PRORAČUN, SKLOPOVNO OBLIKOVANJE I ARMIRANJE LUKOVA

PRORAČUN, SKLOPOVNO OBLIKOVANJE I ARMIRANJE LUKOVA 1 Uvod Luk se sve češće primjenjuje kao glavni nosivi sklop mosta. Želimo li najbolje iskoristiti prednosti luka, moramo dobro poznavati njegove osobitosti, s obzirom na zakrivljenost. Pri tomu nam nije od velike koristi analogija sa svodom, budući da se danas rabe vrlo vitki lukovi, pa više nije stalni teret kao prevladavajuće opterećenje njegovo glavno obilježje. Uporabom betona kao gradiva do najveće mjere iskorišćujemo njegovu glavnu prednost homogenost što osobito dolazi do izražaja u upetih lukova. Luk ima vrlo male momente savijanja od vlastite mase. 1

1 Uvod Načelno se os luka oblikuje po tzv. potpornoj krivulji. Međutim, odstupanja su od nje neizbježiva, zbog elastičnoga skraćenja luka (iako se ono može djelomice nadoknaditi nadvišenjem), ali i zbog dugotrajnih izobličenja (od skupljanja i puzanja betona), te zbog toplinskih djelovanja. Ipak, najveća odstupanja potječu od pojedinačnog unošenja sila od prometnog opterećenja (na mjestu stupova). 1.1 Djelovanje luka Visoka sklopovna učinkovitost luka potječe od iskorištenosti njegova presjeka u kojemu prevladava tlak. Za to je nužno ispuniti važnu pretpostavku: visok stupanj punoće plohe tlačnih naprezanja, što je moguće jedino pri maloj mimoosnosti tlačne sile. Lukovi imaju još jedno ograničenje: ispunjenje uvjeta stabilnosti. 2

1 Uvod 1.1 Djelovanje luka Kako bismo postigli da tlačna krivulja bude što bliže osi luka, nužna je ravnoteža s poprečnim opterećenjima od vanjskih djelovanja, što se može očekivati samo za strogo određen razmještaj (konstelaciju) opterećenja. Posljedak je toga da su lukovi osobito prikladni za one mostove u kojih prevladava stalno opterećenje, dakle za mostove velika raspona. Potporna krivulja za približno jednoliko raspodijeljeno vlastito opterećenje ima tijek blizak paraboli. Pri tomu se mogu pojaviti različiti omjeri strjelice i raspona luka, f/l, što proistječu iz obrisa prepreke, ali i iz uvjeta temeljenja. Odnos potporne krivulje i osi luka za slučaj luka opterećena pojedinačnom silom u tjemenu predočen je na slici 1.1. 3

1 Uvod 1.1 Djelovanje luka Rastavljanjem sile u sastavnice po paralelogramu sila dobivamo pravčastu potpornu crtu, s njezinim mimoosnostima u odnosu na os luka, a onda i s pripadnim momentima savijanja. Momenti mijenjaju predznak duž osi luka, pa zbog toga treba težiti da mimoosnosti budu što manje. Veći su momenti dopustivi samo na onim mjestima gdje ih je moguće preuzeti, s obzirom na izmjere presjeka (npr. pri peti luka). Silu što djeluje duž potpornoga pravca rastavljamo u dvije sastavnice: u smjeru osi luka i okomito na nju. Slika 1.1: Odnos osi luka i potporne crte 4

1 Uvod 1.1 Djelovanje luka Dakle, N e N predstavlja moment savijanja što djeluje u promatranomu presjeku. Budući da je u lukova uzdužna sila mjerodavna rezna sila, a i s obzirom na to da su lukovi općenito vitkiji od greda, mora se izvijanju posvetiti osobita pozornost. Na slici 1.2 zorno je predočeno djelovanje luka i uvriježena mogućnost procjene reznih sila. Uočimo da momenti savijanja potječu samo od antimetrične sastavnice opterećenja. Slika 1.2: Procjena stabilnosti luka pri izvijanju 5

1 Uvod 1.1 Djelovanje luka Budući da je duljina između peta luka nepromjenjiva, može se pretpostaviti antimetričan lik izvijanja, određen trima prijevojnim točkama (slika 1.3). Dokaz obično ograničavamo na provjeru presjeka u četvrtinskoj točki luka uz prometno opterećenje na jednoj polovici luka. Slika 1.3: Krivulja izvijanja luka Zgodno je opterećenje rastaviti u simetrični udio (g d + 0,5q d ) i u antimetrični udio ( 0,5q d ). Prvi izaziva u luku samo uzdužne sile, dok drugi daje i momente savijanja, pri čemu je najveći moment u polju: M (v) = q d l 2 /128 Za duljinu izvijanja možemo, po slici 2.3, uzeti da je ~ 70 % duljine polovice luka. 6

1 Uvod 1.1 Djelovanje luka Tako se za kritičnu silu pri izvijanju dobije: 1 π E I N H H 2 = s s ki ki ; 80 2 2 ki 2 cosψ = l B cosψ lb ( 0,5 0,7) Na slici 1.4 predočene su kritične razuporne sile, H ki, u zavisnosti od sploštenosti luka, f/l. EI Moment s obzirom na izvijenu os luka (tzv. teorija II. reda) jednak je prema tome osnovnom momentu (po teoriji I. reda) pomnoženu s čimbenikom povećanja: M II = [1/(1 H d /H ki )] M I Slika 1.4: Kritične razuporne sile H kr u zavisnosti od sploštenosti luka f/l 7

1 Uvod 1.1 Djelovanje luka Moguće izvedbene nesavršenosti uzimaju se u obzir na način dan u normama, a utjecaj dugotrajnih djelovanja malim povećanjem izračunanog momenta. Budući da dijelovi luka mogu pri djelovanju velikih momenata savijanja prijeći u stadij II (raspucalost), treba odmjeriti i odgovarajuće smanjenje krutosti, EI s. U lukova (L) spregnutih s kolničkim sklopom (KS) luk sudjeluje u prenošenju ukupnog opterećenja srazmjerno svojoj krutosti. Tako je moment što ga preuzima luk: 8

1 Uvod 1.2 Određivanje najpovoljnijeg oblika osi luka Lukovi betonskih mostova danas se najčešće oblikuju tako da im os ima tzv. verižni oblik. Današnjim naraštajima ova riječ zvuči pomalo strano, a radi se o verigama, o lancu. Prisjetimo se kako je u visećih mostova najpovoljniji oblik osi nosivog užeta lančanica ovdje je to pak obrnuta lančanica iliti verige. Danas je taj pojam poopćen, pa tako verižnim lukom nazivamo luk čija os ne odstupa bitno od rezultantnog pojasa kroz koji prolaze sve tlačne (potporne) krivulje za najnepovoljnije slučajeve opterećenja. Ovaj pojas bit će to uži što je omjer promjenjivoga (prometnog) i stalnog opterećenja (q/g) niži i što je manji ukupni učinak štetnih (parazitnih) djelovanja (skupljanje i puzanje betona itd.). 9

1 Uvod 1.2 Određivanje najpovoljnijeg oblika osi luka Općenito se za mjerilo najpovoljnijeg oblika osi luka uzima stupanj odstupanja od potporne krivulje za ukupno stalno opterećenje. Određivanje izmjera poprečnoga presjeka upetog luka na osnovi momenata savijanja i uzdužne sile dovodi do toga da presjek bude jači u petama nego u tjemenu. Do pojave računala inženjeri su nastojali prilagoditi oblik osi luka lakšemu proračunu danas za to više nema potrebe. Danas je odlučujuće mjerilo jednostavnost izvedbe. Lukovi većih raspona u pravilu su sandučasta presjeka, pa su redovito vanjski obris i debljine hrptova nepromjenjivi, a samo se pojasne ploče podebljavaju pri petama. Vlastita težina luka i oblik potporne krivulje uzajamno su zavisni. 10

1 Uvod 1.2 Određivanje najpovoljnijeg oblika osi luka Ne može se odrediti potporna krivulja ako nije poznato opterećenje, a opterećenje (vlastita težina) ne može se odrediti ako nije poznat oblik osi luka. Dakle nizbježivo je postupno približavanje u proračunu: pretpostavimo oblik osi luka, izračunamo težine, pa određujemo potpornu krivulju. Ona će nakon prvoga koraka možda i znatno odstupati od osi luka, pa je nuždan drugi pokušaj, pa treći itd. S pomoću računala to ide brzo i bez većih napora. Može se ići i obrnutim slijedom: zada se zakon promjene opterećenja (uz stanovite pretpostavke), pa se određuje oblik osi luka po mjerilima povoljnosti. U svakom slučaju danas pri određivanju oblika osi luka pretežu oblikovna (estetska) mjerila. 11

1 Uvod 1.2 Određivanje najpovoljnijeg oblika osi luka Ukupno okomito opterećenje po jedinici duljine, g ξ, sastoji se od (slika 1.5): težine kolničkoga sklopa i pomosta, g 1, težine luka, g 2 i težine ispune između luka i kolničkoga sklopa, γ y ξ : g 2 gξ = g1 + + γ yξ cosφξ Polazeći od vlastitosti potporne krivulje da je: tanφ x = V x /H = dy/dx, Slika 1. 5: Opterećenje luka dobit će se, nakon uvrštavanja gornjih vrijednosti za opterećenje g ξ = g x, ordinate luka u obliku diferencijalne jednačbe drugog reda za slučaj nepromjenjiva poprečnoga presjeka luka: 12

1 Uvod 1.2 Određivanje najpovoljnijeg oblika osi luka Rješenje je ove diferencijalne jednačbe moguće u zatvorenu obliku samo uz tri pretpostavke: 1) g 2 = 0 i γ= 0 Ovo je slučaj jednoliko rasprostrtog opterećenja. Uz tu pretpostavku slijedi da potporna krivulja ima oblik parabole: y = (4f/l 2 ) x 2 2) g 2 = 0 2 = + + + γ y 2 d y 1 dy 2 g 1 1 α 1 dx H dx Slučaj luka bez težine, teorijski granični slučaj. Dobije se Legay- Strassnerova diferencijalna jednačba, čije je rješenje: y = [f/(m - 1)] (chßk 1) 2 gdje su: m = g k /g s ; ß = 2x/l; k = ln m+ m 1 ( ) 13

1 Uvod 1.2 Određivanje najpovoljnijeg oblika osi luka 3) g 1 = 0 i γ = 0. Slučaj kada djeluje samo vlastita težina luka. Rješenjem osnovne diferencijalne jednačbe dobije se izraz za obrnutu lančanicu, uvjetno rečeno nepromjenjiva presjeka: y = (1/a) [ch(ax) 1] Koeficijent a = g 2 /H određuje se iz rubnih uvjeta: y = f i x = l/2. * * * * * Najpovoljniji oblik osi luka može se odrediti i iz uvjeta da moment savijanja iščezava u svim presjecima: x 1 H y x ξ g dξ = y = x ξ g dξ ( ) 0 ( ) ξ H 0 0 Kada se u njih uvrste vrijednosti za g ξ, pa se iz rubnih uvjeta odredi nepoznata sila H, dobit će se integro-diferencijalna jednačba prikladna za numeričko integriranje. x ξ 14

1 Uvod 1.2 Određivanje najpovoljnijeg oblika osi luka Međutim, i ona se dâ pojednostavniti tako da se dobiva razmjerno jednostavan analitički izraz: f 2 2 ( ) 4 x x 2 2 2 2 1 2 2 3 1 1 x γ ln 1 2 ( 1 ) x y = + α a x ax a x a x a A 2 + + + + + + 2 2a 3a 3a + g1 24 Pri čemu se koeficijent A dobije iz izraza: l 2 l 2 3 ( ) 2 2 4 2 2 1 2 2 1 1 4 l ln 4 1 a l l γ A= + α + a l + al+ + a l a 2 + + + 2 8 16 4a 2 3a 4 3a g1 384 Još ima prostora za pojednostavnjivanje: uzimamo da se opterećenje g ξ može izraziti jednačbom: g ξ = a + bξ + cξ 2, u kojoj su koeficijenti a, b, c i ω dani ovim izrazima: ( ) ( ) 1 1 1 1 ( ) 1 16 f a = g 1 + α, b= gα ω 1, c= 2gα ω 1 4 γ f, ω 1 2 2 l + = + l l 2 15

1 Uvod 1.2 Određivanje najpovoljnijeg oblika osi luka Tako jednačba osi luka poprima vrlo prikladan oblik: y = Ax 2 + Bx 3 + Cx 4 jer se koeficijenti polinoma mogu izračunati iz jednostavnih izraza: A = a/2h; B = b/6h; C = c/12h H l 2 2 bl cl = a+ + 8f 6 24 Praksa je pokazala da ovi približni izrazi dostatno točno određuju oblik verižne krivulje za ukupno stalno opterećenje. 16

2 Proračun lukova s kolnikom gore Pri građenju betonskih lučnih mostova s kolnikom gore danas se rabe ova tri sklopovna sustava: upet kruti luk s vitkim nadlučnim sklopom, vitak luk pod krutom gredom (Maillartov luk) i upet kruti luk s krutim nadlučnim sklopom. Ipak, nesrazmjerno se najčešće rabi prvo sklopovno rješenje. 2.1 Upet kruti luk s vitkim nadlučnim sklopom Ovaj se sklopovni sustav ubraja u jednostavne, jer ukupno opterećenje na potezu među petnim stupovima prenosi sâm luk. Pri proračunu upetih lukova na djelovanja u vlastitoj ravnini uzima se da prekobrojne statičke veličine djeluju u elastičnom težištu (slika 2.1). 17

2 Proračun lukova s kolnikom gore 2.1 Upet kruti luk s vitkim nadlučnim sklopom To je težište udaljeno od tjemena luka za: Slika 2.1: Elastično težište luka Zahvaljujući ovakvu izboru hvatišta prekobrojnih sila, vrijednosti nepoznanica X 1, X 2 i X 3 mogu se odrediti nezavisno jedne od drugih: 1v 2v 3v x1 = δ, x δ 2 = i x δ 3 = δ δ δ 11 22 33 Pri određivanju pomakâ nipošto se ne smije zanemariti utjecaj uzdužnih sila: s s ds ds δ ik = MM i k + NN i k EI EA 0 s 0 y s s = s 0 ds y ' EI s 0 ds EI s s 18

2 Proračun lukova s kolnikom gore 2.1 Upet kruti luk s vitkim nadlučnim sklopom Pošto se izračunaju vrijednosti nepoznanica, rezne se sile dobiju iz ovih izraza: M x = M x0 X 1 y X 2 x + X 3 V x = V x0 -X 1 sinφ x X 2 cosφ x N x = N x0 + X 1 cosφ x X 2 sinφ x Najveće vrijednosti reznih sila od prometnog opterećenja određuju se iz utjecajnih krivulja. Pri tomu treba svaki presjek provjeriti na dva slučaja opterećenja, što daju: najveći moment savijanja i pripadnu uzdužnu silu i najveću uzdužnu silu i pripadni moment savijanja. 19

2 Proračun lukova s kolnikom gore 2.1 Upet kruti luk s vitkim nadlučnim sklopom Osim na stalno i prometno opterećenje treba pri proračunu luka na djelovanja u vlastitoj ravnini uzeti u obzir i: skupljanje i puzanje betona, jednoliko i nejednoliko toplinsko djelovanje, nejednoliko slijeganje i zaokretanje potpora. Slika 2.2: Opterećenja izvan ravnine luka Valja provjeriti i djelovanje opterećenja izvan ravnine luka (slika 2.2), u što pripada: a) vjetar okomito na most, b) potres i c) mimoosan položaj prometnog opterećenja na kolniku. 20

2 Proračun lukova s kolnikom gore 2.1 Upet kruti luk s vitkim nadlučnim sklopom Zahvaljujući simetriji sustava i opterećenja, jedina je prekobrojna veličina moment X s u vodoravnoj ravnini u tjemenu luka, koji se određuje iz jednačbe elastičnosti: pri čemu su: X s = -(δ sv /δ ss ) ds δ = MM M M sv s v Ts Tv EIs ds δ = M + 2 2 ss s Ts EIs M ds GI T ds GI T 21

2 Proračun lukova s kolnikom gore 2.2 Vitak luk pod krutim nadlučnim sklopom Maillartov se luk ubraja u složene sklopove, jer opterećenje što djeluje na potezu među krajevima nadlučnoga sklopa prenose zajedno luk i greda. Lukovi su mnogokutna oblika (slika 2.3), a u njima zapravo djeluju samo uzdužne sile, jer se momenti savijanja, što Slika 2.3: Maillartov luk se javljaju u luku zbog krutosti čvorova, najčešće mogu zanemariti. Sustav je po teoriji jednom statički neodređen, a prekobrojna se vodoravna sila računa iz izraza: ds MM δ x v xv X = = EI δ xx 2 ds 2 ds Mx + Nx EI EA 22

2 Proračun lukova s kolnikom gore 2.2 Vitak luk pod krutim nadlučnim sklopom Pri tomu se obično zanemaruje utjecaj uzdužnih sila u stupovima, ali se ne smije zanemariti njihov utjecaj u luku. Rezne sile u gredi određuju se iz izrazâ: M x = M x0 -x y V x = V x0 -x tanα m Sile u odsječcima luka jednake su: a u stupovima: S m = X / cos α m, V m = X (tanα m tanα m+1 ) Ako točke mnogokuta leže na paraboli, vrijedi: V m = X (8f / l 2 ) λ 23

2 Proračun lukova s kolnikom gore 2.3 Upet krut luk s krutim nadlučnim sklopom Kruti lukovi s krutim gredama višestruko su statički neodređeni sustavi, u kojih se omjer momenata tromosti luka i grede (n = I l /I g ) kreće u području n = 1 10. Zbog visoka stupnja statičke neodređenosti vlastitosti ovoga sustava bilo je moguće istražiti tek pošto su razvijena moćna računala. Prikazat ćemo rezultate do kojih je došao Vinko Čandrlić. Složeni se sklop sastoji od protežna (kontinuirana) grednoga sklopa na stupovima i luku (slika 2.4). Prije istraživanja vlastitosti složenog sustava odvojeno je razmatrana protežna greda na nepopustljivim stupovima, a zatim luk. složeni sustav LKS osnovni sustav KS osnovni sustav L Slika 2.4: Razlaganje složenog nosivoga sustava na dva osnovna 24

2 Proračun lukova s kolnikom gore 2.3 Upet krut luk s krutim nadlučnim sklopom Pri tomu se uzimalo da se prometno opterećenje s kolničkoga sklopa posredno prenosi na luk preko stupova. Ova ispitivanja dvaju osnovnih statičkih sustava od kojih se sastoji složeni sklop provedena su radi utvrđivanja praktičnih granica omjera n pri kojem se ovi sustavi mogu promatrati odvojeno. Na slici 2.5 predočene su utjecajne krivulje za momente u četvrtinskoj točki luka. Pri tomu brojke na apscisi označuju stupna mjesta. Na slici 2.6 prikazana je odgovarajuća utjecajna krivulja za položaji potpora moment u gredi. Slika 2.5: Utjecajne krivulje za moment ordinata u m u četvrtini luka; f/l = 1/6.5 25

2 Proračun lukova s kolnikom gore 2.3 Upet krut luk s krutim nadlučnim sklopom ordinata u m Slika 2.6: Utjecajne krivulje za momente u gredi (KS) u četvrtini raspona luka položaji potpora Uočavamo da su pri n = 40 utjecajne krivulje na složenom sustavu istovjetne s onima na osnovnomu (L i KS). Iz toga slijedi da je n = 40 približno granica pri kojoj se u složenih sustava luk i greda mogu promatrati odvojeno. Smanjenjem vrijednosti n momenti u gredi rastu. Pri n < 1/80 utjecajne krivulje poprimaju oblik sličan onom u slobodno poduprte grede raspona jednaka rasponu luka. 26

2 Proračun lukova s kolnikom gore 2.3 Upet krut luk s krutim nadlučnim sklopom Slika 2.7 predočuje utjecajne krivulje za momente u gredi u četvrtini raspona ordinata u m ordinata u m položaj potpora Slika 2.7: Utjecajne krivulje za momente u gredi u četvrtini raspona luka pri n = 80 (gore) i pri n = 1 (dolje) položaj potpora luka složenih sklopova, pri čemu se promatraju tri sploštenosti luka (f / l = 1/3, 1/6,5 i 1/10) i to za dva skrajnja omjera krutosti: n = 80 i n = 1. Odmah se uočava da momenti savijanja u gredama zavise u prvom redu od omjera n, a znatno manje od sploštenosti luka, te da momenti savijanja rastu sa smanjenjem vrijednosti n. 27

2 Proračun lukova s kolnikom gore 2.3 Upet krut luk s krutim nadlučnim sklopom ordinata u m ordinata u m položaji potpora Slika 2.8: Utjecajne krivulje za momente u luku u četvrtini raspona luka pri n = 80 (gore) i pri n = 1 (dolje) Valja još obratiti pozornost na približnu ujednačenost pozitivnih i negativnih vrijednosti utjecajnih krivulja pri n = 1. Utjecajne krivulje za momente u četvrtinskoj točki luka, opet za dva omjera n predočene su na slici 2.8. Uočljivi su potpuno analogni odnosi kao na slici 2.7. položaji potpora 28

2 Proračun lukova s kolnikom gore 2.3 Upet krut luk s krutim nadlučnim sklopom vrijednost n [log] progibi u mm Iz slike se vidi: Slika 2.9: Progibi u tjemenu luka Na slici 2.9 predstavljeni su progibi u tjemenu luka pod silom F = 1 MN u polovištu raspona. Na apscisi su naneseni omjeri n u logaritamskomu mjerilu, a na ordinati progibi u mm. Na lijevom dijelu slike naneseni su progibi Maillartovih lukova (MB A 30), a na desnom progibi parabolastih lukova s protežnim gredama (BDB). Progibi u tjemenu lukova uglavnom su srazmjerni sa strjelicama. U području n > 1 promjene pomaka tjemena nisu velike, za razliku od područja n < 1. 29

2 Proračun lukova s kolnikom gore 2.3 Upet krut luk s krutim nadlučnim sklopom Prikazana istraživanja pokazala su u sustavu krutog luka s krutim nadlučnim sklopom (kao i u Maillartova luka) grede prenose znatne momente savijanja. Osim toga, budući da su prilično izjednačene pozitivne i negativne vrijednosti momenata savijanja, može se primijeniti osno (centrično) prednapinjanje. Lukovi su pak u odgovarajućoj mjeri rasterećeni. Iz toga slijedi da bi se moglo očekivati kako će ovi sustavi imati veću primjenu nego što je to bio slučaj do sada. 30

2 Proračun lukova s kolnikom gore 2.4 Ispravljanje naprezanja u luku Ni pri najpovoljnije odabranoj osi luka po verižnoj krivulji najveća naprezanja na gornjem (σ g ) i donjem rubu luka (σ d ) ne će nikada biti posve izjednačena za ukupna djelovanja (slika 2.10). Slika 2.10: Naprezanja u tjemenu i peti luka pod ekstremnim opterećenjima Tako je u tjemenomu presjeku tlačno naprezanje na gornjem rubu redovito veće od onoga na donjemu dok je u petnomu presjeku stanje obrnuto. 31

2 Proračun lukova s kolnikom gore 2.4 Ispravljanje naprezanja u luku S obzirom na to da su lukovi velika raspona redovito dvostruko simetrična presjeka, a i armiraju se simetrično, valja nastojati da se rubna naprezanja ujednače. To se najjednostavnije postiže s pomoću hidrauličkih tijesaka (preša) postavljenih u tjemenomu presjeku u točkama P g i P d, na međusobnom razmaku 2r (slika 2.10). S pomoću njih se tako uvodi u presjek tlačna sila i odgovarajući moment savijanja. Za ujednačivanje naprezanja nužni su u promatranim presjecima ovi momenti: negativni moment u tjemenu: pozitivni moment u peti: M k M s σ g σ d Is = 2 d /2 σ g σ d Ik = 2 d /2 k s 32

2 Proračun lukova s kolnikom gore 2.4 Ispravljanje naprezanja u luku Oba ova momenta može izazvati jedna vodoravna sila sa hvatištem udaljenim za e d od tjemena luka. Vrijednosti H d i e d mogu se odrediti iz ovih dviju jednačbâ: H d e d = M s H d (f e d ) = M k U trenutku ispravljanja naprezanja u osi luka u tjemenu djeluju vodoravna sila H g i moment savijanja M g. Vodoravna sila od stalnog opterećenja, H g, djeluje tako na kraku e g = M g /H g, a vodoravna sila H d na kraku e d (vidi sliku 2.10). Naravno, ova je sila H d zamišljena sila, a njezino djelovanje treba izazvati djelovanjem hidrauličkih tijesaka. 33

2 Proračun lukova s kolnikom gore 2.4 Ispravljanje naprezanja u luku Tijesci proizvode sile P g i P d, pri čemu mora biti ispunjen uvjet: P g + P d = H g + H d. Mimoosnost rezultante vodoravnih sila (H g + H d ) iznosi: H g eg Hd ed e = H + H Razmak među tijescima, 2r, određuje se na osnovi izmjera njihova presjeka i drugih tehničkih podataka, a kada ga znamo, možemo postaviti jednačbu momenata: (P g P d ) r = - (H g + H d ) e Iz gornjih se jednačbâ mogu lako izračunati nepoznate sile u tijescima, P g i P d. g d 34

2 Proračun lukova s kolnikom gore 2.4 Ispravljanje naprezanja u luku Na izneseni se način potporna krivulja postaviti točno u položaj koji je u skladu s proračunskim pretpostavkama. Međutim, valja još provjeriti jesu li izračunane vrijednosti uzdužne sile, N s0 = P g P d, i momenta, M s0 = (P g P d ) r, doista i unesene. U tu se svrhu uspoređuju proračunske i izmjerene vrijednosti pomakâ krajeva poluluka u tjemenu (slika 2.11) na osnovi izmjerenih vrijednosti modula elastičnosti betona luka. Danas se ispravljanje naprezanja u luku radi samo iznimno. Slika 2.11: Proračunski i izmjereni pomaci krajeva poluluka u tjemenu 35

3 Armiranje lučnih sklopova Lukovi se armiraju: uzdužnim šipkama, blago savijenima usporedno s vanjskim i unutarnjim obrisom luka, poprečnim razdjelnim šipkama i stremenovima. U početnom razdoblju građenja AB lukova poprečne šipke i stremenovi nadomještani su vijugama (češljevima). Poprečne šipke dolaze s vanjske strane u odnosu na uzdužne (bliže površini betona), a isto tako stremenovi obuhvaćaju uzdužne šipke. Poprečne se šipke, čija ploština mora biti najmanje 20 % ploštine glavnih uzdužnih šipaka, razmještaju se po načelima armiranja pločastih sklopova. S druge strane, budući da je luk zakrivljeni tlačni štap, za stremenove vrijede načela armiranja stupova i stijena (zidova). 36

3 Armiranje lučnih sklopova Pri osnom opterećenju (zanemarivi momenti savijanja u luku) najmanji je postotak armiranja luka 0,8 % ploštine poprečnog presjeka luka ako naprezanje u betonu doseže dopustivo. Ako je to naprezanje niže, postotak se srazmjerno snizuje, ali ne smije biti manji od 0.4 %. Najveći promjer uzdužnih šipaka ne bi smio biti veći od 32 mm, a njihov razmak od 30 cm. Tlačne se šipke mogu sve nastaviti preklapanjem u jednomu presjeku, dok se vlačnih smije nastaviti samo 50 %. Lukovi većeg raspona (l 120 m) u pravilu su sandučasta presjeka, s dvjema ili trima klijetkama (komorama), što znači da imaju jedan ili dva unutarnja hrpta. Unutarnji hrptovi ne pridonose torzijskoj krutosti luka (kao ni grede), otežavaju izvedbu, ali znatno smanjuju poprečne momente savijanja od vlastite težine i skretnih sila. 37

3 Armiranje lučnih sklopova Na slici 3.1 shematski su predočeni odsječak i poprečni presjek luka s prikazom skretnih sila. Slika 3.1: Djelovanje skretnih sila u luku Skretne sile (rasprostrte) što djeluju na pojasne ploče luka usmjerene su prema vani (od središta zakrivljenosti) i tako smanjuju momente savijanja od stalnog i uporabnog opterećenja. 38

3 Armiranje lučnih sklopova Na slici 3.2 predočena je armatura luka sandučasta presjeka (luk mosta preko Krke kod Skradina na AC Zagreb Split). Slika 3.2: Poprečni presjek armature luka 39

3 Armiranje lučnih sklopova Slika 3.2a: Uzdužni presjek armature odsječka luka 40

3 Armiranje lučnih sklopova Pri proračun luka na djelovanja okomita na njegovu srednju ravninu svakako treba uzeti u obzir toplinske razlike između nutrine i vanjštine luka, te razlike između osunčane strane luka i one u hladu. Poprečne ukrute (prepone iliti dijafragme) izvode se u petama, u tjemenu i pod nadlučnim stupovima. U petama i tjemenu one su pravokutne na os luka, a pod stupovima su najčešće okomite. Preporučljivo je ove ukrute betonirati istodobno s dotičnim odsječkom, a iznimno se rade nakon dovršetka betoniranja luka. Prepone imaju otvore za prolaz ljudi i različitih vodova, a gdjekada se izvode u obliku okvira obodnih pojačanja. U vrlo širokih lukova preporučljivo je prednapeti prepone, a ako se izvodi ispravak (kompenzacija) naprezanja hidrauličkim tijescima (prešama), svakako treba prednapeti tjemenu preponu. 41

3 Armiranje lučnih sklopova Na slici 3.3 predočena je armatura jednoga Maillartova trozglobnog luka raspona 80 m. Slika 3.3: Armatura Maillartova trozglobnog luka! 42

3 Armiranje lučnih sklopova Slika 3.3: Armatura Maillartova trozglobnog luka! 43

3 Armiranje lučnih sklopova Ovaj luk, širine 2,2 m, nosi jedan kolnik autoceste, širine 10,5 m. Luk je oblika žabljih krakova, dakle vrlo promjenjiva presjeka duž luka, što se vidi po presjecima A-A do G-G. Uzdužna je armatura nastavljana na prijeklop i to 100 % u jednomu presjeku. Na mjestu spoja luka i grede ugrađena je osobita kosa armatura i stremenovi radi preuzimanja posmičnih sila što se javljaju zbog skokovite promjene visine rebara luka u tom presjeku. Posmična naprezanja što djeluju po gornjem oplošju luka bila su izračunana uz pretpostavku da se beton što se nalazi iznad tog oplošja uključuje u rad presjeka luka na duljini oko 2,5 m. Na taj je način u poprečni presjek luka uključena i kolnička ploča na duljini oko 3,5 m. Ovaj je primjer pokazan kako bi se vidjelo da prije 80-ak godina ljudi nisu štedjeli truda kako bi uštedjeli na gradivu. 44

4 Suvremene novìne u primjeni lučnih sklopova Češki inženjer i učenjak, Jiři Stráský, domišljato uvodi nova polja primjene lučnih sklopova u mostova malih do srednjih raspona. Osobito su zanimljive njegove kombinacije luka s prednapetom betonskom vrpcom: prednapeta vrpca poduprta lukom (stress ribbon /SR/ suported by arch) i prednapeta vrpca ovješena o luk (SR suspended on arch). Prednapeta se vrpca odlikuje iznimno velikom vitkošću, a prikladna je za izvedbu od predgotovljenih odsječaka položenih na nosiva užeta u obliku lančanice. Prednapinjanjem se povećava krutost sklopa i stabilnost užetâ. 45

4 Suvremene novìne u primjeni lučnih sklopova Prednapeta vrpca sama po sebi ima razmjerno velik provjes (prirodni progib), što može biti nedostatak, osobito pri većim rasponima. Umetanjem luka ovaj se nedostatak znatno ublažava; dapače, dobije se obris prometne plohe sastavljen od uzastopnih glatkih krivulja, što se izvrsno uklapaju u okoliš. S inženjerskoga stajališta ovakav je sklop uzorno čitljiv, jer je zbroj dvaju nosivih sustava što se odlikuju jasnim tijekom unutarnjih sila. Glavna im je prednost u najmanjemu mogućem remećenju okoliša, jer iziskuju malo gradiva i mogu se izvesti bez uporabe skele. Kako nemaju ležajeva ni prijelaznih naprava, uzdržavanje je ovih mostova vrlo mala opsega. 46

4 Suvremene novìne u primjeni lučnih sklopova Prednapeta vrpca kao nosivi sklop ima krupan nedostatak: velike vodoravne pridržajne sile na upornjacima. To nerijetko utječe nepovoljno na gospodarnost ovoga rješenja. Prednapeta vrpca poduprta lukom ili ovješena o luk predstavlja novo sklopovno rješenje, sa samousidrenim sustavom u kojem se vodoravna sila s prednapete vrpce prenosi s pomoću kosih AB članaka u temelj, gdje se uravnotežuje s vodoravnom sastavnicom pridržajne sile luka. Statička shema ovoga sustava za prednapetu vrpcu poduprtu lukom predočena je na slici 4.1. 47

4 Suvremene novìne u primjeni lučnih sklopova Slika 4.1: Prednapeta betonska vrpca poduprta lukom 48

4 Suvremene novìne u primjeni lučnih sklopova Međupotpora prednapete vrpce obično ima oblik čekića (slika 4.2). Međutim, očito je da se pritjemeni potez luka može tako oblikovati da mu se obris potpuno prilagodi ovoj svrsi, tj. da služi kao sedlo prednapete vrpce (slika 4.1a). Za vrijeme prednapinjanja i pri vanjskom zahladnjenju vrpca će se odići od sedla, a pri zatopljenju naleći će na nj. Slika 4.2: Međupotpora prednapete betonske vrpce Slika 4.1a: Pritjemeni potez luka kao međupotpora prednapete vrpce 49

4 Suvremene novìne u primjeni lučnih sklopova U početku vrpca se ponaša kao uže preko dvaju polja poduprto sedlom i pričvršćeno za krajnje upornjake (slika 4.1b). Slika 4.1b: Statički sustav same vrpce poduprte sedlom na luku Tada je luk opterećen vlastitom težinom, težinom predgotovljenih odsječaka što sjede na sedlu i skretnim (radijalnim) silama kojima djeluju nosiva užeta (slika 4.1c). Nakon prednapinjanja vrpce nategama za prednapinjanje ona i luk djeluju kao jedinstven sklop. Oblik i početna naprezanja u vrpci i u luku mogu se odabrati tako da vodoravne sile u vrpci, H SR, i u luku, H A, budu jednake. Slika 4.1c: Statički sustav samoga luka sa sedlom 50

4 Suvremene novìne u primjeni lučnih sklopova Sada se prednapeta vrpca i temelji luka mogu povezati kosnicima što uravnotežuju vodoravne sile. Moment što ga tvore vodoravne sile, H SR h, uravnotežuje se momentom V L P. Na ovaj je način ostvaren sustav sa samo okomitim pridržajnim silama (slika 4.1d). Slika 4.1d: Složeni statički sustav s okomitim pridržajnim silama 51

4 Suvremene novìne u primjeni lučnih sklopova Sličnim slijedom razmišljanja došli bismo do zaključka da se prednapeta vrpca može i ovjesiti o luk. Slika 4.3: Prednapeta betonska vrpca ovješena o luk Na slici 4.3 prikazane su tri takve mogućnosti. Slika 4.3a predočuje luk upet u sidrene blokove vitka PB kolničkoga sklopa. Luk je opterećen ne samo vlastitom težinom i težinom vrpce, nego i skretnim silama natega u vrpci. 52

4 Suvremene novìne u primjeni lučnih sklopova Na slici 4.3b prikazan je sklop slična statičkoga djelovanja onomu na slici 4.1d. Slika 4.3b: Složeni statički sustav s okomitim pridržajnim silama ( vrpca ovješena o luk) djelomice) vodoravnu silu vrpce. Radi smanjenja vlačne sile u sidrenomu bloku prednapete vrpce, može se vrpca povezati s temeljima luka s pomoću tlačnih kosnika što uravnotežuju (potpuno ili Sličan sklop predočen je na slici 4.3c tu vitke PB rubne grede ukrućuju neovješeni dio vrpce. Slika 4.3c: Složeni statički sustav kao na slici 4.3b; neovješeni dijelovi vrpce ukrućeni rubnim gredama 53

4 Suvremene novìne u primjeni lučnih sklopova Prikazat ćemo tri primjera ovoga sklopovnog sustava. Prvi je nadhodnih nad brzom cestom kod Olomouca u Češkoj (slike 4.4a 4.4c). Slika 4.4: Nadvožnjak nad brzom cestom kod Olomouca a) uzdužni raspored b) detalj uza sidreni blok c) detalj uz sedlo luka 54

4 Suvremene novìne u primjeni lučnih sklopova Na predhodnoj su slici prikazani, osim uzdužnog rasporeda mosta, detalji sidrenoga bloka vrpce i nadtjemenog dijela luka. Slika 4.4b predočuje poprečni presjek mosta, a slika 4.4c prizor građenja: polaganje predgotovljenih odsječaka vrpce na nosiva užeta. Slika 4.4b Slika 4.4c: 55

4 Suvremene novìne u primjeni lučnih sklopova Drugi je primjer pješački most preko rijeke Svratke u Brnu (slike 4.5a 4.5d). Slika 4.5a: Uzdužni raspored pješačkog mosta preko rijeke Svrátke u Brnu Slika 4.5b Slika 4.5c: Shema nosivoga sklopa 56

4 Suvremene novìne u primjeni lučnih sklopova Na slici 4.5d predočen je prizor građenja. Uočimo da se predgotovljena polovica luka privremeno pridržava nosivim užetima vrpce! Slika 4.5d: Shema građenja mosta. Gore: predgotovljeni dijelovi luka; dolje: odsječci vrpce 57

4 Suvremene novìne u primjeni lučnih sklopova Na kraju i primjer vrpce ovješene o luk: pješački most preko McLoughlinove ul. u Portlandu, država Oregon, SAD. (slike 4.6a 4.6d). Luk je upet, čelični, oblika košarine ručke. Uočimo da nosivi sklop mosta pripada tipu predočenu na slici 4.3c. Slika 4.6a: Pješački most prek McLoughlinove u Portlandu, u državi Oregon, SAD 58

4 Suvremene novìne u primjeni lučnih sklopova Na slici 4.6b predočeni su poprečni presjeci mosta. Slika 4.6b: Poprečni presjeci mosta sa slike 4.6a 59

4 Suvremene novìne u primjeni lučnih c sklopova Uočimo da su rubna ukrućenja neovješenog dijela vrpce izvedena s pomoću obetoniranih čeličnih valjanih nosača. Na slici 4.6c predočeni su detalji ovješenja a na slici 4.6d izgled dovršena mosta. Slike 4.6c i d c d 60