Analiza rada jevovodne mreže temeljene na modelu staionarnog strujanja fluida ne daje sliku o događajima u mreži pri njezinu puštanju u rad ili pri zaustavljanju rada. Takva prijelazna pojava kod kojih dolazi do vremenske promjene brzine i tlaka analiziraju se na osnovi matematičkog modela nestaionarnog strujanja. Za slučaj nagle promjene brzine strujanja, koja nastaje npr. Naglim zatvaranjem a, ili ispadom pumpe iz rada može doći znatnog porasta tlaka u mreži. Ta se pojava naziva hidraulički udar. Hidraulički udar je najčešći i najteži problem strujanja fluida u radu jevovodnih mreža. Veliki pritisak generiran tijekom hidrauličkog udara može dovesti do katastrofalnih kvarova skupih komponenata kao što su pumpe, turbine, i itd. Zbog toga se nameće potreba analize nestaionarnog strujanja u ijevnim mrežama radi određivanja maksimalnog pritiska tlaka pri hidrauličkom udaru. Ako taj pritisak bude veći od dopuštenog treba definirati način zaštite mreže od hidrauličkog udara. Hidraulički udar U slučaju sistema ijev - prema slii 4. do trenutka t = 0 fluid u sustavu neviskozno, staionarno struji brzinom v 0, i to iz a konstantne piezometričke visine h, kroz horizontalni konstantnog promjera D, duljine, kroz. p a H v 0 D Slika 4. U staionarnom strujanju brzina i piezometrička visina konstantne su duž ijevi. Analizirat će se promjene veličina nakon što se potpuno zatvori.
Trenutno zatvaranje a postoji samo kao teorijski konept, jer se niti jedan ne može zatvoriti u nultom vremenu, ali je njegovo razumijevanje potrebno da bi se mogli rješavati realni problemi. Kad se na nizvodnom kraju ijevi trenutno zatvori, prvi uzvodni sloj fluida koji je uz njega se zaustavi, a udar gibajućeg fluida u zatvoreni uzrokuje porast tlaka u fluidu za p. Ovo povećanje tlaka ima za posljediu širenje ijevi na mjestu gdje se taj sloj fluida nalazi i komprimiranje fluida na tom mjestu. Idući sloj fluida će se zaustaviti u vrlo kratkom vremenu nakon prvoga. Nastali zastoj,tj. razlika u trenutima zaustavljanja prvog i drugog sloja nastaje od strane drugog sloja, jer on treba putovati određeno vrijeme dok ne ispuni volumen dobiven širenjem ijevi i kompresijom prvog sloja fluida. Treći sloj fluida se zaustavlja na isti način kao i prva dva sloja, njegov gubitak količine gibanja zbog udara u drugi sloj uzrokuje porast tlaka. Kako se prvi i drugi sloj fluida ne mogu odmaknuti od a, njihov tlak ne može pasti već ostaje na vrijednosti koju je postigao udarom u. Proes zaustavljanja fluida koji se tako nastavlja sloj za slojem je prikazan na slii 1.5.1. v v = 0 proširena ijev Prirast tlaka p Brzina zvuka Statički tlak p 0 t < / Sl.1.5.1. Proes sudara uzastopnih slojeva fluida, sa malom vremenskom razlikom između svakog sudara uzrokuje propagaiju vala tlaka, p brzinom zvuka,, tj. sudari stvaraju frontu tlačnog poremećaja lijevo od koje fluid još uvijek struji brzinom v 0 na tlaku p0 prema u, a desno od fronte fluid miruje na tlaku p p. Vrijeme potrebno da taj val prijeđe ijelu duljinu ijevi iznosi [ ] = s. U tom trenutku sva masa fluida u ijevi miruje na p p. Stanje kada je ijela ijev ispunjena mirujućim fluidom na tlaku p0 p ( gdje je prema Allievijevom izrazu porast tlaka p = ρ v nastao udarom fluida u, a p0 je tlak u u i u ijevi prije zatvaranja a ) prikazuje slika 1.5.2.
v = 0 proširena ijev p 0 p t = / Sl.1.5.2. Ovo stanje je neravnotežno, jer u vlada tlak p. Zbog razlike tlaka slojevi fluida počinju strujati iz ijevi prema u brzinom v 0, te svaki sloj vraća svoj prošireni dio ijevi na početni promjer. Ovdje ponovo nastaje fronta poremećaja lijevo od koje je tlak p 0 ( p je pretvoren u kinetičku energiju natražnog strujanja), a desno od nje fluid miruje pod povišenim tlakom. Slika 1.5.3. prikazuje putovanje te fronte tlačnog poremećaja prema u. v v = 0 proširena ijev Prirast tlaka p Brzina zvuka Statički tlak p 0 / < t < 2/ Sl.1.5.3. U vremenu [ 2 ] mjereno od trenutka zatvaranja a rasteretni val dolazi do zatvorenog a, kao što prikazuje slika 1.5.4. Tijekom putovanja vala do rezervoara i natrag ispred a je vladao povišeni tlak.
. v ijev p 0 t =2/ Sl.1.5.4. Ovo stanje natražnog strujanja brzinom v0 na tlaku p0 je opet neravnotežno. Čim ono nastupi, fluid koji se nalazi uz ga nastoji napustiti i strujati uzvodno. Fluid to ne može učiniti, pa mu se količina gibanja pretvara u pad tlaka. Sloj fluida koji se nalazi neposredno uz sada miruje na tlaku sniženom za p ( prema Allievijevom izrazu dolazi do pada tlaka sa p 0 na p0 ρ v0 jer je prirast brzine od v0 do nula pozitivan). Svaki idući sloj fluida se tako zaustavlja, a tlak mu se smanjuje za iznos p, te tako fronta poremećaja iza koje fluid miruje putuje prema u. Prikaz je na slii 1.5.5. v v = 0 Brzina zvuka sužena ijev Statički tlak p 0 p 0 - p 2/ < t < 3/ Sl.1.5.5. U trenutku t = 3, kad ta fronta doputuje do a ijela ijev je ispunjena fluidom koji miruje na tlaku p0 p (Slika 1.5.6.). v = 0 sužena ijev p 0 - p t =3/
Sl 1.5.6. Ovo je opet neravnotežno stanje, jer je tlak u ijevi niži nego u u pa fluid sada teži utjeanju u ijev iz rezervoara sa originalnom brzinom v 0, što uzrokuje da tlak u ijevi ponovo naraste na početni p 0, situaija je prikazana na slii 1.5.7. v v = 0 Brzina zvuka sužena ijev Statički tlak p 0 p 0 - p 3/ < t < 4/ Sl.1.5.7. U trenutku t = 4 fronta tog strujanja će se ponovo sudariti sa zatvorenim om, što je istovjetno situaiji u trenutku zatvaranja a, ovo prikazuje slika 1.5.8. v ijev p 0 t =4/ Sl.1.5.8. Dakle, slika strujanja će se neprestano ponavljati sa periodom 4, jer u gornjem razmatranju nije uzeto u obzir trenje. U stvarnosti se amplituda reflektiranih valova smanjuje kao posljedia trenja. Hidrodinamički i numerički model strujanja Matematički model nestaionarnog jednodimenzijskoga strujanja fluida kroz ijev kružnoga presjeka osniva se na jednadžbi kontinuiteta i jednadžbi količine gibanja u obliku:
2 h h v t x g v vsin Θ = 0 x (1) h v v v v g v λ = 0 (2) x t x 2D gdje su h = p / ρg z, piezometrička visina, Θ kut između osi ijevi i horizontale, mjeren od osi ijevi, v brzina strujanja fluida, brzina širenja tlačnog poremećaja definirana izrazom: 1 2 = (3) 1 D ρ K δe gdje K označuje volumni modul elastičnosti kapljevine, D promjer ijevi, δ debljinu stjenke ijevi, a E modul elastičnosti materijala stjenke ijevi. Sustav jednadžbi (1) i (2) označuje sustav nelinearnih parijalnih diferenijalnih jednadžbi hiperbolična tipa bez općega analitičkog rješenja koji se, uz zadane početne i granične uvjete, rješava numerički, najčešće s pomoću metode karakteristika. Iz prethodno navedenih parijalnih diferenijalnih jednadžbi koje su potrebne da bismo hidrodinamički opisali model nestaionarnog strujanja primjenom metode karakteristika izvode se obične diferenijalne jednadžbe koje se mogu numerički riješiti ako su nam poznati početni i rubni uvjeti. Pozitivna karakteristika ima nagib dt/dx = 1/(v ) i uzduž nje vrijedi sljedeći izraz: gdh dv λvv = 0 dt dt 2D Negativna karakteristika ima nagib dt/dx = 1/(v - ) i uzduž nje vrijedi sljedeći izraz: gdh dv λvv = 0 dt dt 2D Slučaj nestaionarnog strujanja u sustavu - jevovod nastao nakon trenutnog zatvaranja a riješit ćemo numeričkom simulaijom uz neka pojednostavnjenja. U poglavlju metoda karakteristika izveden je nagib karakteristika dt/dx = 1/(v ± ). U ovom primjeru brzina fluida v (nekoliko m/s) je zanemariva u odnosu na brzinu zvuka (preko 1000 m/s). Karakteristike će imati konstantan nagib (±1/). Cjevovod će se podijeliti u određeni broj jednako dugačkih segmenata duljine x. Za karakteristično vrijeme integraije t uzeti će se iz kriterija stabilnosti tako da broj ewy- Couranta bude točno jednak 1. x t = γ
γ - broj ewy-couranta (γ = 1) brzina zvuka Ovaj izbor vremenskog koraka osigurava nam da karakteristika prolazi kroz dva čvora kao što je prikazano na slii 1.2 pa je interpolaija navedena izrazima 4.32 4.34 nepotrebna. Slika 1.2 Prikaz vremensko prostornog kontinuuma Nakon zanemarenja trenja pozitivna i negativna karakteristika poprimaju oblik: pozitivna karakteristika: g h v 0 = i negativna karakteristika: g h v = 0 Prevođenjem karakteristika u diferennu formu za vremensko prostorni kontinuum definiran na slii 1.2 izvode se izrazi. Pozitivna karakteristika: g 1 1 ( h n n n n i h i 1) ( v i v i 1) = 0 Negativna karakteristika: g 1 1 ( h n n n n i h i 1) ( v i v i 1) = 0 Oduzimanjem ovih dvaju jednadžbi slijedi izraz za visinu tlaka: n 1 1 ( n n 1 1 ) ( n n hi = hi hi vi 1 vi 1 ) 2 2g a zbrajanjem slijedi izraz za brzinu: n 1 g n n 1 n n vi = ( hi 1 hi 1) ( vi 1 vi 1) 2 2 Rubni uvjeti: Za visinu tlaka slijedi izraz iz pozitivne karakteristike koja vrijedi na kraju ijevi:
n 1 n n 1 n hi = hi 1 ( vi vi 1) g Za brzinu slijedi izraz iz negativne karakteristike koja vrijedi na izlazu iz a: n 1 n g n 1 n vi = vi 1 ( hi hi 1) Početni uvjeti: Za situaiju prema slii Duljina ijevi...=91,44 m Promjer ijevi...d=10,97 mm Debljina stijenke...s=0,81 mm Razina vode u u...h=0.1275 m Gustoća vode...ρ=992,8 kg/m 3 Kinematička viskoznost...ν=0,6414 10-6 m 2 /s Vol. modul elastičnosti vode...k=2,2774 10 9 Pa Modul elastičnosti ijevi...e=1,1003 10 11 Pa Dubina fluida u rezervaru.h = 7.2 m ρ,ν H D, h Bernoullijeva jednadžba od površine lijevog do površine desnog a uz zanemarenje trenja glasi 2 Pa Pa v H = ρg ρg 2g a odatle izraz za brzinu strujanja u ijevi u staionarnom režimu strujanja v= 2gH v = 0.05 m/s Prethodne jednadžbe opisuju naš model strujanja i potrebno je još izračunati konstante koje se pojavljuju u tim jednadžbama. Brzina zvuka (): = 1 1 0, 01097 992,8 2,2774 10 9 1,1003 10 11 0,00081 = 1338,53 m/s
Prostorni korak ( x): x = n 1 n broj čvorova odabrano n = 11 91,44 x = x = 9.144 m 11 1 Vremenski korak ( t): x t = γ γ = 1 9,144 t = 1 t = 0,00683 se 1338,5 Daljnji proračun je proveden u programu Exel. U stupima A K nalazi se polje brzina, a u poljima M W piezometričke visine. Na slii 4 je prikazana formula za izračunavanje brzine u drugom vremenskom trenutku u drugom čvoru s lijeve strane (prema izrazu?.?) Slika 4 prikazana formula za izračunavanje brzine Na slii 5 prikazan je izračun piezometričke visine u trećem vremenskom trenutku u trećem čvoru s lijeve strane (prema izrazu?.?)
Slika 5 Izračun piezometričke visine Na slii 6 prikazan je dijagram piezometričke visine u četvrtom vremenskom trenutku (t = 4 t = 0,02732 se) koji odgovara slii? u poglavlju?.?. 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00 0.00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 S1 Slika 6 Dijagram piezometričke visine u trenutku t = 0,02732 se 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00 0.00 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100 103 106 S1
Slika 7 Dijagram piezometričke visine na kraju ijevi 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00 0.00 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100 103 106 Slika 8 Dijagram piezometričke visine na sredini ijevi S1