A Francesca, Paola, Laura



Σχετικά έγγραφα

S i L L I OUT. i IN =i S. i C. i D + V V OUT

½ Τετραγωνίζω=κατασκευάζωκάτιίσουεμβαδούμεδοθέντετράγωνο. Δείτεκαιτην υποσημείωσηστηνπρότασηβ 14. ¾

ØÖÓÒÓÑ ÈÖ Ø ÙÑ Ù Ò Ö Ò Ë Ð ØÛ ØØ Ö¹ ØÖÓÒÓÑ Íº Ù ÍÒ Ú Ö ØØ Ù ÙÖ ¹ Ò Ö ËÓÒÒ ÒÐ Ù Ñ Î ÖÐ Ù Ò Â Ö Ð ÙÒ ½ Û ÙÒ Ö ËÓÒÒ Ö Ò À ÑÑ Ð ÞÙ Ï ÒØ Ö Ò Ò Ö Ð Ò Ò Ò ÙÒ

M 2. T = 1 + κ 1. p = 1 + κ 1 ] κ. ρ = 1 + κ 1 ] 1. 2 κ + 1

v[m/s] U[mV] 2,2 3,8 6,2 8,1 9,7 12,0 13,8 14,2 14,6 14,9

ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ

arxiv: v1 [math.dg] 3 Sep 2007

Morganναδώσειμίαεναλλακτικήμέθοδο,αποδεικνύονταςπρώταότιηευθείαπουδιχοτομεί κάθεταμίαχορδήπεριέχειτοκέντροτουκύκλου. Παρ όλααυτά,καιαυτήημέθοδοςέχει

tan(2α) = 2tanα 1 tan 2 α

Î Ò È Ö Ó Ì ÈË Ì Ñ ØÙ Ò ÈÖÓÑÓ Ó Ë Ù

arxiv:quant-ph/ v1 28 Nov 2002

È ÖÖÝ Àº Ä Ó ½½¼ ÍÒ ÓÒ ËØÖ Ø Ë ¾ ½ ÀÓÐÑ Ú º ˺ Å ÒÒ ÔÓÐ ÅÆ Å ÒÒ ÔÓÐ ÅÆ ¼ ½¾¹ ¾ ¹¼» Ü ½¾¹ ¾ ¹½ ½¾¹ ¾ ¹ Ô Ð Ó ÑºÙÑÒº Ù Ù Ø ÓÒ È º º ź Ò º º Ò º Å Ø ÐÐÙ

p din,j = p tot,j p stat = ρ 2 v2 j,

Faculté des Sciences. Etude du couplage entre un algorithme génétique et des méthodes d optimisation locale

N i. D i (x) = 1 N i. D(x, x ik ). (3, 1), (3, 0.9), (3, 0.8), (3, 0.8) (4, 0), (4, 0.1), (4, 0.2). k=1. j=1


Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι. Άρης Παγουρτζής

plants d perennials_flowers

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Μαθηματική μορφολογία. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

Z

v w = v = pr w v = v cos(v,w) = v w

imagine virtuală plan imagine

¾ Ë Öö º¾º Å ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê ÞÙÐØ Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Ê ÞÙÐØ

Å Ñ ¾ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÈÙÖ Ò Ò Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º º º º º º º º º º º ½ º ÈÒ Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º º º º º º

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Σχηματισμός και αντίληψη εικόνων. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

Ç ÖÚ Ø Ö Ø Ð ÒÙ Ù Ó Ø Ò ÒØ Ö Ø º È ÖÑ ÙÒ Ð Ô ÒØÖÙ Ñ Ø Ö Ð ÔÖ ÐÙ Ø ÒÙ Ù Ó Ø Ò ÖÙØ º È Ò Ø Ø Ð Ó Ö Ô ÒØÖÙ ÔÖ ÒØ Ø Ù ÓÖ Ô ÙÒ º ÔÓ Ø Ñ º

ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ

ÌÓ ÑÝ Ñ ÐÝ Ò Ö Ò Û Ø ÓÙØ Û ÓÑ Ø ÔÖÓ Ø ÛÓÙÐ Ò Ú Ö ÓÑÔÐ Ø

f 1 : P(Y ) P(X) : B f 1 (B) {x X : f(x) B}. (X, A) f (Y, B) g (Z, C) f 1 (E) A Õ E Eº (iii) a R f 1 ([a, )) Mº (iv) a R f 1 ((, a]) Mº

Adaptive Trailing Edge Flaps for Active Load Alleviation in a Smart Rotor Configuration. DTU Wind Energy - PhD

x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2

a x = x a x. Ηθετικήλύσητηςεξίσωσηςαυτής(για a = 1)είναιοαριθμόςτου Fibonacci 5 1 φ =. 2 ΟΑριστοτέληςδενχρησιμοποιείτονόρο,αλλάπροτιμάτοκάθετος.

Role of Alumina Support in Cobalt Fischer-Tropsch Synthesis

+ m ev 2 e 2. 4πε 0 r.

p a (p m ) A (p v ) B p A p B

ca t = β 1z t 1(q t γ)+β 2z t 1(q t >γ)+ε t z t = g(x t,π)+u t

º º½ Destination-Sequenced Distance-Vector (DSDV) º º º º. º º Temporally Ordered Routing Algorithm (TORA) º º º

Ö ØÓØ Ð Ó È Ò Ô Ø Ñ Ó ÈÓÐÙØ ÕÒ ËÕÓÐ Ò ÌÑ Ñ Ö Ñ Ø Ò ÐÙ Ä ÛÒ È Ø Ó Ð Â ÐÓÒ ¾¼¼

arxiv: v3 [math.ap] 25 Nov 2009

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων. Α.-Γ. Σταφυλοπάτης.

Προσομοίωση Δημιουργία τυχαίων αριθμών

Συνεδριο Δημιουργων ΕΛ/ΛΑΚ 2009

, z = 1 ( Lψ = Eψ, E = E fixed, L = +v(x,t), = 4 z z, x R 2 ½º µ

Reserve & Trapped. Mission Fuel. Military Ordnance. Expendable Payload. Passengers + Bags ( lbs/pass.) Revenue Cargo. Non expendable Payload

½ ÍÚÓ Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÔ Ó Ò Ó Ù Ø ÓÖ Ñ Ö ÞÑ ØÖ Ò Ñ ÔÓ Ù Ú ÑÓ Ó Ö ÑÓ ÐÓö ÒÓ Ø Ø ö ÒÙ Ò Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó Ù ÔÖ Ø Ò Ñ ÔÖ Ñ Ò Ñ ö Ð ÑÓ ØÓ ÔÖ ÞÒ ÔÖÓ Ò ÑÓ Ó Ú

ΟπτικόςΠρογραμματισ μός. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος

c = a+b AC = AB + BC k res = k 1 +k 2

A Threshold Model of the US Current Account *

Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Αποκατάσταση εικόνων. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας


Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ14) Περίοδος ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η. Τότε r r b c. και ( )

Ω = {ω 1,..., ω 6 }, ω = ω 1,..., ω m 1, 6, ω 1,...,, ω j {1, 2,...5}, m 1.

Στοκεφάλαιοαυτόθαμιλήσ ουμεγιατααρχείασ τηνγλώσ σ α ºΘαχρησ ιμοποιηθούνσ υναρτήσ ειςαπότηνκαθιερωμένηβιβλιοθήκηεισ όδου»εξόδου

ΑΡΧΕΙΑ ΚΑΙ ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

Τεχνικές βασισμένες στα Δίκτυα Αναμονής Εισαγωγικά Επιχειρησιακοί νόμοι

Preisdifferenzierung für Flugtickets

Προγραμματισ μόςσ ε» ΙωάννηςΓºΤσ ούλος

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: SPLINES. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

Montreal - Quebec, Canada.

) ) u ε (t, x) = 0, t > 0, x R d, ½º½µ. R d. [ˆV επ d ( 2ξ)e i2ξ x/ε ˆV (2ξ)e i2ξ x/ε],

[Na + ] [NaCl] + [Na + ]


arxiv:math/ v2 [math.qa] 21 Sep 2009

½ È Ê Ç Î Ç Ê ÇÚ ÒÓÚ ÓØ À Ð ÖØÓÚ Ç ÒÓÚ ÓÑ ØÖ Ò Ò ÔÖ Ú ÒÓÚ ÔÖ Ö º ÍÔÖ ÚÓ Ù Ò Ò Ù ÑÓ Ò ÔÖ Ú Ñ Ò ÓÔÙÒ º Í ÓÔÙÒ I Ù ÙÔÐ Ò Ò Þ Ú ÒÓ Ø Ù Ø ÑÙ ÓÑ Ö ÐÒ ÖÓ¹ Ú

Ë Ö ½ Ç ÒÓÚÒ ÔÓ ÑÓÚ Þ Õ ÚÓ ØÚ ÐÙ ½ ½º½ ÈÖ Ñ Ø ÞÒ Õ Ö ÞÚÓ Ñ Ò ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½ ÈÖ Ñ Ø ÔÓ Ð Ñ Ò ÐÙ º º º º º º º º º º

Γραφικάμετηνχρήσ η ÛØ

Δυναμικοί τύποι δεδομένων

Á ÆÌÁ Áà ÁÇÆ ËÌÊ ÆÁ ÇÃÌÇÊËà ÁË ÊÌ Á Iº ÙØÓÖ ÁÑ ÔÖ Þ Ñ Ì Ø Ò Ð Ð ØÙÑ Ñ ØÓ ÖÓ Û ÃÖ Ù Ú Ë ßÛ Þ ÔÓ Ð Û Ø ÒØ Ò ÈÖ ÖÓ ÒÓ¹Ñ Ø Ñ Ø ÓÑ ÙÐØ ØÙ ÍÒ Ú

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Μετασχηματισμός Fourier 2-Δ ακολουθιών. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Βελτίωση εικόνων. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

Õâñéäéóìüò. Ðïéá åßíáé ç áíüãêç åéóáãùãþò ôçò Ýííïéáò ôïõ õâñéäéóìïý. Ðïéá åßíáé ôá âáóéêüôåñá åßäç õâñéäéóìïý

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΠΤΙΚΑ ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ

Δυαδικά Συστήματα. URL:

Ηυλοποίησ ητηςπαραπάνωκατηγορίαςβρίσ κεταισ τοναλγόριθμο º¾ºΗγραμμή

Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Επιλογής επόμενα. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών

THÈSE. Raphaël LEBLOIS

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: 2-Δ συνεχή σήματα. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

ÌÁ ³¼ ËØÖ ÓÙÖ Å Ö ¾¼¼ ½º½ ½»¾½ Ò Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ä³ ÒØÓÒÝÑ Ö Ñ ÖÕÙ ÕÙ ÐÕÙ Ñ Ð È Ð ÆÊ˹ ÆË¹ÍÒ Ú Ö Ø È Ö µ Ì Ä Æ ¹Ä ÌÌÁ ¾ Ôк ÂÙ Ù ¼¼ ¹ ¾ ½ È Ö Ü ¼ Ñ Ð Ð Ò Ù

Σανπρώτοπαράδειγμαχρήσ εωςτης ÉÈ ÒØ Öπαρουσ ιάζεταιέναπαράδειγμασ χεδιασ μούκύκλωνμέσ ασ εένακεντρικόπαράθυροº

Scientific knowledge is the common heritage of mankind. Abdus Salam


( + )( + + ) ( + )( + + ) ( + )( + )

x n + 2 x n+1 = x n x2 n 2 2x n, f( ) > 0 12, f( ) < 0 408

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Εισαγωγή. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας. Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

The Prime Number Theorem in Function Fields

Ì Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ ÔÖÓ ÙØ  ҹ Ö È Ò Ò Ò Ì Ö Ò ÙÐÐ Ê Ö Ò Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ê٠ ҹ ÙÖ ¼ Ä Ð Ý ¹ ÓÙ ¹ Ó Ö Ò ØÖ Ø Ì Ô Ô Ö ÚÓØ ØÓ Ø ØÙ Ý Ó Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ø Ò

Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός Ενδεκτικές ασκήσεις-απαντήσεις

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Μονοδιάσ τατοιπίνακες

ÊÁËÌÇÌ Ä ÁÇ È Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ Â ËË ÄÇÆÁÃÀË ËÉÇÄÀ Â ÌÁÃÏÆ ÈÁËÌÀÅÏÆ ÌÅÀÅ ÍËÁÃÀË Ð ÃÓÙ ÓÙÐÓ ÒÒ Å Ä ÌÀ ÆÌÇÈÁËÅ ÆÏÆ Ì Ä ÆÌÏË ÏÆ Ë ËÍËÌÀÅ Ì ÈÇÄÄÏÆ ÂÅÏÆ Ä ÍÂ ÊÁ Ë

7in x 10in Felder appm.tex V3 - May 7, :10 A.M. Page 1

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Προσεγγιστική Λύση Γραμμικών Συστημάτων. Αθανάσιος Μπράτσος

18.2 Sistemi sa eliptichkim krivama Sistem analogan PUKDH... 50

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Transcript:

A Francesca, Paola, Laura

L. Formaggia F. Saleri A. Veneziani Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica per problemi differenziali 2 3

LUCA FORMAGGIA FAUSTO SALERI ALESSANDRO VENEZIANI MOX - Dipartimento di Matematica F. Brioschi Politecnico di Milano L immagine di sfondo della copertina rappresenta una simulazione numerica del campo di moto attorno a una imbarcazione da canottaggio da competizione (per gentile concessione di CD ADAPCO Ltd. e Filippi Lido s.r.l.). Nei riquadri: in basso, geometria semplificata e griglia di un disco freno per automobili; in alto, griglia di un modello di carotide fornito da D. Liepsch e dalla F.H. di Monaco di Baviera (gentile concessione di K. Perktold e M. Prosi). Entrambe le griglie sono state generate con il codice Netgen di J. Schöberl (http://nathan.numa.uni-linz.ac.at/netgen/usenetgen.html). Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media springer.it Springer-Verlag Italia, Milano 25 ISBN 88-47-257-5 ISBN 3 978-88-47-257-9 Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all uso di figure e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla riproduzione su microfilm o in database, alla diversa riproduzione in qualsiasi altra forma (stampa o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. Una riproduzione di quest opera, oppure di parte di questa, è anche nel caso specifico solo ammessa nei limiti stabiliti dalla legge sul diritto d autore, ed è soggetta all autorizzazione dell Editore. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L utilizzo di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc, in quest opera, anche in assenza di particolare indicazione, non consente di considerare tali denominazioni o marchi liberamente utilizzabili da chiunque ai sensi della legge sul marchio. Riprodotto da copia camera-ready fornita dagli Autori Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Stampato in Italia: Signum Srl, Bollate (Milano)

ÈÖ Þ ÓÒ ÁÐ ÔÖ ÒØ Ø ØÓ Ò Ðг Ô Ö ÒÞ Ñ ØÙÖ Ø Ð ÙØÓÖ Ò ÐÐÓ ÚÓÐ Ñ ÒØÓ ÓÖ Å ØÓ ÆÙÑ Ö Ô Ö Ð³ÁÒ Ò Ö Ò Ð ÆÙÑ Ö ÐÐ ÕÙ Þ ÓÒ ÐÐ Ö Ú Ø È ÖÞ Ð Èµ Ø ÒÙØ Ô Ö Ð Ð ÙÖ ÔÖ ÑÓ ÓÒ Ó Ð Ú ÐÐÓ Ô Ö ÓÖ ÓØØÓÖ ØÓ ÔÖ Ó ÈÓÐ Ø Ò Å Ð ÒÓ ÄÓ ÒÒ Ð³ÍÒ Ú Ö Ø Ð ËØÙ Ö ÑÓº Ä³Ó ØØ ÚÓ Ø Ð ÓÖ ÕÙ ÐÐÓ ÒØÖÓ ÙÖÖ Ð ØÙ ÒØ ÐÐ Ø Ò ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÒÙÑ Ö Ô Ö È ÙØ Ð Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú Ñ ÒØ ÔÖÓ¹ Ð Ñ ÒØ Ö Ò Ò Ö Ø Óº ÍÒ ÐÐ ÓÐØ ÒÓÒØÖ ÒÓ Ò ÕÙ ØÓ Ñ ØÓ ÕÙ ÐÐ ØÖÓÚ Ö Ð Ù ØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ö Ð ÒÓÞ ÓÒ Ø ÓÖ Ð ÐÓÖÓ Ø¹ Ø ÚÓ ÙØ Ð ÞÞÓ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð º ÉÙ Ø Ö ÓÐØ ÑÔ Ö Þ ÚÙÓÐ Ö ÙÒ ÓÒØÖ ÙØÓ Ô Ö Ö Ô Ö Ô Ö ÚÚ Ò ÕÙ Ø ØÙ г Ö ÒÞ Ö Ð Ô ÖØ Ø ÓÖ Ô ØÖ ØØ ÕÙ Ø ÔÐ Ò ÕÙ ÐÐ Ô ÓÔ Ö Ø Ú º È Ö ÕÙ ØÓ ÑÓØ ÚÓ ÓÐØÖ Ö Þ Ö ØØ Ö Ñ Ó ÑÑ Ø ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ô Ò Ð ØÖÙÑ ÒØ Ðг Ò Ð ÆÙÑ Ö ØÖ ØØ Ô Ó Ø Ñ ³ Ñ ÓÖ Ñ ÒÞ ÓÒ Ø µ Ú Ò ÓÒÓ ÐØÖ ÓÒØÖ Ò Ø ÓÒ Ð Ñ ÓÐÓ µ Ò ÕÙ Ð ÐÓ ØÙ ÒØ ÒÚ Ø ØÓ Ô ÖØ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð ÓÖÑ Ð ÞÞ ÖÐÓ Ò Ø ÖÑ Ò È Ù Ú Ñ ÒØ Ú Ò Ð ÞÞ Ö Ö ÓÐÚ Ö ÒÙÑ Ö Ñ ÒØ º ÁÒ Ò Ö Ð ÑÓ Ö ØÓ ÓÒ ÒØ Ö Ú Ö Ú Ð ØØÙÖ Ù Ú Ò¹ Ó Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ð Ö Þ Ò Ô ÖØ Ø ÒØ Ò Ð Å Ø Ñ Ø Ð ÈÖÓ Ð Ñ ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÒÙÑ Ö Ò Ð Ö ÙÐØ Ø º Ð Ö Þ ÓÒØÖ Ò Ø ÓÒ µ ÒÒÓ ÙÒ Ô Ö Ö Ó ÔÖ Ð Ñ Ò Ö ØÓ ÐÐ ÓÖÑÙÐ Þ ÓÒ Ð ÅÓ ÐÐÓ Å ¹ Ø Ñ Ø Óº ÄÓ ÓÔÓ ÕÙ Ø Ù Ú ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ ÚÓÐ Ö Ò ÐÐ Ð ØØÙÖ Ó ÒØ Ö ØÓ ÓÐÓ Ð Ô ØØ Ø ÓÖ Ó ÕÙ ÐÐ Ô ÕÙ Ø Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö Ø ¹ Ò Ò Ó ÔÖ ÒØ Ð Ô Ö Ö Ó Ò Ð Ö ÙÐØ Ø Ö ÔÔÖ ÒØ ÙÒ ÔÓ³ Ð ÒØ Ö ÓÒ Ø Ð ÐØÖ Ù Ò Ð ÞÞ Ø ÙÒ Ú ÐÙØ Þ ÓÒ Ö Ø Ö ÙÐØ Ø ÓØØ ÒÙØ º Ë Ò Ð Ñ ÓÖ Ô ÖØ Ð Ö Þ ØÖ ØØ ÕÙ ÐÐ ÔÖÓÔÓ Ø ÒÞ ÓÐÙÞ ÓÒ µ Ò ÅÓ ÐÐ Ø ÆÙÑ Ö Ô Ö ÈÖÓ Ð Ñ Ö ÒÞ Ð º ÉÙ ÖØ ÖÓÒ ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ÁØ Ð ¾¼¼ µ ÕÙ ØÓ ÚÓÐÙÑ ÔÙ Ö ÑÔ ØÓ ÙØÓÒÓÑ Ñ Ò¹ Ø º Á Ö Ú Ö Ñ Ø ÓÖ ÔÓ Ø Ðг Ò Þ Ó Ó Ò Ô ØÓÐÓ Ò ÐÐ ÔÔ Ò ÒÒÓ Ò ØØ ÐÓ ÓÔÓ ÖÒ ÙÒ Ø ØÓ ÙØÓÓÒØ ÒÙØÓº

ÎÁ ÈÖ Þ ÓÒ ÁÐ Ø ØÓ ØÖÙØØÙÖ ØÓ Ò Ù Ô ÖØ Ð ÔÖ Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Þ ÓÒ Ö Ð ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ò ÒØ Ð Ø ÑÔÓº ÁÒ ÙÒÞ ÓÒ ÔÖ Ð Ñ Ò Ö ÔÖÓÔÓÒ ÑÓ ÙÒ Ô ØÓÐÓ Ö Ð Ø ÚÓ ÓÒ Ñ ÒØ Ðг ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÓÑÔÓ Ø Ø ÐÐ Ð Å ØÓ Ó Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø º Ä ÔÖ Ñ Ô ÖØ ÖØ ÓÐ Ø Ò Ô ØÓÐ ¾ º ÁÐ Ô ØÓÐÓ ¾ ÓÒ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ ØØ Ô Ö ÕÙ Ð Ð ØØ Ú Ó ÓÑ Ò ÒÓ Ð Ô ØÓÐÓ ÓÒ ÒØÖ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ØÖ ÔÓÖØÓ Ó Ö Þ ÓÒ ÓÑ Ò ÒØ Ð Ô ØÓÐÓ Ö Ó Ð Ö Þ ÙÐ Ñ ØÓ Ó ÐÐ Ö ÒÞ Ò Ø º Ä ÓÒ Ô ÖØ Ô ØÓÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ö ÓÐ Ô Ö ÓÐ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ ÐÐ ÐÓÖÓ Ö Ø ÞÞ Þ ÓÒ Ò Ø ÑÔÓ Ø ÒØÓ ÓÒ Ñ ØÓ ÐÐ Ö ÒÞ Ò Ø ÕÙ ÒØÓ ÓÒ Ñ ØÓ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ð Ô ØÓÐÓ Ðг ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÐÐ ÕÙ Þ ÓÒ Æ Ú Ö¹ËØÓ Ô Ö ÙÒ Ù Ó Ò Ø Ó Ø ÒØ º ÓÑÔÐ Ø ÒÓ Ð ÚÓÐÙÑ ØÖ ÔÔ Ò º ij ÔÔ Ò Ø Ö ÓÖ ¹ Ö ÐÙÒ ÒÓÞ ÓÒ Ðг Ò Ð Å Ø Ñ Ø Ò Ö Ô Ö ÙÒÓ ÚÓÐ Ñ ÒØÓ Ö ÓÖÓ Ó ÐÐ Ô ÖØ Ø ÓÖ Ð Ö Þ ÔÖ ÒØ Ø º ij ÔÔ Ò Ö Ñ ÐÙ¹ Ò ÓÒ Ö Þ ÓÒ Ø Ò ÙÐÐ ÔÖÓ Ö ÑÑ Þ ÓÒ Ð Ñ ØÓ Ó Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø º ij ÔÔ Ò ÚÙÓÐ ÒÚ Ö ÙÒ ÚÓÐØÓ ÕÙ ÒÓÑ Ô ÚÓÐØ Ú Ò ÓÒÓ Ø Ø Ò ÐÐÓ ÚÓÐ Ñ ÒØÓ Ð Ö Þ º Ò ÐÙÒ Ðг Ö ÙÒ Ö ÓÐØ Ó Ö Ù¹ Ø Ú ÚÙÓÐ Ö ÓÐÓ ÙÒ Ö Ò Ô Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ú ÓÒØÖ ÙØ ÒÒÓ ØÓ Ò ÕÙ Ø ÔÐ Ò º Ä ÑÙÐ Þ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÓÒÓ Ø Ø ÚÓÐØ ÓÒ Ù Ó Ô Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÙÒ Ñ Ò ÓÒ Ø ØÓ Ù ØÓ Ð Ó Å ÌÄ Ñ½ Ö ØØÓ Ð ÙØÓÖ Ö Ð ÔÖ Ó Ð ØÓ ÑÓܺÔÓÐ Ñ º Ø» Úº ÐÐÓ Ø Ó ØÓ ÔÓ Ð Ö Ö ÐØÖÓ Ñ Ø Ö Ð ÒÓÒ ØÖÓÚ ØÓ ÔÓ ØÓ Ò ÕÙ ØÓ ÚÓÐÙÑ Ô Ö Ö ÓÒ Ô Þ Óº È Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÓÖ Ó Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ñ Ú ÐÙÔÔ ØÓ ÇºÈ ÖÓÒÒ Ù ºÀ Ø ºÄ ÀÝ Ö ØØÔ»»ÛÛÛº Ö ÑºÓÖ»µ Ð Ù Ò Ö ¹ Ð Ø Ð Ù Ö ÒÞ ÐÐ ÓÖÑÙÐ Þ ÓÒ ÓÐ ÐÐ È Ò ÒÒÓ ÙÒÓ ØÖÙÑ ÒØÓ ØØ Ñ ÒØ Ú Ð Óº ÎÓ Ð ÑÓ Ö Ò Ö Þ Ö ØÙØØ ÓÐÓÖÓ ÒÒÓ Ö Ó Ñ Ð ÓÖ ÕÙ ØÓ Ð ÖÓ Ò Ô Ö¹ Ø ÓÐ Ö Ð ÈÖÓ º Ð Ó ÉÙ ÖØ ÖÓÒ ÓÐÐ Ð ØÙ ÒØ ÓÖ ÓÒ Ð ÐÓÖÓ ÓÑ Ò ÒÒÓ ÓÖÒ ØÓ Ó Ø ÒØ Ñ ÒØ ÔÙÒØ Ù Ö Ñ ÒØ º ÖÖÓÖ ÑÔÖ Ó¹ Ò ÓÒÓ ÓÚÚ Ñ ÒØ ÓÐÓ Ö ÔÓÒ Ð Ø ÒÓ ØÖ ÑÓ Ö Ø Ò ³ÓÖ ÚÓÖÖ Ò Ð Ö Ð º Ê Ò Ö Þ ÑÓ Ò Ò Ð ÓØØº Ö Ò ÓÒ ËÔÖ Ò Ö¹ÁØ Ð Ô Ö Ð Ó Ø ÒØ Ø ÑÓÐÓ Ð Ó Ø ÒÓ Ð Ô Þ ÒÞ ÑÓ ØÖ ØÓ ÙÖ ÒØ г ÒØ Ö ÔÖ Ô Ö Þ ÓÒ Ð ÚÓÐÙÑ º Å Ð ÒÓ Ñ Ó ¾¼¼ Ð ÙØÓÖ

ÁÒ ÈÖ Þ ÓÒ... Î ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø... ½ ½º½ ÓÒ Ñ ÒØ ÐÐ ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÁÐ Ó ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ÓÑÔÓ Ø º ½ ½º ÁÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ò Ô Ñ Ò ÓÒ ØÖ Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ø ººººººººººº ½º ij Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ½½ ½º Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÙÒÞ ÓÒ ØÖ Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ø ºººººººººººººº ¾ Á ¾ ÈÖÓ Ð Ñ Ø Þ ÓÒ Ö ÁÐ Ñ ØÓ Ó Ð Ö Ò¹ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓ ÐÐ ØØ Ó... ¾ ¾º½ ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ ØØ ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ºººººººººº ¾ ¾º¾ ÈÖÓ Ð Ñ ÐÐ ØØ Ò Ñ Ò ÓÒ ¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÖÓ Ð Ñ Ù ÓÒ ØÖ ÔÓÖØÓ Ö Þ ÓÒ... º½ ÓÒ Ö Þ ÓÒ ÔÖ Ð Ñ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ ØÖ ÔÓÖØÓ ÓÑ Ò ÒØ ººººººººººººººººººººººººººººººº ¾ º ÈÖÓ Ð Ñ Ö Þ ÓÒ ÓÑ Ò ÒØ ºººººººººººººººººººººººººººººººº½½¾ ÁÐ Ñ ØÓ Ó ÐÐ Ö ÒÞ Ò Ø...½¾ º½ Ê ÔÔÓÖØ ÒÖ Ñ ÒØ Ð Ò ÙÒ Ñ Ò ÓÒ ººººººººººººººººººººººº½¾ º¾ ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ñ Ò ÓÒ Ñ ÓÖ ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

ÎÁÁÁ ÁÒ ÁÁ ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÑÔÓ¹ Ô Ò ÒØ ÕÙ Þ ÓÒ Ø ÔÓ Ô Ö ÓÐ Ó...½ º½ Ö Ø ÞÞ Þ ÓÒ Ò Ø ÑÔÓ Ñ ÒØ Ö ÒÞ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ö Ø ÞÞ Þ ÓÒ Ò Ø ÑÔÓ Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ Ò Ø ººººººººººººººº¾½ ÕÙ Þ ÓÒ Ø ÔÓ Ô Ö ÓÐ Ó...¾ º½ ÈÖÓ Ð Ñ Ð Ö ØÖ ÔÓÖØÓ Ö Þ ÓÒ ºººººººººººººººººººººººº¾ º¾ Ë Ø Ñ ÕÙ Þ ÓÒ Ô Ö ÓÐ Ð Ò Ö Ð ÔÖ Ñ³ÓÖ Ò ººººººººººº¾ ÕÙ Þ ÓÒ Æ Ú Ö¹ËØÓ Ô Ö Ù Ò Ø Ó Ø ÒØ...¾ º½ ÈÖÓ Ð Ñ Ø Þ ÓÒ Ö ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº¾ º¾ ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÑÔÓ¹ Ô Ò ÒØ ººººººººººººººººººººººººººººººººººº ½ ÁÁÁ ÔÔ Ò Ê Ñ Ò Ð ÙÒÞ ÓÒ Ð... º½ Ð Þ ÓÒ ÐÐ ÕÙ Þ ÓÒ ÐÐ Ö Ú Ø Ô ÖÞ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Å ÙÖ Ä Ù ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº º ËÔ Þ À Ð ÖØ ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº º Ä ØÖ ÙÞ ÓÒ ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº º ËÔ Þ L p H s ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ¼ º ËÙ ÓÒ l p ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº º ÍÒ³ ÑÔÓÖØ ÒØ Ù Ù Ð ÒÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ØØ Ñ ÒØÓ Ñ ØÖ Ô Ö... º½ Ö Ú Ö ÑÓ Ð Ö Ñ ØÖ Ð ººººººººººººººººººººººººººº º¾ Ì Ò Ñ ÑÓÖ ÞÞ Þ ÓÒ Ñ ØÖ Ô Ö ººººººººººººººººººº º¾º½ ÁÐ ÓÖÑ ØÓ ÇÇ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º¾ ÁÐ ÓÖÑ ØÓ ÝÐ Ò ººººººººººººººººººººººººººººººººººººº º¾º ÁÐ ÓÖÑ ØÓ ËÊ ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº º¾º ÁÐ ÓÖÑ ØÓ ÅËÊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ij ÑÔÓ Þ ÓÒ ÐÐ ÓÒ Þ ÓÒ ÒÞ Ð ºººººººººººººººººººººººº ¾ º º½ Ð Ñ Ò Þ ÓÒ Ö Ð ÖØ ÒÞ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ì Ò Ô Ò Ð ÞÞ Þ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ò ÓÒ Ð ÞÞ Þ ÓÒ ºººººººººººººººººººººººººº º º ÓÒ Þ ÓÒ ÒÞ Ð Ò ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ØØÓÖ Ð º º º º º º º º º º º º ÕÙ Ò Ó... Ê Ö Ñ ÒØ Ð Ó Ö... ÁÒ Ò Ð Ø Ó... ½

½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÁÒ ÕÙ ØÓ Ô ØÓÐÓ ÒØÖÓ ÙØØ ÚÓ Ö Ó Ð ÑÓ Ò Ñ Ò Ö ÒØ Ø ÐÙÒ Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÐÐ Ø ÓÖ Ðг ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ Ò Ø º ÉÙ ØÓ ÙÒ Ð ØÓ Ô Ö ÓÖÒ Ö Ð Ð ØØÓÖ ÙÒ Ö ÓÐØ Ò Þ ÓÒ Ö ÙÐØ Ø Ô Ó Ô Ö Ò Ú Ö Ø Ø Ðг ÐØÖÓ Ô Ö ÒØÖÓ ÙÖÖ ÐÙÒ ÒÓØ Þ ÓÒ ÓÒÚ ÒÞ ÓÒ ÔÓ Ö ÔÖ Ò Ô ØÓÐ Ù Ú º ½º½ ÓÒ Ñ ÒØ ÐÐ ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ä Ø Ò Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ò Ðг ÔÔÖÓ Ñ Ö Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ Ö Ú Ø Ô ÖÞ Ð ÓÒ ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ ÑÔÐ ÔÔ ÖØ Ò ÒØ ÙÒÓ Ô Þ Ó Ñ Ò ÓÒ Ò Ø V h ÓÔÔÓÖØÙÒÓ Ø Ô Ñ ÒØ ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ØÖ ØØ ÐÓ ÐÑ ÒØ ÓÒØ ÒÙ º Ä ÔÖÓÔÖ Ø ÓÒÚ Ö ÒÞ Ð Ñ ØÓ Ó Ô Ò ÓÒÓ Ö ØØ Ñ ÒØ Ðг ÖÖÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÙÐÐÓ Ô Þ Ó Ö ØÓ V h Ó ÕÙ Ò Ð Ò Ø ØÙ Ö Ò ÓÖÑ Ò Ö Ð Ð Ø ÓÖ Ðг ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ º ½º¾ ÁÐ Ó ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ÓÑÔÓ Ø Ë ÓÒ Ö ÙÒ Ô ÖØ Þ ÓÒ ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ ØÓ [a, b] Ò n ÒØ ÖÚ ÐÐ Ñ Ö ¹ ÑÓ Ò Ð Ñ ÒØ µ K j =[V j,v j ] ÑÔ ÞÞ h j = V j V j j =,...,n n+ Ú ÖØ V i i =,...,n ÓÒ V = a V n = bº Ì Ð Ô ÖØ Þ ÓÒ Ò Ö ÑÓ ÓÒ T h (a, b) Ó Ô ÑÔÐ Ñ ÒØ T h ØØ Ö Ð ºÈ Ö Ú Ø Ö Ñ Ù Ø Ù Ö ÑÓ ÕÙ Ð Ð ØØ Ö V Ô Ö Ò Ö Ú ÖØ ÐÐ Ö Ð Ñ ÒØÖ Ö ÖÚ Ö ÑÓ Ð Ð ØØ Ö x Ô Ö ÒÓ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÓÒÓ Ò Ò Ö Ð ÙÒ ÓÚÖ Ò Ñ Ú ÖØ º Í ÑÓ

¾ ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø c) 6 7 8 9 2 3 2 3 4 4 5 5 b) K 2 2, 2, 2,2 2,3,,2 2, 2,2 2 3, 3,2 3 4, 4,2 4 5, 5,2 5 a) K K 2 K 3 K 4 K 5 2 3 4 5 ÙÖ ½º½º Ä Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÒÓ Ô Ö Ð³ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÓÑÔÓ Ø Ö Ó r>º ÁÒ a) Ð ØÖ Ò ÓÐ Þ ÓÒ Ð ÓÑ Ò Ó ÓÒ Ú ÖØ Ð Ð Ñ ÒØ K j Ò Ø ÓÒ º ÁÒ µ Ð Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÒÓ ÒØ ÖÒ Ò Ð Ó ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ù ÓÒ ÙÒ ØØ Ð Ó ÐÐ ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð Ô Ö Ð³ Ð Ñ ÒØÓ K 2º ÁÒ µ Ð ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ Ò Ð ÒÓ ÓÒ Ó Ð ÓÒ Ó Ñ ÔÖÓÔÓ ØÓ Ð Ð ØØ Ö Ñ Ù ÓÐ K Ô Ö Ò Ö Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ò ÐÓ ÕÙ ÒØÓ Ö ÑÓ Ò Ð Ó ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð º È Ö Ó ØÖÙ Ö ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖ Ä Ö Ò ÓÑÔÓ ØÓ Ö Ó r ÚÖ ÑÓ Ó ÒÓ r ÒÓ ÒØ ÖÒ ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ ÙÒ ÓÒÓ Ù ÒÓ Ø Ð ØÖ Ñ º È Ö ÙÒ K j ÒØ ÒÓ ÕÙ Ò r ÔÙÒØ Þ ÓÒ Ð ÔÖ Ò Ö ÑÓ Ô Ö ÑÔÐ Ø ÕÙ Ô Þ Ø x j,s = V j + sh j /r Ô Ö j =,...,n s =,...,r Ú Ð ÙÖ ½º½µº ÈÓÖÖ ÑÓ ÒÓÐØÖ x j, V j x j,r V j º Ë ÑÓ ÓÖ Ò Ö Ó Ò Ö Ö Ù ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ K j Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó r ÒØ ÖÔÓÐ ÒØ ÙÒ Ø ÙÒÞ ÓÒ f Ò ÔÙÒØ x j,s s =,...,r ÕÙ Ò Ó ØÖÙ Ö Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÒØ ÖÔÓÐ ØÓÖ ÓÑÔÓ ØÓº É٠سÙÐØ ÑÓ Ö Ô Ö Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÓÒØ ÒÙÓº Ä ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ s =,...,r ÒÓ Ðг ÒØ ÖÒÓ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ØØ ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð º ÓÒÚ Ò ÒØ ÕÙ Ò Ó ÒÓÒ Ò Ö Ó ÓÖÒ Ö ÙÒ³ Ò ÞÞ Þ ÓÒ ÙÒ ÚÓ Ô Ö ÒÓ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ØØ Ò ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð º ÆÓÒ Ú ÙÒ ÓÐÓ ÑÓ Ó Ô Ö ÖÐÓ ÙÒ ÔÓ Ð Ø ÓÒ Ø Ò Ð ÔÓÖÖ x k = x j,s ÓÒ k = r(j ) + s Ô Ö s =,...r j =,...,n ÔÓÒ Ò Ó Ò Ò x rn+ = x n,r º ÑÓ ÕÙ Ò ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÓØ Ð N = nr +ÔÙÒØ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ó ÒÓ x <x <...<x N º ÍÒ ÐØÖÓ Ñ ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð Ð Ö Ñ ÒØ ÓØØ ØÓ Ò Ðг Ñ ØÓ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÓÒ Ø Ò Ð ÒÙÑ Ö Ö ÔÖ Ñ Ú ÖØ ÐÐ Ö Ð ÕÙ Ò ÒÓ ÒØ ÖÒ º Ë ÓÒ Ó ÕÙ ØÓ Ñ ÕÙ ÐÐÓ ÐÐÙ ØÖ ØÓ Ò ÙÖ ½º½ Ð Ù ÒØ Ó Þ ÓÒ ØÖ ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð Ò ÐÐ ÓÖÑ (j, s) Ð ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð Ô Ö j =,...,n { j s =, (j, s) n +(j )(r ) + s, Ô Ö s =,...,r, ÓÑÔÐ Ø Ø (n, r) nº ÍÒ Ú ÒØ Ó ÕÙ ØÓ Ñ Ú ÖØ ÐÐ Ö Ð Ó Ò ÓÒÓ ÓÒ ÔÖ Ñ n + ÒÓ Ò ØØ x i = V i Ô Ö i =,...,nº Ú ÒØ Ð Ù Ø Ò ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð ÒÓ Ó Ò ÓÒÓ Ô Ö Ð Ó Ð Ò Ö ÓÚ ÒÓÒ ÒÒÓ ÒÓ ÒØ ÖÒ º

½º¾ ÁÐ Ó ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ÓÑÔÓ Ø Ë ÒØ ÖÔÓÐ ÒØ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ØÖ ØØ Ó ÓÑÔÓ ØÓµ Ö Ó Ö ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ f C ([a, b]) ÓÒ [a, b] R Ò ÒÓ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ x,...x N Ò Ø ÙÐÐ Ö Ð T h Ð ÙÒÞ ÓÒ Πh r f Ó Π r h f K j P r (K j ), j =,...,n, Π r h f(x i)=f(x i ), i =,...N, ÓÚ P r (K j ) ÐÓ Ô Þ Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Ö Ó Ð Ñ ÑÓµ r ÙÐг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ K j h =max j n h j º ÁÐ Ô Ö Ñ ØÖÓ h ØØÓ Ô Ó Ö Ð º ij ÒØ ÖÔÓÐ ÒØ Π r h f ÔÙ Ö ÔÖ Ó ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ ÓÑ ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÑÔÓ Ø Ö ØØ Ö Ø Ó Ä Ö Ò Ö Ó r φ i i =,,...,N ÓÒ Ó Ð Ö Ð Þ ÓÒ N Πh r f(x) = f(x i )φ i (x). i= Ó ÓÒÓ ÐÐ ÔÖÓÔÖ Ø ÓÒ Ñ ÒØ Ð ½º½µ φ i (x j )=δ ij, i,j =,...,N, ½º¾µ Ò Ó δ ij Ð Ñ ÓÐÓ ÃÖÓÒ Öº ÓÒ Ù ÒÞ φ i (x) = x ÒÓÒ ÔÔ ÖØ Ò ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ K j ÓÒØ Ò ÒØ Ð ÒÓ Ó x i ÕÙ Ò ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÑÔÓ Ø Ä Ö Ò ÒÒÓ ÙÔÔÓÖØÓ Ð Ñ Ø ØÓº ÍÒ³ ÐØÖ ÔÖÓÔÖ Ø ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÑÔÓ Ø Ä Ö Ò Ô Ó ÙØ Ð ÞÞ Ø Ò Ðг Ò Ð N φ i (x) =, i= x [a, b]. Ö Ú Ð ÑÑ Ø Ñ ÒØ ÓÒ Ö Ò Ó Ò ÐÐ ½º½µ г ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ Ó Ø ÒØ f =º ij ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ØÖ ØØ ÔÙ Ò Ò¹ Ø ÖÔÖ Ø Ö ÓÑ Ð³ ÔÔÐ Þ ÓÒ ÐгÓÔ Ö ØÓÖ Πh r : C ([a, b]) Xh r (a, b) Ò ØÓ ÐÐ ½º½µ Ò Ó Xh r (a, b) ÐÓ Ô Þ Ó ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ØÖ ØØ Ö Ó r ÙÐÐ Ö Ð T h X r h(a, b) {v h C ([a, b]) : v h Kj P r (K j ),j=,...,n}. ½º µ Á ÔÓÐ ÒÓÑ Ö ØØ Ö Ø Ä Ö Ò ÓÖÑ ÒÓ ÙÒ Ô Ö ÐÓ Ô Þ Ó Xh r (a, b) ÚÖ ÕÙ Ò Ñ Ò ÓÒ nr +º ijÓÔ Ö ØÓÖ Πh r Ð Ò Ö Ð Ñ Ø ØÓ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ Ö Ô ØØÓ h Ò ÐÐ ÒÓÖÑ f C ([a,b]) max a x b f(x), f C (a, b), ÖÙØØ Ò Ó Ð Ì ÓÖ Ñ ÑÑ Ö ÓÒ ËÓ ÓÐ Ú Ú Ð³ ÔÔ Ò µ Ó ÔÙ Ö Ø Ó ÙÒÞ ÓÒ ÐÐÓ Ô Þ Ó H (a, b)º ÁÒ ØØ Ó Ö ÙÐØ Ö Ð Ñ Ø ØÓ Ò Ö Ô ØØÓ ÐÐ ÒÓÖÑ H Ò Ø Ò ÐÐ º½½µ Ô ÔÖ Ñ ÒØ Ø ÙÒ Ó Ø ÒØ C r > Ø Ð v H (a, b) Π r h v H (a,b) C r v H (a,b). ½º µ

½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø φ φ i φn a b x x i x n ÙÖ ½º¾º ÑÔ ÔÓÐ ÒÓÑ Ö ØØ Ö Ø Ð Ò Ö ÓÑÔÓ Ø Ä Ö Ò È Ö ÕÙ ÒØÓ Ö Ù Ö Ð³ ÖÖÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÒÒÓ Ö ÙÐØ Ø Ù ÒØ Ú Ð Ô Ö Ó Ò v H p+ (a, b) Ô ÖÙÒ ÒØ ÖÓ p> Ô Ös =min(r, p) v Π h v H (a,b) C s,r, n j= h 2s j v 2 H 2 (K j) C s,r,h s v H s+ (a,b), ½º µ v Π hv L 2 (a,b) C s,r, n j= h 2(s+) j v 2 H 2 (K j) C s,r,h s+ v H s+ (a,b). ½º µ Æ Ð Ó Ð Ò Ö v H 2 (a, b) C,, = 5/24 C,, = 2/2º Ë ÒÚ v H (a, b) Ñ v / H 2 (a, b) ÔÙ ÓÖÒ Ö ÙÒ ÓÖ Ò ÓÐÓ ÐÐ ÓÒÚ Ö ÒÞ Ò ÒÓÖÑ L 2 Ò ØØ Ò ÕÙ ØÓ Ó n v Πhv r L 2 (a,b) C r h 2 j v 2 H (K C j) rh v H (a,b), j= Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö C = 2 ÒÓÐØÖ Ð Ù ÒØ Ö ÙÐØ ØÓ ÓÒÚ Ö ÒÞ lim v h Πr h v H (a,b) =. ½º µ Ö Þ Ó ½º¾º½ Î Ö Ö Ô Ö Ñ ÒØ ÐÑ ÒØ Ð Ù Ù Ð ÒÞ ½º µ ÔÔÐ ¹ Ò ÓÐ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ Ù ÒØ f (x) =sin 2 (3x) f 2 (x) = sin(3x) sin(3x), Ò Ðг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ (, 3) Ù Ò Ó r =, 2, 3, 4º Ë ÓÑÑ ÒØ ÒÓ Ö ÙÐØ Ø ÐÐ ÐÙ¹ Ð ØØÓ f H s (, 3) Ô Ö Ó Ò s Ñ ÒØÖ f 2 H 2 (, 3) Ñ f 2 / H 3 (, 3)º Ë Ù ÒÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÐÐ Ù Ø ÓÑÔÔÓÐÝ Ö Ð Ð ØÓ ÑÓܺÔÓÐ Ñ º Ø» Úµ Ö Ð ÙÒ ÓÖÑ ÓÒ ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ ÒØ Ô Ö 4 8 6 32 64º ËÓÐÙÞ ÓÒ ½º¾º½ Ä ÙÒÞ ÓÒ ÒØ Ð Ð ÔÖ Ó ÓÑÔÔÓÐÝ Ø Ò ÓÒÓ ÐÐ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÓÑÔÓ Ø ÐÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ð Ø Å ÌÄ Ø ÒØ Ô Ö Ð³ Ò¹ Ø ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ÑÔÐ º ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö ÓÑÔÔÓÐÝ Ø ÐÓÐ Ó ÒØ

½º ÁÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ò Ô Ñ Ò ÓÒ ØÖ Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÓÑÔÓ ØÓ Ö Ó Ò ØÓ ÓÑÔÔÓÐÝÚ Ð ÐÓ Ú ÐÙØ ÙÙÒÚ Ø¹ ØÓÖ ÔÙÒØ ØÓº ÁÒÓÐØÖ ÓÑÔÔÓÐÝ ÖÖ Ú ÐÙØ г ÖÖÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ò ÒÓÖÑ L 2 Ó H s Ô Ö ÙÒ s ÒØ ÖÓ ½ º ÄÓ Ö ÔØ Å ÌÄ ÓÒØ ÒÙØÓ Ò Ð Ð Ö Þ Ó ÓÑÔÔÓÐÝºÑ ÓÒØ Ò ÙÒ ÔÓ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг Ö Þ Óº Ó ÓÒ Ø Ò ÙÒ Ö ØØ ÔÔÐ Þ ÓÒ ÓÑ Ò ÔÖ ÒØ Ñ ÒØ Ö ØØ º Ê ÔÓÖØ ÑÓ Ð ØÖÙÞ ÓÒ Ô Ò Ø Ú Æ ½ ³ Ò Üµ Ò Üµ³ ¾ ³ Ò Üµµ Ò Üµ³ ¾ ³ Ó Üµ Ò Üµµ Ò Üµ Ò Ò Üµµµ³ ÓÖ ½ ÒØ Ñ Ñ Ð Ò Ô ½ Æ ½µ µ ¾»Æ Ó ½ ÓÑÔÔÓÐÝ Ø Ñ ½ Ö µ Ó ¾ ÓÑÔÔÓÐÝ Ø Ñ ¾ Ö µ ÖÖ½ µ ÓÑÔÔÓÐÝ ÖÖ Ó ½ ½ ½ Ñ ÒÓÖѵ ÖÖ¾ µ ÓÑÔÔÓÐÝ ÖÖ Ó ¾ ½ ß ¾ ¾Ð Ñ ÒÓÖѵ Æ ¾ Æ Ò Ð ÖÖÓÖ ÐÓÐ Ø ÓÒÓ Ö ÔÔÖ ÒØ Ø Ò ÙÒÞ ÓÒ h Ò ÐÐ ÙÖ ½º º Ë ÒÓØ ÓÑ Ò Ð Ó Ðг ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ð ÖÖÓÖ Ô Ö Ð Ù ÙÒÞ ÓÒ ÒÓ ÙÒ Ò Ñ ÒØÓ ÑÓÐØÓ Ñ Ð º ÁÐ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ñ Ö ÐÑ ÒØ ÕÙ Ò Ó ÓÒ Ö ÒÓ ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÑÔÓ Ø Ö Ó Ô Ð Ú ØÓ ÓÚ Ð Ñ ÒÓÖ Ö ÓÐ Ö Ø ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ f 2 Ð Ñ Ø Ð³ÓÖ Ò ÓÒÚ Ö ÒÞ Ö Ô ØØÓ hº ½º ÁÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ò Ô Ñ Ò ÓÒ ØÖ Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÍÒ Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ÓÑ ØÖ Óµ K ÙÒ Ò Ñ Ù Ó Ð Ñ Ø ØÓ R d ÓØØ ÒÙØÓ Ô ÖØ Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÑÔÐ K ØÓ Ø Ô Ñ ÒØ ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ ØÖ Ñ Ø ÙÒ Ñ ÔÔ ØØ Ú T K Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö ÓÐ Ö Ú Ð ÙÖ ½º µ K = T K ( K). ½º µ Æ Ð Ù ØÓ Ð Ñ ÓÐÓ Ú ÖÖ Ù ØÓ Ô Ö Ò Ö ÕÙ ÒØ Ø Ó Ø Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓº Ù ÐØ ÓÑÙÒ ÓÒÓ ÕÙ ÐÐ ÔÖ Ò Ö ÓÑ K Ð ÑÔÐ Ó ÙÒ Ø Ö Ó ¾ Ó ÐÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ Ù Ó Ò µùò Ø Ö Óº Ä Ö ÓÐ Ö Ø Ö Ø ÐÐ Ñ ÔÔ T K Ô Ò ÕÙ Ð Ô Þ Ó ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÚÙÓÐ Ó ØÖÙ Ö Ð Ö Ø È Ö Ú Ö Ö ÙÐØ Ø Ó Ö ÒØ ÓÒ Ð Ø ÓÖ ÓÓÖÖ ÐÓÐ Ö Ð ÒØ Ö Ð Ù Ò Ó ÓÖ¹ ÑÙÐ ÕÙ Ö ØÙÖ Ð Ù ÖÖÓÖ Ð Ñ ÑÓ ÐÐÓ Ø Ó ÓÖ Ò Ðг ÖÖÓÖ ÒØ ÖÔÓ¹ Ð Þ ÓÒ º ÉÙ ØÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÓÑÔÔÓÐÝ ÖÖ ÔÓ Ö ÙÐØ Ö ÓÑÔÙØ Þ ÓÒ ÐÑ ÒØ Ó ØÓ Ô Ö Ú ÐÓÖ h Ô ÓÐ r Ð Ú Ø º 2 ÁÐ ÑÔÐ Ó ÙÒ Ø Ö Ó Ò R d ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ ÓÒ d + Ú ÖØ Ù ÙÒÓ Ú Ò ÔÓ ØÓ ÓÒÚ ÒÞ ÓÒ ÐÑ ÒØ Ò ÐгÓÖ Ò Ð ÐØÖ Ù Ð ÖØ Ò ÓÖÑ ÒØ ÓÒ Ð ÔÖ ÑÓ Ð Ø ÐÙÒ ÞÞ ÙÒ Ø Ö º

½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø.2. f Π h f..2 f Π h 2 f.3.4.5 h h 2 f Π h 3 f 2 f Π h 4 f 3 4 3 h h ÙÖ ½º º ÖÖÓÖ Ò ÒÓÖÑ H (, 3) Ðг ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ÓÑÔÓ Ø Ð Ú Ö ¹ Ö hº Ä Ð Ò Ô Ò Ö Ö ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ f Ñ ÒØÖ ÕÙ ÐÐ ØÖ ØØ Ø ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ f 2 Ñ ÒÓ Ö ÓÐ Ö º Ðг ÐØÓ Ú Ö Ó Ð Ó ØÖ Ò ØÖ ÔÖ ÒØ ÑÓ Ö ÙÐØ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ r =, 2, 3 4º Á Ö Ö ÔÓÖØ ÒÓ Ò Ð Ô Ò ÒÞ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÐÐ ÓÒÚ Ö ÒÞ ÓØØ Ñ Ð Ñ Ò Ñ Ð Ð C ( K) ÓÒ ÒÚ Ö C (K) ÓÒ ÖÚ Ð³ÓÖ ÒØ Þ ÓÒ º ÉÙ ØÓ ÑÔÐ Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ Ñ ØÖ Â Ó Ò J(T K ) ÔÓ Ø ÚÓ Ù Kº Ä Ñ ÔÔ T K Ò ÐÐ ÓÖÑ T K ( x) =a K +F K x, ½º µ ÓÚ a K R d F K R d d ÙÒ Ñ ØÖ ÒÓÒ¹ Ò ÓÐ Ö ÓÒ F K > ÓÚ Ð Ñ ÓÐÓ ÔÔÐ ØÓ ÙÒ Ñ ØÖ Ò Ò Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ º ÁÒ Ö ÑÓ ÓÒ h K Ð Ñ ØÖÓ K h K =max x,x 2 K x x 2 ÓÒρ K Ð Ö Ó Ð Ñ ÑÓ Ö Ó Ö µ Ö ØØÓ Kº ÁÒ ÑÓ ÕÙ Ò Ð Ù ØÓ ÓÒ x Ð ÒÓÖÑ ÙÐ ÙÒ Ú ØØÓÖ x R d º ÍÒ ØÖ Ò ÓÐ Þ ÓÒ Ö Ð µ T h (Ω) Ω ÙÒ Ò Ñ Ð Ñ ÒØ K = T K ( K) Ø Ð Ð ÓÑ Ò Ó Ö Ø ÞÞ ØÓ Ω h Ò ØÓ Ω h =int K, K T h (Ω)

½º ÁÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ò Ô Ñ Ò ÓÒ ØÖ Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ø K y K2 T K by x T K2 bk bx ÙÖ ½º º Ù ÑÔ Ñ ÔÔ Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ K b Ð ÕÙ Ö ØÓ ÙÒ Ø Ö Ó Ò ÕÙ ØÓ Óµº T K Ò Ð³ Ð Ñ ÒØÓ Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ K = T K ( K) b Ð Ø Ö ØØ Ñ ÒØÖ K 2 = T K2 ( K) b ÔÖ ÒØ Ð Ø ÙÖÚ (,) by (,,) bz (,,) by by (,) (,) (,) bx (,,) bz (,,) (,,) by bx (,,) (,,) (,) bx ÙÖ ½º º ÈÖ Ò Ô Ð ÓÖÑ Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ b Kº ÁÒ ÐØÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ ÑÔÐ ÙÒ Ø Ö Ò R 2 R 3 º ÁÒ Ó Ð ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ Ð Ù Ó ÙÒ Ø Ö Ó (,,) bx ÙÒ³ ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ Ω Ò Ð Ò Ó lim h d( Ω, Ω h )= Ò Ó h = max K Th (Ω) h K d(a, B) Ð Ø ÒÞ ØÖ ØÖ Ù ÓØØÓ Ò Ñ A B R d ºÄ³Ó¹ Ô Ö ØÓÖ int(a) Ò Ð³ ÒØ ÖÒÓ A ÚÓ Ð ÑÓ Ò ØØ Ω h ÙÒ ÓØØÓ Ò Ñ Ô ÖØÓ R d º ÁÒ Ò Ö Ð Ω h Ω Ñ ÔÙ Ú Ö Ð³Ù Ù Ð ÒÞ Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö ØÙØØ Ú Ø ÒÞ Ö ÕÙ ÒØ µ Ô Ö ÑÔ Ó Ω ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ T K Ð Ñ ÔÔ Ò º Æ Ð Ù ØÓ Ô Ö ÑÔÐ Ø ÒÓØ Þ ÓÒ Ò Ö T h Ð ÔÓ ØÓ T h (Ω) ØÙØØ Ð ÚÓÐØ Ð ÓÒØ ØÓ ÐÓ Ô ÖÑ ØØ º Ë Ð Ñ ÔÔ T K Ò Ð Ö Ð Ú ÖÖ Ò ³ ØØ Ò º ÍÒ Ñ ÔÔ Ò T K ØÖ ÓÖÑ ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ò ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÐÐÓ Ø Ó Ö Ó P bk = P r ( K) ÐÐÓÖ P K = P r (K)º ÁÒÓÐØÖ K ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ ÐÓ Ò Kº ÁÒ Ò T K ÔÖ ÖÚ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÑÓ Ð Ø º

½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÁÒ T h ÔÓ ÑÓ ÒØ Ö Ð³ Ò Ñ V h Ú ÖØ г Ò Ñ Ð Ø E h Ò µ г Ò Ñ ÐÐ F h ÓÖÑ Ø Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ ÐÐ ÑÑ Ò Ú ÖØ Ð Ø Kº ÍÒ Ö Ð ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ µ ÓÒ ÓÖÑ Ô Ö Ó Ò ÓÔÔ K,K 2 T h ÓÒ K K 2 Ú Ð ÙÖ ½º µ K K2=, K K 2 V h E h F h. Æ Ð Ù ØÓ Ð Ø ØÓ ÓÒ Ö Ö ÑÓ ÓÐÓ Ö Ð ÓÒ ÓÖÑ º ÙÖ ½º º ÑÔ Ó ØÖ Ò ÓÐ Þ ÓÒ ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ ÓÒ ÓÖÑ Ò ØÖ µ ÒÓÒ ÓÒ ÓÖÑ ØÖ µ Æ Ð Ó Ñ Ò ÓÒ Ð Ò ÑÓ ÓÒ n v Ð ÒÙÑ ÖÓ Ú ÖØ ÙÒ Ð ¹ Ñ ÒØÓ K N e N v N l Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ ÒØ Ú ÖØ Ð Ø ÐÐ Ö Ð N l,b N v,b Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ø Ú ÖØ ÒØ ÙÐ ÓÖ Óº Ë m г Ò ÓÒÒ ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ð ÓÑ Ò Ó Ó Ð ÒÙÑ ÖÓ ÓÖ Ð ÙÓ ÒØ ÖÒÓ Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö m =Ô Ö ÙÒ ÓÑ Ò Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒÒ Ó ÐÐ ÓÖÑÙÐ ÙÐ ÖÓ Ð Ð ÒÙÑ ÖÓ Ú ÖØ Ð Ø ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ Ö Ú ÒÓ Ð Ù ÒØ ØÖ Ö Ð Þ ÓÒ ¼¼ (a) N e N l + N v = m, (b) 2N l N l,b = n v N e, (c) N v,b = N l,b. ½º½¼µ Æ Ð Ó ÙÒ Ö Ð ØÖ Ñ Ò ÓÒ Ð m Ò ÒÓÖ Ð³ Ò ÓÒÒ ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ð ÓÑ Ò Ó c b Ð ÒÙÑ ÖÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒÒ ÐÐ ÖÓÒØ Ö Ω N f Ð ÒÙÑ ÖÓ ÐÐ Ö Ð Ù N f,b ÓÒÓ ÙÐ ÓÖ Ó (a) N e N f + N l N v = m c b, (b) 2N f N f,b = n v N e, (c) N v,b + N f,b = N l,b +2(c b m). ½º½½µ ÁÒ ÒØÖ Ñ ÙÒØÓ Ω ÙÒ ÓÑ Ò Ó ÓÒÒ Ó Ó ÒÓÒ ÓÖÑ ØÓ ÐÐ ÙÒ ÓÒ Ô ÖØ ÙÒØ º Ê ÓÖ ÑÓ Ò Ò ÙÒ Ñ Ð Ö Ð {T h (Ω)} h Ô Ö Ñ ØÖ ÞÞ Ø h Ö ÓÐ Ö γ > Ø Ð h > γ K = h K ρ K γ, K T h (Ω). ½º½¾µ

½º ÁÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ò Ô Ñ Ò ÓÒ ØÖ Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ä Ó Ø ÒØ γ Ñ Ø Ó Ø ÒØ Ö ÓÐ Ö Ø Ó Ö Øµº Í Ö ÑÓ Ð Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ö ÓÐ Ö Ô Ö ÖÑ Ö ÙÒ Ö Ð ÔÔ ÖØ Ò ÙÒ Ñ Ð ÓÔÔÓÖØÙÒ Ö Ð Ö ÓÐ Ö º Ö Þ Ó ½º º½ ÍÒ Ò Ö ØÓÖ Ö Ð ÓÖÑ Ø Ø ØÖ Ö ÓÖÒ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ ÒØ N e Ð ÒÙÑ ÖÓ Ú ÖØ N v Ð ÒÙÑ ÖÓ ÓÖ Ó N f,b Ð Ñ ÓÖ Ô ÖØ Ò Ö ØÓÖ Ö Ð Ò Ö Ó ÓÖÒ Ö ÕÙ Ø Ø µº Ë ÚÓÒÓ ÙØ Ð ÞÞ Ö Ú ØØÓÖ Ô Ö Ñ ÑÓÖ ÞÞ Ö Ø Ó Ø ÐÐ ÐØÖ ÕÙ ÒØ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ø ºµº ÉÙ Ð ÔÓ ÓÒÓ Ö Ñ Ò ÓÒ Ø ÒÞ ÓÒÓ Ö Ð ÓÒÒ ØØ Ú Ø Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÓ ÓÖ Ó ËÓÐÙÞ ÓÒ ½º º½ È Ö ÙÒ Ø ØÖ ÖÓ n v =4 Ö Ú ÑÓ ÐÐ ½º½½¹bµ N f = 2N e + N f,b º ÁÐ ÓÖ Ó ÙÒ Ö Ð Ø ØÖ Ö ÙÒ ØÖ Ò ÓÐ Þ ÓÒ ÙÒ Ù¹ 2 Ô Ö Ù Ó ÒÞ ÓÖ Óµ ÓÖÑ Ø Ð Ñ ÒØ ØÖ Ò ÓÐ Ö º Ä Ö Ð Þ ÓÒ Ò ½º½¼¹bµ ÔÙ ÙÒÕÙ Ö ÖÙØØ Ø Ö ÓÖÑÙÐ Ò ÓÐ ÓÔÔÓÖØÙÒ Ñ ÒØ º ÁÒ ØØ Ò Ð ÓÒØ ØÓ ÐÐ ØÖ Ò ÓÐ Þ ÓÒ Ö ÔÔÖ ÒØ ÒØ Ð ÓÖ Ó ÙÒ Ö Ð ØÖ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ N l Ò ÐÐ ½º½¼¹bµ ÒØ Ò Ö N l,b Ð Ø ÐÐ ÙÔ Ö Ð ÓÖ Ó T h ÓÒÓ Ú ÒØ Ñ ÒØ Ð Ø ÓÖ Óµ Ñ ÒØÖ Ð Ø ÖÑ Ò N l,b ÐÐ ½º½¼¹bµ ÕÙ ÒÙÐÐÓ Ò ÕÙ ÒØÓ Ð ÙÔ Ö Ù º ÁÒ Ò N e ÐÐ ½º½¼¹bµ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö¹ ÓÑ N f,b Ò ÕÙ ÒØÓ Ð Ð Ñ ÒØ ÐÐ ØÖ Ò ÓÐ Þ ÓÒ ÙÔ Ö Ð ÓÒÓ ÔÖÓÔÖ Ó Ð Ð ÓÖ Ó T h º ÇØØ Ò ÑÓ ÕÙ Ò Ð Ö Ð Þ ÓÒ 2N l,b =3N f,b ÙÒÕÙ N l,b = 3 2 N f,bº ÁÐ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÒØÓ ØØÓ Ð ÐØÖ Ú ØØÓÖ Ö ÓÒÓ Ö Ð Ö ¹ Ó ÓÒÒ ÓÒ Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÓ ÓÖ Óº ËÙÔÔÓÒ ÑÓ c b = ÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒÒ µ m = ÓÑ Ò Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒÒ Óµº ÐÐÓÖ N v,b =2+N l,b N f,b =2+ 2 N f,b N l = N v + N f N e 2º Ë K ÙÒ ÑÔÐ Ó ÓØØ Ô Ó ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ø Ô ÖØ ÓÐ Ö ØØ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ ξ =(ξ i,...,ξ d+ )º Ë ÒÓ {V i,i=,...,d+} Ú ÖØ Ð ÑÔÐ Ó K x ÙÒ ÔÙÒØÓ R d º ÁÒ ÑÓ ÓÒ V i,j Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ j Ð Ú ÖØ V i Ò ÑÓ... V,... V d, V d+, K. ½º½ µ º º V,d... V d,d V d+,d ÆÓØ ÑÓ K = ±d! K ÓÚ ÔÔÐ ØÓ ÙÒ Ò Ñ R n Ò Ò Ð Ñ ÙÖ Ö Ó ÚÓÐÙÑ µ Ñ ÒØÖ Ð ÒÓ Ø ÖÑ Ò ØÓ ÐÐ ÓÖ ÒØ Þ ÓÒ Ð ÑÔÐ Óº ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð ÒÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ò Ù Ñ Ò ÓÒ Ú ÖØ K ÓÒÓ ÓÖ ÒØ Ø Ò Ú Ö Ó ÒØ ÓÖ Ö Ó Ñ ÒØÖ Ò ØÖ Ñ Ò ÓÒ ÙÓÒÓ Ð Ó ØØ Ö ÓÐ

½¼ ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø V 3 V 4 y V V 2 z y V V 3 x ÙÖ ½º º ÓÒÚ ÒÞ ÓÒ Ô Ö Ð³ÓÖ ÒØ Ñ ÒØÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ú ÖØ ØÖ Ò ÓÐ Ø ØÖ Ö V 3 V 4 x V 2 K 2 K 2 K K K 3 x x V 3 V K 3 K 4 V 2 V ÙÖ ½º º Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ Ð ÔÙÒØÓ x Ò Ð Ó ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ V 2 ÐÐ Ñ ÒÓ ØÖ º Ë K ÔÓ Ø ÚÓ K ÓÖ ÒØ ØÓ ÔÓ Ø Ú Ñ ÒØ Ú Ð ÙÖ ½º µº È Ö j =,...,d+ Ò ÑÓ ÓÒ K j (x) Ð ÑÔÐ Ó ÓØØ ÒÙØÓ K Ó Ø ØÙ Ò Ó Ð Ú ÖØ V j ÓÒ Ð ÔÙÒØÓ Ò Ö Ó xº Ë Ò Ð j¹ Ñ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ Ð ÔÙÒØÓ x Ó Ø Ð ÑÔÐ Ó K Ú Ð ÙÖ ½º µ ÓÑ ξ j (x) K j(x), Ô Ö j =,...,d+. ½º½ µ K ij ÒØ Ö Ò ÐÐ³Ù Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ Ö Ò Ð ØØÓ ÓÒÓ ÒÚ Ö ÒØ Ö Ô ØØÓ ÙÒ ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ Ò º Ë T K Ð Ñ ÔÔ Ò Ð ÑÔÐ Ó ÙÒ Ø Ö Ó K K Ð Ö Ð Þ ÓÒ Ù ÒØ ØÖ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ ÖØ Ò Ö Ö Ø Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ K ξ = d x s, ξ j+ = x j, j =,...,d. ½º½ µ s= Á ÈÖÓ Ö ÑÑ ½ ¾ ÑÓ ØÖ ÒÓ ÓÑ ÔÙ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð ÐÓÐÓ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø ÖØ Ò Ó Ø Ò Å ÌÄ º

½º ij Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ½½ ÈÖÓ Ö ÑÑ ½ ¹ ÖÓÓÖ ÐÓÐÓ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ x Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÑÔÐ Ó K ÙÒØ ÓÒ Ü ÖÓÓÖ Ã Üµ ± à ³ ÙÒ Ñ ØÖ Ñ Ò ÓÒ ½µ ÓÒØ Ò ÒØ Ò Ó Ò ÓÐÓÒÒ ± Ð ÓÓÖ Ò Ø Ð Ö Ð Ø ÚÓ Ú ÖØ Ð ÑÔÐ Óº ± Ü ³ ÙÒ Ú ØØÓÖ ÓÐÓÒÒ Ñ Ò ÓÒ ½µ ± ÁÐ Ú ØØÓÖ ÓÐÓÒÒ Ü ÓÒØ Ò Ð ½ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ º ÓÒ ½ µ à ½ Ü Ü ÈÖÓ Ö ÑÑ ¾ ¹ ÓÓÖ Ö ÐÓÐÓ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø ÖØ Ò Ð ÔÙÒØÓ x Ó ØÓ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÑÔÐ Ó K ÙÒØ ÓÒ Ü ÓÓÖ Ö Ã Ü µ ± à ³ ÙÒ Ñ ØÖ Ñ Ò ÓÒ ½µ ÓÒØ Ò ÒØ Ò Ó Ò ÓÐÓÒÒ ± Ð ÓÓÖ Ò Ø Ð Ö Ð Ø ÚÓ Ú ÖØ Ð ÑÔÐ Óº Ü Ã Ü ½º ij Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ÁÐ Ñ ØÓ Ó Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÙÐÐ Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÙÒÓ Ô Þ Ó ÙÒÞ ÓÒ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò Ø Ð Ø ÔÓ X h (Ω h ) {v h : v h V (Ω h ), v h K P (K), K T h }, ½º½ µ ÓÚ V (Ω h ) ÙÒÓ Ô Þ Ó ÙÒÞ ÓÒ Ð Ò ØÓ P (K) ÙÒÓ Ô Þ Ó Ñ Ò ÓÒ n l Ò ØÓ ÙÐ Ò ÓÐÓ Ð Ñ ÒØÓ ÓÑ ØÖ Óµ Kº ÉÙ Ò ÐÓ Ô Þ Ó X h (Ω h ) Ò Ð Ù ØÓ Ò Ö ÑÓ Ô Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ X h Ó ØÖÙ ØÓ Ñ Ð Ò Ó ÙÒ¹ Þ ÓÒ Ò Ø Ù ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ K ÐÐ Ö Ð Ò Ñ Ò Ö ÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ò ÐÓ Ñ ØØÓ Ò Ô ÓÑÔÐ µ ÐÐ Ó ØÖÙÞ ÓÒ Ð Ô Þ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ØÖ ØØ Ú Ø Ò Ð Ó ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð º ÑÓ Ö ØÓ X h ÙÒ ÓØØÓ Ô Þ Ó V (Ω h )º Ë Ò ÕÙ ØÓ Ó X h ÓÒ ÓÖÑ ÐÐÓ Ô Þ Ó V ÓV ¹ÓÒ ÓÖÑ º ÍÒ Ó ÒÓØ ÚÓÐ Ð ÓÒ ÓÖÑ Ø C ÑÔÐ Ð ÓÒ ÓÖÑ Ø H ÔÙÖ P (K) H (K) Ô Ö Ó Ò K Ú ÉÎ µº Ä Ñ Ò ÓÒ ÐÐÓ Ô Þ Ó X h (Ω h ) Ò Ø ÓÒ N h º Ë ÐÓ Ô Þ Ó X h ÔÔÖÓ Ñ V X h V ÕÙ Ò Ó h Ò Ð Ò Ó Ø ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ v V Ô Ö Ó Ò ɛ> Ø ÙÒ h Ø Ð Ô Ö Ù inf v v h V ɛ h h. v h X h

½¾ ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Á Ö Ð ÖØ Σ = {σ i : X h R,i=,...,N h } ÓÒÓ ÙÒ Ò Ñ ÙÒÞ ÓÒ Ð Ð Ò Ö ÓÒØ ÒÙ Ù X h Ø Ð Ô Ö Ù Ð³ ÔÔÐ Þ ÓÒ v h X h (σ (v h ),...,σ Nh (v h )) R N h ÙÒ ÓÑÓÖ ÑÓº ÁÒ ÐØÖ Ô ÖÓÐ ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ v h X h Ò Ú Ù Ø ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ Ð Ú ÐÓÖ Ö Ð ÖØ σ i (v h ) i =,...,N h º ÉÙ Ø Ò Þ ÓÒ ÑÓÐØÓ Ò Ö Ð ÒÐÙ ÓÑ Ó Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð Ð Ñ Ò¹ Ø Ò Ø Ä Ö Ò Ò Ö ÔÔÖ ÒØ ÒÓ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÙØ Ð ÞÞÓ Ô ÓÑÙÒ Ô Ö ÕÙ Ð Ö Ð ÖØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÓÒÓ Ú ÐÓÖ v h Ò ÔÙÒØ N i ÓÔÔÓÖØÙÒ Ñ Ø ÒÓ Ó σ i (v h )=v h (N i )º Å ÔÓ ÓÒÓ Ö ÐØ Ú Ö Ô Ö ÑÔ Ó Ò Ð Ð Ñ ÒØ Ê Ú ÖØ¹Ì ÓÑ Ö Ð ÖØ ÓÒÓ Ù ØØÖ Ú Ö Ó Ð Ø ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ K Ñ ÒØÖ Ò Ð Ð Ñ ÒØ Ø ÔÓ À ÖÑ Ø ÓÒÓ C ¹ÓÒ ÓÖÑ µ Ö Ð ÖØ ÒÐÙ ÓÒÓ Ò Ð Ö Ú Ø v h ÒÓ º È Ö Ô ØØ Ð Ù ÕÙ Ø Ø Ô Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ð Ð ØØÓÖ ÔÙ ÓÒ ÙÐØ Ö Ô Ö ÑÔ Ó ¼ ÉÎ ÍÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö X h Ø ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ {φ i, i =,...,N h } Ø Ð φ i X h σ i (φ j )=δ ij ºÄ ÙÒÞ ÓÒ φ i ÓÒÓ ÒÓÑ Ò Ø ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ Ó Ò ÙÒÞ ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø º Æ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ä Ö Ò Ò Ð Ö Ð Þ ÓÒ φ i (N j )=δ ij, i,j =,...,N h ½º½ µ Ò ÐÓ ÕÙ ÐÐ Ú Ø Ò Ð Ó ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð º Ç Ò v h X h ÔÙ Ö ÔÖ Ó Ò ÐÐ ÓÖÑ N h v h (x) = σ i (v h )φ i (x). ½º½ µ i= ÄÓ Ô Þ Ó X h Ú Ò Ó ØÖÙ ØÓ Ô ÖØ Ö Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ÒØ ØÓ Ðг ¹ Ð Ñ ÒØÓ ÓÑ ØÖ Ó K ÐÐÓ Ô Þ Ó P (K) Ñ Ò ÓÒ n l Ö Ð ÖØ ÐÓ Ð Σ K = {σ K,i : P (K) R,i=,...,N l } Ø Ð Ô Ö Ù Ð³ ÔÔÐ Þ ÓÒ p P (K) (σ K, (p),σ K,2 (p),...,σ K,nl (p)) R n l ÙÒ ÓÑÓÖ ÑÓº Ò ÕÙ ÒØ ÑÓ ÙÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö P (K) Ó Ø Σ K {φ K,i, i =,...n l } Ù Ð Ñ ÒØ Ó ÒÓ σ K,i (φ K,j )=δ ij º Í Ò Ó Ø Ð Ó Ò p P (K) ÔÙ Ö Ú Ö Ò ÐÐ ÓÖÑ N l p(x) = σ K,i (p)φ K,i (x) Ô Ö x K. i= Ä ÙÒÞ ÓÒ φ K,i ÓÒÓ Ñ Ø ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ ÐÓ Ð Ó ÙÒÞ ÓÒ ÐÓ Ð Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ðг Ð Ñ ÒØÓ Kº Ë Ð Ö Ð Þ ÓÒ Ù ÒØ Ð Ð ÙÒÞ ÓÒ Ò Ø ÐÓ ÐÑ ÒØ ÕÙ ÐÐ ÐÓ Ð φ i K = φ K,νK (i), K T K,

½º ij Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ½ ÓÚ ν K (i) n l Ð ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ φ i Ö Ð Ø Ú Ñ Ò¹ Ø Ðг Ð Ñ ÒØÓ Kº Ò ÐÓ Ñ ÒØ σ i (p) =σ K,νK (i)(p K ) p X h ºÁÐÑ ØÓ Ó Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÖÙØØ Ø Ñ ÒØ Ð ÔÓ Ð Ø Ð ÚÓÖ Ö ÐÓ ÐÑ ÒØ ÙÐ Ò ÓÐÓ Ð Ñ ÒØÓ K ÓÑ Ú Ö Ù Ú Ñ ÒØ º È Ö Ú Ö ÙÒÓ Ô Þ Ó X h V ¹ÓÒ ÓÖÑ Ò Ö Ó P (K) V (K) Ñ ÕÙ ØÓ ÒÓÒ Ù ÒØ Ó Ò Ò Ò Ö Ð Ø Ð Ö ÐÐ ÓÒ Þ ÓÒ Þ ÓÒ Ð ÓÑ Ú Ö ÑÓ Ò Ð Ö Þ º ÍÒ³ ÐØÖ Ö ØØ Ö Ø Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ð Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÐÐÓ Ô Þ Ó P (K) Ú Ò ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ù Ø Ô ÖØ Ò Ó Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ K ÙÒÓ Ô Þ Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ò ØÓ Ù K P ( K) P r ( K) Ô Ö ÙÒ ÕÙ Ð ÒØ ÖÓ r º ÉÙ ØÓ ÑÓ Ó ÔÖÓ Ö ÑÓ Ó Ö ÓÒ ÔÖ Ø Ô Ó Ô Ð Ò Ö P ( K) ØÓ K ÙÒ ÓÖÑ ÑÔÐ Ô ÙØØÓ ØÓ Ö ØØ Ñ ÒØ P (K)º Á Ö ¹ Ð ÖØ ÙÐг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ Ö ÒÒÓ Ò Ø ÓÒ Σ = { σ, σ 2,..., σ nl } Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ { φ,..., φ nl }º Ë ÒÓÖ Ð Ö Ð Þ ÓÒ ÓÒ¹ Ñ ÒØ Ð σ i ( φ j )=δ ij ÕÙ Ò p( x) = n l i= σ i( p) φ i ( x)º Æ Ð Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ä Ö Ò Ò Ð Ð Ñ ØÖ ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ p P ( K) Ð ÓÖÖ Ô ØØ Ú ÙÒÞ Ó¹ Ò p P (K) ÙÐг Ð Ñ ÒØÓ ÓÖÖ ÒØ K ÔÖ Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ñ Ó ÓÓÖ Ò Ø Ò ÓØØ ÐÐ ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ T K Ó p(x) = p(t K (x)). ½º½ µ È Ö ÕÙ ÒØÓ Ö Ù Ö Ð Ö Ð Þ ÓÒ ØÖ ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ φ K,i = φ i T º Ë K ÒÓØ ØÙØØ Ú ÕÙ Ø ÐØ ÒÓÒ ÓÒÓ ÑÔÖ ÓÔÔÓÖØÙÒ Ô Ö Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÒÓÒ Ä Ö Ò Ò º ÁÐ Ð ØØÓÖ ÒØ Ö ØÓ ÔÙ ÓÒ ÙÐØ Ö ¼ º Ò Ð ÞÞ ÑÓ ÓÖ Ô Ò Ð ØØ Ð Ó Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ä Ö Ò Ò ÓÒÓ ÙØ Ð Þ¹ Þ Ø Ô Ö Ó ØÖÙ Ö Ô Þ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð C ¹ÓÒ ÓÖÑ º ÁÒ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ä Ö Ò ÒÓ Ö Ó r P ( K) P r ( K) Ú Ò ÓÒÓ Ò Ú Ù Ø ÔÙÒØ N i K i =,...,n l ØØ ÒÓ Ö Ð ÖØ ÓÒÓ Ø Ú ÐÓÖ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ Ò ÒÓ º ËÙй г Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐÓÖ σ i ( p) = p( N i ) Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ Ö Ð ÖØ ÙÐг Ð Ñ ÒØÓ ÓÖÖ ÒØ K ÓÒÓ Ø φ K,i = φ i T K σ K,i (p) =p(n K,i ) ÓÚ N K,i = T K ( N i ) гi¹ ÑÓ ÒÓ Ó ÙÐг Ð Ñ ÒØÓ ÓÖÖ ÒØ Kº Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ä Ö Ò Ò ÙØ Ð ÞÞÓ Ô ÓÑÙÒ ÓÒÓ Ó ØØ Ð Ñ ÒØ P r Ò ÕÙ Ð K Ð ÑÔÐ Ó ÙÒ Ø Ö Ó P ( K) =P r ( K) T K Ð Ñ ÔÔ Ò º ÁÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ô Þ Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ú ÖÖ Ò ØÓ ÓÒ Xh r(ω h) Ó Ô Ñ¹ ÔÐ Ñ ÒØ Xh r º ØÓ ÙÒ Ñ ÔÔ Ò ØÖ ÓÖÑ ÔÓÐ ÒÓÑ Ò ÔÓÐ ÒÓÑ ÐÐÓ Ø Ó ÓÖ Ò ÔÙ Ò Ò Ö ÓÑ X r h = {v h C (Ω h ): v h K P r (K), K T h }. ½º¾¼µ ÁÒ ÙÖ ½º ÐÐÙ ØÖ ÑÓ ÔÖ Ò Ô Ð Ð Ñ ÒØ P r Ù ÓÖÒ ÑÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ò ÙÒÞ ÓÒ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ ºÈ Ö Ð ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð ÒÓ Ù ÐÓ Ñ Ù ÒØ г Ò ÒÓ Ó ÕÙ Ò ØÓ ÓÒ n Ú Ò Ú ÒÞ ØÓ ÒÖ Ñ ÒØ Ò Ó Ð Ò i j k ÒØ Ö Ø Ò Ó Ú Ö Ö Ô

½ ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ú ÐÓ Ñ ÒØ г Ò Ô Ø ÖÒÓº ÁÒ ÕÙ ØÓ ÑÓ Ó Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒÞ ÓÖÖ ØØ ÓÒ Ð ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÒÓ ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ ½º Ö ÓÖ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ô Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ô Ö n l = d d! j= (r + j)µºë ÒÓØ ÑÓ ÒÙÑ Ö ØÓ ÔÖ Ñ ÒÓ Ú ÖØ ÔÓ ÒÓ ÒØ ÖÒ Ð Ø ÕÙ Ò ÕÙ ÐÐ ÒØ ÖÒ ÐÐ Ò µ Ò Ò ÕÙ ÐÐ ÒØ ÖÒ Ðг Ð Ñ ÒØÓº Ä ÔÖ ÓÒ ÓÖÒ ÑÓ Ò Ù ØÓ ÓÒÓ Ú Ð Ò 2 Ò 3 Ñ Ò ÓÒ º È Ö r = Ð Ñ ÒØ P ÓÐ Ò Ö µ φ n = ξ i, i d + n =,...,d+. È Ö r =2 Ð Ñ ÒØ P 2 Ó ÕÙ Ö Ø µ φ n = ξ i (2ξ i ), i d + n =,...,d+, φ n =4ξ i ξ j, i<j d + n = d +,...,n l. È Ö r =3 Ð Ñ ÒØ P 3 Ó Ù µ φ n = 2 ξ i(3ξ i )(3ξ i 2), i d + n =,...,d+, φ n = 9 2 ξ i(3ξ i )ξ j, i<j d + n = d +,...,3d +, φ n = 9 2 ξ j(3ξ j )ξ i, i<j d + n =3d +2,...,5d +, φ n =27ξ i ξ j ξ k, i<j<k d + n =5d +2,...,n l. ½º¾½µ P P 2 P 3 bx 2 bx 2 bx 2 3 3 3 5 6 8 9 5 6 2 4 2 4 7 2 bx bx bx bx 3 bx 3 bx 3 4 3 bx 2 4 7 9 6 3 bx 2 8 4 3 7 6 3 5 9 2 8 2 9 6 7 bx 2 4 8 2 5 2 5 2 bx bx bx ÙÖ ½º º Á ÔÖ Ò Ô Ð Ð Ñ ÒØ P r Ð ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð ÒÓ º È Ö Ö Ò Ö Ð ÙÖ Ö Ð Ø Ú Ð Ø ØÖ ÖÓ P 3 Ô Ð Ð ÒÓ ÒØÖ ÐÐ ÓÒÓ Ø Ø Ú ÒÞ Ø ÓÒ ÙÒ ÖÓ

½º ij Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ ½ È Ö ÕÙ ÒØÓ Ö Ù Ö Ð ÓÓÖ Ò Ø ÒÓ Ð Ò Ø Ó ØÖÙ Ö ÔÔÖÓ Ñ Þ Ó¹ Ò ÐÓ ÐÑ ÒØ C Ö ÒÓ ÒØ ÖÒ ÙÒ Ð ØÓ ÒÓ ÑÑ ØÖ Ö Ô ØØÓ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð Ð ØÓ Ø Ó Ñ ÒØÖ ÒÓ ÒØ ÖÒ ÐÐ ÚÓÒÓ Ö Ñ¹ Ñ ØÖ Ö Ô ØØÓ ÐÐ Ð Ò Ñ Ò ÐÐ º Ë Ó ÒÓÒ Ó ÒÓÒ Ö Ò ØØ ÔÓ Ð Ó ØÖÙ Ö ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ñ Ð Ò Ó Ð ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ ÐÓ Ð Ù ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ÙÒ Ö Ð Ö Ø Ö º Ë ÒÓØ Ð ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÐÓ Ð ÒÓ ØØÓ Ö ØÖ Ö º Ä ÐØ ÕÙ ÓØØ Ø Ø Ø ØØ Ô Ö ÓÒÚ Ò ÒÞ Ò ÕÙ ÒØÓ ÙÒ Ð ØÓ ÓÒ ÒØ Ö Ú Ö Ð³ ÔÖ ÓÒ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ Ò ÑÓ Ó Ñ Ø Ó Ðг ÐØÖÓ Ô ÖÑ ØØ Ò Ú Ù Ö ÑÑ Ø Ñ ÒØ ÙÒ ÒÓ Ó Ú ÖØ ÒØ ÖÒÓ ÙÒÐ ØÓÓ ÒØ ÖÒÓ ÙÒ º Ö Þ Ó ½º º½ Ë Ú Ö Ð ÙÒÞ ÓÒ Ò Ø Ò ½º¾½µ ÓÒÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ Ô Ö Ð Ñ ÒØ Ä Ö Ò Ò P 2 Ò Ù ØÖ Ñ Ò ÓÒ º ËÓÐÙÞ ÓÒ ½º º½ Ó ÑÓ Ú Ö Ö Ð Ö Ð Þ ÓÒ ÒÓÒ φ i ( N j )=δ ij ÓÚ N j ÓÒÓ ÒÓ ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ ½º º ÓÒ Ö ÑÓ ÔÖ Ñ Ð Ó Ñ Ò ÓÒ Ð º Á Ö Ð ÖØ ÐÓ Ð ÓÒÓ n l =6 ÒÓ ÓÒÓ ÐÓ Ð ÞÞ Ø Ò Ú ÖØ Ð ØÖ Ò ÓÐÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó ÙÒ Ð ØÓº Ê ÓÖ Ò Ó Ð Ö Ð Þ ÓÒ Ð ÒÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ ÓÒ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ò Ð Ô ÒÓ ( x, x 2 ) Ö ÔÓÖØ Ø Ò ½º½ µ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ ÒÓ ÓÒÓ Ð Ù ÒØ i ξ ξ 2 ξ 3 i ξ ξ 2 ξ 3 4 /2 /2 2 5 /2 /2 3 6 /2 /2 È Ö Ú Ö Ö Ð Ö Ð Þ ÓÒ ÒÓÒ ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÔÖ Ñ 3 ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ Ó Ø Ú ÖØ Ð ØÖ Ò ÓÐÓ φ i = ξ i (2ξ i ) i =, 2, 3º Ä ÓÒ Þ ÓÒ φ = Ó ØØ ξ i =Ó ξ i =/2º ÐÐ Ø ÐÐ Ú ÒØ Ú ÖÓ Ò ØÙØØ ÒÓ ØÖ ÒÒ N i º ³ ÐØÖ Ô ÖØ Ò Õ٠سÙÐØ ÑÓ ξ i = ÕÙ Ò φ i ( N i )=(2 ) = º Ä ÐØÖ ØÖ ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ ÓÒÓ φ 4 = ξ ξ 2 φ 5 = ξ ξ 3 φ 6 = ξ 2 ξ 3 º ËÓÒÓ Ö Ñ ÒØ ÒÙÐÐ Ò ÒÓ ÓÚ ÓÐÓ ÙÒ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ Ú Ö Þ ÖÓ ÕÙ Ò Ò ÔÖ Ñ 3 ÒÓ º ÑÑ ØÓ Ú Ö Ö ÓÒ Ð³ Ù Ð Ó ÐÐ Ø ÐÐ ÓÒÓ ÒÙÐÐ Ò ØÙØØ ÒÓ ØÖ ÒÒ Ò ÕÙ ÐÐÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÓÚ Ú Ð ÓÒÓ º ÁÐ Ó ØÖ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò ÐÓ Ó ÒÓ ÒÒÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ö ÒØÖ Ð Ò Ø Ù ØÓ Ò Ó ÑÔÖ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ½º º i ξ ξ 2 ξ 3 ξ 4 i ξ ξ 2 ξ 3 ξ 4 6 /2 /2 2 7 /2 /2 3 8 /2 /2 4 9 /2 /2 5 /2 /2 /2 /2

½ ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ë ÔÓ ÓÒÓ Ö Ô Ø Ö Ð Ø Ö ÓÑ ÒØ Þ ÓÒ ØØ Ô Ö Ð Ó Ñ Ò ÓÒ Ð º ÉÙ ÐÓÖ K Ð ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ Ù Óµ ÙÒ Ø Ö Ó ÔÙ Ó ØÖÙ Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ä Ö Ò ÒÓ ÙØ Ð ÞÞ Ò Ó ÓÑ ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ø Ò ÓÖ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ö ØØ Ö Ø Ä Ö Ò ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ó r > º ÚÖ ÑÓ P ( K) =Q r ( K) ÐÓ Ô Þ Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ù Ò ÙÒ ÑÓÒÓÑ Ó Ð Ú Ö Ð x s ÔÓÒ ÒØ Ð Ñ ÑÓ rº È Ö ÑÔ Ó x 2 x2 2 Q2 ( K) Ñ x 3 / Q2 ( K)º Ë ÒÓØ P r ( K) Q r ( K) P dr ( K)º ÁÒ ÕÙ ØÓ Ó Ð³Ù Ó ÐÐ Ñ ÔÔ Ò Ô Ö Ö ÔÓÖØ Ö ÙÐг Ð Ñ ÒØÓ ÓÖÖ ÒØ K ÑÓÐØÓ Ð Ñ Ø Ø ÚÓ ÒÕÙ ÒØÓ K ÚÖ Ò Ö Ñ ÒØ Ð Ø Ô Ö ÐÐ Ð º ÇÓÖÖ ÕÙ Ò Ó ØÖÙ Ö ÐÐ Ñ ÔÔ T K Ô Ò Ö Ð º ½º Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ä Ø ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ä Ö Ò Ò ÔÓ ÓÒÓ Ö ÖÙØØ Ø Ô Ö Ó ØÖÙ Ö Ñ ÔÔ Ô Ò Ö Ð º ÁÒ ØØ N i φ i ÓÒÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ ÒÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ ÙÐг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ä Ö Ò ÒÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ n l T K ( x) = N i φi ( x), ½º¾¾µ s= Ò ÕÙ ÐÓÖ ÒÚ ÖØ Ð ÙÒ Ñ ÔÔ ØØ Ú K Kº Æ Ð Ó ÓÒ ¹ Ö ÒÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ P Ð ÙÒÞ ÓÒ T K Ò Ø Ò ½º¾¾µ ÔÖÓÔÖ Ó ÙÒ Ñ ÔÔ Ò ÉÙ Ø Ø Ò Ô Ö Ð Ó ØÖÙÞ ÓÒ T K ÔÖ Ø Ô Ö Ô ÖÑ ØØ Ù Ö Ô Ö Ð Ö Ø ÞÞ Þ ÓÒ Ð ÓÑ Ò Ó Ð Ø ÙÒÞ ÓÒ ÒØÖÓ ÓØØ Ô Ö Ð ¹ Ö Ø ÞÞ Þ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÒÞ Ð º ÁÒ Ò Ö Ð ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ò Ù Ð ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ Ø ½º¾¾µ Ô Ö Ñ ØÖ Ó Ö Ó ÓÑ ØÖ Ó m Ò Ð Ó Ò Ù K ÙÒ ÑÔÐ Ó φ i P m ( K) ÐÐÓÖ T K [P m ( K)] d µ ÓÔÔÙÖ Ò Ð Ó K Ð ÕÙ Ö ØÓ Ù Óµ ÙÒ Ø Ö Ó φ i Q m ( K) Ò Ø Ð Ó T K [Q m ( K)] d µº Ë ÔÙ Ö Ú Ö ÐÐÓÖ n l x = N i φi ( x), i= x K. ij ÒÚ ÖØ Ð Ø ÐÐ Ñ ÔÔ Ò Ø Ò ÕÙ ØÓ ÑÓ Ó ÔÙ Ö Ö ÐÐ ÓÒ Þ ÓÒ ÙÐÐ ÓÖÑ K ÓÑ ÐÐÙ ØÖ ØÓ Ò Ðг Ö Þ Ó ½º º º Ä Ñ ÔÔ T K [Q ( K)] d Ñ ÔÔ Ð Ò Ö d =2 ØÖ Ð Ò Ö d =3º Æ Ð Ó Ð Ñ ÒØ Ä Ö Ò Ò m = r Ô ÖÐ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ó¹Ô Ö Ñ ØÖ ÒÚ m<r Ô ÖÐ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ù Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ò ÔÖ ÒØ ÒÓ m =º ÁÐ Ó m>r Ð Ñ ÒØ ÙÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ µ ÔÓÓ ÓÑÙÒ º Ä³Ù Ó Ð Ñ ÒØ Ô Ö Ñ ØÖ Ô ÖÑ ØØ Ñ Ð Ó ÔÔÖÓ Ñ Ö Ð ÓÑ Ò Ó Ò Ó ÓÖ ÙÖÚ Ð Ò º ij Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ø ÔÓ Q r r >µ г Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ä Ö Ò ÒÓ ÕÙ Ö Ð ¹ Ø ÖÓ Ö Ó Ò µ Ø Ð Ô Ö Ù Ð ÙÒÞ ÓÒ Ò Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ

½º Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö Ñ ØÖ ½ ÔÔ ÖØ Ò ÓÒÓ Q r Ó P ( K) =Q r ( K) Ð Ñ ÔÔ Ð Ò Ö ØÖ Ð Ò Ö µ Ó T K [Q ( K)] d º ÄÓ Ô Þ Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÕÙ Ò ØÓ Q h r = {v h C (Ω h ): v h K = v h T K ; v h Q r ( K), K T h }. Ä ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ Ò Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ K ÓÒÓ ÓÖÑ Ø Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ø Ò¹ ÓÖ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÑÔÓ Ø Ä Ö Ò ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð φ i Ô Öi =,...,rº Ë ξ i i =,...,r ÓÒÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø ÒÓ ÕÙ Ô Þ Ø µ Ò Ðг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ [, ] ÙÒ Ò Ö ÙÒÞ ÓÒ Q r ( K) Ö ÐÐ ÓÖÑ φ i (x) φ j (y) Ô Ö d =2 φ i (x) φ j (y) φ k (z) Ô Ö d =3ÓÒ i, j, k ØÖ rº Ë ÒÓØ v h K ÒÓÒ Ò ÕÙ ØÓ Ó ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ò ÕÙ ÒØÓ T K Ò Ò Ö Ð µ ÙÒ Ñ ÔÔ Ò º ÒÓÒ Ô Ö Þ Ó ½º º½ ÁÐ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð ÖØ ( ÐÓ Ð ) ÙÒ ( Ð Ñ ÒØÓ ) Ò ØÓ Ø ÔÓ P r ØÓ n l = d r + d r + d d! j= (r + j) = = Ñ ÒØÖ Ô Ö d r Ð Ñ ÒØ Ò Ø Q r n l =(r +) d º ÄÓ ÑÓ ØÖ Ô Ö d =2 Ô Ö d =3º ËÙ Ö Ñ ÒØÓ Ö ÓÖ ÑÓ n i= i = n(n +)/2 n i= i2 = n(n + )(2n +)/6º ËÓÐÙÞ ÓÒ ½º º½ È Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ P r ÑÓ P (K) = P r (K)º ÉÙ Ò Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð ÖØ Ô Ö ÐÐ Ñ Ò ÓÒ P (K) =P r (K) Ù ÚÓÐØ Ô Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ ÑÓÒÓÑ ÓÖÑ ÒÓ ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó rº ÓÒ Ö ÑÓ ÔÖ Ñ Ð Ó d =2º ÍÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó r ÓÖÑ ØÓ ÑÓÒÓÑ ÓÖ Ò Ð Ñ ÑÓ r Ó ÐÐ ÓÖÑ x i xj 2 ÓÒ i j i + j = s s =,...,rº ÁÐ ÒÙÑ ÖÓ ÔÓ Ð ÑÓÒÓÑ Ö Ó s Ô Ö s +º ÁÒ ØØ Ô Ö Ó Ò i Ú Ö s ÑÓ ÙÒ ÓÐÓ ÔÓ Ð Ú ÐÓÖ j Ô Ö j = s iº ÉÙ Ò Ð ÒÙÑ ÖÓ ØÓØ Ð ÑÓÒÓÑ Ö Ó Ð Ñ ÑÓ r Ô Ö r r+ (s +)= s =(r +)(r +2)/2, s= s= Ò ÓÖ Ó ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ Ø º Ë ÒÓØ Ò Ð Ó ØÖ Ñ Ò ÓÒ Ð ÑÓÒÓÑ Ö Ó s ÓÒÓ ÐÐ ÓÖÑ x i xj 2 xk 3 ÓÒi+j+k = sº ÉÙ Ò i Ú Ö s Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒÞ j k ÓÚÖ ÒÒÓ Ó Ö Ð Ú ÒÓÐÓ j + k = s iº Í Ò Ó Ð Ö ÙÐØ ØÓ Ð Ó Ñ Ò ÓÒ Ð Ù Ô Ö Ó Ò i ÒÒÓ s i +ÓÑ Ò Þ ÓÒ j k ÔÓ Ð º ÉÙ Ò Ð ÒÙÑ ÖÓ ÑÓÒÓÑ Ö Ó s ØÓ s (s + i) = i= s (s +) i= s i =(s +) 2 s(s +)/2 = 2 (s2 +3s +2). i=

½ ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÁÐ ÒÙÑ ÖÓ ÓÑÔÐ ÚÓ ÑÓÒÓÑ Ò ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó r ØÓ ÕÙ Ò r 2 s= s2 +3s +2º ÔÔÐ Ò Ó Ð ÓÖÑÙÐ Ô Ö Ð ÓÑÑ Ô ÖÞ Ð ÓÖÒ Ø Ò Ð Ø ØÓ Ðг Ö Þ Ó ÙÒ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ ÓÔÓ ÐÙÒ Ô Ð Ö Ú Ò ÓÒÓ ÕÙ ÓÑ Ô Ö Ö Ú Øº Æ Ð Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø Q r Ð Ñ Ò ÓÒ ÐÐÓ Ô Þ Ó ÐÓ Ð Ö Ú Ö ØØ ¹ Ñ ÒØ ÐÐ Ò Þ ÓÒ Q r ( K)º ÁÒ ØØ Ð Ñ Ò ÓÒ ÐÐÓ Ô Þ Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ r + Ð ÙÒÞ ÓÒ Q r ÙÐг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ Ò ÓÒÓ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ø Ò ÓÖ Ð º Ö Þ Ó ½º º¾ Ë ÑÓ ØÖ Ð Ñ Ò ÓÒ ÐÐÓ Ô Þ Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø X r h Ò ØÓ Ò ÐÐ ½º¾¼µ Ð Ú Ö Ö d r Ø r = r =2 r =3 2 N v N v + N l N v +2N l + N e º 3 N v N v + N l N v +2N l + N f ËÓÐÙÞ ÓÒ ½º º¾ ÑÓ Ú ØÓ p Xh r Ó Ð ÓÒ Þ ÓÒ p K = p T ÓÒ K p Pr º Ò ÓT K ÓÒØ ÒÙ ÒÚ ÖØ Ð ÓÒ ÒÚ Ö ÓÒØ ÒÙ Ð ÓÒØ ÒÙ Ø p ÑÔÐ p ÓÒØ ÒÙ Ðг ÒØ ÖÒÓ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ö Ð Kº ÇÓÖÖ ÓÖ ÙÖ Ö Ð ÓÒØ ÒÙ Ø ØÖ Ð Ñ ÒØ ÒØ º ÓÒ Ö ÑÓ Ò¹ Ò ÒÞ ØÙØØÓ Ð Ó Ñ Ò ÓÒ Ð º Ò Ó Ð Ö Ð ÓÒ ÓÖÑ Ù Ð Ñ ÒØ K K 2 ÒÒÓ ÒØ Ö Þ ÓÒ ÒÓÒ ÒÙÐÐ ÒÒÓ Ò ÓÑÙÒ Ó ÙÒ Ú ÖØ Ó ÙÒ ÒØ ÖÓ Ð ØÓº Ë ÐÐÓÖ V ÙÒ Ú ÖØ ÓÑÙÒ Ö Ö p Xh r ÓÒØ ÒÙ ÑÔÐ r p K (V) =p K2 (V) Ô Ö Ó Ò p Xh ÔÓ Ð ÓÐÓ V ÙÒÒÓ Ó ÐÐ Ö Ð Ó ÙÒÓ Ö Ð ÖØ ÔÖÓÔÖ Ó Ð Ú ÐÓÖ p Ò Vº ËÙÔÔÓÒ ÑÓ ÓÖ K K 2 ÒÓ ÙÒ Ð ØÓ ÓÑÙÒ Γ 2 ºÈ Ö Ú Ö Ð ÓÒ¹ Ø ÒÙ Ø p ÓÓÖÖ p K (x) =p K2 (x) Ô Ö x Γ 2 º ÔÓ Ð ÓÐÓ Ð Ö ØÖ Þ ÓÒ p Ù Γ 2 ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ ÒØ Ø ÒÓ ÒØ Ù Γ 2 º Ò Ó Ø Ð Ö ØÖ Þ ÓÒ ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó r ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð µ ÓÓÖÖ ÙÐÐ ØÓÚ ÒÓr + ÒÓ º ØÓ ÑÓ Ø Ð ØÓ Ú ÖØ ÓÒÓ Ò ÒÓ Ù Ó Ò Ð ØÓ ÚÖ ÑÓ Ó ÒÓ r ÒÓ ÒØ ÖÒ º ÉÙ Ò ÙÐг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ 3+3(r ) = 3r ÒÓ ÓÒÓ ÐÓ Ð ÞÞ Ø Ù Ú ÖØ Ðг ÒØ ÖÒÓ Ð Ø º Ðг Ö Þ Ó ½º º½ ÔÔ ÑÓ Ô Ö Ö Ú Ö ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó P r ( K) ÓÓÖÖÓÒÓ (r +)(r +2)/2 Ö Ð ÖØ Ð Ú ÒØÙ Ð (r +)(r +2)/2 3r ÒÓ Ö Ñ Ò ÒØ Ö ÒÒÓ ÐÐÓÖ ÔÓ Ø Ðг ÒØ ÖÒÓ Ðг Ð Ñ ÒØÓº È Ö r = ÚÖ ÑÓ ÒÓ ÓÐÓ Ú ÖØ ÐÐ Ö Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Xh Ö Ô Ö N v Ô Ör =2 n l =6 ÚÖ ÑÓ Ó¹ ÒÓ Ò ÙÒ ÒÓ Ó Ðг ÒØ ÖÒÓ ÙÒ Ð ØÓ ÕÙ Ò N h = N v + N l ºÈ Ö r =3 Ò Ò Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð ÖØ Ðг ÒØ ÖÒÓ ÙÒ Ð ØÓ Ô 2 Ú Ð Ò Ø ÙÒ ÙÐØ Ö ÓÖ ÒÓ Ó Ðг ÒØ ÖÒÓ Ðг Ð Ñ ÒØÓ Ô Ö Ò Ö ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó 3 Ù N h = N v +2N l + N e º

½º Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö Ñ ØÖ ½ ÁÐ Ö ÙÐØ ØÓ Ò Ð Ó ØÖ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓØØ Ò Ö Ô Ø Ò Ó Ð Ø ÓÒ Ö Þ ÓÒ º ÁÒ ÕÙ ØÓ Ó ÓÓÖÖ ÓÒ Ö Ö Ò Ð ÓÒØ ÒÙ Ø ØØÖ Ú Ö Ó Ð ÐÐ Ö Ð º ÓÑ Ö ØØÓ Ò Ðг Ö Þ Ó ½º º Ð ÓÒ Þ ÓÒ ÕÙ Ö ÔÓÖØ Ø ÓÒÓ Ò Ö Ñ ÒÓÒ Ù ÒØ Ô Ö Ð ÓÒ ÓÖÑ Ø C º ÇÓÖÖ Ò Ø Ð Ö Ú ÒÓÐ ÐÐ ÔÓ Þ ÓÒ ÒÓ ÙÐ ÓÖ Ó Kº Ö Þ Ó ½º º Ë ÑÓ ØÖ K K 2 ÓÒÓ Ù ØÖ Ò ÓÐ ÒØ ÐÐ Ö Ð T h Ó Ø Ð e = K K 2 ÙÒ Ð ØÓ ÐÐ Ö Ð µ ÓØØ ÒÙØ Ð ØÖ Ò ÓÐÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ K Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ ØÖ Ñ Ø Ð ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ Ò T K T K2 ÐÐÓÖ Ø ÙÒ ÓÔÔÓÖØÙÒ ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÒÓ Ø Ð e = T K (ê) =T K2 (ê) Ò Óê ÙÒ Ð ØÓ Kº ÁÒÓÐØÖ x, x 2 ê ÓÒÓ ÔÙÒØ ÑÑ ØÖ Ö Ô ØØÓ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó ê ÐÐÓÖ T K ( x )=T K2 ( x 2 )=x eº Ë Ò Ù Ô Ö Ó ØÖÙ Ö Ð Ñ ÒØ C ÓÒ ÓÖÑ Ø ÔÓ P r ÓÓÖÖ ÙÖ Ö ÒÓ ÒØ Ù ÙÒ Ð ØÓ ê K ÒÓ ÑÑ ØÖ Ö Ô ØØÓ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð Ð ØÓº ËÓÐÙÞ ÓÒ ½º º ÑÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ½º½¼º Ò Ó T K T K2 ÓÒ¹ Ø ÒÙ T K ( K) = K T K2 ( K) = K 2 ÒÓÐØÖ Ú ÖØ K K 2 ÓÒÓ ÑÑ Ò Ú ÖØ Kº Ë ÒÓ A B Ú ÖØ Ð Ð ØÓ ÓÑÙÒ eº Á ÒØ Ö ÑÓ ÓÒ V j j =, 2, 3 Ú ÖØ Ð ØÖ Ò ÓÐÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ K Ki ÓÒ V j j =, 2, 3 Ú ÖØ K i Ô Ö i =, 2º Ö Ñ ÒØ Ø ÙÒ ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ Ú ÖØ K Ô Ö Ù T K ( V )=V K = Aº ÓÚ Ò Ó ÔÖ ÖÚ Ö Ð³ÓÖ ÒØ Ñ ÒØÓ ÐÐÓÖ Ò Ö Ñ ÒØ T K ( V 2 )=V K 2 = Bº ÁÒ ØØ Ú ÖØ V K j ÚÓÒÓ Ò Ö ÙÒ ÓÖ ÒØ Ñ ÒØÓ ÒØ ÓÖ Ö Ó Ô Ö j =, 2, 3 ÐÓ Ø Ó ÚÓÒÓ Ö Ð ÐÓÖÓ ÓÒØÖÓ Ñ¹ Ñ Ò Ù Kº ÁÒÚ Ô Ö ÕÙ ÒØÓ Ö Ù Ö K 2 ÔÓØÖ ÔÓÖÖ T K2 ( V 2 )=V K2 2 = A T K2 ( V )=V K2 = Bº ÈÓÖÖ T K2 ( V )=A T K2 ( V 2 )=B Ö Ò ØØ Ò¹ ÓÑÔ Ø Ð ÓÒ Ð Ò Ø Ú Ö ÙÒ ÓÖ ÒØ Ñ ÒØÓ ÒØ ÓÖ Ö Ó Ú ÖØ K 2 º Ë ê Ò Ð Ð ØÓ K Ú ÖØ V V 2 ÔÙ ÓÒÐÙ Ö Ð Ù ÑÑ Ò T K (ê) T K2 (ê) Ó Ò ÓÒÓ ÓÒ e Ò ÐÓ Ô ÖÓÖÖÓÒÓ ÓÒ Ú Ö Ó ÓÔÔÓ ØÓº Í Ò Ó Ð Ò Þ ÓÒ Ñ ÔÔ Ò ½º µ ÖÙØØ Ò Ó Ð ØØÓ Ð Ú ÖØ V ÔÓ ØÓ ÐгÓÖ Ò Ð Ø Ñ Ö Ö Ñ ÒØÓ Ô Ö Ð Ô ÒÓ ( x, x 2 ) Ó V ÓÓÖ Ò Ø (, )µ T K ( V )=A T K2 ( V )=B Ù T K ( x) =A +F K x, T K2 ( x) =B +F K2 x. ÁÑÔÓÒ Ò Ó ÓÖ T K ( V 2 )=B T K2 ( V 2 )=A ÓØØ Ò F K V2 = B A, F K2 V2 = A B. ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö F K V2 = F K2 V2 º ÓÒ Ö ÑÓ ÓÖ Ù ÔÙÒØ ê x x ÑÑ ØÖ Ö Ô ØØÓ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Óº ÎÙÓÐ Ö Ø α Ø Ð

¾¼ ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø x = α( V 2 V ) x 2 = ( α)( V 2 V )º Ö Þ ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ ÔÖ ÒØ ÖÙØØ Ò Ó ÒÓÖ Ð ØØÓ V ÓÓÖ Ò Ø (, )µ ÓØØ Ò T K ( x )=A + αf K V2 = A αf K2 V2 = B +(A B) αf K2 V2 = B +( α)f K2 V2 = T K2 [( α) V 2 ]=T K2 ( x 2 ). Ë X h C ÓÒ ÓÖÑ ÐÐÓÖ v h Ú Ö ÓÒØ ÒÙ Ù e Ó Ú Ú Ö v h K (x) =v h K2 (x) Ô Ö ØÙØØ Ð x eº Ú ÒØ ÔÓ Ð ÓÐÓ Ð³ Ó Þ ÓÒ ØÖ ÒÓ N i ÒØ Ù e ÒÓ ÐÓ Ð N i ê ÙÒ ÚÓ º ÉÙ Ò Ð ÑÑ Ò ÒÓ ÐÓ Ð N i ê Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ ÓØØ ÒÙØ ØØÖ Ú Ö Ó Ð Ñ ÔÔ T K T K2 ÚÓÒÓ Ö ÓÖÑ Ø ÐÐÓ Ø Ó Ò Ñ ÔÙÒØ ÒÓ N i Ô Ö Ð³ ÔÔÙÒØÓµº ÓÒ Ù ÒÞ ÕÙ ÒØÓ Ú ØÓ ÔÖ ÒØ Ñ ÒØ Ø Ð Ò ÒÓ ÐÓ Ð ÚÓÒÓ Ö ÑÑ ØÖ Ö Ô ØØÓ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó êº Ä ÙÖ ½º½½ ÐÐÙ ØÖ Ø Ð ØÙ Þ ÓÒ º T K A V K V K 2 K 2 K e V K 2 V K 2 2 B T K2 bv 3 T K2 bk T K bv be b V2 ÙÖ ½º½¼º Ä ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ K b Ò Ù Ð Ñ ÒØ ÒØ ØÖ Ñ Ø Ð Ñ ÔÔ Ò T K T K2 Ö Þ Ó ½º º ÁÒ ÙÖ ½º½¾ ÑÓ ØÖ Ð Ñ ÔÔ T K Ö Ð Ø Ú ÙÒ Ð ¹ Ñ ÒØÓ ÓÔ Ö Ñ ØÖ Ó Q Ò Ð Ó Ñ Ò ÓÒ Ð º Ë ÑÓ ØÖ K Ò ¹ Ö Ñ ÒØ Ð Ø Ö ØØ ÙØ ÒÓ Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ô Ö Ù T K ÒÚ ÖØ Ð Ù ØÙØØÓ Kº

½º Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö Ñ ØÖ ¾½ e e T K T K2 T K T K2 be ÙÖ ½º½½º Ä ÑÑ Ò Ù ÔÙÒØ Ù be ÑÑ ØÖ Ö Ô ØØÓ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó ÓØØ ÒÙØ ØØÖ Ú Ö Ó Ð ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ Ò Ó Ø Ù Ð Ñ ÒØ ÒØ ÓÒÓ ÓÖÑ Ø ÐÐ Ø ÓÔÔ ÔÙÒØ Ù e Ò ØÖ µº Ë ÔÙÒØ ÒÓÒ ÓÒÓ ÑÑ ØÖ Ú Ò ÓÒÓ ÒÚ Ñ ÔÔ Ø Ò Ù ÓÔÔ Ø ÒØ ØÖ µ be V 3 x 2 V θ 4 V 3 K V 4 x 2 K V V 2 V 4 T K V 2 bx 2 bv 3 T K x b V4 bx 2 bv 3 x V4 b bk bk bv b V2 bv bx bx ÙÖ ½º½¾º Ä ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ Ð Ò Ö T K ØÖ ÓÖÑ Ð ÕÙ Ö ØÓ ÙÒ Ø Ö Ó Ò ÙÒ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ Ò Ö Óº ØÖ ÑÓ ØÖ ÙÒ Ó Ñ ÔÔ Ò Ö b V2 ËÓÐÙÞ ÓÒ ½º º Ê ÓÖ ÑÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ ÙÐг Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ Ø ÔÓ Q ÓÒÓ Ø φ ( x, x 2 )=( x )( x 2 ), φ2 ( x, x 2 )= x ( x 2 ), φ 3 ( x, x 2 )=( x ) x 2, φ4 ( x, x 2 )= x x 2. ÁÒ Ò Ó ÓÒ l ij = V j V i ÑÓ Ô Ö Ò Þ ÓÒ Ñ ÔÔ Ð Ò Ö Ö Þ Ð ØØÓ n l i= φ i =

¾¾ ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø T K ( x, x 2 )= 4 φ i ( x, x 2 )V i =[ i= 4 φ i ( x, x 2 )]V + i=2 4 φ i ( x, x 2 )V i i=2 = V + φ 2 ( x, x 2 )l 2 + φ 3 ( x, x 2 )l 3 + φ 4 ( x, x 2 )l 4. ÓÒ Ö ÑÓ ÓÖ Ð Ö ØÖ Þ ÓÒ T K Ù ÙÒ Ð ØÓ KºÈ Ö ÑÔÐ Ø ÓÒ Ö Ö ÑÓ Ð Ö ØÖ Þ ÓÒ TK 2 ÙÐ Ð ØÓ Ò ØÓ x 2 = x Ð Ø ÓÒ Ö Þ ÓÒ ÔÓØ Ò Ó Ö Ø Ò ÑÓ Ó Ò ÐÓ Ó Ð ÐØÖ Ð Ø º Ë ÔÙ Ö Ú Ö T 2 K ( x )=T K ( x, ) = V + φ 2 ( x, )l 2 + φ 3 ( x, )l 3 + φ 4 ( x, )l 4. ÐÐ Ò Þ ÓÒ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ φ i ÑÓ φ 3 ( x, ) = φ 4 ( x, ) = ÙÒÕÙ TK 2( x )=T K ( x, ) = V + φ 2 ( x, )l 2 = V + x l 2 ÔÖÓÔÖ Ó Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ÐÐ Ö ØØ Ô ÒØ Ô Ö V ÓÖ ÒØ Ø ÓÑ l 2 º ÁÒÓÐØÖ TK 2() = V TK 2() = V 2º ÉÙ Ò Ð³ ÑÑ Ò x = TK 2( x ) ÙÒ ÔÙÒØÓ ( x, ) ÔÔ ÖØ Ò ÒØ Ð Ð ØÓ K Ú ÖØ V V 2 ÙÐ Ð ØÓ l 2 º Ö Ñ ÒØ T K ÒÓÒ Ô Ò Ò ÔÙÒØ ÒØ ÖÒ K ÑÓ Ò ØØ Ð ÔÖ ÒÞ ÑÓÒÓÑ x x 2 Ó x x 2 x 3 Ò µ Ù Ø Ð ÔÖÓ ÓØØÓ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ò Ö ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð º ÉÙ Ò Ð Ñ ØÖ Â Ó Ò J(T K ) ÒÓÒ Ö Ò ¹ Ò Ö Ð Ó Ø ÒØ º Ä ÓÒ Þ ÓÒ ÒÚ ÖØ Ð Ø Ñ ÒØ Ò Ñ ÒØÓ ÐгÓÖ ÒØ Ñ ÒØÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÓÒÓ Ö Ö J(T K ) > Ù Kº ÁÒ Ò Ó ÓÒ T K, T K,2 Ð Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ T K Ô Ö Ò Þ ÓÒ T K, T K, J(T K ) = x x 2 T K,2 T K,2. x x 2 Ê ÓÖ Ò Ó Ð Ò Þ ÓÒ ÔÖÓ ÓØØÓ Ú ØØÓÖ Ð Ù Ú ØØÓÖ v w R 2 v w = v w sin(θ), ½º¾ µ Ò Ó θ г Ò ÓÐÓ ÓÑÔÖ Ó ØÖ v w ÔÙ Ö Ú Ö J(T K ) = T K x ÁÒÓÐØÖ Ú Ö T K x 2 º T K x =( x 2 )l 2 + x 2 l 34, T K x 2 =( x )l 3 + x l 24. ÈÓ ØÓ l kl ij = l ij l kl ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö J(T K ) = φ l 3 2 + φ 2 l 24 2 + φ 3 l 3 34 + φ 4 l 24 34º Ä ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ φ j ÓÒÓ ØÙØØ ÔÓ Ø Ú Ðг ÒØ ÖÒÓ K ÒÕÙ ÒØÓ ÔÖÓ ÓØØÓ ÙÒÞ ÓÒ ÔÓ Ø Ú ÓÑÔÖ ØÖ ÒÓØ Ö ÕÙ ØÓ Ú ÖÓ ÓÐÓ Ô Ö Ð Ñ ÒØ Q µº ÁÒÓÐØÖ Ð ÐÓÖÓ ÓÑÑ ½º È ÖØ ÒØÓ J(T K ) Ó Ù K Ð Ù Ù Ð ÒÞ Ù ÒØ min(l kl ij )=min(l kl ij ) i φ i J(T K ) max(l kl ij ) i φ i =max(l kl ij ),

½º Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö Ñ ØÖ ¾ ÓÚ Ô Ö ÑÔÐ Ø ÒÓØ Þ ÓÒ ÑÓ ÓÑ Ó Ò Ö Ð³ Ò Ñ Ú Ö ¹ Þ ÓÒ Ð Ò º ÍÒ ÓÒ Þ ÓÒ Ù ÒØ Ô Ö Ð ÔÓ Ø Ú Ø J(T K ) ÕÙ Ò ØÙØØ ÔÖÓ ÓØØ lij kl ÒÓ ÔÓ Ø Ú º Ê ÓÖ Ò Ó Ð ÓÖÑÙÐ ½º¾ µ Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ö Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö Ö Ð ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ K Ò ÓÐ ÒØ ÖÒ ØÖ ØØ Ñ ÒØ Ò Ö ÓÖ πº Ë Ú Ö Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ò Ò Ö º ÁÒ ØØ Ô Ö ÑÔ Ó Ð³ Ò ÓÐÓ ÓÑÔÖ Ó ØÖ l 2 l 3 ÒÓÒ Ó Ñ ÒÓÖ π ÚÖ l2 3 ÓÒ Ù ÒØ Ñ ÒØ J(T K) Ò V Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ø Ò ØÙØØÓ ÙÒ ÒØÓÖÒÓ Ø Ð Ú ÖØ º Æ ÐÐ ÑÑ Ò ØÖ Ò ÙÖ ½º½¾ ÑÓ ØÖ ÙÒ Ó Ò Ö Ò Ù Ð Ñ ÔÔ Q ÒÓÒ Ô Ò ØØ Ú º ÈÖÓ Ö ÑÑ ¹ ɽØÖ ÔÔÐ Ò Ñ ÔÙÒØ Ð ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ Q Ó Ø ÙÒ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ØÓ ÙÒØ ÓÒ Ü½ ܾ ɽØÖ Ã Ü ½ Ü ¾µ ± ܽ ܾ ɽØÖ Ã Ü ½ Ü ¾µ ± ÔÔÐ ÔÙÒØ Ü ½ Ü ¾µ Ð ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ É½ Ó Ø Ð ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ± ú à ÙÒ Ñ ØÖ Ü ¾ ÓÒØ Ò ÒØ Ò ÙÒ Ö Ð ÓÓÖ Ò Ø Ð ± ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ Ø ÓÒ Ó Ð ÓÒÚ ÒÞ ÓÒ ± ± º º ± ½ ¾ ± Ü ½ Ü ¾ ÓÒÓ Ú ØØÓÖ ÓÒØ Ò ÒØ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ü Ý Ò Ð Ô ÒÓ ± Ö Ö Ñ ÒØÓº ܽ ܾ ÓÒÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ò Ð Ø Ñ ÓÖÖ ÒØ º Ö Þ Ó ½º º Í Ò Ó Ð ÈÖÓ Ö ÑÑ ØÖ ÒÓ Ð ÓÐ Ò Ô Ö x x 2 Ó Ø ÒØ Ò Ðг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ [, ] ÓÒ Ô Ó.2 Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ ÕÙ Ö Ð Ø Ö K K 2 Ù Ú ÖØ ÒÒÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ù ÒØ º È Ö K (, ) (.5, ) (.,.4) (.6,.8) Ñ ÒØÖ Ô Ö K 2 (.3,.) (.5, ) (.,.4) (.6,.8)º Ë Ú Ù Ð ÞÞ Ð Ö ÙÐØ ØÓ ÐÓ ÓÑÑ ÒØ ÐÐ ÐÙ ÕÙ ÒØÓ ØÖÓÚ ØÓ Ò Ðг Ö Þ Ó ÔÖ ÒØ º ËÓÐÙÞ ÓÒ ½º º Ä ÙÒÞ ÓÒ Ö Þ Ó ÕÙ ºÑ Ö Ô Ö Ð ÙÐ ØÓµ ÓÒØ Ò Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÐÐ ÔÖ Ñ Ô ÖØ Ðг Ö Þ Óº Æ ÓÑÑ ÒØ ÑÓ ÕÙ ÔÙÒØ ÔÖ Ò Ô Ð º ÁÒÒ ÒÞ ØÙØØÓ Ó ÑÓ Ò Ö Ð Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ó Ð ÓÒÚ ÒÞ ÓÒ Ö Ø É½ØÖ ý ¼ ¼ ½º ¼ ¼º½ ½º ½º ½º þ ½º ½º½ ½º ¼ ¼º½ ½º ½º ½º ÕÙ Ò Ù Ò Ó Ð ÓÑ Ò Ó Ñ Ö Ò ÑÓ Ð Ñ ØÖ Ü Ý ÓÒØ Ò ÒØ Ð ÓÐ Ò Ú Ù Ð ÞÞ Ö º

¾ ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ü Ý Ñ Ö ¼ ¼º¼¾ ½ ¼ ¼º¼¾ ½µ ÁÐ ÓÑ Ò Ó Ü½ ܾ ɽØÖ ý Ü Ý µ ÐÓÐ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÓÓÖ Ò Ø Ò Ð Ô ÒÓ Ó Ú Ù Ð ÞÞ Ö ÑÓ ÓÒ ÙÖ Ü½ ܾ ÓÒ Þ Ü½µµµ Ú Û ¼ ¼ ½ µ ÁÐ ÓÑ Ò Ó Ú Û Ô ÖÑ ØØ Ú Ù Ð ÞÞ Ö Ð Ö ÙÐØ ØÓ Ò Ð Ô ÒÓº ÁÒ Ò Ü½ ܾ ɽØÖ þ Ü Ý µ ÙÖ Ü½ ܾ ÓÒ Þ Ü½µµµ Ú Û ¼ ¼ ½ µ ÁÒ Ø Ð ÑÓ Ó ÓØØ Ò ÓÒÓ Ö Ö ÔÓÖØ Ø Ò ÙÖ ½º½ Ö Ð ÓÖ Ø Ô Ö Ñ Ð Ó¹ Ö ÖÒ Ð ÓÑÔÖ Ò ÓÒ µº Ë ÒÓØ ÓÑ Ò Ð Ö Ó ØÖ Ð ÓÐ Ò x 2 Ó Ø ÒØ ÒØ Ö ÒÓ ØÖ ÐÓÖÓ ÕÙ ØÓ Ò Ð ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ K K 2 ÒÓÒ ÒÚ ÖØ Ð Ò ÕÙ ÒØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Þ ÓÒ ÑÑ Ò ÐÑ ÒÓµ Ù ÔÙÒØ Ø ÒØ Ò Ð Ô ÒÓ ( x, x 2 )º.8.8.6.6.4.4.2.2.8.8.6.6.4.4.2.2.2.4.6.8.2.4.6.2.4.6.8.2.4.6 bx 2 bx 2 bv 3 bv 4 bv 3 b V4 bk bk bv bv 2 x ÙÖ ½º½ º ÁÐ Ó ÙÒ ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ Q ÒÚ ÖØ Ð Ò ØÖ µ Ò Ö ØÖ µ b V b V2 x

½º ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÙÒÞ ÓÒ ØÖ Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ø ½º ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÙÒÞ ÓÒ ØÖ Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ø ØÓ ÙÒÓ Ô Þ Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø X h V (Ω h ) ÓÒ ÓÖÑ ÐÐ Ô Þ Ó V (Ω h ) Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ö Ð T h Ò ØÙÖ Ð ÒØÖÓ ÙÖÖ Ð³ÓÔ Ö ØÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Π h Ù ÒØ N h Π h : V (Ω h ) X h, Π h v(x) = σ i (v)φ i (x). Ø Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ØÓ ÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ÐÓ Ð Π K : V (K) P K ÙÐ Ò Ö Ó Ð Ñ ÒØÓ K T h Π K v(x) = bn i= i= σ i (v)φ i (x), x K. ijÓÔ Ö ØÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ø ØÓ Ò ØÓ Ô Ö ÙÒÞ ÓÒ Ù Ω h º ij Ø Ò ÓÒ ÙÒÞ ÓÒ Ù Ω ÑÑ Ø ÕÙ ÐÓÖ Ω h Ωº Æ Ð Ó Ô Ò Ö Ð Ø Ð Ø Ò ÓÒ Ö ÙÐØ Ñ ÒÓ ÓÚÚ Ð Ð ØØÓÖ ÒØ Ö ØÓ ÔÙ ÓÒ ÙÐØ Ö º Ä Ò Þ ÓÒ Ø ÐÕÙ ÒØÓ Ò Ö Ð º ÓÒ Ö ÑÓ Ð Ó Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð Ñ ÒØ Ä Ö Ò Ò Ö Ó r ÓÒ r> Ñ ÔÔ T K Ò º ÉÙ ØÓ Ó ÒÐÙ Ð Ð Ñ ÒØ P r Ð Ð Ñ ÒØ Q r ÓÒ Ð Ø µ Ô Ö ÐÐ Ð º ÁÒ ÕÙ ØÓ ÓÒØ ØÓ Ù Ö ÑÓ Ð ÒÓØ Þ ÓÒ Π r h Ô Ö Ð³ÓÔ Ö ØÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÓÔ Ö Ù ÙÒÞ ÓÒ v C (Ω h ) Ò Ð ÑÓ Ó Ù ÒØ N h Πhv(x) r = v(n i )φ(x), x Ω h, i= Ò Ó φ i Ð i¹ Ñ ÙÒÞ ÓÒ ÓÖÑ N i Ð ÒÓ Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º ÁÐ Ö ÙÐØ ØÓ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ö Ð Ø ÚÓ Ðг ÖÖÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÐÓ Ð Ð Ù ÒØ K ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ò ØÓ Ä Ö Ò ÒÓ Ö Ó r Ò ØÓ ØÖ Ñ Ø Ð Ñ ÔÔ Ò T K q> d 2 l =min(r, q)º ÐÐÓÖ Ø C> Ò Ô Ò ÒØ h K Ø Ð Ô Ö m l + v H q+ (K) v Π r h (v) H m (K) Ch l+ m K γ m K v H l+ (K). ½º¾ µ Ë ÒÓØ ÓÑ Ô Ö m> ÙÒ Ô Ò ÒÞ Ðг ÖÖÓÖ Ò ÙÒÞ ÓÒ ÐÐ Ö Ø γ K Ðг Ð Ñ ÒØÓº È Ö ØÙ Ö Ð³ ÖÖÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÐÓ Ð Ó ÖÚ X r h H ¹ÓÒ ÓÖÑ Ñ ÒÓÒ ÓÒ ÓÖÑ H m Ô Ö m>º ÓÒ Ù ÒÞ ÒÓÒ Ò Ó ÐÓÐ Ö Ð ÒÓÖÑ H m Ðг ÖÖÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ Ô Ö m>º ËÓØØÓ Ð Ø ÔÓØ ÐÐ Ù Ù Ð ÒÞ ÔÖ ÒØ ÙÒÕÙ Ô Ö m =, ¾ [ /2 v Πh(v) r H m (Ω h ) C h 2(l+ m) K γk 2m v 2 H (K)] l+ K T h Cγ m h h l+ m v H l+ (Ω h ), ½º¾ µ

¾ ½ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÓÚ γ h =max K T h γ K º Ë Ð Ö Ð Ö ÓÐ Ö γ h γ Ô Ö ØÙØØ Ð h ÕÙ Ò ÔÙ Ö Ú Ö Ò Ñ Ò Ö Ò ÐÓ Ð Ó ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð v Π r h (v) H m (Ω h ) Ch l+ m v H l+ (Ω h ). ½º¾ µ ÁÐ Ö ÙÐØ ØÓ ÔÖ ÒØ ÔÙ Ø Ò Ö Ð Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÓÔ Ö Ñ ØÖ ÔÙ Ø Ò Ö ÓÒØÓ Ðг ÖÖÓÖ ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ Ð ÓÑ Ò Ó Ú ÉÎ ¼ º È Ö ÓÑÔÐ Ø ÞÞ Ö ÔÓÖØ ÑÓ Ð Ø Ñ Ö Ð Ø Ú Ð Ó Ð Ñ ÒØ Ä Ö Ò Ò Q r ÓÒ r Ô Ö Ð ÓÐÓ Ó Ñ Ò ÓÒ Ð º Ö Ñ ÒØ Ð Ö Ð Ú Ö Ø Ð Ð Ñ ÔÔ T K Ò Ò Ø Ù ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ú Ð³ Ö Þ Ó ½º º µº Ë K ÙÒ Ò Ö Ó Ð Ñ ÒØÓ T h 4 ØÖ Ò ÓÐ ÓØØ ÒÙØ ÔÖ Ò Ò Ó ØÖ Ú ÖØ K Ú Ö V j Ú ÖÖ ÒÒÓ Ò Ø ÓÒ K j j =,...,4º ÈÓÒ ÑÓ ρ K = min j 4 ρ K j γ K = h K ρ K. ÁÐ Ó ÒØ γ K ÐÓ Ø Ó ÖÙÓÐÓ ÐÐ Ö Ø Ò Ø Ô Ö Ö Ð Ò º Ë Π Qr K гÓÔ Ö ØÓÖ ÒØ ÖÔÓÐ Þ ÓÒ ÙÐг Ð Ñ ÒØÓ Kº Ø C> Ø Ð Ô Ö m r + v H r+ (K) v Π Qr K H m (K) Cγ max(4m,) K h k+ v H r+ (K). ½º¾ µ Ë Ó ÖÚ ÓÑ Ð Ó ÒØ Ö ÓÐ Ö Ø γ K ÙÒ ÔÓÒ ÒØ Ñ ÓÖ Ö Ô ØØÓ Ð Ó Ñ ÔÔ Ò ÒØ ÖÚ Ò Ò Ò Ð Ö ÙÐØ ØÓ Ò ÒÓÖÑ L 2 Ó Ô Ö m =µº Ë ÔÙ ÒÓØ Ö Ô Ö Ö Ð Ö ÓÐ Ö Ð³ÓÖ Ò ÓÒÚ Ö ÒÞ Ö Ô ØØÓ h Ù Ù Ð ÕÙ ÐÐÓ ØÖÓÚ ØÓ Ô Ö Ð Ð Ñ ÒØ P r ÒÓÒÓ Ø ÒØ Ð ØØÓ ÐÓ Ô Þ Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Q r Ô Ö Ó P r º

Parte I Problemi stazionari

¾ ÁÐ Ñ ØÓ Ó Ð Ö Ò¹ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓ ÐÐ ØØ Ó ÁÒ ÕÙ ØÓ Ô ØÓÐÓ ÓÒ Ö ÑÓ Ö Þ ÙÐг ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ ØØ ÔÖ Ò ÐÐ ÓÖÑ ÓÐ Ù ÒØ ØÖÓÚ Ö u V : a(u, v) =F (v) v V. ¾º½µ ÄÓ ØÖÙÑ ÒØÓ ÔÖ Ò Ô Ð Ô Ö Ð³ Ò Ð Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ä ÑÑ Ä Ü¹ Å Ð Ö Ñ ÉÙ ¼ ÕÙ Ö ÓÖ ÑÓ Ä ÑÑ ¾º½ Ä Ü¹Å Ð Ö Ñµ Ë V ÙÒÓ Ô Þ Ó À Ð ÖØ a(, ) :V V R ÙÒ ÓÖÑ Ð Ò Ö ÓÒØ ÒÙ Ó Ö Ú ÓÒ Ó Ø ÒØ Ó Ö Ú Ø α F : V R ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ð Ð Ò Ö ÓÒØ ÒÙÓº ÐÐÓÖ Ø ÙÒ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾º½µº ÁÒÓÐØÖ u V α F V, Ò Ó F V = F (v) sup. v V, v V v V ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö Ò ÕÙ ØÓ Ô ØÓÐÓ ÓÒ Ö Ö ÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ ØØ Ð ÓÒ ³ÓÖ Ò ÔÓ Ø Ù ÙÒ ÓÑ Ò Ó Ω R d ÓÒ d =, 2µº ÁÒ ÕÙ ØÓ Ó V H (Ω)º Ø Ò Ù ÑÓ Ù Ö ÓÖÖ Ö ÒÒÓ Ö ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ Ò Ð Ù ØÓº Æ Ð ÔÖ ÑÓ Ó Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÒÞ Ð ÔÖ ÒØ ÓÒ Þ ÓÒ Ö Ð Ø ÓÑÓ Ò Ù ÙÒ Ô ÖØ Ð ÓÖ Ó Ω Ò Ö ÑÓ ÓÒ Γ D º ÁÒ ÕÙ ØÓ Ó ÐÓ Ô Þ Ó V Ö ØÓ V = H Γ D {v H (Ω) : v ΓD =}. ¾º¾µ Ë Γ D Ú Ð Ð Ù Ù Ð ÒÞ ÈÓ Ò Ö u L2 (Ω) C P u L2 (Ω), ¾º µ

¼ ¾ ÁÐ Ñ ØÓ Ó Ð Ö Ò¹ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓ ÐÐ ØØ Ó ÓÚ C P Ô Ò ÓÐÓ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ωº Ö Þ ÐÐ ¾º µ ÔÙ ÑÓ ØÖ Ö Ð³ ÕÙ Ú Ð ÒÞ Ö Ð ÒÓÖÑ L 2 (Ω) Ð Ö ÒØ Ð ÒÓÖÑ H (Ω) Ò ÕÙ ÒØÓ u 2 L 2 (Ω) u H (Ω) ( + C 2 P ) u 2 L 2 (Ω). ¾º µ Æ Ð Ó Ò Ù Γ D Ñ ÙÖ ÒÙÐÐ V = H (Ω) Ð Ù Ù Ð ÒÞ ÈÓ Ò Ö ÒÓÒ ÔÔÐ Ð º ÍÒ ÓÒ Ó Ó ÒÓØ ÚÓÐ Ú Ö ÐÐÓÖÕÙ Ò Ó Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÒÞ Ð ÔÖ ¹ ÒØ ÓÒ Þ ÓÒ Ö Ð Ø ÒÓÒ ÓÑÓ Ò Ó u = g Ù Γ D ÓÒg ºË Ð ØÓ Ð ÓÖ Ó Ω ÓÒÓ Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö ÓÐ Ö ÔÙ ÒØÖÓ ÙÖÖ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÒ ÓÒ Þ ÓÒ Ð ÓÒØÓÖÒÓ ÓÑÓ Ò º Ë ÒÓØ Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ö Ó¹ Ð Ö Ø Ù g Ω ÓÒÓ ÑÔÖ Ö Ô ØØ Ø Ω ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ R Ò Ð ÕÙ Ð Ó g ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð º Æ Ð Ó ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù ÒØ Ð ÓÖ Ó Ω Ð C ÓÔÔÙÖ ÔÓÐ ÓÒ Ð g H /2 (Γ D )º È Ö Ö ÓÒ ÙÖ Ð Ó ÓÑÓ Ò Ó ÖÙØØ Ð Ö ÙÐØ ØÓ º½ µ Ö ÔÓÖØ ØÓ Ò Ô¹ Ô Ò ÒØÖÓ Ù Ò Ó ÙÒ Ö Ð Ú Ñ ÒØÓ G H (Ω) ÓÒ G ΓD = g Ò Ð Ò Ó ÐÐ ØÖ Ú ÉÙ ¼ µº ÈÓ ØÓ ÐÐÓÖ u u G, Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÒØ ØÖÓÚ Ö u V H Γ D (Ω) Ø Ð a( u,v)=f g (v) F (v) a(g, v) v V. ÕÙ ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÙ ÒÓÖ ÔÔÐ Ö Ö ØØ Ñ ÒØ Ð Ä ÑÑ Ä Ü¹Å Ð Ö Ñ Ò ÕÙ ÒØÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ Ð F g Ð Ò Ö ÓÒØ ÒÙÓ Ô Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø F ( ) a(, )º ÉÙ Ò Ò Ò Ð Ó ÒÓÒ ÓÑÓ Ò Ó Ø Ú Ö Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ö Ø Ð Ä ÑÑ Ä Ü¹Å Ð Ö Ñ Ù a(, ) F ( ) Ô Ö Ú ÖÐ ÙØÓÑ Ø Ñ ÒØ Ó ØØ Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ØÖ ÓÖÑ ØÓº Ë ÒÓØ г Ò Ñ W g {v H (Ω) : v ΓD = g} ¾º µ ÒÓÒ ÙÒÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð Ò ÕÙ ÒØÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÒÙÐÐ ÒÓÒ ÔÔ ÖØ Ò W g ÒÓÒ Ù Ó Ö Ô ØØÓ ÐгÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ º ÁÒ ØØ ÕÙ ÐÐ Ñ ÙÒ Ú Ö Ø Ò º Æ Ð Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð Ø ÓÒ ØÓ ÒÓÒ ÓÑÓ Ò Ó ÔÙ Ö Ö Ö Ñ ÒØÓ Ð Ö ÙÐØ ØÓ Ù ÒØ ÙÒ ÓÖÓÐÐ Ö Ó Ð Ä ÑÑ Ä Ü¹Å Ð Ö Ñº

¾ ÁÐ Ñ ØÓ Ó Ð Ö Ò¹ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓ ÐÐ ØØ Ó ½ G h G h Γ D x x x n ÙÖ ¾º½º Ù Ö Ð Ú Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ð Ò Ö Ð ØÓ ÓÖ Ó Ò ÙÒ Ñ Ò ÓÒ Ò ØÖ Ò Ù Ñ Ò ÓÒ ØÖ ÓÖÓÐÐ Ö Ó ¾º½ Ë ØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ØÖÓÚ Ö u W g : a(u, v) =F (v) v V H Γ D, ¾º µ ÓÚ W g {v H (Ω) : v ΓD = g} ÓÒ g H /2 (Γ D ) ÓÖ Ó Ω Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö ÓÐ Ö º Ë Ð ÓÖÑ a(, ) Ð Ò Ö ÓÒØ ÒÙ Ó Ö Ú Ò V V Ð ÙÒÞ ÓÒ Ð F ( ) Ð Ò Ö ÓÒØ ÒÙÓ Ò V ÐÐÓÖ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ø ÙÒ Ô Ò ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ º È ÔÖ Ñ ÒØ u V C( F V + g H /2 (Γ D)), ÓÚ Ð Ó Ø ÒØ C Ô Ò ÐÐ Ó Ø ÒØ Ó Ö Ú Ø α ÐÐ Ó Ø ÒØ c γ ÐÐ Ù Ù Ð ÒÞ º½ µº Ó ØÖÙ ØÓ Ð Ö Ð Ú Ñ ÒØÓ ÙÒ ÑÓ Ó ÐØ ÖÒ Ø ÚÓ Ô Ö Ò Ö Ð³ Ò Ñ W g Ù Ö ÑÓ Ô Ó Ö Ö Ñ ÒØÓ Ö Ú Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ G + V º ÁÒ Ò Ö Ð Ð Ö Ð Ú Ñ ÒØÓ G ÒÓÒ ÙÒ Ó ÔÙ Ö ÐØÓ ÙÐÐ ÓÒ Ö Þ ÓÒ Ú Ö º Æ Ðг Ñ ØÓ ÐÐ Ö Ø ÞÞ Þ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö Ø ÙÒ ÑÓ Ó Ò ØÙÖ Ð Ô Ö Ó ØÖÙ Ö ÙÒ Ö Ð Ú Ñ ÒØÓº ÁÒ ØØ Ð ØÓ Ð ÓÖ Ó ÔÙ Ö ÔÔÖÓ Ñ ØÓ g h = i B ΓD g(x i )φ i ΓD ÓÚ B ΓD г Ò Ñ ÒÓ x i ÓÒÓ ÙÐ ÓÖ Ó Γ D Ð φ i ÓÒÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ º ÓÒ Ù ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ Ö Ð Ú Ñ ÒØÓ ØÓ G h = i B ΓD g(x i )φ i º Ó ÔÔ ÖØ Ò Ú ÒØ Ñ ÒØ ÐÐÓ Ô Þ Ó ÙÒÞ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò Ø V h ÙØ Ð ÞÞ ØÓ ÙÔÔÓÖØÓ ÓÒ Ò ØÓ ÓÐ Ð Ñ ÒØ ÒÒÓ ÐÑ ÒÓ ÙÒ ÒÓ Ó ÔÔ ÖØ Ò Ð ÓÖ Ó Ö Ð Ø Ú ÒÓ Ö ÙÖ ¾º½µº ÉÙ ØÓ Ö Ð Ú Ñ ÒØÓ Ó ØÓ ÐÙÒ Ø Ò Ð Ö ÑÔÓ Þ ÓÒ ÐÐ ÓÒ Þ ÓÒ Ð ÓÖ Ó ÒÞ Ð ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÔÔ Ò º ÉÙ Ò Ó Ö ÑÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ Ö Ø ÞÞ Þ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾º µ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÓ Ó Ð Ö Ò¹ Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÙÔÔÓÖÖ ÑÓ Ô ÖØ ÒØÓ Ú Ö ÒØÖÓ ÓØØÓ ÙÒ Ö Ð Ú Ñ ÒØÓ G h Xh r ÐÓ Ô Þ Ó Ò ØÓ Ò ÐÐ ½º¾¼µµ Ö Ö Ú Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò ØÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÑ ØÖÓÚ Ö u h G h + V h W g,h ÓÒ

¾ ¾ ÁÐ Ñ ØÓ Ó Ð Ö Ò¹ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓ ÐÐ ØØ Ó G h + V h {v h X r h : v h Γ D = G h } ¾º µ Ø Ð a(u h,v h )=F (v h ) Ô Ö Ó Ò v h V h ÓÚ V h = {v h X r h : v h ΓD =}. ¾º½ ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ ØØ ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ÁÒ ÕÙ ØÓ Ô Ö Ö Ó ÔÖÓÔÓÒ ÑÓ Ö Þ Ö Ð Ø Ú ÐÐ Ö ÓÐÙÞ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÒÞ Ð ÐÐ ÓÖÑ ØÖÓÚ Ö u Ø Ð d ( ν du ) + β du + σu = f, x (a, b), ¾º µ dx dx dx Ó ØØ ÓÔÔÓÖØÙÒ ÓÒ Þ ÓÒ Ð ÓÖ Ó ÓÚ Ó ÒØ ν Ú Ó Øµ β ØÖ ÔÓÖØÓµ σ Ö Þ ÓÒ Ó Ô Þ ÓÒ µ Ð Ø ÖÑ Ò ÒÓØÓ f Ö ÒÒÓ Ò Ò Ö Ð ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ xº Ú ÖÖ ØØÙ Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ØÓ Ó Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÙØ Ð ÞÞ Ò Ó Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Å ÌÄ Ñ½ ÒØÖÓ Ù ÑÓ Ö Ú Ñ ÒØ Ò ÔÖ Ñ Ö Þ º ÄÓ Ø Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÖÖ Ö ÔÖ Ó Ò Ð Ô ØÓÐÓ ÓÚ ÖÓÒØ Ö Ð Ó Ò Ù Ð ØÖ ÔÓÖØÓ Ó Ð Ö Þ ÓÒ ÓÑ Ò ÒÓ ÙÐ Ø ÖÑ Ò Ú Ó Ó Ô ÖØ ÓÐ ÖÑ ÒØ Ö Ø Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ Ú Ø ÒÙÑ Ö Óº ÁÒ ÐÙÒ Ö Þ ÖÙØØ Ö ÑÓ Ð ØØÓ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾º µ ÓÒ Ó ÒØ Ó Ø ÒØ ÔÔ ÖØ Ò H m+2 (a, b) f H m (a, b) Ô Ö ÙÒ m º Ö Þ Ó ¾º½º½ Ë ÓÒ Ö Ð Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÓÖ Ó { u + u =Ô Ö x (, ), u() =, u() = e. ¾º µ ½º Ë Ò Ö Ú Ð ÓÖÑÙÐ Þ ÓÒ ÓÐ Ø Ð Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÓÐ Ø ÙÒ º ¾º ÄÓ ÔÔÖÓ Ñ ÓÒ Ð Ñ ØÓ Ó Ð Ö Ò¹ Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÐÓ Ö ÓÐÚ ÓÒ Ñ½ ÑÔ Ò Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ð Ò Ö ÕÙ Ö Ø Ù Ù ÙÒ Ö Ð ÙÒ ÓÖÑ Ô Ó hºë Ú Ö Ð³ Ò Ñ ÒØÓ Ðг ÖÖÓÖ Ò ÐÐ ÒÓÖÑ H (, ) L 2 (, ) Ô Ö h Ú Ö / /32 Ø Ò Ò Ó ÓÒØÓ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ð Ø u(x) =e x º

¾º½ ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ ØØ ÑÓÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ËÓÐÙÞ ÓÒ ¾º½º½ Ò Ð Ñ Ø Ñ Ø ÐÔÖÓ Ð Ñ ÁÐ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖÓÔÓ ØÓ ÓÒ Þ ÓÒ Ö Ð Ø ÒÓÒ ÓÑÓ Ò º Æ Ö ÑÓ ÕÙ Ò ÙÒ ÓÖÑÙÐ Þ ÓÒ ÓÐ ÑÓÐØ ÔÐ Ò Ó Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ¾º µ Ô Ö ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ø Ø v V H (, ) ÒØ Ö ÑÓ Ù (, ) ÑÓ u vdx+ uv dx = v V. ÁÒØ Ö Ò Ó Ô Ö Ô ÖØ Ð ÔÖ ÑÓ Ò Ó Ø Ò Ò Ó ÓÒØÓ v() = v() = Ô ÖÚ Ò ÑÓ ÐÐ Ù ÒØ ÕÙ Þ ÓÒ u v dx + uv dx = v V. ¾º½¼µ ÈÓ ØÓ Γ D = {, } Ð ÓÖÑ ÓÐ Ú ÒØ ÐÐÓÖ ØÖÓÚ Ö u W g Ò ØÓ Ò ÐÐ ¾º µµ Ø Ð a(u, v) = v V ÓÚ a : V V R Ð Ù ÒØ ÓÖÑ Ð Ò Ö ÑÑ ØÖ a(u, v) u v dx + uv dx. ¾º½½µ È Ö Ò Ð ÞÞ Ö Ð ÙÓÒ ÔÓ Þ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾º½½µ Ù ÑÓ Ð ÓÖÓÐÐ Ö Ó ¾º½ Ó ÑÓ ÕÙ Ò Ú Ö Ö Ð ÓÖÑ Ð Ò Ö a(, ) ÓÒØ ÒÙ Ó Ö Ú Ù V V º ÑÓ ¹ a ÓÒØ ÒÙ Ò ÕÙ ÒØÓ a(u, v) u v dx + uv dx u L2 (,) v L2 (,) + u L2 (,) v L2 (,) 2 u V v V ; ¹ a Ó Ö Ú Ò ÕÙ ÒØÓ a(u, u) = u 2 L 2 (,) + u 2 L 2 (,) = u 2 V. ÉÙ Ò Ô Ö Ð ÓÖÓÐÐ Ö Ó ¾º½ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ¾º½½µ Ø ÙÒ Ø Ð º ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÁÒ ØÓ ÓÒ V h ÙÒ ÓØØÓ Ô Þ Ó V Ñ Ò ÓÒ Ò Ø Ø Ð dim(v h ) ÐÐÓÖ V h V Ð ÓÖÑÙÐ Þ ÓÒ Ð Ö Ò ¾º½½µ Ö Ö u h G h + V h

¾ ÁÐ Ñ ØÓ Ó Ð Ö Ò¹ Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ô Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓ ÐÐ ØØ Ó Ø Ð a(u h,v h )= v h V h º Í Ò Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø P r ÓÒ r =, 2, 3 ÐÓ Ô Þ Ó V h Ö V h {v h X r h : v h = Ò Γ D }, ¾º½¾µ ÓÚ Xh r Ø ØÓ ÒØÖÓ ÓØØÓ Ò ÐÐ ½º µ Ð Ô ØÓÐÓ ½º Ð ÓÐ ØÓ T h Ö ÔÔÖ ÒØ ÙÒ Ô ÖØ Þ ÓÒ (, ) Ò N h ÓØØÓ ÒØ ÖÚ ÐÐ K j (x j,x j ) ÑÔ ÞÞ hº Ê ÓÐÚ ÑÓ ÓÑ Ö ØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ñ½ ºÄ³ ÒØ Ö Ö ÕÙ ¹ ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ ØÖÙØØÙÖ Ø ÓÑ Ò ØÓ Ò Ð Ö ÑÑ ÐÓ ÙÖ ¾º¾º Ó Ë ÐØ Ð Ì ÔÓ ÈÖÓ Ð Ñ Ò Þ ÓÒ Ð ÈÖÓ Ð Ñ Å Ø Ñ Ø Ó Ó Ë ÐØ Ð Å ØÓ Ó ÆÙÑ Ö Ó Ó ÁÑÔÓ Ø Þ ÓÒ ÈÓ Ø¹ÔÖÓ Ò ÇÃ Ê ÙÐØ ØÓ ÆÙÑ Ö Ó Ó ÙÖ ¾º¾º Ö ÑÑ ÐÓ ÐÐ ØÖÙØØÙÖ Ñ½ Ä Ò ÑÓ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ð Þ ÓÒ ÑÓ Ð ÚÓ ÐÐ ØØ Ó Ò ÐÐ Ò ØÖ ÓÑÔ Ö ÙÖ ¾º Ò ØÖ µº Æ ÐÐ ÖÑ Ø Ù Ú Ð Þ ÓÒ ÑÓ Ð ÚÓ Ö Ð Ø Ú Ð ØØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÒØ Ó Ø ÒØ Ð ÑÓ ÙÒ ÕÙ Ð Ö Ð ÓÖÑ ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ó ÒÓÒ ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÐÐ ÕÙ Þ ÓÒ Ò ÕÙ ØÓ Ó Ð ØÙØØÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ µº ÈÖ ÑÓ ÕÙ Ò Ò ÐÐ ÔÔÓ Ø ÐÐ Ø ØÓ Ó ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ð ÓÖ Ó Ö Ð Ø Ò ÒØÖ Ñ Ð ØÖ Ñ ÙÖ ¾º ØÖ µº ÈÖ Ñ Ò Ó Ð ÔÙÐ ÒØ Ó Ô ÑÓ ÐÐ ÖÑ Ø Ù Ú º ÔÔ Ö ÙÒ Ò ØÖ Ð Ö ÙÒÓ Ô Þ Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÑÓ ÔÓ Þ ÓÒ Ð Ñ ÒØ P Ô Ö r =, 2, 3µ Ð Ô Ó Ö Ð Ó Ø ÒØ º Ä ÑÓ Ô Ö Ñ ØÖ ÔÖ ÑÔÓ Ø Ø È½ Ô Ó ¼º½µ Ð Þ ÓÒ ÑÓ Ó ÔÖÓ Ù ÑÓ ÙÖ ¾º Ò ØÖ µº ÔÔ Ö ÙÒ³ÙÐØ Ñ ÖÑ Ø Ö Ð Ø Ú ÐÙÒ ÓÔÞ ÓÒ ÔÓ Ø¹ ÔÖÓ Ò ÓÑ Ð ÐÓÐÓ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÓÒ Þ ÓÒ Ñ ÒØÓ ÐÐ Ñ ØÖ Ð Ø Ñ Ð Ò Ö Ó ØÓ ÐÐ Ö Ø ÞÞ Þ ÓÒ ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ø µº Ë Ð Þ ÓÒ ÑÓ Ð ÐÓÐÓ Ðг ÖÖÓÖ ÔÔ Ö Ö ÒÒÓ ÕÙ ØØÖÓ ÐÐ Ò ÐÐ ÔÖ Ñ Ù Ø Ð Ö Ú Ö ÑÓ Ð³ ÔÖ ÓÒ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ð Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ Ù Ö Ú Ø ÔÖ Ñ Ò Ð ÒÓ ØÖÓ Ó ÜÔ Üµµº Ë Ð Þ ÓÒ ÑÓ Ó ÔÖÓ ÑÓº