Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks nimetatakse reaalarvude hulga alamhulki: vahemik, lõik, poollõik ja nende ühendid. Piirkondi hakkame tähistama suurte tähtedega X, Y, Z,.... Konstant on suurus, mis antud kontekstis omab ainult ühte kindlat väärtust. Konstante tähistatakse matemaatilises analüüsis tähestiku algustähtedega a, b, c,.... Muutuvaks suuruseks nimetatakse suurust, mis võib omandada mistahes väärtust mingisugusest piirkonnast. Muutuvid suurusi tähistatakse tähestiku lõputähtedega,, z,.... Täisarvuliste muutujate tähistamiseks kasutatakse tähti i, j, k, l, m ja n. Funktsioone tähistatakse tähtedega f, g, h ja nende kreeka vastetega φ (fii), ψ (psii) χ (hii). Matemaatilise analüüsi kursuses on muutuvateks suurusteks reeglina (kui ei ole tehtud täiendavat eeldust) reaalarvulised muutujad. Kirjaviisi X loetakse: suurus kuulub piirkonda X. Üldlevinud on kahe nn kvantori - universaalsuskvantori ja olemasolukvantori kasutamine. Sümbolit loetakse teksti sees iga ja sümbolit loetakse eksisterib või leidub. Kirjaviisi > 0 [a; b] loetakse: iga positiivse väärtuse korral leidub lõik [a; b]... Funktsiooni mõiste ja esitusviisid Definitsioon.. Kui igale muutuja väärtusele mingisugusest piirkonnast X on vastavusse seatud üks muutuja kindel väärtus piirkonnast Y, siis muutujat nimetetakse muutuja funktsiooniks. Seda asjaolu märgitakse matemaatilise analüüsis = f(), = F (), = φ() jne. Muutuvat suurust nimetatakse sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutuvat suurust sõltuvaks muutujaks ehk funktsiooniks. Sümbol f märgib reeglit või eeskirja, mis selle vastavuse korraldab. Seega - funktsioonist saab kõnelda siis, kui on olemas eeskiri, mis igale ühe muutuja väärtusele seab vastavusse teise muutuja ühe kindla väärtuse. Funktsioone saab esitada tabelina, graafikuna ja analüütiliselt.
Näide.. Tabel 3 0 5 esitab definitsiooni kohaselt funktsiooni, sest igale muutuja väärtusele kolmeelemendilisest hulgast X = {,, 0} seab see vastavusse ühe kindla muutuja väärtuse. Muutuja väärtusele on vastavusse seatud muutuja väärtus 3 jne. Teiseks funktsiooni esitusviisiks on graafik. Näide.. Graafik esitab tõepoolest ülaltoodud definitsiooni mõttes 0 P 0 Joonis.: Funktsiooni esitusviis graafikuna funktsiooni, sest argumendi väärtusele 0 vastab graafiku punkt P. Selle punkti ordinaat 0 on üheselt määratud, seega igale argumendi väärtusele seab graafik vastavusse ühe kindla väärtuse. Kolmandaks funktsiooni esitusviisiks on analüütiline esitusviis. Siin eristame funktsiooni esitust ilmutatud kujul, ilmutamata kujul ja funktsiooni parameetrilist esitusviisi. Funktsioon esitatakse ilmutatud kujul võrdusena = f(), kus vasakul pool võrdusmärki on ja paremal mingisugune analüütiline avaldis muutuja suhtes. Ilmutatud kujul on kõik põhilised elementaarfunktsioonid: ruutfunktsioon = + 3, trigonomeetrilised funktsioonid, eksponent- ja logaritmfunktsioonid jne. Enne kui asuda funktsiooni ilmutamata kuju ja parameetrilise esitusviisi juurde, peab funktsiooni mõistet laiendama. Edaspidi loeme muutuja muutuja funktsiooniks ka juhul, kui igale väärtusele vastab kaks väärtust, kolm väärtust,..., lõpmatult palju muutuja väärtusi. Esimesel juhul öeldakse, et funktsioon on kahene, teisel juhul - funktsioon on kolmene,..., funktsioon on lõpmatult mitmene.
Näide.3. Ilmutamata kujul on funktsioon + = r, kus r on positiivne konstant. Selle funktsiooni graafikuks on ringjoon keskpunktiga koordinaatide alguses, raadiusega r. Selle funktsiooni ilmutamiseks, st tei 0 r Joonis.: Ringjoon raadiusega r sendamiseks ilmutatud kujule, avaldame võrdusest muutuja. Kõigepealt = r, millest = ± r. Igale väärtusele vahemikust ( r; r) vastab kaks muutuja väärtust. Joonisel vastab argumendi 0 väärtusele kaks väärtust = r 0 ja = r 0. Seega on antud juhul tegemist kahese funktsiooniga. Funktsioonid = r ja = r on selle kahese funktsiooni ühesteks harudeks. Kui ilmutatumata kujul esitatud funktsiooni graafikuks on kogu ringjoon, siis funktsiooni = r graafikuks on ringjoone ülemine pool ja funktsiooni = r graafikuks ringjoone alumine pool. Kolmandaks funktsiooni analüütiliseks esitusviisiks on funktsiooni parameetriline esitusviis. Parameetrilise esitusviisi korral ei ole kaks muutujat ja omavahel otseselt võrdusega seotud, vaid on seotud läbi kolmanda muutuja, nn parameetri t. Parameetrilise esitusviis on üldjuhul { = φ(t) = ψ(t) Parameetrilisel kujul on võimalik esitada kõiki funktsioone. Funktsiooni = parameetriliseks esitusviisiks on { = t = t Funktsiooni + = r parameetriliseks esitusviisiks on { = r cos t = r sin t 3
Selles esitusviisis on parameetriks t joonisel näidatud nurk. t r Joonis.3: Parameetri t tähendus Funktsiooni = parameetrilist esitusviisi tavaliselt ei kasutata, sellel puudub mõte. Küll aga kasutatakse funktsiooni + = r parameetrilist esitusviisi. On funktsioone, millele ainsaks mõistlikuks esitusviisiks on parameetriline esitusviis. Näide.4. Vaatleme parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni { = a(t sin t) = a( cos t) Funktsiooni graafikuks on tsükliline joon, mida nimetatakse tsükloidiks. Tsükloid on joon, mille kirjeldab ringjoone raadiusega a üks punkt, mis a Joonis.4: Tsükloid algasendis asub koordinaatide alguspunktis, kui panna ringjoon veerema mööda -telge. Sellisel juhul on funktsiooni parameetrilises esitusviisis parameetriks t selle ringjoone pöördenurk algasendi suhtes. 4
Definitsioon.. Funktsiooni = f() määramispiirkonnaks nimetatakse niisugust argumendi väärtuste hulka, millele antud eeskirja kohaselt saab vastavusse seada muutuja väärtuse. Funktsiooni määramispiirkond on kas funktsiooni definitsiooniga ette antud või funktsiooni enda poolt määratud. Funktsiooni määramispiirkonda tähistatakse sümboliga X. Näide.5. Funktsiooni {, kui 0 f() =, kui < määramispiirkonnaks on lõik X = [0; ], sest väljaspool seda lõiku ei ole funktsioon defineeritud. Funktsiooni graafik on esitatud joonisel. / f Näide.6. Funktsiooni = määramispiirkonna annab ette kitsendus 0. Selle võrratuse lahendihulka kuuluvad argumendi väärtused, mis rahuldavad tingimust 0, seega antud funktsiooni määramispiirkonnaks on lõik X = [0; ]. Definitsioon.3. Funktsiooni = f() muutumispiirkonnaks nimetatakse muutuja nende väärtuste hulka, mis vastavad kõikidele määramispiirkonda kuuluvatele argumendi väärtustele. Muutumispiirkonda tähistatakse sümboliga Y. Näide.7. Leiame näites.6 antud funktsiooni muutumispiirkonna. Juure all on ruutfunktsioon, mille graafikuks on allapoole avanev parabool. Määramispiirkonna X = [0; ] otspunktides on ruutfunktsiooni väärtus 0, seega on ka antud funktsiooni vähim väärtus 0. Ruutfunktsiooni suurimaks väärtuseks on parabooli haripunkti ordinaat. Parabooli haripunkti abstsiss on h = 0 + =, millele vastav ordinaat on h = =. Väärtus on juure all oleva ruutfunktsiooni suurimaks väärtuseks ning ühtlasi juure suurimaks väärtuseks. Järelikult on funktsiooni muutumispiirkonnaks lõik Y = [0; ]. 5
..3 Funktsioonide liigitamine Funktsioone liigitatakse nende sümmeetriaomaduste, väärtuste kordumise või mingi muu tunnuse alusel. Definitsioon.4. Funktsiooni = f() nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui X korral f( ) = f(). Paarisfunktsioonideks on näiteks =, = ja = cos. Neist kahe esimese graafikud on esitatud joonisel.5 ja kolmanda graafik joonisel.6. Kui paarisfunktsiooni graafikule kuulub punkt (; f()), siis definitsioo- 4 / 4 / Joonis.5: funktsioonid = ja = Joonis.6: funktsioon = cos nis esitatud tingimuse kohaselt kuulub graafikule ka punkt ( ; f()). Need kaks punkti paiknevad koordinaatteljestikus sümmeetriliselt -telje suhtes. Järelikult on iga paarisfunktsiooni graafik sümmeetriline -telje suhtes. Definitsioon.5. Funktsiooni = f() nimetatakse paarituks, kui X korral f( ) = f(). 6
/ 3 Joonis.7: funktsioon = 3 Joonis.8: funktsioon = sin Paarituteks funktsioonideks on = 3, = sin ja = tan. Nende funktsioonide graafikud on esitatud vastavalt joonistel.7,.8 ja.9. Kui mis tahes paaritu funktsiooni graafikule kuulub punkt (; f()), siis definitsioonis esitatud tingimuse kohaselt kuulub sellele ka punkt ( ; f()). Need kaks punkti paiknevad sümmeetriliselt koordinaatide alguspunkti suhtes. Seega on kõikide paaritute funktsioonide graafikud sümmeetrilised koordinaatide alguspunkti suhtes. Näide.8. Uurime, kas funktsioon = ln + Tähistame f() = ln + ja leiame f( ) = ln ( ) = ln on paaris või paaritu. ( ) + = ln + = f(). Saime, et X korral f( ) = f(), st funktsioon on paaritu. Kehtivad järgmised väited. 7
3 3 Joonis.9: funktsioon = tan Kahe paarisfunktsiooni korrutis on paarisfunktsioon; kahe paaritu funktsiooni korrutis on paarisfunktsioon; paaris- paaritu funktsiooni korrutis on paaritu funktsioon. Tõestame antud väidetest teise. Olgu f() ja g() paaritud funktsioonid. Tähistame nende korrutise h() = f()g() ja leiame h( ) = f( )g( ) = f() [ g()] = f()g(), st korrutis h() on tõepoolest paarisfunktsioon. Näide.9. Vaatleme funktsiooni = ln +. Funktsioon f() = on paaritu, funktsioon g() = ln + on näite 4 põhjal samuti paaritu, järelikult nende korrutis, st antud funktsioon on paaris. Definitsioon.6. Funktsiooni = f() nimetatakse perioodiliseks, kui selline reaalarv T 0, et X korral f( + T ) = f(). Siin on eeldatud, et ka + T X. Vähimat positiivset sellist reaalarvu (kui see eksisteerib) nimetatakse funktsiooni perioodiks. Selle definitsiooni esimese poole põhjal on siinusfunktsioon perioodiline, sest definitsioonis nõutud reaalarvuks T sobivad 4, 0, 6 jne. Vähimaks 8
positiivseks selliseks reaalarvuks on aga, mis on definitsiooni põhjal siinusfunktsiooni perioodiks. Koosinusfunktsiooni perioodiks on samuti, tangensfunktsiooni perioodiks on. Trigonomeetrilised funktsioonid ei ole kaugeltki mitte ainsateks perioodilisteks funktsioonideks. Defineerime nn saehamba funktsiooni { n, kui n < n + f() = 0, kui < n n +, milles n on mis tahes täisarv. Kui n = 0, siis f() = poolõigul [0; ) ja väljaspool seda poollõiku f() = 0. Kui n =, siis f() = poollõigul [; ) ja 0 väljaspool seda poollõiku. Kui n =, siis f() = poollõigul [; 3) ja 0 väljaspool seda poollõiku. Kui n =, siis f() = + poollõigul [ ; 0) ja 0 väljaspool seda poollõiku. Funktsiooni graafik on esitatud joonisel.0, kusjuures funktsiooni graafikust on välja joonestatud vaadeldud n väärtuste korral tekkivad lõigud. 3 Joonis.0: saehamba funktsioon Vaadeldav funktsioonon perioodiline ja selle periood T =. Definitsioon.7. Funktsiooni = f() nimetatakse kasvavaks, kui kahe mis tahes argumendi, X korral, mis rahuldavad tingimust <, on f( ) < f( ). Seega funktsiooni nimetatakse kasvavaks, kui kahest määramispiikonnast võetud argumendi väärtusest suuremale vastab suurem funktsiooni väärtus. Definitsioon.8. Funktsiooni = f() nimetatakse monotoonselt kasvavaks, kui kahe mis tahes argumendi, X korral, mis rahuldavad tingimust <, on f( ) f( ). Definitsioon.9. Funktsiooni = f() nimetatakse kahanevaks, kui kahe mis tahes argumendi, X korral, mis rahuldavad tingimust <, on f( ) > f( ). 9
f( ) f( ) Joonis.: kasvav funktsioon Seega funktsiooni nimetatakse kahanevaks, kui kahest määramispiikonnast võetud argumendi väärtusest suuremale vastab väiksem funktsiooni väärtus. f( ) f( ) Joonis.: kahanev funktsioon Definitsioon.0. Funktsiooni = f() nimetatakse monotoonselt kahanevaks, kui kahe mis tahes argumendi, X korral, mis rahuldavad tingimust <, on f( ) f( ). Konstantne funktsioon on esitatud definitsioonide põhjal samaaegselt nii monotoonselt kasvav kui ka monotoonselt kahanev...4 Pöördfunktsioon Näites. esitatud tabel seab igale väärtusele vastavusse väärtuse. Täpselt samuti aga seab see tabel igale väärtusele vastavusse väärtuse, st muutuja on selles tabelis vaadeldav argumendina ja muutuja funktsioonina. Näites. esitatud graafik seab teatud piirkonnas igale väärtusele vastavusse ühe, kaks või kolm muutuja väärtust. Funktsiooni laiendatud mõiste 0
kohaselt on muutuja vaadeldav muutuja funktsioonina. Näide.0. Analüütiline funktsioon = seab igale väärtusele + vastavusse väärtuse. Avaldades sellest võrdusest muutuja saame, et =, st muutuja väärtustele seab see võrdus vastavusse muutuja väärtuse. Peale selle, et muutuja on muutuja funktsiooniks, on muutuja vaadeldav muutuja funktsioonina. Järelikult on iga eeskirjaga (tabeliga, graafikuga, analüütilise avaldisega) määratud kaks funktsiooni, millest teist nimetatakse esimese pöördfunktsiooniks. Edaspidi hakkame funktsiooni = f() pöördfunktsiooni tähistama = φ(). Sellises tähistuses langevad pöördfunktsiooni ja selle pöördfunktsiooni graafikud kokku. Tavaliselt aga tähistatakse pöördfunktsioonis argument uuesti -ga ja funktsioon -ga ning pöördfunktsioon esitatakse = φ(). Kui antud funktsiooni = f() graafikule kuulub punkt koordinaatidega (; ), siis pöördfunktsiooni graafikule kuulub punkt koordinaatidega (; ). Teise punkti saame esimesest, peegeldades seda koordinaattasandi I ja III veerandi nurgapoolitaja (sirge = ) suhtes. Järelikult: pöördfunktsiooni = φ() graafiku saame antud funktsiooni = f() graafiku peegeldamise teel sirge = suhtes. Vaatleme näiteid. Näide.. Olgu antud funktsiooniks ruutfunktsioon =, mille graafik on esitatud joonisel.5. Avaldades võrdusest muutuja, saame pöördfunktsiooniks = ± ja pärast tähistuse vahetamist = ±. Selle pöördfunktsiooni graafikuks on funktsiooni = graafiku peegeldus sirge = suhtes (joonis.3). Näide.. Olgu antud funktsiooniks eksponentfunktsioon =. Siit muutuja = log ja pärast tähistuse vahetamist = log. Eksponentfunktsiooni pöördfunktsiooniks on logaritmfunktsioon. [ Eraldame siinusfunktsioonist = sin osa, mille määramispiirkond on ; ] (joonis.5). Antud juhul vastab igale muutuja [ ; ] väärtusele üks muutuja väärtus. Seda pöördfunktsiooni tähistatakse[ = arcsin. Pärast tähistuse muutmist saame funktsiooni = sin, ; ] pöördfunktsiooni = arcsin. Selle[ funktsiooni määramispiirkond on X = [ ; ] ja muutumispiirkond Y = ; ]. Avaldades võrdusest = sin muutuja, saame [ ; ] korral = ( ) n arcsin + n, n Z. Vahetades tähistuse, saame lõpmatult mitmese funktsiooni = ( ) n arcsin + n, n Z, mida tähistatakse = Arcsin Eraldame koosinusfunktsioonist osa, mille määramispiirkond on [0; ] (joo-
4 / / / 4 / Joonis.3: funktsioon = ja selle pöördfunktsioon nis.8). Igale [ ; ] väärtusele vastab üks muutuja väärtus. Seda funtksiooni tähistatakse = arccos. Pärast tähistuse vahetamist saame funktsiooni = arccos, mille määramispiirkond X = [ ; ] ja muutumispiirkond Y = [0; ]. Funktsioonide = arcsin ja = arccos vahel kehtib [ ; ] puhul seos arcsin + arccos = Avaldades võrdusest = cos muutuja, saame = ± arccos + n, n Z. Pärast tähistuse vahetamist saadud lõpmatult mitmest funktsiooni = ± arccos + n, n Z tähistatakse = Arccos. Eraldame tangensfunktsioonist osa, mille määramispiirkond on vahemik ( ; ). Selle funktsiooni graafikuks on koordinaatide alguspunkti läbiv tangensfunksiooni haru (joonis.9). Sellise funktsiooni puhul vastab igale ( ( ; ) väärtusele parajasti üks muutuja väärtus vahemikust ; ) ja seda tähistatakse = arctan. Pärast tähistuse vahetamist saame = ( tan, ; ) X = ( ; ) ja muutumispiirkond, pöördfunktsiooni = arctan. Selle määramispiirkond ( ; ). Avaldades võrrandist = tan muutuja, saame = arctan +n, n Z. Vahetades tähistuse, saame funktsiooni = tan lõpmatult mitmese pöördfunktsiooni = arctan +n, n Z, mida tähistataskse = Arctan.
4 / / / log 4 Joonis.4: funktsioon = ja selle pöördfunktsioon = log Joonis.5: funktsioon = sin lõigul [ ; ] Lisame juba vaadeldud trigonomeetrilistele funtksioonidele veel neljanda = cot. Graafik on esitataud joonisel. Eraldame funktsioonist = cot välja haru määramispiirkonnaga (0; ). Sellel harul vastab igale ( ; ) väärtusele üks muutuja väärtus. Seda funtksiooni tähistatakse = arccot. Pärast tähistuse muutmist on funktsiooni = cot, (0; ) pöördfunktsiooniks = arccot. Selle funktsiooni määramispiirkond X = ( ; ) ja muutumispiirkond Y = (0; ). Funktsioonide = arctan ja = arccot vahel kehtib ( ; ) korral seos arctan + arccot =. Avaldades võrrandist = cot muutuja, saame = arccot + n, n Z. Vahetades tähistuse, saame funktsiooni = cot lõpmatult mitmese 3
Joonis.6: funktsioon = arcsin pöördfunktsiooni = arccot + n, n Z, mida tähistataskse = Arccot...5 Hüperboolsed funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid Peale vaadeldud põhiliste elementaarfunktsioonide vaadeldakse matemaatilises analüüsis veel nn hüperboolseid funktsioone ja nende pöördfunktsioone, nn areafunktsioone. Hüperboolsed funktsioonid ja areafunktsioonid avalduvad juba vaadeldud põhiliste elementaarfunktsioonide kaudu. Hüperboolseteks funktsioonideks on hüperboolne siinus, hüperboolne koosinus, hüperboolne tangens ja hüperboolne kootangens. Hüperboolne siinus = sh on defineeritud kui sh = e e. Hüperboolse siinuse graafik on esitatud joonisel.4. Funktsiooni määramispiirkond X = ( ; ) ja muutumispiirkond Y = ( ; ). Hüperboolne koosinus = ch on defineeritud kui ch = e + e. Hüperboolse koosinuse graafik on joonisel.5. Selle funktsiooni määramispiirkond X = ( ; ) ja nmuutumispiirkmond Y = [; ). Hüperboolse siinuse ja koosinuse jaoks kehtib rida analoogilisi seoseid, mis on tuttavad trigonomeetriliste siinuse ja koosinuse korral. ch sh = ; 4
Joonis.7: funktsioon = Arcsin Joonis.8: funktsioon = cos lõigul [0; ] sh = sh ch ; ch = ch + sh. Hüperboolne tangens = th on defineeritud kui th = sh ch = e e e + e. Hüperboolse tangensi graafik on joonisel.6. Selle funktsiooni määramispiirkond on X = ( ; ) ja muutumispiirkond Y = ( ; ). Hüperboolne kootangens = cth on defineeritud kui cth = th = ch sh = e + e e e. 5
Joonis.9: funktsioon = arccos Hüperboolse kootangensi graafik on joonisel.7. Selle funktsiooni määramispiirkond on X = ( ; 0) (0; ) ja muutumispiirkond Y = ( ; ) (; ). Leiame funktsiooni = sh pöördfunktsiooni. Selleks avaldame võrrandist = e e muutuja. Korrutades võrrandi mõlemad pooled suurusega e saame e e = 0, st ruutvõrrandi e suhtes, millest e = + +. Miinusmärk juure ees ei ole võimalik, sest + on negatiivne, aga e negatiivne ei saa olla. Avaldame viimasest võrdusest = ln( + + ). Vahetades tähistuse, saame funktsiooni = sh pöördfunktsiooniks = ln( + + ). Seda funktsiooni nimetatakse areasiinuseks ja tähistatakse = arsh. Avaldades samal viisil võrrandist = e + e muutuja, saame = ln(+ ). Vahetades tähistuse saame, et funktsiooni = ch pöördfunktsiooniks on = ln( + ), mida nimetatakse areakoosinuseks ja tähistatakse = arch. Avaldame võrrandist = e e e + e muutuja. Tulemuseks on = ln +. Pärast tähistuse vahetamist saame funktsiooni = th pöördfunktsiooniks = ln +, mida nimetatakse areatangensiks ja tähistatakse = arth. 6
Joonis.0: funktsioon = Arccos 4 3 3 4 Joonis.: funktsioon = arctan..6 Liitfunktsioon Oletame, et argumendile X on vastavusse seatud muutuja u väärtus, u = g(), st u on muutuja funktsioon ja omandab väärtusi hulgast U. Muutuja u U võib omakorda olla argumendiks mingile teisele funktsioonile = f(u). Kui asendada u muutuja kaudu viimasesse funktsiooni, saame liitfunktsiooni = f[g()]. 7
3 3 Joonis.: funktsioon = cot 4 4 Joonis.3: funktsioon = arccot Funktsioone u = g() ja = f(u) nimetatakse liitfunktsiooni komponentfunktsioonideks ehk komponentideks. Seejuures funktsiooni u = g() nimetatakse seesmiseks ja funktsiooni = f(u) väliseks. Näide. Liitfunktsiooni = komponendid on seesmine funktsioon u = ja väline funktsioon = u. Näide. Kui koostada komponentidest u = + ja = ln u liitfunktsioon, saame = ln +, 8
4 4 st funktsiooni Joonis.4: hüperboolne siinus = sh = arth. On olemas liitfunktsioone, millel on komponente rohkem kui kaks. Kui u on funktsioon, u = h(), muutuja v on u funktsioon ja muutuja on v funktsioon saame liitfunktsiooni v = g(u) t = f(v), = f{g[h()]}. Analoogilisel viisil saab defineerida nelja, viie ja enam komponendiga liitfunktsioonid. Näide 3. Koostame komponentidest u = cos, v = log u ja = v liitfunktsiooni ja leiame selle määramispiirkonna. Asendades teise funktsiooni u, ssame v = log cos ja asendades selle omakorda kolmandasse, saame = log cos. Määramispiirkonna leidmiseks kirjutame tingimuse log cos 0 9
4 Joonis.5: hüperboolne koosinus = ch Joonis.6: hüperboolne tangens = th ehk cos. Viimane tingimus on võimalik ainult juhul, kui cos =, millest = 0, ±, ±4,..., st määramispiirkond koosneb üksikutest punktidest X = { = n, n Z} 0
Joonis.7: hüperboolne kootangens = cth