Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris Sisteme de ecuaţii algebrice liiare Metode directe de soluţioare Metoda elimiării a lui Gauss Metode iterative de soluţioare Metoda lui Gauss-Seidel
Sisteme de ecuaţii algebrice liiare Cosiderăm sistemul de ecuaţii algebrice liiare: Acest sistem poate fi scris sub formă matricială: ude: A rezolva sistemul de ecuaţii dat îseamă a determia toate ecuoscutele x di sistemul de ecuaţii prezetat. Sisteme de ecuaţii algebrice liiare Petru orice sistem de ecuaţii liiare pot exista 3 posibilităţi:. Sistemul de ecuaţii are o soluţie uică (î acest caz se spue că sistemul este compatibil determiat). 3 ORIGIN:= 2 0 0 0.5.5 2 A := 2 2 B := lsolve( A, B) = Se observă că dreptele se itersectează umai îtr-u puct.
Sisteme de ecuaţii algebrice liiare 2. Sistemul de ecuaţii are o ifiitate de soluţii (î acest caz se spue că sistemul este compatibil edetermiat). 2 0.5 0 0.5 0 0.5.5 2 Se observă că soluţiile descriu ua şi aceeaşi dreaptă. Sisteme de ecuaţii algebrice liiare 3. Sistemul de ecuaţii u are soluţii (adică este icompatibil). 2 2 4.5 0.5 0 0 0.5.5 2 Se observă că dreptele sut paralele.
Sisteme de ecuaţii algebrice liiare Dacă determiatul matricii A este diferit de 0 (matricea este esigulară), atuci sistemul de ecuaţii este compatibil determiat. Soluţia sistemului poate fi scrisă sub forma: x = A - b Există două clase de metode de rezolvare a sistemelor algebrice liiare: - metode directe sau exacte, care furizează soluţia îtr-u umăr fiit de paşi, î ipoteza că toate calculele se fac exact (Cramer, elimiarea gaussiaă, Cholesky) şi - metode iterative, care aproximează soluţia geerâd u şir care coverge către aceasta (Jacobi, Gauss-Seidel, SOR). Metoda elimiării a lui Gauss Metoda costă î elimiarea succesivă a ecuoscutelor îtr-o maieră care coduce la u umăr de operaţii mult mai redus decât procedeul care ar utiliza regula lui Cramerşi calculul determiaţilor corespuzători. Metoda elimiării a lui Gauss are două etape: - trasformarea sistemului dat îtr-uul echivalet, triughiular; - rezolvarea sistemului triughiular pri substituţie iversă. Elemetul a i,i plasat pe diagoala pricipalăse umeşte pivot.
Joha Carl Friedrich Gauss (777-855) A fost uul ditre cei mai mari matematiciei ai secolului al ouăsprezecelea şi probabil ai tuturor timpurilor. A trăit aproape toată viaţa î Gottige, ude a fost directorul observatorului astroomic 40 de ai. Î timpul studeţiei la Gottige, Gauss a descoperit că poligoul cu 7 laturi poate fi costruit cu rigla şi compasul, rezolvâd astfel o problemă deschisă a atichităţii. A avut cotribuţii fudametale î teoria umerelor, geometrie difereţială şi eeuclidiaă, fucţii eliptice şi hipergeometrice, mecaică cerească şi geodezie şi diverse ramuri ale fizicii, î special magetism şi optică. Lucrările lui Gauss î domeiul cuadraturilor umerice cotiuă muca predecesorilor săi Newto şi Cotes. Metoda elimiării a lui Gauss Exemplu: 3 2 2 4 2 ORIGIN:= A 4 := b := := legth( b) = 4 3 3 3 5 2 MTG( a, ) := for i.. a c a i, i for j i.. + a i, j a i, j c for k i +.. D a k, i for h i.. + a a a D k, h k, h i, h b, + SOL( b) := x b, k while x k > 0 s 0 for j k +.. s s + b x k, j j x b s k k, + k k 3 2 3 2 2 4 2 4 C augmet( A, b) 0.5 2 := = MTGC (, ) = SOL( MTG( C, ) ) 3 3 3 5 0 0.304 0.609 T = (.665 0.067 0.00 0.468).665 + 3 ( 0.067) + 20.00 + ( 0.468) = 0.998 2 0 0 0 496 232
Metoda lui Gauss-Seidel Pricipiul geeral al metodelor iterative poate fi prezetat pri aalogie cu metoda iteraţiei simple de rezolvare a ecuaţiei F(x) = 0, î care ecuaţia origială este trascrisă ca: ce coduce la procedeul iterativ: Î această metodă, ideea costă î a folosi oile valori ale compoetelor vectorului ecuoscutelor x (k+) imediat ce au fost calculate. Procesul de iteraţie se va îtrerupe câd se va satisface codiţia: x (i+) -x (i) ε Metoda lui Gauss-Seidel Exemplu: 8 5 2 0 5 0 2 2 eps := 0.00 ORIGIN:= A 3 := b := 2 2 8 2 2 := legth( b) = 4 0 2 2 5 8 8 5 2 0 5 0 2 2 3 D augmet( A, b) 2 := = x := 2 2 8 2 2 0 2 2 5 8 SDELD (, x,, eps) T = (.543 2.378 0.726 2.26) 8.543 + 5 ( 2.378) 20.726 + 0 = 0.998 SDELa (, x,, eps) := L 0 while L 0 x L for k.. s a k, + for j.. s s a x k, j j s s a k, k x x + s k k L 0 if s eps