TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god. 2017/18

Sadrºaj 1 Udar i sudar Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) 2 Upravan udar o nepokretnu prepreku 3 Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi 4 Formulacija problema i jedna ina

Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Sadrºaj 1 Udar i sudar Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) 2 Upravan udar o nepokretnu prepreku 3 Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi 4 Formulacija problema i jedna ina

Udar i sudar krutih tela Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Udar ili sudar je trenutni kontakt dva tela tokom njihovog kretanja. Udar je kontakt pokretnog tela sa nepokretnim, a sudar je kontakt dva pokretna tela Veoma kratkotrajno mehani ko dejstvo izmežu dva objekta Vreme trajanja udara (sudara), odn. kratkotrajnog kontakta dva tela je malo (reda veli ne n 10 3 s) Unutra²nje sile veze u kontaktu tela su veoma velikog intenziteta - zovu se udarne sile Udarne sile su velikog intenziteta, a malog vremena ispoljavanja

Udar i sudar krutih tela Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Mehani ko dejstvo udarnih sila se ispoljava kona nim udarnim impulsima t+τ I ud = lim F ud (t) dt τ 0 t gde je τ vreme trajanja udara (sudara) Za vreme udara (sudara) se zanemaruju uticaji svih sila, osim udarnih Tokom trajanja udara (sudara) τ zanemaruju se pomeranja sistema Posledica udara (sudara) je samo nagla (trenutna) promena brzina (intenziteta, pravca i smera) posmatranog sistema

Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Osnovni pojmovi o udaru i sudaru

Udar i sudar krutih tela Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Udarni impulsi su unutra²nje sile - Princip akcije i reakcije U analizi udara (sudara) se donekle naru²ava koncept krutog tela Jedna ine kojima se opisuje problem sudara (udara) DVA TELA su Zakon o promeni koli ine kretanja i Zakom o promeni momenta koli ine kretanja u integralnom obliku, gde se posmatraju trenuci neposredno pre i neposredno posle sudara (ili udara): K 2 K 1 = I R D (S) 2 D (S) 1 = H (S) R Za sudar materijalnih ta aka koristi se samo K 2 K 1 = I R

Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Sudar dva kruta tela u 3D prostoru

Udar i sudar krutih tela Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Poznato je kretanje oba tela pre sudara U nekom trenutku (to je trenutak sudara) dolazi do mežusobnog kontakta tela u zajedni koj ta ki (ta ka A) Ravan π je (zajedni ka) tangencijalna ravan na povr² (jednog od) tela u ta ki A Normala na ravan π je n - to je pravac udara Ako normala n prolazi kroz sredi²ta mase oba tela, onda je u pitanju centralni sudar ili kolinearan sudar Ako konguracija sudara nije centri na, onda je sudar ekscentri an (dovoljno je da se sredi²te mase jednog tela pre sudara ne nalazi na pravcu normale n)

Udar i sudar krutih tela Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Ako su brzine oba tela u zajedni koj ta ki A pre sudara u pravcu normale n, onda je sudar upravan Ako brzine oba tela u ta ki A pre sudara nisu u pravcu normale, onda je u pitanju kos sudar Obi no se zanemaruje trenje, odn. smatra se da su tela glatkih povr²ina Tada se u ta kama A oba tela javljaju udarni impulsi u pravcu zajedni ke normale n Udarni impulsi su elementarni impulsi unutra²njih udarnih sila i za njih vaºi Aksiom Akcije i reakcije: I 1 = I = I n I2 = I = I n

Udar i sudar krutih tela Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Analiza sudara dva tela Dva tela se kre u slobodno u 3D prostoru na poznati na in U nekom trenutku dože do sudara tela u zajedni koj ta ki A U trenutku sudara (odn. neposredno pre sudara) poznate su brzine sredi²ta mase i ugaone brzine oba tela: - Telo 1... v S1, ω 1 - Telo 2... v S2, ω 2 Mogu da se odrede brzine zajedni ke ta ke A jednog i drugog tela: - Telo 1... v A1 = v S1 + ω 1 ρ A1 gde je ρ A1 = S 1 A - Telo 2... v A2 = v S2 + ω 2 ρ A2 gde je ρ A2 = S 2 A

Udar i sudar krutih tela Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Analiza sudara dva tela Posmatraju se razdvojena tela u trenucima neposredno PRE i neposredno POSLE sudara Tokom trajanja sudara NEMA pomeranja tela, samo nastaje NAGLA PROMENA u brzinama Za stanje neposredno posle sudara pretpostave se brzine jednog i drugog tela: to su brzine sredi²ta masa i ugaone brzine tela: - Telo 1... v, ω S1 - Telo 2... v S2 1, ω 2 Takože se pretpostavi jedan udarni impuls, I = I n, dok je drugi jednozna no odrežen (akcija i reakcija) Za svako telo se napi²u zakoni K K = I kao i D D = H za stanja neposredno pre i posle sudara

Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Stanje brzina neposredno PRE sudara

Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Stanje brzina neposredno POSLE sudara

Udar i sudar krutih tela Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Analiza sudara dva tela Jedna ine za Telo (I): m 1 v S1 m 1 v S1 = I ud D 1 D 1 = ρ A1 I ud (1) Jedna ine za Telo (II): m 2 v S2 m 2 v S2 = I ud D 2 D 2 = ρ A2 I ud (2) Momenti koli ina kretanja se odnose na centre masa odgovaraju eg tela

Udar i sudar krutih tela Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Analiza sudara dva tela Ukupan broj nepoznatih veli ina je 13: - brzine sredi²ta masa i ugaone brzine oba tela (2 (3 + 3) = 12) - udarni impuls - samo 1 komponenta u pravcu normale Ima 13 nepoznatih i 12 jedna ina Uvodi se pojam koecijenta sudara (udara) kao skalara k [0, 1] Naru²ava se koncept krutog tela (Njutnova hipoteza sudara)

Udar i sudar krutih tela Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Koecijent udara (sudara) Dve faze sudara: faza kompresije i faza restitucije U fazi kompresije tela se deformi²u u nekoj okolini ta ke sudara i mežusobno se pribliºavaju Brzine tela neposredno pre sudara (odn. njihove kineti ke energije) se smanjuju, uz sabijanje oba tela, sve do zaustavljanja, kada se realizuje i maksimalno deformisanje (sabijanje) oba tela Kineti ka energija oba tela je dospela na nulu, a potencijalna energija deformacije je dostigla maksimum (kao sabijanje elasti ne opruge)

Udar i sudar krutih tela Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Koecijent udara (sudara) Neposredno posle toga nastaje faza restitucije, gde se centri masa tela mežusobno udaljavalju, uz teºnju da se uspostavi raniji oblik U fazi restitucije unutra²nja potencijalna energija prelazi u kineti ku energiju (otpu²tanje "sabijene opruge") Na kraju faze restitucije tela dobiju neku brzinu koja je manja ili najvi²e jednaka brzini neposredno pre sudara Obe faze, i kompresije i restitucije, traju veoma kratko i predstavljaju ukupno vreme trajanja sudara

Udar i sudar krutih tela Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Koecijent udara (sudara) Za to (prakti no malo) vreme ne dolazi do pomeranja tela, ve samo do diskontinualne (skoro trenutne) promene u polju brzina Posle sudara, u skladu sa promenjenim brzinama i drugim uslovima (prisustvom veza pre svega), oba tela mogu da zapo nu neko novo kretanje Koecijent sudara je koli nik apsolutne vrednosti razlike brzina ta ke sudara oba tela u pravcu normale neposredno posle sudara i apsolutne vrednosti razlike brzina ta ke sudara oba tela u pravcu normale neposredno pre sudara

Udar i sudar krutih tela Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Koecijent udara (sudara) Koecijent sudara dva tela moºe da se izrazi u obliku k = v n v n [0, 1] (3) U relaciji (3) je v n = ( v A2 v A1) n v n = ( v A2 v A1) n (projekcije relativne brzine u ta ki sudara na pravac normale, neposredno posle i neposredno pre sudara)

Udar i sudar krutih tela Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Koecijent udara (sudara) Koecijent sudara (udara) ili koecijent restitucije je realan broj koji se nalazi u zatvorenom intervalu [0,1] Grani ne vrednosti koecijenta sudara su k = 0 idealno plasti an sudar k = 1 idealno elasti an sudar Realan sudar (ili udar) je kada je k (0, 1) Obi no usvaja da je za realan sudar k = 0.5

Udar i sudar krutih tela Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Koecijent udara (sudara) Idealno plasti an sudar (udar), denisan sa k = 0, zna i da ta ke sudara jednog i drugog tela neposredno posle sudara imaju mežusobno istu brzinu u pravcu normale (razlika je nula) Za pravolinijsko kretanje dve materijalne ta ke idealno plasti an sudar zna i da ta ke ostaju mežusobno slepljene, pa se dalje kre u kao jedna ta ka Idealno elasti an sudar, denisan sa k = 1, zna i da neposredno posle sudara nema gubitka u kineti koj energiji, odn. da je ukupna kineti ka energija oba tele neposredno posle sudara ostala ista kao i neposredno pre sudara.

Udar i sudar krutih tela Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) Koecijent udara (sudara) Alternativna denicija idealno elasti nog sudara (u odnosu na iskaz k = 1), je data sa T 2 T 1 = 0 gde su T 2 i T 1 ukupne kineti ke energije oba tela neposredno posle i pre sudara (ili T, odn. T ) Koecijent sudara moºe da se eksperimentalno odredi Posmatra se upravan udar ta ke o nepokretnu prepreku

Upravan udar o nepokretnu prepreku Sadrºaj 1 Udar i sudar Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) 2 Upravan udar o nepokretnu prepreku 3 Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi 4 Formulacija problema i jedna ina

Upravan udar o nepokretnu prepreku Upravan udar o nepokretnu prepreku

Upravan udar o nepokretnu prepreku Upravan udar u nepokretnu prepreku Analiza upravnog udara ta ke u prepreku Ta ka A mase m se kre e pravolinijski po pravcu na nepokretnu prepreku Neposredno pre udara u prepreku brzina ta ke je v A1 Neposredno posle udara ta ka naglo promeni smer brzine (odbija se od prepreke ne menjaju i pravac kretanja) Ako se ukloni veza (kruta podloga), na ta ku deluje udarni impuls I A u pravcu normale na podlogu Zakon o promeni koli ine kretanja u integralnom obliku za trenutak neposredno posle i neposredno pre udara

Upravan udar o nepokretnu prepreku Upravan udar u nepokretnu prepreku Analiza upravnog udara ta ke u prepreku Vektorska jedna ina se projektuje na ort n: K 2 K 1 = I m v A2 + m v A1 = I (4) U jedn. (4) guri²u 2 nepoznate: brzina v A2 i udarni impuls I Deni²e se koecijent udara (pretpostavlja se neka vrednost u intervalu [0,1]): k = v A2 v A1 [0, 1] odakle se dobija: v A2 = k v A1

Upravan udar o nepokretnu prepreku Upravan udar u nepokretnu prepreku Analiza upravnog udara ta ke u prepreku Dobija se re²enje za udarni impuls i brzinu neposredno posle udara: v A2 = k v A1 kao i I = m v A1 (1 + k) U slu aju idealno plasti nog udara je k = 0, pa je v A2 = 0 kao i I = m v A1 U slu aju idealno elasti nog udara je k = 1, pa je v A2 = v A1 kao i I = 2 m v A1 Za realan udar k (0, 1) rezultati su izmežu

Upravan udar o nepokretnu prepreku Upravan udar u nepokretnu prepreku Primer upravnog udara automobila u prepreku Posmatra se direktan upravan ( eoni) udar automobila u kruti betonski blok Automobil je mase m = 1500 kg i udari u prepreku sa brzinom od v = 100 km /h = 27.8 m /s Najmanja vrednost udarnog impulsa je za idealno plasti an udar (automobil ostane "zalepljen" za prepreku v 2 = 0): I = m v 1 = 1500 27.8 = 41 667 [Ns] = 41.7 [kns] Ako se smatra da je vreme udara τ = 0.01 s, onda je (kao gruba orjentacija) udarna sila pribliºno jednaka: F ud = I ud = 41.7 = 4166.7 kn = 4.17 MN τ 0.01

Upravan udar o nepokretnu prepreku Upravan udar o nepokretnu prepreku

Upravan udar o nepokretnu prepreku Upravan udar u nepokretnu prepreku Odreživanje koecijenta udara Ta ka A mase m se pusti bez po etne brzine da padne na horizontalnu krutu ravan sa poznate visine h 1 Neposredno pre udara, brzina ta ke je jednaka: T 2 T 1 = A 1 2 1 2 mv2 A1 0 = mgh 1 odakle se dobija v A1 = 2gh 1 Neposredno posle udara (bez pomeranja) ta ka dobije nepoznatu brzinu v A2 Usled te brzine, kao po etne za narednu fazu kretanja, ta ka se kre e vertikalno u vis do neke visine h 2 gde se zaustavi (posle toga oped pada dole, ali se to ne posmatra)

Upravan udar o nepokretnu prepreku Upravan udar u nepokretnu prepreku Odreživanje koecijenta udara Izmeri se visina prvog odskoka h 2 (gde je v A = 0) Potrebna po etna brzina v A2 da se realizuje kretanje ta ke do visine h 2 je jednaka T 2 T 1 = A 1 2 v A2 = 2gh 2 Koecijent udara je denisan sa k = v A2 v A1 k = h2 h 1

Upravan udar o nepokretnu prepreku Sadrºaj 1 Udar i sudar Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) 2 Upravan udar o nepokretnu prepreku 3 Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi 4 Formulacija problema i jedna ina

Upravan udar o nepokretnu prepreku Upadni i odbojni ugao Ta ka mase m kre e se pravolinijski sa brzinom v Na putanji ta ke se nalazi kruta prepreka i ta ka A je prodor putanje kroz prepreku, odn. ta ka udara Pravac brzine ta ke zaklapa ugao α sa normalom n na tangencijalnu ravan na podlogu u ta ki A Ugao α je upadni ugao Kada je α 90 0, u pitanju je kosi udar o nepokretnu prepreku

Upravan udar o nepokretnu prepreku

Upravan udar o nepokretnu prepreku Upadni i odbojni ugao Neposredno posle udara u ta ku A, materijalna ta ka, pre nego ²to se odbije, naglo promeni brzinu Brzina ta ke neposredno posle udara je nepoznata brzina v Pravac brzine neposredno posle udara zaklapa odbojni ugao β sa pravcem normale n Uticaj krute podloge na ta ku se manifestuje udarnim impulsom I u ta ki udara Udarni impuls ima pravac normale na tangencijalnu ravan podloge u ta ki udara (idealno glatka povr²ina prepreke)

Upravan udar o nepokretnu prepreku Brzine neposredno PRE i POSLE udara

Upravan udar o nepokretnu prepreku Upadni i odbojni ugao Koristi se Zakon o promeni koli ine kretanja za trenutke neposredno pre i neposredno posle udara: K K = I m v m v = I / τ n (5) Projektovanjem vektorske jedna ine (5) na pravce tangente i normale, dobija se mv τ mv τ = 0 mv n + mv n = I (6)

Upravan udar o nepokretnu prepreku Upadni i odbojni ugao Iz prve od jedna ina (6) se dobija da su tangencijalne komponente brzina mežusobno iste, v τ = v τ (7) dok u drugoj guri²u dve nepoznate veli ine, v n i udarni impuls I Koecijent udara (restitucije) je dat, u ovom slu aju, sa k = v n v n k = v n v n (8)

Upravan udar o nepokretnu prepreku Upadni i odbojni ugao Sa ovim se, iz jedn. (6) dobija udarni impuls jer je v n = k v n I = m (1 + k) v n Brzina ta ke neposredno posle udara je jednaka v = v τ 2 + v n 2 = v τ 2 + k 2 v n 2 odnosno v = (v sin α) 2 + (k v cos α) 2, ili, kona no v = v sin 2 α + k 2 cos 2 α (9)

Upravan udar o nepokretnu prepreku Veza izmežu upadnog i odbojnog ugla Upadni i odbojni ugao deni²u pravce brzina neposredno pre i neposredno posle udara: tan α = v τ v n tan β = v τ v n = v τ k v n = 1 k tan α Prema tome, vaºi relacija k = tan α tan β (10) Kako je 0 k 1, to je onda tan α tan β odn. α β (11)

Upravan udar o nepokretnu prepreku Veza izmežu upadnog i odbojnog ugla Za idealno plasti an kosi udar o prepreku se dobija: k = 0 I = mv n = mv cos α v = v τ = v sin α β = 90 0 Za idealno elasti an kosi udar o prepreku se dobija: k = 1 I = 2 mv n = 2 mv cos α v = v β = α

Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi Sadrºaj 1 Udar i sudar Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) 2 Upravan udar o nepokretnu prepreku 3 Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi 4 Formulacija problema i jedna ina

Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi Sudar dva tela je centralni ukoliko zajedni ka normala na tangencijalnu ravan u ta ki mežusobnog kontakta prolazi kroz sredi²ta masa oba tela Sudar dva tela je upravan kada su brzine sredi²ta mase oba tela, kao i brzine u ta ki sudara, neposredno pre sudara, u pravcu te zajedni ke normale Posmatraju se dva tela, masa m 1 i m 2, koja se translatorno kre u duº istog pravca i u istom smeru Telo mase m 1 je iza tela mase m 2 i pri tome se kre e sa ve om brzinom (bez promene pravca i smera)

Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi m 1 Immidiately before pounding m 2 v v 1 2 m 1 after m 2 v v 1 2 v 1 v 2 K K 0

Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi Brzine tela neposredno pre sudara su v 1 i v 2, pri emu je v 1 > v 2 Brzine tela neposredno posle sudara su ozna ene sa v emu je pretpostavljen isti smer kao i pre sudara 1 i v 2, pri Zakon o promeni koli ine kretanja, za oba tela zajedno, neposredno posle i neposredno pre sudara, K K = 0, odn.: (m 1 v 1 + m 2 v 2) (m 1 v 1 + m 2 v 2) = 0 (12) Kada se ne vr²i razdvajanje tela, udarni impuls, kao unutra²nja sila veze, ne guri²e u jedna ini ( I R = 0)

Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi Koecijent sudara (koecijent restitucije) je denisan sa: k = v 2 v 1 v 1 v 2 k [0, 1] (13) Nema apsolutnih vrednosti: brojilac je >0 jer bi ina e telo (1) "pro²lo" kroz telo (2), a imenilac je >0 jer ina e ne bi ni do²lo do sudara Za grani ne vrednosti koecijenta k: - k = 0... idealno plasti an sudar - k = 1... idealno elasti an sudar Za sve ostale vrednosti k (0, 1)... realan sudar

Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi Iz denicije (13) za koecijent sudara k sledi v 2 = v 1 + k(v 1 v 2) Uno²enjem u K K = 0 dolazi se do re²enja za brzine oba tela neposredno posle sudara: v m 2 1 = v 1 (1 + k) (v 1 v m 1 + m 2) 2 v m 1 2 = v 2 + (1 + k) (v 1 v m 1 + m 2) 2 (14) Brzina prednjeg tela se pove ava, a zadnjeg se smanjuje

Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi Razdvajanjem tela i posmatranjem samo jednog, iz relacije K K = I dolazi se do udarnog impulsa: I = (1 + k) m 1m 2 m 1 + m 2 (v 1 v 2) (15) Na telo m 1 udarni impuls I deluje sa smerom suprotnim od v 1, a na telo m 2 u smeru v 2 Zbog toga je v 1 < v 1, odn. v 2 > v 2

Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi Sadrºaj 1 Udar i sudar Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) 2 Upravan udar o nepokretnu prepreku 3 Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi 4 Formulacija problema i jedna ina

Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi - posebni slu ajevi Telo ispred, mase m 2, miruje, v 2 = 0, pa na njega naleti telo m 1 sa brzinom v 1 Dobija se re²enje: v m 2 1 = v 1 (1 + k) v 1 m 1 + m 2 v m 1 2 = (1 + k) v 1 m 1 + m 2 I = (1 + k) m 1m 2 v 1 = m 2 v 2 m 1 + m 2

Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi - idealno plasti an Posmatra se idealno plasti an sudar: v 2 = 0) k = 0 (ali sada nije Brzine tela neposredno posle sudara su mežusobno iste - oba tela se dalje kre u kao jedno telo: v 1 = v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 Udarni impuls izmežu tela je u ovom slu aju: I = m 1m 2 m 1 + m 2 (v 1 v 2)

Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi - idealno plasti an Posmatra se idealno plasti an sudar: k = 0, pri emu telo m 2 miruje v 2 = 0 Brzine tela neposredno posle sudara su mežusobno iste: v 1 = v 2 = m 1 m 1 + m 2 v 1 Udarni impuls izmežu tela je u ovom slu aju: I = m 2 v 2 Ako je m 1 m 2 onda je v 1 = v 2 v 1 Ako je m 2 m 1 onda je v 1 = v 2 0

Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi - idealno plasti an Posmatra se idealno plasti an sudar: k = 0, pri emu se tela istih masa kre u jedno drugom u susret, istim brzinama: v 1 = v 2 kao i m 1 = m 2 = m Brzine tela neposredno posle sudara su mežusobno iste i jednake su nuli: v 1 = v 2 = 0 dok je udarni impuls izmežu tela je u ovom slu aju: I = 2 m 1m 2 m 1 + m 2 v 1 = m v 2

Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi - idealno elasti an Posmatra se idealno elasti an sudar: k = 1 Brzine tela neposredno posle sudara, kao i unutra²nji udarni impuls, su dati sa: v 1 = v 1 2 m 2 m 1 + m 2 (v 1 v 2) v 2 = v 2 + 2 m 1 m 1 + m 2 (v 1 v 2) I = 2 m 1m 2 m 1 + m 2 (v 1 v 2)

Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi - idealno elasti an Posmatra se idealno elasti an sudar: k = 1 Ako su pri tome tela istih masa, m 1 = m 2 = m, dolazi do razmene brzina: v 1 = v 2 kao i v 2 = v 1 Ako telo m 2 miruje, pa na njega naleti telo m 1, pri emu su mase iste m 1 = m 2 = m, i udar idealno elasti an, onda je v 1 = 0 kao i v 2 = v 1

Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi - idealno elasti an Posmatra se idealno elasti an sudar: k = 1 Ako su pri tome tela istih masa, m 1 = m 2 = m, a tela se kre u mežusobno u susret (sa istim brzinama): v 2 = v 1 opet dolazi do razmene brzina: v 1 = v 2 kao i v 2 = v 2 Tela istih masa, posle idealno elasti nog eonog sudara sa istim brzinama, naglo promene smerove svojih brzina i nastave da se kre u istim brzinama udaljuju i se Udarni impuls izmežu tela je tada I = 4 m v 2

Formulacija problema i jedna ina Sadrºaj 1 Udar i sudar Osnovni pojmovi o udaru i sudaru Analiza sudara dva tela Koecijent udara (sudara) 2 Upravan udar o nepokretnu prepreku 3 Jedna ine problema i re²enja Analiza re²enja - posebni slu ajevi 4 Formulacija problema i jedna ina

Sudar dve plo e u ravni Formulacija problema i jedna ina A h 1 t n t Q I 1 I Q n h 2 S 2 S 2 1 B K - K = I D - D = H S S S Y I 2 I 1 K = m v S X D = J S w S

Sudar dve plo e u ravni Formulacija problema i jedna ina Zakoni o promeni k.k. i momenta k.k. Trenuci neposredno pre (..) i posle sudara (..) Zakoni o promeni koli ine kretanja i momenta koli ine kretanja (za ravno kretanje): K K = I D S D S = H S gde su koli ina kretanja i momenat koli ine kretanja dati sa: K = m v S D S = I S ω

Sudar dve plo e u ravni Formulacija problema i jedna ina Zakoni o promeni k.k. i momenta k.k. Za plo u A m 1 u 1 m 1 u 1 = I cos θ m 1 v 1 m 1 v 1 = I sin θ J ζ1 ϕ 1 J ζ1 ϕ 1 = I sin θ x Q1 + I cos θȳ Q1 = Ih 1 (16) gde su u 1 i v 1 komponente vektora brzine sredi²ta mase u pravcima osa x i y, dok je ϕ 1 ugaona brzina plo e A

Sudar dve plo e u ravni Formulacija problema i jedna ina Zakoni o promeni k.k. i momenta k.k. Za plo u B m 2 u 2 m 2 u 2 = I cos θ m 2 v 2 m 2 v 2 = I sin θ J ζ2 ϕ 2 J ζ2 ϕ 2 = I sin θ x Q2 I cos θȳ Q2 = Ih 2 (17) gde su u 2 i v 2 komponente vektora brzine sredi²ta mase u pravcima osa x i y, dok je ϕ 2 ugaona brzina plo e B

Sudar dve plo e u ravni Formulacija problema i jedna ina Re²enje problema sudara Nepoznate veli ine u jedna inama su: 6 komponenta brzina (neposredno posle sudara) za obe plo e unutra nji udarni impuls I Zavr²na jedna ina je denicija koecijenta sudara ili koecijenta restitucije k = v n2 v n1 v n1 v n2 k [0, 1] (18)

Sudar dve plo e u ravni Formulacija problema i jedna ina Koecijent sudara gde v ni, (i = 1, 2) predstavljaju komponente brzine ta aka Q obe plo e u pravcu normale n na tangencijalnu ravan u ta ki sudara Koecijent sudara (restitucije) moºe da se usvoji kao: k = 0 za idealno plasti an sudar k = 1 za idealno elasti an sudar k (0, 1) za realan sudar

Sudar dve plo e u ravni Formulacija problema i jedna ina Unutra²nji udarni impuls izmežu plo a Jedna ine (16), (17) i (18), kojih ima 6+1=7, mogu da se re²e Dobija se unutra²nji udarni impuls izmežu plo a u obliku: I = (1 + k) b a (19) gde su uvedene oznake a = 2 i=1 ( 1 m i + h2 i J ζi ) > 0 b = v n1 v n2 > 0

Sudar dve plo e u ravni Formulacija problema i jedna ina Brzine plo a neposredno posle sudara Sa dobijenim udarnim impulsom datim sa (19) mogu da se odrede brzine sredi²ta masa i ugaone brzine obe plo e neposredno posle sudara (ne navode se izrazi)

Primer sa ispita Formulacija problema i jedna ina (a) Prikazati analizu kosog udara materijalne ta ke u nepokretnu prepreku. (b) Poznato je da je, u posmatranom slu aju kosog udara ta ke u nepokretnu prepreku, odbojni ugao β dva puta ve i od upadnog ugla α, (pri emu se oba ugla mere u odnosu na normalu n na tangencijalnu ravan prepreke u ta ki udara), kao i da je brzina ta ke neposredno posle udara v 2 dva puta manjeg intenziteta od intenziteta brzine ta ke neposredno pre udara v 1. Odrediti, za taj slu aj, udarni impuls I, koecijent udara k, kao i maksimalnu vrednost upadnog ugla α max.

Formulacija problema i jedna ina i K 2 K 1 I n n n n m a a b a b v v v t 1 t 2 t I Kretanje pre udara Neposredno PRE udara Neposredno POSLE udara

Primer sa ispita Formulacija problema i jedna ina Neposredno pre udara, ta ka je imala brzinu intenziteta v 1 iji pravac zaklapa ugao α sa normalom n Neposredno posle udara brzina je intenziteta v 2 sa pravcem datim sa uglom β prema normali Udar ta ke u prepreku je odrežen sa zakonom o promeni koli ine kretanja za trenutke neposredno posle i neposredno pre udara: K 2 K 1 = I (20) gde je I = I n udarni impuls, koji predstavlja uticaj uklonjene prepreke na posmatranu ta ku

Primer sa ispita Formulacija problema i jedna ina Ako se jedna ina (20) projektuje na pravce tangente τ i normale n, dobija se: mv 2 sin β mv 1 sin α = 0 mv 2 cos β + mv 1 cos α = I (21) U jedna inama (21) su nepoznate veli ine ugao β, intenzitet brzine v 2, kao i udarni impuls I Ima dve jedna ine i tri nepoznate veli ine

Primer sa ispita Formulacija problema i jedna ina U skladu sa Njutnovom teorijom udara, usvaja se, kao poznata veli ina, koecijent udara k [0, 1] Koecijent udara, u ovom slu aju, predstavlja odnos apsolutnih vrednosti projekcija brzina na pravac normale n neposredno posle i neposredno pre udara: k = v 2 cos β v 1 cos α (22) Iz jedna ine (22) se dobija relacija v 2 cos β = kv 1 cos α (23)

Primer sa ispita Formulacija problema i jedna ina Prema tome, iz druge od jedna ina (21) dobija udarni impuls u obliku: I = m(1 + k)v 1 cos α (24) Imaju i u vidu prvu jedna inu (21), dobija se intenzitet brzine ta ke neposredno posle udara u obliku: v 2 = v2τ 2 + v2 2n = (v 1 sin α) 2 + (kv 1 cos α) 2 (25) odnosno, u obliku: v 2 = v 1 sin 2 α + k 2 cos 2 α (26)

Primer sa ispita Formulacija problema i jedna ina Sa relacijama (24) i (26) su odreženi udarni impuls i intenzitet brzine ta ke neposredno posle udara, dok se odbojni ugao β moºe da odredi ili iz prve jedna ine (21) ili iz jedna ine (23), u obliku: sin β = v 1 v 2 sin α odn. cos β = k v1 v 2 cos α (27) Zadatkom se traºi da se posmatra slu aj kada je odbojni ugao β dva puta ve i od upadnog ugla α, kao i da je intenzitet odbojne brzine v 2 dva puta manji od intenziteta upadne brzine v 1

Primer sa ispita Formulacija problema i jedna ina Zna i, posmatraju se uslovi: β = 2α v 2 = 1 2 v 1 (28) Imaju i ovo u vidu, koecijent udara, koji je dat sa (22), mora da bude jednak: k = v 2 cos β v 1 cos α = 1 2 cos(2α) cos α (29)

Primer sa ispita Formulacija problema i jedna ina Kako je udarni impuls dat sa izrazom (24), to moºe da se dobije izraz za udarni impuls, na primer, u obliku I = 1 2 mv 1(cos2α + 2 cos α) (30) Najve a vrednost odbojnog ugla je β max = 90 0, ²to odgovara idealno plasti nom udaru, odnosno koecijentu udara koji je jednak nuli: k = 0 U tom slu aju je upadni ugao jednak α max = 45 0, ali je brzina v 2, videti (26), jednaka v 2 = v 1 sinα = 0.707v 1 ²to ne odgovara uslovima zadatka

Primer sa ispita Formulacija problema i jedna ina Relacija (29) koja povezuje koecijent udara sa slovima zadatka (28), odn. sa relacijama β = 2α, kao i v 2 = 0.5v 1, moºe da se napi²e u obliku ili u obliku, uz oznaku x = α, cos(2α) 2 k cos(α) = 0 f(x, k) = cos(2x) 2 k cos(x) = 0 (31) Zna i, da bi se odredio upadni ugao pri kome su zadovoljeni uslovi zadatka, potrebno je da se naže re²enje jedn. (31) u zavisnosti od koecijenta udara k kao parametra

Primer sa ispita Formulacija problema i jedna ina Re²avanje (31) moºe da se uradi gra kim putem, prikazivanjem funkcije f(x, k), za izabrane vrednosti koecijenta udara k kao parametra, u funkciji ugla x = α Imaju i u vidu uslove zadatka, upadni ugao je u intervalu α [0, 45 0 ], odn., u radijanima α [0, π/4 0.785], jer je najve a mogu a vrednost odbojnog ugla β = 90 0 (pri emu to ne odgovara uslovu v 2 = 0.5 v 1 ) Koecijent udara se nalazi u granicama k [0, 1] i varira se sa intervalom k = 0.10

Gra ki prikaz funkcije f(x, k) Formulacija problema i jedna ina

Primer sa ispita Formulacija problema i jedna ina Uvidom u gra ki prikaz f(x, k) moºe da se vidi da se mogu e re²enje nalazi u intervalu koecijenta udara od k (0, 0.5) Pri tome, za k = 0 funkcija f(x, k) = 0 za x = π/4, ali to re²enje ne odgovara, jer je v 2 = 0.707 v 1 Re²enje f(x, k) = 0 za k = 0.5 se dobija za x = 0, ali to takože ne odgovara, jer pretstavlja upravan a ne kosi udar. Iz gra kog prikaza f(x, k) mogu da se o itaju (procene) vrednosti upadnih uglova ta ke za posmatrane vrednosti koecijenta udara

Primer sa ispita Formulacija problema i jedna ina Upadni uglovi za diskretne vrednosti koecijenta k Koef. udara Upadni ugao x = α k [radijani] [stepeni ] 0.10 0.71 40.68 0.20 0.62 35.52 0.30 0.51 29.22 0.40 0.36 20.63 Naravno, postoji mnogo re²enja za k (0, 0.50) (Napomena: ovo re²avanje se nije o ekivalo na ispitu)