cosderâd f A deducem că orce el A re structură cocă de (A; A)-bmodul.. Dcă este u A-modul drept tuc defd petru ş f Ed A ()B f f(), deve stfel u (B; A)-bmodul. Să cosderăm cum u A-modul l stâg r N u (A; B)-bmodul ş grupul bel Hom A (, N) (gorâd structur de B-modul l drept lu N).
Defd petru f Hom A (, N) ş b B, fb: N pr (fb)()f() b orcre r f, tuc se verfcă uşor că î felul cest Hom A (, N) deve B-modul l drept. mult, dcă f: ʹ este u morfsm î ctegor od s (A) tuc h N (f):h N (ʹ) h N () pr h N (f)(α)α f petru orce α h N (ʹ)Hom A (ʹ, N) este u morfsm î od d (B). Astfel, obţem fuctorul cotrvrt h N :od s (A) od d (B). Alog, dcă este u B-modul l drept ş N este u (A; B)-bmodul, tuc obţem fuctorul cotrvrt h N :od d (B) od s (A), pe câd dcă este u (A; B)-bmodul ş N este u A-modul stâg, tuc vem fuctorul covrt h :od s (A) od s (B). Dcă este u (A; B)-bmodul ş N este u B-modul l drept, tuc vem fuctorul covrt h :od d (B) od d (A). Defţ.6. Dcă este u A-modul l stâg pr dulul lu îţelegem A-modulul l drept h A () Hom A (, A) *. Elemetele lu * se umesc forme lre pe. D cele stblte m îte, petru f * f *, ude petru, (f )()f(). Dcă f: N este u morfsm d ş A vem od s (A), tuc h A (f):n * * deft pr h A (f)(α)α f petru orce α N * este u morfsm î od d (A). Covem să otăm t fh A (f) ş să-l umm pe t f c fd trspusul lu f. Observţ.7. Se probeză medt că dcă, N, P od s (A) ş f, g Hom A (, N), tuc t (fg) t f t t g ş * r dcă f Hom A (, N) ş g Hom A (N, P) tuc t (g f) t f t g. Ţâd cot de otţle de m sus c ş de Propozţ.4. de l Cptolul 6 vem că dcă f g N P este u şr 5
g f ect î od s (A), tuc P * t N * t * este u şr ect î od d (A), r dcă f N este u epmorfsm î od s (A), tuc t f:n * * este u moomorfsm î od d (A). De semee, dcă f N este u este zomorfsm î od s (A), tuc t f:n * * este u zomorfsm î od d (A) ş î plus t (f - )( t f) -. Defţ.8. Fe od s (A). Pr bdulul lu îţelegem A-modulul l stâg ** ( * ) *. Propozţ.9. Aplcţ ρ : ** deftă pr ρ ()(f)f() petru orce ş f * este u morfsm de A-module stâg (umt morfsmul coc l lu î bdulul său). Demostrţe. Îtr-devăr, dcă, y ş A tuc prob că ρ (y)ρ ()ρ (y) ş că ρ () ρ () reve l prob că petru orce f * vem f(y)f()f(y) ş f() f(), cee ce este evdet. Corecttude defr lu ρ rezultă d cee că dcă f, g *, tuc ρ ()(fg)(fg)()f()g()ρ ()(f)ρ ()(g) ş ρ ()(f)(f)()f()ρ ()(f). Petru orce morfsm f: N d od s (A) vem următore dgrmă comuttvă d od s (A): f N ρ ρ N ** N ** tt f ude tt f t ( t f). 6
7 Îtr-devăr, dcă vem ( tt f ρ )() t ( t f)(ρ ())ρ () t f ş (ρ N f)()ρ N (f()) ş cum petru orce α N * Hom A (N, A) vem (ρ () t f)(α)ρ ()( t f(α))ρ ()(α f)(α f)()α(f())ρ (f())(α) deducem că ρ () t fρ N (f()) ş dec tt f ρ ρ N f, dcă dgrm de m îte este comuttvă. Să presupuem că este u A-modul stâg lber vâd bz {e,, e }. D proprette de uversltte modulelor lbere (Teorem.9.) deducem că estă e * j * cu j.î. petru j * e j ( e ) δ j (, j ). petru j Propozţ.4. Cu otţle de m îte {e *,, e * } este o bză A-modululu drept * umtă dul bze{e,, e }. Î prtculr deducem că * este A-modul lber. Demostrţe. Petru orce f * * vem f e f ( ) j j e j deorece. j j Deducem dec că {e *,, e * } este u sstem de geertor * * * petru orce, e ( ) ( ) ( ) ( ) j f e j e e j e f e j e ( e) f( e) f( e) petru *. Petru răt ş A-depedeţ cestor, fe,, A.î. e * e *.. j j * * * Avem ( e )( e ) e ( e ) e ( e ) j j j j petru orce Corolr.4. Dcă este u A-modul stâg de bză ftă, tuc morfsmul coc ρ : ** este zomorfsm de A-module stâg. Demostrţe. Fe {e,, e } o bză î r {e *,, e * } dul e î *. Dcă {e **,, e ** } este dul î ** bze {e *,, e * } lu *, tuc petru orce j vem ρ (e )(e j * )e j * (e )δ j e ** (e j * )
dec ρ (e )e ** petru. Deducem că ρ duce o bză lu î bză lu **, dcă este zomorfsm.. Produse ş sume drecte î od s (A). Sume drecte de submodule. Produse ş sume drecte de morfsme de A- module. Sume ş produse fbrte î od s (A). Î cele ce urmeză pr I vom desem o mulţme evdă (ce v f folostă î ce m mre prte c mulţme de dc) r pr ( ) I o fmle de A-module. Propozţ.. Î od s (A) estă produsul drect ş sum drectă fmle ( ) I. Demostrţe. Să probăm l îceput esteţ produsulu drect r petru cest fe X {( ) I petru orce I}. Petru, y, ( ) I, y(y ) I ş A defm: I y( y ) I ş ( ) I. Lăsăm pe sem cttorulu verfcre fptulu că î felul cest deve A-modul c ş fptul că petru orce j I, proecţ p j : j (deftă pr p j () j petru orce ( ) I ) este morfsm de A- module. Să probăm cum că ( ( ), p ) j r petru cest fe j I I ʹ u lt A-modul r (p jʹ) j I o fmle de morfsme de A-module cu p jʹ:ʹ j ʹ u p jʹ p j j 8
Defd u:ʹ pr u()((p jʹ()) j I petru orce ʹ se verfcă medt că u este ucul morfsm de A-module cu proprette că p j up jʹ petru orce j I, de ude cocluz dortă. Să probăm cum esteţ sume drecte fmle ( ) I r petru cest fe S{ supp() este ftă}, ude petru ( ) I supp(){ I }. Se rtă medt că S este submodul l lu r α : S deft petru pr α ( )( jʹ) j I cu jʹ petru j ş jʹ petru j este morfsm de A-module. Să probăm cum că î od s (A) S, α C I ( ( ) ) I r petru cest fe Sʹ u lt A-modul r (α jʹ) j I o ltă fmle de morfsme de A-module cu α ʹ: Sʹ petru orce I. Petru S, α (deorece Jsupp() este ftă, defm v:s Sʹ pr v() ( ) J sum de m sus re ses). Se probeză medt că v este morfsm de A- module r v α α ʹ petru orce I. α α ʹ S v vʹ Sʹ 9 Dcă m estă u lt morfsm de A-module vʹ:s Sʹ.î. α ş dec vʹ α α ʹ petru orce I, tuc petru S vem ( ) vʹ()vʹ( α ( ) ) v ( α ( ) ) α ( ) J cocluz dortă. J J J v(), dcă vʹv, de ude
Observţ... De multe or (dcă u este percol de cofuze) câd vorbm de produsul drect su sum drectă îţelegem dor A-modulul subcet (fără m specfc fmlle (p ) I su (α ) I de morfsme structurle).. Dcă I este o mulţme ftă tuc C. Propozţ.. U A-modul S este sumă drectă de jecţ coce (α ) I modulelor ( ) I dcă ş um dcă petru orce S estă uc determţ ş prope toţ ul.î. α. I ( ) Demostrţe.,,. Dcă cosderăm L{ S estă α }, se verfcă medt că L este I prope toţ ul.î. ( ) submodul l lu S ş să cosderăm epmorfsmul coc p:s S/L. Cum Im(α ) L petru orce I deducem că p α petru orce I. I Să cosderăm petru fecre I dgrm: I α α ʹ S p S/L cu p α α ʹ. Deorece p ş morfsmul ul :S S/L îchd dgrm de m îte (petru orce I), dtortă uctăţ d defţ sume drecte, deducem că p, dcă SL. p o α (p j α j )( j ) ( ) j j I Dcă α ( ), tuc p j () ( )( ) j (p j fd proecţ cocă), de ude deducem uctte screr lu c î euţ. I j 4
4,,. Petru prob că ( S, ( α ) ) C, fe Sʹ u lt A- I I modul r (α ʹ) I o fmle de morfsme de A-module cu α ʹ: Sʹ. α ş se verfcă Petru S, α ( ), defm u:s Sʹ, u() ( ) I medt că u este ucul morfsm de A module cu proprette că u α α ʹ, petru orce I, de ude cocluz d euţ. Propozţ.4. Fe u A-modul r ( ) I o fmle de submodule le lu, S r α : S, I morfsmele I cluzue. Următorele frmţ sut echvlete: S, α () C ( ( ) ) I I () Orce S se scre î mod uc sub form ( ) () Dcă I (v) Petru orce I, I I α, cu, prope tote ule tuc j. j Demostrţe. Echvleţ () (). rezultă d Propozţ.. r () (). este evdetă. dec - j - j () (v). Fe j j j. Atuc ş j, de ude î prtculr, dcă (v) (). Fe.î. I j j j, dec., j. j. Petru orce I vem Defţ.5. Dcă o fmle ( ) I de submodule le lu stsfce u d codţle echvlete le Propozţe.4. spuem j
că sum S este drectă ş cosemăm cest fpt pr otţ I S ş spuem că fecre este sumd drect l lu S. I Eemple.. Dcă este u A-modul lber de bză (e ) I Ae. tuc ( ) I. Dcă V este u K-spţu vectorl, tuc orce subspţu Vʹ l lu V este sumd drect l lu V. Îtr-devăr, dcă (e ) I este o bză lu Vʹ r (f j ) j J este o bză lu V ce se obţe pr completre lu (e ) I tuc otâd pr Vʹʹ subspţul lu V geert de vector f j Vʹ, deducem că VVʹ Vʹʹ.. Fe ş două A-module stâg r {(, y) ş y }. Dcă {(, ) } ş {(, y} y }, tuc ş sut submodule le lu r. Defţ.6. Dcă od s (A) ş f Ed(), vom spue despre f că este u proector l lu dcă f este elemet dempotet l elulu (Ed(),, ) (dcă f f ). Propozţ.7. Petru od s (A) ş N, P L A (), următorele frmţ sut echvlete: () N P () Estă u uc proector f Ed().î. NIm(f) ş PKer(f). Demostrţe. () (). Dcă, cum N P estă ş sut uce y N ş z P.î. yz. Defd f: pr f()y se verfcă medt că f Ed() ş cum f()f() vem f(f())f(), dcă f este u proector l lu. Î mod evdet NIm(f) ş PKer(f). Dcă m vem u lt proector g Ed().î. NIm(g) ş PKer(g) scrd petru, yz, cu y N ş z P vem g()g(y)g(z)g(y)yf(), dcă fg. 4
() (). Dcă, d f(f())f() deducem că f(-f()), dcă -f() Ker(f), dec Ker(f)Im(f). Dcă Ker(f) Im(f), tuc f() ş cum f(y) cu y vem f()f(f(y))f(y), dcă Ker(f) Im(f) ş stfel Ker(f) Im(f). Corolr.8. Dcă, N od s (A) r f: N este morfsm de A-module versbl l drept tuc N este sumd drect l lu. Demostrţe. D poteză estă g:n morfsm de A-module.î. f g N. Deducem medt că f este epmorfsm r g este moomorfsm de A-module ş dec NIm(f) r Ker(f)Ker(g f). Dcă otăm pg f, tuc p p p(g f) (g f)g (f g) f g N fg fp, dcă p este proector l lu ş dec Ker(p) Im(p) (coform Propozţe.7.). Coform Teoreme.. vem: NIm(f) /Ker(f)/Ker(p) Im(p), dcă N este sumd drect l lu. Alog se demostreză cum: Corolrul.9. Dcă, N od s (A) r f: N este morfsm de A-module versbl l stâg, tuc este sumd drect l lu N. Fe ( ) I ş (N ) I două fml de A-module r (f ) I o fmle de morfsme de A-module cu f : N. Defm f : N pr f()(f ( )) I petru orce ( ) I (cu ) ş g I I : C C N c fd restrcţ lu f l C I I I (î mod evdet, dcă supp() este mulţme ftă, tuc supp(f()) este de semee ftă). Se verfcă medt că f ş g sut morfsme de A-module. 4
44 Defţ.. Covem să otăm f f ş g C I ş să le umm pe f ş g c fd produsul drect (respectv sum drectă) fmle (f ) I. Fe ( ʹ) I, ( ) I ş ( ʹʹ) I I tre fml de A-module r (f ) I, (g ) I două fml de morfsme de A-module cu f : ʹ r g : ʹʹ. Notăm f f, g g, f C f ş g C g. I I Propozţ.. Dcă petru orce I şrul f g este ect, tuc ş şrurle f g ecte. I I f g sut C I Demostrţe. C I I I C I I Fe ʹ( ʹ) I.î. fʹ(ʹ). Cum fʹ(ʹ)(f ( ʹ)) I deducem că f ( ʹ) dcă ʹ ş stfel ʹ, dec fʹ este moomorfsm. Dcă legem ʹʹ( ʹʹ) I, tuc ʹʹg ( ) cu, stfel că dcă otăm ( ) I vem ʹʹgʹ(), dec gʹ este epmorfsm. Deorece gʹ fʹ ( g o ), deducem că Im(fʹ) Ker(gʹ). I f I Fe ( ) I Ker(gʹ). Atuc petru orce I g ( ), dec Ker(g )Im(f ), dcă f ( ʹ) cu ʹ ʹ. Dcă otăm ʹ( ʹ) I tuc fʹ(ʹ) ş Im(fʹ), dec Ker(gʹ) Im(fʹ), de I ude egltte Im (fʹ) Ker(gʹ). Fptul că l dole şr este ect se probeză log. Teorem.. Ctegor od s (A) este o ctegore cu sume ş produse fbrte. I f
Demostrţe. Trebue să demostrăm că dcă, N, P od s (A), tuc estă C P N ş Π P N (vez Cptolul 5, 8.). Petru prob esteţ sume fbrte, să cosderăm î od s (A) dgrm: f α P S ude g S C N r α : S, α N :N S sut morfsmele coce le sume drecte. Fe Sʹ{α (f()) α N (g()) P}. Să rătăm că Sʹ este submodul l lu S r petru cest fe, y P ş, b A. Atuc [α (f()) α N (g())]b[α (f(y)) α N (g(y))] α (f()bf(y))-α N (g()bg(y))α (f(by)) α N (g(by)) Sʹ deorece by P. Notăm S S/Sʹ ş fe p:s S epmorfsmul coc, α p α r α p α N N : f N α N α P S g N α N ş să demostrăm că C P N ( α, α, S ). N Dcă P, tuc ( α f)()( α (f()))p(α (f())), ( α g)() α N N (g())p(α N (g())), stfel că prob că α f α N g 45
reve l prob că p(α (f()))p(α N (g())) α (f())-α N (g()) Sʹ petru orce P, cee ce este evdet. Să cosderăm cum u lt trplet (β, β N, T).î. dgrm d od s (A): f β P T g N β N este comuttvă ş să demostrăm că estă u uc morfsm de A-module u: S T.î. u α β ş u α N β N. f α β P S u T g N α N β N D proprette de uversltte sume drecte, estă u uc morfsm de A-module v: S T.î. v α β ş v α N β N : α β S v T N α N β N 46
Defm u: S T pr u(sʹ)v() petru orce S ş să rătăm l îceput că u este corect deftă. Îtr-devăr, dcă, y S.î. SʹySʹ, tuc -y Sʹ, dcă -yα (f(z)) α N (g(z)) cu z P. Atuc v(-y) (v α )(f(z)) (v α N )(g(z)) β (f(z)) β N (g(z)) (β f)(z) (β N g)(z) (căc β fβ N g), dcă v()v(y). Se probeză cum medt că u: S T este ucul morfsm de A-module.î. u α β ş u α N β N, de ude cocluz că C P N ( α, α N, S ). Petru prob esteţ produsulu fbrt să cosderăm î od s (A) dgrm: f P N g Fe K N r p :K ş p N :K N proecţle coce le produsulu drect. Să otăm K {(, y) K f()g(y)} r p, p N restrcţle lu p ş p N l K. p f K P p N N g 47
( K, p, N Se probeză medt că K este submodul l lu K r p ) N. P Fe u A-modul r ( ) I o fmle de submodule le lu. Petru I pr β : vom desem morfsmul cluzue. Defţ.. Vom spue despre fml ( ) I de submodule le lu că este depedetă (su că este drectă) I dcă petru orce I, Cosderăm C I I j (vez ş Defţ.5.). j I\ {} ş v:c I c fd ucul morfsm de A-module cu proprette că v α β petu orce I ((α ) I fd morfsmele coce le sume drecte defte î demostrţ Propozţe.). De fpt, dcă C, ( ) I cu Jsupp() ftă, tuc v se defeşte pr v() J vem u rezultt m geerl: I. Ţâd cot ş de Propozţ.4. Teorem.4. Cu otţle de m sus următorele frmţ sut echvlete: () Fml ( ) I este depedetă () Petru orce prte ftă J I, fml ( ) J este depedetă () C ( ), β I I I (v) v este moomorfsm (v) Orce elemet re o ucă screre, cu I I r supp(( ) I ) este ftă. Demostrţe. () (). este evdetă 48