Dodata Numerčo rešavaje jedača. Numerčo rešavaje jede jedače U hemjso žejersm proračuma se često susrećemo sa problemom rešavaja ee jedače. po epozatoj, pr čemu je moguće aaltčo rešavaje. Fucja čju ulu tražmo, može da, bude data em aaltčm zrazom, l predstavlja e račus proces u ome se dobjaju vredost ucje, oj je moguće predstavt jedom ormulom the closed orm Geometrjs, rešeje l ore jed.. predstavlja prese rve sa -osom. Iteraco proces Prblžo rešeje jedače. se dobja poavljam orgovajem procee orea a baz jede l vše prethodh procea vredost ucje za te procee. Taav račus proces se azva teraco proces jegov rezultat je z uzastoph sucesvh procea l aprosmacja orea:,,, 3,... tj. z vredost,,,... oga azvamo teraco z. Nulta procea je polaza procea tražeog rešeja, oja je eophoda. Formula ojom se z jede l vše prethodh procea, dobja ova zove se teracoa ormula. Specjalo, ao se ova procea aprosmacja dobja samo a baz prethode procee, teracoa ormula ma obl: F,,,,.... ucju F ćemo zvat teracoa ucja. Ao teraco z overgra tražeom rešeju α: lm α.3 ažemo da teraco proces overgra a tražeom rešeju α jedače. Kore α predstavlja u slučaju overgetog teracoog procesa taču agomlavaja teracoog za,,,... odoso za svao, ma olo hoćemo malo ε, može se ać tavo K, oje zavs od ε da važ:
α < ε > K ε,.4 Rečma, u tou overgetog teracoog procesa se možemo, olo god hoćemo blzu ε, prblžt tačom rešeju jedače, ao zvedemo dovoljo vel broj teracja K U lteratur se mogu ać razlčte umerče metode rešavaja jedača, tj. razlčte teracoe ormule m ćemo prazat dve od jh. Metoda tagete U ool tače, dobjee u -toj teracj, aprosmramo rvu jeom tagetom, povučeom u toj tač: t.5 pa sledeću proceu orea, alazmo z presea tagete t, t sa osom, odale sled teracoa ormula metode tagete l Njut-Rasoove metode Newto-Raphso:,,....6 y t α Sl.. Geometrjsa terpretacja metode tagete Metoda seate Ova metoda, predstavlja aprosmacju metode tagete, oja je pogoda za rešavaje jedača od ojh ucja ema aaltč zraz, pa se e može aaltč
derecrat. Umesto tagete u tač povlačmo sečcu roz dve posledje procee, odoso u teracou ormulu metode tagete.6 uvodmo aprosmacju: što daje teracou ormulu :,,....7 Nagb sečce: s α - Sla 7.7 Geometrjsa terpretacja metode seate Očgledo metod zahteva dve procee. Druga procea dobt malm pomerajem od polaze procee, recmo :, ±..7a se može Izbor polaze procee rterjuma za oočaje teracoog procesa Polaza procea rešeja jedače, je eophoda za otpočjaje teracoog procesa. Uolo je polaza procea bolja očeuje se maj broj eophodh teracja. U pras, do je se dolaz : a osovu sustva l pozavaja rešeja slčog problema, l a osovu graa ucje Drug pratč problem je ada preut overgeta teraco postupa. Uslov završeta teracoog procesa.4 ma samo teorets arater α je epozato ao zlaz rterjum se orste: < ε.8a 3
< δ.8b < ε.8c gde su ε, ε δ zadate toleracje to a ε ε - dozvoljee grace apsoluth odstupaja δ - dozvoljea graca relatvog odstupaja - mal broj može se uzet δ čjm se dodavajem a zbegava overlow u slučaju da je tača vredost orea Kada se odabra rterjum overgecje zadovolj, račus proces se preda ao prblžo rešeje jedače. usvaja se posledja procea,. Toleracje ε δ se braju a osovu željee tačost rešeja, majuć u vdu vezu zmeđu apsolute greše broja tačh decmala relatve greše broja sgurh cara dodata A.. Tao, ao želmo rešeje a d sgurh decmala, ao zlaz rtterjum bra se.8a, a toleracja uzma: ε.5 d ao želmo rešeje a s sgurh cara, ao zlaz rtterjum bra se.8b, a toleracja uzma: δ.5 s Treba reć da predložee toleracje e garatuju u opštem slučaju željeu tačost rešeja zato h je eophodo provert: Toleracja se smaj l puta poov proraču. Ao se dva rešeja, zaoružea a d decmala, odoso a s sguru cru, polope dobl smo rešeje sa željeom tačošću. U protvom treba poovt opsa postupa. PRIMER Reacja steze amojaa, N 3 NH H 3 se zvod u ataltčom reatoru a prtsu p 4bar, pr čemu se reatat uvode u molsom odosu N : H : 4. Izlaza temperatura je 5K. Ao se pretpostav uspostavljaje reacoe ravoteže u reatoru, stepe overzje azota < < se dobja rešavajem uslova reacoe ravoteže: 4 5 4 3 3 36 Potrebo je odredt ravotež stepe overzje amojaa sa tačošću od 3 decmale. Rešt problem metodom tagete, sa polazom proceom a.5, b, c određeom grač 4
: 36 Umesto polaze, moze se resavat joj evvaleta jedaca, cja je leva straa: Potreba je ucja prvog zvoda: Toleracja u rterjumu overgecje.8a: : 4 5 4 3 3 d d : d ε :.5 3 a Polaza procea: teracje : :.. 7 :.5 : d Uocavamo overgecju teracoog za odoso teracoog postupa. Iteraco z :.5.677.83.88545.985.943.94.943.943 Apsoluta odstupaja dve uzastope teracje : :.. 8 : "-" : "-".77.6.8.43. 9.8 4 5.7 6.483 < ε submatr,, 8,, Provera rterjuma overgecje Prema rterjumu overgecje, reseje je dobjeo u 7. teracj b : : Postavaje vetora teracje : : :.. 7 : d.965.93546.944.943.943.943.943.943 5
:.. 8 : "-" : "-".94.9 5.578 3.886 4.7 7.65 3 < ε submatr,, 8,, Prema rterjumu overgecje, reseje je dobjeo u 4. teracj c : : Postavaje vetora Sa graa u celom opsegu vredost ezavso promeljve:. 4 X. 4 teso se uocava ore. 4.5 X Proceu orea odredjujemo z ovog graa u opsegu [.9,] 5 X :.94 5.9.95 X teracje : :.. 3 : d.94.94.943.943.943 6
:.. 4 : "-" : "-".7 3 8.8 6 4.583.943 < ε submatr,, 4,, Prema rterjumu overgecje, reseje je dobjeo u. teracj PRIMER Desat programs ucju za rešavaje jedače. metodom tagete, sa zadatom polazom proceom toleracjom u rterjumu.8b, oja daje rešeje broj potrebh teracja. Prmet ucju a rešavaje prethodog problema sa polazom proceom. 5, ao se rešeje žel sa a 3 sgure cre b 5 sgurh cara p Njut,, δma : - ucja a levoj stra jedace ma 5 or.. ma p p d p d p - polaza procea ule δma - toleracja u rterjumu.8b δ, brea δ δma p δma, p p ma, "e overgra", retur Fucja Njut e zahteva aaltc desa zvod ucje jer se o u programu racua umerc! : 36 : 4 5 4 3 3 δma :.5 3 Res : Njut,.5, δma : Res : Res reseje.94 dobjeo u 7 teracja δma :.5 5 Res : Njut,.5, δma : Res : Res reseje.943 dobjeo u 8 teracja 7
PRIMER 3 Polaza smeša -heptaa -otaa, sa 5 % mol. -heptaa, destlše dsotualo pod atmosersm prtsom U tabel su dat potreb ravotež podac za smešu hepta-ota, gde ozačava mols udeo heptaa u tečoj az, a y jegov udeo u paroj az :.5.46.4.38.34.3.6. y:.689.648.68.567.53.475.43.37 Veza zmeđu olče polaze smeše oja je ostala u otlu sadržaja heptaa u otlu je : ϕ ep, < ϕ < o d y K, počet rajj sadržaj heptaa u destlacoom otlu ϕ - mols udeo od uupe olče polaze smeše oj je ostao u otlu. Treba zračuat sa preczošću od 3 začaje cre sadržaj heptaa u otlu, ada u jemu ostae 4% polaze smeše ϕ.4. a Desat programs ucju za rešavaje jedače. metodom seate, sa zadatom polazom proceom toleracjom u rterjumu.8b, oja daje rešeje broj potrebh teracja. b Prmeom desae ucje zračuat traže sadržaj heptaa. Tab :.5.689.46.648.4.68.38.567.34.53.3.475.6.43..37 T :.5 φ :.4 a pp Seata,, δma : p. pp ma 5 or.. ma p pp p p p pp δ, brea δ δma δma, pp p p ma,"e overgra", retur 8
b Desaje ucje cju ulu trazmo : Desaje ucje y: Tab : reverse Tab X Tab : Y Tab : y : terp psple X, Y, X, Y, : ep d y φ Resavaje jedace pomocu ucje Seata.5 :.33.5..3.4.5 δ :.5 3 Res : Seata,, δ Res : Res.39.39 Rešavaje jedača u Mathcad-u Za rešavaje eleare jedače u Matcadu se orste, ucja root, oja zahteva prethodo, l pr samom pozvu, desau ucju, čju ulu tražmo polazu proceu rešeja. Ova ucja se bazra a metod seate, a ao rterjum overgecje orst.8c Solve bloc Ao se ea jedača rešava oršćejem Mathcad ucje, pratča provera da l je zadata toleracja TOL dovoljo mala da garatuje d sgurh decmala u rešeju može se 9
zvršt poavljajem proračua uz zato maju toleracju recmo puta od zadate. Uolo se prv drug rezultat, ao zaoružvaja a d decmala, slažu a prvh d decmala, zač da je odabraa toleracja bla adevata. Slčo, pr zboru parametra TOL, oj garatuje s sgurh cara u rezultatu, rterjum je da se zaoruže rezultat dobje sa dve vredost TOL slažu a prvh s začajh cara PRIMER 4 Rešt problem desa u PRIMERU. sa polazom proceom. 5, oršćejem root ucje provert da l toleracja TOL garatuje rešeje sa 5 sgurh cara. : 36 : 4 5 4 3 3 Reseje sa "stadardom" toleracjom TOL 3 :.5 : root,.945 Provera toleracje TOL:. :.5 : root,.945 Reseja se slazu a 6 sgurh cara, pa je stadarda toleracja. dovolja. Numerčo rešavaje sstema elearh jedača Potrebo je sa željeom tačošću ać rešeje sstema elearh jedača:,, M,...,,,...,,...,.9 odoso, ać vredost epozath,,...,, tao da bude zadovoljeo uslova.9. Problem se može prazat ompatje u vetorsoj orm :.9a gde je vetorsa ucja, M vetorsog argumeta:
M Kao od jede eleare jedača, rešeje se traž teratvo, tj. uzastopm orgovajem procea epozath,...,,, tj. vetora, em algortmom. Međutm, rešavaje problema zbora dovoljo dobre polaze procee [ ] T K overgecje a željeom od, u opštem slučaju, vše rešeja problem multcplteta rešeja je zato složeje od sstema ego od jede jedače. Njut-Raso ova metoda Da b, polazeć od procee vetora rešeja dobjeog u -toj teracj,, dobl ovu proceu, svau od ucja u sstemu.9 aprosmramo Tajlorovm polomom prvog stepea, dobjeog razvjajem oo tače :,,.., ~ K Tao određujemo z uslova da leare ucje,...,,, ~ budu jedae ul: K M K Ao dešemo orecje epozath:,...,, odoso, orecju epozatog vetora: gorje leare jedače po epozatm orecjama,...,,, se mogu, u matrčom oblu apsat ao: J Dale, u svaoj teracj se rad alažeja orecja vredost epozath,,, K
rešava sstem learh jedača, čja je matrca Jaobjeva matrca, oja sadrž prve zvode svh ucja po svm promeljvma : J j, M L L L Sada možemo da dešemo teraco proces: J,,,,... Kao zlaz rterjum mogu da se orste rterjum 8a-c, prmeje a svau od epozath, odoso svau od ucja. U pras se orst sledeć zlaz rterjum ormulsa u oblu jedog uslova: [ ] < ε.a [ ] < ε.b Opsaa metoda je osova za razlčte modacje oje su mplemetrae u orsčm račuarsm programma. Sledeć prmer, čje jedace dozvoljavaju gračo procejvaje rešeja, lustruje jeu prmeu. PRIMER 5 Potrebo je locrat poztvo rešeje,y > sledećeg sstema jedača: 3log y y 5 a Odredt grač uupa broj realh rešeja b Izvest eolo teracja Njut-Rasoovom metodom za alažeje tražeog rešeja. 3 log y y 5 Resavajem po y prve jedace dobjaju se ucje: φ : 3 log φ : 3 log
Resavajem po y druge jedace dobja se ucja: φ 3 : 5 Reseja sstema se alaze u preseu 3. sa.. rvom: :.,... 5 φ φ φ 3 5 5 4 6 Sstem ma reseja. Dobjaje poztvog reseja metodom Njut Rasoa ; ORIGIN : Decja ucja u vdu vetorse ucje vetorsog argumeta: Decja Jaobjeve matrce: J : 3 l 4 5 : 3 log 5 Polaze procee: Iteraco proces : 3 p :. teracja: : lsolve J p, p : p 3.59.3.5.5.453 Prprema za aredu teracju: p : 3
. teracja: 3.49 3.749 : lsolve J p, p 3 : p.4.63.5 Prprema za aredu teracju: p : 3. teracja: 3.487 3.75 : lsolve J p, p 6 : p.37 5.6.47 5 Itd... Uocavamo po vredostma epozath ucja ao po velc rterjuma.a da teraco proces brzo overgra Rešavaje sstema jedača u Mathcad-u Za rešavaje sstema elearh jedača u Mathcad-u se orst Solve Bloc. Pr pozvaju ucje Fd, moguće je brat jeda od tr teratve metode za rešavaje sstema desm lom a Fd: Metod ojugovah gradjeata, oj traž ou vredost vetora epozath za oju suma vadrata vredost ucja.b ma mmum. Leveberg - Marvart-ova Leveberg - Marquardt modacja Njut- Rasoove metode. Kvaz - Njutova metoda, modacja Njut- Rasoove metode. PRIMER 6 U reatoru se odgravaju sledeće povrate reacje: A B D B X Y A X Z Počete ocetracje mol/l supstac su : A B.5, D X Y Z Ao se pretpostav uspostavljaje reacoe ravoteže, ocetracje zadovoljavaju sledeće uslove: A D B K K K X Y Z c, c,, c,3 B A X Da b se odredo rajj sastav, dale 7 epozath, eophodo je mat još 4 ezavse jedače. To su stehometrjse relacje:,,, A A D Z B B D Y D Y Y X Z 4
Treba zračuat rajj sastav, ao su ostate ravoteže: K c,.6, K c,.63, K c, 3 5 Kc :.6 Kc :.63 Kc 3 : 5 A :.5 B :.5 Proracu rajjeg sastava: Polaze procee: D : X : Z : Gve D X Z D A D Z B D X Z X X Z B D X Z D X Z Kc Kc jedace oje se resavaju,dobjee elmacjom 4 ocetracje pomocu stehometrje Z X A D Z Kc 3 Fd D X Z Postupa e overgra! Pousaj da se res evvaleta sstem, jedostavje struture bez razlomaa: Gve D X Z D Kc A D Z B D X Z X X Z Kc B D X Z D X Z Z Kc 3 A D Z X Postupa overgra: D X Z : Fd D X Z D X Z.7533.7779.37398 Leveberg-Marquardt ov metod 5
Izracuavaje ostalh ocetracja: A : A D Z Y : X Z B : B D Y : D Y Ravotez sastav sstema: A B D X Y Z.469.49.5357.7533.7779.5577.37398 Sledec ac resavaja problema je evvaleta : Resava se 7 jedaca sa 7 epozath - e vrs se prethoda elmacja 4 promeljve Pol. procee: A : A B : B : D : X : Y : Z : Gve D Kc A B X Y Kc B jedace oje se resavaju Z Kc 3 A X A A D D Y Z B B D Y X Z Y A B D X Y Z : Fd A B D X Y Z A B D X Y Z.469.49.5357.7533.7779.5577.37398 6