Glava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva

Transcript

1 Glava Nizovi i skupovi realih brojeva Cetralo mesto u matematičkoj aalizi pripada pojmu graiče vredosti, odoso limesa. Upozaćemo se sa defiicijom limesa iza i sa tehikama alažeja graičih vredosti. Razmatraćemo i ekoliko važih osobia skupova realih brojeva, koje su u vezi sa pojmom limesa. U ovoj glavi izložićemo i jedu jedostavu metodu za umeričko rešavaje jedačia, zajedo sa jeom teorijskom osovom. Prebrojivi i eprebrojivi skupovi Reali izovi Tri (a prvi pogled) teorijske teme Osobie skupova realih brojeva Zadaci 43

2 44. NIZOVI I SKUPOVI REALNIH BROJEVA.. Prebrojivi i eprebrojivi skupovi Nekad davo, u praistoriji, ekom pastiru je palo a pamet da ureže po jeda zarez u odlomljeu grau drveta, za svaku ovcu koja je jegova; a taj ači je mogao da, krajem daa, ustaovi da li su mu sve ovce a broju. To je bilo rod eje pojma prirodog broja, fasciata zamisao, koja je dovela do matematike koju daas pozajemo. Nije am teško da shvatimo prirode brojeve, jer smo aučei a jih od detijstva. Jeda prst, dva prsta, tri prsta. Dva oka. Dve ruke. Tri sestre. Ali, trebali su mileijumi da se dod e do te jedostave apstrakcije. Izrečeo daašjim jezikom, za svaki koača skup postoji bijekcija koja ga preslikava a jeda skup {,,..., }; atajači utvrd ujemodaskupima elemeata. Skupove poredimo po broju elemeata: skup koji ima 7 elemeata je veći od skupa koji ima 3 elemeta. Matematička aaliza se, uglavom, bavi beskoačim skupovima. Skup prirodih brojeva, N, ili skup realih brojeva, R, su primeri takvih skupova, koji am se čie dobro pozatim. Prirodi brojevi su am bliži od realih, ali matematičari zaju da u skupu prirodih brojeva postoji možda i više eigme ego u skupu realih. Jeda takav pozati primer jeste Fermatova posledja teorema,kojaje dokazaa tek 993. godie, posle 350 godia bezuspeših pokušaja ajčuveijih svetskih matematičara. Osim toga, veliki prirodi brojevi su va aše ituicije. Teško je shvatiti kolika količia se alazi u 64 zra pšeice sve dok se e uporedi sa ečim što am je pozato (videti strau 4). Beskoači skupovi mogu se porediti po broju elemeata, a sliča ači kao i koači. Za beskoača skup S realih brojeva kažemo da je prebrojiv skup ako postoji bijekcija izmed uskupas i skupa prirodih brojeva N. Topraktičo zači da elemete skupa S možemo ozačiti sa x,x,x 3,..., u obliku jedog beskoačog iza. Skup prirodih brojeva je prebrojiv, a pored jega, prebrojivi su i skupovi parih, eparih ili celih brojeva. Na primer, izmed u skupa prirodih i skupa celih brojeva može se uspostaviti sledeća bijekcija: Po istom pravilu, možemo porediti bilo kakve beskoače skupove. Isto kao što svakom koačom skupu možemo pridružiti jeda priroda broj, broj jegovih elemeata, tako i beskoačim skupovima pridružujemo jedu ozaku koju zovemo kardiali broj. Videti defiiciju bijekcije a strai 9. Ova teorema tvrdi da e postoje prirodi brojevi x, y, z, zakojebivažilo da je x k +y k = z k, ako je k 3.

3 .. PREBROJIVI I NEPREBROJIVI SKUPOVI 45 Defiicija.. Kažemo da skupovi A i B imaju isti kardiali broj, uozaci card A = card B, ako postoji bijektivo preslikavaje koje svakom elemetu jedog skupa dodeljuje jeda i samo jeda elemet drugog skupa. Ako postoji bijekcija koja preslikava skup A a eki pravi podskup skupa B, a e postoji bijekcija koja preslikava skup B a skup A ili a eki jegov podskup, kažemo da skup A ima maji kardiali broj od skupa B. Ako se skup A sastoji od elemeata ( N), kažemo da je card A =. Postojaje bijekcije izmed u elemeata dva skupa defiiše jedu relaciju ekvivalecije: dva skupa su u toj relaciji ako i samo ako postoji eko bijektivo preslikavaje jedog skupa a drugi. Kao što je pozato, relacijom ekvivalecije defiišu se disjukte klase ekvivalecije. Dva skupa, prema tome, imaju isti kardiali broj ako i samo ako pripadaju istoj klasi ekvivalecije u odosu a opisau relaciju. Ozaka za kardialih broj prebrojivh skupova je ℵ 0 (čita se alef ula). Ako je S prebrojiv skup, pišemo card S = ℵ 0.Prebrojivisu: Skup prirodih brojeva N; Skup celih brojeva Z; Skup svih parih brojeva; Skup svih eparih brojeva. Skup svih prostih brojeva. Razmotrimo sada skup Q racioalih brojeva. Racioali su oi brojevi koji se mogu predstaviti kao količik dva cela broja: r = p q,p,q Z,q 0. Posmatrajmo sledeću tabelu: U prvoj vrsti su svi pozitivi racioali brojevi koji u imeiocu imaju, u drugoj oi koji u imeiocu imaju, itd. Dakle, svi pozitivi racioali brojevi su upisai u tabelu. Ako tabelu obilazimo putem koji je ozače strelicama, obići ćemo sve brojeve. Na ovom putu možemo da preskočimo brojeve koji se poavljaju; a primer, se pojavljuje kao,...natajači je uspostavljea bijekcija izmedju skupa pozitivih racioalih brojeva i skupa prirodih brojeva: Prvom racioalom brojuaozačeomputudodeljujemobroj, drugom broj, itd...dakle, skup

4 46. NIZOVI I SKUPOVI REALNIH BROJEVA pozitivih racioalih brojeva može se predstaviti u obliku iza r,r,...,paje prebrojiv. Skup svih racioalih brojeva može se, prema tome, predstaviti u obliku 0,r, r,r, r,r 3, r 3,..., pa je i ovaj skup prebrojiv. Dakle, dokazali smo: Skup racioalih brojeva je prebrojiv Kako stoje stvari sa skupom realih brojeva? Ispostavlja se da Skup realih brojeva R ije prebrojiv; jegov kardiali broj je veći od ℵ 0 ; Bilo kakav iterval (koača ili beskoača, otvore ili zatvore) ima isti kardiali broj kao skup R. Dokazi ovih tvrd eja dati su u zadacima 05 i 06. Kardiali broj skupa R ozačava se sa c (kao početo slovo latiskog prideva cotiuo, eprekida). Osim kardialih brojeva ℵ 0 i c, postojeiveći kardiali brojevi. straa 73, zadaci Reali izovi... Defiicija iza i osovi pojmovi Govoreći o prebrojivim skupovima, pomeuli smo da se jihovi elemeti mogu urediti u iz. Tako dobijamo skup prirodih brojeva iz (svih) prirodih brojeva skup racioalih brojeva iz (svih) racioalih brojeva skup celih brojeva iz (svih) celih brojeva skup parih brojeva iz (svih) parih brojeva... Razlika izmed u skupa S i iza jegovih elemeata je u tome da je u izu defiisa poredak, tj. za se koji je prvi, drugi, treći...čla iza, dok u skupu poredak ije defiisa. Na taj ači, izom se uspostavlja jedo preslikavaje izmed u skupa prirodih brojeva i elemeata skupa S. Prema tome, iz je fukcija čiji je dome skup prirodih brojeva. Defiicija.. Svako preslikavaje skupa prirodih brojeva u skup R azivamo realim izom. Broj koji se ovim preslikavajem dodeljuje prirodom broju ozačava se sa x, a, itd i zove se -ti čla iza ili -ti elemet iza; priroda broj je ideks člaa x. Reala broj x aziva se opštim člaom iza. Zaiz{x } čiji su člaovi x,...,x,...koristi se ozaka {x } N ili samo {x }. U dome ovog preslikavaja poekad se uključuje i ula, pa se posmatra iz x 0,x,...

5 .. REALNI NIZOVI 47 Na sliča ači mogu se defiisati i izovi kompleksih brojeva, izovi fukcija ili, uopšte, izovi elemeata proizvoljog skupa. U ovom odeljku posmatramo samo reale izove. Primer 8. Niz može biti zadat pomoću formule, u eksplicitom obliku. Na primer: Formulom x = defiisa je iz eparih brojeva čiji su člaovi, 3, 5,... Oi se dobijaju kada se u formulu za x stavi da je, redom, =, =, =3,... Formulom x =5 + 3 defiisa je iz čiji su člaovi 8, 3, 8, 3,... To su prirodi brojevi koji daju ostatak 3 pri deljeju sa 5. Formulom x =( ) defiisa je jeda važa iz koga ćemo često koristiti. To je iz,,,,,... Sličom formulom, x =( ), defiisa je iz koji počije sa :,,,,...! Formulom x = cos ( ) α + π, = 0,,,... defiisa je iz čiji su člaovi, redom, cos α, si α, cos α, si α, cos α,... Primetimo da u ovom slučaju iz počije od člaa sa ideksom 0. Niz može biti zadat i pomoću rekurete formule. Natajači se svaki sledeći čla iza izračuava pomoću jedog ili više prethodih člaova. Na primer: Ako zadamo da je x =0, x + = x +, =,, 3,... dobijamo iz 0,,, 5, 6,... Rekuretom formulom x 0 =0, x =, x + = x + x +, =0,,..., odred e je iz čiji su člaovi 0,,, 3, 5, 8, 3,... OvajizsezoveFiboaccijev iz. Rekurete formule se jedostavo programiraju. Na primer, sledeći algoritam geeriše prvih 00 člaova iza čiji su člaovi zadati rekuretom formulom x = 0, x + = x +ismeštaihuvektorx () =, y := 0, x() :=0 () := +, y := y +, x() :=y (3) Ako je <00 povratak a (); (4) kraj Niz može biti zadat i opiso, bez formule. Na primer,

6 48. NIZOVI I SKUPOVI REALNIH BROJEVA Niz decimalih cifara broja π, u redosledu pojavljivaja. Nije moguće aći formulu za člaove ovog iza, ali se oi mogu izračuati umeričkim metodama (zadaci 779 i 780). Niz prostih prirodih brojeva. Za ovaj iz ije ad ea formula koja bi za dato dala -ti po redu prost broj. Med utim, za svaki dati broj, može se, sa više ili maje teškoće, odrediti da li jeste ili ije prost. Prvih ekoliko prostih brojeva su:, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9, 3,... Zasedaihimabeskoačo mogo, a do sada ajveći ad e prost broj ima cifara. Niz racioalih brojeva. Kao što smo dokazali a strai 45, racioali brojevi se mogu urediti u iz. Postoji beskoačo mogo ačia da se to uradi. U matematičkoj aalizi proučava se poašaje člaova iza kada jihov ideks eograičeo raste (,,teži ka beskoačosti ). Ova, aizgled jedostava problematika je fudametala za proučavaje osobia realih i kompleksih brojeva, skupova i fukcija, a ima i veliki broj eposredih primea. Idejajedaseproučava,,gomilaje člaova iza oko eke vredosti. Na primer, člaovi izova { ( ) } ili { },,gomilaju se oko ule, odoso, koliko god mali iterval oko ule uzeli, svi člaovi iza počevši od ekog ideksa alaziće se u tom itervalu. To je motivacija za sledeću striktu defiiciju. Defiicija.3. Kažemo da je reala broj a graiča vredost ili limes iza {x } ipišemo lim x = a ili x a ako + (5) ( ε >0)( 0 N)( 0 ) x a <ε. Često ćemo umesto lim x pisati samo lim x. Ako je lim x = a, kažemo da + iz {x } kovergira ka a ili da teži ka a kad teži ka beskoačosti. Ako postoji eko a R takvo da je lim x = a, kažemo da je iz kovergeta. + Videćemo kasije da je moguće utvrditi da je iz kovergeta, a da pri tome e zamo jegovu graiču vredost. Za sada, jedii ači da odredimo graiču vredost iza je da pretpostavimo (izračuavajem prvih ekoliko člaova ili a drugi ači) da je lim x = a, za eko kokreto a, a zatim da to i dokažemo proveravajući uslov iz defiicije. Primer 9. Ako je x =, dokazaćemo da je lim x =0.Nekajedatoε>0. Nejedakost <εekvivaleta je sa >/ε, paakostavimo 0 =[/ε] +, formali uslov iz defiicije.3 biće ispuje: za svako dato ε>0postoji 0 takvo da za svako 0 važi da je x 0 <ε. 5. decembar 005.

7 .. REALNI NIZOVI 49 Na sliča ači dokazuje se da je i lim ( ) = 0; uovomslučaju, člaovi iza su aizmeičo sa dese i leve strae ule. Niz +( ) takod e kovergira ka uli; razlika izmed u ovog i dva prethodo avedea primera je u tome što ovaj iz e kovergira ka uli mootoo, odoso, ije tačo dajesvakisledeći čla bliži uli od prethodog. Postoji više ekvivaletih oblika uslova (5). Na primer, očigledo je da je (5) ekvivaleto sa ( ε >0)( 0 N)( N) 0 = x a <ε. Dalje, zak u(5)može se zameiti sa >, a zak < sa. Pored toga, umesto!,,( 0 N)( 0 ) može se staviti,,( y 0 R)( y 0 ). Ova tvrd eja je jedostavo dokazati. Važo je zati da pri dokazivaju kovergecije iza, uslov iz defiicije.3 je dovoljo proveriti za malo ε i veliko Primer 0. Neka je x = /. Da bismo stekli predstavu o poašaju ovog iza, izračuajmo prvih ekoliko člaova: =, / =.4, /3 =.6, /4 =.9,..., /0 =.07,... Odavde se može pretpostaviti da je lim x =. Dokažimo to. Kako je / > za svako, imamo da je ejedakost / <εekvivaleta sa / < +ε, odoso, posle logaritmovaja, >log / log( + ε). To zači da za svako ε>0 postoji y 0 =log/ log(+ε) takvo da je za >y 0 ispujea ejedakost x < ε, pa je lim x =. Na isti ači se pokazuje da je lim a / = za svako a>0. Defiicija.3 postaje jasija ako se uvedu dva ova pojma. Defiicija.4. Otvorei iterval (a ε, a + ε) dužie ε sa cetrom u tački a R azivamo ε-okoliom tačke a. Pod pojmom okolia tačke a podrazumevamo svaki otvorei iterval koji sadrži tačku a. Defiicija.5. Kažemo da skoro svi člaovi iza imaju eku osobiu P ako postoji 0 tako da svako x za 0 ima osobiu P. Drugim rečima, skoro svi člaovi iza imaju osobiu P ako je imaju svi člaovi iza počevši od ekog ideksa, ili, što je isto, ako tu osobiu imaju svi člaovi iza osim jih koačo mogo. Uvedei termi ćemo koristiti i u kotekstu kao što je,,skoro svi prirodi brojevi,,,skoro svaki ideks iza i sl. Nejedakost x a <εekvivaleta je sa x (a ε, a + ε), pa se defiicija.3 može iskazati i a sledeći ači.

8 50. NIZOVI I SKUPOVI REALNIH BROJEVA Defiicija.6. Ekvivaleta defiicija kovergecije iza. Kažemo da iz {x } kovergira ka a R ako se u svakoj okolii tačke a alaze skoro svi člaovi iza.!!! Kako svaka okolia (tj. otvorei iterval koji sadrži tačku a) sadrži eku ε- okoliu i obruto, svaka ε-okolia je okolia, zaključujemo, polazeći od defiicije.6, da je iz kovergeta ako i samo ako se u svakoj ε-okolii alaze skoro svi člaovi iza. Nije teško videti da ako skoro svi člaovi iza {x } imaju eku osobiu, oda tu osobiu imaju i skoro svi člaovi iza {x +k }, za fiksirao k. Prema tome, za fiksirao k, izovi x,x,x 3,... i x k+,x k+,x k+3... su ekvivaleti sa gledišta kovergecije, tj. ako jeda od jih kovergira ka ekom broju a, toistovaži i za drugi iz. Dakle, ako je iz ekog razloga to lakše, kovergeciju iza možemo ustaoviti za iz {x +5 } ili {x +00 } i sl., a zatim a osovu toga zaključiti da i iz {x } kovergira. Ako se skoro svi člaovi iza alaze u ekoj ε 0 -okolii tačke a, odatoisto važi i za svaku ε-okoliu, za ε>ε 0. Iz ovoga zaključujemo da je uslov defiicije.3 ili ekvivelete defiicije.6 dovoljo proveriti za malo ε, odoso za 0 <ε<ε 0, gde je ε 0 proizvolja pozitiva broj. Primer. Niz {( ) } ije kovergeta. Zaista, pretpostavimo suproto, tj. da postoji eko a R takvodajelim( ) = a. Kako su svi člaovi datog iza jedaki ili ili, to zači da se oba ova broja alaze u proizvoljoj ε-okolii broja a. Toijemoguće za ε</, jer brojevi i e mogu pripadati istom itervalu dužie maje od. Dakle, pretpostavka ije tača i iz ije kovergeta. Teorema.. Niz {x } kovergira ka a ako i samo ako (6) ( C R)( ε >0)( 0 )( 0 ) x a <Cε. Dokaz. Ako je lim x = a, tada se (6) (sa C = ) dobija iz defiicije.3. Obruto, ako važi (6) oda se za svako ε > 0skorosvičlaovi iza alaze u Cε-okolii broja a; zbog toga što je ε proizvoljo, ovo je ekvivaleto sa tvrd ejem da se u svakoj okolii broja a alaze skoro svi člaovi iza, pa o, prema defiiciji.6, kovergira ka a. Teoremu. ćemo veoma često primejivati, uglavom u situacijama kada je lakše pokazati da je, a primer, x a < ε ego da je x a <ε. Naglasimo da broj C koji se pojavljuje u (6) e sme da zavisi od ε.... Osobie kovergetih izova straa 74, zadaci 08-6 Prva osobia koju ćemo dokazati je jedistveost graiče vredosti. Ustvari, strikto govoreći, samo u tom slučaju imamo pravo da pišemo lim x = a.

9 .. REALNI NIZOVI 5 Teorema.. Niz e može imati više od jede graiče vredosti. Dokaz. Pretpostavimo da je lim x = a i lim x = b. Ako je a b, oda postoji eko ε>0 takvo da ε-okolie brojeva a i b emaju zajedičkih elemeata (može se uzeti ε = a b /, a primer). Iz defiicije sleduje da se svi člaovi iza {x } sa ideksom većim od ekog alaze u ε-okolii broja a. Isto tako, svi člaovi iza sa ideksom većim od ekog alaze se u ε-okolii broja b. Tozači da se svi člaovi iza sa ideksom koji je većiiod iod alaze u obe okolie, što je emoguće, jer smo ε izabrali tako da oe emaju zajedičkih elemeata. Prema tome, emoguće je da je a b. Metod dokaza koji smo ovde primeili zove se deductio ad absurdumizvod eje iz protivrečosti. U takvom dokazu pretpostavi se da važi suproto tvrd eje od oog koje se dokazuje, pa se oda pokaže da je to emoguće, jer se dobija protivrečost. Ovaj tip dokaza smo primeili i u primeru. Za iz {x } kažemo da je ograiče iz akojeskupsvihelemeatatogiza ograiče, tj. ako postoji eki reala broj M 0takavdaje x M za svako N. Teorema.3. Svaki kovergeta iz je ograiče. Dokaz. Neka je lim x = a R. Uzmimo proizvoljo ε>0, a primer ε =. Počevši od ekog ideksa 0,svičlaovi iza {x } pripadaju itervalu (a,a+ ). Neka je m ajmaji, a M ajveći od preostalih elemeata iza. Defiišimo m =mi(a,m ), M =max(a +,M ). Sada je očigledo da za svako N važi m x M, izčega sleduje da je iz ograiče. Ovde smo upotrebili tzv. direkta dokaz : Tvrd eje se dokazuje polazeći od datih pretpostavki, u izu logički povezaih koraka. Ograičeost iza je, prema teoremi.3, potreba uslov kovergecije. To ije i dovolja uslov; a primer, iz {( ) } je ograiče ali ije kovergeta. Sledeća teorema pokazuje da se sa limesom može proći kroz osove operacije. Dokaz ove teoreme je veoma istruktiva, jer ilustruje primeu ejedakosti trougla, što je osova ideja i u dokazivaju mogih drugih teorema. Ideja se sastoji u sledećem: Ako zamo da je a b <εidaje b c <ε,tadaiz zaključujemo da je a c < ε. a c = a b + b c a b + b c

10 5. NIZOVI I SKUPOVI REALNIH BROJEVA Teorema.4. (i) Ako je x = c R za skoro svako, tada je lim x = c. (ii) Neka je lim x = x, lim y = y (x, y R) i eka su a, b, c proizvolji reali brojevi. Tada važi: lim (ax + by )=ax + by, lim (x + c) =x + c, lim x y = xy; lim x y = x y ako y 0i y 0za N. Dokaz. Tvrd eje (i) je posledica čijeice da se broj c alazi u svakoj svojoj okolii. Dokažimo prvo tvrd eje u (ii). Neka je lim x = x i lim y = y. Fiksirajmo proizvoljo ε>0. Počevši od ekog ideksa, azovimo ga,svičlaovi iza {x } alaze se u ε-okolii broja x. Isto tako, počevši od ekog ideksa, svi člaovi iza {y } alaze se u ε-okolii broja y. Neka je 0 = max(, ). Tada su, za svako 0 ispujee obe ejedakosti x x <ε i y y <ε, pa iz ejedakosti trougla sleduje da je, za 0 ax +by (ax+by) = (ax ax)+(by by) a x x + b y y ( a + b )ε. Primeom teoreme., zaključujemo da je lim (ax + by )=ax + by. Drugo tvrd eje u (ii) je posledica dokazaog, jer ako stavimo da je y = c za svako, tadaaosovu(i)imamodajelimy = c, pa je lim(x + c) =x + c. Dokažimo sada treće tvrd eje u (ii). Neka je lim x = x i lim y = y. Fiksirajmo proizvoljo ε>0. Primeom ejedakosti trougla imamo da je (7) x y xy = x y xy + xy xy y x x + x y y. Prema teoremi.3, postoji reala broj M>0takav da je y M za svako N. Dalje, isto kao u dokazu prvog tvrd eja u (ii), postoji 0 takvo da za 0 važe ejedakosti x x <εi y y <ε. Sada, a osovu (7), zaključujemo da za svako 0 važi ejedakost x y xy (M + x )ε itvrd eje je dokazao. Na kraju, za četvrto tvrd eje u (ii) dovoljo je dokazati da je lim y = i oda y primeiti već dokazao pravilo za proizvod. Videti zadatak 5 za kompleta dokaz. Iz dokazae teoreme jedostavo se može poovo dobiti teorema. o jedistveosti graiče vredosti. Naime, ako pretpostavimo da je lim x = a i lim x = b, imamo da je 0 = lim 0 = lim (x x )=a b, pajea = b. Posebu ulogu med u kovergetim izovima imaju izovi koji kovergiraju ka uli tzv. ula-izovi. Zapravo, proučavaje kovergetih izova može se svesti a proučavaje samo ula-izova, jer važi Teorema.5. Niz {x } kovergira ka a R ako i samo ako iz {x a} kovergira ka uli.

11 .. REALNI NIZOVI 53 Dokaz. Neka je lim x = a. Na osovu teoreme.4 imamo da je lim (x a) = lim x a = 0. Obruto, eka je lim (x a) = 0. Tada je lim (x a + a) = lim(x a)+a = a, paiz{x } kovergira ka a. Ako se ula-iz pomoži ograičeim izom, dobijei iz je poovo ula-iz. To tvrdi sledeća teorema. Teorema.6. Neka je {x } ula-iz i eka je {y } proizvolja ograiče iz (koji e mora biti kovergeta). Defiišimo z = x y, =,,... Tada je {z } ula-iz. Dokaz. Kako je {y } ograiče iz, postoji reala broj M>0 takav da je y <M za svako. Iz kovergecije iza {x } kaulisledujedazasvakoε>0 postoji 0 takvo da za 0 važi ejedakost x <ε. Prema tome, za 0 imamo da je z = x y <Mεiiz{z } kovergira ka uli a osovu teoreme.. Primer. Neka je z = si.kakoje{si } ograiče iz, a ula-iz, primeom teoreme.6 zaključujemo da je lim z =0. Sledeća teorema odosi se a prolaz limesom kroz relaciju poretka. Teorema.7. (i) Ako je lim x = a>p(< p), tada je x >p(< p) za skoro svako. (ii) Ako je iz {x } kovergeta i ako je x p ( p) za skoro svako, odaje lim x p ( p). Dokaz. (i) Neka je lim x = a iekajea>p. Uzmimo da je ε =(a p)/. Svi brojevi koji se alaze u ε-okolii broja a su veći od p, askorosvičlaovi iza {x } se alaze u ovoj okolii. Ovim je tvrd eje dokazao. Drugi deo (za slučaj a<p) dokazuje se aalogo. (ii) Neka je lim x = a iekajex p za skoro svako. Ako bi bilo a<p, tada bi iz dokazaog pod (i) imali da je x < p za skoro svako, a to je kotradikcija sa pretpostavkom da je x p za skoro svako. Dakle, mora biti a p, što je i trebalo dokazati. Ako je x p, dokaz je aaloga. U delu (i), primeili smo direkta dokaz. Metod primeje u dokazu pod (ii), zove se dokaz kotrapozicijom. Ova vrsta dokaza se koristi kada treba dokazati tvrd eje oblika A = B i sastoji se u tome da se pokaže da je emoguće da važi A ie-b. Dokaz kotrapozicijom je sliča metodu deductio ad absurdum. Važo: Iz x >pe može se zaključiti da je lim x >p,većsamodaje p. Na primer, iako je / > 0zasvako, ipak je lim x =0. Teorema.8. Ako svi člaovi kovergetog iza {x } pripadaju segmetu [a, b], tada i lim x [a, b].

12 54. NIZOVI I SKUPOVI REALNIH BROJEVA Dokaz. Neka je lim x = x iekax [a, b] zaskorosvako. To zači da za skoro svako važi da je x a i x b; a osovu teoreme.7 zaključujemo da je x a i x b, odoso x [a, b]...3. Beskoače graiče vredosti straa 76, zadaci 7-38 Posmatrajmo izove x =, y = +si, z =( ) + +. Sva tri iza su eograičea, prema tome, ijeda od jih ije kovergeta. Med utim, dok treći iz sadrži i velike (sa parim ideksom) i male člaove (sa eparim), prva dva iza imaju osobiu da je samo koačo mogo jihovih člaova maje od svakog, bilo kako velikog broja. Defiicija.7. Kažemo da iz {x } ima graiču vredost +, u ozaci lim x =+ ako su, za svako dato K>0, skorosvičlaovi iza veći od K, tj. ( K >0)( 0 N)( 0 ) x >K. Kažemo da iz {x } ima graiču vredost, uozacilim x = ako su, za svako K>0, skorosvičlaovi iza maji od K, odoso ( K >0)( 0 N)( 0 ) x < K. U ovim slučajevima kaže se i da je iz odred eo divergeta ili da divergira ka beskoačosti.! Defiicija.7 postaje aaloga defiiciji.6, ako se uvede pojam okolie beskoačosti. Pod okoliom tačke + podrazumevamo iterval (K, + ), a okolia tačke je iterval (, K), za proizvoljo K R. Sada možemo reći da iz kovergira ka + ako i samo ako se u svakoj okolii tačke + alaze skoro svi člaovi iza. Očigledo je lim x = ako i samo ako je lim ( x )=+. Svaki reali iz spada u jedu od tri kategorije: Kovergira ka ekom realom broju a (kovergeta iz), Kovergira ka ± (odred eo divergeta iz), Nema i koaču i beskoaču graiču vredost (eodred eo divergeta iz). Primer 3. Za koje vredosti q R je kovergeta geometrijski iz {q }? Rešeje. Ako je q =,svičlaovi datog iza su jedaki, pa je i lim q =. Za q = imamo iz ( ) za koji zamo da ema graiču vredost. Za q <, iz teži uli, što je jaso ako se posmatra iz za, a primer, q =/:, 4, 8, 6, 3,...

13 .. REALNI NIZOVI 55 Da bismo to i dokazali, uočimo da je q <ε q <ε log q < log ε > log ε log q, gde je u posledjoj ejedakosti promeje smer zbog log q < 0. Prema tome, ako je >log ε/ log q oda je q <ε, pa je lim q =0. Ako je q> dati iz bekoačo raste. Nejedakost q >Kekvivaleta je sa >log K/ log q, pa je lim q =+. Za q <, člaovi iza sa parim ideksom su pozitivi, a sa eparim ideksom su egativi, a svi člaovi po apsolutoj vredosti beskoačo rastu. Prema tome, iz u ovom slučaju ema graiču vredost. Iz avedeog proizilazi da je iz kovergeta za q (, ]. Sledeća teorema se lako dokazuje, ali je važa zbog primea. Teorema.9. Ako je lim x = x R i lim y =+, tada je lim (x + y )=+, lim x y =sgx (x 0), lim x =0. y Ako je lim x =0iakojex > 0 za svako, tada je lim =+. x Skraćeo i simbolički, pišemo: x x + =+ ; x (+ ) =sgx (x 0); =0, = Primer 4. Kada kažemo da je 0 + =+, tozači da je izraz u imeiocu pozitiva i da teži uli. Ako imamo beskoačo mogo i pozitivih i egativih člaova u imeiocu, razlomak eće imati graiču vredost. Na primer, iz x = ),=, 3,... log (+ ( ) je eodred eo divergeta, jer su člaovi sa parim ideksom pozitivi, a oi sa eparim ideksom pozitivi. Primedba. Ako se izračuaju vredosti x za veliko, može se uočiti da je x. Ova osobia je u vezi sa defiicijom broja e (osovom logaritma), i biće dokazaa u zadatku 09. Uekimslučajevima kombiacije dva iza, rezultat se e može uapred odrediti kao u slučajevima opisaim u teoremi.9. Tada kažemo da je graiča vredost eodred ea ili eodred eog tipa.toezači da ova graiča vredost e postoji, već samodaseemože uapred odrediti primeom pravila poput oih koja su avedea u teoremi.9. Na primer, ako je lim x = lim y =+, iz{x /y } može biti kovergeta ili divergeta. Ovo je tzv. eodred eost tipa /. U svakom kokretom slučaju, primeom ekih trasformacija, odred ujemo graiču vredost datog izraza.

14 56. NIZOVI I SKUPOVI REALNIH BROJEVA Primer 5. Izraz x = je eodred eost tipa /, jeribrojilac + i imeilac kovergiraju ka +. Deljejem brojioca i imeioca sa dobijamo da je x = Odavde, primeom pravila avedeih u teoremi.4 a strai 5, alazimo da je lim x =3/. Postoji sedam tipova eodred eosti. Neodred ei su izrazi tipa, 0 0, 0,,, 0, 0 0. Rešavaje limesa eodred eog tipa je veoma začajo. Ustvari, jedio ovakvi limesi zahtevaju eki poseba postupak; odred ei tipovi se lako rešavaju primeom avedeih pravila. U sledećem odeljku dajemo dve teoreme koje se primejuju za odred ivaje graičih vredosti eodred eog tipa...4. Dve teoreme o izovima Teorema.0. Teorema o dva žadara. Neka su {y } i {z } izovi za koje je lim y = lim z = c, gdejec R. Ako za skoro svako važe ejedakosti y x z, tada i iz {x } ima graiču vredost i važi da je lim x = c. Dokaz. Neka je lim y = lim z = c. Pretpostavimo ajpre da je c R. Tada za fiksirao ε>0 postoji takvo da se svi člaovi iza {y } za alaze u ε-okolii broja c i postoji takvo da se svi člaovi iza {z } alaze u istoj okolii. Dakle, za veće i od iod (formalo, za max (, )), člaovi oba iza pripadaju itervalu (c ε, c + ε). Počevši od ekog 3 važi da je y x z ;dakle,za 0 =max(,, 3) imamo da je c ε<y x z <c+ ε, pa se, prema tome, svi člaovi iza {x } sa 0 alaze u ε-okolii broja c, što zači da je lim x = c. Ako je c =+, potreba am je samo ejedakost y x. Zaista, zbog lim y =+, zasvakok>0postoji takvo da je y >Kza. Ako je x y za, oda za 0 =max(, )važi da je x y K, odakle izlazi da je lim x =+. Slučaj c = dokazuje se aalogo. Teorema.0 je samo uvod u raze metode pored eja veličia koje teže istoj graičoj vredosti, koje ćemo kasije detaljo obrad ivati. Oa se često primejuje sa y = c ili z = c za svako.

15 .. REALNI NIZOVI 57 Svoj populari aziv ova teorema je dobila po tome što izovi {y } i {z },,sprovode iz {x } ka graičoj vredosti c. log ( + ) Primer 6. Neka je x = +. Dokazati da je lim x =0. Rešeje. Matematičkom idukcijom se bez teškoća dokazuje da je log( + ) < za svako N (u stvari, važiiopštija ejedakost, log( + x) <xza svako x>0). Odavde je log( + ) 0 + =, =,,... Kako je lim / = 0, zaključujemo, prema teoremi.0, da je i lim x =0. Primer 7. Naći lim Rešeje. Očigledo je , odakle je / 7. Kako je lim / = (videti zadatak 74), imamo da je lim 5 +7 =7. Teorema.. Stolzova teorema. Neka su ispujei uslovi: lim y =+, iz{y } je mootoo rastući, tj. y + >y za skoro svako, postoji (koača ili beskoača) graiča vredost lim x + x,gde y + y je {x } proizvolja iz. Tada postoji i lim x /y ivaži jedakost lim x = lim x + x. y y + y Stolzova teorema koristi se u slučajevima eodred eosti tipa /. Često je lakše aći lim(x + x )/(y + y ) ego lim x /y. Čitalac koji ima eka prethoda zaja primetiće da je Stolzova teorema aaloga L Hospitalovom pravilu, koje se takod e veoma mogo primejuje za rešavaje limesa količika fukcija (straa 6). Dokaz ove teoreme izostavljamo zbog jegove složeosti. Primer 8. Naći lim /. Rešeje. Kako iz { } mootoo teži ka +, ikakoje lim + + = lim =0, uslovi za primeu Stolzove teoreme su ispujei, pa je i lim / = Mootoi izovi straa 77, zadaci Kaže se da je iz {x } mootoo rastući ako je svaki sledeći čla veći od prethodog, tj. x + >x za svako N. Ako koristimo ovu osobiu pri

16 58. NIZOVI I SKUPOVI REALNIH BROJEVA utvrd ivaju kovergecije iza, dovoljo je da je x + >x za skoro svako. Niz može biti još i mootoo eopadajući: x + x ; mootoo opadajući: x + <x ; mootoo erastući: x + x. Usledećoj teoremi pojavljuju se pojmovi supremuma i ifimuma iza. Pod supremumom iza podrazumevamo supremum skupa elemeata tog iza: def sup x =sup{x N}. Ifimum iza, ifx defiiše se aalogo, if x =if{x N}. Teorema.. Svaki mooto iz ima koaču ili beskoaču graiču vredost. Mooto i ograiče iz je kovergeta; pri tome je lim x =supx za eopadajući iz i lim x =ifx za erastući. Ako je iz {x } mooto i eograiče, tada je jegova graiča vredost jedaka + ili. Dokaz. U dokazu možemo, bez smajeja opštosti, pretpostaviti da je iz mooto počevši od =. Mooto i ograiče iz: Pretpostavimo da je iz {x } mootoo eopadajući i ograiče odozgo. Neka je sup x = c R. Tada za svako ε>0 postoji 0, takvo da je x 0 >c ε. Kakoje{x } eopadajući iz, ejedakost x >c ε važi i za svako 0. S druge strae, kako je c =supx, imamo da je x <cza svako. Odavde zaključujemo da za 0 važe ejedakosti ε <x c <0, tj. x c <ε, pa je lim x = c. Drugi deo tvrd eja (za mootoo erastući iz) dokazuje se aalogo. Mooto i eograiče iz: Posmatrajmo sada iz {x } koji je mootoo eopadajući i eograiče odozgo. U ovom slučaju je sup x =+, patreba dokazati da je i lim x =+. Iz eograičeosti sleduje da za svako K>0 postoji eko 0 takvo da je x 0 >K, a oda iz pretpostavke da je iz mootoo eopadajući izlazi da je x >Kza svako 0. Prema tome, za svako K>0 postoji 0 takvo da je x > K za 0,što zači da je lim x = +. Uslučaju kada je {x } mootoo erastući i eograiče, a sliča ači se pokazuje da je lim x =. Iz dokazae teoreme proizilazi postupak za alažeje graiče vredosti mootoog i ograičeog iza {x },kojićemo prikazati a jedom primeru. Primer 9. Niz {x } defiisa je rekuretom formulom (8) x =0, x + = 5x +4 ( =,,...) 4x +5 Iz ove formule možemo aći ekoliko prvih člaova iza: x =0, x = 4 5, x 3 = 40 4,...

17 .. REALNI NIZOVI 59 Odavde je prirodo pretpostaviti da su svi člaovi iza u itervalu (0, ). To sada ije teško i dokazati: x > 0jeočigledo tačo (trivijala dokaz matematičkom idukcijom), dok iz x < i x + < 5x +4 4x +5 < 5x +4< 4x +5 x < ( ) zaključujemo, primeom matematičke idukcije, da je x < zasvako. Dakle, iz {x } je ograiče. Prvih ekoliko člaova ukazuju a to da iz verovato raste. Dokaz je jedostava, jer x + >x 5x +4 4x +5 >x x <, štojetačo a osovu prethodog. Kako je dati iz ograiče i mootoo rastući, o je i kovergeta. Neka je lim x = c. Akou(8)pustimoda +, dobijamo da je c = 5c +4 4c +5, odakle je c =. Kako je iz pozitiva, c e može biti, što zači da je c =. Primedba. Za eke izove koji su zadati rekuretom formulom, moguće je dobiti formulu u eksplicitom obliku, i tako aći limes. Niz u ovom primeru se takod e može dobiti u eksplicitom obliku (videti zadatak 0). Postupak avede u primeru 9 može izgledati epotrebo komplikova. Zar ismo mogli bez prethodog ispitivaja kovergecije da dokažemo da je lim x =, puštajući da + u jedakosti (8)? Nismo, kao što pokazuje sledeći jedostava primer. Primer 0. Neka je iz {x } defiisa sa x =0, x + = x. Nije teško pokazati da su člaovi iza aizmeičo 0 i, pa o ema graiču vredost. Ali ako bez provere pretpostavimo da oa postoji i da je jedaka c, iz defiicioe relacije alazimo da je c = c, odosoc =. Naravo, iz e mora biti mooto da bi bio kovergeta, tako da je izložei postupak samo jeda od ačia da se dokaže kovergecija iza.! Primer. Defiicija broja e. Broj e, osova tzv.,,prirodog logaritma, jeda je od četiri ajvažija reala broja u matematici, pored brojeva 0, iπ. Izbor broja e ije stvar kovecije (kao što je, recimo, izbor broja 0 za bazu decimalog sistema zapisivaja brojeva), već se o prirodo pojavljuje u matematici i jeim primeama.

18 60. NIZOVI I SKUPOVI REALNIH BROJEVA Broj e se defiiše kao graiča vredost (tipa ) ( (9) e def = lim + ). Broj e je iracioala i trascedeta (ije kore i jedog polioma sa celim koeficijetima). Približa vredost broja e je, , ili, sa 540 decimala: e, Graiča vredost iza u (9) postoji, jer je iz x =(+/) mootoo rastući i ograiče, kao što ćemo to sada pokazati. Niz je mootoo rastući: Jedostavim algebarskim trasformacijama dobijamo da je x + = +. x + ( +) Prema Beroullijevoj ejedakosti (teorema.4 a strai 5), imamo da je, za, >.Odavdeje,za, ( +) ( +) x + > + = x + ( +) >, pa je iz {x } mootoo rastući. Niz je ograiče: Primeom biomog razvoja dobijamo x = + =++ Kako je, za k, ( ) ( )( ) ( ) ! 3! ( ) ( k +) = k! k k! k + < k! = 3 k < <, k zaključujemo da je iz ograiče odozgo sa 3: x < =+ (/) < 3. / Iz defiicioe jedakosti moguće je i približo izračuati broj e, ali je kovergecija spora, tako da se u praksi koriste drugi izovi koji takod e kovergiraju ka broju e, ali brže (videti primer 88 a strai 80). straa 85, zadaci 87-03