ZBIRKA ZADATAKA IZ MEHANIKE ROBOTA Mhalo P. Lazarevć Beograd,6
Zahvalnost Autor duguje velku zahvalnost na pomoć,razumevanju zauzmanju da zdanje ove zbrke bude krerano do kraja nađe put do čtalaca, gospod: Marku Nkolću,dpl.ng.maš. Dr Josfu Vukovću,dpl.meh. red.prof. Mašnskog fakulteta u Beogradu Per Obradovću, drektoru PGO Company,Beograd
U N I V E R Z I T E T U B E O G R A D U Dr. Mhalo P. Lazarevć ZBIRKA ZADATAKA IZ MEHANIKE ROBOTA MAŠINSKI FAKULTET,BEOGRAD 6
Prof. dr Mhalo P. Lazarevć, ZBIRKA ZADATAKA IZ MEHANIKE ROBOTA I zdanje Recenzent: Prof. dr Josf Vukovć, Mašnsk fakultet Beograd Prof. dr Aleksandar Obradovć, Mašnsk fakultet Beograd Izdavač: MAŠINSKI FAKULTET Unverzteta u Beogradu, Ul. Kraljce Marje 6, Beograd tel. ( 7 76 fax.( 7 64 Za zdavača: Prof. dr Mloš Nedeljkovć, dekan Glavn odgovorn urednk: Prof. dr Aleksandar Obradovć Odobreno za štampu odlukom Dekana Mašnskog fakulteta u Beogradu br. 46 /6 od 9.6.6. godne Traž: prmeraka Štampa: PLANETA - prnt Ruzveltova, Beograd tel/fax: ( 88 9 Zabranjeno preštampavanje fotokopranje. Sva prava zadržava zdavač autor.
Svojm dragm A. L M.L S. L
PREDGOVOR Već vše od sedamdeset godna robotsk sstem prvlače zuzetnu pažnju naučne stručne javnost šrom sveta. Njhovo prsustvo u svm granama tehnke u nekm drugm naučnm dscplnama vše je nego evdentno, a početak njhove praktčne prmene datra još od trdeseth godna prošlog veka kada je ostvarena značajna modernzacja prozvodnje. Na robotske ssteme danas se gleda kao na ssteme koj omogućavaju dalju fleksblnju automatzacju odnosno koj zamenjuju čoveka prvenstveno na opasnm teškm poslovma.međutm, najnovj trendov u oblast prmene robotskh sstema ukazuju na sve veću njhovu zastupljenost u kosmčkm stražvanjma,u tzv. servce personal robota u čovekovom svakodnevnom žvotu na «home-frendly» načn kao sve veću upotrebu u rehabltacj u pojednm granama medcne.sa stanovšta mehanke robotsk sstem predstavljaju ssteme kruth /elastčnh tela kao takv se dalje mogu egzaktno proučavat. U matematčkom smslu dnamčk model takvh sstema opsan su nelnearnm dferencjalnm jednačnama. Ova zbrka zadataka je namenjena prvenstveno studentma kojma će pomoć u rešavanju zadataka savlađvanju materje z predmeta Mehanka robota koj se sluša na Mašnskom fakultetu u Beogradu.Takođe zbrka je namenjena drugm studentma završnh godna studja mašnstva elektrotehnke kao doktorantma na drugm fakultetma. Imajuć u vdu čnjencu da se predmet Mehanka robota predaje preko deset godna na Mašnskom fakultetu uzmajuć u obzr složenost specfčnost materje koja je obuhvaćena ovm predmetom, ova zbrka zadataka je dobrodošla da popun «praznnu» odnosno da omoguć korsncma da efkasnje usvoje, utvrde provere svoje znanje koje se odnos na ovu oblast mehanke.ona je nastala kao plod všegodšnjeg ntezvnog bavljenja autora ovom problematkom pr čemu su u njoj uoblčen odabran rezultat koj se odnose na ovu problematku kolega sa katedre za Mehanku, prvenstveno prof.dr Vukmana Čovća kolege dr Saše Markovća kao prof. dr Aleksandra Obradovća doc. dr Mlanke Glšć. Zbrka zadataka sadrž pažljvo odabrane prmere koj su koršćen tokom nza godna pr zvodjenju laboratorjskh l računskh vežbanja z ovog predmeta, gde su za karakterstčne prmere napsan odgovarajuć program u MATLAB okruženju.takođe, potrebno je na ovom mestu stać da se ova zbrka u velkoj mer oslanja prat predavanja z ovog predmeta koja su takođe uoblčena spremljena za štampanje u oblku knjge -Mehanke robota. Autor je zahvalan mladom koleg Mlošu Žvanovću, na korsnm prmedbama pr završnom formranju ove zbrke.sa ne manjm zadovoljstvom, autor zražava zahvalnost koleg Đorđu Lazovću na tehnčkoj pomoć, stalnoj podršc nteresovanju da ova zbrka dobje završnu formu. Dr Josfu Vukovću Dr Aleksandru Obradovću profesorma Mašnskog fakulteta u Beogradu autor je duboko zahvalan na korsnm sugestjama, savetma trudu oko rezencje. I pored velke pažnje pr konačnom oblkovanju ove zbrke autor je svestan da se mogu pojavt greške, pa se unapred zahvaljujem svm korsncma koj će ukazat na njh kao na ostale uočene nedostatke. Beograd,avgust,6 godne A u t o r
Sadržaj. Uvod.... Odredjvanje broja stepena slobode kretanja za slučaj kretanja kruth tela. Određvanje broja stepena slobode kretanja za slučaj kretanja robotskog sstema.. Ortogonalne transformacje koordnata....5. Elementarne matrce transformacje...5. Matrce transformacje-karakterstčn slučajev...7.. Slaganje rotacja oko: nepokretnh osa, pokretnh osa- Rezalov uglov.. 7.. Matrca tranformacje koordnata za slučaj sfernog kretanja krutog tela čj položaj određuju Ojlerov uglov......... Matrca tranformacje koordnata za slučaj sfernog kretanja krutog tela čj položaj određuju Ojler-Krlovljev uglov...5..4 Izračunavanje ortogonalne matrce transformacje na osnovu tr poznata elementa...6. Dualn objekt-osobne..... Vektorsk prozvod dualn objekat..... Dualn objekt promena koordnatnog sstema...4.4 Određvanje knematskh karakterstka krutog tela prmenom osobna matrce transformacje dualnog objekta......7.4. Ugaona brzna u slučaju sfernog kretanja krutog tela-rezalov uglov..7.4. Brzna tačke krutog tela u slučaju sfernog kretanja-rezalov uglov....4. Ugaona brzna u slučaju sfernog kretanja krutog tela-ojlerov uglov....4.4 Ugaono ubrzanje u slučaju sfernog kretanja krutog tela-rezalov uglov...4.4.5 Ugaono ubrzanje u slučaju sfernog kretanja krutog tela-ojlerov uglov...6.4.6 Ugaona brzna ugaono ubrzanje krutog tela-slučaj Cardano-Hooke-ovog zgloba......4 Teorja konačnh rotacja.46. Rodrgov prstup...46.. Rodrgov obrazac...46.. Rodrgova matrca transformacje...49.. Matrca transformacje prmenom Rodrgove matrce za slučaj sfernog kretanja krutog tela čj položaj određuju Ojlerov uglov......5
. Vektor (verzor konačne rotacje-osobne prmena.. 57.. Vektor konačne rotacje (verzor Rodrgova matrca....57.. Sabranje konačnh rotacja...6.. Određvanje vektora ugaone brzne vektora ugaonog ubrzanja pomoću vektora konačne rotacje...6..4 Slaganje konačnh rotacja pr sfernom kretanju krutog tela... 65. Hamlton-Rodrgov parametr.....69 4. Knematka robota 74 4. Modelranje mehančkog kretanja robotskog sstema...74 4.. Prmer dekompozcje veze date u oblku knematčkog para četvrte klase: Cardano-Hooke-ov zglob..... 74 4.. Prmer dekompozcje veze date u oblku knematčkog para treće klase -tr Ojlerova ugla...75 4. Knematske karakterstke tog segmenta robotskog sstema...77 4.. Ugaona brzna -tog segmenta robotskog sstema...77 4.. Brzna centra nercje -tog segmenta robotskog sstema.....79 4.. Brzna vrha hvataljke H robotskog sstema...8 4..4 Ubrzanje centra nercje -tog segmenta robotskog sstema...8 4..5 Ugaono ubrzanje -tog segmenta robotskog sstema...8 4. Drektan zadatak knematke.9 4.4 Jakobjan transformacje... 99 4.5 Inverzn zadatak knematke...5 5. Dnamka robota.5 5. Osnovn pojmov geometrje masa robotskog segmenta.5 5.. Tenzor nercje tog segmenta robotskog segmenta..5 5.. Tenzor nercje njegove transformacje...6 5.. Planarn tenzor nercje Π C segmenta...9 5. Knetčk moment robotskog segmenta njegove transformacje... 5. Knetčka energja robotskog sstema sa tr stepena slobode.. 5.4 Metrčk tenzor robotskog sstema sa tr stepena slobode... 5.5 Krstofelov smbol I vrste:osobne, određvanje za robotsk sstem sa tr stepena slobode 8 5.6 Određvanje generalsanh sla robotskog sstema...45 5.6. Generalsana sla od sla teže robotskog sstema...46 5.6. Generalsana sla od sle u opruz robotskog sstema...49
5.6. Generalsana sla od sle vskoznog trenja robotskog sstema...54 5.6.4 Generalsana sla od sla pogona robotskog sstema...57 5.7 Kovarjantn oblk dferencjalnh jednačna kretanja robotskog sstema..58 5.8 Određvanje osnovnh velčna za robotsk sstem sa pet stepen slobode dat u vdu otvorenog lanca sa grananjem 64 5.9 Mehančk model robotskog sstema sa zatvorenm knematčkm lancma...7 5.9. Metoda uklanjanja zabranog zgloba...7 5.9. Metod fktvnog tela...75 5. Redundantn robotsk sstem...78 5.. Rešenje redundanse prmenom optmzacje krterjuma po generalsanm koordnatama.... 78 5.. Rešenje redundanse prmenom optmzacje krterjuma po generalsanm brznama 8 5.. Rešenje redundanse prmenom optmzacje krterjuma po ubrzanjma...8 6. Prmer rešen sptn zadac..89 7. Dodac 47 7. Lameov koefcjent 47 7. Osnovne teoreme sferne trgonometrje.. 5 7. Jakobjan matrca- analtčka geometrjska...55 7.4 Pseudonverzja matrce 56 7.5 Homogena matrca transformacje-(denavt-hartenbergov prstup.....59 7.6 Prateć program u MATLABU 6 8. Lteratura..7
4 Zbrka zadataka z mehanke robota zgloba na kraju jedan IV klase, (Kardanov zglob.knematčkom paru V klase odgovara jedan stepen slobode dok knematčkom paru IV klase odgovara dva stepena slobode.prema tome, uočen robot ma šest stepen slobode. klasa broj stepen knem. slobode para Slka. V IV III Tabela. Prmer jednostavnjh knematčkh parova
Zbrka zadataka z mehanke robota 5. ORTOGONALNE TRANSFORMACIJE KOORDINATA. Elementarne matrce transformacje Prmer. Odredt matrcu transformacje koordnata z pokretnog koordnatnog sstema Oξηζ u nepomčn koordnatn sstem Oxyz [ A ] u slučaju da se pokretn sstem obrće oko osa Ox,Oy,Oz pr čemu su uglov rotacje defnsan, β 45, γ 6 respektvno. Smatrat da se odgovarajuće ose pokretnog nepokretnog koordnatnog sstema u referentnoj konfguracj (, β, γ pojednačno, poklapaju (sl... Odredmo matrcu transformacje koordnata z pokretnog koordnatnog sstema Oξηζ u nepomčn koordnatn sstem Oxyz u slučaju da se pokretn sstem obrće oko ose Ox pr čemu je ugao rotacje defnsan uglom.takođe,uvod se pretpostavka da se odgovarajuće ose pokretnog nepokretnog koordnatnog sstema u referentnoj konfguracj ( poklapaju (sl.. a. Slka.a Slka.b Slka.c Matrca transformacje je odredjena sledećm zrazom,[]: λ µ ν [ A] λ j µ j ν j. (. λ k µ k ν k Kako su u ptanju jednčn vektor sled: cos ( λ, cos ( µ, cos ( ν, [ A] cos ( λ, j cos ( µ, j cos ( ν, j, (. cos ( λ,k cos ( µ,k cos ( ν,k
6 Zbrka zadataka z mehanke robota π 6 cos cos ( π cos ( π A x, cos ( π cos cos ( π + cos( π cos( π cos cos sn, 866, 5 sn cos, 5, 866 π /6 odnosno, za [ rad] : (. Ukolko pokretn koordnatn sstem Oξηζ rotra oko ose Oy pr čemu je ugao obrtanja defnsan uglom β 45 π / 4, pod pretpostavkom da za referentnu konfguracju ( β važe prethodno opsan uslov (sl..b, na osnovu relacje,(. dobja se: cos β cos ( π cos ( π β A y, β 45 cos ( π cos cos ( π cos( π + β cos( π cosβ cos β sn β, 77, 77 sn β cos β, 77, 77 β π /4.. (.4 I na kraju, ukolko pokretn koordnatn sstem Oξηζ rotra oko ose Oz pr čemu je ugao obrtanja defnsan uglom γ 6, pod pretpostavkom da za referentnu konfguracju ( γ važe prethodno opsan uslov (sl..c, na osnovu relacje, dobja se: cos γ cos ( π + γ cos ( π A z, 6 cos ( π γ cos γ cos ( π γ cos ( π cos ( π cos cos γ sn γ, 5, 886 sn γ cos γ, 886, 5, (.5 Matrce transformacje (., (.4 (.5 defnšu načn promene koordnata tačke krutog tela koje se obrće oko zabrane koordnatne ose nepomčnog koordnatnog sstema, pod pretpostavkom da se u referentnom položaju (ugao obrtanja jednak nul, lokaln sstem vezan za telo nepomčn koordnatn sstem poklapaju.
Zbrka zadataka z mehanke robota 7. Matrce transformacje-karakterstčn slučajev.. a Slaganje rotacja oko nepomčnh osa Prmer. Izračunat matrcu transformacje [ A ] za slučaj da se telo [ ] V, obrće oko odgovarajućh osa nepomčnog koordnatnog sstema Oxyz, sukcesvno. Neka se prva rotacja vrš oko ose Ox za ugao, druga oko ose Oy za ugao β 45 a treća oko ose Oz za ugao γ 6. Uvod se pretpostavka da se koordnatn sstem Oxyz Oξηζ u početnom položaju poklapaju. Slka. Uočava se tačka M krutog tela [V] čje su koordnate u lokalnom koordnatnom sstemu Oξηζ vezanom za kruto telo M( ξ, η, ζ (sl... Nakon obrtanja krutog tela [V] oko ose Ox za ugao, koordnate tačke M u nepomčnom koordnatnom sstemu Oxyz bće: (.6 x ξ ξ ξ y η η η, z ζ sn cos ζ 5 866ζ A x, cos sn, 866, 5,, Nakon rotacje krutog tela oko ose Oy za ugao nepomčnom koordnatnom sstemu bće: β 45 koordnate tačke M u
8 Zbrka zadataka z mehanke robota x x cos β sn β x y Ay, 45 y β y z z sn β cos β z β 45, 77, 77 x y, 77, 77 z, (.7 odnosno majuć u vdu prethodna dva zraza sled: (.8 x x ξ y A y, 45 y β A y, β 45 A x, η z z ζ cos β sn β ξ cos sn η sn β cos β sn cos ζ β 45, 77, 77 ξ, 77, 55, 64 ξ, 866, 5 η, 866, 5 η, 77, 77, 5, 866ζ, 77, 55, 64ζ Poslednja rotacja vrš se oko ose Oz za ugao γ tako da se koordnate tačke M u nepomčnom koordnatnom sstemu mogu zračunat z zraza: x x cosγ sn γ x, 5, 866 x y A,, z, 6 y γ sn γ cosγ y 866 5 y z z z 6 z γ. (.9 Kombnovanjem jednačna (.6, (.8 (. dobja se: x ξ y [ Az, γ][ Ay, β][ Ax, ] η. (. z ζ Na osnovu relacje (., može se odredt matrca transformacje: [ A] [ Az, γ][ Ay, β][ Ax, ]. (. Zamenom odgovarajućh matrca transformacja (.6, (.8 (. u (. dobja se: cos γ sn γ cos β sn β [ A] sn γ cosγ cos sn, (. sn β cos β sn cos
Zbrka zadataka z mehanke robota Izraz za matrcu transformacje je moguće prkazat u kondezovanom oblku: cβc γ cβ s γ sβ A s sβc γ + c s γ c c γ s sβ s γ s cβ, (.4 c sβc γ + s s γ s c γ + c sβ s γ c cβ [ ] pr čemu su, rad kraćeg zapsa, snusna kosnusna funkcja označene slovma c s. Poređenjem zraza (. (. može se uočt da se matrca transformacje u slučaju slaganja rotacja oko nepomčnh osa dobja množenjem sth matrca kao matrca transformacje za slučaj slaganja rotacja oko odgovarajućh pokretnh osa, al obrnutm redosledom. S obzrom da je matrčno množenje nekomutatvno, matrce transformacje (.4 (.4 se razlkuju... Matrca transformacje koordnata za slučaj sfernog kretanja krutog tela čj položaj određuju Ojlerov uglov Prmer 4. Izračunat matrcu transformacje [ A ] za slučaj da se telo [V], obrće oko odgovarajućh osa pokretnog koordnatnog sstema Oξηζ, sukcesvno. Neka se prva rotacja vrš oko ose Oz za ugao ugao θ 45 a treća oko ose O ζ za ugao koordnatn sstem Oxyz Oξηζ u početnom položaju poklapaju. ψ, druga oko čvorne ose On za ϕ 6. Uvod se pretpostavka da se Slka.4
Zbrka zadataka z mehanke robota Neka kruto telo [V] vrš sferno kretanje u odnosu na tačku O koja predstavlja koordnatn početak Dekartovog koordnatnog sstema Oξηζ vezanog za kruto telo. U referentnoj konfguracj naznačenoj ndeksom ( opsan koordnatn sstem poklapa sa nepokretnm koordnatnm sstemom Oxyz (sl..4. Uzmajuć da je prozvoljna konfguracja razmatranog krutog tela određena Ojlerovm uglovma (ψ, θ, ϕ, odredće se zakon transformacje Dekartovh koordnata prozvoljne tačke M krutog tela za svaku od konačnh rotacja [V] koje odgovaraju Ojlerovm uglovma. Očgledno je da nakon rotacje za ugao precesje ψ koordnatn sstem Oξηζ z referentnog položaja Oξ( η( ζ( prelaz u položaj O ξ η ζ (sl..4. Imajuć u vdu da je: Oξ( η( ζ( Oxyz (.5 dolaz se do sledećeg zakona ortogonalne transformacje koordnata: x ξ y [ Aψ ] η, (.6 z ζ gde su: x,y,z - Dekartove koordnate tačke M u odnosu na koordnatn sstem Oxyz; ξ, η, ζ - Dekartove koordnate tačke u odnosu na koordnatn sstem O ξ η ζ ; Matrca transformacje [ A ψ ] je na osnovu (.5 odredjena: cosψ snψ, 866, 5 A ψ snψ cosψ, 5, 866 ψ, (.7 Nakon rotacje za ugao nutacje θ koordnatn sstem prelaz z položaja O ξ η ζ u položaj O ξ η ζ. Ova konačna rotacja za referentnu konfguracju očgledno ma koordnatn sstem O ξ η ζ. Slčno,matrca transformacje [ A θ ] je na osnovu zaraza (. odredjena : A θ cosθ snθ, 77, 77. (.8 snθ cosθ, 77, 77 θ 45 Pr tome su koordnate tačke M krutog tela u koordnatnm sstemma O ξ η ζ O ξ η ζ vezane relacjom: ξ ξ η [ A θ ] η. (.9 ζ ζ
Zbrka zadataka z mehanke robota 7.4 Odredjvanje knematskh karakterstka krutog tela prmenom osobna matrce transformacje dualnog objekta.4. Ugaona brzna u slučaju sfernog kretanja krutog tela-rezalov uglov Prmer. Izračunat ugaonu brznu ω tela u trenutku t sec u slučaju da se telo [ V ], obrće oko nepokretne tačke O. Konačne jednačne kretanja tela su poznate (t πt /, β(t πt / 4, γ(t πt /. U početnom položaju telo je blo u referetnoj konfguracj. Neka je sa d ω označen dualn objekat vektora ugaone brzne čje koordnate ωxωy, ωz predstavljaju projekcje vektora ω na ose nepokretnog koordnatnog sstema Oxyz: ωz ω y d [ ω ] ωz ωx. (.9 ω y ωx Na osnovu Ojlerovog obrasca brzna uočene tačke krutog tela v ω r,[] gde je sa ω označena trenutna ugaona brzna, a sa r vektor položaja uočene tačke M, može se na osnovu osobna dualnog objekta zraz za brznu prkazat kao: d {} v ω {} r, (.9 odnosno: vx ωz ωy x v y ωz ωx y. (.94 vz ωy ωx z Kako je: x ξ y [ A] η, (.95 z ζ zamenom u prethodn zraz: vx ωz ω y ξ v y ωz ωx [ A] η. (.96 vz ωy ωx ζ S druge strane ako zraz (.95 dferencramo po vremenu prozlaz:
Zbrka zadataka z mehanke robota ( ( ( x y z, 7, 77, 5 4, 665 s ω ω + ω + ω π + π + π.(. Projekcje vektora ugaone brzne krutog tela na ose lokalnog koordnatnog sstema Oξηζ mogu se odredt blo koršćenjem relacje (.7, množenjem transponovane matrce transformacje (.4 matrce (.8, blo prmenom relacje (.6. Na oba načna dobja se stovetan rezultat: tj. ω ω ω ξ η ζ cosβcos γ + β sn γ, cosβ sn γ + β cos γ, γ + snβ. ξ ( ( / cos( / 4 cos( / + ( / sn( /, 6984, η +, ζ ( + ( / sn( / 4, 56. ω π π π π π π ω ( ( π / cos( π / 4 sn( π / ( π / cos( π / 56 π, ω π π π π (. (.4 Slčno kao u prethodnom slučaju, dobja se da je nteztet vektora ugaone brzne krutog tela: (.5 ( ( ( ξ η ζ, 698, 56, 56 4, 665 s ω ω + ω + ω π + π + π.4. Brzna uočene tačke krutog tela u slučaju sfernog kretanja -Rezalov uglov Prmer 4. Izračunat brznu v u odnosu na Oxyz tačke M Oxyz (,, krutog tela [ V ] u trenutku t sec.telo se obrće oko nepokretne tačke O gde su konačne jednačne kretanja poznate (t πt /, β(t πt / 4, γ(t πt /. Smatrat da se koordnatn sstem Oxyz Oξηζ u početnom položaju poklapaju. Ojlerov obrasac za brznu uočene tačke M krutog tela, glas: d v ω r, (.6 {} [ ]{ } d Slčno, ovde je sa ω označen dualn objekat vektora ugaone brzne čje koordnate ωxωy, ωz predstavljaju projekcje vektora ω na ose nepokretnog koordnatnog sstema Oxyz.Prema tome:
4 Zbrka zadataka z mehanke robota [sn(.578*t*sn(.7854*t^*(6.8*t*sn(.578*t*sn(.7854*t^+4.94 9*t^*cos(.7854*t^*sn(.578*t+4.949*t^*sn(.7854*t^*cos(.578* t+.578*cos(.578*t-.4674*t*sn(.578*t-.*cos(.578*t*sn(.7854*t^*(-6.8*t*cos(.578*t*sn(.7854*t^- 4.949*t^*cos(.7854*t^*cos(.578*t+4.949*t^*sn(.7854*t^*sn(. 578*t+.578*sn(.578*t+.4674*t*cos(.578*t+cos(.7854*t^*(6.8 *t*cos(.7854*t^-4.949*t^*sn(.7854*t^] epslonxyz 5.465 5.6.954 epslonnt 7.588 epslonksec -.6-5.9774 4.585 epslonnt 7.588.4.6 Ugaona brzna ugaono ubrzanje krutog tela - slučaj Cardano-Hookeovog zgloba Neka je prozvoljna konfguracja razmatranog krutog tela određena uglovma (, β,(sl..7. Pr tome potrebno je odredt se zakon transformacje Dekartovh koordnata prozvoljne tačke M krutog tela za svaku od konačnh rotacja koje odgovaraju datm uglovma. Nakon rotacje za ugao koordnatn sstem Oξηζ z referentnog položaja Oξ( η( ζ( Oxyz prelaz u položaj Oξ ηζ, (sl..7. Nakon rotacje za ugao β koordnatn sstem prelaz z položaja Oξ η ζ u položaj Oξηζ. Pr tome su ortogonalne transformacje koordnata u ovom slučaju date: x ξ ξ ξ x ξ ξ y [ Az] η, η Aξ η, y [ Az] Aξ η [ A] η z ς ς ς z ς ς gde su odgovarajuće matrce transformacje:. (.66 cos sn Aξ cos β sn β, [ A z ] sn cos. (.67 snβ cosβ odnosno: [ A] cos cos βsn snsn β sn cos β cossn β, snβ cosβ (.68 Pr tome je: (.69
Zbrka zadataka z mehanke robota 4 a a a d[ A] a a a dt a a a sn cos β cos + βsnsn β sn β cos + βsncos β cos cos βsn + β cossn β sn βsn β coscos β, β cosβ βsnβ Sada je moguće na osnovu zraza da se odrede projekcje vektora ugaone brzne na ose pokretnog sstema: ωξ aa + aa + aa β, ωη aa+ aa + aa sn β, (.7 ω a a + a a + a a cos β. ζ na ose nepokretnog sstema: ωx ωξ β cos ω y [ A] ωη βsn, ω z ω ς (.7 Imajuć u vdu slku vektor ugaone brzne je: ω k + βλ, (.7 Projekcje ugaonog ubrzanja krutog tela na ose koordnatnh sstema Oxyz Oξηζ mogu se odredt drektnm dferencranjem projekcja (. (.. Na taj načn dobja se: ε x ωx βcos βsn, ε y ωy βsn + βcos, εz ωz. εξ ωξ β, εη ωη sn β + β cos β, εζ ωζ cos β β sn β. (.7 Slka.7
4 Zbrka zadataka z mehanke robota Prmer 8. Određvanje knematčkh karakterstka konusne droblce Konusne droblce su projektovane za mlevenje srednjh velkh tvrdh stena razlčte krupnoće.kretanje pokretnog konusa jeste složeno kretanje koje sačnjavaju prenosno kretanje tj. rotacja pokretnog konusa oko ose droblce relatvnog kretanja koje predstavlja rotacju pokretnog konusa oko sopstvene ose smetrje (vd sl..8. Ugao zmeđu ovh osa je konstantan γ const. Knematčka analza pokretnog konusa je opšteg karaktera zato što kretanje pokretnog konusa ne zavs od tpa konstruktvnog rešenja konusne droblce.kretanje pokretnog konusa razmatraće se kao sferno kretanje krutog tela oko nepomčne tačke. Nepomčna tačka se dobja kao tačka preseka ose smetrje Oz njegove prave ose rotacje Oζ. Položaj pokretnog konusa je određen položajem pokretnog koordnatnog sstema Oξηζ koj je vezan za pokretn konus, njegov položaj u odnosu na nepokretn koordnatn sstem je određen Ojlerovm uglovma ψ, θϕ., Ovde je ugao zmeđu ravn Oxy Oξη konstantan γ const. Takođe, ako se zanemar utcaj mrtvog hoda može se uzet u obzr da je ugao nutacje θ γ const. Ugaona brzna pokretnog konusa određena je sledećm zrazom: ω ψk + θn ϕν (.74 Znak mnus je posledca čnjence da je treća rotacja ostvarena u negatvnom matematčkom smeru za ugao sopstvene rotacje ϕ (sl..8. Ovde ψ ω const predstavlja predloženu ugaonu brznu konusne droblce ostvarenu končnm zupčancma (staconarn radn režm, gde je θ, ϕ ω odgovarajuća ugaona brzna konusa oko ose smetrje. Slka.8 u clju lustracje mogućnost prmene matrca transformacje a koja zlaz van okvra date zbrke predstavljen je ovaj prmer, vd (Bošnjak,Glšć,[5]
Zbrka zadataka z mehanke robota 4 Slka.9 Na osnovu zraza (. sled: ωx ψ cosψ snθ snψ ψ ωy [ A] θ snψ snθcosψ ωojl ω ϕ cosθ ϕ z odnosno: (.75 ωx cosψ snγ snψ ω ω y snψ snγ cosψ (.76 ω cosγ ω z U odnosu na pokretn koordnatn sstem, na osnovu zraza (. dobja se tj. ωξ ψ snθ snϕ cosϕ ψ ωη [ B] θ snθcosϕ snϕ ωojl ω ϕ cosθ ϕ ζ ωξ snγ snϕ cosϕ ω ω η snγ cosϕ snϕ ω cosγ ω ζ (.77 (.78
Zbrka zadataka z mehanke robota 47 Slka. Prema tome, kruto telo [V] obrće se oko nepomčne tačke O tako što vrš jednu konačnu rotacju oko ose Oτ orjentsane jednčnm vektorom e za ugao ϕ. Pr tome prozvoljna tačka M krutog tela prelaz z početnog položaja M u krajnj položaj M (sl... Vektor položaja početnog krajnjeg položaja tačke M su: r OM, r OM. (. Očgledno je da će se početn krajnj položaj tačke M nalazt na krugu [l] koj lež u ravn upravnoj na osu konačne rotacje Oτ. Poluprečnk ovog kruga h određen je rastojanjem tačke M u početnom položaju M od ose Oτ. Uvode se tr međusobno ortogonalna jednčna vektora spe,, na sledeć načn: e r e ( e r p, s p e. (. e r e r Pošto je: r r + MM, MM ( CMcos ϕ CM s + ( CMsn ϕ p (. kako je: CM CM e r, (.4 sled da je: r r e r ( cos ϕ s + e r (sn ϕ p, (.5 odnosno, s obzrom na (.: r r + ( cos ϕ e ( e r + (snϕ e r. (.6
48 Zbrka zadataka z mehanke robota Prethodno zveden zraz predstavlja Rodrgov obrazac koj uspostavlja vezu zmeđu vektora položaja tačke M u početnom krajnjem položaju. Prmer. Poznat je vektor p ( T. Odredt vektor p koj se dobja rotacjom vektora p oko ose koja je određena jednčnm vektorom ( / / / T e, za ugao ϕ 6. Slka. Na osnovu Rodrgovog obrasca ma se: p p + ( cos ϕ e ( e p + (snϕ e p (.7 gde su: j k e p / / / ( j + k, (.8 j k e ( e p / / / j k (.9 / / / p k ( cos( / ( j k sn( / ( j k j k ( T + + π + π + + (. koršćenjem programa M.6,dodatak D.6,dobja se: >> rodrgobrazacvektor unes vrednost ugla fp/ unes vrednost za vektor e[/.7,-/.7,/.7] unes vrednost za vektor r[,,] rnovo -
Zbrka zadataka z mehanke robota 49...Rodrgova matrca transformacje Prmer. Izvest zraz za Rodrgov obrazac u matrčnom oblku. Neka su Dekartove koordnate tačke M u njenom početnom krajnjem položaju: { } { } r x y z r x y z,. (. Relacja (. može se napsat u oblku: { } [ ]{ } r A r r, (. Na osnovu osobna dualnog objekta vektorsk prozvod su odredjen sa: { } [ ]{ } ( [ ] { } r e r e e, r e r e d d (. gde posle zamene u Rodrgov obrazac (.6 dobja: [ ] [ ] [ ] [ ] d d r e (sn e cos ( I A ϕ + ϕ +, (.4 odnosno konačno tzv. Rodrgova matrca. Prmer 4. Poznat je vektor ( T p. Odredt vektor p koj se dobja rotacjom vektora p oko ose koja je određena jednčnm vektorom ( T / / / e, za ugao 6 ϕ prmenom Rodrgovog obrasca u matrčnom oblku. Vektor p se može odredt na osnovu zraza : { } [ ]{ } [] [ ] [ ] { } p e (sn e cos ( I p A p d d r ϕ + ϕ +, (.5 Pr tome je: [ ], e e e e e e e x y x z y z d (.6 [ ] [ ][ ], e e e d d d (.7 Zamenom u zraz (.5 dobja se:
74 Zbrka zadataka z mehanke robota 4. KINEMATIKA ROBOTA 4. Modelranje mehančkog kretanja robotskog sstema U jednostavnjm slučajevma mehančko kretanje robotskog sstema može se modelrat kao kretanje otvorenog knematčkog lanca bez grananja pr čemu su veze zmeđu segmenata knematčkog lanca date u vdu knematčkh parova pete klase. Ako se u robotskom sstemu koj je dat u oblku knematčkog lanca pojave knematčk parov (druge, treće l četvrte klase, onda je moguće zvršt dekompozcju takvh parova na nz parova pete klase. To je ostvareno uvođenjem tzv. fktvnh tela tela prozvoljne dmenzje, sa masama jednakh nul prozvoljno zabranm fktvnm centrma nercje ([],[],[7]. 4.. Prmer dekompozcje veze date u oblku knematčkog para četvrte klase: Cardano-Hooke-ov zglob Kod nekh robotskh sstema veze zmeđu susednh segmenata su data u vdu knematčkh parova četvrte l treće klase koje omogućavaju dva l tr nezavsna pomeranja u tom zglobu respektvno. Takav prmer je Cardano-Hook-ov zglob koj se korst za prenošenje obrtanja oko osa koje se seku (slka 4.. On se sastoj od dva rotacona zgloba čje se ose seku pod pravm uglom, gde svak zglob može pojednačno da se pomera u jednoj ravn. Lako je uočt da je to knematčk par četvrte klase. Dekompozcju takvog para moguće je realzovat uvođenjem jednog fktvnog tela ( m koj zamenjuje sada Kardanov krst (slka 4. čme se realzuje dekompozcja Kardan-Hukovog zgloba na dva rotacona zgloba kojma su segment V + V + povezan to tako da se ose zglobova seku pod pravm uglom kao O O +. f f Slka 4.
Zbrka zadataka z mehanke robota 75 Slka 4. 4.. Prmer dekompozcje veze date u oblku knematčkog para treće klase -tr Ojlerova ugla Relatvno kretanje segmenta [ V ] mase m u odnosu na robotsk segment [ ] V a za koj je stovremeno vezan pomoću knematčkog para treće klase moguće je predstavt kretanjem otvorenog knematčkog lanca bez grananja koj se sastoj od četr segmenta. Segment f, f predstavljaju fktvna tela m, m dok je masa prvog segmenta jednaka mas realnog tela [ ] četvrtog segmenta jednaka je mas realnog tela [ ] m V, m m odnosno masa V, 4 m. Pr tome, su veze zmeđu susednh segmenata dat u vdu cnlndrčnh zglobova. Ako se uzme da je prv segment - nepokretno postolje tj. posmatraće se osnovn slučaj,[7]:
76 Zbrka zadataka z mehanke robota Slka 4.a a Slka4.b Položaj tela [ V ] određuju Ojlerov uglov tako da su nezavsne koordnate zabrane na sledeć načn,sl.4.a: ϕ, ψ, θ, Izbor karakterstčnh tačaka je realzovan na sledeć načn,sl.4..b: O O(,, C C. Mase tela, karakterstčn vektor tenzor nercje tela za ovaj slučaj predstavljen su tabelarno: Telo ξ ξ e ρ ρ m J C [ ] ( T ( T ( T [ ] [ ] ( T ( T ( T [ ] [ ] ( T { ρ } { } Tabela 4. ρ m J C vdet poglavlje o tenzoru nercje tela
9 Zbrka zadataka z mehanke robota 4. Drektan zadatak knematke Prmer 7. Robotsk sstem je dat u oblku otvorenog lanca bez grananja sa knematčkm parovma V klase ma n stepen slobode gde vrh robotskog sstema (hvataljka ma m stepen slobode. Postavljen zadatak ma m z stepen slobode. Odredt knematčku redundantnost sstema u sledećm slučajevma: a n 7, m 5 b n 6, m 4 c n 5, m 5, jedan sngularan položaj robota d n 6, m 6, mz e n 5, m 5, mz 5 Generalsane koordnate koje jednoznačno defnšu položaj datog robotskog n sstema (,,.., nazvaju se unutrašnje koordnate. Koordnate koje jednoznačno defnšu pozcju orjentacju hvataljke u prostoru u odnosu na nepokretn koordnatn system Oxyz jesu spoljašnje koordnate. Za opšt položaj hvataljke u prostoru potrebno je defnsat najvše šest nezavsnh parametara to: tr za pozcju ( x H, yh, zh tr za orjentacju Ojlerov uglov ( θ, ϕ, ψ. Prema tome, ako je n > 6 bez obzra na m, l n > m robotsk sstem je redundantan,[8]. Takođe, čak ako je robotsk sstem neredundantan n m a m > mz onda je dat sstem redundantan u odnosu na postavljen zadatak. Tako je,[9]: a U prvom slučaju n 7 > 6 > m 5 sstem je redundantan b U drugom slučaju n 6 > m 4 sstem je redundantan c U trećem slučaju u sngularnom položaju hvataljka gub jedan stepen slobode pa je n 5 > m 4 sstem je redundantan d U četvrtom slučaju n m 6 > mz sstem je redundantan u odnosu na postavljen zadatak e U petom slučaju n m m 5, sstem je neredundantan. z Prmer 8. Formulsat drektan knematčk zadatak u mehanc neredundantnh robota. Neka je moguće postavt relacju koja daje vezu zmeđu unutrašnjh spoljašnjnh koordnata ( n m kao: n (,,...,,, m n,... (4.89 Postavljen zadatak predstavlja drektn knematčk zadatak koj je moguće uvek rešt. Razlkuje se bazn opšt slučaj u slučaju spoljašnjh koordnata. Opšt slučaj: položaj završnog segmenta određen je polom H koj je prozvoljan a orjentacja sa tr nezavsna ugla.
6 Zbrka zadataka z mehanke robota xh, yh, 44 z H, 4. (4.55 Pr rešavanju drektnog knematčkog problema smo dobl da je, zraz (4.8: ( + ( + ( + sn cos xh yh + cos cos z H.8 sn. (4.56 Dat robot je veoma jednostavne strukture kod njega se nverzn knematčk problem može rešt čak analtčk, al to ne važ u opštem slučaju, pa je potrebno postavljen zadatak rešt numerčk. Jedna od metoda koja se ovde prmenjuje jeste Njutn-Raphsonova metoda- (metoda tangente koj ma kvadratnu konvergencju. Ako se konstruše u tačk x, y tangenta krve y f( x, jednačna ove tangente je: y y f x x x ( (. (4.57 Ako sa y označmo željenu vrednost y, onda vrednost apscse preseka ove tangente sa pravom y y se može označt sa x +.Tada je ( x+ x f ( x y y. (4.58 Izračunavanje se sprovod dok se ne ostvar sledeća nejednakost, tj. greška x x ε +. (4.59 gde je ε unapred zadata dozvoljena vrednost greške. Slka 4.8
Zbrka zadataka z mehanke robota 7 U slučaju robota zraz (4.58 poprma sledeć oblk: { } { } [ ] ( + J { } { }. (4.6 Izračunavanje se sprovod dok se ne postgne zadata tačnost: { } { } + ε. (4.6 Tako je željena vrednost spoljašnjh koordnata poznata znos, { }, 44 (4.6, 4 dok su za vrednost unutrašnjh koordnata usvojene sledeće vrednost: { } (4.6 Jakobjan matrca [ J I ] je jednaka matrc [ D ] koja se može odredt uz prmenu stog postupka (z prmera kao: ( ( ( [ D] { τ } { τ } { τ } n( n( n( ( ( ( ( ( + + cos cos + sn sn sn cos + sn cos + cos sn cos cos cos sn Vrednost { } tokom teratvnog zračunavanja su sledeće: { } (4.64,,844, { }, 6, { }, 7956,, 44, 554 (4.65, 588, 54, rad, 9956, { 4}, 989, 4 rad, 59556, 5965, 6 m { } gde se posle četvrte teracje dobjaju vrednost za unutrašnje koordnate koje su ble date u prmeru u rešavanju drektnog knematčkog zadatke knematke. program M.4 >> nvknrobot unes početnu vrednost unes početnu vrednost
8 Zbrka zadataka z mehanke robota unes početnu vrednost eps..6.44..6.44 eps -.856 -.444.4.844.7956.554 eps.449.9994.458.588.9956.59556 4 eps -.4856 -.657.696.54.989.5965 Prmer. Formulsat nverzn zadatak knematke u domenu brzna za robotsk sstem od šest kruth tela dat u oblku prostog knematskog lanca sa šest stepen slobode dat postupak rešavanja stog. Za dat robotsk sstem koj ma šest kruth tela koj ma šest stepen slobode može se odredt brzna vrha hvataljke v H prema zrazu (4.6 n n drh rh β β vh τ β ( n, (4.66 β dt β β Takođe, ugaona brzna hvataljke se određuje sabranjem relatvnh ugaonh brzna svh rotaconh knematskh parova u datom knematskom lancu robotskog sstema, zraz (4.8: 6 H ξ e (4.67 ω Inverzn zadatak knematke u domenu brzna sastoj se u određvanju generalsanh brzna (,,..., 6 na osnovu poznath projekcja vektora v, ( ( ω v, ω. Na osnovu prethodnh zraza (4.66 (4.67 uočava se H H, { } { } H H da je nverzn zadatak knematke,očgledno, lnearan koj se u skalarnom oblku mogu predstavt na sledeć načn,[]: 6 gde su: β a b, β,,..., 6 β (4.68
Zbrka zadataka z mehanke robota 9 a a4 b b4 a T, a e, b v, b, ( ( ( ( { } { ξ } { H } { ωh } 5 5 a a 6 b b 6 (4.69 Dat koefcjent aβ, bβ su pr tome funkcja samo generalsanh koordnata: 6 6 ( ( aβ aβ,...,, bβ bβ,...,. (4.7 On se mogu lako zračunat ako su poznate vrednost generalsanh koordnata tako da se generalsane brzne (,,..., 6 određuju rešavanjem sstema od šest lnearnh jednačna dath u (4.68. Prmer 4. Rešt nverzn zadatak knematke u domenu brzna za robotsk sstem sa tr stepena slobode koj je prkazan na slc tako da se vrh hvataljke kreće po unapred određenoj putanj sa željenm proflom brzne.putanja je zadata u vdu: f ( xh, yh, zh, xh yh + zh + f ( x, y, z, x + y z +. H H H H H H dok je profl brzna dat: v( t at, a const, l m, l m slka 4.9 Prmenom postupka prkazanog u prmeru6 dobja se Rodrgova matrca transformacje za prv segment: cos sn A, (4.7 sn cos
Zbrka zadataka z mehanke robota 5 5. DINAMIKA ROBOTA 5. Osnovn pojmov geometrje masa robotskog segmenta 5.. Tenzor nercje -tog segmenta robotskog segmenta Prmer. Odredt tenzor nercje C V datog robotskog sstema, koj je oblka przmatčnog štapa, mase m kg dužne l m. J segmenta [ ] Neka je konfguracja tela [V] u odnosu na Oxyz određena konfguracjom pravouglog Dekartovog koordnatnog sstema C ξηζ, C [ V ]. Tenzor nercje tela [V], dat u odnosu na C ξηζ,defnsan je sledećom relacjom,[]: def Slka 5. d [ J C ] [ ] dm ( V ρ, (5. d gde je sa ρ označen dualn objekat vektora { } ( ρ T ξ, η, ζ položaj tačke M [ V ] u odnosu na C ξηζ, određen je zrazom: koj određuje ζ η [ ρ ] d ζ ξ. (5. η ξ Zamenom u defncon zraz dobja se koordnatna forma: [ J ] C ( v ( η + ζ dm ( v ( v ( ηξ dm ( ζξ dm ( v ( v ( ζ ( v ( ξη dm + ξ dm ( ζη dm ( ξζ dm ( v ( ηζ dm, (5. ( v ( η + ξ dm ( v
Zbrka zadataka z mehanke robota cos sn cos sn sn ( ( L A L sn cos cos cos sn sn sn cos cos cos + 9 sn sn cos sn 9 sn cos cos, kgm / s ( + 9cos { c } { c} 5. Knetčka energja robotskog sstema Prmer 5. Za robot sa tr stepena slobode (prmer odredt knetčku energju robotskog sstema u prozvoljnom položaju, gde su tenzor nercje odgovarajućh segmenata dat sa: ( ( ( J c(, J c(, J c( kgm sa prpadajućm masama m 5 kg,,,. Slka 5. Knetčka energja robotskog sstema odredjena je sledećm zrazom: E k Ek Ek + Ek + E k (5.
Zbrka zadataka z mehanke robota Određvanje knetčke energje trećeg segmenta robota Izraz za knetčku energju trećeg segmenta je dat sledećm zrazom: ( ( ω [ J ]{ ω } ( tr rot E k Ek + Ek mvc + c (5. pr čemu se ugaona brzna trećeg segmenta odredjuje na sledeć načn: n ω ξe e + e + e (5.4 U odnosu na treć lokaln koordnatn sstem C ξηζ ω je: ( ( ( ( ω e + e + e { } { } { } { } ( ( T ( T ( [ A, ] { e } + [ A, ] { e } [ A, ] { e } + [ A, ] { e } T T ( T ( T ( ( [ A ] [ A ] { e } + []{ I e } [ A ] { e } + { e },,, (5.5 T cos sn + sn sn cos cos Prema tome, konačno se dobja da je: (5.6 rot ( ( Ek ( ω J c { ω } ( sn cos sn cos 5( +, 5( + 4, 5( cos Slčno knetčka energja trećeg segmenta koj odgovara translacj je: tr k ( v { v } E m (5.7 gde je v C c c brzna sredšta masa trećeg segmenta odredjena sa: v c T ( T ( + T( + T( (5.8 Kvazbazn vektor T ( je dat sledećm zrazom: T ( ξe R( + ξe gde je R ( određeno sa: (5.9 R k ( kk + ξk k + ρ ( ρ e k, (5.4 Prema tome,prv kvazbazn vektor je sada: ξ e R + ξ e e, (5.4 T ( ( R(
Zbrka zadataka z mehanke robota 45 5.6 Određvanje generalsanh sla robotskog sstema Prmer 9 Izvest zraz za generalsanu slu od sla teže robotskog sstema sa tr stepena slobode. Prv načn: Dat robotsk sstem u oblku otvorenog knematčkog lanca bez grananja sa tr stepena slobode kreće se u polju zemljne teže.sla teže segmenta [ V ] znos G,,,, sa napadnom tačkom u centru nercje C segmenta. Pr tome je glavn vektor sstema kontnualno podeljenh sla zemljne teže g gk, očgledno: FR( G m g,,, (5.88 a glavn moment za redukconu tačku C,,, je: M C R(,,, (5.89 Izraz za generalsanu slu je dat sledećm zrazom: n ( F T + M Ω,,,..., n a Q R( ( CR( ( (5.9 Poslednja tr zraza dovode do zraza za generalsane sle od sla zemljne teže u oblku: Q n n m gt m gkt. (5.9 ( g ( ( Slka 5.5 Drug načn: Uzmajuć u obzr čnjencu da je sla teže potencjalna zraz može da se zvede na osnovu sledećh razmatranja. Postavmo horzontalnu ravan tako da sadrž koordnatn početak O nercjalnog koordnatnog sstema Oxyz (vd sl.5.5.
46 Zbrka zadataka z mehanke robota segementa [ ] Potencjalna energja sle zemljne teže G m g V znos (ravan uzeta je za nvo nultoga potencjala: G E p ( m gz m grc k, (5.9 gde je k vektor normale ravn usmeren vertkalno navše. Ukupna potencjalna energja razmatranog robotskog sstema koja se odnos na slu zemljne teže znos: E G p n m gr C k n m gr C, (5.9 Generalsane sle određene su prmenom poznatog zraza: G E p Q ( g,,,..., n, (5.94 Uzmajuć u obzr prethodna dva zraza sled: n r r, > C C Q g m g, (, (5.95 T (, n tj., Q m g T (. (5.96 ( g 5.6. Odredjvanje generalsane sle od sla teže robotskog sstema Prmer Odredt generalsane sle od sla teže robotskog sstema ( prmer. Na osnovu zvedenog zraza za generalsanu slu dobja se zraz za Q ( g za treć segment: n ( ( ( ( Q( g m gt ( k m g( T( { k } m g( [ A, ]{ T( }{ k } (5.97 m g ([ A ][ A ][]{ I T } { k ( },, ( ( Generalsane sle odredjujemo u odnosu na nepokretn koordnatn sstem, što je (..U prethodnm prmerma odredjen je naznačeno u zrazma za vektore sa ( ( { T }: ( T ( e (5.98 A,, A, : (5.99 ( ( { } { } kao [ ] [ ]
Zbrka zadataka z mehanke robota 47 cos sn [ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][] A, A, A, A, A, A, I sn cos cos sn cos sn cos sn sn sn cos cos sn cos sn cos Zamenom u dat zraz sled: cos sn cos sn sn Q( g 5 9, 8 sn cos cos sn cos sn cos 49, 5( sn cos cos cos sn 49, 5 sn Program M.9 >> genersla unes vrednost za masu treceg segmenta m5 unes vrednost treceg kvazbaznog vektora t[,,]' Qg -49.5*sn(conj( sn cos (5. Na slčan načn moguće je odredt Q. ( g Q ( g m gt ( m g ( gde su T (, T( dat sa: ( ( { T( } { T( } k m gt ( ( ( T { k } m g( T { } k ( ( ( (,, 8, + k m gt ( k (5. (5. a u odnosu na nepokretn Oxyz koordnatn sstem: (5.
Zbrka zadataka z mehanke robota 49 cos, cos ( ( ( { T }, { }, { }, ( A, T( A T( cos sn cos cos (, 8 (5.7 + ( ( { T }, { } (, ( A T( sn cos 8 + Zamenom u zraz za generalsanu slu dobja se,konačno: (5.8 ( + (, cos cos, cos sn + Q( g 49, 5 + ( cos cos ( 8, + sn cos ( 8, + 5.6. Odredjvanje generalsane sle od sla u opruz robotskog sstema Prmer Izvest zraz za generalsanu slu od sle u opruz robotskog sstema sa n stepen slobode. Slka 5.6 Potencjalna energja date opruge je odredjena zrazom: ( l l l FFj E P c, (5.9 gde je odgovarajuća generalsana sla od sla u opruz data sa:
5 Zbrka zadataka z mehanke robota E P l Q c( l l ( c,,,..., n (5. Uočava se da je: l l( +, + j l,...,,, > j (5. odnosno: Q ( c, j < (5. l Dalje je potrebno odredt < j,. Uočava se da je: l FF, FF CC + τ τ r r + τ τ k ( e j j j j j j j k k ( ρkk ξk ek ρj ( ρkk ξkek ρ τ j τ k k j + + + + ρ + ξ + ρ ρ + τ τ k+ kk k k j j (5. Takodje je: l F Fj l F F j F Fj l F Fj, k +, +,..., j (5.4 gde su: F F j r j ( r j r + τ j τ ( r j + τ j T ( j (5.5 T ξ e R + ξ e ( j R ( j j l ( ρll + ξ l el l ( j + ρ + τ j j (5.6 Na taj načn dolaz se odgovarajućeg zraza za generalsanu slu od sla u opruz: Q ( c c c ( l l l j ( e j j l ρ + ξ + ρ ρ + τ τ T ( j, < j n + (5.7 Prmer Odredt generalsane sle od sle u opruz, za prethodno koršćen robotsk sstem sa tr stepena slobode( prmer.opruga je postavljena zmedju tačaka F F na načn prkazan slkom τ., τ.. Poznata je krutost opruge c dužna nestegnute opruge l.
Zbrka zadataka z mehanke robota 5 Slka 5.7 Sa slke 5.7 se može uočt da je ( { } { } ( τ, τ, (5.8 kao : F (5.9 F τ ρ + ρ + e + ρ + ρ + τ u odnosu na lokaln koordnatn sstem C ξη ζ je: ( ( ( ( ( ( ( ( { F F } { τ } { ρ } + { ρ } + { e } + { ρ } + { ρ } + { τ } ( ( ( ( ( ( ( τ } { ρ } + [ A ]{ ( ρ } + { e } + { ρ } + { ρ } + { τ } tj.: { ( FF }, (5., + cos sn, 6 + +, 4 +, +,, 4 sn cos ( 7, + cos, 4, + ( 7, + sn (5.
54 Zbrka zadataka z mehanke robota l Q ( c c ( ( 7, + cos, 4, + ( 7, + s n cos l sn l c 7+ cos cos + 4+ 7+ sn sn l (((,, (, (, l Q ( c c 7 cos 7 sn 4 (, +, + (, + +, ((,, (, (, ( 7 cos cos 4 7 sn sn + + + + (5.6 5.6. Odredjvanje generalsane sle od sle vskoznog trenja robotskog sstema Prmer Izvest zraz za generalsanu slu od sla vskoznog trenja za dat robotsk sstem sa n stepen slobode. Slka 5.8 Sla vskoznog trenja je odredjena sa F β βξλ w vr (5.7 gde je sa v r označena relatvna brzna klpa u odnosu na clndar prgušvača, a β const. Vrtualn rad δ A( F w je defnsan sledećm zrazom: δa ( F δ βξ w Fw sr δξ (5.8 Potrebno je uočt da je
Zbrka zadataka z mehanke robota 55,, n n k k k l l l l dt d δ δ δξ δ ξ ξ (5.9 posle zamene u zraz za vrtualn rad dobja se zraz za generalsanu slu kao: ( n w n n k k k n k k n k w Q l l l l A F ( δ δ β δ β δ (5.4 n k k k w l l Q ( β (5.4 Uočava se takodje da je: ( < < + + j j l l l j,,,...,, (5.4 odnosno: < < + j k k k w n j l l j Q (,, β (5.4 pr čemu je takodje: j k F F l F F l k j j k,...,,,, ( ( + + (5.44 a vektor j F F je dat sa (5.: Prmer 4 Odredt generalsanu slu od sla vskoznog trenja za dat robotsk sstem sa stepena slobode. Prgušvač je postavljen zmedju tačaka F F.,,, CF CF τ τ Generalsan sla ( w Q se može odredt sa: + + ( l l l l l l Q k k k w β β (5.45 Kako je l sled: ( w Q (5.46
56 Zbrka zadataka z mehanke robota Slka 5.9 Takodje je generalsana sla Q ( oblka: Q w l l k l l l l β + + β (5.47 k k ( w Prethodno su odredjen zraz za l /, l / pa prema tome: l l l Q( w β β β (( 7, +, ( sn + 4cos β ( 7, + cos, + ( 7, + sn + 4, ( (,, (( 7, +, ( sn + 4cos + (, + (, + ( 7, + cos, + ( 7, + sn + 4, 7+ cos cos + 4 7 sn sn (5.48 Na slčan načn, treća generalsana sla Q ( je: (5.49 Q l ( w β k l β l w l k l l l k β + l β l +
Zbrka zadataka z mehanke robota 57 Slčno, zamenom poznath zraza za slu Q (. w l /, l / dobja se zraz za generalsanu 5.6.4 Odredjvanje generalsane sle od sle pogona robotskog sstema Prmer 5 Izvest zraz za generalsanu slu od sla pogona robotskog sstema sa n stepen slobode. Slka 5. Kao što je to ranje staknuto relatvno kretanje prozvoljnog robotskog segmenta ( V u odnosu na segment ( V kod robotskog sstema koj je dat u vdu otvorenog knematčkog lanca bez grananja ostvaruje se pomoću pogonskh motora. Pr tome motor deluje na ( V pogonskom slom P, u slučaju translacje ( ξ,odnosno spregom pogonskh sla čj je moment M, u slučaju rotacje ( ξ. Takodje, motor deluje na segment ( V pogonskom slom P odnosno odnosno spregom pogonskh sla čj je moment M.Pr tome napadne tačke pogonskh sla P, P su O ( V, O ( V, respektvno.vrtualn rad sstema pogonskh sla koj deluje na robotsk sstem je odredjeno na sledeć načn, gde je vrtualno pomeranje robotskog sstema odredjeno sa: tj.: δ δ δ... δ δ +... δ n, δ (5.5 (, P P δ ( AO e + P δ ( AO e P δ ( AO e + ξ e + P δ ( AO e P e δ ( AO + ξ + P e δ ( AO P e δ const δ ( AO, A os rotacje, translacje δa P AO (5.5 Prema tome: δa P, P Q δ P e δ Q P e (5.5 ( ( P ( P U slučaju rotacje sled:
58 Zbrka zadataka z mehanke robota δ A( M, M Mδ ( ξ e + M δ ( Meδ jer spreg pogonskh sla čj je moment M se odredt: δa M, M Q M δ Meδ Q M Me ( ( ( Na kraju se dobja: Q( pog Q( P + Q( M ξ P e + ξ M e gde su u opštem slučaju: P P(, t M M( t poznate funkcje vremena. (5.5 deluje na segment ( V.Dalje, može (5.54 (5.55 (5.56 Prmer 6 Odredt generalsanu slu od pogonskh sla momenata za dat robotsk sstem (prmer sa stepena slobode. Motor su postavljen u odgovarajućm rotaconm zglobovma odnosno translatornm zglobu. Sv zglobov su dat u vdu knematskh parova V klase. Pr tome poznato je: M Me, M M e, P Fe, M const, M const, F const, (5.57 Kako je prv zglob rotacon sled: Q( pog Q( P + Q( M P e + Me M e e M ( M (5.58 Takodje je drug zglob rotacon, pa je: (5.59 Q( pog Q( P + Q( M Pe+ Me Me e M( M Treć zglob je u ovom slučaju translatorn odakle sled: (5.6 Q( pog Q( P + Q( M Pe + Me Fe e F( F. 5.7 Kovarjantn oblk dferencjalnh jednačna kretanja robotskog sstema Prmer 7 Izvest kovarjantn oblk dferencjalnh jednačna kretanja robotskog sstema sa n stepen slobode koj je dat u oblku otvorenog knematčkog lanca u oblku Langranževh jednačna druge vrste.
Zbrka zadataka z mehanke robota 6 Prmer 9 Prkazat kovarjantn oblk dferencjalnh jednačna kretanja robotskog sstema (prmer,8 sa stepena slobode u prostoru stanja. Dferencjalne jednačne kretanja datog robotskog sstema date su zrazma (5.87, (5.88 (5.89. Uvode se sledeće velčne stanja: X, X, X, X4, X5, X6 ( (5.87 Na taj načn matematčk model robotskog sstema koj je zveden dat u oblku tr nelnearne dferencjalne jednačne drugog reda, sada se može predstavt u oblku šest nelnearnh dferencjalnh jednačna al prvog reda, tj., u vektorskom oblku tzv. jednačne stanja datog objekta-robotskog sstema.jednačne stanja su oblka: X X4 X X5. (5.88 X X6 MΓ, Γ, X 4 a, (5.89 M Γ,( X, X X4 X5 Γ,( X, X X4 X6 X 4 a ( X, X M + Q 5 g (, +Γ,( Γ, X a. (5.9 5 M + Q g ( X, X +Γ, ( X, X ( X4 Γ, ( X X5 X6 X a ( X F + Q 6 g ( +Γ,( +Γ,( X a. (5.9 6 F + Qg ( X +Γ,( X, X ( X4 +Γ,( X ( X5 X 5 Neka vektor upravljanja predstavljaju date generalsane pogonske sle T T U ( M, M, F. Ako se uvede vektor stanja sa: X ( X, X, X, X4, X5, X6 onda se odgovarajuća vektorska jednačna stanja datog robota može napsat u opštem oblku: X f X,U. (5.9 l precznje kao X A X + B X U. (5.9 ( (
66 Zbrka zadataka z mehanke robota ako je ( β. Ako segment, β γ se ne nalaze u stoj gran razgranate strukture može se lako pokazat da je Γ β, γ. U slučaju mehančkog sstema razgranate strukture generalsane sle Q se zračunavaju na osnovu sledećeg zraza: n Q ( FR T ( + M CR ξ e (5. : ( Prmer. Za dat robotsk sstem sa pet stepen slobode(slka koj je dat u oblku knematčkog lanca sa grananjem odredt koefcjent osnovnog metrčkog tenzora a, Krstofelov smbol I vrste Γ, kao generalsanu slu od sle zemljne teže Q ( g.mase dath segemenata su: m, m m4 5, m m kg kao ( ( (4 ( (5 [ J ] dag(,,, [ J ] [ J 4 ] dag(,5,, [ J ] [ J 5 ] dag(,5, C C C C C Slka 5. Geometrja datog robotskog sstema odredjena je sa: ξ,,,,4, 5 m, m m4 5, m m kg ( ( { e }, { e }, ( (4 (5 { e }, { e4 }, { e5 }, (5.
78 Zbrka zadataka z mehanke robota Slka 5.5 Prmenom programskog paketa Mathematca 5., [7] dobjaju se tr nezavsne dopunske jednačne u dferencjalnom oblku, gde je ovde prkazana prva jednačna []: Euaton (... QN[] d [ ].77678 d [ ].57757 d [ ] +.48489 d [ ] Sn [ ].47445d[4].5559d[4]Cos[ []]Cos[ []] (5.7 +.444d[4]Cos[ []]Sn[ []] +.785d[4]Cos[ []] +.6666667d[4]Cos[ []]Sn[ []] +.d[4]sn[ []] +.88675d[4]Sn[ []]Sn[ []] +.445d[4]Sn[ []]... 5. Redundantn robotsk sstem Prmer 4 Za knematčk redundantan robosk sstem sa n stepen slobode dat postupak razrešenja postojeće knematčke redundanse. 5.. Rešenje redundanse prmenom optmzacje krterjuma po generalsanm koordnatama, [7]. Neka je poznat knematčk model koj dat je sledećm zrazom: ( n ( t f,,...,,,,..., m, (5.7
Zbrka zadataka z mehanke robota 85 Na kraju, prmenom pogodno usvojenog postupka numerčke ntegracje moguće je sada uz poznavanje početnh uslova (, ( odredt vektore opt (, t opt ( t. Prmer 5 Za knematčk redundantan robosk sstem sa 4 stepen slobode rešt postojeću knematčku redundansu. opt opt Fgure 5.6. ρ ( T ρ e,, (,, T (,, T (,, T (,. 5, T (,, T (,, T (,, 5. T (,, T 4 (,, T ( 5.,, T (,, T Table.Vrednost koj defnšu geometrju robota Ovde je prv knematčk par četvrte klase koj je predstavljen u vdu dva segmenta pete klase gde je prv segment fktvan. Ostala dva zgloba su data u vdu knematčkog para pete klase.pr tome su odgovarajuće matrce transformacje, ([9]: cos sn A, sn cos A, cos sn sn cos,. cos sn A, sn cos 4 4 cos sn n 4 A 4, sn cos. (5.48
Zbrka zadataka z mehanke robota 89 Slke 5.8 6. PRIMERI I REŠENI ISPITNI ZADACI Prmer. (februar 999. Za robot prkazan na slc koj se nalaz u referentnoj konfguracj, za sledeće vrednost generalsanh koordnata generalsanh brzna respektvno. rad,. rad / s,,,, odredt sledeće velčne: a Položaj vrha hvataljke r H, b Koefcjent metrčkog tenzora a, c Knetčku energju trećeg segmenta E k, Slka 6. Podac o robotu su sledeć: Segment m kg l m m, rad... m/ s, rad / s..4.6 Tabela 6.
Zbrka zadataka z mehanke robota 9 Slka 6. Uočen robot poseduje n stepena slobode dat je u oblku otvorenog knematčkog lanca sa zglobovma koj prpadaju knematskm parovma V klase. Kako su sv zglobov rotacon, parametar ξ koj određuje da l je uočen zglob translatoran l rotacon je sada prema defncj:, ξ ξ ξ (6. odnosno:,,,, ξ ξ ξ ξ ξ (6. Projekcje jednčnog vektora ( e na ose koordnatnog sstema C ζ η ξ su: { } { } { }, e, e, e ( ( ( (6. Projekcje vektora ( ρ na ose koordnatnog sstema C ζ η ξ određene su: { } { } { } ( ( (,, ρ ρ ρ, (6.4 Slčno,projekcje vektora ( ρ na ose koordnatnog sstema C ζ η ξ su date sa: { } { } { } ρ ρ ρ ( ( (,,, (6.5 Dualn objekat [ ] d e za vektor e može se odredt prema defncj kao:
Zbrka zadataka z mehanke robota 7 XXd4(cc*(-U-Qg+g*XX(4*XX(4-*g*XX(4*XX(6- *g*xx(5*xx(6... +cc*(-u+g*xx(4*xx(4+*g*xx(4*xx(5+*g*xx(5*xx(5... +(*g*xx(4*xx(5+g*xx(4*xx(6-*g*xx(5*xx(6- *g*xx(5*xx(5+u/cc; XXd5(-a*XXd4+Qg+U- g*xx(4*xx(4+*g*xx(4*xx(6+*g*xx(5*xx(6/a; XXd6(U-a*XXd4-g*XX(4*XX(4-*g*XX(4*XX(5- g*xx(5*xx(5/a; XDOT[XXd,XXd,XXd,XXd4,XXd5,XXd6]'; end Prmer6 Za dat antropomorfn robot sa tr stepena slobode odredt sve koefcjente metrčkog tenzora,krstofelove smbole I vrste,generalsane sle usled sle zemljne teže kao dferencjalne jednačne kretanja u smbolčkom oblku. Slka 6. Postupak automatskog odredjvanja osnovnh parametara dnamčkog modela kao što su: kovarjantne koordnate metrčkog tenzora, Krstofelove smbole prve vrste generalsane sle koje potču od sle zemljne teže odnosno automatsko formranje dferencjalnh kretanja sstema kruth tela prmenjen je za antromoporfn robot sa tr stepena slobode. Struktura ovog robotskog sstema predstavljena je u oblku otvorenog knematčkog lanca bez grananja sa tr segmenta. Veze zmeđu segemenata su clndrčn zglobov.programsk jezk koršćen za rešavanje ovog prmera je smbolčk jezk Mathematca 5..Ulazna datoteka prpremljena za smbolčk proračun je data,[]:
8 Zbrka zadataka z mehanke robota (******************ulazn podac***************** nbody; evec[]{,,};evec[]{,,};evec[]{,,}; rovec[,] {.4,,.5}; rovec[,] {.5,,}; rovec[,] {.6,,}; rovec[] {-.4,,}; rovec[] {-.75,,}; rovec[] {-.,,}; mass[]5; mass[].45; mass[].7; tensj[]dagonalmatrx[{.6,.6,.6}]; tensj[]dagonalmatrx[{.77,.5,.5}]; tensj[]dagonalmatrx[{.,.488,.488}]; ggrav{.,.,-9.8}; kappa[];kappa[];kappa[]; VecM[]{,,};VecM[]{,,};VecM[]{,,}; VecP[]{,,};VecP[]{,,};VecP[]{,,}; Kao rezultat rada programa na zlazu dobjamo sređene delmčno uprošćene zraze.ovde su prkazan osnovn prametr dnamčkog modela: koefcjent metrčkog tenzora (KoefMetr, Krstofelov smbol prve vrste (KrstSm, generalsane sle (Qsla koje potču od sle zemljne teže. Koefcjent metrčkog tenzora su sledeć: a KoefMetr[[,]] ---------------------------------- a KoefMetr[[,]] ------------------------------- a KoefMetr[[,]] ------------------------------