MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar

Transcript

1 MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar Prof dr stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16

2 Sadrºaj 1 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija 2

3 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Sadrºaj 1 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija 2

4 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Osnovni podaci o predmetu Naziv: Semestar: I Fond asova: 2+2 Studijski program: Graževinarstvo (MAS) ESPB: 6 Status predmeta: izborni

5 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Osnovni podaci o predmetu Uslov za sticanje potpisa: - Uredno pohažanje nastave - Uspe²no uraženi zadaci Uslov za polaganje ispita: - Dobijen potpis - Poloºen ispit iz Betonskih konstrukcija 2, Prednapregnutih i spregnutih konstrukcija (ispunjeno!)

6 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Osnovni podaci o predmetu Na in polaganja ispita: - individualno uražen semestralni zadatak - Usmeni ispit Informacije o nastavi i predmetu: - posle predavanja - Departman Tehni kih nauka, Nastavni materijali

7 Literatura Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Softverski paketi od interesa Tower 7 (Demo)... Radimpex Software, URL: AxisVM (Student Study, Student Thesis dana)... Structural Analysis & Design Software URL: SAP2000, ETABS, CSiBridge... Computers & Structures, Inc. URL: MATLAB The Language of Technical Computing... URL: itd...

8 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Sadrºaj 1 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija 2

9 Ed Wilson's Book Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija

10 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija 3D Static and Dynamic Analysis of Structures

11 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija 3D Static and Dynamic Analysis of Structures Ed Wilson's Book: Napomene u Predgovoru Asistent Fizike na 1. godini studiranja Edwarda Wilsona u Bekliju rekao je: - "Ne koristite jedna ine koje ne moºete sami da izvedete" - "Ako neko ima 5 minuta da re²i problem, od ega mu zavisi ºivot, trebalo bi da potro²i 3 minuta da ita i jasno razume problem" Tih principa Wislon se drºao celog ºivota i preformulisao ih u: Ne koristite program za analizu konstrukcija ukoliko ne razumete u potpunosti teoriju i aproksimacije na kojima se zasniva program

12 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija 3D Static and Dynamic Analysis of Structures Ed Wilson's Book: Napomene u Predgovoru Podrazumeva se da korisnik programa za analizu konstrukcija (dobro) poznaje "user interface", odn. da poznaje kako se koristi program (²to vi²e - to bolje!) Nije neophodno da se korisnik programa razume u programiranje Nije neophodno da korisnik programa bude na veoma visokom nivou znanja matematike Ali jeste neophodno da korisnik programa za analizu konstrukcija bude na dovoljnom nivou znanja iz oblasti teorije konstrukcija, mehanike, otpornosti materijala, kao i betonskih, eli nih, drvenih konstrukcija, fundiranja,...

13 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija 3D Static and Dynamic Analysis of Structures Ed Wilson's Book: Napomene u Predgovoru Veoma lako se pogre²i u unosu ulaznih podataka (a veoma te²ko se pronalazi gre²ka!) Da bi se "ozbiljno pogre²ilo" u analizi konstrukcija, neophodan je ra unar i neki program "Pe²a kim" prora unom moºe da se proceni red veli ine Imaju i sve ovo u vidu, neophodno je da se uvek proveravaju dobijeni rezultati (i mežurezultati!) ƒesto je korisno da se pre glavne analize formiraju jednostavni ra unski modeli gde bi se proverio i "uveºbao" neki segment "pravog" prora una

14 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Sadrºaj 1 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija 2

15 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Napomene o numeri kim modelima Matemati ki model je apstraktno prikazivanje (idealizacija) nekog realnog problema ili pojave U konstrukterskom (graževinskom) inºenjerstvu "problem ili pojava" je, naj e² e, realna graževinska konstrukcija Najpoºeljniji matemati ki model razmatranog problema je onaj koji je sa jedne strane matemati ki i konceptualno najjednostavniji, a da pri tome istovremeno opisuje i obuhvata sve bitne odlike zi kog sistema

16 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Napomene o numeri kim modelima U zavisnosti od optere enja koje deluje, ili koje moºe da deluje, analiza konstrukcije moºe da bude 1 stati ka (nezavisna od vremena) 2 dinami ka (promenljiva sa vremenom) U stati koj analizi bitne odlike konstrukcije su - putevi preno²enja optere enja kroz konstrukciju do fundamenata i tla - nosivost konstruktivnih elemenata, uklju uju i i tlo - funkcionalnost konstruktivnih elemenata

17 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Napomene o numeri kim modelima Imaju i to u vidu, ra unski model konstrukcije treba da je takav da ²to vernije reprodukuje osnovne konstruktivne elemente - po geometrijskom obliku - po karakteristikama materijala - po grani nim uslovima To ne zna i da mora da se prikaºe svaki detalj u ra unskom modelu Takože je opravdano da se donekle uprosti geometrijski oblik elemenata konstrukcije

18 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Napomene o numeri kim modelima U dinami koj analizi, osim puteva preno²enja optere enja, kao i nosivosti i funkionalnosti elemenata, bitno je dinami ko pona²anje sistema konstrukcija - optere enje - tlo U formiranju ra unskog modela treba da se sagleda dinami ko pona²anje i da se reprodukuje na najbolji na in Prvi deo dinami ke analize je odreživanje dinami kih karakteristika konstrukcije - svojstvenih frekvencija (ili perioda) - svojstvenih oblika

19 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Napomene o numeri kim modelima U zavisnosti od dinami ke pobude, posebna paºnja mora da se posveti pojavi mogu e rezonancije To je posebno izraºeno kod konstrukcija na kojima se nalaze ma²ine sa periodi nim dejstvom Ukoliko je radni broj obrtaja ma²ine ve i od osnovne frekvencije konstrukcije, onda e u fazama pokretanja ili zaustavljanja takve ma²ine (npr. turbine) da dože do prolazne rezonancije Osim analize mogu nosti nastanka rezonancije, mora da se odredi vremenski odgovor konstrukcije na dinami ku pobudu

20 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Napomene o numeri kim modelima U zavisnosti od dinami ke pobude, proces moºe da traje razli ito vreme Prinudne vibracije konstrukcije mogu da budu - periodi ne (rad ma²ina) - aperiodi ne Glavni vidovi aperiodi nih vibracija, navedeno po vremenu trajanja (od najkra eg ka duºem), su - eksplozije - udari i sudari - zemljotresi - vetar

21 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Napomene o numeri kim modelima Dinami ke analize su, po prirodi stvari, zna ajno komleksnije i komplikovanije od stati kih analiza Potrebni su odgovaraju i ra unarski programi, a potrebni su i ve i resursi ra unara (procesor, RAM i HD) nego za stati ku analizu Takože je sloºenija analiza dobijenih rezultata Naravno, potrebno je i ve e poznavanje specijalizovane materije u slu aju dinami ke analize Zbog svega ovoga, mnogi dinami ki procesi se, u rutinskim prora unima, posmatraju kao ekvivalentno stai ko optere enje

22 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Klasikacija matemati kih (numeri kih) modela Matemati ki (numeri ki) modeli posmatranog zi kog sistema mogu da se formuli²u na razne na ine Najzna ajniji parametri koji deni²u mehani ko pona²anje realne konstrukcije su - masa konstrukcije - krutost konstrukcije - grani ni (moºda i po etni) uslovi - optere enja koja deluju Masa i krutost konstrukcije odreženi su geometrijskim oblikom i karakteristikama izabranog materijala

23 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Klasikacija matemati kih (numeri kih) modela Kako u stati koj, tako i u dinami koj analizi konstrukcije, mogu e je da se posmatrani zi ki sistem tretira kao sistem sa kontinualno rasporeženim, ili kao sistem sa diskretno rasporeženim parametrima U zavisnosti od toga, razlikuju se kontinualni matemati ki modeli diskretni matemati ki modeli Na elno, realniji su kontinualni od diskretnih modela Mežutim, matemati ko tretiranje diskretnih modela bitno je jednostavnije od kontinualnih modela

24 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Klasikacija matemati kih (numeri kih) modela Primenom diskretnih modela na bazi npr. MKE mogu e je da se formiraju ra unski modeli i izuzetno sloºenih sistema Primenom kontinualnih modela to svakako nije mogu e: mogu da se posmatraju samo jednostavni problemi Zbog toga je MKE najvi²e kori² en numeri ki postupak U zavisnosti od prirode dobijenih jedna ina koje pretstavljaju matemati ku formulaciju posmatranog problema, razlikuju se linearni modeli nelinearni modeli

25 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Klasikacija matemati kih (numeri kih) modela Naravno, obi no se koristi linearna analiza zbog jednostavnijeg matemati kog tretiranja Mežutim, u odreženim slu ajevima neophodna je i nelinearna analiza ƒesto se dinami ke pojave posmatraju kao ekvivalentne stati ke, ali to nije uvek mogu e Prema tome, ra unski modeli konstrukcija mogu da budu stati ki dinami ki

26 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Klasikacija matemati kih (numeri kih) modela Ponekad su spolja²nji dinami ki uticaji na posmatrani sistem deterministi kog karaktera, ali to esto nije slu aj Na primer, uticaji zemljotresa, vetra, poºara, eksplozije itd. pretstavljaju primere slu ajnih procesa Slu ajni procesi neuporedivo se sloºenije analiziraju, pri emu je neophodan specijalizovan softver za to Prema tome i odgovaraju i matemati ki modeli mogu da budu deterministi ki modeli i probabilisti ki modeli

27 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Klasikacija matemati kih (numeri kih) modela U slu aju probabilisti kih modela, dinami ka pobuda i odgovor mehani kog sistema izraºavaju se kao slu ajni procesi: - preko statisti ki osrednjenih vrednosti - uktuacija - verovatno a pojave i sl. Matemati ko tretiranje kod probabilisti kih modela znatno je sloºenije nego kod deterministi kih Zato je sasvim uobi ajeno da se ak i tako o igledno slu ajna pojava kao ²to je npr. zemljotres analizira na bazi deterministi kih pristupa

28 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Klasikacija matemati kih (numeri kih) modela Klasikacija matemati kih modela u numeri koj analizi konstrukcija na - diskretne - kontinualne - linearne - nelinearne - stati ke - dinami ke - deterministi ke - probabilisti ke mežusobno je nezavisna Zna i, mogu e je formiranje matemati kih modela sa proizvoljnom kombinacijom atributa - npr. nelinearni diskretni probabilisti ki dinami ki model i sl.

29 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Cilj matemati kog (numeri kog) modeliranja Matemati ki model predstavlja pogodno izabranu matemati ku formulaciju posmatranog zi kog procesa Osnovni cilj ra unskog modeliranja je da se matemati kim putem dože do odgovora o pona²anju zi kog procesa Najbolje re²enje ra unskog modela je analiti ko Mežutim, veoma su retki slu ajevi da je matemati ka formulacija posmatranog procesa takva da se do re²enja moºe da dože u zatvorenom, odn. u analiti kom, obliku

30 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Cilj matemati kog (numeri kog) modeliranja Neuporedivo je e² i slu aj da mora da se odredi numeri ko re²enje jedna ina ili nejedna ina kojima se opisuje posmatrani problem Numeri ko re²enje je, po prirodi stvari, uvek pribliºno Odgovaraju a matemati ka formulacija modela zavisi pre svega od toga kakvo je razumevanje zi kog procesa onoga ko vr²i modeliranje Mežutim, matemati ka formulacija takože bitno zavisi i od prakti nih mogu nosti odreživanja re²enja matemati kog modela

31 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Cilj matemati kog (numeri kog) modeliranja To je posebno tako kada se ima u vidu da je esto priroda posmatranog problema takva da je jedino mogu e da se odredi numeri ko re²enje problema To zna i da se do re²enja dolazi kori² enjem ra unara Prema tome, i raspoloºivi resursi bitno uslovljavaju i na in formulisanja modela Pod resursima se podrazumevaju - ra unari (procesor, RAM, HD, gra ka karta) - odgovaraju i ra unarski programi (komercijalni ili "home-made")

32 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija Potrebni uslovi za numeri ko modeliranje: ra unari i programi Sada²nji personalni ra unari su veoma mo ni (neuporedivo ve ih mogu nosti od supera unara iz 70-tih, 80-tih)

33 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija 3D Static and Dynamic Analysis of Structures

34 Sadrºaj 1 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija 2

35 Metoda kona nih elemenata MKE - uvodne napomene ili The Finite Element Method (FEM) je numeri ki postupak za pribliºno re²avanje grani nih i po etnih problema, odn. obi nih ili parcijalnih diferencijalnih jedna ina sa datim grani nim i po etnim uslovima Grani ni problem (Boundary value problem, Field problem) odrežen je sa parcijalnom diferencijalnom jedna inom denisanom unutar nekog domena V ili Ω i sa odgovaraju im grani nim uslovima na konturi Γ... stati ki problem

36 Metoda kona nih elemenata MKE - uvodne napomene Domen denisanosti problema, odnosno nepoznate veli ine, moºe da bude linijski (1D), povr²inski (2D) ili prostorni (3D) Odgovaraju e koordinate koje deni²u domen su nezavisno promenljive veli ine (koordinate), dok je traºena veli ina nepoznata funkcija koordinata Ako je domen problema linijski (1D), grani ni problem je denisan sa obi nom diferencijalnom jedna inom U slu aju kada je domen 2D ili 3D, problem je denisan sa parcijalnom diferencijalnom jedna inom Re²enje grani nog problema je poznata raspodela traºene veli ine unutar posmatranog domena

37 Metoda kona nih elemenata MKE - uvodne napomene Po etni problem (Initial value problem) odrežen je sa parcijalnom diferencijalnom jedna inom denisanom unutar nekog prostornog domena V ili Ω, kao i u vremenskom domenu t > 0... dinami ki problem U slu aju problema po etnih vrednosti, osim grani nih uslova na konturi Γ domena, neophodni su i odgovaraju i po etni uslovi u po etnom trenutku t = t 0 Po etni uslovi pretstavljaju poznate vrednosti funkcije problema i njenih izvoda po vremenu, u svim ta kama domena denisanosti, uklju juju i i granicu, u po etnom trenutku vremena t = t 0

38 Metoda kona nih elemenata MKE - uvodne napomene Su²tina MKE je diskretizacija (podela) posmatranog domena na izabrane pod-domene, odn. na kona ne elemente, usvojenog oblika, pri emu su ti pod-domeni kona nih dimenzija i sa izabranim vornim ta kama na granici, a mogu e i u unutra²njosti kona nog elementa Kona ni elementi su jednostavnih oblika: linijski segmenti, trouglovi, etvorougli, paralelopipedi i sl. Cilj je da se stvarni zi ki domen problema izabranim kona nim elementima ²to bolje prikaºe u ra unskom domenu prikazanom preko usvojene mreºe kona nih elemenata Cilj je da se postigne ²to bolje poklapanje zi kog i ra unskog domena

39 Metoda kona nih elemenata MKE - uvodne napomene Pojedina ni kona ni elementi mogu da se shvate kao mali delovi posmatranog domena i u pitanju su mali kona ni delovi, a ne innitezimalni (beskona no mali) delovi Kona ni elementi su mežusobno povezani samo u vornim ta kama Nepoznata veli ina unutar kona nog elementa izraºava se kao linearna kombinacija poznatih funkcija raspodele unutar elementa i nepoznatih vrednosti funkcije u vornim ta kama kona nog elementa ƒesto se za nepoznate vrednosti u vornim ta kama kona nih elemenata, osim glavne nepoznate veli ine, biraju jo² i prvi izvodi nepoznate po koordinatama koje deni²u domen

40 Metoda kona nih elemenata MKE - uvodne napomene Koriste i Galerkinovu metodu teºinskih ostataka, ili neki varijacioni princip Mehanike, osnovne diferencijalne jedna ine problema transformi²u se u integralne jedna ine pojedina nih kona nih elemenata Sabiranjem doprinosa svih kona nih elemenata formira se globalni sistem algebarskih jedna ina koji den²e posmatrani (stati ki) problem U slu aju dinami kog problema osnovne nepoznate u vorovima (generalisane koordinate) su funkcije vremena, tako da se dolazi do sistema obi nih diferencijalnih jedna ina po vremenu

41 Grani ni ili po etni problem Grani ni ili po etni problem deformabilnog 3D tela

42 MKE: osnovne relacije i interpolacija Grani ni (po etni) problem Grani ni ili po etni problem deformabilnog tela posmatra stanje napona i deformacija tela usled datih spolja²njih uticaja Ukoliko su spolja²nji uticaji zna ajnije zavisni od vremena, problem je dinami ke prirode i opisan je (na elno) odgovaraju im diferencijalnim jedna inama kretanja Ako su vremenske promene optere enja i odgovora tela zanemarljive, problem je stati ke prirode i denisan je odgovaraju im diferencijalnim jedna inama ravnoteºe Osim diferencijalnih jedna ina kretanja ili ravnoteºe, moraju da budu denisani i odgovaraju i grani ni i po etni uslovi (za dinami ki problem)

43 MKE: osnovne relacije i interpolacija Formulacija na bazi pomeranja MKE je najvi²e primenjivan numeri ki postupak za pribliºno re²avanje grani nih i po etnih problema Ve ina pristupa u MKE u Primenjenoj mehanici zasnovana je na polju pomeranja kao osnovnim nepoznatim U razmatranju nekog problema bitno je da se usvoje odgovaraju i kona ni elementi i interpolacione funkcije, a posebno da se izvedu matrice krutosti elemenata Izvoženje sistema jedna ina kojima se dobija pribliºno re²enje problema zajedni ko je, na elno, za sve probleme

44 MKE: osnovne relacije i interpolacija Formulacija na bazi pomeranja Za neke od kona nih elemenata relacije mogu da se formuli²u direktnim putem, kao ²to su linijski kona ni elementi za re²etkaste i pune ²tapove, u ravni ili u prostoru Za povr²inske ili prostorne kona ne elemente polazi se od osnovnih relacija u mehanici, odn. u naponsko-deformacijskoj analizi i teoriji elasti nosti: - veze izmežu deformacija i pomeranja - veze izmežu napona i deformacija - uslovi ravnoteºe (ili diferencijalne jedna ine kretanja) - grani nih i po etnih uslova - odgovaraju ih principa Mehanike

45 MKE: osnovne relacije i interpolacija Veze napon - deformacija Neka su σ i ε vektori napona i deformacija, a indeks 0 ozna ava po etnu vrednost vektora napona ili deformacija Posmatraju se idealno elasti ni materijali, pa je D konstitutivna matrica koja sadrºi odgovaraju e elasti ne konstante Za linearno elasti ne uslove veza napon - deformacija moºe da se prikaºe u obliku σ = D ε + σ 0 ili σ = D(ε ε 0 ) (1) gde je σ 0 = Dε 0

46 MKE: osnovne relacije i interpolacija Veze napon - deformacija Veza (1) vaºi za jednu, dve ili tri dimenzije Za jednoaksijalno naprezanje i bez po etnih napona, veza je gde je E modul elasti nosti σ = Eε Za dve dimenzije i ravan x, y veza (1) data u je obliku σ x D 11 D 12 D 13 ε x σ y = D 21 D 22 D 23 ε y + τ xy D 31 D 32 D 33 γ xy σ x0 σ y0 τ xy0

47 MKE: osnovne relacije i interpolacija Veze napon - deformacija Konstitutivna matrica D je simetri na: D ij = D ji Matrica D moºe da prikazuje izotropne ili anizotropne materijalne osobine Za izotropan materijal i za ravno stanje napona (σ z = τ xz = τ yz = 0), konstitutivna matrica D data je u obliku D = E 1 ν 2 1 ν 0 ν ν gde je E modul elasti nosti, dok je ν Poisson-ov koecijent

48 MKE: osnovne relacije i interpolacija Veze napon - deformacija Inverzna konstitutivna matrica jednaka je 1 D 1 E ν E 0 = ν 1 E E G gde je G modul klizanja G = E 2(1 ν)

49 MKE: osnovne relacije i interpolacija Veze napon - deformacija Za izotropan materijal i za ravno stanje deformacija (ε z = γ xz = γ yz = 0), konstitutivna matrica D data je u obliku D = E(1 ν) (1 + ν)(1 2ν) ν 1 1 ν 0 ν 1 ν ν 2(1 ν) Inverzna relacija (1), odn. veza deformacija - napon, dobija se u op²tem obliku ε = D 1 σ + ε 0

50 MKE: osnovne relacije i interpolacija Veze napon - deformacija Za izotropan materijal i za ravno stanje napona veze deformacija - napon glase (napisano skalarno) ε x = σ x E ν σ y E + ε x0 ε y = ν σ x E + σ y E + ε y0 γ xy = τ xy G + γ xy0

51 MKE: osnovne relacije i interpolacija Veze napon - deformacija Po etne deformacije ε 0 mogu da imaju razne uzroke, npr. temperaturne promene, bubrenje usled vlage, skupljanje i te enje betona U slu aju da se posmatra po etna deformacija usled dva ili vi²e izvora, u vezu (1) mogu da se uklju e i po etni naponi σ 0 i po etne deformacije ε 0 Ako je materijal izotropan, a po etna deformacija je nastala usled promene temperature t, onda je ε x0 = ε y0 = α t γ xy0 = 0 gde je α koecijent temperaturne dilatacije materijala

52 MKE: osnovne relacije i interpolacija Veze napon - deformacija U tri dimenzije konstitutivna matrica D je simerti na, reda 6, i povezuje σ i ε (uz zanemarivanje po etnog napona ili deformacija) σ = Dε: σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx = [D ij ] 6 6 ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx (2)

53 MKE: osnovne relacije i interpolacija Veze napon - deformacija Za slu aj izotropije, kao i za po etne deformacije usled temperaturne promene t, ne-nulti elementi u vezi (2) su dati sa D 11 = D 22 = D 33 = (1 ν) c D 44 = D 55 = D 66 = G D 12 = D 21 = D 13 = D 31 + D 23 = D 32 = ν c ε x0 = ε y0 = ε z0 = α t gde je c = E (1 + ν)(1 2ν) G = E 2(1 + ν)

54 MKE: osnovne relacije i interpolacija Veze deformacije - pomeranja Veze izmežu deformacija i pomeranja su zna ajne, jer se, preko veza napon - deformacija odrežuju naponi na osnovu prethodno izra unatih pribliºnih vrednosti pomeranja kao osnovnih nepoznatih Koriste se inºenjerske denicije deformacija - dilatacija je promena duºine podeljena sa originalnom duºinom - klizanje je promena prvobitnog pravog ugla izmežu dva pravca Posmatraju se pomeranja u ravni u = u(x, y), v = v(x, y)

55 Veze deformacije - pomeranja Deformacije elementarnog kvadrata dx dy u ravni i odgovaraju e dilatacije i klizanje (za x 0 i y 0)

56 MKE: osnovne relacije i interpolacija Veze deformacije - pomeranja Ako su poznata pomeranja ta ke u(x, y) i v(x, y) u dva pravca x i y, onda su dilatacije i klizanje denisani sa ε x = u x ε y = v y γ xy = u y + v x (3) Za slu aj 3D prostora, komponente pomeranja su u(x, y, z), v(x, y, z) i w(x, y, z) Dilatacije i klizanja su dati sa, osim sa izrazima (3), jo² i sa ε z = w z γ yz = v z + w y γ zx = w x + u z (4)

57 MKE: osnovne relacije i interpolacija Veze deformacije - pomeranja U matri nom obliku veze deformacije - pomeranja mogu da se prikaºu, za 2D, kao ε x x 0 { } ε y = 0 u(x, y) y (5) v(x, y) γ xy y x

58 MKE: osnovne relacije i interpolacija Veze deformacije - pomeranja U matri nom obliku veze deformacije - pomeranja mogu da se prikaºu, za 3D, kao ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx x y = z y x 0 0 z y z 0 x u(x, y, z) v(x, y.z) w(x, y, z) (6)

59 MKE: osnovne relacije i interpolacija Veze deformacije - pomeranja Veze izmežu deformacija i pomeranja (5) i (6) mogu da se napi²u skra eno u obliku ε = L u (7) gde je L diferencijalni operator za 2D ili 3D x 0 0 x 0 0 y 0 L 2D = y odn. L 3D = z y x 0 y x 0 z y z 0 x (8)

60 MKE: osnovne relacije i interpolacija Veze deformacije - pomeranja Sa u u vezi (8) ozna en je vektor sa komponentama pomeranja u 2D ili 3D: u 2D = { u(x, y) v(x, y) } odn. u 3D = u(x, y, z) v(x, y.z) w(x, y, z) (9) Ako se posmatra jednodimenzionalna deformacija i pomeranje u pravcu ose x: u = u(x), onda je veza dilatacija pomeranje data sa ε x = du (10) dx

61 MKE: osnovne relacije i interpolacija Veze deformacije - pomeranja Diferencijalni operator u ovom slu aju pomeranja u jednom pravcu moºe da se prikaºe kao matrica samo sa jednim elementom: [ ] d L = (11) dx Imaju i ovo u vidu, mogu e je da se i za 1D problem, odn. za jednoaksijalno naprezanje, veza napon - deformacija napi²e matri nom obliku σ = Dε σ x = Eε x

62 MKE: osnovne relacije i interpolacija Veze deformacije - pomeranja Veza izmežu deformacije i pomeranja u jednoaksijalnom naprezanju u pravcu ose x moºe da se prikaºe u matri nom obliku ε = Lu ε x = du dx Kompatibilnost pomeranja i deformacija, ili kra e, uslovi kompatibilnosti mora da postoji i u numeri kom modelu ukoliko se o ekuju (dovoljno) ta ni i realni rezultati Uslovi kompatibilnosti zna e da se tokom pomeranja i defrmacije ne javljaju pukotine, prekidi u materijalu, nabori prilikom savijanja, da nema mežupenetracije pojedinih delova i sli no

63 MKE: osnovne relacije i interpolacija Kompatibilnost pomeranja i deformacija Uslovi kompatibilnosti zahtevaju da su pomeranja u ra unskom modelu kontinualne i jednozna ne funkcije koordinata u domenu Ako se posmatra 2D ravanski model, onda se uslovi kompatibilnosti svode na relaciju izmežu deformacija 2 ε x y ε y x 2 = 2 γ xy x y Analogne relacije pretstavljaju uslove kompatibilnosti i za 3D slu aj

64 MKE: osnovne relacije i interpolacija Uslovi ravnoteºe / Diferencijalne jedna ine kretanja: 3D Uslovi ravnoteºe u prostornom problemu postavljaju se posmatraju i elementarnu zapreminu dv = dxdydz Na povr²inama elementarne zapremine deluju unutra²nje sile veze (naponi), a u sredi²tu elementarne kocke deluju rezultuju e zapreminske sile U stati kom slu aju mirovanja tela, sve sile koje deluju na telo, ili na izdvojeni deo ( mali ili kona ni), nalaze se u ravnoteºi U dinami kom slu aju postavlja se Zakon o promeni koli ine kretanja (ili 2. Njutnov zakon) za posmatrani izdvojeni elementarni deo tela

65 Elementarna zapremina dv = dxdydz Naponi su unutra²nje sile veze na stranicama elementarne zapremine unutar 3D tela

66 MKE: osnovne relacije i interpolacija Uslovi ravnoteºe / Diferencijalne jedna ine kretanja: 3D Diferencijalne jedna ine kretanja elementarne zapremine tela mogu da se prikaºu u obliku ρü = σ x x + τ yx y + τ zx z + f x ρ v = τ xy x + σ y y + τ zy z + f y ρẅ = τ xz x + τ yz y + σ z z + f z (12) Komponente pomeranja sredi²ta elementarne zapremine su u, v, w, dok su ü, v, ẅ komponente ubrzanja

67 MKE: osnovne relacije i interpolacija Uslovi ravnoteºe / Diferencijalne jedna ine kretanja: 3D U jedn. (12) sa ρ je ozna ena gustina mase ρ = dm dv Zapreminske sile u jedn. (12) mogu da se prikaºu kao vektor zapreminskih sila f b : f b = f x f y f z

68 MKE: osnovne relacije i interpolacija Uslovi ravnoteºe / Diferencijalne jedna ine kretanja: 3D Diferencijalne jedna ine kretanja (12) mogu da se prikaºu u matri nom obliku kao ρü = L T σ + f b (13) gde je L diferencijalni operator (8), u ovom slu aju za 3D U slu aju mirovanja, ubrzanja i brzine su jednaki nuli, pa jedna ine kretanja (13) postaju jedna ine ravnoteºe L T σ + f b = 0 (14)

69 MKE: osnovne relacije i interpolacija Uslovi ravnoteºe / Diferencijalne jedna ine kretanja: 3D Ako se naponi u jedn. (13) prikaºu preko deformacija, (1), uz σ 0 = 0, pa ako se deformacije izraze preko pomeranja, (7), dobijaju se diferencijalne jedna ine kretanja izraºene preko pomeranja ρü = L T DL u + f b (15) Sli no, jedna ine ravnoteºe (14) mogu da se prikaºu preko pomeranja L T DL u + f b = 0 (16)

70 MKE: osnovne relacije i interpolacija Uslovi ravnoteºe / Diferencijalne jedna ine kretanja: 2D 3D problem moºe da se zna ajno uprosti ako moºe da se posmatra kao 2D U prikazivanju 2D solida (deformabilnog tela) na elno se ukloni jedna koordinata, obi no z, i problem se posmatra u x, y ravni Smatra se da su promenljive veli ine problema nezavisne od z koordinate, kao i da je spolja²nje optere enje nezavisno od z Problemi 2D solida grupi²u se, na elno, u dva tipa problema: - ravno stanje napona - ravno stanje deformacija

71 MKE: osnovne relacije i interpolacija Uslovi ravnoteºe / Diferencijalne jedna ine kretanja: 2D Deformabilna tela u ravnom stanju napona su po svom obliku 2D, odn. takva da su dimenzije u jednoj ravni (x, y) sli nog reda veli ine, dok je tre a dimenzija, u pravcu ose z, za red veli ine manja Spolja²nje sile deluju samo u x, y ravni i naponi u pravcu z su jednaki nuli σ z = 0 τ xz = 0 τ yz = 0 Sva pomeranja i deformacije vr²e se samo u x, y ravni

72 Ravno stanje napona Telo dvodimenzionalnog oblika u ravnom stanju napona (npr. zidno platno)

73 Ravno stanje napona Telo dvodimenzionalnog oblika u ravnom stanju napona (npr. zidno platno)

74 MKE: osnovne relacije i interpolacija Uslovi ravnoteºe / Diferencijalne jedna ine kretanja: 2D Deformabilna tela u ravnom stanju deformacija su po svom obliku 3D, odn. dimenzija u pravcu ose z za red veli ine je ve a od dimenzija u ravni (x, y) Spolja²nje sile su ravnomerno raspodeljene u pravcu ose z (a naravno i u x, y ravni) Sva pomeranja i deformacije u pravcu ose z su spre ena Komponentalne deformacije u pravcu ose z su jednake nuli: ε z = 0 γ xz = 0 γ yz = 0

75 Ravno stanje deformacija Telo trodimenzionalnog oblika u ravnom stanju deformacija (npr. gravitaciona brana ili potporni zid)

76 Ravno stanje deformacija Telo trodimenzionalnog oblika u ravnom stanju deformacija (npr. gravitaciona brana ili potporni zid)

77 MKE: osnovne relacije i interpolacija Uslovi ravnoteºe / Diferencijalne jedna ine kretanja: 2D Diferencijalne jedna ine kretanja za 2D solid (ravno stanje napona ili deformacije) mogu da se prikaºu u obliku ρü = σ x x + τ yx y + f x ρ v = τ xy x + σ y y + f y (17) odnosno, u matri nom obliku: ρü = L T σ + f b (18) gde je L diferencijalni operator (8), u ovom slu aju za 2D

78 MKE: osnovne relacije i interpolacija Uslovi ravnoteºe / Diferencijalne jedna ine kretanja: 2D Vektor spolja²njih sila f b u jedn. (18) dat je sa { } fx f b = U slu aju kada je 2D problem stati ki, onda su jedna ine ravnoteºe date sa L T σ + f b = 0 (19) ili u obliku samo po pomeranjima: f y L T DL u + f b = 0 (20)

79 Grani ni (po etni) problem Grani ni ili po etni problem deformabilnog 3D tela

80 MKE: osnovne relacije i interpolacija Grani ni (po etni) problem Posmatrano deformabilno telo zauzima neku zapreminu prostora V, dok je Γ grani na povr² oko zapremine V Na konturi oblasti denisanosti problema zadati su grani ni uslovi koji mogu da budu - grani ni uslovi po pomeranjima - grani ni uslovi po silama U ta kama konture povr²i na delu Γ 1 zadata su pomeranja U ta kama konture povr²i na delu Γ 2 zadate su sile

81 MKE: osnovne relacije i interpolacija Grani ni (po etni) problem U dinami kim problemima moraju da budu zadati, osim grani nih, jo² i po etni uslovi: - zadata po etna konguracija u po etnom trenutku t = 0 - zadata po etna brzina (prvi izvod po vremenu) u po etnom trenutku t = 0 Ako je u(t) vektor pomeranja u proizvoljnom trenutku vremena, onda su po etni uslovi dati u obliku - po etni poloºaj... t = 0 : u(0) = u 0 - po etna brzina... t = 0 : u(0) = v 0

82 Sadrºaj 1 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija 2

83 MKE: osnovne relacije i interpolacija Interpolacija zna i formiranje kontinualnih funkcija koje zadovoljavaju propisane uslove u kona nom broju ta aka U MKE kona an broj ta aka su vorne ta ke kona nih elemenata, a propisani uslovi su vrednosti nepoznatih, a eventualno i njihovih izvoda, u vornim ta kama ƒvorne vrednosti mogu da budu i ta ne (²to obi no nisu u potpunosti), ali interpolacija pretstavlja pribliºnu raspodelu nepoznatih unutar posmatrane oblasti (unutar kona nog elementa)

84 MKE: osnovne relacije i interpolacija Neka je domen Ω posmatranog problema podeljen na pod-oblasti, odn. na kona ne elementate sa odgovaraju im domenima svakog elementa Ω e Prostornoj dimenziji domena Ω odgovara i dimenzija kona nih elemenata Ω e : 1D, 2D ili 3D Obi no se domen Ω opisuje u Dekartovom sistemu, tako da se koriste koordinate (x), (x, y), ili (x, y, z) Diskretizacijom domena na kona ne elemente usvaja se oblik kona nih elemenata, kao i broj vornih ta aka i broj nepoznatih parametara (generalisanih koordinata) u svakoj vornoj ta ki

85 MKE: osnovne relacije i interpolacija Neka je domen Ω diskretizovan na n el kona nih elemenata i neka svaki kona ni element ima n d vornih ta aka, a u svakoj vornoj ta ki n f vornih nepoznatih Ukupan broj nepoznatih (broj stepeni slobode) jednog kona nog elementa je n dof = n d n f Ako je u mreºi kona nih elemenata prisutno n nd vornih ta aka za sve kona ne elemente, onda je ukupan broj stepeni slobode celog domena, ili ukupan broj generalisanih koordinata, jednak n tot = n nd n f pod uslovom da u svakom voru ima isti broj nepoznatih

86 MKE: osnovne relacije i interpolacija Posmatra se jedan kona ni element sa n d vornih ta aka Lokacije vornih ta aka u globalnom koordinatnom sistemu date su sa vektorima x i, (i = 1, 2,..., n d ) U zavisnosti od dimenzije domena, vektori poloºaja vornih ta aka kona nog elementa dati su sa - za 1D... x T i = {x} i - za 2D... x T i = {x, y} i - za 3D... x T i = {x, y, z} i Za svaku komponentu pomeranja kona nog elementa potrebno je da se deni²e n d interpolacionih funkcija

87 MKE: osnovne relacije i interpolacija Na primer, za prost ²tap (1D element), komponenta pomeranja je aksijalno pomeranje u Za gredni nosa (1D element), komponenta pomeranja je transverzalno pomeranje v, kao i obrtanje, odn. izvod pomeranja ϕ = v Za ravno stanje napona ili deformacija (2D element), komponente pomeranja su u, v Za savijanje tankih plo a (2D element), komponenta pomeranja je w, kao i obrtanja, odn. izvodi pomeranja: ϕ x = w/ x, ϕ y = w/ y Za 3D element, komponente pomeranja su u, v, w

88 MKE: osnovne relacije i interpolacija Posmatra se, kao ilustracija postupka, samo jedna komponenta pomeranja i njeno pribliºno prikazivanje (interpolacija) unutar domena kona nog elementa sa n d vornih ta aka Neka je komponenta pomeranja koja se interpolira unutar elementa komponenta pomeranja u = u(x) Ako kona ni element ima n d vornih ta aka, prvo se prikaºe komponenta pomeranja u = u(x) kao linearna kombinacija n d mežusobno nezavisnih baznih funkcija p i (x) n d u ū(x) = p i (x) α i = p T (x) α (21) 1

89 MKE: osnovne relacije i interpolacija U izrazu (21) funkcije p i (x) su bazne funkcije koje se biraju kao monomi (ili polinomi) prostornih koordinata x, dok su α i nepoznati koecijenti koji treba da se odrede Monomi ili polinomi koji ine kompletnu bazu do stepena p dati su za 1D domen p T (x) = {1, x, x 2, x 3, x 4... x p } za 2D domen p T (x) = {1, x, y, xy, x 2, y 2,..., x p, y p } za 3D domen p T (x) = {1, x, y, z, xy, yz, zx, x 2, y 2, z 3,..., x p, y p, z p }

90 Paskalov trougao - 2D domen Kao op²te pravilo, n d lanova polinoma p(x) koji se koriste kao bazne funkcije u interpolaciji treba da se izaberu, od konstantnog lana (nulti monom, odn. 1) do vi²ih lanova, redom, iz tzv. Paskalovog trougla za 2D, odnosno iz Paskalove piramide za 3D

91 Paskalova piramida -3D domen

92 MKE: osnovne relacije i interpolacija Da bi se odredili nepoznati koecijenti α i, odnosno izrazili preko vornih vrednosti osnovnih nepoznatih q i, u ovom slu aju komponenti vornih pomeranja u i, koriste i interpolaciju (21) pi²u se izrazi za vorna pomeranja u i u poznatim lokacijama vornih ta aka x i To moºe da se prikaºe relacijama u i = p T (x i ) α (i = 1, 2,..., n d ) (22) gde je u i vorna vrednost komponente pomeranja u u voru broj i sa koordinatama x i

93 MKE: osnovne relacije i interpolacija Svih n d jedna ina (22) mogu da se napi²u kao jedna matri na jedna ina u = P α (23) gde je u vektor sa komponentama vornih pomeranja u i, dok je α vektor sa nepoznatim konstantama: u = u 1 u 2. u nd α = α 1 α 2. α nd

94 MKE: osnovne relacije i interpolacija Matrica P u jedna ini (23) zove se momentna matrica i data je u obliku kvadratne matrice p 1 (x 1 ) p 2 (x 1 ) p nd (x 1 ) p 1 (x 2 ) p 2 (x 2 ) p nd (x 2 ) P =..... (24). p 1 (x nd ) p 2 (x nd ) p nd (x nd ) Ako su bazne funkcije (monomi ili polinomi) p i (x) mežusobno nezavisne regularnost matrice zavisi od rasporeda vorova u kona nom elementu

95 MKE: osnovne relacije i interpolacija Koecijenti α i dobijaju se re²avanjem matri ne jedna ine (23), uz uslov da postoji inverzna matrica P 1 : Unose i ovo u (21) dobija se α = P 1 u u(x) ū(x) = p T (x) P 1 u = N(x) u (25) gde je N(x) matrica interpolacionih funkcija: N = p T (x) P 1 = [ N 1 (x) N 2 (x) N nd (x) ] (26)

96 MKE: osnovne relacije i interpolacija Interpolaciona funkcija broj i, N i (x), koja se odnosi na vor i i na jednu komponentu pomeranja u tom voru (komponentu pomeranja u i kao ilustracija), data je, kao ²to se vidi, u obliku N i (x) = p T (x) P 1 i (27) gde je Pi 1 i-ta kolona matrice P 1 Izvodi interpolacionih funkcija po prostornim koordinatama x mogu lako da se odrede, jer se interpolacione funkcije izraºavaju preko polinoma

97 MKE: osnovne relacije i interpolacija m-ti izvod interpolacione funkcije N i (x) jednak je N (m) i (x) = [p (m) (x)] T Pi 1 (28) Kod kona nih elementata vektor pomeranja d = q moºe da ima vi²e komponentalnih pomeranja: - linijski (1D) elementi... d T = {u} ili d T = {v} - povr²inski (2D) elementi... d T = {u, v} - zapreminski (3D) elementi... d T = {u, v, w} Osim komponenata pomeranja, vorne nepoznate kona nog elementa mogu da budu i obrtanja

98 MKE: osnovne relacije i interpolacija Obrtanja su denisana kao odgovaraju i izvodi pomeranja, ali se posmatraju kao nezavisne promenljive veli ine, kao npr. u analizi grednih kona nih elemenata ili u analizi plo a Ako kona ni element (1D, 2D ili 3D) ima n d vornih ta aka, a u svakom voru ima n f komponentalnih pomeranja, odn. n f stepeni slobode, onda je broj stepeni slobode (dof) kona nog elementa jednak n dof = n d n f

99 MKE: osnovne relacije i interpolacija Vektor vornog pomeranja d i i vektor pomeranja (vektor generalisanih koordinata) za ceo kona ni element d el dati su kao d i = q i = q 1 q 2. q nf d el = q el = q 1 q 2. q nd (29)

100 MKE: osnovne relacije i interpolacija Ako kona ni element (1D, 2D ili 3D) ima n d vornih ta aka, vektor pomeranja proizvoljne ta ke unutar kona nog elementa prikazuje se preko interpolacionih funkcija i vektora komponentalnih vornih pomeranja d i u obliku n d d(x) = N i (x) d i = N d (30) i=1

101 MKE: osnovne relacije i interpolacija Interpolacione funkcije N i (x) za vor i u kome ima n f vornih nepoznatih, date su sa gde su N i (x) = N i (x) I nf (31) - N i (x)... interpolacione funkcije odrežene za jednu komponentu pomeranja u voru i - I nf... jedini na matrica reda n f Na elno, mogu e je da svaka komponenta pomeranja ima razli itu interpolacionu funkciju, ali se to (obi no, osim ako ne mora), ne radi, ve su interpolacione funkcije date kao N i (x) I nf

102 Prost ²tap sa dva vora Za kona ni element prostog ²tapa odrediti funkcije oblika

103 Prost ²tap sa dva vora Kona ni element je u 1D domenu, sa dve orne ta ke i sa po jednom komponentom pomeranja u voru Baznih funkcija ima dve i to su p 1 = 1 i p 2 = x, odnosno, u matri nom obliku p T (x) = { 1 x } Pomeranje u(x) na proizvoljnom mestu duº kona nog elementa prikazuje se u obliku (21), ²to je u ovom slu aju dato sa { } α0 u(x) = α 0 + x α 1 = { 1 x } (32) α 1

104 Prost ²tap sa dva vora Koordinate vornih ta aka 1 i 2 su date sa u 1 : x 1 = 0 u 2 : x 2 = l Ako se relacija (32) napi²e za vorne ta ke, dobija se { } α0 u 1 = { 1 0 } = α α 0 1 { } α0 u 2 = { 1 l } = α α 0 + l α 1 1 ili u matri nom obliku u = P α

105 Prost ²tap sa dva vora U razvijenom obliku u = P α postaje { } [ ] { u1 1 0 α0 = 1 l u 2 α 1 } Inverzna matrica momentne matrice P se dobija u obliku [ ] P = pa su konstante α date sa 1 l α = P 1 u 1 l

106 Prost ²tap sa dva vora Sa ovim, prikaz pomeranja u(x) dat sa (32) dobija se u obliku [ ] { } u(x) = p T (x)p u1 u = { 1 x } (33) Interpolacione funkcije date su sa (28): 1 l 1 l u 2 N i (x) = p T (x) P 1 i (34) odnosno, kao proizvod vektora baznih funkcija i odgovaraju eg vektora kolone inverzne momentne matrice P 1 i

107 Prost ²tap sa dva vora Dobijaju se interpolacione funkcije { } 1 N 1 (x) = { 1 x } 1 = 1 x l l } N 2 (x) = { 1 x } { 0 1 l = x l Sa ovim, interpolacija aksijalnog pomeranja duº kona nog elementa data je sa u(x) = [ N 1 (x) N 2 (x) ] { } u 1 u 2

108 Gredni kona ni element u ravni Za gredni kona ni element u ravni sa dve ta ke odrediti funkcije oblika

109 Gredni kona ni element u ravni Gredni kona ni element u ravni sa dve ta ke zahteva kontinuitet C 1, jer su u vornim ta kama nepoznate veli ine, osim transverzalnih pomeranja, jo² i obrtanja, odn. prvi izvodi pomeranja Homogena diferencijalna jedna ina savijanja ²tapa, izraºena preko pomeranja, data je sa Op²ti integral ove jedna ine je d 4 v(x) dx 4 = 0 v(x) = C 1 + C 2 x + C 3 x 2 + C 4 x 3

110 Gredni kona ni element u ravni Imaju i sve ovo u vidu, interpolacija transverzalnog pomeranja duº ose kona nog elementa usvaja se u obliku baznih funkcija do kubnog monoma: Prvi izvodi baznih funkcija su p T (x) = { 1 x x 2 x 3 } (35) [p (x)] T = { 0 1 2x 3x 2 } (36)

111 Gredni kona ni element u ravni Interpolacija transverzalnog pomeranja v(x) ta aka duº ose kona nog elementa prikazuju se u obliku v(x) = p T (x)α = { 1 x x 2 x 3 } α 0 α 1 α 2 α 3 (37) Diferenciranjem baznih funkcija po x prikazuje se interpolacija obrtanja ϕ(x) = dv dx

112 Gredni kona ni element u ravni Interpolacija obrtanja ϕ(x) duº ose kona nog elementa dobija se kao α 0 ϕ(x) = [p (x)] T α = { 0 1 2x 3x 2 α } 1 (38) α 2 α 3 Koriste i interpolaciju (37) i (38) mogu da se prikaºu pomeranja i obrtanja vornih ta aka u zavisnosti od nepoznatih konstanti α i

113 Gredni kona ni element u ravni Imaju i u vidu da je za vor 1 x = 0, dok je za vor 2 x = l, dobija se jedna ina v 1 ϕ 1 v 2 ϕ 2 = l l 2 l l 3l 2 α 0 α 1 α 2 α 3 (39) ili u matri nom obliku q = P α (40)

114 Gredni kona ni element u ravni Inverzna matrica momentne matrice P dobija se kao P 1 = l l 2 l 1 l l 3 l 2 l 3 l 2 (41) Prema tome, nepoznate konstante α izraºavaju se preko vornih nepoznatih α = P 1 q Unose i ovako izraºene konstante α u izraz za transverzalna pomeranja (37) dolazi se do interpolacionih funkcija

115 Gredni kona ni element u ravni Interpolacione funkcije date su kao proizvod vektora baznih funkcija i odgovaraju e kolone inverzne matrice P 1 i Interpolaciona funkcija N 1 (x) data je sa 1 N 1 (x) = { 1 x x 2 x 3 0 } N i (x) = p T (x) P 1 i (42) 3 l 2 2 l 3 = 1 3 x2 l 2 +2x3 l 3 (43)

116 Gredni kona ni element u ravni Interpolaciona funkcija N 2 (x) data je sa 0 N 2 (x) = { 1 x x 2 x 3 1 } 2 l 1 l 2 Interpolaciona funkcija N 3 (x) data je sa 0 N 3 (x) = { 1 x x 2 x 3 0 } 3 l 2 2 l 3 = 1 3 x2 l 2 + 2x3 l 3 (44) = 3 x2 l 2 2x3 l 3 (45)

117 Gredni kona ni element u ravni Interpolaciona funkcija N 4 (x) data je sa 0 N 4 (x) = { 1 x x 2 x 3 0 } 1 l 1 l 2 = x2 l + x3 l 2 (46) Transverzalna pomeranja duº ose kona nog elementa izraºavaju se preko vornih pomeranja i obrtanja: v(x) = [ N 1 (x) N 2 (x) N 3 (x) N 4 (x) ] v 1 ϕ 1 v 2 ϕ 2

118 Gredni kona ni element u ravni

119 MKE: osnovne relacije i interpolacija Kontinuitet interpolacionih funkcija U primeni MKE prva stvar je diskretizacija ra unskog domena na pod-domene, odn. na kona ne elemente Unutar svakog kona nog elementa usvaja se lokalna interpolacija nepoznatih veli ina posmatranog problema, koja se izraºava preko usvojenih interpolacionih funkcija i vornih vrednosti nepoznatih veli ina Cilj diskretizacije domena i samog numeri kog postupka u MKE je da se postigne ²to je bolje numeri ko re²enje problema

120 MKE: osnovne relacije i interpolacija Kontinuitet interpolacionih funkcija to bolje numeri ko re²enje zna i da se postigne konvergencija pribliºnog re²enja ka ta nom Kako je ta no re²enje, u principu, nepoznato, procena dobre konvergencije nije jednostavna Nastoji se da se formuli²u na elni zahtevi koji obezbežuju konvergenciju, koji se prvo (paºljivo) testiraju na poznatim re²enjima, pa se onda smatra da e takvi zahtevi da obezbede konvergenciju i za nepoznato re²enje

121 MKE: osnovne relacije i interpolacija Kontinuitet interpolacionih funkcija U MKE ta nost re²enja procenjuje se sa stanovi²ta konvergencije kada se mreºa kona nih elemenata pronjuje Postoje dva pristupa u pronjenju (pobolj²anju) mreºe kona nih elemenata: 1 pove anje gustine mreºe (lokalno ili globalno), uz zadrºavanje istog tipa kona nih elemenata 2 zadrºavanje iste gustine mreºe, ali usvajanje sloºenijih kona nih elemenata - uvoženje vi²e stepeni slobode u elemente

122 MKE: osnovne relacije i interpolacija Kontinuitet interpolacionih funkcija U prvom pristupu smanjuju se dimenzije kona nih elemenata, u celoj mreºi u domenu, ili samo na pojedinim delovima, gde je ve i gradijent promene promenljivih veli ina Smanjenjem dimenzija kona nih elemenata neminovno se pove ava ukupan broj kona nih elemenata za isti domen Pove anje gustine mreºe kona nih elemenata pove ava ukupan broj nepoznatih veli ina i javljaju se problemi u re²avanju velikog broja jedna ina, odn. problemi u baratanju sa velikim vektorima i matricama

123 MKE: osnovne relacije i interpolacija Kontinuitet interpolacionih funkcija U drugom pristupu dimenzije kona nih elemenata se ne menjaju, ali se pove ava stepen interpolacionih polinoma U slu aju usvajanja kompleksnijih kona nih elemenata, sa vi²e stepeni slobode, opet se pove ava ukupan broj nepoznatih (ali manje nego u prvom slu aju), ali je takože i numeri ka analiza i programiranje kompleksnije Oba pristupa imaju prednosti i mane, ali se, na elno, smatra da je ekasniji prvi pristup

124 MKE: osnovne relacije i interpolacija Kontinuitet interpolacionih funkcija U generalnom grani nom problemu, gde je osnovna nepoznata promenljiva problema prikazana unutar kona nog elementa preko interpolacije Φ(x, y, z) = N(x, y, z) q, za obezbeženje konvergencije prilikom pronjenja mreºe, interpolacione funkcije moraju da zadovolje dva uslova 1 uslove kompatibilnosti 2 uslove kompletnosti

125 MKE: osnovne relacije i interpolacija Kontinuitet interpolacionih funkcija Uslovi kompatibilnosti zna e da promenljiva problema i svi parcijalni izvodi sve do jednog reda manje od najve eg izvoda u integralnoj formulaciji problema moraju da budu kontinualni duº granica kona nog elementa Kod re²etkastih kona nih elemenata u Galerkinovoj formulaciji javljaju se prvi izvodi u integralnoj formulaciji Prema tome, za interpolacione funkcije treba da bude zadovoljen C 0 kontinuitet Kod grednih nosa a u integralnoj formulaciji se javljaju drugi izvodi pomeranja, pa interpolacione funkcije treba da budu C 1 kontinualne

126 MKE: osnovne relacije i interpolacija Kontinuitet interpolacionih funkcija Uslovi kompletnosti zna e da promenljiva problema i svi parcijalni izvodi sve do najve eg izvoda u integralnoj formulaciji problema moraju da budu u stanju da dobiju konstantnu vrednost i kada se dimenzije kona nih elemenata smanjuju do nule Uslovi kompletnosti zna e da polje pomeranja unutar kona nog elementa moºe da ima konstantnu vrednost i da omogu i prikazivanje pomeranja krutog tela Sli no, konstanantan prvi izvod, odn. konstantan nagib kod grednih kona nih elemenata omogu ava prikazivanje rotacije krutog tela

127 MKE: osnovne relacije i interpolacija Kontinuitet interpolacionih funkcija Interpolacione funkcije (funkcije oblika) N i denisane su lokalno unutar svakog kona nog elementa Kontinuitet raspodele nepoznatih obezbežen je unutar svakog kona nog elemenata Mežutim, raspodela nepoznatih izmežu elemenata ne mora da bude kontinualna Kontinuitet C m interpolacionih funkcija zna i da postoji kontinuitet izmežu elemenata sve do izvoda interpolacionih funkcija reda m (uklju uju i i m)

128 MKE: osnovne relacije i interpolacija Kontinuitet interpolacionih funkcija Prema tome, kontinuitet C 0 zna i da su samo vrednosti nepoznatih Φ(x) u vornim ta kama iste za sve kona ne elemente sa zajedni kim vorom Kontinuitet C 1 zna i da su ne samo nepoznate Φ(x), ve i odgovaraju i prvi izvodi nepoznatih Φ (x) u zajedni kom voru za sve elemente isti Za kontinuitet C 1 drugi izvodi Φ (x) nisu kontinualni izmežu elemenata

129 MKE: osnovne relacije i interpolacija Kontinuitet interpolacionih funkcija Kod kona nih elemenata za grede, plo e i ljuske traºi se kontinuitet C 1 u kome je obezbežen i kontinuitet nagiba izmežu elemenata To zna i da, npr. kod grednih kona nih elemenata, vrednosti M i T u zajedni kom voru za dva kona na elementa nisu iste, jer se M i T odrežuju preko drugog i tre eg izvoda ugiba Da bi bio ostvaren kontinuitet C m, neophodno je da osim funkcije Φ(x) i svi izvodi do d m Φ(x)/dx m budu uklju eni u vorne generalisane koordinate Kod grednih elementata vorne nepoznate su ugibi i nagibi, ime je obezbežen kontinuitet C 1

130 Kontinuitet interpolacionih funkcija Funkcija Φ 1 (x) je C 0 kontinualna, funkcija Φ 2 (x) je C 1 kontinualna

131 Sadrºaj 1 Napomene o predmetu Uvodne napomene Matemati ki (ra unski) modeli konstrukcija 2

132 Diskretizacija grani nog problema Posmatrani problem Primenjene mehanike (Mehanike vrstog tela) denisan je odgovaraju im grani nim problemom, ²to zna i da je poznato slede e: - domen denisanosti problema Ω i granica domena Γ - diferencijalne jedna ine problema u oblasti Ω: A(u) = 0 - zadati grani ni uslovi na konturi domena Γ: B(u) = 0 Domen denisanosti problema (1D, 2D ili 3D) prikazan je u Dekartovim koordinatama x i osnovna nepoznata veli ina je pomeranje ta aka vrstog tela u(x)

133 Diskretizacija grani nog problema MKE je numeri ka metoda u kojoj se domen denisanosti problema diskretizuje na pod-domene, odn. na kona ne elemente Svaki kona ni element ima izabrani broj vornih ta aka u kojima su nepoznate veli ine vorna pomeranja, odn. vorne generalisane koordinate Nepoznate veli ine problema (nepoznata pomeranja) prikazuju se unutar kona nog elementa u obliku u(x) = N(x) q (47)

134 Diskretizacija grani nog problema U jedna ini (47) sa N(x) ozna ena je matrica poznatih interpolacionih funkcija kona nog elementa, dok je q vektor nepoznatih vornih generalisanih koordinata posmatranog kona nog elementa Interpolacione funkcije su pogodno izabrane funkcije koje zadovoljavaju uslove kompletnosti i koje su poseduju kontinuitet do ºeljenog nivoa m Interpolacione funkcije denisane su lokalno, unutar posmatranog kona nog elementa, kao funkcije lokalnih koordinata denisanih u odnosu na kona ni element