Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički iz opći čla zbroj prvih člaova a = a 1 + 1)d = a 1 + d S = a 1 + a ) = a 1 + 1)d) Geometrijski iz opći čla zbroj prvih člaova a = a 1 q 1 = a 1 q S = a 1 1 q 1 q, q 1 a 1, q = 1 Zadatak 1. Zadai su opći člaovi izova. a) a = + 1), b) b = kk + 1), c) c = si π. Napišite prvih pet člaova. a) Redom imamo: a 1 = + 1) 1 = 1 = 1 a = + 1) = + 1 = 3 a 3 = + 1) 3 = 1 = 1 a 4 = + 1) 4 = + 1 = 3 a 5 = + 1) 5 = 1 = 1 1
b) b 1 = b = b 3 = b 4 = b 5 = 1 kk + 1) = 1 = kk + 1) = 1 + 3 = 8 3 kk + 1) = 1 + 3 + 3 4 = 0 4 kk + 1) = 1 + 3 + 3 4 + 4 5 = 40 5 kk + 1) = 1 + 3 + 3 4 + 4 5 + 5 6 = 70 c) c 1 = si π 1 = 1 c = si π = 0 c 3 = si 3π 3 = 1 9 c 4 = si 4π 4 = 0 c 5 = si 5π 5 = 1 5 Zadatak. Odredite opći čla iza: a) 1, 3, 3 4, 4 5, 5 6,... b) 0, 1 3, 0, 1 4, 0, 1 5,... c), 6, 1, 0, 30,... a) Izraz koji se alazi u brojiku jedak je ideksu člaa iza, a u aziviku se alazi broj koji je za jeda veći od broja u aziviku te je opći čla da s: a = + 1. b) Primjetimo da je svaki čla iza s eparim ideksom jedak 0, odoso a +1 = 0. Svi člaovi iza s parim ideksima u brojiku imaju 1, a azivici se povećavaju za 1, počevši od 3. To možemo zapisati kao: a = 1 +, dakle: a = 0, = k 1 1 = k +,
ili kao a = 1+ 1) + c) Primjetimo da je svaki čla s eparim ideksom pozitiva, a svaki čla s parim ideksom egativa. Promotrimo sada iz koji sadrži apsolute vrijedosti člaova zadaog iza, odoso iz b ), gdje je b = a. Njegovih prvih pet člaova je, 6, 1, 0, 30. Primjetimo da je b = b 1 + 4 = b 1 +, b 3 = b + 6 = b + 3, b 4 = b 3 + 8 = b 4 + 4, b 5 = b 4 + 10 = b 4 + 5, odoso b = b 1 + = b + 1) + = b 3 + ) + 1) + = = + + 3 + + 1) + = k = + 1) Posljedju jedakost lako dokažemo matematičkom idukcijom). Sada lako zaključimo da je opći čla zadaog iza da s a = 1) +1 + 1). Zadatak 3. Odredite aritmetički iz ako je: a) a 3 + a 7 =, a 6 a 4 = 3, b) a 3 + a 5 + a 7 = 7, a + a 6 = 5. a) Kako je tražei iz aritmetički, svaki jegov čla možemo zapisati pomoću prvog člaa iza a 1 i diferecije d. Nako uvrštavaja imamo: odoso a 1 + d + a 1 + 6d = a 1 + 5d a 1 + 3d) = 3 a 1 + 8d = d = 3. Rješeje ovog sustava je a 1 = 5 i d = 3, tj. opći čla iza zada je s: a = 5 + 3 1). b) Kao i u prethodom zadatku, svaki čla iza zapišemo pomoću a 1 i d, i ako toga riješimo dobivei sustav: 3a 1 + 1d = 7 a 1 + 6d = 5. Opći čla iza zada je s: a = 3 1 1). 6 3
Zadatak 4. Zbroj prvih člaova aritmetičkog iza je 165. Ako je a 1 = 10 i a 4 = 1, koliki je? Kako je a 4 = a 1 + 3d, diferecija zadaog iza je d = 3. Suma prvih člaova aritmetičkog iza daa je s s = a 1 + 1)d). Kako bi odredili trebamo riješiti sljedeću jedadžbu dobiveu uvrštavajem pozatih člaova u gorji izraz): 3 3 330 = 0. Rješeja jedadžbe su 1 = 3 i = 15. Budući je domea iza skup prirodih brojeva, trežeo rješeje je = 15. Zadatak 5. Odredite aritmetički iz a ) za koji je s = + 3. Kako bi odredili aritmetički iz, potrebo je proći jegov prvi čla i difereciju. Po defiiciji je s 1 = a 1, te uvrštavajem = 1 u izraz za sumu imamo: s = a 1 + a = a 1 + d, te imamo Opći čla iza je a = 5 + 6 1). Zadatak 6. Odredite geometrijski iz ako je: a) a 1 a = 35, a 3 a 4 = 560, b) a 3 + a 5 + a 7 = 7, a + a 6 = 5. a 1 = 1 + 3 1 = 5. + 3 = 5 + d d = 6. a) Kako je tražei iz geometrijski, svaki jegov čla možemo zapisati pomoću prvog člaa iza a 1 i kvocijeta q. Nako uvrštavaja imamo: a 1 a 1 q = 35 a 1 q a 1 q 3 = 560. Zadai sustav ima dva rješeja, odoso izovi: zadovoljavaju zadae uvjete. a = 35 3 4 1 & b = 7 4) 1 b) Kao i u prethodom zadatku, svaki čla iza zapišemo pomoću a 1 i q, i ako toga riješimo dobivei sustav: a 1 q1 q ) = 1 a 1 q q 1) = 3. Opći čla iza zada je s: a = 3) 1. 4 4
Zadatak 7. Zbroj prvih člaova geometrijskog iza je 341. Ako je a 1 = 1 3 i a 4 = 8, koliki je? 3 Kako je a 4 = a 1 q 3, kvocijet zadaog iza je q =. Suma prvih člaova geometrijskog iza u slučaju kada je q 1) daa je s s = a 1 1 q 1 q. Kako bi odredili trebamo riješiti sljedeću ekspoecijalu jedadžbu dobiveu uvrštavajem pozatih člaova u gorji izraz): = 104. Rješeje jedadžbe je = 10. Zadatak 8. Zbroj prvih člaova geometrijskog iza izračuava se po formuli s = 3 1). Odredite iz. Kako bi odredili geometrijski iz, potrebo je proći jegov prvi čla i kvocijet. Po defiiciji je s 1 = a 1, te uvrštavajem = 1 u izraz za sumu imamo: s = a 1 1 q 1 q = a 11 + q), te imamo Opći čla iza je a = 3 1. a 1 = 3 1 1) = 3. 3 1) = 3 1 + q) q =. 5
Limes iza Začaji esi 1 = 0 a = 1, a > 0 = 1 1 + α ) β = e αβ, α, β R 1 + α ) βf) = e αβ, za svaki iz fukcijskih vrijedosti f) koji divergira prema ± f) q = 0, 0 q < 1 1, q = 1 +, q > 1 Zadatak 1. Odredite sva gomilišta sljedećih izova: a) a = 1 + 1), b) a = + 1 3 1 + si π. a) Primjetimo da su svi člaovi daog iza s eparim ideksima jedaki 0, a svi člaovi s parim ideksima 1. Iz toga zaključujemo da zadai iz ima dva gomilišta, 0 i 1. b) Kako si π prima samo tri različite vrijedosti za N -1, 0 i 1), iz možemo zadati i a sljedeći ači: a = + 1 3 1, = k + 1 + 1, 3 1 = 4k 3 + 1 1, 3 1 = 4k 1, k N. Iz gorjeg zapisa zaključujemo da zadai iz ima tri gomilišta, 1 3, 3 i 5 3. Zadatak. Izračuajte es sljedećih izova: a) a = 39 + 6 7 9 7 + 4 3, 6 + 1 b) a = 4 + 1, c) a = 10 + 1 ), d) a = 1 + 3 + + 1) + 3, 6
e) a = + 3)! + 1)!. + )! a) Izlučimo li 9 iz brojika i azivika općeg člaa dobivamo a 3 9 + 6 7 = 9 7 + 4 3 = 3 + 7 3 8 1 + 4 = 3. 6 b) Izlučimo li iz brojika i azivika općeg člaa dobivamo a = 6 + 1 4 + 1 = 6 + 1 4 + 1 = 6 4 = 3. c) Racioalizacijom izraza u zagradama dobivamo a = 10 + 1 ) = 10 + 1 ) = 10 + 1 + = 10 1 + 1 + 1 = 10 = 5. + 1 + + 1 + d) Izraz u brojiku jedak je, pa se dai es svodi a ) 1 + 3 + + 1) a 3 = = + 3 + 3 = 3 1 + 3 = 3. e) Izlučimo li + 1)! iz brojika i azivika općeg člaa dobivamo a + 3)! + 1)! + 3) + ) 1 + 3 + 5 = = = + )! + + + 3 + 5 = 1 + =. Zadatak 3. Izračuajte es sljedećih izova: a) a = 5 + 3 5 +1, b) a = +1 + 3 +1 + 3, c) a = 1 + 1 3 + 1 + + 1 3 3 1 1 + 1 5 + 1 + + 1. 5 5 1 a) Izlučimo li 5 iz brojika i azivika općeg člaa dobivamo a = 5 + = 3 5+1 1 + 5 3 5 5 = 1 5. b) Izlučimo li iz brojika i azivika izraz s većom bazom slijedi: [ a +1 + 3 +1 3 +1 ) ] [ +1 3 + 1 3 ) ] +1 = + 3 = 3 [ 3 + 1 ) ] = 3 + 1 = 3. 3) + 1 7
c) Izraz u brojiku jedak je sumi prvih člaova geometrijskog iza b = 1 3 1, a izraz u aziviku je jedak sumi prvih člaova geometrijskog iza c = 1 5 1. Račuamo sljedeći es: a 1 + 1 3 = + 1 + + 1 3 3 1 1 + 1 5 + 1 + + 1 = 5 5 1 Zadatak 4. Izračuajte es sljedećih izova: a) a = 1 ), 3 ) 1 b) a =, + c) a = l l )). a) Koristeći pozati es 1 + α ) β = e αβ, α, β R 1 1 3) 1 1 3 1 1 5) 1 1 5 = 4 5 3 = 6 5. imamo a = 1 ) = e 3. 3 b) Podijeo li izraz u brojiku i aziviku s dobivamo: a = ) 1 = + ) 1 1 e 1 ) 1 + = e = e 3. c) Koristeći svojstva logaritamske fukcije zadai es možemo zapisati u obliku: ) ) a = l l )) = l = l. ) Zbog eprekidosti fukcije l x i svojstva da je za sve eprekide fukcije, vrijedi: ) [ ) ] l = l = l fa ) = f [ 1 1 a ) ] = l e 4 = 4. 8