I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A P r e d v j z č e t v r t u s e d m i c u s t v e (u demsoj 009/00. godii) G L A V A N I Z O V I I R E D O V I.. Općeito o izovim Izdržti, to je temelj vrlie. (BALZAK) Osov ritmetie i lgebre sstoji se u brojeju, tj. u izju brojev,,, 4, 5, 6, jedog z drugim čime se dobije iz ( ili slijed) prirodih brojev,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, itd. Alogo možemo posmtrti i izove rzih drugih (proizvoljih) predmet, pr. zgrd ee ulice s jede stre te ulice to d zmo oj je uć prv, oj do je, oj opet do ove, itd. Jed od jvžijih izov u prirodi je prirodi iz hemijsih elemet. U svremeoj zosti vži su pr. izovi rdiotivih elemet. Ko stje iz? Kod iz je vžo d im prvi ili početi čl, d im drugi čl, tj. oj oji je odmh iz prvog (o uopšte postoji oji čl posmtrog iz osim prvog), ztim, d im čl oji dolzi eposredo iz drugog tzv. treći čl (o iz im uopšte još oji čl osim prv dv) itd. Niz od jedog čl je svi mogući predmet, pr. broj 6, fultet itd. Brojevi,,,,, čie specijl iz od člov. No, svi iz od člov stje to d svom od tih brojev,,, pridružimo određe predmet. To dobijemo po redu predmete, odoso iz:,,, -,, pri čemu se predmeti,,, -, zivju človi iz, i to prvi, drugi,, posljedji (-ti) čl iz. Ao iz im člov, od se zove duži ili broj člov iz. Besoči iz stje to d svom prirodom broju pridružimo ei predmet (stvr ili zmišlje). Ao broju pridružimo predmet, od stje ovj besoči iz:,,,,, Tčice tu ozčvju d se ižu sve ovi i ovi človi iz, to d besoči iz em posljedjeg čl. Pri tome se zove opšti čl iz. Primijetimo d i svi čl besočog iz im svoj potpuo određei redi broj. Zto, pr. brojevi,,,...,,...,0 4 5

5 e čie iz jer čl 0 em tu svog redog broj. Gorje opise (ituitive) defiicije pojmov očog i besočog iz mogu se precizirti oristeći pojm preslivj. Defiicij... Koči iz elemet (eprzog) sup X je svo preslivje (fucij) x: M X, gdje je M ei oč podsup sup N. Defiicij... Besoči iz ili, rće, iz u (eprzom) supu X je svo preslivje x: N X, sup prirodih brojev N u sup X. Vrijedost x() X preslivj x u tči N zove se -ti čl tog iz i običo se ozčv s x, p se govori o (besočom) izu (x, N). Ao je specificir zvisost x od, od se x ziv opšti čl iz. Njčešće ćemo umjesto (x, N) upotrebljvti ozu ( x ) = ili (x ) poed i dužu ozu (x, x,, x, ) ili x, x,, x, oj sugeriše izje člov iz jed z drugim. Uzimjući u prethodoj defiiciji.. d je X sup R dobijemo iz (x ) relih brojev (iz u R), do z X : = C dobijemo iz (x ) omplesih brojev. Ao je, p, X sup eih fucij (pr. sup svih epreidih relih fucij segmetu [, b] R, <b), od je (x ) fucioli iz (iz fucij). Ao je X ei sup brojev, od z iz x: N X žemo d je broji iz ili umeriči iz. U osovome dijelu (testu) ovog poglvlj smtrt ćemo d je X = R, tj. rzmtrt ćemo isljučivo (besoče) izove relih brojev. Ne svojstv tvih izov mogu d se posmtrju i u opštijim situcijm. Primjer... ),,,,... je iz (x ) čiji je opći čl x dt s x 4 =. Ovo je primjer tzv. hrmoijsog iz, tj. iz od ojeg je svi čl (osim prvog) hrmoijs sredi jemu dv susjed čl., =,,...,9, b),,,, L,,,,,L je iz čiji je opći čl x dt s x = 4 9 0 0 0, = 0,,... 0 Ovj iz zivmo stciori iz. Iče, z (x ) žemo d je stciori iz o postoji 0 N tv d je x = C (C ostt) z svi 0. Z iz (x ) relih brojev žemo d je Fiboccijev ) iz o zdovoljv uslov x + = x + x +, ( N). (..) Nizovi (,,,, 5, ) i (,, 5, 8,, ) su primjeri Fiboccijevih izov. ) Leordo od Pise, pozt još o Fibocci (70? 50? ) itlijsi mtemtičr. O je postvio 0. godie u svom rdu Liber bci tzv. problem o zečevim (Rzmožvje zečev odvij se sljedeći či : pr zec zečic, oji imju br dv mjesec, toom svog sljedećeg mjesec dobiju pr mldih /zec i zečicu/. Ao se poče s jedim ovorođeim prom, olio će biti uupo tvih prov zečev o mjeseci?). Pozuje se d se ovj problem može opisti tzv. Fiboccijevim izom. 5

54 Z (x ) žemo d je ritmetiči iz o vrijedi x + x = d, ( N), (..) gdje je d fis broj. Iz (..) slijedi d je x + x = x + x +, ( N), te d je, ( N), tj. svi čl (izuzev prvog čl) ritmetičog iz je ritmetič sredi svojih eposredih susjed (otud i ziv ritmetiči iz). Osim tog, iz (..) dobijemo : x = x + d, x = x + d = x + d,, x = x - + d = = x + ( -) d. Dle, x = x + (-) d, ( N). Osim tog, sumu S : = x i i= od prvih člov ritmetičog iz (x ) možemo pisti u bilo ojem od ov dv obli: S = x + (x + d) + + [x + (-)d], S = x + (x d) + (x d) + + [x - (-)d], Odle dobijemo (sbirjući) S = (x + x ), tj. : S = ( x + x ) = [ x + ( ) d]. (..) Niz brojev,,,,, od ojeg je svi čl osim prvog jed proizvodu prethodog čl i stlog broj q 0, zove se geometrijsi iz. Tj iz je, dle, određe formulom + = q, =,,, Broj q oji je jed oličiu + x + x =, zove se oliči geometrijsog iz. Z određivje -tog čl iz (pomoću prvog čl, oliči q i broj ) vrijedi formul = q -. (..4) Zbir S od prvih člov geometrijsog iz određuje se po formuli: q S (..5) = q o je q, o je q =, td je, očito, S =. Ove formule lo se dozuju mtemtičom iducijom. Primjer... Koje uslove morju zdovoljvti brojevi, b i c d bi jedovremeo bili tri uzstop čl ritmetičog i geometrijsog iz? Rješeje: Jso je, d brojevi, b i c morju biti rzličiti od 0 (u protivom se e bi moglo govoriti o oličiu geometrijsog iz). N osovu pretpostve brojevi, b i c morju zdovoljvti sljedeći sitem jedči: b = c b (= d), b c = ( = q). b + x + 54

55 Iz prve jedčie sistem slijedi d je + c b =. Iz druge jedčie sistem slijedi d je b = c. Zči, svi čl geometrijsog iz (osim prvog) je geometrijs sredi jemu dv susjed, p i uopšte simetrič, čl. Odtle dolzi i ziv z geometrijsi iz. Otud je ( c) = 0, tj. = c, p je i b = c. Prem tome, brojevi, b i c su tri uzstop čl i ritmetičog i geometrijsog iz o je = b = c 0... Pojm i osov svojstv griče vrijedosti iz Pojmovi iz i jegove overgecije i griče vrijedosti jedi su od jvžijih mtemtičih pojmov oji svoju primjeu imju u rzim područjim mtemtie o što su pr. diferecijli i itegrli rču. Z iz relih brojev overgecij i grič vrijedost defiirju se sljedeći či. Defiicij... Z iz ( ) u R žemo d je overget (u R) o postoji reli broj ( R) tv d z svi rel broj ε > 0 postoji prirod broj 0 tv d z sve prirode brojeve veće od 0 vrijedi < ε. (..) U tom slučju broj zovemo grič vrijedost ( ili limes *), gric ) iz ( ) i pišemo lim( ) = ( ili lim = ili, rće, lim = ). Tođe td još žemo d iz ( ) overgir ili d teži d() i pišemo ( ). Z iz oji ije overget žemo d je diverget ili d divergir. Kd overgetom izu ( ) pridružujemo griču vrijedost, govorimo d vršimo griči prelz / prijelz. Defiicij... Kžemo d iz ( ) u R im griču vrijedost + (ili d overgir besočosti) i pišemo lim o z svi broj M R + = + postoji prirod broj 0, tv d je > M z svi prirod broj veći od 0. Sličo se defiir i grič vrijedost lim =. U ovim slučjevim že se i d je iz ( ) određeo diverget ili d divergir besočosti. U sldu s opštom defiicijom specijlih tipov podsupov uređeog sup, pod (otvoreim) itervlom s rjevim i b (, b R, < b) podrzumijevmo sup (, b) : = { x R < x < b }, pod odsječom ili segmetom s rjevim i b podrzumijevmo sup [, b] = { x R x b }. *) limes (lt.) - gric 55

56 Tođe često posmtrmo supove obli [, b) = { x R x < b }, (, b] = { x R < x b }, oji se poed zovu polusegmet, odoso poluitervl. Poed ćemo svi od ov četiri tip specijlih podsupov sup R zvti rzm i ozčvti s, b. Dlje, pod ooliom tče (odoso broj) x 0 R podrzumijevmo bilo oji podsup sup R oji sdži otvorei itervl sup R ojem t tč pripd. Specijlo, svi otvorei itervl u R oji sdrži tču x 0 R zovemo ooli (u R) tče x 0 i ozčvmo s U(x 0 ) ili O(x 0 ). Pri tome, z svi ε > 0 ooliu tče x 0 dtu s ( x 0 ε, x 0 + ε ) = { x 0 R : x x 0 < ε } zovemo ε - ooli tče x 0. Očito je d sv ooli tče x 0 sdrži eu jeu ε - ooliu, p je u rdu s oolim uvije dovoljo posmtrti ε - oolie. Tče sup R rzličite od i +, tj. sve tče sup R, zovemo očim, do tče i + zovemo besočim tčm sup R. Oolie (u R ) tč u R se defiirju logo o i oolie (u R) tč u R. No, često se posmtrju oolie tč ± oje e uljučuju tče i +, tj. posmtrju se oolie u R tč iz R. Nime, td se pod oolim tče, odoso tče +, podrzumijevju supovi obli (, ) = {x R : x < } i (, ] = {x R : x }, (*) odoso (b, + ) = {x R : x > b } i [b, + ) = {x R : x b }. (**) Primijetimo d se td mlo odstup od opšte defiicije oolie, jer se tče ± e uljučuju u sopstvee oolie. Mi se pridržvmo opšte defiicije pojm oolie i z tče ±, tj. pod ooliom tče podrzumijevt ćemo supove obli [, ] : = { x R : x } i [, ) : = { x R : x < }; ( < + ), pod ooliom tče + supove obli [b, + ] : = { x R : b x + } i (b, + ] : = { x R : b < x + }; ( b < + ). Npomeimo d z sup A R oji ije ogriče odozgo ( tođe z sup A R oji sdrži tču + ) uzimmo d je sup A : = +. Alogo, z sup A R oji ije ogriče odozdo ( i z svi sup A R ojem pripd tč ) uzimmo po defiiciji d je if A : =. To omogućv d se teorem o supremumu (odoso teorem o ifimumu) formuliše ovj či : Svi eprz sup u R im supremum (odoso, ifimum) (u R ). Ao sup ije ogriče, žemo d je eogriče. Supovi (*) i (**) su (besoči) eogričei rzmci. 56

57 Uzimjući u obzir defiicije pojmov ooli očih i besočih tč sup R, defiicije... i... pojmov oče i besoče griče vrijedosti iz u R mogu se objediiti u jedu defiiciju sljedeći či. Defiicij... Ne je ( ) iz u R i e je R. Kžemo d je grič vrijedost ili limes iz ( ) i pišemo = lim o z svu ooliu U tče postoji 0 N tv d > 0 povlči U. U slučju d je R (tj. d je oč broj), z iz ( ) žemo d je overget, u slučju d je = - ili + ili d grič vrijedost e postoji, žemo d iz ( ) divergir (u slučju d je limes iz ( ) besoč žemo d tj iz divergir u užem smislu, u slučju d limes od ( ) e postoji, žemo d iz ( ) divergir u širem smislu ili d oscilir). Defiicij... pojm limes iz u R se proširuje i izove omplesih brojev, izove fucij i uopšte izove elemet u metričim prostorim (p i u tzv. topološim prostorim), uz odgovrjuće zčeje pojm oolie tč u tvim prostorim. *) Iz defiicije limes iz slijedi d iz ( ) teži o su mu človi proizvoljo blizu tči čim je dovoljo veli. U tom slučju se još že d se u svoj oolii tče lze svi človi iz počev od eog ili soro svi človi iz (tj. svi osim, evetulo, jih očo mogo). Primjer... Niz je overget i vrijedi lim jer osovu = 0, Arhimedovog siom z svi ε > 0 postoji 0 N tv d je 0 < <ε, p je tim prije 0 < <ε z svi > 0. 0 Primjer... Ispitjmo overgeciju iz ( q ), (q R). ) Ao je q = 0, od je q = 0 z svi, p je lim Ne je 0 < q <. Td je q = /(+h) z ei h R + q = 0.. Prem Beroullijevoj ejedosti immo / h q < <, + h odle, sličo o u primjeru..., slijedi d je lim q = 0. Slučj < q < 0 rzmtr se logo. Dle, lim q = 0 o je q <. ) Z q = je q = z svi N, p je lim q = lim =. ) Ao je q >, od je 0< /q <. Ne je M R + proizvolj rel broj. N osovu ) je 0 < (/q) < /M z sve dovoljo velie prirode brojeve, p je q > M z dovoljo velie, tj. td prem defiiciji besoče griče vrijedosti iz immo d je lim q = +. 4) Z q = dobijemo iz,,,,,,. Človi iz s prim idesom su, človi s eprim idesom su. U svoj ε - oolii broj lze se svi *) Jso, u opštijim situcijm em smisl govoriti o divergeciji u užem smislu, odoso posmtrti besoče limese izov. 57

58 človi iz s eprim idesom, u svoj ε - oolii broj lze se svi človi iz s prim idesom. Zto lim ( ) e postoji, p je iz ( ) diverget u širem smislu (oscilirjući). 5) Ao je q <, od z sve pre vrijedi q > M, z sve epre je q < M, gdje je M ( > 0) proizvolj rel broj, dovoljo velii prirodi broj. To zči d postoji besočo člov iz ( q ) v sve oolie bilo og elemet R p tj iz em limes. Defiicij..4. Z iz (α ) u R žemo d je ul iz ili besočo ml veliči (ili ifiiteziml ) u odosu d + o je lim α = 0. ( ) Npr.,,,, ( + ) su ul izovi. Z iz ( ) žemo d je ogriče odozgo [ogriče odozdo] o je sup { : N } ogriče odozgo (odozdo). Z iz oji je ogriče i odozdo i odozgo žemo d je ogriče. Jedostvo se dozuju sljedeć osov svojstv gričih vrijedosti izov u R: (i) Ao iz im griču vrijedost, o je jedozčo određe. (ii) Svi overget iz je ogriče. (iii) Jedost lim =, gdje je R, vrijedi o = + α, pri čemu je (α ) ul iz. (iv) Zbir i rzli dv ul iz su ul izovi. (v) Proizvod ogričeog iz i ul iz je ul iz. (vi) (Vez između lgebrsih opercij u supu R i gričog prelz). Ne su ( ) i (b ) overgeti izovi i e je lim = i lim b = b. Td je: ) lim ( ± b ) = ± b, b) lim ( b ) = b (odle je lim ( α ) = α, α R ); c) lim = o je b 0. b b (vii) (Svojstv limes oj su u vezi s relcijom poret u R). ) Ao je lim =, lim b = b i < b, od je < b počev od eog. Specijlo, o je lim = < b, od je < b počev od eog. Alogo vži d se z < zmijei zom >. ) Ao je z svi N (ili počev od eog ) b i izovi ( ) i (b ) imju griču vrijedost, od je i lim Alogo vži lim b. d se z zmijei zom. ) ( Teorem o dv ždr / policjc ili Sedvič teorem ili Teorem o ulješteju.) Ne su ( ), (b ) i (c ) tri iz (u R), tv d je : b c z svi N (ili počev od eog ); lim = lim c = R. Td je lim b =. (viii) Ao je lim = 0, od je lim = 0. Doz: ( i ) Pretpostvimo, suproto tvrđeju, d ei iz ( ) im dvije griče vrijedosti, b i e su, pr., obje oče. Ne je ε : = b /. Td se 58

59 ε - oolie e sijeu, p je očito emoguće d i u jedoj i u drugoj budu soro svi človi posmtrog iz ( ). Time je doz ( i ) zvrše. ( vii ) Svojstvo ) se dozuje sličo o i ( i ), svojstvo ) slijedi iz čijeice d o bi bilo lim > lim b, od bi prem ) slijedilo > b, počev od eog, suproto pretpostvci. Dožimo svojstvo ) (oje se često oristi u zdcim). Ne je U proizvolj ooli tče R. Td z veće od eog N vži U, z veće od eog N vži c U. No, o sv ooli U bilo oče, bilo besoče tče im sljedeće svojstvo U, c U, b c b U, to zljučujemo d je b U z svi > 0, gdje je 0 : = mx {, }. Otud slijedi d je lim. b = Dozuje se d vrijede sljedeće relcije o osovim limesim u teoriji ozov:. lim = ;. lim = z svi R + ; 0, m<, m / bm, m=, m m m + m + + + 0 m. lim, m 0, = + > > b b + b + + b + b0 m, m> < 0; b ( N, >); 4. lim = 0 ( C) ; 5. lim = 0,! + + 6. lim + = lim + e = : (, ), + < e< +, e= lim + + + +,!!! gdje je ostt e Eulerov broj oji im decimli rzvoj e =,78888459045.., što ćemo sije objsiti. 7. lim log γ 0,5775664905... + + + = = Broj γ zove se Eulerov ostt. Dožimo, pr., d je lim =. Ne je :. Td je > 0 z >. Koristeći se biomim rzvojem u ojem su svi sbirci pozitivi, dobijemo ( ) = ( + ) =. 0 = > 0 Otud je 0 < < ( ), p vrijedi 0 ( ), odle je lim = 0, tj. lim =. Zdt... Izrčuti limes iz ( ) o je : ) = ; b) ; c) ; d) 4 = 4 = 4 + + +.. Podizovi. Tče gomilj Defiicij... Ne je : N N,, iz prirodih brojev tv d je < < < < = = 4!. +! 59

60 i e je : N A iz elemet proizvoljog sup A ( Ø). Td z iz : N A s človim ( N) žemo d je podiz (ili djelimiči iz) iz ( ). Iz ove defiicije eposredo slijedi čijeic d o iz ( ) u R im gričvrijedost, od i bilo oji jegov podiz ( ) im griču vrijedost. No, primjer iz ((- ) ) pozuje d mogu postojti overgeti podizovi iz oji em griču vrijedost. Defiicij... Z tču R žemo d je tč gomilj (ili tč gomilvj) sup A ( R) o u svoj oolii tče postoji br jed tč sup A rzličit od sme tče. Lo se vidi d se tč gomilj sup A ( R) može evivleto defiirti i o tč R u čijoj svoj oolii postoji besočo mogo tč sup A. Primjeom Ctorovog siom i Arhimedovog siom, dozuje se sljedeć teorem. Teorem... (Bolzo *) Weierstrssov **) teorem z supove ).Svi besoči ogričei sup u R im br jedu tču gomilj u R. Svi besoči sup u R im br jedu tču gomilj u R. Defiicij... Z tču R žemo d je tč gomilj (ili tč gomilvj) iz u R o postoji podiz ( ) tog iz oji teži d. Primijetimo d postoji rzli između pojm limes i pojm tče gomilj eog iz, te d immo i vžu rzliu između pojm tče gomilj iz ( ) i tče gomilj sup jegovih vrijedosti { N }. To, pr., iz (( ) ) im dvije tče gomilj i to i, sup jegovih vrijedosti { ( ) N }={, } je oč p em tč gomilj. Sljedeć teorem dje jedostv odgovor pitje o egzisteciji tč gomilj izov relih brojev, dozuje se osovu teoreme... (ili eposredo po logiji o i t teorem). Teorem... (Bolzo Weierstrssov teorem z izove). (i) Svi ogriče iz relih brojev im br jedu tču gomilj u R. (ii) Svi iz relih brojev im br jedu tču gomilj u R. Dožimo sljedeći stv : Stv... Sup T( ) tč gomilj iz ( ) relih brojev im msimum i miimum u R. Doz: Prem teoremi... sup T( ) je eprz, p im supremum i ifimum u R. Ao je tj sup oč, od je jegov supremum ujedo i msimum, ifimum ujedo i miimum. Ao je T( ) besoč sup i o jegov supremum i ifimum e bi bili ujedo jegov msimum i miimum, od bi, prem rterizciji supremum i ifimum, oi bili tče gomilj sup T( ). Ko očito sup T( ) sdrži sve svoje *) Berhrd Bolzo (78 848) češi mtemtičr, logičr i filozof. **) Krl Weierstrss (85 897) jemči mtemtičr. 60

6 tče gomilj, supremum i ifimum sup T( ) bi pripdli supu T( ), suproto pretpostvci. Time je doz stv... zvrše. Defiicij..4. Njveć (jmj) tč gomilj iz ( ) relih brojev zove se gorji limes ili limes superior (doji limes ili limes iferior) iz ( ) i ozčv s lim ili lim sup ( lim ili lim if ). Primijetimo d pojmove iz defiicije..4. treb rzliovti od pojmov sup{ N } i if { N }. Lo se dozuju sljedeće jedostve čijeice: ( i ) Niz ( ) im griču vrijedost o lim = lim, tj. o im smo jedu tču gomilj. ( ii) Niz ( ) overgir o je lim = lim oč broj. (iii) Niz ( ) im griču vrijedost o svi jegov podiz im griču vrijedost + ( ) Primjer... Niz ( ) čiji je opšti čl : = im dvije tče gomilj, tj. T( ) ={0, }.Ovdje se rdi o izu 0,, 0,, 0,,, tj. = i = 0 z svi N. U svoj ε - oolii tče 0 lze se svi človi iz s eprim idesom, u svoj ε - oolii tče lze se svi človi iz s prim idesom. Otud je lim =, lim = 0, p lim e postoji. Zdt... Z sve α R, odredite lim, lim i lim (u slučjevim d postoji) o je iz ( ) zd opštim člom cos + ( ) : =. α α Zdt... Z sve α R, odredite (o postoji) limes iz ( + cos ) l( α): = lim. Rezultt: l(α) = 0 z α <. si Zdt... Ne je ( ) iz oji divergir +, (b ) iz čiji je opšti čl dt s b : = si cos. Ustovite d je iz (b ) ifiiteziml..4. Cuchyjev pricip overgecije. Mootoi izovi. Broj e Često je od iteres ispitivje overgecije iz bez efetivog lžej jegovog limes. A ustoviti d li ei iz overgir je od fudmetlog zčj u rzim oblstim primjee teorije izov, o što su umerič liz, utomtso uprvljje, obrd sigl, teorij sistem i dr. Jed od či z ispitivje overgecije izov, oristeći se smo pozvjem smog iz, e zjući uprijed ojoj bi to gričoj vrijedosti o overgiro, dje Cuchyjev riterij overgecije. Defiicij.4.. Z iz ( ) u R žemo d je Cuchyjev ili fudmetl o z svi ε > 0 postoji ides 0 N tv d je m < ε čim su idesi m i veći od 0. Lo se dozuje d Cuchyjevi izovi imju ov svojstv: (i) Svi overget iz je Cuchyjev. 6

6 (ii) Svi Cuchyjev iz je ogriče. (iii) Ao Cuchyjev iz im overget podiz, o je i sm overget. No, vrijedi i obrt izjve (i), tj. vrijedi sljedeć teorem oj se ziv Cuchyjevim pricipom overgecije *). Teorem.4.. Svi Cuchyjev iz u R je overget (u R). Doz: Ne je ( ) Cuchyjev iz u R. Td je o ogriče, p iz Bolzo Weierstrssove teoreme slijedi d postoji podiz ( ) tog iz oji overgir u R. N osovu svojstv (iii) Cuchyjevog iz slijedi d je iz ( ) overget (u R), što je treblo i dozti. Primjer.4.. Primjeom Cuchyjevog riterijum dožimo d je iz ( ) diverget o je = i =. i Dovoljo je dozti d tj iz ije Cuchyjev, tj. dovoljo je dozti logiču egciju uslov iz defiicije Cuchyjevog iz: ( ) ije Cuchyjev ( ε > 0) ( 0 N) ( m, N) (m, 0 i m ε ). U šem primjeru stvimo ε = ½, m =. Td je m = + + + > = ( = ε) + + + z svi N, p iz ( ) ije Cuchyjev. Defiicij.4.. Z iz ( ) u R žemo d je eopdjući o je + z svi N, d je rstući (strogo rstući) o je < + z svi N. Alogo se defiir erstući i opdjući (strogo opdjući) izovi. Jedim imeom izove vede četiri tip zovemo mootoi izovi. Z mootoe izove vži sljedeći veom jedostv riterij overgecije : Svi mooto i ogriče iz u R je i overget u R. Zprvo, vrijedi sljedeć teorem: Teorem.4.. (i) Ne je ( ) eopdjući iz u R. Td ( ) overgir u R o je ogriče odozgo. (ii) Svi eopdjući iz u R im griču vrijedost u R. Aloge izjve vrijede i z erstuće izove. Doz: (i) Dovoljo je dozti d eopdjući i odozgo ogriče iz ( ) u R im oču griču vrijedost. Prem teoremi o supremumu postoji : = sup{ N }< +, odle slijedi d z svi ε > 0 postoji 0 N tv d je - ε < 0. No, o je iz eopdjući, otud je - ε < z svi > 0, tj. < ε z svi > 0, p je iz ( ) overget i lim =. *) Umjesto ovog teorem često se dje Cuchyjev riterij overgecije z izove u R oji glsi : Niz ( ) u R je overget u R o je Cuchyjev. 6

6 (ii) Ao eopdjući iz ( ) ije ogriče, to zči d se z svi M R može ći 0 N tv d je 0 > M. No, zbog svojstv mootoosti; otud slijedi d je tođe > M z svi > 0. Time je pozo d iz ( ) u R im griču vrijedost u R i lim = +. Primjer.4.. Dožimo d je iz ( ) relih brojev defiir opštim člom : =, ( N), overget. U tu svrhu dovoljo je dozti d je ovj iz + (strogo) rstući i ogriče odozgo. N osovu Berulijeve ejedosti immo (z svi ): > =, tj. = + > = = + =, odle slijedi d je iz ( ) (strogo) rstući. Dožimo d je iz ( ) ogriče odozgo. Z primjeom Newtoove biome formule dobijemo ( )... ( + ) = + = = + + = = 0 =! = +.... =! Iz ejedosti! -, ( ), i formule z zbir prvih člov geometrijsog iz dobijemo < + + + + = + + = + + + + + = + = =! = = = <, tj. iz ( ) je ogriče odozgo. Otud slijedi d iz ( ) im oču griču vrijedost. Tu griču vrijedost (prem Euleru) zovemo broj e. Dle, e : = lim +, ( < e < ), ( e =,78888459045...). Lo se dozuje d je broj e (oji se još zove i Eulerov broj) irciol broj, Hermite je 87. godie dozo d je broj e č i trscedet, tj. e zdovoljv ivu lgebrsu jedčiu 0 x + x - + + = 0, ( 0 0), s rciolim oeficijetim. Broj e im velii zčj u mtemtičoj lizi i jeim primjem, često i prirodo se uzim z bzu logritmu ( prirodi logritm l). Primjer.4.. + β + ) lim lim e α αβ = = = e ; b) lim e z sve α, β R i z + = e svi iz ( ) u R tv d je lim =±. 6

64 Zdt. 4.. * Nđite (o postoji) ili ustovite d e postoji lim, gdje je : = + + L + ( ). I. -. II. -. III.. IV. Ne postoji lim. Zdt. 4.. * + 9 Z iz ( ), gdje je : =, ( N), đite lim 4. 8 9 9 I.. II. -. III. +. IV. -. 8 8 Zdt. 4.. * Z iz ( ), gdje je : = 6 ( N \ {}), đite lim i lim ( ). + 6 +... + 6, Zdt. 4. 4. ** Duž veličie je podijelje dijelov jedih duži. Nd svim dijelom ostruis je rug. Odredite: ) zbir O, obim svih dobijeih rugov; b) zbir P, površi svih dobijeih rugov; c) lim O ; d) lim P. Ztim disutujte dobivee rezultte pod c) i d).. 5. Pojm i e svojstv (besočog) red Predmet proučvj ovog i redih prgrf ove glve je uglvom teorij umeričih (brojih) redov. O se oslj teoriju izov i (ituitivo, opiso) može se reći d je tj predmet sumirje besočog broj očih sbir. To sumirje privlči pžju uči još od tičog dob, oji su u tom postupu otrili više prdos (o što je prdos grčog filozof Zeo iz Eleje, oji je tvrdio d strijel e može d leti, odoso d Brzoogi Ahil utrujući se s bićem oje je jsporije, orjčom, eće je moći dostići, o je o pošl prije jeg ***). Besočim redom smo se zprvo već formlo služili predstvljjući rele brojeve besočim decimlim brojevim, pr. d smo stvljli ⅓ = 0,, jer u decimlom zpisu (ozci) to e zči drugo ego = + 0 0 + + 0 +, dle, simbol oji im obli zbir u ome broj (očih) sbir rste bez rj. Budući d smo se dosd susretli smo s summ očog broj sbir, uvodimo tim čiom pisj ssvim ov simbol ome treb jso i tčo odrediti zčeje d izbjegemo bezbrojim zmm što se riju svome oru d se uputimo u rjeve besočo veliog. * ) Zdt s ispit iz IM. ** ) Zdt oji je bio zd z domću zdću iz IM. *** ) Ko zmo d strijel ip leti, odoso d je Ahil mogo dostići orjču, Zeoov prdos ćemo objsiti rju ovog prgrf. 64

65 Ne je zdo besočo mogo (iz) relih brojev,,,, i pomoću jih pis simboliči izrz u obliu zbir: + + + +. (.5.) Tj simbol ziv se besočim (relim) redom s opštim člom, ili besočim redom ome su brojevi,,,, človi *), ili rće (relim) redom (ili redom u R). D tom simbolu dmo zčeje, prirodo je d postupmo ovo. Ozčimo prvi čl tog izrz s s, zbir + s s, itd., tj. stvimo: s : =, s : = +,, s : = + + +, ; (.5.) sberimo dle zde brojeve,,,, počevši od prvog čl po čl. To dolzimo do iz (s ) prcijlih zbirov ili prcijlih sum (odsječ) zdog red (.5.): s, s,, s, (.5.) ome su človi zbirovi od sve većeg, li uvije očog broj člov,, uzetih redom o se u simbolu (.5.) pojvljuju. Simbol besočog red : + + + + ili rće (.5.4) smo je drug oz z besoči iz prcijlih zbirov (s ). No, u ovije vrijeme se običo pojm (besočog) red uvodi ovj formliji (preciz) či (jer red ije obič sum svojih člov i pri sumirju besočog broj sbir pojvljuju se ee ove osobie u odosu oč slučj **) ): Ne je ( ) iz relih brojev. Td je z svi N defiir sum: : = = + = s +... + prvih člov iz ( ) to d z svi ( N \{}) vrijedi s = s +. (.5.6) Prirod je idej d se sum s svih člov iz ( ) defiiše o lim s. (.5.5) Alogo se postup i u proizvoljom ormirom vetorsom prostoru X (ormiri vetorsi prostor je uređe pr ( X, ) oji se sstoji od vetorsog prostor X d poljem Φ relih ili omplesih brojev i orme X, tj. preslivj : X R, gdje je R sup relih brojev, oje zdovoljv uslove: (N ) x 0; (N ) x = 0 x = 0 X (ulvetor u X ); (N ) λ x = λ x, (λ Φ, x X ); (N 4) x + x x + x ). Ao želimo sumirti sve člove iz ( ) iz X, pridružujemo izu ( ) ov iz (s, N), gdje je s dto relcijom (.5.5) i govorimo o redu s človim i prcijlim summ s. = *) Tče jegovom rju zče d dodvju ovih člov em rj. **) D red ije obič sum svojih člov vidimo pr. iz poušj sumirj člov iz ((-) - ) tri rzličit či: ) + + = ( ) + ( ) + ( ) + = 0; ) + + = = + ( + ) + ( + ) + = ; ) + + = ( ) + ( ) + = ( + ) + ( + )+ + = + ( ) + ( ) + =. 65

66 Defiicij.5.. Ne je dt iz ( ) u R (ili, opštije, u ormirom vetorsom prostoru X ) i e je s z svi N. Besoči red ili, rće, red u R = = ( ili, opštije, u proizvoljom ormirom vetorsom prostoru X ) je uređe pr (( ), (s )) oji se sstoji od dv iz ( ), (s ) (, s R, odoso,, s X ); su človi red, s ( N) te prcijle sume red. Niz (s ) zivmo izom prcijlih sum dtog red. Sm red se rće ozčv ili ili. *) (.5.7) Z se že d je -ti čl red, o je specificir zvisost od, od se ziv opšti čl red. Iz defiicije.5.. slijedi d su dv red jed o imju jede člove s istim idesom. Oz z red sugeriše sumirje, primjejiv je jer je iz (s ) prcijlih sum (tog red) određe izom ( ). Red se često ozčv i ispisivjem eolio prvih člov, pr. + + +. Ao su elemeti (človi) red reli ili omplesi brojevi, žemo d je tj red umeriči ili broji (s osttim človim); redove čiji su človi fucije zivmo fuciolim redovim. Defiicij.5.. Ne je ( ) iz u R (ili, opštije, iz ormirog vetorsog prostor X ). Kžemo d je iz ( ) sumbil u R ( odoso, u X ) ili d je red overget ( u R, odoso, u X ) o je iz prcijlih sum (s ) red overget ( u R, odoso, u X ). Limes s := lim s ziv se sum red i ozčv se s = s. = Ao red ije overget, že se d je diverget. Rdi veće jsoće u ovom poglvlju rzliujemo simbole i z red od simbol z sumu red, što često ije slučj u literturi *). Poed su človi = red umerisi počevši od 0, ili od eog (fisirog) prirodog broj r (>). Td se sum red ozčv s =0, odoso. =r (.5.8) Ndlje ćemo se (o drugčije e zčimo) ogričiti redove u R (redove relih brojev, redove s osttim človim). Ao iz (s ) prcijlih sum red u R im oč ili besoč limes s, od se že d tj red im sumu i d mu je sum sum jed s. Ao iz (s ) em limes u R, od se že d red em sume (i oče i besoče). U sldu s defiicijom.5.., z red se že d je overget (u R) o im oču sumu, *) Grčo slovo je početo slovo ltise riječi sum. Prv upotreb oze z sumciju pripisuje se Euleru. 66

67 u suprotom se že d je red ( R) diverget (u R). Prem tome, red u R je diverget (u R) u sljedeć dv slučj: Red im sumu s li je s = ili + i td još žemo d je red određeo diverget ili diverget u užem smislu; Red em ivu sumu (i u R) i td još žemo d je red oscilirjući ili d je diverget u širem smislu.. Ao je red overget, od sum prvih p člov s p predstvlj približu vrijedost z sumu s tog red. Zprvo, iz lim p s p = s, immo d z svi ε > 0 postoji prirod broj 0 (= 0 (ε)) tv d je s s p < ε z svi p 0, p se sum overgetog red može izrčuti s proizvoljim stepeom tčosti pomoću prcijlih sum red. Ao je red overget, od se lo vidi d je overget i red + p (.5.9) p z svi p N i vrijedi jedost =. = + = Z sumu = p + = p+ že se d je ostt red poslije p-tog čl. No, i z sm red (.5.9), bez obzir d li je red overget ili diverget, že se d je ostt red poslije p-tog čl ili p-ti ostt red, što ćemo i mi govoriti. Obruto, o red + p overgir z ei p N, od overgir i red. Zprvo, vrijedi sljedeć tvrdj: Tvrdj.5.. (i) Ne je p proizvolj fisir prirod broj. Td red overgir o i smo o overgir red +p, tj. red i jegov ostt +p su eviovergeti (ob red su ili overegt ili diverget). Osim tog, u slučju overgecije ovih redov z jhove sume s i r p, respetivo, vrijedi s = s p + r p, gdje je s p p-t prcijl sum red. (ii) Ao je red overget, od sum r p jegovog p-tog ostt teži uli d p. Doz: (i) Ne je s p p-t prcijl sum red. Ozčimo s s ' -tu prcijlu sumu ostt p+ red poslije p-tog čl, tj. s ' = p+ + p+ + + p+ ( N). Td očito vrijedi s p+ = s p + s ', odoso s ' = s p+ s p, gdje je s p + = i. (*) (Sum s, p = s ' = s p+ s p poed se zove odresom red. ) Pretpostvimo sd d red overgir i d mu je sum jed s. Td s p+ s, ( ), p iz (*) slijedi d s ' = s + p s p s s p, ( ). Zči, red (.5.9) je overget i sum mu je jed s s p. Ao tu sumu ozčimo s r p, vrijedit će, dle, r p = s s p, tj. s = s p + r p (*)'. Pretpostvimo sd d je red (.5.9) overget s sumom r p. To zči d s ' r p, ( ). No, odvde i iz (*) slijedi d s p+ s p + r p,. Prem tome, red je overget i vrijedi, o mu sumu ozčimo s s, d je s = s p + r p, tj. poovo vrijedi (*)'. (ii) Ne je red overget s sumom s. Td je i (.5.9) overget red. Ao mu sumu ozčimo s r p, od vrijedi s = s p + r p. No, ovdje je p fisir li proizvolj prirod broj. Ao pustimo d p dobit ćemo d s p s. Iz s = s p + r p sd slijedi r p = s s p s s = 0, p, p je doz tvrdje.5.. zvrše. + p i= *) No, u redim odjeljcim (prgrfim) ovog poglvlj ip često, umjesto, oristimo simbol = 0, (posebo u slučjevim d je 0, 0 N 0 ). 67

68 Red (.5.9) stje iz red odbcivjem prvih p člov. No, mi možemo smtrti d je red sto iz red (.5.9) to što smo tom redu dodli p ovih prvih člov. Otud osovu tvrdje.5.. slijedi d odbcivje ili dodvje očo mogo člov red e utiče overgeciju tog red, li u opštem slučju utiče jegovu sumu. Iz tvrdje.5.. može se zljučiti d je red overget o sum r p ostt red poslije p-tog čl teži uli d p +. To zči d se sum overgetog red može prosimirti prcijlim summ, pri čemu greš te prosimcije teži uli d broj člov oji se sumirju rste. Teorem.5.. (Potreb uslov z overgeciju, ili test -tog čl). Ao je red overget, od iz ( ) jegovih člov overgir uli, tj. lim = 0. Doz: Ne je s : =. N osovu pretpostve teoreme, immo d postoji i d je = oč grič vrijedost lim : s. S druge stre je s s =, ( > ), p je Q.E.D. D vedei eophod uslov overgecije red ije i dovolj, pozuje sljedeći primjer: Primjer.5.. Opšti čl red očito teži uli d. Međutim, z prcijlu sumu s : = vži relcij = s = + + + + + + = =. Očigledo, + d +, p je lim s = +, tj. red divergir (u užem + smislu). Teorem.5.. (Cuchyjev riterijum z overgeciju redov) *). Red overgir o i smo o z svi ε > 0 postoji 0 N tv d iz > 0, p N slijedi + + + + + +p < ε. Simboliči, overgir [( ε >0) ( 0 N) (, p N ) ( > 0 + + + +p < ε )]. Doz: Slijedi eposredo iz Cuchyjevog pricip overgecije z izove relih brojev (tj. iz čijeice d je svi Cuchyjev iz u R overget). Q.E.D. Z dte redove i b, red ( + b ) ziv se jihovim zbirom, red ( b ) rzliom tih redov. red s = lim = lim ( s s ) = lim s lim s = s s = Vrijedi sljedeć tvrdj: Tvrdj.5.. (i) Ao red overgir, od overgir i red α, (α R). Pri tome je sum α jed proizvodu ostte α i sume red, tj. 0. α. = α = = 68

69 (ii) Ao redovi i b overgirju, od overgirju i redovi ( + b ) i ( b ) i jihove sume su jede zbiru i rzlici, respetivo sum redov i b. Doz: (i) Ne je s : = + + +, S : = α + α + + α. Iz egzistecije griče vrijedosti lim s : = s slijedi lim S = lim αs = α lim s = α s. (ii) Ne je s ' = + + +, s '' = b + b + + b i lim s = s', lim s = s' ', S = ( ± b ) + ( ± b ) + + ( ± b ). Td je ' '' ' '' lim S = lim [( + + + ) ± ( b + b + + b )] = lim s ± lim s = s ±. s ' '' Q.E.D. Primjer.5.. Red q -, ( 0, q 0), ziv se geometrijsim redom. Prcijl sum s tog red predstvlj sumu prvih člov geometrijse progresije i dt je s s : = + q + + q -, odoso s ( q ), q s = q,, q =. Z q < je lim q = 0, p td geometrijsi red q - im oču sumu s dtu s s = lim s =, q tj. overget je. Ao je q, geometrijsi red divergir i to u određeom smislu z q, oscilir z q. Nime, z q > je lim q = + ; z q < grič vrijedost lim q e postoji; z q = je s =, p je lim s = sg ; do z q = grič vrijedost lim q e postoji. Primjer.5.. (Zeoov prdos). Prem vijesti oju je sčuvo Aristotel u svom djelu Fizi (j. VI. 9.) slijedi d je pojm besočog geometrijsog red s oličiom q : = ½ pozvo grči filozof Zeo iz Eleje (5. st. pr..e.) i jime se služio u pobijju svojih protivi. Slič je geometrijsi red osov i tzv. Zeoov prdos oji se sstoji u sljedećem : Brzoogi Ahil utrujući se orjčom eće je moći dostići, o je o pošl prije jeg. Jer do Ahil protrči put s 0 što g je to jsporije biće već prošlo do čs d Ahil počije trčti, pomut će se orjč dlje z ei dio put, pr. z s 0 / 0. Do Ahil prođe tj dio put, poml se orjč z isti dio put s 0 / 0, tj. z dljih s 0 / 0. Z vrijeme do Ahil i tj dio prolzi predovl je orjč još z s 0 / 0 i to se stvlj to dlje (sl..5.). Budući d Ahil mor svi put preći još oj dio put što g je orjč eposredo prije tog prošl, eće je o po Zeou id dostići. *) Opšti Koši Bolzov riterij z overgeciju redov, ili, pricip overgecije z redove. Specijlo, z =, q = geometrijsi red im obli + +. Z jegove prcijle sume immo s p dti red oscilir između 0 i., = 444 +... 4± = 0, jediic o je epr, o je pr prirod broj, 69

70 Put što g prelzi Ahil predoče je ime besočim geometrijsim redom oji (prem svremeom 0 čiu izržvj u uci) overgir i im sumu s0 ( = s0), li ome Ahil e može doći rj 9 0 zbog besočog broj člov. No, o Ahil trči epreido, e sstvljjući svoj put iz člov 0 geometrijsog red, dostići će o orjču uprvo u tči 0. Nime, o uzmemo d su ob retj 9 s jedoli i ozčimo s s cio Ahilov put, dle do tče gdje Ahil dostige orjču, put što g orjč pređe od čs d Ahil počije trčti s s', bit će s =s 0 + s', li o Ahil trči deset put brže, dužie s 0 putev se odose o brzie, to je s 0 + s = 0 s', tj. s' =. Prem tome, cio Ahilov put s izosi : 0 0 s= s 0 ( + ) = s0. 9 9 Sl..5.. s0 s0 s0 ( s = s0 +, s = s0 + +, 0 0 0 s0 s0 s0 s = s0 + + +,...) 0 0 0 U prethodim rzmtrjim mi smo polzeći od red formirli iz jegovih prcijlih sum, tj. iz (S ), odoso (formlije) u smoj defiiciji pojm red smo uljučili i iz (S ). No, o m je uprijed dt ei iz (S ) lo m je formirti red od og je iz (S ) iz prcijlih sum. To je red: S + (S S ) + (S S ) + + (S S - ) +. Prvi čl ovog red je S, drugi S S, treći S S itd. Pitje overgecije red jjedostvije je izučvti od tzv. pozitivih redov. Zbog tog mi prelzimo rzmtrje prvo tvih redov.. 6. Pozitivi redovi Posmtrjmo red. (.6.) Z red (.6.) žemo d je pozitiv ili d je red s pozitivim človim (ili red s eegtivim človim) o je 0 z svi N, ili (opštije) o postoji prirod broj 0 N tv d je 0 z svi 0. Ne je S ( =,, ) -t prcijl sum red (.6.) i e je red (.6.) pozitiv. Td immo d je: S + = + + + + + = S + 4444 +. S Zbog + 0 z svi 0 (z ei 0 N) immo odvde d je S + S z svi 0. Vidimo dle d je iz ( S ) prcijlih sum pozitivog red (.6.) eopdjući = z 0. Iz teoreme o limesu mootoog iz, zljučujemo dle, d je iz (S ) 70

7 overget o je ogriče odozgo. Ao p iz (S ) ije ogriče odozgo, od vrijedi: lim S = +. N osovu ovog možemo formulisti sljedeći vž i jedostv stv: Stv.6.. Pozitivi red (.6.) je overget o je iz (S ) jegovih prcijlih sum ogriče odozgo. Ao iz (S ) ije ogriče odozgo, od je pozitivi red (.6.) diverget i vrijedi = +. = N osovu stv.6.. možemo zljučiti d svi pozitivi red im sumu (oču ili besoču). T sum je oč o je iz prcijlih sum tog red ogriče. Veći riterij z overgeciju ili divergeciju pozitivih redov zsov je idireto jedostvom stvu.6.. Primjeom stv.6.. dozuje se d je red α, gdje je α fis rel broj, overget o je α >, diverget o je α. Ovj red se ziv hiperhrmoijsi red. Ao je α =, dobijemo tzv. hrmoijsi red. Stvovi o overgeciji pozitivih redov dobijei poređejem redov Posmtrjmo sd dv pozitiv red red (.6.) (tj. red ) i red b. (.6.) Prvi riterij upoređivj dt ćemo u obliu sljedeće teoreme: Teorem.6.. Pretpostvimo d postoji prirodi broj 0, tv d z člove redov (.6.) i (.6.) vže ejedosti *) b z sve 0. Td iz overgecije red (.6.) slijedi overgecij red (.6.), iz divergecije red (.6.) slijedi divergecij red (.6.) (U ovom slučju žemo d je red b mjort red, d je red miort red b.) Doz: N osovu tvrdje.5.. bez ogričej opštosti, možemo pretpostviti d je 0 =. Prcijle sume red (.6.), odoso red (.6.), ozčimo s s ', odoso s ''. Ne je '' lim s = s' ' R. Iz ejedosti b ( N) slijedi d je s ' s '' s''. Dle, iz (s ' ) je ' eopdjući i ogriče odozgo, te postoji lim s. Drugo tvrđeje teoreme je evivleto prvom, o jegov otrpozicij. Teorem.6.. Ne postoji lim = K, 0 K, gdje su i b človi redov b (.6.) i (.6.). Ao je K <, od iz overgecije red (.6.) slijedi overgecij red (.6.). Ao je K > 0, iz divergecije red (.6.) slijedi divergecij red (.6.). * ) ili ejedosti b z svi N i z svi R +. 7

7 (Ao je = O(b ) i b = O( ) ( + ) ili ~ b ( + ) ili o postoji lim : = K, b 0 < K < +, od se redovi i b eviovergeti.) *) + b+ b Teorem.6.. Ne z člove redov (.6.) i (.6.) z ei 0 N vže ejedosti: z 0. Td iz overgecije red (.6.) slijedi overgecij red (.6.), iz divergecije red (.6.) slijedi divergecij red (.6.). Kriterijumi overgecije pozitivih redov Osim gorjih stvov, u cilju ispitivj overgecije redov s pozitivim človim oriste se i ei stvovi oji dju dovolje uslove z overgeciju, odoso divergeciju, tzv. riterijumi (testovi) overgecije. Nvešćemo eolio tvih riterijum, oji se izvode iz poredbeih riterijum (osovih riterijum overgecije) i oji su često efisiji u primjem. Stv.6.. (Dlmberov **) riterijum) /Cuchy-Del. rtio test /. (Jč form riterij). Ao z red (.6.) postoji 0 N i q R, to d je + q < z 0, od o overgir. Ao p postoji 0 ' N, to d je + z 0 ', od red (.6.) divergir. (Slbij / grič form riterij). Ne z člove red (.6.) postoji + lim : = l. Td z l < red (.6.) overgir, z l > o divergir. (Z l = ovj riterijum je eodlučiv.) (Njjč form riterij). Ao je lim + <, od red (.6.) overgir, o je lim + red (.6.) divergir. *) >, Doz: + Iz ejedosti q 0, dobijemo 0+ q,,...,,.... 0 0+ q q 0 0+ 0 *) Ao vrijedi = O* p,( ), od z p > pozitivi red overgir, z p isti red divergir. Npomeimo d (općeito) zpis f(x) = O* (g(x)) (x ) (gdje je R ) ozčv d z f ( x) fucije f i g vrijedi lim x =,(0 < < + ). g( x) **) J. le R. D Alembert (77 78) - frcusi mtemtičr i filozof. 7

7 = + Ko red q = 0 overgir, to overgir i red 0. Dle, overgir i red (.6.). Ao je + z svi 0 ', od opšti čl e teži uli, p red (.6.) divergir osovu teoreme.5.. + Ne je lim = l < i 0 < ε < l. Ozčimo q : = l + ε. Td postoji 0 N + to d je < q < z svi 0. N osovu dozog dijel ovog stv dobijemo d red (.6.) overgir. + Ao je lim = l >, td je + počev od eog 0 ' N, p tvrđeje poovo slijedi iz prvog dijel stv. Ne je ε >0, tv d je ε < q. Td postoji 0 = 0 (ε ) N, tv d vrijedi i+ 0 < < q + ε, i = 0,...,. i 0 Otud je 0 < Ko red (q+ε ) < ( q + ε). overgir, to overgir i red. 0 ( q + ε) Primjer.6.. Red + + ( + ) + ( + ) + overgir, jer je lim =. + + + Hrmoijsi red divergir, red overgir. Z ob red je lim + =, p se o jihovoj overgeciji osovu Dlmberovog riterijum e može reći išt. (U tvim slučjevim ovj riterijum je eodlučiv / red može d overgir ili d divergir /. ) Alogo se dozuje d vrijedi i sljedeći riterij: Stv.6.. (Košijev / orijei / riterijum) /Root test/, (8). º Ao z red (.6.) postoji 0 N i q R, to d je q < z 0, od o overgir. Ao postoji 0 ' N to d je z 0 ', od red (.6.) divergir. º Ne postoji lim : l. Td z l < red (.6.) overgir, z l > o = divergir. º Ao je lim : l, od l < overgir, l > = (jopštiji obli Cuchyjevog riterijum orije) *). + = = + *) U slučjevim, d Dlmberov i Košijev riterijum e dju odgovor, od primjejujemo precizije riterijume, oji se zsivju upoređivju red ojeg ispitujemo s drugim poztim redovim (o što su hrmoijsi i hiperhrmoijsi, pomoću ojih se može dobiti i, pr., Rbeov i logritmsi riterij) čij je overgecij sporij od geometrijse progresije. Iče, z red žemo d je sporije overget ego red ' o z sumu r ostt red i z sumu r ' ostt red ' vrijedi relcij lim ( r / r ') = 0. 7

74 Primjer.6.4. º Red + + = overgir jer je lim =. º Sličo o u primjeru.6.. pozuje se d u slučju d je lim =, e možemo išt reći o overgeciji red (.6.) osovu Košijevog riterijum. (U ovom slučju Cuchyjev riterijum orije je eodlučiv.) Dozuje se d vže i sljedeć tri riterij z pozitive redove. *) ) Ao, počevši od eog, vži ejedost r >, odoso, + + od red (.6.) overgir, odoso divergir. Ao je lim r, od red = + (.6.) overgir, odoso divergir, z r>, odoso r< (Rbeov **) riterijum), (8). ) Pretpostvimo d se odos člov red (.6.) može pisti u obliu (što je evivleto s relcijom = λ + + O, ( ) ), gdje su λ, μ i α (>) (.6..) ostte, (θ ) je ogriče iz u R. Td: ) Z λ > (odoso λ < ) red (.6..) overgir (odoso divergir) (što slijedi eposredo iz Dlmberovog riterijum). b) Z λ =, μ > (odoso λ =, μ < ) red (.6..) overgir (odoso divergir) (što slijedi eposredo iz Rbeovog riterijum). c) Z λ =, μ =, red (.6..) divergir (ovo se dozuje osovu tzv. Kummerovog riterijum, čiju formulciju ovdje ećemo voditi). Ovo je tzv. Gusov ***) riterijum, oji se običo oristi o je λ =, jer z λ overgecij red se može ispitti Dlmberovim ili Košijevim orijeim riterijumom. O im širou oblst primjee, li o ip ije uiverzl, jer rzvoj (.6..) e mor uvije d postoji (ije uvije moguć). ) (Itegrli riterijum) Ne je f(x) eegtiv i erstuć rel fucij [, + ) ( R) z ei > 0 i e je = f(). Td red ( ) overgir o i smo o overgir esvojstvei itegrl ****) + + + μ θ = λ + +, α μ α f ( xdx ), tj. ovj red i ovj itegrl su eviovergeti. *) Rbeov i Gussov riterij, i ei drugi riteriji (o što je Bertrdov riterij), izvode se iz Kummerovog riterijum, oji predstvlj jed opšti riterij (p o tv im teorijsi zčj). **) J. L. Rbe (80 859) - švjcrsi mtemtičr. ***) C. F. Guss (777 855), jemči mtemtičr, fizičr i stroom (oji je prvi dozo osovi teorem lgebre u svojoj dotorsoj disertciji i to o mldić od godie; po mogim Gus je jveći mtemtičr svih vreme). ****) Pojm esvojstveog itegrl ćemo uvesti pri rju ovog urs. 74

75 Zdt. 6..* ) Požite d red overgir te izrčujte sumu b) Požite d red jegovu sumu. = 0 4 = 5 + Zdt. 6..* ) Dožite d red + + 4 ( " N 0 ). =, gdje je, (z iz )), overgir, ztim đite overgir. + ( ) b) Izrčujte sumu, gdje je sum svih cifr všeg mtičog broj. = ( + ) c) Požite d vrijedi, z svi N. ( + ) ( + ) d) Požite usporedim riterijem d red overgir. ( + ) e) Ustovite osovu d) d je red overget. ( Dozuje se d z π pripdu sumu ovog red vrijedi: =.) = 6 Zdt. 6..* ) Zmjeom iz (x ) odgovrjućim redom, ispitjte overgeciju iz (x ) zdog formulom x = + + +. b) Koristeći Gussov riterij ispitjte z svi p e R overgeciju red o je ( )!! = ( )!! p ( " e N ). c) Dožite d redovi i b overgirju i izrčujte jihove sume o je =, b ( ) = + + + + ( " e N ). ( + ) * ) Zdt zdv z domću zdću (DZ) i (prcijli i/ili itegrli) pismei ispit iz Ižejerse mtemtie (IM) Eletrotehičom fultetu Uiverzitet u Srjevu. 75