ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (011-01) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ ΟΣΗΣ Η επνέκδοση του πρόντος βιβλίου πργμτοποιήθηκε πό το Ινστιτούτο Τεχνολογίς Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφντος» μέσω ψηφικής μκέτς, η οποί δημιουργήθηκε με χρημτοδότηση πό το ΕΣΠΑ / ΕΠ «Εκπίδευση & Διά Βίου Μάθηση» / Πράξη «ΣΤΗΡΙΖΩ». Οι λλγές που ενσωμτώθηκν στην προύσ επνέκδοση έγινν με βάση τις διορθώσεις του Πιδγωγικού Ινστιτούτου.

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (011-01) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Η συγγρφή κι η επιμέλει του βιβλίου πργμτοποιήθηκε υπό την ιγίδ του Πιδγωγικού Ινστιτούτου ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1. Δειγμτικός χώρος Ενδεχόμεν Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Έστω, μ, κ τ ποτελέσμτ η μπάλ ν είνι άσπρη, μύρη κι κόκκινη ντιστοίχως. Έχουμε: i) 1η εξγωγή η εξγωγή Αποτέλεσμ (, ) μ (, μ) κ (, κ) (μ, ) μ μ (μ, μ) κ (μ, κ) (κ, ) κ μ (κ, μ) κ (κ, κ) Ω = {(, ), (, μ), (, κ), (μ, ), (μ, μ), (μ, κ), (κ, ), (κ, μ), (κ, κ)} ii) {(κ, ), (κ, μ), (κ, κ)} iii) {(, ), (μ, μ), (κ, κ)}.. i) 1η εξγωγή η εξγωγή Αποτέλεσμ κ (, μ) μ (, κ) (μ, ) μ κ (μ, κ) (κ, ) κ μ (κ, μ) Ω = {(, μ), (, κ), (μ, ), (μ, κ), (κ, ), (κ, μ)} ii) {(κ, ), (κ, μ)} iii) Ø.

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: πιθνοτητεσ 3. i) Ω = {(Κύπρος, εροπλάνο), (Μκεδονί, υτοκίνητο), (Μκεδονί, τρένο), (Μκεδονί, εροπλάνο)}. ii) Α = {(Κύπρος, εροπλάνο), (Μκεδονί, εροπλάνο)}. 4. i) Αν συμβολίσουμε κθεμί πό τις επιλογές με το ρχικό της γράμμ, έχουμε το πρκάτω δεντροδιάγρμμ: Κύριο πιάτο Συνοδευτικό Γλυκό Αποτέλεσμ π (κ, μ, π) μ τ (κ, μ, τ) ζ (κ, μ, ζ) π (κ, ρ, π) κ ρ τ (κ, ρ, τ) ζ (κ, ρ, ζ) π (κ, χ, π) χ τ (κ, χ, τ) ζ (κ, χ, ζ) π (φ, μ, π) μ τ (φ, μ, τ) ζ (φ, μ, ζ) π (φ, ρ, π) φ ρ τ (φ, ρ, τ) ζ (φ, ρ, ζ) π (φ, χ, π) χ τ (φ, χ, τ) ζ (φ, χ, ζ) Το σύνολο που έχει ως στοιχεί τις 18 τριάδες της στήλης "ποτέλεσμ" ποτελεί το δειγμτικό χώρο του πειράμτος: ii) Α = {(κ, μ, π), (κ, ρ, π), (κ, χ, π), (φ, μ, π), (φ, ρ, π), (φ, χ, π)} iii) Β = {(κ, μ, π), (κ, μ, τ), (κ, μ, ζ), (κ, ρ, π), (κ, ρ, π), (κ, ρ, ζ), (κ, χ, π), (κ, χ, τ), (κ, χ, ζ)} iv) A Β = {(κ, μ, π), (κ, ρ, π), (κ, χ, π)} v) Γ = {(κ, ρ, π), (κ, ρ, τ), (κ, ρ, ζ), (φ, ρ, π), (φ, ρ, τ), (φ, ρ, ζ)} ( A Β) Γ = {(κ, ρ, π)}. 5. i) Ω = {(0, ), (0, β), (0, γ), (0, δ), (1, ), (1, β), (1, γ), (1, δ)} ii) Α = {(0, γ), (0, δ)} iii) Β = {(0, ), (0, β), (1, ), (1, β)} iv) Γ = {(1, ), (1, β), (1, γ), (1, δ)}. 6. i) Α = {3}, Β = {, 4, 6}, A Β = Ø, άρ τ Α κι Β είνι συμβίβστ. ii) Επειδή υπάρχουν κι Έλληνες κθολικοί, υτό σημίνει ότι A Β Ø, δηλδή τ Α κι Β δεν είνι συμβίβστ.

1.1. Δειγμτικός χώρος - Ενδεχόμεν 7 iii) Επειδή υπάρχουν γυνίκες άνω των 30, που ν είνι 30 χρόνι πντρεμένες, υτό σημίνει ότι A Β Ø. iv) A Β = Ø, άρ τ Α κι Β είνι συμβίβστ. 7. 1 ο πιδί ο πιδί 3 ο πιδί Αποτέλεσμ κ κ κ κ κ κκ κ κ κκ κ κκ κ κ κκκ Ω = {, κ, κ, κκ, κ, κκ, κκ, κκκ}. Β ΟΜΑΔΑΣ 1. 1ο πιχνίδι ο πιχνίδι 3ο πιχνίδι Αποτέλεσμ β β β β ββ β ββ β β ββ Ω = {, β, ββ, β, ββ, ββ}.. Τ ποτελέσμτ της ρίψης δύο ζριών φίνοντι στον πρκάτω πίνκ διπλής εισόδου. η ρίψη 1η ρίψη 1 3 4 5 6 1 (1, 1) (1, ) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (, 1) (, ) (, 3) (, 4) (, 5) (, 6) 3 (3, 1) (3, ) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) 4 (4, 1) (4, ) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 5 (5, 1) (5, ) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 6 (6, 1) (6, ) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: πιθνοτητεσ Άρ Α = {(, 1), (3, 1), (3, ), (4, 1), (4, ), (4, 3), (5, 1), (5, ), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5)}. Β = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (, ), (, 4), (, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, ), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, ), (6, 4), (6, 6)}. Γ = {(1, 1), (1, ), (1, 3), (1, 4), (, 1), (, ), (3, 1), (4, 1)}. A Β = {(3, 1), (4, ), (5, 1), (5, 3), (6, ), (6, 4)}. A Γ = {(, 1), (3, 1), (4, 1)}. ( A Β) Γ = {(3, 1)}. 1.. Έννοι της πιθνότητς Α ΟΜΑΔΑΣ 4 1. i) Η τράπουλ έχει 4 πεντάρι κι επομένως η ζητούμενη πιθνότητ είνι ίση με 5 = 1 13. ii) Το ενδεχόμενο είνι το ντίθετο του ενδεχομένου του προηγούμενου ερωτήμτος. Άρ η 4 48 ζητούμενη πιθνότητ είνι ίση με 1 = = 1 5 5 13.. Αν Γ το ποτέλεσμ «γράμμτ» κι Κ το ποτέλεσμ «κεφλή», ο δειγμτικός χώρος του πειράμτος είνι Ω = {ΚΓ, ΓΚ, ΚΚ, ΓΓ} κι υπάρχει μι ευνοϊκή περίπτωση, η ΓΓ. Άρ η ζητούμενη πιθνότητ είνι 1 4. 3. Το κουτί έχει συνολικά 10 + 15 + 5 + 10 = 40 μπάλες. i) Οι μύρες μπάλες είνι 15. Άρ η πιθνότητ ν είνι η μπάλ μύρη 15 40. ii) Υπάρχουν 10 άσπρες κι 15 μύρες μπάλες. Άρ η ζητούμενη πιθνότητ είνι ίση με 10 + 15 40 = 5 40. iii) Το ν μην είνι η μπάλ ούτε κόκκινη ούτε πράσινη, σημίνει ότι μπορεί ν είνι άσπρη 10 + 15 ή μύρη. Άρ η ζητούμενη πιθνότητ είνι ίση με = 5 40 40. 4. Η τάξη έχει συνολικά 4 + 11 + 9 + 3 + + 1 = 30 μθητές. Γι ν έχει η οικογένει ενός μθητή 3 πιδιά, πρέπει ο μθητής υτός ν έχει δηλώσει ότι έχει δέλφι. Επειδή 9 μθητές

1.. Έννοι της πιθνότητς 9 δήλωσν ότι έχουν δέλφι, η ζητούμενη πιθνότητ είνι 9 30. 5. Έχουμε Ω = {10, 11, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 0}, Α = {1, 15, 18} κι Β = {1, 16, 0}. Επομένως i) ( )= 3 3 3 8 P Α. ii) Έχουμε P( Β ) =, άρ P( Β ) = 1 =. 11 11 11 11 6. Αν Λ, Π κι Ν είνι τ ενδεχόμεν ν κερδίσουν ο Λευτέρης, ο Πύλος κι ο Νίκος 30 0 40 ντιστοίχως, τότε P( Λ ) =, P( Π ) = κι P( Ν ) =. 100 100 100 Επειδή τ ενδεχόμεν είνι συμβίβστ έχουμε: 30 0 50 i) P( Λ Π ) = P( Λ) + P( Π ) = + =, δηλδή 50%. 100 100 100 30 40 30 ii) P( Λ Ν ) = 1 P( Λ Ν ) = 1 P( Λ) P( Ν ) = 1 =, 100 100 100 δηλδή 30%. 7. Έχουμε διδοχικά P( Α) + P( Β) P( Α Β) = P( Α Β) 17 7 + P( Α Β) = 30 15 3 17 7 17 14 0 P( Α Β ) = + = + = 11. 30 15 3 30 30 30 30 8. Έχουμε διδοχικά P( Α) + P( Β) P( Α Β) = P( Α Β) 1 1 5 + P( Β ) = 3 6 P 5 1 1 5 3 4 ( Β ) = + = + = = 6 3 6 6 6 6 3. 9. Έχουμε διδοχικά P( Α) + P( Β) P( Α Β) = P( Α Β) P( Α) 0, = 0,6 P( Α) = 0,8 P( Α ) = 0,4.

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: πιθνοτητεσ 10. Έχουμε διδοχικά P( Α Β) = P( Α) + P( Β) P( Α Β) 11. Έχουμε 1 1 = + 1 3 1 1 1 1 = + 3 1 6 4 1 9 = + = = 3 1 1 1 1 4. P( Α Β) P( Α) + P( Β) P( Α) + P( Β) P( Α Β) P( Α) + P( Β) 0 P( Α Β ) που ισχύει. 1. Έστω Α το ενδεχόμενο ν έχει κάρτ D κι Β το ενδεχόμενο ν έχει κάρτ V. 5 55 15 Έχουμε P( Α ) =, P( Β ) =, P( Α Β ) =. Επομένως 100 100 100 P( Α Β) = P( Α) + P( Β) P( Α Β) 13. Έστω Α το ενδεχόμενο ν έχει υπέρτση κι Β το ενδεχόμενο ν έχει στεφνιί νόσο. Έχουμε 10 6 P( Α ) =, P( Β ) = κι P( Α Β ) =. 100 100 100 ) Έχουμε P( Α Β) = P( Α) + P( Β) P( Α Β) 10 6 14 = + =, δηλδή 14%. 100 100 100 100 5 55 15 65 = + =, δηλδή 65%. 100 100 100 100 β) Το ενδεχόμενο ν έχει το άτομο μόνο μι σθένει είνι το ( Α Β) ( Β Α ). Τ ενδεχόμεν ( Α Β ) κι ( Β Α ) είνι συμβίβστ. Επομένως ( Α Β Β Α ) P( ) ( ) = PA ( B) + PB ( A) = P( Α) P( Α Β) + P( Β) P( Α Β) = P( Α) + P( Β) + P( Α Β) 10 6 4 1 = + =, δηλδή 1%. 100 100 100 100

1.. Έννοι της πιθνότητς 11 14. Έστω Α το ενδεχόμενο ν μθίνει γγλικά κι Β το ενδεχόμενο ν μθίνει γλλικά. Έχουμε 80 P( Α ) =, 100 30 P( Β ) = κι 100 0 P( Α Β ) =. 100 Άρ P( ) ( Α Β) = 1 P( Α Β) = 1 P( Α) P( Β) + P( Α Β) 80 30 0 10 = 1 + =, δηλδή 10%. 100 100 100 100 β ΟΜΑΔΑΣ 1. i) P( Α Β) = P( Α) + P( Β) P( Α Β) =κ + λ μ ii) P( ( Α Β) )= 1 P( Α Β) = 1 κ λ + μ iii) ( ) P ( Α Β) ( Β Α) = P( Α Β) + P( Β Α) = P( Α) P( Α Β) + P( Β) P( Α Β) = P( Α) + P( Β) P( Α Β) = κ + λ μ.. Αν Α κι Β τ ενδεχόμεν ν μην έχει έν νοικοκυριό τηλεόρση κι Βίντεο ντιστοίχως, θ 15 40 10 είνι P( Α ) = κι P( Β ) = κι P( Α Β ) =. 100 100 100 Επομένως η ζητούμενη πιθνότητ θ είνι: ( ) P ( Α Β) = 1 P( Α Β) = 1 [ P( Α) + P( Β) P( Α Β)] 15 40 10 45 55 = 1 + = 1 =, δηλδή 55%. 100 100 100 100 100 3. Έχουμε διδοχικά P( Α) 3 = P( Α ) 4 P( Α) 3 = 1 P( Α) 4 4 P( Α) = 3 3 PA ( ) 7 P( Α ) = 3, P( Α )= 3, P( Α ) = 1 P( Α ) = 4. 7 7

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: πιθνοτητεσ 4. Αν P( Α )= x, τότε P( Α ) = 1 x, όπου 0< x < 1. Έχουμε 1 1 1 1 + 4 + 4 P( Α) P( Α ) x 1 x 1 x+ x 4 x(1 x) 1 x+ x 4x 4x + 4x 4x 1 0 5. Έχουμε Α Β Α (x 1) 0 που ισχύει. P( Α Β) P( Α) Έχουμε P( Α Β) 1 ( Α Β ) 0,6 (1) P( Α) + P( Β) P( Α Β) 1 06, + 07, PA ( B) 1 πό τις (1) κι () προκύπτει ότι: 0,6 + 0,7 1 P( Α Β) 0,3 P( Α Β ) () 0,3 P( Α Β ) 0,6. 6. P( Β) P( Α ) P( Α Β) P( Β) 1 + P( Α) P( Α Β) P( Β) + P( Α) P( Α Β) 1 P( Α Β ) 1 που ισχύει.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1. Οι πράξεις κι οι ιδιότητές τους Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε i) ii) Γι x = 010 κι Α = 1 9 = 1. 1 y = έχουμε x y = 1 οπότε 010 x 1 x 3 7 5 5 10 : x y x y (xy) 3 7. Έχουμε ( ) Α= = = = y xy y Γι x = 0,4 κι y =,5 είνι xy = 1 οπότε Α = ( 1) 10 = 1. 3. i) ii) 1001 999 = (1001 999)(1001+ 999) = 000 = 4.000. 99 101 = (100 1)(100 + 1) = 100 1 = 10000 1 = 9.999. iii) (7, 3) (4, 3) (7, 3 + 4, 3)(7, 3 4, 3) 11, 46 3 = = = 3 11,46 11,46 11,46 4. i) Έχουμε ( +β) ( β ) = + β+β ( β+β ) ii) Σύμφων με το ερώτημ (i): = + β + β + β β = 4β 999 1000 999 1000 999 1000 + = 4 = 4 1000 999 1000 999 1000 999

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5. i) Έχουμε ( 1)( + 1) = ( 1) = + 1 = 1 ii) Αν εφρμόσουμε το ερώτημ (i) γι = 1,365 η τιμή που προκύπτει γι την πράστση είνι 1. 6. Έστω v κι v + 1 δύο διδοχικοί φυσικοί ριθμοί: Τότε έχουμε ( ν+ 1) ν = ( ν+ 1 ν)( ν+ 1 +ν ) = ( ν+ 1) +ν 7. Ισχύει ν ν+ 1 ν+ ν ν + + = (1 + + ) = 7 β ΟΜΑΔΑΣ 1. Αν πργοντοποιήσουμε ριθμητή κι προνομστή Έχουμε 3 + ( + 1) ( 1) i) = = = 1 ( 1) 1 ii) + + + + = = = + + + ( 1) ( 1) ( 1)( ) 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1. Έχουμε 3 1 + 1 ( + 1) i) = 3 3 ( + 1) ( + 1) ( 1) ( + 1) = = ( 1) ( + 1) ii) 1 1 1 ( 1)( 1) = = 1 + + ++ ++ ++ + 3 1 1 1 ( 1)( 1) 3. Έχουμε 1 1 y + x xy i) (x + y) + = (x + y) = (x + y) = (xy) = x y x y xy x + y

.1. Οι πράξεις κι οι ιδιότητές τους 15 ii) 1 1 1 1 + + + x y x y x y x y 1 1 x y x y x y x y x y = = x y x y x y 1 1 x y 1 1 1 1 + x + y 1 x + y xy xy = = = x y y x x y x+ y x y xy x + y x (x + y)(x xy + y ) x xy + y 4. Έχουμε : y : = x y x y (x y)(x+ y) x y 3 3 x xy + y x y = = 1 x y x xy + y 5. i) τρόπος: Με γενίκευση της ιδιότητς 1iv) των νλογιών (βλ. εφρμογή 1, σελ. 6) έχουμε β γ +β+γ = = = = 1, β γ β+γ+ οπότε = β = γ. β τρόπος: Θέτουμε β γ = = = β γ k, οπότε έχουμε = kβ, β= kγ κι γ= k (1) Αν, τώρ, προσθέσουμε κτά μέλη τις ισότητες (1), βρίσκουμε +β+γ= k( +β+γ ) οπότε έχουμε k = 1 (φού + β + γ 0, διότι τ, β, γ είνι μήκη πλευρών τριγώνου). Έτσι, πό τις ισότητες (1) προκύπτει ότι = β = γ κι άρ το τρίγωνο είνι ισόπλευρο. γ τρόπος: Η συγκεκριμένη άσκηση μπορεί ν ποδειχθεί, μετά τη διδσκλί της 1.3, ως εξής: Πολλπλσιάζουμε κτά μέλη τις ισότητες (1), οπότε έχουμε βγ = k 3 (βγ) κι, επειδή βγ 0, θ είνι k 3 = 1 κι άρ k = 1. Έτσι, πό τις ισότητες (1) προκύπτει ότι = β = γ. Σχόλιο: Ο συγκεκριμένος τρόπος μπορεί ν εφρμοσθεί κι ότν τ, β, γ είνι οποιοιδήποτε πργμτικοί ριθμοί, διφορετικοί του μηδενός, ενώ γι τους δύο πρώτους τρόπους πιτείτι στην περίπτωση υτή ν ποδειχτεί ότι + β + γ 0.

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ii) τρόπος: Έχουμε β = β γ (1) κι β = γ (), οπότε, ν προσθέτουμε κτά μέλη τις ισότητες (1) κι () προκύπτει ότι β=β 3= 3β =β Έτσι, πό την ισότητ (1) βρίσκουμε ότι κι β = γ. Άρ = β = γ οπότε το τρίγωνο είνι ισόπλευρο. β τρόπος: Θέτουμε β = β γ = γ = k, οπότε έχουμε β = k, β γ = k κι γ = k () Αν τώρ προσθέσουμε κτά μέλη τις ισότητες (), βρίσκουμε ότι k = 0, οπότε, λόγω των ισοτήτων υτών, είνι = β = γ κι άρ το τρίγωνο είνι ισόπλευρο. 6. Αν x κι y είνι οι διστάσεις του ορθογωνίου, τότε θ ισχύει L = x + y κι Ε = xy οπότε, λόγω της υπόθεσης, θ έχουμε x + y = 4 κι xy = κι άρ Λόγω της (1), η () γράφετι ισοδύνμ: y = x (1) κι xy = () x( x) = x x = x x + = 0 (x ) = 0 x = 0 x = Έτσι πό την (1) έχουμε ότι κι y = κι άρ το ορθογώνιο είνι τετράγωνο. 7. Θ εργσθούμε με τη μέθοδο της πγωγής σε άτοπο. i) Ας υποθέσουμε ότι + β = γ. Τότε θ είνι β = γ (ως διφορά ρητών), που είνι άτοπο. ii) Ας υποθέσουμε ότι β = γ. Τότε θ είνι β = γ άτοπο. (ως πηλίκο ρητών), που είνι.. Διάτξη πργμτικών ριθμών Α ΟΜΑΔΑΣ 1. i) Είνι ii) Είνι + 9 6 6+ 9 0 ( 3) 0 που ισχύει. ( +β ) ( +β) + β +β + β + β β β 0 + β β 0 ( β) 0, που ισχύει.

.. Διάτξη πργμτικών ριθμών 17. Έχουμε +β + 1 0 + 1+β 0 Η ισότητ ισχύει γι = 1 κι β = 0. ( 1) +β 0 που ισχύει. 3. i) Ισχύει ii) Έχουμε (x ) + (y+ 1) = 0 x = 0 κι y + 1 = 0 x = κι y = 1. x + y x + 4y + 5 = 0 x x + 1+ y + 4y + 4 = 0 4. i) Προσθέτουμε κτά μέλη τις νισότητες οπότε έχουμε δηλδή 9,8 < x + y < 10. ii) Από τη δεύτερη νισότητ προκύπτει (x 1) + (y + ) = 0 x 1= 0 κι y + = 0 x = 1 κι y =. 4,5 < x < 4,6 κι 5,3 < y < 5,4 4,5 + 5,3 < x + y < 4,6 + 5,4 5,4 < y < 5,3 κι προσθέτουμε κτά μέλη με την 4,5 < x < 4,6 οπότε έχουμε 4,5 5, 4 < x y < 4,6 5,3 0,9 < x y < 0,7. iii) Ισχύει 5,3 < y < 5,4 οπότε 1 1 1 1 1 1 > > < < 5,3 y 5, 4 5, 4 y 5,3 κι άρ 1 1 1 45 x 46 4,5 < x < 4,6 < < 5, 4 y 5,3 54 y 53 iv) Επειδή τ μέλη των νισοτήτων είνι θετικοί ριθμοί μπορούμε ν υψώσουμε στο τετράγωνο, οπότε έχουμε προσθέτουμε κτά μέλη οπότε (4,5) < x < (4,6) 0, 5 < x < 1,16 κι (5,3) < y < (5, 4) 8,09 < y < 9,16 0, 5 + 8,09 < x + y < 1,16 + 9,16 48,34 < x + y < 50,3.

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5. Γι το x έχουμε: Γι το y έχουμε: i) Η περίμετρος τότε γίνετι + 0,< x + 0,< 3+ 0,,< x + 0,< 3,, (1) 3 0,1 < y 0,1 < 5 0,1,9 < y 0,1 < 4,9, () Π= (x + 0, ) + (y 0,1) = (x + y + 0,1) Προσθέτοντς τις (1) κι () έχουμε 5,1 < x + y + 0,1 < 8,1 οπότε ii) Το εμβδόν του ορθογωνίου γίνετι 5,1 < (x + y + 0,1) < 8,1 10, <Π < 16,. Ε= (x + 0, )(y 0,1) Πολλπλσιάζουμε τις (1) κι () κτά μέλη οπότε έχουμε 6. Επειδή (1 + )(1 +β ) > 0 έχουμε,,9 < (x + 0, )(y 0,1) < 3, 4,9 6,38 < E < 15,68. β β < (1 + )(1 +β ) < (1 + )(1 +β) 1+ 1+β 1+ 1+β (1 +β ) <β (1 +) + β < β + β < β, που ισχύει. 7. Ισχύει 5 x < 0 οπότε κτά την πλοποίησή του η νισότητ λλάζει φορά. Έτσι το σωστό είνι x(5 x) > (5 + x)(5 x) x < 5+ x 0 < 5, που ισχύει. β ΟΜΑΔΑΣ 1. i) Επειδή οι, β, γ είνι θετικοί, έχουμε +γ > ( + γ) β > ( β + γ) β + βγ > β + γ β+γ β ii) Ομοίως βγ>γ β> < 1, που ισχύει. β +γ < ( + γ) β < ( β + γ) β + βγ < β + γ β+γ β

.3. Απόλυτη τιμή πργμτικού ριθμού 19 βγ<γ β< > 1, που ισχύει. β. Ισχύει + β > 1+ β + β β 1> 0 3. Έχουμε τις ισοδυνμίες (1 β) (1 β ) > 0 ( 1)(1 β ) > 0, που ισχύει, φού > 1 κι β < 1. 1 1 +β +β + +β +β β β β ( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 4. i) ii) + β + β β 4 0 + β β 0 ( β) 0, που ισχύει. + β + β 0 + β + β 0 + β+β + +β 0 +β ( ) 0 β + β 0 β + β 0 + +β, που ισχύει. β+β + +β 0 β ( ) 0 + +β, που ισχύει..3. Απόλυτη τιμή πργμτικού ριθμού Α ΟΜΑΔΑΣ 1. i) π 3 =π 3, φού π > 3. ii) π 4 = 4 π, φού π < 4. iii) 3 π + 4 π =π 3+ 4 π= 1. iv) 3 3 = ( 3 ) ( 3 ) = 0. Είνι x 3 = x 3, φού x > 3 κι x 4 = 4 x, φού x < 4 οπότε x 3 + x 4 = x 3+ 4 x = 1. 3. i) Αν x < 3, τότε ισχύει κι x < 4, οπότε x 3 < 0 κι 4 x > 0. Άρ είνι x 3 4 x = (3 x) (4 x) = 3 x 4 + x = 1. ii) Αν x > 4, τότε είνι κι x > 3, οπότε x 4 > 0 κι x 3 > 0. Άρ έχουμε x 3 4 x = x 3 + (4 x) = 1. β β 4. Είνι = = 1. β β

0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ x y 5. Αν x > 0 κι y > 0, τότε Α= 1 1 x + y = + = x y Αν x > 0 κι y < 0, τότε Α= 1 1 0 x y = = x y Αν x < 0 κι y < 0, τότε Α= = 1 1= x y x y Αν x < 0 κι y > 0, τότε Α= + = 1+ 1= 0. x y 6. i) Ισχύει d(,37, D) 0,005 (1) 7. ii) Ισχύει (1),37 D 0,005,37 0,005 D,37 + 0,005,365 D,375. Απόλυτη τιμή Απόστση Διάστημ ή ένωση διστημάτων x 4 d(x, 4) [, 6] x+ 3 < 4 d(x, 3) < 4 ( 7, 1) x 4 > d(x, 4) > (,) (6, + ) x+ 3 4 d(x, 3) 4 (, 7] [1, + ) Απόλυτη τιμή Απόστση Διάστημ ή ένωση διστημάτων x 5 < 1 d(x,5) < 1 (4, 6) x+ 1 > d(x, 1) > (, 3) (1, + ) x 5 1 d(x,5) 1 (,4] [6, + ) x+ 1 d(x, 1) [ 3, 1] Απόλυτη τιμή Απόστση Διάστημ ή ένωση διστημάτων x < d(x,0) < (, ) x+ 3 d(x, ) 3 [ 5, 1] x d(x,0) (, ] [, + ) x+ > 3 d(x, ) > 3 (, 5) (1, + )

.3 Απόλυτη τιμή πργμτικού ριθμού 1 β ΟΜΑΔΑΣ 1. Με τη βοήθει της τριγωνικής νισότητς έχουμε β = ( γ ) + ( γ β) γ + γ β.. Αν > β τότε β > 0 κι άρ β = β οπότε έχουμε: +β+ β +β+ β i) = = = κι ii) +β β +β +β β = = = β. 3. Επειδή x 0 κι y 0, έχουμε: x + y 0 Γι ν ισχύει η ισότητ πρέπει x = 0 κι y = 0, δηλδή x = 0 κι y = 0. Διφορετικά ισχύει η νισότητ. Επομένως: i) x + y = 0 x = 0 κι y = 0. ii) x + y > 0 x 0 ή y 0. β β 4. i) Από 0 < < β προκύπτει ότι < 1 κι > 1. Είνι δηλδή < 1 < β β. β ii) Αρκεί ν δείξουμε ότι 1 < 1 ή, ισοδύνμ, ότι 1 β < 1. β β Επειδή β > 0 η νισότητ υτή γράφετι ισοδύνμ β β β < β β β < β β β 0< β + β 5. Είνι x < 0,1 1,9 < x <,1 (1) κι y 4 < 0, 3,8 < y < 4, () ( β ) > 0, που ισχύει φού β.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i) Η περίμετρος Ρ 1 του τριγώνου είνι Ρ 1 = x + y. Από την νισότητ () προκύπτει ότι Προσθέτοντς κτά μέλη τις (1) κι (3), έχουμε: 1,9 + 7,6 < x + y <,1 + 8, 4 9,5 < P1 < 10,5. 7,6 < y < 8, 4 (3) ii) Η περίμετρος Ρ του σχήμτος είνι ίση με την περίμετρο του ορθογωνίου ΑΒΓΔ, οπότε είνι Ρ = 4x + y. Από την νισότητ (1) προκύπτει ότι Προσθέτοντς κτά μέλη τις (4) κι (3), έχουμε: 7,6 < 4x < 8,4 (4) 7,6 + 7,6 < 4x + y < 8, 4 + 8, 4 15, < P < 16,8. iii) Η περίμετρος L του κύκλου είνι L = πx. Από την (1) προκύπτει π 1,9 < π x < π,1 3,8π< L < 4, π..4. Ρίζες πργμτικών ριθμών ΟΜΑΔΑΣ 1. i) 100 = 10, 3 3 3 1000 = 10 = 10, 4 4 4 10000 = 10 = 10, 5 5 5 100000 = 10 = 10. ii) iii) 4 = =, 3 3 3 8 = =, 4 4 4 16 = =, 1 1 1 1 0,01 = =, 3 0,001 = 3 =, 100 10 1000 10 5 5 5 3 = =. 1 1 1 1 0,0001 = =, 5 0,00001 = 5 =. 10000 10 100000 10 4 4. i) ii) iii) iv) ( π 4) = π 4 = 4 π. ( 0) = 0 = 0. (x 1) = x 1. x x =. 4 3. Έχουμε ( 5) + ( 3 5) = 5 + 3 5 = 5 + 3 5 = 1.

.4 Ρίζες πργμτικών ριθμών 3 4. ( x 5 x+ 3)( x 5 + x+ 3) = ( x 5) ( x+ 3) = (x 5) (x + 3) = x 5 x 3= 8, με την προϋπόθεση ότι x 5 0 κι x + 3 0, δηλδή γι x 5. 5. i) ( 8 18)( 50 + 7 3 ) = ( 4 9 )( 5 + 36 16 ) = ( 3 )( 5 + 6 4 ) = ( )( 7 ) = 7( ) = 14. ii) ( 8 + 7 + 3 )( 63 3 ) = ( 4 7 + 7 + 16 )( 7 9 16 ) = ( 7 + 7 + 4 )( 3 7 4 ) = ( 3 7 + 4 )( 3 7 4 ) = ( 3 7 ) ( 4 ) = 9 7 16 = 63 3 = 31. 6. i) + = ( )( + ) ( ) = = =. ii) 3 3 ( )( ) 3 3+ 5 3 5 = 3 3 3+ 5 3 5 ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 = 3 5 = 9 5 = 4 = 4 = 8 =. 7. i) 1ος τρόπος: 3 3 ü 3 1 3 = = = =. ος τρόπος: 3 1/3 4/3 = = ii) 1ος τρόπος: 1/ 1/ ( ) ( ) 4/3 /3 /3 1/3 3 = = = = =. 5 3 5 3 3 5 3 4 = = 5 6 4 5 6 6 4 5 6 10 30 10 3 = = = = =.

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ii) ος τρόπος: ( ) 1/5 5 /3 5 = = 5/3 = 5/3 = 1/3 = 3. 8. i) ii) 3 1 3 1 9 4 13 1 + + 4 3 3 4 3 4 3 1 1 1 1 1 3 3 = 3 3 = 3 = 3 = 3 = 3 3 = 3 3. 8 5 8 5 16 15 31 13 9 8 6 5 9 6 9 + 6 18 + 18 18 18 18 13 = = = = = =. iii) 5 = 5 = 5 5 = 5 5. 9. i) 5 1 5 4 3 5 = = 3 = 10. 75 5 3 5 3 ii) Με νάλυση του 16 σε πρώτους πράγοντες βρίσκουμε 16 = 3 3 3 οπότε έχουμε 16 75 3 5 3 5 3 = = 50 5 5 3 3 3 4 3 4 3 4 = = 3 = 3 = 18. 10. Αν πολλπλσιάσουμε κάθε κλάσμ με τη συζυγή πράστση του προνομστή του έχουμε: i) ii) iii) 45 ( 3 ) 45 ( 3 ) 45 ( 3 ) ( )( ) 8( 7 + 5) = = 4( 7 + 5). 4 + + + 10 + 3 = = = =. 5 3 5 3 5+ 3 5 3 11 8 7 5 7 5 ( 7 + 6)( 7 + 6) ( 7 6) 7 + 6 = = + 7 6 7 6 = 7 + 6 + 4 = 13 + 4.