Metoda ajmajh kvadrata Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) MNK smo već uvel u proučavaju leare korelacje; gdje smo tražl da suma kvadrata odstupaja ekspermetalh točaka od pravca koj h a ajbolj ač opsuje bude mmala: Točka: (x, yj) Pravac: y = ax + b Teorjsk yj: yj = ax +b S = f ( j y j ax b) = m, j Poekad am u pokusu je od teresa gruprat podatke u razrede sl., pa možemo svaku točku (x, yj) gledat zasebo, tj fj = 1, za svak, j. Ukolko se ek par (x, yj) poov, jedostavo ga ubrojmo kao ovu točku. y j y( x ) Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) Taj je prstup u zaost vrlo čest, aročto ako radmo s relatvo malm brojem parova. Dakle, stvar se pojedostavljuje: S = y y( x ) = y ax b =1 [ ] = m Kao prje, rješavamo: S a = 0; S b = 0 Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) Rješeja su: a = x y x y =1 =1 x x =1 =1 =1, b = x y x x y =1 =1 =1 =1 x x =1 =1 Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) Jaso, možemo psat (kao raje): a = σ xy σ x b = y σ xy σ x x Suma kvadrata odstupaja: S = σ ( y 1 r ) Često a b (aročto a) maju fzkalo začeje. Gore zraže a b su ajvjerojatje vrjedost agba odsječka pravca. Uz pretpostavku gausjaskog odstupaja (y - ax - b) to su sredje vrjedost. Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) Prmjer: aalza jedolkog gbaja po pravcu x( t) = v 0 t + x 0 a b Dakle, ako je a = σ xy σ x, b = y ax zama as epouzdaost koefcjeata, kako bsmo u potpuost zračual aše rezultate. Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) Bez zvoda: - sredja pogreška (pogreška jedog mjereja) daa je zrazom: m = ( y y( x )) = [ y ax b] Itutv dokaz : m S što veća suma kvadrata odstupaja to veća pogreška m 1 ( ) - m ako je =, jer za pravac kroz dvje točke e možemo zat pogrešku - s druge strae, m 1/(broj događaja) Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) Doslovo raspsvaje m vod do komplcrae formule, pa možemo stvar pojedostavt: Prema tome je: ( y ( ax + b) ) = y + ax + b = y + ax + b ( ) ( ax + b) ( ( ) ( ax + b)y ) = y y y ax + b y { ( )} m = 1 = 1 { y ax y by } = { y ax y ( y ax )y } Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) m = 1 = 1 = 1 ( ) y y y a x y x y y 1 y y y a x y 1 x a x y x = y = y Iz zraza za a: x y x y = a x x Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) 1 m = y ( ) y = { σ y a σ } x a x x = No, as ajvše zama epouzdaost. Ovaj put e možemo korstt zraz M = m već je stvar malo komplcraja. Vrjed: M ( C 1 x 1 + C x +...C x ) = C 1 M ( x ) 1 + C M ( x ) +...+ C M ( x ) Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) Iskorstmo to, apsavš a malo drugačje: a = M a = ( x x ) x x ( x x ) x x y M ( y ) Pretpostavka: sve M (y) su međusobo jedake te vrjedost m (pogreška jedog mjereja) Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) M a = m x x x x ( ) x x ( ) = x x = x x = 1 x x M a = m x x Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) Stoga je: M a = 1 y y x x a = = 1 σ y σ a x Nepouzdaost za b (bez zvoda): M b = M a x Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) Općet slučaj poloma: Prstupom metode ajmajh kvadrata moguće je ać koefcjete poloma prozvoljog stupja, z jedadžb: S α = 0, gdje je y x ( ) = α x Oprez! Općeta formula za polom k-tog stupja mora se korstt uz sve α 0! Prmjer: y = ax Stavmo b = 0 u y = ax to mplcra b = x y x x y =1 =1 =1 =1 x x =1 =1 ( ) x y x x y = 0 zašto b to ustu blo tako? Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) Puo je lakše sgurje učt ovo: a a = x ( ) y ax x y = ( y ax ) = 0 Taj rezultat može se dobt uvrštavajem ( ) u zraz za a, o učmo l to, radmo koceptualu pogrešku a = x y x y =1 =1 =1 x x =1 =1 Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) Prmjer poloma: y = α 0 + α 1 x + α x α 0 + α 1 x + α x = y α 0 x + α 1 x 3 + α x = x y α 0 x + α 1 x 3 + α 4 x = x y Općeto, za polom s k koefcjeata moramo rješt sustav od k jedadžb s k epozaca Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) Pregled slučajeva koj se daju rješt MNK (1) polom tpa, gdje je k za broj y x ( ) = ax k + b Supsttucja: ξ = x k y(ξ) = a ξ + b Grafčk prkaz: Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) () Iverz polom, pr. y = 1 ( ax + b) Supsttucja: η = 1/y η(x) = a x + b Grafčk prkaz: Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) ( ) Povezvaje (1) (): pr. y = 1 ax 4 + b η = 1/y ξ = x 4, a grafčk prkaz je: rješava se supsttucjom η = aξ + b Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) (3) potecjska fukcja y = ax b, b je epozato y = ax b / log 10 l log 10 y = loga + blog x l y = la + bl x Y = log 10 y l y ; X = log 10 x l x ; A = log 10 a la Y=A+bX b = b ± M b - e ovs o zboru log10 l l - MA je trvjalo ać, al b ajčešće ma fzkalo začeje Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) - grafčk prkaz: LOG-LOG plot dekada l-l plot je u praks rjeđ Vrlo važa ač prkazvaja rezultata. Omogućava prkaz vrjedost koje se protežu kroz ekolko redova velča. Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) (3) ekspoecjala fukcja y = a e bx l y = la + bx log 10 y = log 10 a + b l10 x Y = A + BX Y A B -grafčk prkaz: LIN-LOG plot Moday, May 30, 011
Metoda ajmajh kvadrata (MNK) - razlčtm kombacjama opsah slučajeva može se rješt velk broj fukcja - općeto se pr prkazu rezultata treba što vše oslajat a pravac - pr. y = ax 3 je puo bolje aalzrat crtajem y vs. x 3 ego l y vs. x jaso se vd leže l točke dobro uz pravac l e procjea slagaja je epouzdaja Moday, May 30, 011