Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τετάρτη, 18/5/16 ΘΕΜΑ 1 ο Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα ( α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν f ( ) στο ( α, ) και f ( ) στο (, β), τότε να αποδείξετε ότι το f ( ) είναι τοπικό μέγιστο της f. Απάντηση Θεωρία, στη σελίδα 6 του σχολικού βιβλίου. Eπειδή f ( ) για κάθε (, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο α, ]. Έτσι έχουμε: ( f ( ) f ( ), για κάθε (, ]. (1) Επειδή f ( ) για κάθε (, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, β). Έτσι έχουμε: f ( ) f ( ), για κάθε [, ). () y f > f < y f > f < 5a f( ) f( ) O a β O a β Επομένως, λόγω των (1) και (), ισχύει: f ( ) f ( ), για κάθε (, ), που σημαίνει ότι το f ) είναι μέγιστο της f στο ( α, β) και άρα τοπικό μέγιστο αυτής. ( Α. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; 1
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 Θεωρία, στη σελίδα 141 του σχολικού βιβλίου. Απάντηση Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει f ( ) g( ). Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουμε f g. Α. Να διατυπώσετε το Θεώρημα της Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία Θεωρία, στη σελίδα 46 του σχολικού βιβλίου. Απάντηση Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α, β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α, β) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε: f ( ) f ( ) f ( ) Γεωμετρική ερμηνεία: Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ένα (, ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M ( ξ, f ( ξ)) να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ. y M(ξ,f(ξ)) A(a,f(a)) Β(β,f (β)) Ο a ξ ξ β Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 Απαντήσεις α) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f :,, αν G είναι μια παράγουσα της f στο,, τότε το f ( t) dt G( a) G( ) a Λάθος (διότι είναι f ( t ) dt G ( ) G ( ) ) a β) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο και ισχύει f ( ) g( ) κοντά στο, τότε lim f ( ) lim g( ). Σωστό (πρόταση στη σελίδα 166 του σχολικού βιβλίου). γ) Κάθε συνάρτηση f, για την οποία ισχύει ( ) σταθερή στο a,,. f για κάθε a,, Λάθος. (Η αντίστοιχη πρόταση δεν ισχύει γενικά σε ένωση διαστημάτων), είναι δ) Μια συνάρτηση f είναι «1-1», αν και μόνο αν, για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της, η εξίσωση y f ( ) έχει ακριβώς μία λύση ως προς. Σωστό (γνωστή πρόταση σχόλιο στο σχολικό βιβλίο). ε) Αν η f είναι συνεχής στο, ελάχιστη τιμή m., τότε η f παίρνει στο, μία μέγιστη τιμή Μ και μία Σωστό (θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, σελίδα 195 σχολικό βιβλίο). ΘΕΜΑ ο Β1. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (ως αποτέλεσμα πηλίκου παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με: Έχουμε: 1 1 1 1 f ( ), f ( ) 1 f ( ) 1 f ( ) 1
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 Επειδή η f είναι συνεχής στο, η συνάρτηση f θα είναι: Γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. Γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. Έχει ακρότατο (ολικό ελάχιστο) στο, το f (). Ο πίνακας μεταβολών (μονοτονίας-ακροτάτων) της συνάρτησης f είναι ο επόμενος: f - + f ( ) Ολ. ελάχιστο Β. Η f είναι παραγωγίσιμη στο (ως αποτέλεσμα πηλίκου παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με: Έχουμε: 1 f ( ), 1 1 f ( ) 1 1 1 f ( ) 1 1 1 f ( ) 1 ή 1 Επομένως η συνάρτηση f είναι: Κοίλη στα διαστήματα, Κυρτή στο διάστημα, και. 1 Έχει σημεία καμπής τα A, 4 και B 1, 4,.. Ο πίνακας μεταβολών (κυρτότητας και Σημείων Καμπής) της f είναι ο επόμενος: 4
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 f - + - f ( ) Β. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, οπότε δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ( lim f ( ) f ( ) ). Πλάγιες-οριζόντιες: y (, ) με: Επομένως η Ακόμα: Επομένως η Παρατηρήσεις: f ( ) 1 1 lim lim lim lim lim f ( ) lim f ( ) lim 1 1 C f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο την y 1. f ( ) 1 1 lim lim lim lim lim f ( ) lim f ( ) lim 1 1 C f έχει οριζοντια ασύμπτωτη στο την y 1. 1.Μπορούμε να παρατηρήσουμε (και να αποδείξουμε) ότι η συνάρτηση f είναι άρτια ( f ( ) f ( ), για κάθε ) και άρα θα έχει την ίδια ασύμπτωτη στο και στο, αποφεύγοντας έτσι να ξαναβρούμε τα παραπάνω όρια στο.. Μπορούμε επίσης να βρούμε την οριζόντια ασύμπτωτη στο και στο και να δικαολογήσουμε ότι μια συνάρτηση f δεν μπορεί να έχει ταυτόχρονα και πλάγια και οριζόντια στο και στο αντίστοιχα (άρα δεν θα έχει πλάγια ασύμπτωτη). 5
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 Β4. Συνοπτικά ο πίνακας μεταβολών της f είναι: f - + + - f - - + + f ( ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (αφού λάβουμε και υπόψη μας ότι είναι άρτια και θετική) είναι η επόμενη: Σημείωση: Για την σωστή παρουσίαση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f είναι χρήσιμο να παρατηρήσουμε ότι αυτή είναι άρτια και θετική ( f ( ) f ( ), για κάθε και f ( ), για κάθε, με την ισότητα να ισχύει μόνο στο, δηλαδή να διέρχεται από το Ο(,). ΘΕΜΑ ο Γ1. Η εξίσωση e έχει προφανή ρίζα το 1. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) 1, f e. Η f είναι παραγωγίσιμη στο (ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με: Έχουμε: f ( ) e e 1, 6
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 f ( ) e 1 f ( ) e 1 f ( ) e 1 e e e 1e 1, Ο πίνακας μεταβολών της συνάρτησης f είναι ο επόμενος: f - + f ( ) Επομένως, η συνάρτηση f έχει ολικό ελάχιστο στο το f () και άρα: ( ) () 1 f f e (η ισότητα ισχύει μόνο στο, αφού στα διαστήματα ος Τρόπος, και, είναι γνησίως μονότονη άρα και «1-1» ) Από γνωστή εφαρμογή του σχολικού βιβλίου (εφαρμογή /ii στη σελίδα 66) γνωρίζουμε ότι: ln 1, για κάθε (η ισότητα ισχύει για 1) Θέτοντας όπου το e (για κάθε ) έχουμε: ος Τρόπος ln e e 1 e 1e 1, για κάθε (η ισότητα ισχύει για e 1e e ). Μπορούμε να θεωρήσουμε τη συνάρτηση g( ) e 1,, να μελετήσουμε την μονοτονία και τα ακρότατά της και να πάρουμε g( ) g() g( ), για κάθε. Έπειτα να πάρουμε g( ) e 1, για κάθε. Γ. Έχουμε ισοδύναμα: f e 1 f ( ) e 1 f ( ) e 1, (Επειδή, από το προηγούμενο ερώτημα: ( ) () 1 f f e, για κάθε ). 7
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στα διαστήματα, και, και δεν έχει ρίζες σε αυτά, διότι αν υποθέσουμε ότι έχει μία ρίζα, ή,, τότε θα είναι από το θεώρημα του Fermat (που πληρούνται οι προϋποθέσεις του) ότι f ( ). Οπότε έχουμε: άτοπο. f ( ) e 1 Επομένως η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στα διαστήματα, και,. Άρα έχουμε τις περιπτώσεις:, ( ) ( ) 1 f f e, ( ) ( ) 1 f f e, ( ) ( ) 1 f f e, ( ) ( ) 1 f f e Επειδή οι ζητούμενες συναρτήσεις πρέπει να είναι συνεχείς στο (και στο με f () ) θα έχουμε: ( ) 1 f e, ή f ( ) e 1, ή f ( ) f ( ) e 1, e 1, e 1, e 1, ή Γ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με: f ( ) e e 1, Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με:, για κάθε, f ( ) 4 e e 1 και για κάθε, 8
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 (αφού e και e 1 ) Επειδή η f είναι συνεχής στο (αφού είναι συνεχής σε όλο το ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων) η f είναι κυρτή στα διαστήματα όλο το. Γ4. Προφανής λύση της εξίσωσης είναι η (την επαληθεύει). Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) f ( ) f ( ),, και,, δηλαδή σε Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (ως διαφορά και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με: g ( ) f ( ) f ( ), αφού f ( ) f ( ) ( η f γνησίως αύξουσα στο, διότι η f είναι κυρτή στο ) Έχουμε διαδοχικά για : g( ) g f f f ( ) f ( ) Επομένως μοναδική λύση της δοθείσας εξίσωσης είναι η ος Τρόπος Προφανής λύση της εξίσωσης είναι η (την επαληθεύει). Εξετάζουμε τις επόμενες περιπτώσεις ( ): 1 η περίπτωση) Αν, τότε προκύπτει η διάταξη Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για τη συνάρτηση f στο διάστημα,. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, (επομένως και συνεχής στο, ). Άρα υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 1, τέτοιο, ώστε: f 1 f ( ) f ( ) (Ι) Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για τη συνάρτηση f στο διάστημα,. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, (επομένως και συνεχής στο, ). Άρα υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε: 9
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 f f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) (ΙΙ) ( ) Τώρα έχουμε διαδοχικά από τις σχέσεις (Ι) και (ΙΙ) και αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 1 f 1 f Επειδή έχουμε: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Επομένως, η δοθείσα εξίσωση δεν έχει άλλη ρίζα εκτός από την. η περίπτωση) Αν, τότε προκύπτει η διάταξη. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για τη συνάρτηση f στο διάστημα,. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, (επομένως και συνεχής στο, ). Άρα υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, f τέτοιο, ώστε: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) (ΙΙΙ) Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για τη συνάρτηση f στο διάστημα, Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο Άρα υπάρχει ένα, τουλάχιστον 4, f 4, (επομένως και συνεχής στο, ). τέτοιο, ώστε: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) Τώρα έχουμε διαδοχικά από τις σχέσεις (ΙΙΙ) και (ΙV) και αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 4 f f 4 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) (ΙV) Επομένως, η δοθείσα εξίσωση δεν έχει άλλη ρίζα εκτός από την. Σημείωση: Ακόμα και αν, τα παραπάνω θεωρήματα και τα συμπεράσματα εφαρμόζονται χωρίς βλάβη της γενικότητας. 1
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ος Τρόπος (πρόταση Α. Συγκελάκη-mathematica.gr) Θα δείξουμε ότι η είναι μοναδική λύση της εξίσωσης. Υποθέτουμε λοιπόν, αντίθετα, ότι υπάρει που να είναι λύση της εξίσωσης. Ισύει (από τη γνωστή ανισότητα με την ισότητα μόνο για ) καθώς επίσης και. Διακρίνουμε τις επόμενες περιπτώσεις: 1 η περίπτωση) Αν, τότε και επειδή ισύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα άρα υπάρουν αντίστοιχα τέτοια, ώστε η δοθείσα εξίσωση να γράφεται: απ όπου και αφού η είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και κι έτσι παίρνουμε, πράγμα άτοπο αφού τα ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα. 1 η περίπτωση) Αν, τότε. Γράφουμε την εξίσωση στη μορφή: Επειδή ισύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα άρα υπάρουν αντίστοιχα τέτοια, ώστε η εξίσωση να γράφεται: και επειδή άρα και αφού η είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και, κι έτσι παίρνουμε, πράγμα άτοπο αφού τα ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα. Επομένως σε κάθε περίπτωση η δοθείσα εξίσωση έχει μοναδική λύση την. 4 ος Τρόπος Θεωρούμε την συνάρτηση h( t) f ( t ) f ( t), t Επομένως αρκεί να λύσουμε την εξίσωση: h h( ), Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, (ως αποτέλεσμα διαφοράς και σύνθεσης παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, ) με: 11
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 h ( t) f ( t ) f ( t), t Επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα (αφού η f είναι κυρτή) έχουμε διαδοχικά: t t f ( t ) f ( t) f ( t ) f ( t) h ( t), t Επομένως η συνάρτηση h είναιγνησίως αύξουσα στο, και άρα είναι «1-1» στο,. Άρα η δοθείσα εξίσωση για γράφεται ισοδύναμα: ( ) h h, Αφού στην ανισοισότητα το = ισχύει μόνο για (πρόταση σελίδας 171, σχολικό βιβλίο). ΘΕΜΑ 4 ο Δ1. Έχουμε διαδοχικά: f ( ) f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) f ( ) d f ( ) d f ( ) f ( ) d f ( ) f () (1) Τώρα θέτουμε f ( ) g( ) f ( ) g( ). Είναι lim g( ) 1. Έχουμε διαδοχικά: lim f ( ) lim g( ) lim g( ) lim 1 Επειδή η f είναι συνεχής στο (αφού είναι παραγωγίσιμη στο ) θα είναι: Από τη σχέση (1) έχουμε Ακόμα: f. lim f ( ) f () f ( ) f () f ( ) g( ) lim lim lim lim g( ) lim g( ) lim 11 1 Επομένως, η f είναι παραγωγίσιμη στο με f () 1. Δ. α) Έστω οτι η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο. 1
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο και το είναι εσωτερικό σημείο του, σύμφωνα με το Θεώρημα του Fermat θα έχουμε ότι f ( ). Παραγωγίζοντας τη δοσμένη σχέση (αφού τα μέλη της είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις ως πράξεις και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων) έχουμε: Για η τελευταία σχέση γίνεται: f ( ) e f ( ) 1 f f ( ) f ( ) e, e f ( ) 1 f f ( ) f ( ) e e 1e e, f ( ) Δηλαδή f f, άτοπο αφού f 1. Επομένως η συνάρτηση f δεν παρουσιάζει ακρότατο στο. β) Από το ερώτημα Δ (α) έχουμε ότι f για κάθε (δηλαδή η συνάρτηση f δεν έχει ρίζες στο και είναι επίσης συνεχής (αφού f παραγωγίσιμη στο ). Επομένως διατηρεί σταθερό πρόσημο στο και αφού f 1 (Δ1 ερώτημα) θα είναι f για κάθε, δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Δ. Αφού η συνάρτηση f είναι συνεχής στο με f Έχουμε: 1 1 1 1. θα είναι lim f ( ). Προσθέτοντας τις ποηγούμενες σχέσεις κατά μέλη και διαιρώντας με f ( ) (αφού lim f ( ) Τώρα έχουμε:, άρα f ( ) «κοντά» στο ) έχουμε: f ( ) f ( ) f ( ) lim lim και, από το κριτήριο της παρεμβολής, παίρνουμε ότι: f ( ) f ( ) lim f ( ) e f (ln ) Δ4. Για ευκολία θέτουμε 1 d. Θα δείξουμε ότι Θέτουμε Ααλλαγή μεταβλητής στο ολοκλήρωμα): 1
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 1 1 u u ln du d du d e du d u e u u ln e 1u e u Οπότε : e f (ln ) f ( u) u d e du f ( u) du 1 u e Έχουμε, αφού η συνάρτηση : f () f ( ) f ( ) f ( ) Η ισότητα στην προηγούμενη σχέση δεν ισχύει παντού και άρα: d f ( ) d d f ( ) d I ος Τρόπος Επειδή η συνάρτηση ln και η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσες (από το ερώτημα Δ(β)) έχουμε διαδοχικά: 1 e ln1 ln ln e ln f () f (ln ) f ( ) Διαιρώντας με 1, e (δηλαδή ) έχουμε: f () f (ln ) f ( ) f (ln ) Δηλαδή έχουμε τις ανισώσεις: f (ln ), 1, e και η συνάρτηση f (ln ) δεν είναι παντού (αφού π.χ για e δίνει f (ln e ) 1 ). Επομένως έχουμε: f (ln ) f (ln ), 1, παντού (αφού π.χ για 1 δίνει έχουμε: e f (ln ) d 1 e και η συνάρτηση f (ln ) δεν είναι f (ln1) f () ). Επομένως 1 1 14
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 e f (ln ) e e f (ln ) e e f (ln ) d d d d d 1 1 1 1 1 ln 1 e f (ln ) e f (ln ) e f (ln ) d 1 ln e ln1 d 1 d 1 Άρα: ος Τρόπος e f (ln ) 1 d Έστω F μία αρχική της f στο, (αυτό εξασφαλίζεται αφού η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, ). Άρα ισχύει ότι η F είναι παραγωγίσιμη με F ( ) f ( ),. Τότε ισχύει ότι: Έχουμε διαδοχικά: f (ln ) F ln, e f (ln ) e e 1 d 1 F ln d F ln 1 F ln e F ln1 F ( ) F () (*) Εφαρμοζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την F στο διάστημα, αφού F παραγωγίσιμη στο, τέτοιο, ώστε:, (άρα και συνεχής στο e, ), υπάρχει ένα, τουλάχιστον F( ) F() F( ) F() F f ( ) F( ) F() f ( ) (**) Λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (*) και (**) έχουμε: f () f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) F( ) F() Επιμέλεια λύσεων : www.mathp.gr Συντονιστής: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών 15