TEMATICA petru proba de Matematică-Fizică di cadrul cocursului de admitere î Academia Tehică Militară sesiuea iulie 2015 A. MATEMATICĂ Coţiuturile programei de Matematică a cocursului de admitere di iulie 2015 Coţiuturi Algebră clasa a IX-a. 1. Mulţimi şi elemete de logică matematică. Mulţimea umerelor reale; Propoziţie, predicat, cuatificatori; Operaţii logice elemetare; Tipuri de raţioamete logice: iducţia matematică;probleme de umărare. 2. Fucţii. - Fucţii defiite pe mulţimea umerelor aturale N (şir). Modalităţi de a defii u şir; şiruri mărgiite, şiruri mootoe. Tipuri de şiruri: progresii aritmetice, progresii geometrice. - Fucţii; lecturi grafice. Reper cartezia, produs cartezia; Fucţia: defiiţie, exemple, modalitatea de a descrie o fucţie; egalitatea a două fucţii, imagiea şi preimagiea uei mulţimi pritr-o fucţie, graficul uei fucţii. Fucţii umerice, F = {f : D R, D R }; proprietăţi ale fucţiilor umerice itroduse pri lecturi grafice: reprezetarea geometrică a graficului, itersecţia cu axele de coordoate, rezolvări grafice de ecuaţii şi iecuaţii de forma f(x) = g(x) (, <, >, ), mărgiire, paritate, imparitate (simetria graficului faţă de axa Oy sau faţă de origie), simetria graficului faţă de drepte de forma x = m, m R, sau faţă de pucte oarecare di pla, periodicitate, mootoie; Compuerea fucţiilor; exemple cu fucţii umerice. - Fucţia de gradul I Defiiţie, itersecţia graficului cu axele de coordoate, ecuaţia f(x)=0, reprezetarea grafică a fucţiei f : R R, f(x)=ax+b, a,b R ; Iterpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale fucţiei: mootoia şi semul fucţiei. Studiul mootoiei pri semul difereţei f ( x1 ) f ( x2) (sau studierea f ( x1 ) f ( x2 ) raportului, x1, x2 R, x1 x2 ); x x 1 2 Iecuaţii de forma ax + b 0 (, <, >) studiate pe R sau pe itervale de umere reale; Poziţia relativă a două drepte, sisteme de tipul ax + by = c, a,b,c,m,,p R ; mx + y = p Sisteme de iecuaţii de gradul I - Fucţia de gradul al II-lea Reprezetarea grafică a fuctiei f : R R, f(x)=ax 2 +bx+c, a 0, a,b,c R, itersecţia graficului cu axele de coordoate, ecuaţia f(x) = 0, simetria faţă de drepte de forma x = m, m R ; 1 di 6
Coţiuturi Relaţiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de forma x + y = s, s,p R. xy = p - Iterpretarea geometrică a proprietăţilor algebrice ale fucţiei de gradul al II-lea Mootoie. Studiul mootoiei pri semul difereţei f ( x1 ) f ( x2), rata creşterii (descreşterii): f ( x1 ) f ( x2 ), x1, x2 R; ; x1 x2, puct de extrem, vârful parabolei; x x 1 2 Poziţia parabolei faţă de axa Ox, semul fucţiei, iecuaţii de forma ax 2 +bx+c 0 (<,,>) studiate pe R sau pe itervale de umere reale, iterpretare geometrică: imagii şi preimagii ale uor itervale (proiecţiile uor porţiui de parabolã pe axe); mx + = y Poziţia relativă a uei drepte faţă de o parabolă:, a,b,c,m, R ; 2 ax + bx + c = y 2 a1x + b1 x + c1 = y Rezolvarea sistemelor de forma, a 2 1, a2, b1, b2, c1, c2 R, a2x + b2 x + c2 = y iterpretare geometrică. - Elemete de trigoometrie Cercul trigoometric, defiirea fucţiilor trigoometrice π si, cos: [0, 2π ] [-1,1 ], tg: [0; π]\ 2 R ; Defiirea fuctiilor trigoometrice: si: R [-1,1 ]; cos: R [-1,1 ]; tg: R \D R π, ude D = + kπ / k Z 2 ; ctg: R \D R, ude D={ kπ / k Z} ; Formulele de reducere la primul cadra, formule trigoometrice: si (a+ b), si(a- b), cos(a+ b), cos(a- b), si2a, cos2a, sia + sib, sia - sib, cosa + cosb, cosa - cosb (trasformarea sumei î produs). Algebră clasa a X-a. 1. Mulţimi de umere. Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu expoet raţioal, iraţioal şi real ale uui umăr pozitiv, aproximări raţioale petru umere iraţioale sau reale; Radical ditr-u umăr raţioal, proprietăţi ale radicalilor; Noţiuea de logaritm, proprietăţi ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare; Mulţimea C. Numere complexe sub formă algebrică, cojugatul uui umăr complex, operaţii cu umere complexe. Iterpretarea geometrică a operaţiilor de aduare şi de scădere a umerelor complexe şi a îmulţirii acestora cu u umăr real; Rezolvarea î C a ecuaţiei de gradul al doilea cu coeficieţi reali. Ecuaţii bipătrate; Numere complexe sub formă trigoometrică (coordoate polare î pla), îmulţirea umerelor complexe şi iterpretare geometrică, ridicarea la putere (formula lui Moivre); Rădăciile de ordiul ale uui umăr complex. Ecuaţii biome. 2 di 6
Coţiuturi 2. Fucţii şi ecuaţii Fucţia putere: f : R D; f ( x) = x ; N ; 2 ; Fucţia radical: f : D R; f ( x) = x; N ; 2 ude D = [0, ) petru par şi D = R petru impar; x Fucţia expoeţialã f : R (0, ); f ( x) = a ; a (0, ); a 1şi fucţia logaritmică f : (0, ) R; f ( x) = log a x; a (0, ); a 1 creştere expoeţială şi creştere logaritmicã; Fucţii trigoometrice directe şi iverse. Ijectivitate, surjectivitate, bijectivitate; fucţii iversabile: defiiţie, proprietăţi grafice, codiţia ecesară şi suficietă ca o fucţie să fie iversabilă. Rezolvări de ecuaţii folosid proprietăţile fucţiilor: 1. Ecuaţii iraţioale care coţi radicali de ordiul 2 sau 3; 2. Ecuaţii expoeţiale, ecuaţii logaritmice; 3. Ecuaţii trigoometrice: si x = a, cos x = a, a [ 1,1]; tgx = a, ctgx = a, a R; si f ( x) = si g( x),cos f ( x) = cos g( x), tg f ( x) = tg g( x),ctg f ( x) = ctg g( x); a si x + b cos x = c ude a, b, c u sut simulta ule. Notă: Petru toate tipurile de fucţii se vor studia: itersecţia cu axele de coordoate, ecuaţia f(x)=0, reprezetarea grafică pri pucte, simetrie, lectura grafică a proprietăţilor algebrice ale fucţiilor: mootoie, bijectivitate, iversabilitate, sem, cocavitate/covexitate. 3. Metode de umărare. Permutări; arajamete; combiări. Biomul lui Newto. Elemete de calcul matriceal şi sisteme de ecuaţii liiare clasa a XI-a. 1. Permutări Noţiuea de permutare, operaţii, proprietăţi. Iversiui, semul uei permutări. 2. Matrice. Tabel de tip matricial. Matrice, mulţimi de matrice. Operaţii cu matrice: aduarea, îmulţirea, îmulţirea uei matrice cu u scalar, proprietăţi. 3. Determiaţi. Determiat de ordi cel mult = 4, proprietăţi. Aplicaţii: ecuaţia uei drepte determiate de două pucte disticte, aria uui triughi şi coliiaritatea a trei pucte î pla. 4. Sisteme de ecuaţii liiare. Matrice iversabile di M ( C ), 4. Iversa uei matrice. Ecuaţii matriceale. Sisteme liiare cu cel mult 4 ecuoscute, sisteme de tip Cramer, ragul uei matrice. Studiul compatibilităţii şi rezolvarea sistemelor: proprietatea Kroecker-Capelli, proprietatea Rouché, metoda Gauss. 3 di 6
Coţiuturi Elemete de aaliză matematică, clasa a XI-a 1. Limite de fucţii Noţiui elemetare despre mulţimi de pucte pe dreapta reală: itervale, mărgiire, veciătăţi, dreapta îcheiată, simbolurile + şi - ; Fucţii reale de variabilă reală: fucţia poliomială, fucţia raţioală, fucţia putere, fucţia radical, fucţia logaritm, fucţia expoeţială, fucţii trigoometrice directe şi iverse; Limita uui şir utilizâd veciătăţi, proprietăţi; Şiruri covergete: ituitiv, comportarea valorilor uei fucţii cu grafic cotiuu câd argumetul se apropie de o valoare dată, şiruri covergete, exemple semificative: a 1 ( a ), ( ), 1+, (fără demostraţie), operaţii cu şiruri covergete, covergeţa petru u 0 ; Limite de fucţii: iterpretarea grafică a limitei uei fucţii îtr-u puct utilizâd veciătăţi, calculul limitelor laterale; Calculul limitelor petru fucţiile studiate; cazuri exceptate la calculul limitelor de 0 0 0 fucţii:,,, 0,1,, 0. 0 Asimptotele graficului fucţiilor studiate: asimptote verticale, orizotale, oblice. şirurilor utilizâd proprietatea Weierstrass. Numărul e; limita şirului ( 1+ u ) 1 u 2. Cotiuitate. Iterpretarea grafică a cotiuităţii uei fucţii, studiul cotiuităţii î pucte de pe dreapta reală petru fucţiile studiate, operaţii cu fucţii cotiue; Semul uei fucţii cotiue pe u iterval de umere reale, proprietatea lui Darboux, studiul existeţei soluţiilor uor ecuaţii î R. 3. Derivabilitate. Tageta la o curbă, derivata uei fucţii îtr-u puct, fucţii derivabile, operaţii cu fucţii care admit derivată, calculul derivatelor de ordi I şi al II-lea petru fucţiile studiate; Fucţii derivabile pe u iterval: pucte de extrem ale uei fucţii, teorema lui Fermat, teorema Rolle, teorema Lagrage şi iterpretarea lor geometrică, coseciţe ale teoremei lui Lagrage: derivata uei fucţii îtr-u puct; Regulile lui l Hôspital; Rolul derivatei I î studiul fucţiilor: pucte de extrem, mootoia fucţiilor; Rolul derivatei a II-a î studiul fucţiilor: cocavitate, covexitate, pucte de iflexiue. 4. Reprezetarea grafică a fucţiilor. Rezolvarea grafică a ecuaţiilor, utilizarea reprezetării grafice a fucţiilor î determiarea umărului de soluţii ale uei ecuaţii; Reprezetarea grafică a fucţiilor; Reprezetarea grafică a coicelor (cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă). 4 di 6
Coţiuturi Elemete de algebră clasa a XII-a. 1. Legi de compoziţie 2. Grupuri. Defiiţie; Exemple: grupuri umerice, grupuri de trasformari geometrice, grupuri de matrice, grupul permutarilor de ordiul, grupul aditiv al claselor de resturi modulo ; Morfisme şi izomorfisme de grupuri; Grupuri fiite: tabla operatiei, ordiul uui elemet, aplicaţii î diverse domeii; Subgrup. 3. Iele. Defiiţie; Z, +,,iele de fuctii, matrice patratice. Exemple: ( ) 4. Corpuri. Defiitie; Exemple:(, +, ),(, +, ),(, +, ),( Z p, +, ) Q R C cu p umăr prim. Morfisme si izomorfisme de corpuri. Q, R, C, Z, Z p 5. Iele de polioame cu coeficieţi îtr-u corp comutativ (, cu p umăr prim). forma algebrică a uui poliom cu coeficieţi complecşi; gradul uui poliom, aduarea şi îmulţirea polioamelor; împartirea cu rest, descompuerea î factori ireductibili î ielul polioamelor; valoarea umerică a uui poliom; rădăcii, fucţia poliomială asociată uui poliom; ecuaţii poliomiale, teorema impărţirii cu rest, împărţirea cu X a ; divizibilitatea polioamelor, descompuerea î factori, teorema lui Bézout, formulele lui Viète; rădăciile polioamelor cu coeficieţi reali, raţioali, îtregi. Elemete de aaliză matematică clasa a XII-a. 1. Primitive. Primitive uzuale. Metode de calcul al primitivelor: itegrarea pri părţi,schimbarea de variabilă; Itegrarea fucţiilor raţioale şi a fucţiilor trigoometrice pri schimbare de variabilă. 2. Itegrala defiită. Calculul itegralei Riema petru fucţii cotiue cu ajutorul formulei Leibiz Newto; Itegrala Riema a fucţiilor mărgiite cu u umăr fiit de pucte de discotiuitate de speţa I; Proprietăţi ale itegralei defiite: liiaritate, mootoie, aditivitate î raport cu itervalul de itegrare; Metode de calcul al itegralelor defiite: itegrarea pri părţi, itegrarea pri schimbare de variabilă, descompuerea î fracţii simple. 3. Aplicaţii ale itegralei defiite: calculul ariilor cuprise ître două curbe; volumul corpurilor de rotaţie; calculul uor limite de şiruri folosid itegrala defiită. BIBLIOGRAFIE NOTĂ: Tematica petru exame este realizată î coformitate cu prevederile programei de Bacalaureat, petru disciplia Matematică, filiera teoretică profilul real, coform OMEN r. 5 di 6
4460 di 29.08.2014, art.3, ali1. Subiectele petru exameul de admitere se elaborează î coformitate cu prezeta tematică şi u vizează coţiutul uui maual aume. B. FIZICĂ B.1. Mecaică 1. PRINCIPII ŞI LEGI ÎN MECANICA CLASICĂ 1.1. Mişcare şi repaus 1.2. Pricipiul I al mecaicii 1.3. Pricipiul al II-lea al mecaicii 1.4. Pricipiul al III-lea al mecaicii 1.5. Legea lui Hooke. Tesiuea î fir 1.6. Legile frecării la aluecare 2. TEOREME DE VARIAŢIE ŞI LEGI DE CONSERVARE ÎN MECANICĂ 2.1. Lucrul mecaic. Puterea mecaică 2.2. Teorema variaţiei şi eergiei cietice a puctului material 2.3. Eergia poteţială gravitaţioală 2.4. Legea coservării eergiei mecaice 2.5. Teorema variaţiei impulsului 2.6. Legea coservării impulsului B.2. Elemete de termodiamică 1. Noţiui termodiamice de bază 2. Pricipiul 1 al termodiamicii 3. Aplicarea pricipiului 1 al termodiamicii la trasformările gazului ideal 4. Motoare termice 5. Pricipiul al II-lea al termodiamicii B.3. Producerea şi utilizarea curetului cotiuu 1. Curetul electric 2. Legea lui Ohm 3. Legile lui Kirchhoff 4. Gruparea rezistoarelor şi geeratoarelor electrice 5. Eergia şi puterea electrică BIBLIOGRAFIE NOTĂ: Tematica petru exame este realizată î coformitate cu prevederile programei de Bacalaureat, petru disciplia Fizică, filiera teoretică profilul real, publicată î Aexa r. 2 la OMECTS r. 5610 di 31.08.2012, fiid valabilă şi petru sesiuea di 2015, coform art.3, ali.3 di OMEN r. 4460 di 29.08.2014. Subiectele petru exameul de admitere se elaborează î coformitate cu prezeta tematică şi u vizează coţiutul uui maual aume. 6 di 6