Glava 7 LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Predavom igala u frekvecijkom domeu korišćejem Furijove raformacije zao e olakšava aaliza i obrada koiualih igala. Međuim, područje primjee Furijeove raformacije je ograičeo a igale koji zadovoljavaju ulove za jeu egzieciju. Oim oga, da bimo Furijeovu raformaciju koriili za obradu igala eophodo je pozavaje igala i impulog odziva iema u vakom reuku vremea, jer u graice defiicioih iegrala kovolucije i Furijeove raformacije i. Furijeova raformacija e e može direko koriii za ražeje odziva koji uključuju prelaze procee u lučajevima kad je pozao amo počeo aje iema, impuli odziv i ekiacija od reuka pomaraja. Međuim, ako dovoljo dugo vremea, kada e završe prelazi procei, poaje evažo kakav je oblik igala bio prije počeka pomaraja, e je Furijeova raformacija pogoda ala za aalizu i obradu igala u ualjeom aju. Zbog avedeih edoaaka ukazala e poreba za uvođejem Laplaove raformacije (Pierre- Simo Laplace, 749-87), koja proširuje klau igala za koju raformacija kovergira. Uvođeje uilaerale Laplaove raformacije zao olakšava određivaje odziva LTI iema, jer omogućava direko određivaje kompleog odziva, uključujući i prelazi proce i ualjeo aje.
GLAVA 7 7. Bilaerala Laplaova raformacija Prepoavimo da možejem igala x ekpoecijalom fukcijom oblika e σ, σ možemo oigurai kovergeciju Furijeovog iegrala i u lučajevima kada igal x ije apoluo iegrabila i kada ije moguće proaći jegovu Furijeovu raformaciju. Tada egziira Furijeova raformacija pomoćog igala: xe σ v koji jee apoluo iegrabila: =, (7.) σ σ v d = x e d = x e d <. (7.) Ozačimo Furijeovu raformaciju igala v a: Tada je: V { } v( ) Ω =F. (7.3) σ jω σ jω ( σ + jω) ( Ω ) = = =. (7.4) V x e e d x e e d x e d Kompleka varijabla: = σ + jω, ( 7.5) koja e pojavljuje u Furijeovom iegralu pomoće fukcije v, ima prirodu kompleke učeaoi. Reali dio kompleke učeaoi σ = Re{ } može da poprimi bilo koju vrijedo koja oigurava apoluu iegrabilo pomoćog igala v. Zbog oga je opravdao koau σ zamijeii promjeljivom σ. Uvođejem promjeljive: = σ + jω (7.6)
Laplaova raformacija u (7.4), dobijamo ovu fukciju kompleke učeaoi : X x e d =, (7.7) koja e aziva Laplaova raformacija (Laplace Traform LT) igala x. U uporebi je ljedeći ači ozačavaja Laplaove raformacije: Vrijedi da je: odoo: { } x( ) X { } = L. (7.8) { } { } L x = F v = F xe σ, (7.9), X = V Ω = σ + jω, (7.) u oblai kovergecije Laplaove raformacije. U izrazu za Laplaovu raformaciju (7.7) e gubi iformacija o pomoćom igalu v. Laplaova raformacija je fukcija kompleke učeaoi. Pri ome moramo vodii račua o kupu vrijedoi σ za koje je oiguraa kovergecija iegrala (7.7). Dio kompleke ravi za koji vrijedi da σ = Re{ } oigurava apoluu iegrabilo pomoćog igala v i egzieciju jegove Furijeove raformacije, a ime i egzieciju Laplaove raformacije igala x, e aziva obla kovergecije Laplaove raformacije. Iverza Furijeova raformacija pomoćog igala v je daa a: σ jω v = xe = V e d π Ω Ω. (7.) Iz ovoga je moguće doći do izraza za iverzu Laplaovu raformaciju. Pomožimo prehodu jedako a e σ : 3
GLAVA 7 ( σ + jω ) x = V e d π Ω Ω, (7.) pa uvedimo mjeu = σ + jω, vodeći račua da je u oblai kovergecije V Ω = X. Tako dolazimo do izraza za iverzu Laplaovu raformaciju: σ + j = X ed π j, (7.3) x σ j pri čemu e iegracija vrši po liijkom egmeu σ j do σ + j koji e alazi u oblai kovergecije Laplaove raformacije. Za iverzu Laplaovu raformaciju koriimo ozaku: X( ) x = L. (7.4) { } Dakle, Laplaov raformacioi par je da a: X x e d =, (7.5) σ + j = X ed π j. (7.6) x σ j Laplaov raformacioi par čeo ozačavamo a: X( ) x. (7.7) Budući da u kod direke raformacije graice iegrala od do, ovako defiiau Laplaovu raformaciju azivamo bilaerala Laplaova raformacija, za razliku od uilaerale Laplaove raformacije, koju ćemo uvei ešo kaije i koja je defiiaa iegralom čije u graice od do. Laplaova raformacija egziira ako vrijedi da je: X x e d = <. (7.8) 4
Laplaova raformacija Kako je apolua vrijedo zbira maja ili jedaka zbiru apoluih vrijedoi, i e = e σ > (jer je j e Ω = ), iegral Laplaove raformacije apoluo kovergira ako je: σ x e d <. (7.9) Dovolja ulov za o je da je igal x ograiče, odoo da pooji poziiva broj M akav da za eke koae α, β vrijedi: α Me, > x, M> β. (7.) Me, < Tada zbog ograičeoi igala možemo piai: σ βσ ( ασ) x e d Me d+ Me d= = M e + e β σ α σ ( βσ) ( ασ). (7.) Prvi iegral kovergira ako je σ < β, jer je ada za < ekpoe egaiva i e β σ eži ka uli kada. Sličo, za > drugi iegral kovergira za σ > α. Prema ome, obla kovergecije Laplaove raformacije u opšem α < Re < β, kao a Slici 7.. Va oblai lučaju je rakaa obla u ravi { } kovergecije Laplaova raformacija X ( ) može poprimii bekoačo veliku vrijedo. Vrijedoi kompleke učeaoi za koje je Laplaova raformacija bekoačo velika azivaju e polovima, dok e vrijedoi kompleke učeaoi za koje je Laplaova raformacija jedaka uli azivaju ulama X ( ). Uobičajeo je da e polovi grafički prikazuju a zakom " ", dok e ule ozačavaju a kružićem " ". Laplaov raformacioi par x X( ) Prepoavimo da je x X ( ) i x X ( ). Ako je x x ije jediveo određe. = iz jedozačoi iegrala kojim je defiiaa Laplaova raformacija, lijedi da 5
GLAVA 7 jω -rava α β σ Slika 7. Obla kovergecije Laplaove raformacije. je X ( ) X ( ) =. S druge rae, vrijedoi Laplaovog iegrala za igale koji e razlikuju amo u koačom broju dikreih ačaka u jedake, jer a jegovu vrijedo e uiče koača broj vrijedoi igala u izolovaim ačkama. To zači da iz X ( ) = X ( ) e lijedi jedako x x =. Ipak, za fizički ovarljive igale koji emaju izolovae igulariee, Laplaov raformacioi par je jediveo određe. Prilikom određivaja iverze Laplaove raformacije, zbog koiualoi kompleke ekpoecijale fukcije e, vrijedi da je: σ + j σ+ j + x( ) + x( + ) = X( ) e d X( ) e d π j + = π j σj σ + j σj = X( ) e d= x( ), π j σ j (7.) ako da e u vakoj ački vremea, pa i u ačkama dikoiuiea, rekoruiše vrijedo koja je jedaka: 6 + x x+. (7.3)
Laplaova raformacija 7. Uilaerala Laplaova raformacija Kada o igalu x emamo dovoljo iformacija prije ekog reuka kada počije jegovo pomaraje, korio je defiiai jedorau, odoo uilaeralu Laplaovu raformaciju: + { x } = X+ ( ) = xe d L. (7.4) Obla kovergecije ovako defiiae Laplaove raformacije je uvijek Re > α, α, dok e vi polovi X + alaze lijevo od oblai kovergecije. dei dio kompleke ravi određe a { } fukcije Bilaerala Laplaova raformacija kauzalog igala x+, koji je za < jedak uli, a za pomaraom igalu x: x + x, =, (7.5), < jedaka je uilaeraloj Laplaovoj raformaciji igala x: { } { } L x = x e d = x e d = L x = X. (7.6) + + + + Zbog oga e račuaje iverze uilaerale Laplaove raformacije od X ( ) vodi a račuaje iverze bilaerale Laplaove raformacije i zadržavaje amo dijela igala za : + odoo: x = L { X },, (7.7) + + σ + j x+ = X+ ( ) e d, π j. (7.8) σ j Iz koeka je uvijek pozao da li e korii bilaerala ili uilaerala Laplaova raformacija. Soga ije uobičajeo, ii ima porebe za uvođejem 7
GLAVA 7 različiih ozaka kako bimo apravili razliku između bilaerale i uilaerale Laplaove raformacije, e ćemo i mi u daljem izlagaju izoavljai idek "+", i u oba lučaja koriii ozake uvedee kod bilaerale Laplaove raformacije. Prilikom primjee Laplaove raformacije za ražeje odziva iema, ije moguće koriii bilaeralu Laplaovu raformaciju jer e pozajemo ii pobudu ii aje iema (oim počeih ulova) prije počeog reuka pomaraja, e e korii uilaerala Laplaova raformacija. U lierauri e uilaerala Laplaova raformacija defiiše a različie ačie, korieći za doju graicu iegrala, ili +. Bilo koja od avedeih defiicija je dobra, ako e koreko korii. Međuim, od avedeih uilaeralih Laplaovih raformacija ajjedoavije je koriii defiicioi izraz a graicom, jer u a aj ači direko uključei i počei ulovi koji e običo zadaju u reuku, i ije ih porebo određivai u reuku ili + drugim meodama. 7.3 Iverza Laplaova raformacija Iverzu Laplaovu raformaciju dau iegralom (7.3) možemo apiai preko kourog iegrala a ljedeći ači. Pomarajmo iegral po zavoreoj kouri C u komplekoj ravi orijeiaoj uproo kreaju kazaljke a au i prikazaoj a Slici 7.. Ovaj iegral e može ikazai kao uma iegrala po pravoliijkom egmeu AB i polukružom dijelu koure Γ: σ + jr X( ) e d X( ) e d X( ) e d π j = π j +. (7.9) C σ jr Γ Poluprečik polukružog dijela je R, a koordiae ačaka A i B u σ ± jr, pri čemu pravoliijki egme AB pripada oblai kovergecije Laplaove raformacije. 8
Laplaova raformacija jω B -rava C α σ σ Γ R A Slika 7. Koura iegracije pri određivaju iverze Laplaove raformacije za >. Za >, kada poluprečik R, iegral po polukružom dijelu Γ eži ka uli, a iegral po pravoliijkom egmeu poaje jedak iverzoj Laplaovoj raformaciji, e je iverza Laplaova raformacija za > daa a: x = X( ed ), π j >. (7.3) C Kako bimo odredili vrijedo iverze Laplaove raformacije za <, kouru iegracije biramo u mjeru kreaja kazaljke a au, kao a Slici 7.3 i a liča ači zaključujemo da je: = X ed, π j <. (7.3) x C Kada radimo a uilaeralom Laplaovom raformacijom dovoljo je račuai amo (7.3). 9
GLAVA 7 jω B -rava C σ β σ R Γ A Slika 7.3 Koura iegracije pri određivaju iverze Laplaove raformacije za <. 7.4 Laplaove raformacije elemearih igala Pozavaje Laplaovih raformacija elemearih igala uz pozavaje oobia Laplaove raformacije olakšava jeu primjeu. Za počeak odredimo Laplaove raformacije igala aalih kombiovajem ekpoecijale i Heviajdove fukcije. Laplaova raformacija kauzalog igala: e α u, x = α, (7.3) koji je za lučaj da je α realo i α <, prikaza a Slici 7.4(a), je: α α =, σ > Re ( α). α ( a) ( α ) e X = e u e d = e e d = e d = α (7.33)
Laplaova raformacija Evideo je da je kovergecija obezbijeđea za σ Re( α) >, e je obla kovergecije Laplaove raformacije ovog igala dei dio kompleke ravi ograiče pravom σ = Re( α) koja je paralela a imagiarom oom. Obla kovergecije za lučaj da je α realo i α < je prikazaa a Slici 7.4(b). Laplaova raformacija aikauzalog igala: β, x = e u β, (7.34) koji je za lučaj da je β realo i β > prikaza a Slici 7.5(a) je: β β ( β ) ( β ) e X = e u e d = e e d = e d = β =, σ < Re ( β). β (7.35) Obla kovergecije Laplaove raformacije ovog igala prikazaa a Slici 7.5(b) je, za lučaj da je β realo i β >, lijevi dio kompleke ravi u σ < Re β. kome je α Sličo, Laplaova raformacija igala e u( ) je, σ < Re ( α). α α Raije mo proašli da je Laplaova raformacija igala e u jedaka, σ > Re( α ). Primjeimo da u aaliički izrazi Laplaovih raformacija α α α igala e u i e u( ) jedaki, ali e razlikuju jihove oblai kovergecije. Dakle, kako bimo očuvali jedozačo prelikavaja eophodo je vodii račua e amo o aaliičkom izrazu, već i o oblai kovergecije Laplaove raformacije, jer oa određuje položaj koure po kojoj e iegrali pri određivaju iverze Laplaove raformacije.
GLAVAA 7 (a) jω σ (b) Slika 7.4 (a) Kauzali igal i (b) obla kovergecije jegovee Laplaove raformacije. Laplaova raformacijaa igala: x( = e ββ α u ( ) + e u ( ), αβα, β (7.36) koji je za lučaj da d u α i β reali, ee α < i β >, prikaza a Slicii 7. 6(a) je: ( ) X = e β α u ( ) ) + e u ( ) e d = +, β α Re( α ) < σ < Re( ( β ). (7.37)
Laplaovaa raformacija (a) jωω σ (b) Slikaa 7. 5 (a) Aikauzali igal i (b) obla kok vergecije jegove Laplaovee raformacije. OblaO a kovergecije Laplaove raformacije ovog igala, za lučaj da u α i β reali, e α < i β >, prikazaa je a Slici 7.6( (b) i predp davlja dio kompleke ravi u komee je Ree ( α ) < σ < Re( β ). 3
GLAVAA 7 (a) jω -rava α β σ (b) Slikaa 7. 6 (a) Sigal i (b) obla kovergecijee jegove Laplaove ra formacije.. Izz ovih primjera vidimo da je obla kovergecije Laplaove raformacije ekauzalog ig alaa (koji je različi od ulee i za z > i zaa < ), rakaa obla u komplekoj ravi, dokk jee obla kovergecije kauzalog igala dea polurava, a aikauzalogg lijeva polurava komplekee ravi. Graice oblai kovergecije u prave određee realimm dijelovimaa polova Laplaove raformacije. 4
Laplaova raformacija Laplaova raformacija Heviajdove fukcije: u x α koja e može pomarai i kao pecijala lučaj e u =, (7.38) za α =, je: X u e d e d, dok je Laplaova raformacija reflekovae Heviajdove fukcije: = = = σ >, (7.39) jedaka: x = u( ) (7.4), = ( ) = = σ <. (7.4) X u e d e d Heviajdova i reflekovaa Heviajdova fukcija, kao i oblai kovergecije jihovih Laplaovih raformacija, prikazae u a Slici 7.7. Laplaova raformacija Dirakove fukcije: je jedaka: δ x = (7.4) = δ = δ = δ =, σ. (7.43) X e d e d d Pri ome mo koriili vojvo odabiraja Dirakove fukcije po kome je proizvod Dirakove fukcije i bilo kog igala x različi od ule amo u reuku = i jedak Dirakovoj fukciji čija jačia udara ima vrijedo x(, ) kao i čijeicu da je površia Dirakovog impula jedaka jediici. Obla kovergecije Laplaove raformacije Dirakove fukcije je cijela rava. 5
GLAVAA 7 (a) jωω σ (b) Slika 7.77 (a) Heviajdovaa fukcija; (b) obla kovergecije Laplaove raformacije Heviajdove fukcije (aavak a ljedećojj raici) ; Laplaovu raformacijuu fukcija odrediii aa ljedeći ači: ( Ω ) co Ω ( ) u i i ( Ω ) u ( ) možemo L { {co Ω ( Ω ) ) u( )} j = L { e Ω = jω u )} ( + L + jωj {ee = jω u( +ΩΩ ( )} =, σ >, (7.44) 6
Laplaovaa raformacija (c) jωω σ (d) Slikaa 7. 7 (aavak): (c) reflekovaa Heviajdova fukcija; (d)) obla kovergecijee Laplaove raformacije reflekovae Hev viajdove fukcije. L { i (Ω Ω ) jω u ( )} = L { e jω u ( )} L {e u ( = j j Ω = =, σ >. j j Ω j j Ω + Ω OblaO a kovergecijee Laplaovee raformacije kauzalogg ig alaa koji dobije možejemm koiuoide ili iuoide a Heviajdovom fukcijom dea polurava kompleke ravi. )} (7.45) e je 7
GLAVA 7 7.5 Oobie Laplaove raformacije Zbog većeg prakičog začaja, zadržaćemo e a oobiama uilaerale Laplaove raformacije, a oovu kojih e dolazi do pravila koja pojedoavljuju jeu primjeu. 7.5. Liearo Laplaova raformacija lieare kombiacije igala jedaka je liearoj kombiaciji jihovih Laplaovih raformacija u prejeku oblai kovergecija. Ako pooje raformacioi parovi x X( ),Re{ } > α i x X, Re > α, ada je: { } + +,,, Re{ } > max {, } ax bx ax bx a b α α. (7.46) Dokaz: Laplaova raformacija je defiiaa iegralom, pa zbog liearoi operaora direko lijedi: L + = + = { } ax bx ax bx e = a x e + b x e = = ax + bx. (7.47) Pri ome oba igala moraju ipujavai ulov apolue iegrabiloi. Ako u oblai kovergecije jihovih Laplaovih raformacija X ( ) i X ( ) dae a Re{ } > α i Re{ } > α repekivo, ada je obla kovergecije Laplaove raformacije lieare kombiacije igala jedaka Re > max α, α. { } { } 8
Laplaova raformacija 7.5. Pomak u vremekom domeu Pomjeraje kauzalog igala u vremeu za > dovodi do možeja Laplaove raformacije a komplekom ekpoecijalom fukcijom e. x X,Re > α, ada je: Ako za kauzala igal vrijedi da je { } { } { } x e X,Re > max, α. (7.48) Dokaz: Laplaovu raformaciju kauzalog igala pomjereog u vremeu za > dobijamo a oovu defiicioog izraza: L τ x x e d x e e d = τ { ( ) } ( ) ( τ) = = τ = = e x e d+ x e d = e X. (7.49 ) U poledjem izrazu je iegral koji e račua od do jedak uli zbog prepoavljee kauzaloi igala. Laplaova raformacija igala pomjereog u vremeu kovergira u oom dijelu kompleke ravi u kom kovergiraju e i X ( ), j. za Re > max, α. { } { } 7.5.3 Pomak u domeu kompleke učeaoi Možeje igala u vremeu a komplekom ekpoecijalom fukcijom e ima za poljedicu pomjeraje u komplekoj ravi za. Ako je x X Re > α, ada vrijedi da je:, { },Re{} α Re{ } x e X > +. (7.5) 9
GLAVA 7 Dokaz: Poražimo Laplaovu raformaciju od x e : ( ) x e x e e d x e d { } = = ( τ) L τ. (7.5) Ii rezula ćemo dobii ako u defiicioom izrazu za Laplaovu raformaciju zamijeimo a, šo zači da je: { x e } = X ( ) F. (7.5) Ulov apolue kovergecije je Re{ } α Re{ } α Re{ } > > +. 7.5.4 Skaliraje Proširivaje ili užavaje (jedom riječju kaliraje) igala u jedom domeu dovodi do užavaja odoo proširivaja igala u drugom domeu. Ako x X,Re > α, ada za a > vrijedi: pooji raformacioi par { } x( a) X,Re{} > a α. (7.53) a a Dokaz: Na oovu defiicioog izraza za Laplaovu raformaciju imamo: L τ a x a = x a e d = x e dτ = a { } ( τ) a τ a τ a = x( τ) e dτ X. a = a a a (7.54) 3
Laplaova raformacija Ulov apolue kovergecije Laplaove raformacije kaliraog igala je Re > α, odoo Re{ } > a α a Prepoavili mo da je a >, jer za a <, oim kaliraja, dolazi i do reflekije igala, e bimo pri radu a uilaeralom raformacijom morali da račuamo iegral i po dijelu igala koji e pozajemo. 7.5.5 Kovolucija u vremekom domeu Ako za kauzale igale pooje raformacioi parovi x X( ) Re{ } > α i x X( ),Re{ } α, >, ada kovoluciji igala u vremekom domeu odgovara možeje u komplekoj ravi:,re{} max {, } x x X X > α α. (7.55) Dokaz: Prilikom račuaja kovolucije kauzalih igala podrazumijevamo da obuhvaamo i Dirakove impule u uli koji e eveualo pojavljuju u igalima. Kako bimo o aglaili, korekije je piai kovolucioi iegral kauzalih igala a dojom graicom, umjeo. Laplaova raformacija kovolucije dva kauzala igala je: L x x x x e d x τ x τ dτe d { } = = ( ) Nako zamjee redolijeda iegraljeja:. (7.56) L { x x } = x( τ) x( τ) e d dτ (7.57) i mjee varijabli θ = τ : 3
GLAVA 7 L θ τ { x x } = x( τ) x( θ) e dθe dτ, (7.58) e koačo dobijamo: L { x x } x e θ τ = θ dθ x( τ) e dτ= X( ) X( ). (7.59) Laplaova raformacija kovergira u oom dijelu kompleke ravi gdje kovergiraju Laplaove raformacije pojediačih igala. 7.5.6 Kovolucija u domeu kompleke učeaoi Ako pooje raformacioi parovi,re{} x X( ), Re{ } α x X > α i >, ada možeju igala u vremekom domeu odgovara kovolucija u komplekoj ravi: x x X( ) X( ) π j. (7.6) Obla kovergecije Laplaove raformacije proizvoda dva igala e dobije α Re z Re α α < Re z > Re α. iz ulova da je < { } > { }, ili { } { } Dokaz: Kovoluciju u komplekoj ravi defiišemo a: σ+ j σ+ j = ( ) = ( ), (7.6) X X X z X z dz X z X z dz σj σj pri čemu je z promjeljiva iegracije. Iverza Laplaova raformacija (7.6) je: 3
Laplaova raformacija L σ + j X( ) X( ) = X( ) X( ) e d π j π j = π j σ j σ+ j σ+ j = X( z) X( z) dz e d. π j σjσ j (7.6) Iz ulova za oblai kovergecije Laplaovih raformacija X ( ) i lijedi da je u (7.6) Re{ z} > α i Re{ z} α α < Re{ z} < Re{ } α. Nako zamjee redolijeda iegraljeja: X, >, odoo σ+ j σ+ j L X( ) X( ) = X( z) X( z) e d dz π j π j (7.63) σj σj i mjee varijabli q= z: σ+ j σ+ j q z L X( ) X( ) = X( z) X( q) e dq e dz π j π j, (7.64) σj σ j dobijamo: L σ+ j σ+ j q z X( ) X( ) = X( q) e dq X( z) e dz π j π j π j, (7.65) σj σj = L X X x x. (7.66) π j Sličo e dokazuje i za drugi oblik kovolucije u komplekoj ravi. 7.5.7 Deriviraje u vremekom domeu Prepoavimo da igal x ema prekida za i da pooji x X,Re > α. Tada je: raformacioi par { } 33
GLAVA 7 dx d x( ) d x dok za derivaciju -og reda Dx = vrijedi: d d x X, (7.67) ( ) ( ) ( ) ( ) X x Dx D x D x. (7.68) d Ako igal x ima prekid u ački = i ako a oovu jega formiramo koiuala igal x akav da je: kao a Slici 7.8, ada je: ( + ) x > x = x = x + x x < dx d + ( ) X x + x x e, (7.69) +. (7.7) Za igal x koji ima amo prekid u uli vrijedi jedako kao za igale koji emaju prekida: dx d x( ) X. (7.7) Obla kovergecije može da e promijei u milu uključivaja ili iključivaja ačaka u uli i/ili bekoačoi. Dokaz: dx Laplaovu raformaciju prvog izvoda eprekidog igala Dx = d možemo odredii korieći parcijalu iegraciju: L dx { Dx } = e d= xe + xe d= X( ) x( ) d. (7.7) 34
Laplaova raformacija d x Naavljajući poupak, za drugi izvod Dx = dobijamo: d { } { } ( ) ( ) ( ) L D x = L Dx Dx = X x Dx, (7.73) a maemaičkom idukcijom, za izvod -og reda: { } ( ) ( Dx = X x D x ) D x( ) L. (7.74) Ako igal x ima prekid u ački =, a oovu jega formirajmo eprekida igal x, kao a Slici 7.8. Pošo je geeraliai izvod igala x jedak izvodu igala x, oim u ački prekida (vidi Sliku 7.9), vrijedi da je: dx dx d δ = + x + x d. (7.75) Napomeimo da mo geeraliai izvod uveli u Glavi, a like 7.8 i 7.9 u poovljee radi pregledoi izlagaja. Laplaova raformacija prvog izvoda je: dx dx L = L + x( + ) x( ) e d d, (7.76) dx L = X( ) x( ) + x( + ) x( ) e d. (7.77) U praki u od poebog začaja igali koji imaju prekid amo u =. Za akve igale u uilaerale Laplaove rafromacije X ( ) i X ( ) jedake, jer e igali x i x za razlikuju amo u =, a od raije zamo da igali koji e razlikuju u koačom broju dikreih ačaka za koače vrijedoi imaju jedake Laplaove raformacije. Oim oga, budući da mo eprekidi igal x defiiali ako da u ački prekida igala x vrijedi x ( ) = x( + ), lijedi da je x ( ) = x ( + ) = x( + ). 35
GLAVAA 7 Slika 7.8 Sigal x( ) aa prekidom u ački = (pua liija) i jemu pridp ružeii igal bez prekida x (iprekidaa liija) ). ( ) Slikaa 7.9 Geeraliai izvod igala Φ = x ) x( ). ( + x( ( ) koji ima prekidd u ački =, 36
Laplaova raformacija Prema ome, za Laplaovu raformaciju izvoda igala koji imaju prekid amo u = dobijamo ii izraz kao za Laplaovu raformaciju igala koji emaju prekide: dx L = X x + x + x e = X x d. (7.78) Pri ovim operacijama obla kovergecije e e mijeja, izuzev šo zbog možeja a može doći do poišavaja eveualih polova u uli ili dodavaja ovih polova u bekoačoi. 7.5.8 Deriviraje u domeu kompleke učeaoi Ako pooji raformacioi par,re{} x X > α, ada za -i izvod u domeu kompleke učeaoi vrijedi: x d X, =,,3... (7.79) d Dokaz: Prvi izvod u domeu kompleke učeaoi daje: dx d d = xe d xe d d d = = d { } L = x e d = x. (7.8) Na liča ači, za drugi izvod u domeu kompleke učeaoi dobijamo: d X d { } ( ) x( ) e d ( ) x( ) = = L. (7.8) 37
GLAVA 7 Idukcijom e pokaže da za -i izvod u domeu kompleke učeaoi vrijedi: odoo da je: d X d { } ( ) x( ) e d ( ) x( ) = = L, (7.8) x ( ) d X. (7.83) d Obla kovergecije e može promijeii i porebo ju je odredii za vaki lučaj poebo. 7.5.9 Iegraljeje u vremekom domeu Ako pooji raformacioi par,re{} x X > α, ada iegraljeje u vremekom domeu dovodi do dijeljeja Laplaove raformacije a komplekom učeaošću : X x( τ) dτ. (7.84) Obla kovergecije može da e promijei u milu uključivaja ili iključivaja ačaka u bekoačoi i/ili uli. Dokaz: Iegral (7.84) jedak je kovoluciji igala x i Heviajdove fukcije u, pa a oovu oobie kovolucije u vremekom domeu direko dobijamo: x( τ) dτ = x( τ) u( τ) dτ = x( ) u( ) X ( ). (7.85) 38
Laplaova raformacija Zbog dijeljeja a, obla kovergecije može da e promijei u milu uključivaja ili iključivaja ačke u bekoačoi i/ili uli. 7.5. Iegraljeje u domeu kompleke učeaoi Ako pooji raformacioi par,re{} x X > α, ada iegraljeje u domeu kompleke učeaoi dovodi do dijeljeja a varijablom u vremekom domeu: x X d. (7.86) Dokaz: Iegraljejem Laplaove raformacije u graicama od do dobijamo: q q q x e ddq = x e dq d = x e d = x x = e d = L. Obla kovergecije je porebo odredii za vaki lučaj poebo. (7.87) 7.5. Počea vrijedo origiala Ako je igal x eprekida ili ima prekid amo u uli, počea vrijedo origiala x ( + ) e može odredii bez ražeja iverze Laplaove raformacije a ljedeći ači: x ( ) limx ( ) + =. (7.88) 39
GLAVA 7 Dokaz: Laplaova raformacija izvoda igala x, koji je eprekida ili ima prekid amo u uli, je daa a: dx L = X ( ) x( ). (7.89) d Budući da za eprekide igale vrijedi da je: lijedi: dx dx liml = lim e d, (7.9) d d lim X = x. (7.9) Za eprekide igale vrijedi da je x( ) x( ) =, e je: + lim X = x +. (7.9) Ako igal x ima prekid u uli, Laplaova raformacija jegovog izvoda e može apiai kao: ( + ) ( ) δ dx dx dx L = e d = x x e d e d d d + = d + (7.93) dx = x( + ) x( ) + e d, d ako da je: + dx lim e d = x( + ) x( ). (7.94) d S druge rae, a oovu pravila izvoda imamo: dx lim e d = lim X( ) x( ), (7.95) d 4
Laplaova raformacija e je koačo: x ( ) limx ( ) + =. (7.96) 7.5. Krajja vrijedo origiala Ako obla kovergecije Laplaove raformacije igala x obuhvaa imagiaru ou kompleke ravi, krajju vrijedo origialog igala možemo odredii bez ražeja iverze Laplaove raformacije a ljedeći ači: Dokaz: lim x lim X( ) =. (7.97) Graiča vrijedo Laplaove raformacije izvoda igala x, kada, je: dx dx e d = d = x x( ), (7.98) lim lim d d dok a oovu pravila izvoda imamo: dx lim e d = lim X( ) x( ). (7.99) d Na oovu dvije poledje relacije zaključujemo da je: lim x lim X( ) =. (7.) Zbiri pregled oobia uilaerale Laplaove raformacije da je u Tabeli 7. 4
GLAVA 7 Tabela 7.. Oobie uilaerale Laplaove raformacije. Oobia x X ( ) Liearo ax + bx Pomak u vremekom domeu Pomak u domeu kompleke učeaoi x( ) e X ( ) e ( ) x Skaliraje x( a), a > Kovolucija u vremekom domeu Kovolucija u domeu kompleke učeaoi Prvi izvod u vremekom domeu Izvod -og reda u vremekom domeu Deriviraje u domeu kompleke učeaoi Iegraljeje u ax + bx, a, b X X a a X ( ) X ( ) x x X ( ) X ( ) x x dx d d x d x( τ) vremekom domeu Iegraljeje u domeu kompleke učeaoi Počea vrijedo origiala Krajja vrijedo origiala π x ( ) x x dτ ( ) = limx( ) + lim x = lim X( ) ( ) X x ( ) ( ) ( ) ( x ( ) x ) ( ) X x x X ( ) d X d X d 4
Laplaova raformacija 7.6 Meodi određivaja iverze Laplaove raformacije Vremeki oblik igala e rijeko proalazi direkim izračuavajem kourog iegrala, jer pooje jedoaviji ačii za određivaje iverze Laplaove raformacije. U opšem lučaju može e koriii Košijeva eorema oaaka za izračuavaje kourog iegrala iverze Laplaove raformacije. Kod jedoavih oblika fukcija, problem e može riješii abličim meodom, pozavajući Laplaove raformacije elemearih igala i pravila koja proiiču iz oobia Laplaove raformacije. Ako je Laplaova raformacija racioala fukcija, oda e iverza Laplaova raformacija lako odredi razvojem a parcijale razlomke. Ovaj meod korii oobiu liearoi, ako da e ražea iverza Laplaova raformacija određuje kao zbir iverzih Laplaovih raformacija pojediačih parcijalih razlomaka u razvoju, koje e određuju abličim meodom. 7.6. Određivaje iverze Laplaove raformacije pomoću Košijeve eoreme oaaka Iz maemaičke aalize je pozao da e kouri iegral (7.3) kompleke fukcije, koja je aaliička a i uuar koure C orijeiae uproo kreaju kazaljke a au, oim u koačom broju izolovaih igulariea, može izračuai kao uma reziduuma (oaaka) u polovima kompleke podiegrale fukcije X ( ) e. Ako je koura C orijeiaa u mjeru kreaja kazaljke a au, kao u (7.3), kouri iegral je jedak egaivoj umi reziduuma u polovima kompleke podiegrale fukcije X e. X ( ) e koji e alaze Neka je a N + ozače ukupa broj polova fukcije lijevo od jee oblai kovergecije. Iverza Laplaova raformacija (7.3) za > e određuje račuajem oaaka u polovima pi, i=,..., N + a ljedeći ači: N + x = Re X( e ), p i, >. (7.) i= 43
GLAVA 7 X ( ) e koji e alaze Ako a N ozačimo ukupa broj polova fukcije deo od jee oblai kovergecije, iverza Laplaova raformacija (7.3) za < određuje e račuajem oaaka u polovima pi, i=,..., N. Koura iegracije je orijeiaa u mjeru kreaja kazaljke a au, pa je: N x = Re X e, p i, <. (7.) i= Za proe polove p i oaci e račuaju a ljedeći ači:, lim i= i, (7.3) pi Re X e p p X e dok za r oaaka u polu p i koji je r -og reda vrijedi: j d r Re j X ( ) e, p lim i ( pi) X ( ) e =, j =,,, r. (7.4) j! p i d ( j ) Primjer 7.: Odredii iverzu Laplaovu raformaciju od X ( ) je obla kovergecije { } < Re <. = ( + )( + ), ako Rješeje: Polovi fukcije X ( ) i jea obla kovergecije prikazai u a Slici 7.. Kako bimo proašli iverzu Laplaovu raformaciju za > račuamo oaak u polu = koji e alazi lijevo od oblai kovergecije: x = lim ( + ) e = e ( + )( + ). (7.5) Iverzu Laplaovu raformaciju za < račuamo preko oaaka u polovima = i 3 = koji e alazi deo od oblai kovergecije: 44
Laplaova raformacija jω -rava σ Slika 7. Polovi i obla kovergecije zadae Laplaove raformacije. x = lim ( + ) e lim e = e. (7.6) ( + )( + ) ( + )( + ) Vrijedo iverze Laplaove raformacije u uli je: x( ) = x( ) + x( + ) =. (7.7) Dakle, iverza Laplaova raformacija je daa a: x e, =. (7.8) e, < 45
GLAVA 7 7.6. Tabliči meod određivaja iverze Laplaove raformacije Korišćejem abela u kojima u dai Laplaovi raformacioi parovi elemearih igala i pravila Laplaove raformacije, lako e odrede iverze Laplaove raformacije ajčešće korišćeih oblika fukcije X ( ). Neki od ajvažijih raformacioih parova u dai u Tabeli 7.. Kombiujući ovaj meod a razvojem fukcije u parcijale razlomke, koji ćemo izložii u aredom poglavlju, jedoavo e odrede i iverze Laplaove raformacije ložeijih fukcija koje iu dae ablicama. Pri ome e korii pricip uperpozicije. Fukcija X ( ) e razvije a parcijale razlomke, a zaim e iverza Laplaova raformacija određuje kao zbir iverzih Laplaovih raformacija pojediačih parcijalih razlomaka u razvoju. Primjer 7.: Odredii iverzu Laplaovu raformaciju od X ( ) kovergecije Re{ } >. a e =, ako je obla Rješeje: a Iz zadae Laplaove raformacije izdvojimo čla e, koji je poljedica pomaka igala u vremekom domeu. Za preoalu fukciju iverzu Laplaovu raformaciju očiamo iz abele Laplaovih raformacioih parova: u. (7.9) Iverzu Laplaovu raformaciju zadae fukcije proalazimo iz (7.9) a oovu pravila pomaka u vremeu, ako da je: a e L = u ( a). (7.) 46
Laplaova raformacija Tabela 7.. Laplaove raformacije važijih igala. Sigal x Laplaova raformacija X ( ) Obla kovergecije δ u ( ) u u ( ) u!, Re{ } > Re < { } Re > { } Re > { } e a u e a e u a u + a a Re{ } Re{ } + ( + a) Re{ } > a <a > a iω u ω + ω Re{ } > coω u + ω Re{ } > e e a a iω u coω u ω a + + ω + a ( + a) + ω Re{ } Re{ } > a >a 47
GLAVA 7 5.6.3 Određivaje iverze Laplaove raformacije razvojem u parcijale razlomke Neka je Laplaova raformacija X ( ) racioala fukcija: X N =. (7.) D Zadržaćemo e a određivaju iverze Laplaove raformacije kauzalih igala, a oblašću kovergecije Re{ } > α. Sigali koji iu kauzali u od majeg začaja, a razmaraje koje ćemo provei e lako može uopšii i a u klau igala. Pri razvoju a parcijale razlomke poliom u brojiku N( ) epea m e dijeli poliomom u aziviku D( ) epea, ve dok epe polioma oaka N ( ) e poae maji od epea polioma u aziviku: R i= Q N i NR X ( ) = = c i +, Q= m. (7.) D D Ako je epe polioma u brojiku maji od epea polioma u aziviku, vi koeficijei c, i=,,, Q u jedaki uli. i Ukoliko u vi polovi X ( ) proi, razvojem a parcijale razlomke dobijamo: gdje u koeficijei k i dai a: Q Q i NR ( ) i ki i i, (7.3) = D = = p X = c + = c + Primjeom Lopialovog pravila: i i i i ( ) NR ki = lim ( pi), i=,,,. (7.4) pi D 48
Laplaova raformacija e je: Zajući da je: + ( ) NR pi NR NR pi ki = lim = pi D D p X i, (7.5) Q i NR( pi) c i. (7.6) = = D ( p ) p = + i i i i e p i u p, (7.7) za iverzu Laplaovu raformaciju X ( ) iz (7.3), korieći pricip uperpozicije, dobijamo: Q i p i x = ciδ + ke i u. (7.8) i= i= U lučaju višerukih polova izrazi poaju ložeiji. Prepoavimo da je pol p reda r. Tada je p = p = = p r. Razvoj a parcijale razlomke u om lučaju je da a: a koeficijeima: X k = + + Q r i i i i c i r i i i p + = = i= r+ p, (7.9) i ( ) i d r N R ki = lim ( p ), i,,, r i ( i! ) p =, (7.) d D NR ( ) ki = lim ( pi), i= r+,,. (7.) pi D Ukoliko X ( ) ima više višerukih polova, za vaki višeruki pol e formira uma kao za pol p. k 49
GLAVA 7 Razmorimo određivaje iverze Laplaove raformacije člaova ume ki oblika u (7.9). U u vrhu pokazaćemo da pooji r i p + raformacioi par ( ) x raformacioog para: d X. Pođimo od pozaog d e p u p. ( 7.) Primijeimo pravilo izvoda Laplaove raformacije u domeu kompleke učeaoi : d X x ( ), =,,3..., (7.3) d a raformacioi par (7.). Za = dobije e: a za ( r i) e p u -i izvod raformacioi par: ( ), (7.4) ( p ) ri p e u r i! p ( ) r+ i. (7.5) Budući da ada zamo raformacioe parove za ve člaove uma u (7.9), iverza Laplaova raformacija e dobija u obliku: Q r ri x = c + k e + ke u i= i= ( r i)! i= r+ i p p i iδ i i. (7.6) 5
Laplaova raformacija Primjer 7.3: Odredii vremeki oblik kauzalog igala čija je Laplaova raformacija + 4 X ( ) =. + + + 3 Rješeje: Zadaa Laplaova raformacija je racioala fukcija a jedorukim polovima p =, p = i p 3 = 3. Zamo da e radi o Laplaovoj raformaciji kauzalog igala, šo zači da je obla kovergecije ove Re X je veći od Laplaove raformacije { } >. Poliom u brojiku polioma u aziviku, e razvojem fukcije X ( ) a parcijale razlomke dobijamo: X a koeficijeima: Dakle, + 4 k k k = = + + 3 + + + 3 + + + 3, (7.7) + 4 + 4 3 k = lim + = lim =, (7.8) 3 3 k k 3 ( ) ( + )( + )( + ) ( + )( + ) + 4 + 4 = lim + = lim =, (7.9) ( ) ( + )( + )( + 3 ) ( + )( + 3 ) + 4 + 4 = lim + 3 = lim =. (7.3) 3 3 ( ) ( + )( + )( + ) ( + )( + ) 3 X ( ) = + + + + 3. (7.3) Člaovi u razvoju u abliče raformacije oblika: e p u p, (7.3) 5
GLAVA 7 pa iz (7.3) dobijamo: 3 x e e e u 3 = +. (7.33) Primjer 7.4: Odredii vremeki oblik kauzalog igala čija je Laplaova raformacija X( ) =. + 3 + Rješeje: Zadaa Laplaova raformacija je riko racioala fukcija, a X ima pol rećeg reda p = i poliomom u aziviku čevrog reda. jedoruki pol p 4 =. Iverzom Laplaovom raformacijom rebamo dobii kauzala igal, e za obla kovergecije biramo da bude Re{ } >. Razvojem fukcije X ( ) a parcijale razlomke dobijamo: X k k k k k k = + = + + +, (7.34) a koeficijeima: k 3 i 4 3 4 3+ i 3 i= ( p) p4 ( p) ( p) p p4 3 k = lim ( + ) = lim =, (7.35) 3 + + ( + ) d 3 d = lim ( + ) = lim lim d ( ) ( ) d = =,(7.36) + + + ( + ) 3 5
Laplaova raformacija k 3 = ( + ) = =! d ( ) ( ) d + + + d d 3 lim lim 3 ( + ) d d d = lim = lim = lim =, 4 3 d ( ) d d + + + (7.37) Na oovu (7.6), iz: k = lim + = lim =. (7.38) ( ) + + ( + ) 4 3 3 X = + 3 + + ( + ) ( + ) dobijamo vremeki oblik igala: (7.39) 3 3i x = k e + k e u = e e + e e u p p4 i 4. (7.4) i= ( 3 i)! Primjer 7.5: Odredii vremeki oblik igala čija je Laplaova raformacija + 3 X( ) =. Prepoavii da je igal kauzala. + + 3 Rješeje: Fukcija X ( ) je riko racioala fukcija a jedorukim polom p = i parom jedorukih kojugovao komplekih polova p = + j, * p3 = p = j. Obla kovergecije ove Laplaove raformacije Re{ } >, jer e radi o Laplaovoj raformaciji kauzalog igala. Razvojem X a parcijale razlomke dobijamo: fukcije 53
GLAVA 7 X + 3 + 3 = = = j j ( + + 3) ( + )( + + ) k k k3. + j + + j = + + (7.4) Koeficijee k i k odredimo a uobičajei ači: + 3 + 3 = lim = lim =, (7.4) k ( + + 3) ( + + 3) + j + 3 ( + j )( + + j ) + ( + j ) + 3 j ( + j ) ( j )( j ) k = lim + j = 3 = lim = =. + j (7.43) Ako je Laplaova raformacija reala racioala fukcija a komplekim ulama i/ili polovima, e ule i/ili polovi moraju da e pojavljuju u kojugovao komplekim parovima, jer bi u uproom koeficijei polioma u brojiku i/ili aziviku X ( ) bili kompleki. Zbog oga, za par * kojugovao komplekih polova p = α + jβ i p3 = p = α jβ, ako * uvedemo ozaku k = a+ jb, vrijedi da je k3 = k = a jb, k3 = k3 = a + b i arg k = arg k3 = arca b. Izraz za iverzu Laplaovu raformaciju će e a pojedoavii ako e člaovi u razvoju X ( ) koji odgovaraju kojugovao komplekim polovima grupišu a ljedeći ači: * p p ( ke ke ) u * k k * L + * = +. (7.44) p p Zbir komplekog i jemu kojugovao komplekog broja jedak je jegovoj dvorukoj realoj vrijedoi, e je: 54
Laplaova raformacija L k * * p p k p jarg k α jβ + = Re{ ke } u = Re{ k e e e } u = j( β+ arg k ) { } α = k e Re e u = ( β ) = k e co + arg k u. α Tražea iverza Laplaova raformacija je jedaka: (7.45) π x e u = + co +. (7.46) Rezula (7.46) mo, umjeo a ovaj ači, ako određivaja k i grupiaja: * k k + = j * = p p + j + + j ( + ) +, (7.47) mogli dobii iz abličog raformacioog para za iuu fukciju, a oovu koga je: L = e i u. (7.48) ( ) + + 55
GLAVA 7 7.7 Primjea Laplaove raformacije u aalizi iema i obradi igala U Glavi 4 mo vidjeli da e LTI iemi opiuju diferecijalim jedačiama čiji je opši oblik: m k d x k d y ak = k, k b a =, (7.49) k k= d k= d gdje u ai, i=,,, i bj, j =,,, m reale koae koje zavie od elemeaa iema i jihovih međuobih veza, x pobuda, a y odziv iema. U razvijeom obliku ova diferecijala jedačia ima oblik: m m d y + d y + + = d x + d x + + m m m m a a y b b b x. (7.5) d d d d Odziv LTI iema a pobudu x je moguće odredii rješavajem diferecijale jedačie (7.49), a ukoliko je poza impuli odziv h koiualog LTI iema, odziv a proizvolju pobudu e može dobii kovolucijom pobudog igala i impulog odziva: = ( τ) ( τ) τ = ( τ) ( τ) τ = * = *. (7.5) y x h d h x d x h h x 7.7. Određivaje odziva primjeom pravila kovolucije u vremekom domeu Na oovu odziva liearog, vremeki ivarijaog iema a pobudu komplekim ekpoecijalim igalom: koji je jedak: e x = (7.5) y = h( τ) x ( τ) dτ = h( τ) e dτ = h( τ) e dτ e ( τ ) τ, (7.53) 56
Laplaova raformacija u Glavi 4 mo defiiali fukciju preoa iema a: ( τ) H = h e τ dτ. (7.54) Iz (7.54) vidimo da je fukcija preoa jedaka Laplaovoj raformaciji jegovog impulog odziva. Korieći oobiu kovolucije u vremekom domeu, koja podjedako vrijedi kako za uilaeralu, ako i za bilaeralu Laplaovu raformaciju, ako zamo fukciju preoa H ( ), možemo odredii odziv y a proizvolju pobudu x koja ima Laplaovu raformaciju X ( ): H( ) X ( ) Y = (7.55) { } { } y = L Y = L H X. (7.56) Napomeimo da e kovolucijom dobija odziv a pobudu pri ulim počeim ulovima. Soga i ovaj meod daje odziv a proizvolju pobudu pri ulim počeim ulovima. Iako e može marai da u počei ulovi u pozai i jedaki uli, bilaeralu Laplaovu raformaciju ije pogodo koriii za ražeje odziva jer oa podrazumijeva pozavaje igala od do. Međuim, u praki u ajčešće pozai počeo aje iema, koje je određeo akumuliaom eergijom zaečeom u reuku = i pobuda za, šo zači da bilaerale raformacije iu pogode za određivaje odziva. Ideja o korišćeju uilaerale Laplaove raformacije za ražeje odziva zaiva e a prepoavci da je LTI iem kauzala. Korišćejem uilaerale Laplaove raformacije a dojom graicom iegrala u obuhvaamo i ve promjee u iemu koje e dešavaju u reuku dovođeja pobude. Odziv kauzalog LTI iema je da a: = ( ) y hτ x τ dτ. (7.57) Uz prepoavku da je i pobuda kauzala i daa u vidu kompleke ekpoecijale fukcije: 57
GLAVA 7 odziv iema je jedak: e u x =, (7.58) ( ) y h e τ τ = τ dτ = h( τ) e dτ e. (7.59) Budući da je gorja graica iegrala u zagradi, izraz u uglaim zagradama je fukcija vremea, e odziv ije emiovo iog oblika kao pobuda, za razliku od pobude ekauzalom opveom fukcijom iema e (vidi Poglavlje 4.6.). Međuim, za ieme kod kojih je impuli odziv akav da e proizvod h( τ ) e τ pod iegralom u (7.59) majuje pri porau vremeke varijable τ, izvjeo je da će podiegrala fukcija ako dovoljo dugo vremea bii jedaka uli, e e može marai da iegral ako dovoljo dugo vremea približo doiže voju koaču vrijedo koja e zavii od gorje graice. Dakle, ako dovoljo dugo vremea možemo izjedačii iegrale: τ τ h e d h e d τ τ τ τ. (7.6) Tada odziv poprima ii oblik kao pobuda i kažemo da je aupilo ualjeo aje: τ y h( τ) e dτe = H( e ). (7.6) Ierval vremea prije aupaja ualjeog aja je ozače kao prelazi proce. Od raije zamo da je odziv a pobudu jedak zbiru opveog i priudog odziva, e da ako dovoljo dugo vremea opvei odziv iščezava i odziv poaje jedak priudoj kompoei odziva, odoo odzivu u ualjeom aju. Pri kauzaloj komplekoj ekpoecijaloj pobudi je odziv u ualjeom aju jedak: =. (7.6) y y H e p Soga e fukcija preoa čeo defiiše kao količik priudog odziva a kompleku ekpoecijalu pobudu i ame e pobude: 58
Laplaova raformacija priudi odziv a e H( ) =. (7.63) e Za kauzale ieme uilaerala Laplaova raformacija jediičog impulog odziva jedaka je jegovoj bilaeraloj Laplaovoj raformaciji daoj a (7.54), odoo fukciji preoa H ( ): H( ) h. (7.64) Jediiči odkoči odziv a je defiia kao količik odziva a Heviajdovu fukciju ou i koka Heviajdove fukcije U. Ozačimo a A( ) Laplaovu raformaciju jediičog odkočog odziva: { } a A { u } gdje je O ( ) o ( ) u = L. o O U U u u = L = L =, (7.65) Na oovu oobie kovolucije Laplaove raformacije, fukcija preoa e može izrazii kao količik Laplaove raformacije odziva i Laplaove raformacije pobude: H Y =. (7.66) X Budući da ova veza vrijedi pri bilo kakvom obliku pobude, prepoavljajući da je pobuda Heviajdova fukcija, lako određujemo vezu fukcije preoa a Laplaovom raformacijom jediičog odkočog odziva: { } u { U } { } U { } Y L ou L ou L ou H( ) = = = = = A( ). (7.67) X L U 59
GLAVA 7 7.7. Frekvecijke karakeriike U Glavi 4 mo vidjeli da, ukoliko lieari vremeki ivarijaa iem pobudimo prooperiodičom ekpoecijalom fukcijom: odziv poaje jedak: j e Ω x =, (7.68) y = h( τ) x ( τ) dτ = h( τ) e dτ = h( τ) e dτe jω( τ ) jωτ jω. (7.69) Sada zamo da je izraz koji mo defiiali kao frekvecijku karakeriiku iema: j ( τ) Ω H Ω = h e τ dτ, (7.7) jedak Furijeovoj raformaciji impulog odziva. Poovimo da ampliuda karakeriika H ( Ω ) ukazuje a o kako će iem modifikovai ampliudu prooperiodičih igala različiih učeaoi, dok am faza karakeriika arg H ( Ω ) govori o ome kako će igal a izlazu bii fazo pomjere u odou a ulazi igal. Apolua iegrabilo je dovolja ulov za egzieciju Furijeove raformacije impulog odziva. Ukoliko imagiara oa pripada oblai kovergecije, ada je iz Laplaove raformacije moguće dobii Furijeovu raformaciju impulog odziva jedoavom mjeom = jω: H H( ) j Ω =. (7.7) Iako mo vezu Laplaove i Furijeove raformacije (7.7) upoavili za impuli odziv, jedako vrijedi i za Laplaove i Furijeove raformacije drugih igala čija Laplaova raformacija kovergira a imagiaroj oi. = Ω 6
Laplaova raformacija 7.7.3 Ulovi abiloi LTI iema Ulov abiloi LTI iema je, kako mo vidjeli u Glavi 4, apolua iegrabilo jegovog impulog odziva: h d <. (7.7) To je, iovremeo, Dirihleov ulov za egzieciju Furijeove raformacije impulog odziva. S druge rae, Furijeova raformacija impulog odziva je, a oovu (7.7) jedaka jegovoj Laplaovoj raformaciji a imagiaroj oi ravi, ukoliko e oa alazi u oblai kovergecije. Prema ome, iem je abila ako egziira Furijeova raformacija jegovog impulog odziva. Pomarao u domeu kompleke učeaoi, iem je abila ako imagiara oa pripada oblai kovergecije jegove fukcije preoa. Svi polovi fukcije preoa abilih kauzalih iema e alaze u lijevoj, a aikauzalih u deoj poluravi kompleke ravi. 7.7.4 Određivaje odziva rješavajem diferecijalih jedačia primjeom uilaerale Laplaove raformacije Kako bimo aalizirali mogućo primjee uilaerale Laplaove raformacije za određivaje odziva u LTI iemima, pođimo od diferecijale jedačie -og reda a koaim koeficijeima koja opiuje iem a jedim ulazom i jedim izlazom: m d y dy d x dx + + a + a y = b + + b + b x (7.73) m m d d d d i koja e može zapiai u ažeom obliku kao: k k d y m d x ak = bk, a = k. (7.74) k d k= k= Pri rješavaju diferecijale jedačie eophodo je pozavai počee ulove, j. vrijedoi pobude, odziva i jihovih izvoda u ekom reuku vremea : d 6
GLAVA 7 m dx d x dy d y x ( ),,..., ; y ( ),,..., d d d d, (7.75) ajčešće u reuku =. Nako primjee uilaerale Laplaove raformacije a ovu diferecijalu jedačiu, vodeći račua o pravilu koje lijedi iz oobia Laplaove raformacije izvoda igala: k k k d x k k d x d x L X ( ) x( ) ( ) x ( k = k k ), (7.76) d d d dobijamo: m ( + + + + ) = ( + + + ) + Y a a a X b b b IC, (7.77) m gdje u u IC ( ) grupiai vi člaovi koji uključuju počee ulove za igale y i x. Karakeriika iema e mije da zavii od reuo zaečeog aja iema izražeog kroz počee ulove, e e pri određivaju fukcije preoa vi počei ulovi poavljaju a ulu. Prema ome, fukcija preoa: m m Y( ) b m + b N ( m + + b ) H( ) = = = (7.78) X ( ) + a + + a D( ) je količik dva polioma po a realim koeficijeima, zv. reala racioala fukcija. Primjeimo da je D( ) = karakeriiča jedačia iema, e e poliom D( ) aziva karakeriiči poliom. Ukoliko želimo da odredimo komplea odziv kao zbir odziva a akumuliau eergiju i pobudu, porebo je proaći iverzu Laplaovu raformaciju izraza: Y( ) = H( ) X ( ) + IC( ). (7.79) D Budući da koriimo uilaeralu Laplaovu raformaciju, ako vraćaja u vremeki dome zadržavamo amo dio za. 6
Laplaova raformacija Odziv a ekiaciju pri ulim počeim ulovima Već mo vidjeli da prvi čla H ( ) X ( ) predavlja Laplaovu raformaciju odziva a pobudu pri ulim počeim ulovima, e je drugi čla IC( ) Laplaova raformacija odziva a akumuliau eergiju. D Ograičimo e a pomaraje široke klae pobudih igala čije u NX ( ) Laplaove raformacije reale racioale fukcije X( ) = DX ( ). Sada e poliomi u brojiku i aziviku Laplaove raformacije odziva a pobudu pri ulim počeim ulovima mogu fakorizovai a ljedeći ači: Y N N ( z)( z) ( zm ) X =, (7.8) D DX ( v)( v) ( vm ) X ( ) Y = K p p p q q q X. (7.8) Pri ome mo a zi, i=,,, m i pi, i=,,, ozačili ule i polove fukcije preoa, repekivo. Sa vi, i=,,, mx i qi, i=,,, X u repekivo ozačei korijei polioma u brojiku i aziviku Laplaove raformacije pobude X ( ). Ograičićemo e a razmaraje lučajeva kada e dolazi do poišavaja ula i polova fukcije preoa a polovima i ulama Laplaove raformacije pobude, repekivo. Pomarajmo razvoj fukcije: X X Q i R i, ( x) ( x) (7.8) i= N N N Y( ) = = c + Q= m+ m + D D D D a parcijale razlomke. Napomeimo da je kod fizički realizibilih iema m, gdje je red iema. U lučaju kada u vi polovi Y( ) proi, (7.8) poaje: X 63
GLAVA 7 a koeficijeima: Y k l = + + p q Q X i i i c i i= i= i i=, (7.83) i NR NR pi ki = lim ( pi) =, i=,,,, (7.84) pi D D D p X Y i NR NR qi li = lim ( qi) =, i=,,, X, (7.85) qi DD D q X Y i gdje mo koriili ozaku D ( ) D( ) D ( ) Y Y =. Sada je: X Q X i NR pi NR( qi) c i i= i= D ( p ) p i= D ( q ) q. (7.86) = + + Y i i Y i i Iverzom Laplaovom raformacijom dobijamo odziv kauzalog iema: odoo: Q y = c + ke + le u i= i= i= X i p i q i iδ i i, (7.87) Q N p N q y = c + e + e u i= i= D Y pi i= D Y qi X i R i p i R i q i iδ. (7.88) U lučaju višerukih polova, a primjer kada Y( ) ima jeda višeruki pol p reda r, j. p = p = = pr Y a koeficijeima:, razvojem a parcijale razlomke dobijamo: Q r k k X l i i i i c i r i i i p + = = i= r+ pi i= q, (7.89) i = + + + NR ( ) i d r ki = lim ( p ), i,,, r i ( i! ) p =, (7.9) d D DX 64
Laplaova raformacija NR ( ) ( ) ki = lim pi, i= r+,,, (7.9) pi D D X NR ( ) ( ) li = lim qi, i=,,, X. (7.9) qi D D Odziv je u ovom lučaju jedak: Q r ri y = + k e + ke + le u i= i= ( r i)! i= r+ i= X X i p p i q i αδ i i i i. (7.93) Ukoliko Y( ) ima više višerukih polova, za vaki od jih e formira po jeda uma a liča ači kao šo je rađeo za višeruki pol p. Sopvei i priudi odziv Već mo pomeuli da je Laplaova raformacija kompleog odziva daa u obliku zbira: gdje prvi čla Y( ) = H( ) X ( ) + IC( ), (7.94) D N Ye ( ) = H( ) X( ) = X( ) (7.95) D predavlja Laplaovu raformaciju odziva a pobudu pri ulim počeim ulovima. Primijeimo da u polovi fukcije preoa pi, i=,,, ule polioma D : D = + a + + a, (7.96) iovremeo korijei karakeriiče jedačie, koja e dobije kada e u homogei dio diferecijale jedačie: k = k d y ak =, a = (7.97) k d 65
GLAVA 7 uvri prepoavljeo rješeje oblika e : + a + + a =. (7.98) Pod prepoavkom da u vi korijei karakeriiče jedačie pi, i=,,, jedoruki, opveo rješeje koje e dobije rješavajem homogee diferecijale jedačie je: p i y = Ke i,, (7.99) i= gdje u K i koae koje zavie od počeih ulova. Poređejem a izrazom za odziv a pobudu pri ulim počeim ulovima i jedorukim polovima fukcije preoa, koji mo dobili primjeom Laplaove raformacije (7.87): Q y = + ke + le u i= i= i= vidimo da je opveo rješeje adržao u ovom izrazu, e da je geeriao polovima fukcije preoa. Pri ome je k i = K i. Preoali dio odziva predavlja priudi odziv, odoo ualjeo aje. X i p i q i αδ i i i, (7.) Sličo razmaraje e može provei i u lučajevima kada e javljaju višeruki polovi. Budući da u koeficijei fukcije preoa H ( ) reali, jee ule i polovi dolaze u kojugovao-komplekim parovima. Zavio od raporeda polova u komplekoj ravi, mogu aupii različii oblici opveog odziva. Ako u polovi jedoruki, vrijedi ljedeće:. vi polovi e alaze u lijevoj poluravi opvei odziv ekpoecijalo pada poraom vremea,. pojavljuje e kojugovao-kompleki par polova a imagiaroj oi u opveom odzivu e javljaju periodiče ocilacije, 3. pooje polovi u deoj poluravi opvei odziv ekpoecijalo rae poraom vremea. 66
Laplaova raformacija Odziv a akumuliau eergiju U izrazu za Laplaovu raformacija kompleog odziva: čla IC D Y( ) = H( ) X ( ) + IC( ), (7.) D je Laplaova raformacija odziva a akumuliau eergiju. Polovi ove racioale fukcije u jedaki polovima fukcije preoa, e je zbog oga opvei odziv a akumuliau eergiju iog oblika kao opvei odziv a pobudu. Prilikom ražeja odziva ovaj čla ije porebo poebo izdvajai, već e komplea odziv određuje iverzom Laplaovom raformacijom izraza (7.). 7.7.5 Aaliza elekričih kola primjeom Laplaove raformacije Uvođejem komplekih predavika za apoe i ruje u domeu Laplaove raformacije, diferecijala jedačia koja opiuje elekričo kolo u vremekom domeu e prevodi u dome komplekih učeaoi. Na oovu oobie liearoi, Kirhofovi zakoi za ruje i apoe imaju iu formu u vremekom i u domeu Laplaove raformacije. Za lučaj da kolo adrži amo elemee a jedim priupom, možemo piai: b ai kl l = ai kl l =, k=,,, = c, (7.) l= l= g b bu kl l = bu kl l ( ) =, k=,,, m= gc. (7.3) l= l= g Neka je ukupa broj graa elekričog kola ozače a g, a ukupa broj čvorova a c. Koeficije a kl poprima vrijedo ili - ovio o ome da li e mjer l -e grae poklapa ili e poklapa a orijeacijom k -og čvora, a ako l -a graa ije vezaa za k -i čvor. Sličo, koeficije b kl poprima vrijedo ili - ovio o ome da li e mjer l -e grae poklapa a mjerom k -e koure, a ako koura e obuhvaa odgovarajuću grau. Ove jedačie e mogu 67
GLAVA 7 direko piai u domeu Laplaove raformacije. Sličo vrijedi i za oale pozae meode rješavaja elekričih kola. Pri aalizi elekričih kola, oim zakoioi koje opiuju ači povezivaja, porebo je pozavai i veze između apoa i ruja a amim elemeima kola. U aavku je da prikaz oovih elemeaa elekričih kola u domeu Laplaove raformacije. Oporik Napo i ruja a krajevima oporika prikazaog a Slici 7. vezai u ljedećom relacijom: u( ) = Ri( ) U( ) = RI( ). (7.4) i + R u Slika 7. Oporik. Fukcija preoa oporika može e defiiai kao impedaa: ili admiaa: U ZR ( ) = = R, (7.5) I Y R ( ) = I U = R. (7.6) Kalem Napo kalema prikazaog a Slici 7. je: di u = L U( ) = LI Li( ). (7.7) d 68
Laplaova raformacija i + L u i( ) Slika 7. Kalem. I + L U Li( ) + Slika 7.3 Ekvivalea šema kalema a akumuliaom eergijom uz korišćeje apokog geeraora. Pomarajući (7.7) zaključujemo da kalem a akumuliaom eergijom u domeu Laplaove raformacije možemo predavii kao redu vezu kalema bez akumuliae eergije i ekvivaleog apokog geeraora Li( ), kao a Slici 7.3. Izražavajući iz (7.7) ruju u domeu Laplaove raformacije: I i( ) U = +, (7.8) L zaključujemo da ekvivalea šema za kalem a akumuliaom eergijom u domeu Laplaove raformacije može da bude i paralela veza kalema bez akumuliae eergije i ekvivaleog rujog geeraora, kao a Slici 7.4. 69
GLAVA 7 I + U L i( ) Slika 7.4 Ekvivalea šema kalema a akumuliaom eergijom uz korišćeje rujog geeraora. Fukcije preoa kalema e određuju pri ulim počeim ulovima. Impedaa kalema je: dok admiaa ima oblik: U ZL ( ) = = L, (7.9) I Y L ( ) = I U = L. (7.) Kodezaor Sruja kodezaora a Slike 7.5 je: du i = C I( ) = CU( ) Cu( ). (7.) d i + C + u u( ) Slika 7.5 Kodezaor. 7
Laplaova raformacija I + U C Cu( ) Slika 7.6 Ekvivalea šema kodezaora a akumuliaom eergijom uz korišćeje rujog geeraora. Kodezaor a akumuliaom eergijom u domeu Laplaove raformacije predavljamo kao paralelu vezu kodezaora bez akulmuliae eergije i ekvivaleog rujog geeraora, kao a Slici 7.6. Ako iz (7.) izrazimo apo kodezaora u domeu Laplaove raformacije: U u( ) I = +, (7.) C zaključujemo da e kodezaor a akumuliaom eergijom u domeu Laplaove raformacije može predavii redom vezom kodezaora bez akumuliae eergije i ekvivaleog apokog geeraora, kao a Slici 7.7. C u( ) I U Slika 7.7 Ekvivalea šema kodezaora a akumuliaom eergijom uz korišćeje apokog geeraora. 7