Kinematika rotacionog kretanja

Transcript

1 Knematka rotaconog kretanja Tjelo rotra kada e ve tačke tjela kreću po kružnm putanjama čj centr leže na o rotacje. Rotacono kretanje kod kojeg je tangencjalna brzna kontantna nazva e unformno kružno kretanje. 1 Da bmo opal rotacono kretanje tjela pomoću jednačna kretanja prvo ćemo uvet fzčke velčne kojma e opuje ovo kretanje, a to u: pomjeraj, brzna ubrzanje kod rotaconog kretanja. Ugaon pomjeraj Pomatrajmo rotacju krutog tjela (dka) oko fkne oe O (pravac z) normalne na ravan dka (Slka). Uočmo tačku koja rotra oko oe rotacje O po kružnc radjua r. Položaj tačke na rubu dka e može predtavt polarnm koordnatama (r, ). Pr pomjeranju tačke z položaja, koj ćemo matrat referentnm položajem, u položaj + materjalna tačka pređe put (dužna kružnog luka) naprav ugaon pomjeraj pr čemu važ da je: r odnono: r gdje je [m] pređen put, r[m] radju kružne putanje, θ[rad] ugaon pomjeraj. Ovaj ugao za koj e pomjero (zarotrao) dk nazva e ugaon pomjeraj zražava e u jedncma za ugao radjanma (rad). Radjan predtavlja centraln ugao za koj je SLIKA 1. MATERIJALNA TAČKA IZ POLOŽAJA P ROTIRA OKO OSE O, poluprečnk kružnce jednak dužn NORMALNE NA RAVAN X-Y, U SMJERU SUPROTONOM SMJERU KRETANJA KAZALJKE NA SATU (SLIKA LIJEVO). U POČENOM odgovarajućeg kružnog luka TRENUTKU T I MATERIJALNA TAČKA P SE NALAZI U POLOŽAJU I, A U 1rad KRAJNJEM TRENUTKUT F MATERIJALNA TAČKA SE NALAZI U Ako pomatrana tačka opše pun krug tada je POLOŽAJU Q. (SLIKA DESNO). dužna kružnog luka jednaka obmu kružnce poluprečnka r tj. r, a ugao rotacje tada zno: r r r Dakle, ukolko materjalna tačka naprav ugaon pomjeraj (opše ugao) znač da je napravla jedan pun obrtaj. To zač da u radjan tepen povezan zrazom: 1 Rotacono kretanje kod kojeg je tangencjalna brzna kontantna nazva e unformno kružno kretanje. 1

2 odavde je: rad 36 o rad rad rad 57, 3 o Ugaona brzna Pomatrajmo materjalnu tačku koja rotra oko nepokretne oe koja prolaz kroz tačku O normalna je na ravan x-y. U početnom trenutku t materjalna tačka e nalaz u položaju P ma položaj, a u krajnjem trenutku tf materjalna tačka e nalaz u položaju Q kojem odgovara položaj f. Dakle, za vrjeme t=tf-t materjalna tačka e pomjerla z položaja P u položaj Q pr tome opala ugaon pomjeraj: f gdje je f[rad] krajnj položaj materjalne tačke zražen u radjanma, a [rad] početn položaj materjalne tačke zražen u radjanma. Po analogj a tranlatornm kretanjem može e uvet rednja ugaona brzna kao ugaon pomjeraj θ koj materjalna tačka naprav u toku vremenkog ntervala t: f t rad w t t t f Ugaona brzna zražava e u radjanma po ekund (rad/). Trenutna ugona brzna defnše e kao grančna vrjednot rednje ugaone brzne kada je vremenk nterval nfntezmalno mal (t), odnono: d w. lm t t Pravac vektora ugaone brzne je pravac oe rotacje materjalne tačke l krutog tjela, međutm mjer vektora ugaone brzne e određuje pravlom dene ruke (Slka): Ako prt prate mjer rotacje tada palac pokazuje mjer vektora ugaone brzne tako da je u lučaju rotacje u mjeru uprotnom mjeru kazaljke na atu mjer ugaone brzne poztvan (Slka - ljevo), a u lučaju rotacje u mjeru kazaljke na atu mjer ugaone brzne je negatvan (Slka - deno). Napomena: Ugaona brzna kao vektorka velčna je naročto značajna kada e pravac oe rotacje mjenja tokom kretanja. SLIKA. KADA RASTE TADA JE W>, A KADA OPADA TADA JE I W<.

3 SLIKA 3. AKO PRSTI POKAZUJU SMJER ROTACIJE TIJELA TADA PALAC POKAZUJE SMJER VEKTORA UGAONE BRZINE. Ugaono ubrzanje Kada e ntenztet ugaone brzne krutog tjela mjenja tokom vremena znač da tjelo ubrzava l uporava. Srednje ugaono ubrzanje defnše e kao kolčnk promjene ugaone brzne w ntervala vremena t u toku kojeg je promjena natala: w f wt w rad t t t f Srednje ugaono ubrzanje je dakle promjena ugaone brzne u jednc vremena, oblježava e a, a zražava u rad/. Slčno kao kod tranlatornog kretanja trenutno (ugaono) ubrzanje defnše e kao grančna vrjednot rednjeg (ugaonog) ubrzanja kada t: lm w dw d t t. SLIKA 4. AKO PRSTI POKAZUJU SMJER ROTACIJE TIJELA TADA PALAC POKAZUJE SMJER VEKTORA UGAONE BRZINE. KADA JE OSA ROTACIJE NEPOKRETNA UGAONA BRZINA I UGAONO UBRZANJE IMAJU ISTI PRAVAC.ROTACIONO KRETANJE JE UBRZANO UKOLIKO SU A I W ISTOG SMJERA (SLIKA LIJEVO) I USPORENO UKOLIKO SU A I W RAZLIČITOG SMJERA (SLIKA DESNO). Vektor ugaonog ubrzanja dat je zrazom: dw Pr rotaconom kretanju, ukolko je ugaono ubrzanje poztvno, tada ugaona brzna w rate, a ukolko je negatvno tada w opada. Rotacono kretanje je ubrzano ukolko u w tog predznaka uporeno ukolko u w razlčtog predznaka. (Analogne relacje važe za lnjku brznu ubrzanje kod pravolnjkog kretanja). Kada rotra oko nepokretne oe vaka četca krutog tjela rotra kroz t ugao, ma tu ugaonu brznu to ugaono ubrzanje. Ravnomjerno-ubrzano rotacono kretanje tjela Ukolko e ugaono ubrzanje ne mjenja tokom vremena tada e tjelo kreće ravnomjerno-ubrzano (kretanje tjela kontantnm ugaonm ubrzanjem), odnono, =cont. 3

4 Neka e tjelo kreće ravnomjerno-ubrzano pr čemu u početnom trenutku t= ma ugaonu brznu w=w, a u krajnjem trenutku tf=t brznu wf=w, tada je njegovo trenutno ugaono ubrzanje dato zrazom: dw. Razdvajanjem promjenljvh velčna ntegracjom po dw : w w dw dobja e ugaona brzna pr ravnomjerno-ubrzanom rotaconom kretanju krutog tjela: w w t Izraz za ugaon pomjeraj može e odredt z zraza za trenutnu ugaonu brznu: d w korteć prethodno uveden zraz za zavnot ugaone brzne od vremena: d t ( w t t ) dobja e zraz za ugaon pomjeraj kod ravnomjerno-ubrzanog rotaconog kretanja: t wt gdje je početn ugao (koj odgovara položaju tjela u trenutku t=). Dalje e, elmnacjom vremena z zraza za ugaonu brznu zraza za ugaon pomjeraj, može dobt veza zmeđu ugaonog pomjeraja, ugaonog ubrzanja brzne: w w Pr uporenom kretanju važe te jednačne u kojma umjeto znaka + pred polednjeg člana toj znak -. Dakle, može e napravt potpuna analogja zmeđu jednačna knematke kod rotaconog lnjkog kretanja kontantnm ubrzanjem: w wo t v v t t wt x x at vt w w v v ax Veza zmeđu ugaonh lnjkh velčna Pomatrajmo tačku P koja rotra oko nepokretne oe O u mjeru uprotnom mjeru kretanja kazaljke na atu (Ska). Za nterval vremena tačka P pređe put d pa je njena lnjka (tangencjalna) brzna data relacjom: 4

5 d v Pošto je kružn luk povezan a ugaonm pomjerajem θ relacjom: r gdje je r kontantno, zraz za brznu e može tranformat u: d rd v Kako je trenutna ugaona brzna w=dθ/, zamjenom u prethodn zraz dobja e veza zmeđu lnjke ugaone brzne kod rotacong kretanja: v r w. U vekorkom oblku veza zmeđu lnjke ugaone brzne data je zrazom: v wxr v w r n w, r pr čemu je v brzna prozvoljne tačke krutog tjela koja e nalaz na odtojanju r od oe rotacje, a w ugaona brzna kruog tjela. Kada u vektor brzne radju vektor međuobno normaln (n=1) zraz potaje: v r w. Da bmo pronašl vezu zmeđu tangencjalnog ugaonog ubrzanja pomatrajmo ada tačku P koja e kreće po kružnoj putanj ubrzanjem a oko nepokretne oe O (Slka). Tačka P će pored tangencjalnog ubrzanja umjerenog duž tangente u datoj tačk a mjerom koj e poklapa a mjerom kretanja, odnono vektorom brzne u datoj tačk, mat centrpetalno ubrzanje umjereno ka centru kružne putanje O: v a r rw r Kako je tangencjalno ubrzanje prv zvod brzne po vremenu: dv dw a r r r Tako e ukupno lnjko ubrzanje može zapat kao: a a t a r r r w 4 r SLIKA 6. ROTACIJA KRUTOG TIJELA KOJE SE KREĆE UBRZANO OKO NEPOKRETNE OSE O. UBRZANJE A TAČKE P IMA KOMPONENTU DUŽ w SLIKA 5. UOČENA MATERIJALNA TAČKA NA RASTOJANJU R OD OSE ROTACIJE SE KREĆE LINIJSKOM BRZINOM V I UGAONOM BRZINOM W. PRAVCA KRETANJA (TANGENTE U DATOJ TAČKI) A T I PRAVCA DUŽ RADIJUSA KRUŽNE PUTANJE A R. SLIKA 7. ROTACIJA KRUTOG TIJELA OKO NEPOKRENTE OSE O KOJA JE NORMALNA NA RAVAN XY I LEŽI NA OSI Z KOORDINATNOG SISTEMA. 4 Prmjer: Ugaona brzna oovne motora manj e a rad/ na 14 rad/ u toku 5 kretanja. a) Kolko je ugaono ubrzanje točka? b) Kolk je broj obrtaja koje oovna naprav? 5

6 Rješenje:a) Iz ulova zadatka vdmo da je dato ravnomjerno-uporeno rotacono kretanje, pa e ugaono ubrzanje može drektno odredt z zraza za ugaonu brznu: w wo t rad rad 14 w w rad 1 t 5 Broj obrtaja može e odredt z zraza za ugaon pomjeraj pr ravnomjerno-uporenom kretanju: t rad 1 rad wt rad zraza kojm je ugaon pomjeraj povezan a brojem obrtaja. Ako jednom obrtaju odgovara ugaon pomjeraj, onda će pr N obrtaja ugaon pomjeraj bt: 85rad a odavde N 135, 35 3,14rad Prmjer: Odredt centrpetalno ubrzanje tačke koje e nalaz 7,5 mm od oe rotacje ako pr centrfugranju prav 75 obrtaja u mnut. Rješenje: Centrpetalno ubrzanje može e odredt z zraza: Pošto je r poznato w e može odredt preko broja obrtaja: N 3,14rad 75 rad w 785 t t 6 a r v r rw Dalje je: a r rw 7,5x1 3 rad m 785 m 5,9 Ptanja za provjeru znanja 1. Napat jednačnu ravnomjerno-uporenog rotaconog kretanja.. Automobl mae m kreće e po kružnoj putanj poluprečnka r brznom v po kružnom toku: a. Kolka tangencjalna la djeluje na tjelo? b. Kolk moment prozvod tangencjalna la? c. Kolk moment le prozvod normalna la? 3. Ako je ukupan moment poljašnjh la koje djeluju na tjelo nula šta e može reć o momentu mpula tjela? 4. Koj zraz povezuje tangencjalnu ugaonu brznu? 5. Kako je umjeren vektor ugaone brzne ako tjelo rotra u mjeru kazaljke na atu? 6

7 Dnamka rotaconog kretanja Centar mae tema Pomatrajmo tem koj e atoj od N četca čje u mae m1,m,...,mn, a njhov vektor položaja u pomatranom trenutku r r r 1,,...,. Centar mae defnše e kao tačka vektorom položaja: m1r1 mr... mn r rc m m... m 1 N Centar mae tema kreće e kao materjalna tačka u kojoj b bla koncentrana cjelokupna maa tema na koju b djelovala rezultantna la. Moment nercje tjela Kod rotacje krutog tjela pored mae tjela važno je kako je maa rapoređena u odnou na ou rotacje. Zato e uvod velčna koja e nazva moment nercje tjela, a predtavlja kvanttatvnu mjeru za nercju tjela pr rotaconom kretanju. Za materjalnu tačku moment nercje e može zapat u oblku: I m r gdje je m[kg] maa materjalne tačke, r[m] ratojanje materjalne tačke od oe rotacje. Kako odredt moment nercje krutog tjela? Ako kruto tjelo podjelmo na atavne djelove (četce) mae m na ratojanju r od oe rotacje moment nercje krutog tjela u odnou na ou rotacje e može dobt umranjem momenata nercje vh četca koje čne tjelo u odnou na ou rotacje zapat u oblku: n I m r. 1 Moment nercje je kalarna velčna zražava e u kg m. Iz polednje jednačne može e zaključt ljedeće: pr rotacj krutog tjela poznate mae oko nepokretne oe što je veće ratojanje materjalnh tačaka od oe rotacje to je već moment nercje krutog tjela. Međutm, ako je tjelo čj e moment nercje određuje atavljeno od kontnulanh djelova prethodn zraz e tranformše u ntegral: I r N dm N N 1 N 1 m r Izražavajuć uočen element mae dm preko gutne elementarne zapremne dv: m prethodn ntegral e vod na: dm dv I r dv 7

8 Ako je tjelo homogeno tada je gutna kontantna ntegral e može zračunat za poznatu geometrju. U lučaju tjela kod kojh potoj zražena metrja (lopta, clndar td.) moment nercje e računa relatvno lako pogodnm zborom koordnatnog tema u kojem e vrš ntegracja. Moment nercje prtena mae m poluprečnka R u odnou na ou koja prolaz kroz centar prtena normlna je na njega moment nercje emože odredt korteć zraz I r dm. Pošto u v element mae dm prtena na tom ratojanju R od oe rotacje dobja e da je moment nercje: I y r dm R m Za homogen štap dužne L mae M u odnou na ou rotacje koja je normalna na štap prolaz kroz centar štapa moment nercje e može jednotavno odredt. Ako je dx element dužne štapa čja je maa dm tada važ: M dm dx dx L Za moment nercje štapa u odnou na ou rotacje koja prolaz kroz rednu normalna je na ravan štapa (lež na pravcu y oe) dobja e: I y r dm l / x l / M L dx M L l / l / 1 x dx Ml 1 Moment nercje clndra mae M poluprečnka R u odnou na ou koja prolaz kroz centar mae clndra: 1 I MR Moment nercje lopte mae M radjua R u odnou na ou koja prolaz kroz centar mae lopte: SLIKA 8. MOMENT INERCIJE I MR 5 ŠTAPA DUŽINE L U ODNOSU NA Ukolko oa u odnou na koju e računa moment nercje štapa nje OSU KOJA PROLAZI KROZ CENTAR I NORMALNA JE NA oa koja prolaz kroz centar mae tjela za proračun momenta RAVAN ŠTAPA. nercje kort e Štajnerova teorema: Moment nercje tjela oko neke oe jednak je zbru momenta nercje u odnou na paralelnu ou koja prolaz kroz centar mae tjela prozvoda mae tjela kvadrata ratojanja zmeđu oa: 8

9 SLIKA 9.KRUTA TIJELA PRAVILNOG OBLIKA ZA KOJE JE POZNAT MOMENT INERCIJE U ODNOSU NA OSU KOJA PROLAZI KROZ CENTAR MASE TIJELA. Moment nercje štapa mae m dužne L u odnou na ou koja je normalna na štap prolaz kroz jedan njegov kraj zno: 1 I Ml 3 Što je već moment nercje tjela to je teže tjelo pokrenut z tanja mrovanja odnono potrebno je uložt već rad da b e ono pomjerlo. Takođe, ako e tjelo kreće, što je već moment nercje potrebno je uložt već rad da b e ono zautavlo nercja rotacje. Napomena: Maa je fzčka karakertka objekta dok moment nercje zav od prerapodjele mae. Rotacona energja Pomatrajmo četcu mae m koja rotra oko nepokretne oe O lnjkom brznom v na ratojanju r od oe rotacje (Slka). Knetčka energja četce mae m koja e kreće brznom v data je zrazom: E k 1 Ukupna knetčka energja krutog tjela jednaka je um knetčkh energja vh četca koje čne tjelo: n 1 Ek mv 1 Kako je lnjka brzna četce povezana a njenom ugaonom brznom zrazom zamjenom u prethodn zraz dobja e zraz za knetčku energju krutog tjela: m v n 1 Ek mr w 1 pošto je ugaona brzna w vh četca ta. Ako e za zraz u zagrad uvede nova fzčka velčna odnono moment nercje v r w, 9

10 n I m r 1. prethodna jednačna e vod na ljedeć oblk (knetčka energja rotacje) 1 Ek Iw. Jednca za knetčku energju rotacje je Džul (J). Važno je mat na umu da knetčka energja rotacje nje nov oblk energje tjela već amo uma knetčkh energja koje četce krutog tjela maju uljed rotacje. Da b e knetčka energja dobla u džulma u polednjoj jednačn neophodno je kortt w zraženo u radjanma po ekund (rad/). Polednja jednačna daje dobru nterpretacju momenta nercje: Što je već moment nercje tjela za datu ugaonu brznu veća je njegova knetčka energja rotacje. SLIKA 9. ROTACIJA KRUTOG TIJELA KOJE SE KREĆE UBRZANO OKO NEPOKRETNE OSE O. UBRZANJE A TAČKE P IMA KOMPONENTU DUŽ PRAVCA KRETANJA (TANGENTE U DATOJ TAČKI) AT I PRAVCA DUŽ RADIJUSA KRUŽNE PUTANJE AR. Moment le Kod tranlatornog kretanja zbog djelovanja la tjelo e kreće ubrzano. Po analogj kretanja potoj velčna koja tjelu koje rotra daje ugaono ubrzanje, a ta velčna e nazva moment le. Vrjednot momenta le zav od od vrjednot le, al položaja le u odnou na pravac djelovanja le u odnou na ou rotacje. Pomatrajmo kruto tjelo na koje u nekoj tačk (napadna tačka le) djeluje la ntenzteta F a mjerom kao što je prkazano na Slc (ljevo), pr čemu je O centar nercjalnog referentnog tema kroz koj prolaz oa rotacje normalna je na ravan u kojoj djeluje la. Moment le predtavlja vektork prozvod vektora r F, normalan je na ravan ovh vektora, a mjer mu e određuje pravlom denog zavrtnja (Slka): M r F gdje je r[m] ratojanje zmeđu le F (tačke u kojoj djeluje) oe rotacje (radju vektor koj paja ou rotacje napadnu tačku le), F[N] ntenztet le koja djeluje na tjelo. 1

11 Dakle, jednca za moment le je Nm. Treba obratt pažnju na to da je Nm jednca za rad energju nazva e Džul, međutm kod momenta le koj ma potpuno drugačj fzčk mao to nje lučaj. Izraz za ntenztet momenta le dobja e z prethodne jednačne razvjanjem vektorkog prozvoda: M r F n ( r, F) Moment le bće jednak nul u 3 lučaja: pravac prolaz kroz ou rotacje (r=), la je po ntenztetu jednaka nul (F=), vektor r F maju t (Q= ) l uprotan mjer (Q=18 ). Krak le d defnšemo kao najkraće ratojanje od pravca djelovanja le do oe rotacje (Slka 1 -ljevo). Tada e moment le može napat preko zraza: M d F Pravac rezultujućeg vektora nalaz e na o rotacje, ukolko prt na ruc prate redoljed množenja vektora r F, tada palac pokazuje mjer rezultujućeg vektora M. SLIKA 1. ROTACIJA KRUTOG TIJELA KOJE SE KREĆE UBRZANO OKO NEPOKRETNE OSE O (SLIKA LIJEVO). ODREĐIVANJE MJERA VEKTORA MOMENTA SILE (SLIAK U SREDINI). SMJER VEKTORSKOG PROIZVODA U ZAVINSOSTI OD REDOSLJEDA MNOŽENJA VEKTORA. U vakodnevnom žvotu e četo urećemo a pojomom prega la, npr. ruke na volanu automobla kojm upravljamo. Spreg la defnšemo kao dvje le jednakh ntenzteta, a uprotnh mjerova. Rezultanta la koje čne preg je nula, al njhov moment nje nula. Moment prega la predtavlja umu momenata la koje čne preg. Ako na tjelo djeluju dvje le F1 F u razlčtm tačkama pr čemu F1 natoj rotrat tjelo u mjeru uprotnom kazaljc na atu, a F u mjeru kazaljke na atu tada ukupan moment le u tačk O zno: M N M N 1 1 r F 11 SLIKA 11. ROTACIJA KRUTOG TIJELA KOJE SE KREĆE UBRZANO OKO NEPOKRETNE OSE O (SLIKA LIJEVO). SILE F 1 I F DJELUJU U RAZLIČITIM NAPADNIM TAČKAMA, SILI F 1 ODGOVARA KRAK SILE D 1, A SILI R KRAK SILE R.

12 Moment le ma negatvan predznak ako natoj da okrene tjelo u mjeru kazaljke na atu, a poztvan u uprotnom lučaju. Prmjenjeno na lučaj prkazan na lc: M R 1 F1 RF Poznata je Artotelova zjava: Dajte m mjeto da tanem pomjerću vjet. Artotel je znao da korteć e polugom djelujuć na jedan kraj malom lom na drugom kraju poluge (velke dužne) e može prozvet velka la. Poluga je prmjer jednotavne mašne pomoću koje e uz malu lu može pomjert tjelo velke mae. Poluga je kruto tjelo koje može rotrat oko fkne tačke l oe koja e još nazva olonac. Glavna namjena poluge jete da e prozvede velk momenat povećavanjem ratojanja zmeđu ake pravca djelovanja le. Veza zmeđu momenta le ugaonog ubrzanja Neka četca mae m rotra po kružnc radjua r pr čemu na nju djeluju tangencjalana radjalna la. Tangencjalna la ntenzteta: F ma t t aopštava materjalnoj tačk m tangencjalno ubrzanje at. Intenztet momenta le koj nataje zbog dejtva tangencjalne le e onda može zračunat na ljedeć načn: M F r ( ma t t ) r ( mr ) r ( mr ) Dobja e da je moment le tjela razmjeran ugaonom ubrzanju tjela, a kontanta razmjernot je moment nercje tjela M I Moment mpula Pomatrajmo četcu mae m koja rotra u odnou na prozvoljnu tačku referentnog tema. Neka je položaj uočene četce u odnou na referentn tem određen vektorom položaja r, a mpul uočene četce zno p. Tada moment mpula četce mae m koja rotra u odnou na ou z koja prolaz kroz koordnatn početak određen je vektorkm prozvodom vektora r p zno (Slka): L rxp Vektor L je normalana na pravac vektora r p (pravlo vektorkog prozvoda), a mjer mu je određen pravlom dene ruke (prt dene ruke pokazuju mjer rotacje r prema p, a palac pokazuje mjer vektora L ). 1

13 Poto je mpul četce p=mv, ntenztet vektora L e može zračunat kao: L r p n ( r, p) r mv n ( r, p) gdje je v[m/] brzna kojom e kreće četca, r[m] radju vektor (vektor položaja) četce, [rad] ugao koj zaklapaju vektor r p. Pr rotaconom kretanju v djelć putanje opuju kružne putanje što znač da u vektor r p međuobno normaln tako da e ntenztet vektora momenta mpula krutog tjela (lnjka brzna četce povezana a njenom ugaonom brznom zrazom v r w ) može zrazt na ljedeć načn : SLIKA 1. ROTACIJA KRUTOG TIJELA KOJE SE KREĆE L m r w UBRZANO OKO NEPOKRETNE Ukolko je vektor L umjeren duž z-oe za ugaon moment tema OSE Z. UOČENA JE ČESTICA MASE M KOJA SE NALAZI NA četca koj ma kruto tjelo dobja e: RASTOJANJU R OD OSE ROTACIJE I KREĆE L m r w m r w TANGENCIJALNOM BRZINOM 1 1 V T. L Iw Moment mpula tema četca predtavlja vektork zbr momenata mpula vh četca koje čne tem dat je jednačnom: L L1 L.. L n L Onovna jednačna dnamke rotaconog kretanja Po analogj a tranlatornm kretanjem, drug Njutnov zakon rotacje e može zrazt preko momenta mpula na ljedeć načn: dp M r F r F r dl d dp dr ( r p) r p dl dp r dl M Dakle, uma momenata poljašnjh la koje djeluju na tjelo jednaka je brzn promjene momenta mpula. Ovaj zraz predtavlja jednačnu dnamke rotaconog kretanja koja e može zapat preko momenta nercje ugaonog ubrzanja polazeć od zraza za moment mpula L=Iw: 13

14 dl z dw I I gdje je ugaono ubrzanje relatvno u odnou na z ou. Poto je dl/dz jednako momentu poljašnjh la dlz M p I Moment poljašnjh la koje djeluju na kruto tjelo koje rotra oko fkne oe jednak je prozvodu momenta nercje oko te oe ugaonog ubrzanja u odnou na tu ou. Prema zakonu održanja momenta mpula: Ukupan moment mpula tema je kontantan ako je rezultanta momenta poljašnjh la koje djeluju na njega jednaka nul. dlz M p Lz cont, L1 L Dakle, u zolovanom fzčkom temu ukupan moment mpula je kontantan. Rad, naga, energja kod rotaconog kretanja Rad koj zvrš la F djelujuć na tačku P koja rotra oko oe rotacje O može e zapat u oblku: da F d ( F n) r d Ovo je rad tangencjalne le, pošto radjalna komponenta le ne vrš rad (normalna la je okomta na pomjeraj). Korteć zraz za moment le jednačna za rad e vod na: da Md Brzna vršenja rada (naga) e može zapat u oblku: da d P M Mw Izraz za nagu kod rotaconog kretanja analogan je zrazu a nagu kod tranlatornog kretanja: P Fv Pr tranlacj rad koj zvrše poljašnje le pr kretanju tjela jednak je promjen knetčke energje. Korteć zraz za rad pr rotacj četce za kruto tjelo uopštavanjem dobja ljedeć zraz: f wf A Md w Iwdw Ukupan rad pr rotacj krutog tjela oko nepokretne oe jednak je promjen rotacone energje tjela. Po analogj a jednačnama koje opuju tranalatorno kretanje kontantnm ubrzanjem mogu e uvet jednačne koje opuju rotacono kretanje kontantnm ubrzanjem: 1 Iw f 1 Iw 14

15 F ma p mv dp mv Ek P Fv Zakon održanja mpula p cont p p... M I L Iw dl Iw Ek P Mw Zakon održanja momenta mpula L cont L L... L, 1 p n, 1 n Prmjer: Na materjalnu tačku mae 5 g koja rotra po kružnc poluprečnka 1 cm djeluje moment tangencjalne le od, mn. Kolkm ugaonm ubrzanjem e kreće materjalna tačka? Rješenje: Prvo e jednce fzčkh velčna moraju pretvort u jednce SI tema (m=5g=5x1-3kg, r=1cm=,1m). Moment tangencjalne le (djeluje pod uglom 9 o u odnou na vektor položaja materjalne tačke) je dat zrazom: M F r m a r Ubrzanje materjalne tačake zrazćemo korteć vezu zmeđu tangencjalnog ugaonog ubrzanja: r Zamjenom u zraz za moment le dobja e: Odavde je: t a t M m r M,5m N rad 5 3 mr 5x1 kg t,1 m Prmjer: Na valjak poluprečnka cm mae 15 kg namotano je uže koje e vuče lom talnog ntenzteta 1 N. Kolka je ugaona brzna valjka? (Moment nercje valjka određuje e z zraza). Rješenje: Rotacju valjka zazva moment tangencjalne le M, a on e može zrazt preko le njenog kraka, al preko momenta nercje ugaonog ubrzanja točka: M I F r Odavde je: M F r F r F 1N rad 8 I I mr mr 15kg,m Prmjer: Točak a momentom nercje 1 kgm kreće z tanja mrovanja dotže ugaonu brznu 15 rad/ pod dejtvom kontantnog momenta le Nm. Polje kolko vremena će točak da dotgne navedenu brznu kolk ukupan broj obrtaja će pr tome napravt. Kolk rad zvrš dk pr kočenju? Rješenje: Vrjeme e može odredt z zraza za ravnomjerno-ubrzano kretanje kontantm ubrzanjembez početne brzne: w wo t t 15

16 Međutm, pošto je nepoznato ugaono ubrzanje prvo je potrebno da e odred, a može e zračunat z zraza M Nm rad koj povezuje moment le moment nercje:, I 1kgm rad 15 w Dalje e zamjenom u prv zraza dobja: t 75 rad, Broj obrtaja možemo zračunat z zraza koj povezuje ravnomjerno-ubrzano kretanje a ugaonm pomjerajem: rad, 75 t t N N 89obrtaja 4 4 3,14 Rad dka pr kočenju jednak je rotaconoj energj dka: 1 1 rad A Iw 1 kgm 15 11, 5kJ Zadac za vježbu: 1.Točak razvja brznu rotacje 3 obrtaja u mnut. Kolka je naga mašne ako je moment le 5 Nm?.Klzač klže početnom ugaonom brznom 11 rad/ a rašrenm rukama, a zatm pušta ruke manjuje moment nercje 8 puta. Kolka je konačna brzna klzača ako je trenje na ledu zanemarljvo? 3.Unformna fera mae 5 kg radjua, m rotra oko oe koja prolaz kroz njen centar a perodom,7. Kolk je ugaon moment (moment mpula fere)? 4.Lopta mae M radjua R klže nz trmu ravan nagbnog ugla vne h. Odredt lnjku brznu centra mae na dnu trme ravn lnjko ubrzanje. Ptanja za provjeru znanja: 1. Kako e defnše od čega zav moment nercje tjela? Kojm e jedncama zražava?. Da l je vektork prozvod dva vektora uvjek vektor? Kako je umjeren? Koje fzčke velčne predtavljaju vektork prozvod dva vektora? 3. Kako u povezan moment le ugaono ubrzanje? 4. Šta je preg la? Objant! 5. Kolkom ugaonom brznom rotra Zemlja oko Sunca? 6. Na točak a momentom nercje 1-3 kgm djeluje moment le od 1 Nm u toku 5. Izračunat kolku ugaonu brznu dobje točak ako kretanje započne z tanja mrovanja. 7. Na tandardn CD može da e nm muzka u makmalnom trajanju od 74 mnuta 33 ekunde. Kada lušamo muzku kolko obrtaja CD naprav za to vrjeme? Izračunat kolko je ugaono ubrzanje CD-a pretpotavljajuć da e ne mjenja tokom vremena. 16

17 8. Izračunat ubrzanje kojm e kreće teg mae m, prčvršćen na kotur mae M, poluprečnka R momenta nercje I. 9. Napat onovnu jednačnu dnamke rotacje. 1. Od čega zav knetčka energja rotacje? Objant vezu a momentom nercje. 17