KVANTNO-MEHANIČKI MODEL ATOMA

KVANTNO-MEHANIČKI MODEL ATOMA

Those who are not shocked when they first come across quantum theory cannot possibly have understood it. (Niels Bohr on Quantum Physics)

Kvantna mehanika Njutnova mehanika- opisuje kretanje tijela pod uticajem sila i dobra je u makrosvijetu Kvantna mehanika opisuje mikrosvijet Njutnova mehanika- aproksimacija QM za makroskopski svijet U kvantoj mehanici elektron je predstavljen kao 3D talas koji okružuje jezgro Ne možemo više govoriti o tačno definisanim elektronskim orbitama već o vjerovatnostima nalaženja elektrona na nekom mjestu oko atoma

Modeli prije QM Modeli prije kvantno-mehaničkog (QM) modela atoma nisu imali puno uspjeha u potpunom tumačenju spektara zračenja Bor- objašnjava samo spektar H i uvodi kvatnizaciju, postulira da se elektron kreće po tačno definisanim kružnim orbitama oko jezgra Wilson-Sommerfeldova pravila poopštavaju kvantizaciju na sve periodične sisteme Objašnjavaju tzv finu strukturu vodika Uvode eliptične umjesto kružnih putanja elektrona Ipak nema objašnjenja za atome sa više elektrona

QM model atoma Luis de Broglie (elektron ima valna svojstva) Werner Heisenberg (Princip neodreñenosti) Erwin Schrdinger (matematički aparat za opisivanje QM sistema koristeći valnu funkciju)

Talasni vid materijalnih čestica. De Broglievi talasi 1924. godine Luis de Broglie postavlja hipotezu o valnim osobinama materijalnih čestica Analogija sa čestičnim svojstvima valova Ranije je uvedeno za foton: Energija fotona E=hν=ћω Impuls fotona p=hν/c=h/λ Luis de Broglie 1929. godine Nobelova nagrada Prema tome je valna dužina fotona λ=h/p

Talasni vid materijalnih čestica. De Broglievi talasi Da li se dualnost može uvesti na sve čestice, one sa nultom masom mirovanja kao što je foton i one sa konačnom masom mirovanja? Za nerelativističke, slobodne čestice, talasna dužina λ materijalne čestice koja ima količinu kretanja p=m 0 v, gdje je m 0 masa mirovanja čestice, a v brzina čestice, prem de Broglieu je: h λ = = p Za relativističke čestice: h m v 0 h λ = = p De Broglieva relacija h mv m = m 0 v 1 c 2 2 Eksperimentalni dokaz? Postoji

Talasni vid materijalnih čestica. De Broglievi talasi Primjer. Proračunati de Broglievu valnu dužinu za: a) lopticu mase 0.2 kg koja se kreće brzinom 15 m/s. b) elektron koji je ubrzan potencijalnom razlikom 100 V a) b) m/s

Talasni vid materijalnih čestica. De Broglievi talasi Kako ispitati talasna svojstva? Eksperimenti interferencije i difrakcije Valne dužine dobijene u prethodnom primjeru: a) 2,2*10-34 m- premala valna dužina b) 1,23*10-10 m - odgovara redu veličine atoma i udaljenosti atoma u kristalnoj rešetki Dakle, kristalna rešetka bi nam mogla poslužiti kao difraciona mrežica za elektrone. Ako su elektroni valovi oni će da pokazuju valna svojstva (interferencija i difrakcija)

Da se podsjetimo... Braggov zakon

Davisson-Germer-ov eksperiment Eksperimentalni dokaz za valna svojstva elektrona De Broglie-va relacija DD ϕ Braggov zakon refleksije prvi put upotrebljen za valove materije

Eksperimentalna relacija sa prethodne slike detaljnije = Dsin 2 = Dsin λ α ϕ ϕ- ugao izmeñu upadnog i raspršenog snopa elektrona D- poznato iz difrakcije X-zraka na niklu

Davisson-Germer-ov eksperiment Opis eksperimenta: 1. Užarena katoda emituje elektrone koji se ubrzavaju i rasijavaju na kristalu nikla 2. Tamo gdje je zadovoljen Braggov uslov difrakcije opaža se maksimum (na 50º) 3. Valna dužina koja se dobije odgovara valnoj dužini koja se dobije iz de Broglieve relacije 4. Ovim je potvrñeno da elektroni imaju valna svojstva 5. Nobelova nagrada za fiziku 1937. godine [1] C. J. Davisson and L. H. Germer, Nature (London) 119, 558 (1927). [2] G. P. Thomson and A. Reid, Nature (London) 119, 890 (1927). C. Davisson and L. H. Germer Phys. Rev. 30, 705 (issue of December 1927)

Kakva korist od valova elektrona? Rezolucija- mogućnost razdvajanja sitnih detalja koja odreñuje kvalitet slike Rezolucija naših očiju je oko 0.1-0.2 mm. Svaki instrument koji nam može otkriti detalje finije od 0.1 mm možemo zvati mikroskopom Ograničenja mikroskopa koji koristi vidljivu svjetlost zbog difrakcije na kružnim otvorima mikroskopa Što je manja valna dužina to je veći broj detalja vidljin na slici- bolja rezolucija Koristiti elektrone? Zašto da ne- elektronski mikroskop

Slike pojedinačnih atoma na STM-u Dodatno obojeni izgled atoma joda koji su adsorbovani na površini kristala platine. Ovdje žuti spot pri dnu slike predstavlja mjesto gdje nedostaje atom

Krug prečnika 14 nm kojeg čine atomi željeza na bakarnoj površini: slika sa STM-a (Scanning Tunneling Microscope)

Valovi materije- valovi vjerovatnosti Danas je poznato da elektroni nisu jedine čestice za koje je dokazano da imaju talasna svojstva. To su još i neutroni,a tomi pa čak i molekule Šta su ustvari de Broglievi talasi materije? U slučaju valova vode, zvuka ili svjetla znamo koje veličine se mijenjaju. (animacija) https://phet.colorado.edu/en/simulations/category/physics Šta se to mijenja u slučaju valova materije? Veličina koja se mijenja u slučaju valova materije je valna funkcija (amplituda talasa materije) čije je simbol Ψ. Vrijednost valne funkcije koja se pripisuje tijelu na odreñenom mjestu x,y i z i u odreñenom vremenu je vezana za vjerovatnost nalaženja tijela na tom mjestu u tom trenutku.

Valovi materije- valovi vjerovatnosti Ova veličina nema fizikalni smisao i ne može se eksperimentalno odrediti. Vjerovatnost da je nešto na odreñenom mjestu u odreñeno vrijeme se mijenja izmeñu 0 (objekat nije tamo) i 1 (objekat je tamo). Veličina Ψ tj. amlituda svakog vala može biti i negativna i pozitivna tako da ne može biti opservabilna Ono što ima fizikalni smisao je veličina l Ψ l 2, tj. kvadrat apsolutne vrijednosti valne funkcije koja predstavlja gustoću vjerovatnosti. Veliko l Ψ l 2 znači da je vjerovatnost nalaženja objekta velika Sve dok god l Ψ l 2 nije jednako nuli postoji šansa tj. vjerovatnost da se objekat može naći na tom mjestu

2 * ρ = Ψ = ψψ Gustoća vjerovatnosti (da česticu nađemo na nekom mjestu) ψ * : kompleksno konjugovana (tj., z = x + iy and z * = x - iy) V ρ dv + 2 = Ψ dv = 1 Normiranje Ψ = k i( kr ωt) Ae 2π k = λ 2π h h λ = = = k p mv jednačina ravnog vala u tri dimenzije- kompleksna veličina (pažnja-može se napisati i preko funkcije sin ili cos) Valni vektor Valni broj Valna dužina (posljednja jednakost vrijedi samo za čestice sa m različito od nule.

Heisenbergove relacije neodreñenosti (nepouzdanost mjerenja kompelemnarnih veličina) The more precisely the position is determined, the less precisely the momentum is known in this instant, and vice versa. --Heisenberg, uncertainty paper, 1927

Heisenbergove relacije neodreñenosti (nepouzdanost mjerenja kompelemnarnih veličina) Dualizam val-čestica- simetrija prirode Niels Bohr (princip komplemnatrnosti)-valna i čestična slika su komplementarne Werner Heisenberg 1927. godine- relacije neodreñenosti Govore o nepouzdanosti istovremenog mjerenja tzv. komplementarnih veličina Komplementarne veličine: Položaj (x) Impuls( p x ) Energija (E) Vrijeme (t) Ugao (ϕ) Ugaona količina kretanja (L) Rezultat su interakcije mjernog ureñaja i objekta u procesu mjerenja

Heisenbergove relacije neodreñenosti x p E t ħ 2 ħ 2 Pošto je vrijednost h jako mala, ovaj fenomen se manifestuje na nivou atoma

Heisenbergove relacije neodreñenosti

Čestični pristup objašnjenja Heisenbergovih relacija Da bismo vidjeli elektron, moramo ga osvijetliti Svjetlošću koja se sastoji od fotona implusa h/ λ. Sudarom fotona i elektrona, impuls elektrona se mijenja. Promjena je reda veličine h/ λ Minimalna nesigurnost mjerenja ograničena je valnom dužinom fotona tj. x λ Kombinujući ove relacije p x h što je konzistentno sa Heisenbergovim relacijama x p ħ 2 Sam talasni karakter materije je uzrok ove neodreñenosti o čemu će više biti govora u kvantnoj mehanici

Primjer 1 Pobuñeni atom emituje foton odreñene frekvencije. Vrijeme koje proñe izmeñu pobuñenja atoma i emitovanja fotona je 10-8 s. Naći neodreñenost frekvencije emitovanog fotona. ħ E t 2 34 ħ 1,054 10 Js E = = 5,3 10 8 2 t 2 10 s E 6 ν = 8 10 Hz h 27 J

Talasna funkcija i kvatnizacije energije Klasična mehanika (opisuje talase na žici, akustičke talase), Maxwellove jednačine (opisuju EM valove) Opisivanje kretanja elektrona u atomu- valna jednačina- valna mehanika (kvantna) Da se podsjetimo... Ψ- valna funkcija (amplituda vala koji je povezan sa česticom)- nema fizikalno značenje 2 * Kvadrat amplitude Ψ = ΨΨ predstavlja vjerovatnost da se čestica nañe na nekom mjestu

Talasna funkcija i kvatnizacije energije Razmotrićemo kretanje elektrona mase m izmeñu dva neprobojna zida razmaknuta za L (slika a) Kretanje elektrona je opisano valnom funkcijom Ψ Analogni problemi u Njutnovoj mehanici (zategnuta žica uklještena na krajevima, slika b) i u Maxwellovoj elektrodinamici (EM zračenje izmeñu dva ogledala, slika c) L x

Talasna funkcija i kvatnizacije energije Rješenje ovog problema dobijamo iz valne jednačine (ovo je za 1D slučaj): 2 2 y 1 y = x v t 2 2 2 f v f F = µ 1 2 v f - fazna brzina, F- sila zatezanja u žici, µ- masa po jedinici dužine

2π y( x = 0, t) = ym sinωt = ym sin t T x t = v ' x y( x, t) = ym sin ω( t t) = ym sinω ± t v x t y( x, t) = ym sin 2π ± λ T y( x, t) = y sin( kx ± ωt) m k = 2π λ Razdvajanem gornje jednačine na dva vala koji se kreću na desno i na lijevo dobijamo dva rješenja. Princip superpozicije kaže da je njihova kombinacija rješenje valne jednačine (, ) m sin ( ω ) m sin ( ω ) 2y sin kx cosωt y ( x) y ( t) y x t = y kx t + y kx + t = = m = Jednačina stojećeg talasa

Kod stojećih talasa čvorovi ne osciluju- u tim tačkama vrijedi uslov: kx=π, 2π, 3π,... x=λ/2, λ, 3λ/2, 2 λ,... Žica može oscilovati samo sa diskretnim vrijednostima valnih dužina (frekvencija): λ=2l/n n=1,2,3,..., kvantizacija frekvencije ν=v/ λ=n v/2l Napišimo izraz za amplitudu i uvrstimo λ: y x y ( ) = sin max n=1,2,3,... n nπ x L

Analogno dobivamo za amplitudu električnog polja za stojeće EM valove n=1,2,3,... Za valnu funkciju elektrona Kvantizacija energije: E n ( ) = sin max E x E Ψ n ( x) = Ψ sin max nπ x n=1,2,3,... n L nπ x L 2 2 2 1 2 p h h = = = n 2m 2m λ 8mL 2

Vremenski nezavisna Schrödingerova jednačina.. Je uvedena 1926.g. kako bi se uveo elektron kao de Broglie-v talas : Do nje se može doći polazeći od klasične valne jednačine i de Broglieve relacije da elektron ima valna svojstva Krećemo od klasične 1D valne jednačine 2 2 y 1 = x v t y 2 2 2 f

Vremenski nezavisna Schrödingerova jednačina U valnoj mehanici Schrödingera y je valna funkcija Ψ(x,t) Uzmimo nerelativistički sistem energije E koja je konstantna ν=e/h Rastavimo valnu funkciju na dva nezavisna dijela: prostorni (1D) i vremenski: Ψ(x,t)=ψ(x)ϕ(t) Pošto nam je frekvencija konstantna (precizno odreñena) uzmimo da se vremenski dio mijenja periodično sa vremenom: ϕ(t)=cosωt=cos2 πνt

2 2 Ψ x, t 1 Ψ x, t = x v t Izvedeno na tabli ( ) ( ) 2 2 2 f ħ 2 2m d ψ 2 dx ( x) ( E V ) ψ ( x) + = 0 2 1D, vremenski nezavisna, nerelativistička Schrödingerova jednačina Ukoliko znamo potencijalnu energiju kao funkciju položaja čestice možemo lako izračunati dozvoljene valne funkcije i energije sistema

Vremenski nezavisna (stacionarna)schrödinger-ova jednačina E : vlastita vrijednost energije ψ : talasna funkcija ψ 2 = ψ * ψ Vjerovatnost nalaženja čestice ψ * : kompleksno konjugovana (tj., z = x + iy and z * = x - iy) de Broglie-ev val operator ψ 2 = 1: normiranje

Nerelativistička Schrödingerova jednačina Hˆ Ψ = Eˆ Ψ 2 2 ˆ ˆ ˆ ħ H = T + V = + V 2 2m x Eˆ = iħ t 2 2 ħ Ψ Ψ + V Ψ = iħ 2 2m x t Hˆ Ψ = EΨ 2m E ħ 2m E ħ 2 Ψ 2 + 2 ( V ) Ψ = x Ψ 2 2 2 + Ψ = 0, + 0 2 2 2 k Ψ = x 0 Ψ x Za slobodnu česticu V=0

Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887-1961) Nobelova nagrada (1933)

Talasna funkcija i vjerovatnoća Valna funkcija- nema fizikalno značenje 1925 Max Born je doprinio razvoju kvantne mehanike jer je pokazao da se Schrödingerova valna funkcija može interpretirati kao statističko predviñanje varijabli- ψ 2 = ψ * ψ je mjera vjerovatnosti da se čestica nalazi na tom mjestu Max Born (1882 1970) Nobelova nagrada (1954)

Talasna funkcija i vjerovatnoća Ψ n ( x) = Ψ sin max nπ x L Gdje možemo naći elektron 0<x<L? Vjerovatnost nalaženja elektrona izmeñu dvije ravni koje su na položajima x i x+dx je jednaka: 2 2 2 ( ) sin nπ x dp = Ψ n x dx = Ψmax dx L Vjerovatnost nalaženja elektrona izmeñu 0 i L jednaka je: L L P = dp = Ψ x dx = 1 0 0 2 n ( ) Napomena: kad imamo razmatranje u 3D tada govorimo o vjerovatnosti po jedinici zapremine

Talasna funkcija i vjerovatnoća Predstavimo grafički funkciju n=1,2,3,... Ψ ( x) 2 2 sin 2 n = Ψ max nπ x L Klasična teorija predviña svuda istu vjerovatnost (horizontalna linija na Slici) Za n=1 vidimo veću vjerovatnost Nalaženja elektrona u sredini nego na krajevima Za veće n=15 vidimo da se kvantna teorija približava klasičnoj- u skladu sa Borovim principom korespondecije

Elektron koji se kreće oko jezgra Razmotrimo sad isti problem za elektron koji se kreće oko jezgra po osnovnoj putanji Borove teorije: Energija tog elektrona je izvedena prije i iznosi: E = m e 8ε 4 e 2 2 0 h Valna funkcija osnovnog stanja (n=1) atoma hidrogena je iz kvantne mehanike (ovo će se detaljno obrañivati i izvoditi na kursu Kvantne mehanike): 1 ( r) e r1 Ψ = π r 3 1 r r 1 =0,53 A- Borov radijus

Ovdje r 1 ne znači isto što i u Borovoj teoriji, jer kvantna mehanika ne poznaje orbite kao takve. Ovde je r 1 dogovorena jedinica mjere, kao 1m u svakodnevnom svijetu, r 1 je jedinica dužine u svijetu atoma Vjerovatnost po jedinici zapremine da će se elektron naći unutar zapremine dv koja je na udaljenosti r od jezgra atoma je po analogiji sa ranijim razmatranjem jednaka: 2 Ψ r = 1 ( ) r1 π r 3 1 e r 2 Radijalna gustoća P(r)dr je vjerovatnost da će se elektron nalaziti izmeñu sfernih ljuski radijusa r i r+dr Zapremina tankog omotača ljuske je dv=4πr 2 dr

P(r) A -1 2 2 2 ( ) = Ψ ( ) = 4π Ψ ( ) P r dr r dv r r dr 4 P r r r r e r r 2 2 2 2 r1 ( ) = 4π Ψ ( ) = 3 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 Nacrtajmo grafik funkcije P(r) (ja sam koristila program Mathematica) r/r 1 Uočimo da je najvjerovatnija radijalna komponenta (P(r)=1) ona koja odgovara Borovom radijusu prve orbite (r=r 1 )- to je po kvantnoj mehanici mjesto gdje elektron može biti prije nego na bilo kojem drugom mjestu

Kvantno-mehanički model atoma Po ovom modelu atoma elektroni ne postoje u jasno definiranim kružnim orbitama kao u Bohr-ovom modelu. Radi svoje valne prirode elektron predstavlja oblak negativnog naboja. Veličina i oblik elektronskog oblaka može da se izračuna za dato stanje atoma. Za osnovno stanje atoma vodonika elektronski oblak je sferno simetričan. Elektronski oblak ugrubo odreñuje veličinu atoma; ali baš kao što oblak nema preciznu granicu, tako ni atomi nemaju jasnu granicu niti dobro definiranu veličinu. Meñutim, nemaju svi elektronski oblaci sferni oblik. Elektronski oblak

Kvantno-mehanički model atoma Prema kvantno-mehaničkom pristupu, u atomu položaj elektrona se ne može potpuno sigurno odrediti, već se može govoriti samo o većoj ili manjoj vjerovatnoći nalaženja elektrona u nekom delu prostora oko jezgra. a 0 Položaj elektrona se uobičajeno predstavlja oblakom vjerovatnoće, čija se gustina mijenja postepeno od tačke do tačke.

Elektronski oblak Elektronski oblak može da se interpretira bilo kao čestica ili kao talas. Čestica je nešto što mislimo da je lokalizovano u prostoru ima tačno definirani položaj u svakom momentu. Nasuprot tome, talas je nešto što se širi negdje u prostoru i elektronski oblak može tako da se interpretira. Meñutim, elektronski oblak može da se interpretira i kao raspodjela vjerovatnih položaja čestice. Ako bismo napravili 500 različitih mjerenja položaja elektrona posmatrajući ga kao česticu, većina rezultata bi pala u tačke velike vjerovatnosti (oblast veće gustine tačaka). Ovdje ne možemo odrediti putanju po kojoj bi se elektron kretao. Samo možemo odrediti vjerovatnost njegovog nalaženja u raznim tačkama. Matematička vrijednost ove vjerovatnosti leži izmeñu 0 i 1. Ovdje 0 znači nikad, a 1 znači uvijek. Na primjer ako je vjerovatnost nalaženja elektrona u okviru nekog radijusa 0,4, to znači 40% mogućnosti da se elektron nañe u tom prostoru.

Kvantno-mehanički model atoma Pojedinačni elektron može u raznim trenucima biti detektovan bilo gdje u ovom oblaku vjerovatnosti; on čak ima i izvjesnu, mada veoma malu, vjerovatnost da se nañe unutar jezgra. Meñutim, najčešće se kroz proračun vjerovatnosti njegovog nalaženja na nekom mjestu, detektuje na mjestima koja su nagomilana oko udaljenosti od jezgra koja odgovara prvom Bohrovom radijusu i tu je elektronski oblak vodikovog atoma u osnovnom stanju najgušći. Elektronski oblak

Kvantno-mehanički model atoma Ova teorija se uspješno bavila spektrima koje emituju složeni atomi čak i u sitnim detaljima. Ona objašnjava i relatvni intenzitet spektralnih linija kao i to kako atomi formiraju molekule. Toliko je bila uspješna u svim mogućim objašnjenjima do tada neobjašnjivih fenomena da je postala opće prihvaćena fundamentalna teorija koja leži u osnovi svakog fizikalnog procesa.