SVEUČIIŠTE U ZAGREBU FAKUTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOOGIJE ZAVOD ZA MATEMATIKU KOEGIJ: MATEMATIČKE METODE U KEMIJSKOM INŽENJERSTVU PARCIJANE DIFERENCIJANE JEDNADŽBE Kataria Tadić 3074 Zagreb, srpaj 003.
Većia fizikalih feomea u području diamike fluida, elektriciteta, magetizma, mehaike, optike ili toka toplie, može se opisati parcijalim diferecijalim jedadžbama; zapravo, veći dio matematičke fizike jesu parcijale diferecijale jedadžbe. Istia je da se može pojedostaviti, tako da se smaje jedadžbe a običe diferecijale jedadžbe, ali kompleta opis ovih sistema počiva a glavoj ideji parcijale diferecijale jedadžbe. Većia prirodih zakoa fizike, poput Maxwellovih jedadžbi, Newtoovog zakoa hlađeja, Navier-Stokesovih jedadžbi, Newtoovih jedadžbi gibaja i Schrödigerove jedadžbe kvate mehaike, jesu ili mogu biti avedee u obliku parcijalih diferecijalih jedadžbi, to zapravo zači da ovi zakoi opisuju fizičke feomee dovođejem u vezu prostorih i vremeskih derivacija. U ovim jedadžbama se javljaju derivacije zato što oe predstavljaju prirode stvari, poput brzie, akceleracije, sile, treja, fluksa, struje. Zači, imamo jedadžbe u vezi s parcijalim diferecijalim jedadžbama eke ezae kvatitete, koje želimo aći.
SADRŽAJ 1. Uvod..4. Vibrirajuća it 6 3. Stojeći valovi. 8 4. Vibrirajuća it kao predmet početih uvjeta 10 5. d'alambertovo rješeje vale jedadžbe.1 6. Popis literature.14
1. UVOD Parcijala diferecijala jedadžba je jedadžba koja uključuje parcijale derivacije. Za razliku od običe diferecijale jedadžbe, gdje epozata fukcija ovisi samo o jedoj varijabli, u parcijaloj diferecijaloj jedadžbi epozata fukcija ovisi o više varijabli. (Na primjer, temperatura T ( x, ovisi o položaju x i vremeu t.) Red ajveće derivacije se zove redom jedadžbe. Evo ekih dobro zaih parcijalih diferecijalih jedadžbi: (zbog jedostavosti zapisivaja, azvali smo u u u u t = u x = u xx = ) t x x Jedodimezioala topliska jedadžba: u = c u, t xx Dvodimezioala topliska jedadžba: u = u + u, Jedodimezioala vala jedadžba: Trodimezioala vala jedadžba: t xx yy u = c u tt xx u u + u + u =, tt xx yy xx + yy + xx yy zz Dvodimezioala aplaceova jedadžba: u u = 0, Trodimezioala aplaceova jedadžba: u u + u = 0, gdje je c kostata, t vrijeme, a x, y, z su Kartezijeve koordiate. Nepozata fukcija u uvijek ovisi o više od jede varijable. Varijabla u, koju difereciramo, zove se zavisa varijabla, a oe po kojima difereciramo se zovu eovise varijable. Na primjer, jaso je iz jedadžbe u = u t xx da je zavisa varijabla ( x, 1 1 ut = urr + ur + r r u( r, θ, ovisi o r, θ i t. u fukcija dvije ezavise varijable x i t, u jedadžbi Rješeje parcijale diferecijale jedadžbe je fukcioala ovisost više varijabli. u θθ ieare homogee parcijale diferecijale jedadžbe imaju oblik : u = 0, odoso desa im je straa ula, gdje je lieari operator, a u fukcija više varijabli. Često se parcijale diferecijale jedadžbe promatraju kao problemi, ΩΨ = λ Ψ, gdje je Ω lieari parcijali diferecijali operator, a Ψ fukcija više varijabli. Opet, red parcijale diferecijale jedadžbe je red ajviše derivacije. zz
Pri rješavaju diferecijale jedadžbe -tog reda, pojavljuje se '' proizvoljih kostati itegracije. Dakako, uz parcijale diferecijale jedadžbe, te kostate isu brojevi, već proizvolje fukcije. Kao rezultat, geeralo rješeje parcijale diferecijale jedadžbe je puo pregeeralo za bilo kakvu praktiču svrhu. Potrebo je specificirati eke graiče uvjete da bi se postiglo maje geeralo rješeje. Da bi se dobilo točo rješeje parcijale diferecijale jedadžbe -tog reda, '' fukcija se mora specificirati kao graiče uvjete.
. VIBRIRAJUĆA NIT Nit ispružea duž osi x može vibrirati u smjeru okomitom prema ovoj osi. Neka u ( x, predstavlja pomak iti iz jegove ravoteže pozicije, u = 0. Jedadžba kretaja ove iti je vala jedadžba : Ovdje je: u u = c t x T c = ρ gdje je T apetost iti, a ρ je lieara gustoća iti u. (1), () g / cm, a c je brzia kojom se poremećaj širi po iti. Pretpostavimo, adalje, da je it duljie i fiksiraa a krajevima, tako da je u 0, t = 0 = u, t. ( ) ( ) Ovu diferecijalu jedadžbu riješit ćemo metodom separacije varijabli. Pokušajmo aći rješeje oblika u ( x, = X ( x) T (. Tada diferecijala jedadžba postaje: '' '' XT = c X T. Dijeleći sa u = XT dobivamo: '' '' T ( X ( x) = c. T ( X ( x) Ovo je začaja rezultat; lijeva straa ije fukcija od x, a desa ije fukcija od t, ipak su dvije strae jedake. Jedii ači da veličia koja e ovisi o x može biti jedaka veličii koja e ovisi o t je ako iti jeda od veličia e ovisi i o x, i o t. Kad bi lijeva straa ovisila o t, e bi mogla biti jedaka desoj strai, koja e ovisi o t i obruto. Dakle, možemo shvatiti da su obje strae jedake kostati, koju ćemo zvati ω. Ova kostata je za sad proizvolja, ali mora biti egativa iz razloga koji će postati očit. Kasije ćemo idetificirati ω kao kutu frekveciju. Sada smo reducirali ašu parcijalu diferecijalu jedadžbu a dvije običe diferecijale jedadžbe: i '' T ( = ω T ( '' c X ( x) = ω X ( x).
Rješeje prve jedadžbe je bilo koja lieara kombiacija cos ωt i ωt ; za pogodost pišemo ovu fukciju u obliku T ( = cos( ω t + δ ) Sada je jaso da kostata, si ω, mora biti egativa da bi osigurala titrajuće gibaje iti. Geeralo rješeje druge običe diferecijale jedadžbe je lieara kombiacija ωx ωx X ( x) = Asi + Bcos. c c Graiči uvjet u ( 0, = X (0) T ( = 0 zahtjeva da je B = 0. Graiči uvjet u (, = X ( ) T ( = 0 zahtjeva da je ω ω si = 0 tj. = π. c c Tako smo ašli da je proizvolja kostata ω ograičea a vrijedosti parcijale diferecijale jedadžbe, uz avedee graiče uvjete, je: πx πc u x, = X ( x) T( = Asi cos t + δ (. (3) π c. Rješeje Pošto je parcijala diferecijala jedadžba lieara i homogea, svaka lieara kombiacija rješeja je također rješeje. Zbog toga je geeralo rješeje jedadžbe, uz avedee graiče uvjete: u( x, = = 1 πx πc A si cos t + δ. (4)
3. STOJEĆI VAOVI Razmotrimo poašaje pojediačog izraza: πx πc u ( x, t ) = A si cos t + δ. (3') Vrijedost A se zove amplituda titraja; oa predstavlja maksimum pomaka iti iz jeog ravotežog položaja. Vrijedost δ se zove faza titraja. Kosiusi faktor djeluje samo da promijei u ( x, s vremeom, dok «oblik» krivulje ostaje isti. Sve točke a vrpci titraju istovremeo i u svakom treutku vrpca opisuje siusoidu krivulju. Pošto ema pomaka krivulje duž x-osi, ovakva krivulja se zove stojeći val. Pošto πc πc cos t + + δ = cos t + δ, c it se vraća u istu poziciju ako vremeskog itervala. Ovaj vremeski iterval je c za kao period, T, mjere u sekudama. Reciproča vrijedost perioda je frekvecija, c ν =, mjerea u ciklusima / sekudi, ili hercima. Kuta brzia je jedaka: ω = πν. Postoje određee točke a vrpci koje ostaju stacioare. Ove točke zadovoljavaju jedostavu jedadžbu odgovarajući πx si = 0 k x =, uz k=0,1,,,. Takve točke se zovu čvorovi. Ako su krajje točke uračuate, ima ( + 1) čvorova sveukupo, jedoliko, ekvidistato postavljeih i udaljeih za /. Dvostruka udaljeost između dva čvora se zove vala duljia: λ =, mjerea u cm. Jeda cijeli ciklus siusog vala zahtijeva duljiu vrpce λ. Uspoređujući formule za valu duljiu i frekveciju dobivamo važu jedadžbu:,
νλ = c. U uvjetima ovih vrijedosti, alterativi oblik za siusi faktor je πx si λ i alterativi oblik za kosiusi faktor je πt cos ( ω t + δ ), cos ( πν πνt + δ ) i cos + δ. T
4. VIBRIRAJUĆA NIT UZ ZADANE POČETNE UVJETE Općeito, kad se rasteguta it zatitra, jezio kretaje ije jedostavo, oo stojećeg vala, već složeijeg kretaja koje se mora opisati kao superpozicija stojećeg vala. Zbog toga se moramo vratiti a općeito rješeje vale jedadžbe i odrediti određeo rješeje koje rezultira iz daog iza početih uvjeta. Uzet ćemo počete uvjete u u = ( x,0) = f ( x) i,0) 0 ( x t =. U vremeu ula it je puštea iz ultog početog položaja f (x), brziom ula. Primjejujući drugi graiči uvjet dobije se: u = πx ( x,0) ω A si siδ = 0, t = 1 koje može biti zadovoljeo za sve x, ako svaki δ = 0. Iz toga slijedi: πx u( x, = A si cosωt. N = 1 U skladu sa prvim graičim uvjetom: π x u( x, = f ( x) = A si. (5) N = 1 Problem ostaje aći odgovarajuće umeričke vrijedosti koeficijeata A. Da bi mπx vredovao koeficijete, pomoži jedadžbu (3) sa si (m je pozitiva itegra, a itegriramo od 0 do. : mπx mπx f ( x)si dx = A si dx. 0 = 1 0 Svaki itegral a desoj strai je para fukcija, zbog toga je jedak polovii istog itegrala a po itervalu od do. Za vredovaje istog itervala, zamijeimo: x θ = i pojedostavimo sumu preko Kroecker delte: π mπx f ( x) si dx = A si( m ) cos( ) dx = A m = Am 0 θ θ πδ π = 1 π π = 1 ili x A = f ( x)si π dx. (6) 0
Tako možemo vredovati svaki koeficijet kao određei itegral. Amplituda dae frekvecije u cijelom gibaju iti ovisi o produljeju prema kojem početi pomak «liči» a stojeći val te frekvecije.
5. D'AAMBERTOVO RJEŠENJE VANE JEDNADŽBE Vala jedadžba: u = c t T c = ρ u x se može lako riješiti ako se trasformira a pogoda ači, aime, uvodeći ove eovise varijable: v = x + ct, z = x ct. (3) u tada postaje fukcija v i z, i derivacije u valoj jedadžbi (1) mogu biti izražee preko derivacije vezae uz v i z. Ozačimo li parcijale derivacije sa subscriptima, vidimo iz (3) da je v = 1 i z = 1, x x i zbog toga je: u = u v + u z = u + u. x v x z x v z Dalje slijedi: u = ( u + u ) = ( u + u ) v + ( u + u ) z. xx v z x v z v x v z z x Pošto je v = 1 i z = 1, ovo postaje x x u = u + u + u. xx vv vz zz Druga derivacija u valoj jedadžbi (1) se trasformira po istoj proceduri i rezultat je: u tt = c ( uvv uvz + u zz ). Kada uvrstimo ova dva rezultata u valu jedadžbu (1) dobijemo: u u vz = 0. (4) v z Možemo itegrirati ovu jedadžbu po z, te dobijemo u = h(v), v gdje je h (v) proizvolja fukcija od v. Itegriramo li po v, dobijemo: u = h( v) dv + ψ ( z) ψ (z proizvolja fukcija od z. Pošto je itegral fukcija od v, recimo (v) gdje je ) rješeje u je oblika u = φ ( v) + ψ ( z). Zbog (3) možemo pisati u( x, = φ ( x + c + ψ ( x c. (5) Ovaj izraz je pozat kao d'alambertovo rješeje vale jedadžbe (1). (1) () φ,
Fukcijeφ i ψ mogu biti određee iz početih uvjeta. Ilustrirajmo ovo u slučaju počete brzie ula i zadaog početog otkloa u ( x,0) = f ( x). Diferecirajući (5) dobijemo u ' ' = cφ ( x + c cψ ( x c, (6) t ' ' gdje su φ i ψ prve derivacije po ( x + c i ( x c. Iz (5), (6) i početih uvjeta imamo: u ( x,0) = φ ( x) + ψ ( x) = f ( x) ' ' (,0) φ ( ) ψ ( ) 0. Iz posljedje jedadžbe slijedi i iz ovoga i prve jedadžbe, ili u x = c x + c x ' ' ψ = φ ψ = φ + k, =. Odavde slijedi da je φ + k = φ = ( f k) /. Uz ove fukcije, φ i ψ, rješeje (5) postaje 1 u( x, = [ f ( x + c + f ( x c ]. (7) Zbog graičih uvjeta (3) u tom području fukcija f mora biti epara i imati period l rješeje.. Naš rezultat pokazuje da dva početa uvjeta i graiči uvjeti određuju jedistveo f
7. POPIS ITERATURE 1. Paul W. Berg & James. McGregor: EEMENTARY PARTIA DIFFERENTIA EQUATIONS, Holde-Day, Ic. 1964, Sa Fracisco, Prelimiary editio, str. 1-6. Staley J. Farlow: PARTIA DIFFERENTIA EQUATIONS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS, Joh Wiley & Sos, Ic. 198, str. 3-8, 13-137 3. Erwi Kreyszig: ADVANCED ENGINEERING MATHEMATICS, secod editio, Joh Wiley & Sos, Ic. New York, odo, Sydey 196, str. 486-501 4. (?)