Varietăţi algebrice. 1.1 Definiţia spaţiului proiectiv şi primele proprietăţi

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Varietăţi algebrice 1 Spaţiul proiectiv 1.1 Definiţia spaţiului proiectiv şi primele proprietăţi Fie n N şi E un spaţiu vectorial de dimensiune n + 1 peste corpul comutativ K. Pe mulţimea E \ {0} introducem relaţia de echivalenţă x y λ K := K \ {0}, y = λx. Definiţia 1.1. Se numeşte spaţiu proiectiv asociat lui E (notat P(E)) mulţimea claselor de echivalenţă din E \ {0}, în raport cu relaţia. Dacă E = K n+1, notăm P(E) = P n K şi numim această mulţime spaţiul proiectiv standard de dimensiune n (folosim notaţia P n dacă nu există dubii asupra corpului peste care lucrăm). Fie p : K n+1 \ {0} P n K proiecţia canonică. Dacă x = (x 0, x 1,..., x n ) K n+1 {0} şi x = p(x), spunem că x este un punct al lui P n K, ce are coordonatele omogene (x 0 : x 1 :... : x n ). Acestea nu sunt toate nule. Coordonatele omogene ale unui punct al unui spaţiu proiectiv sunt bine determinate doar până la înmulţirea cu o constantă nenulă: dacă (x 0 : x 1 :... : x n ) este un sistem de coordonate omogene al punctului x, iar λ K, atunci (λx 0 : λx 1 :... : λx n ) este un alt sistem de coordonate omogene al lui x. Fie F E un subspaţiu vectorial de dimensiune m + 1, unde 0 m n. Definiţia 1.2. Imaginea, prin proiecţia canonică, a mulţimii F \ {0} în P(E) se numeşte subspaţiu proiectiv de dimensiune m (notat F ). 1

Dacă m = 0 spunem că F este un punct, dacă m = 1 o dreaptă proiectivă, dacă m = 2 un plan proiectiv, dacă m = n 1 un hiperplan proiectiv. Propoziţia 1.1. Fie V şi W două subspaţii proiective ale lui P(E), de dimensiuni r şi s (r, s N), astfel încât r + s n 0. Atunci V W este un subspaţiu proiectiv de dimensiune r + s n (în particular V W este o mulţime nevidă). Demonstraţie. Afirmaţia rezultă imediat din proprietăţile de intersec-ţie ale subspaţiilor vectoriale într-un spaţiu vectorial finit dimensional. Fie GL(E) grupul liniar al automorfismelor spaţiului vectorial E şi fie u GL(E). Deoarece u este o funcţie liniară şi păstrează coliniaritatea, u induce o bijecţie u a spaţiului proiectiv P(E) în el însuşi. Definiţia 1.3. O funcţie bijectivă P(E) P(E), indusă de un element u al lui GL(E), se numeşte omografie. Observaţia 1.1. (i) Imaginea printr-o omografie a unui subspaţiu proiectiv este un subspaţiu proiectiv. (ii) Este evident că o omotetie a lui E induce aplicaţia identică pe spaţiul proiectiv P(E). Pe de altă parte, omotetiile sunt singurele elemente ale lui GL(E) cu această proprietate. Ele formează un subgrup al lui GL(E), izomorf cu grupul multiplicativ K. Obţinem astfel o bijecţie între mulţimea omografiilor lui P(E) şi câtul GL(E)/K. În particular, mulţimea omografiilor este înzestrată cu o structură de grup, numit grupul proiectiv al lui E şi notat P GL(E). Şirul de grupuri este exact. 0 K GL(E) P GL(E) 0 2

2 Mulţimi algebrice proiective 2.1 Inelul graduat K[X 0,..., X n ] Fie R = K[X 0,..., X n ]. De o importanţă deosebită în studiul pe care îl vom face în continuare este structura graduată a acestui inel. Acesta se scrie R = n N R d, unde am notat R d mulţimea polinoamelor omogene de grad d. Astfel, dacă f R este un polinom de grad r, atunci f se scrie în mod unic sub forma f = f 0 + f 1 + + f r, unde f i este un polinom omogen de grad i, oricare ar fi i {0, 1,..., r}. Fie p un ideal prim omogen al lui R, adică un ideal prim generat de polinoame omogene. Inelul localizat R p este un inel graduat, înzestrat cu graduarea naturală: deg(f/g) = deg f deg g (f, g R). Notăm R (p) mulţimea elementelor de grad zero ale acestui inel. Mulţi-mea R (p) are o structură de inel local, cu idealul maximal pr p R (p). În particular, R ( 0 ) este un corp izomorf cu K. În mod analog, dacă F este un polinom omogen, notăm R (F ) mulţimea elementelor de grad zero ale inelului graduat R F. Să observăm că { } P R F = F / n N, P K[X 0,..., X n n ], deg P = n deg F. 2.2 Mulţimi algebrice proiective În secţiunile ce urmează K este un corp comutativ cu o infinitate de elemente, iar P n = P n K. Fie F K[X 0,..., X n ]. Observăm că, în general, F nu induce o funcţie bine definită pe spaţiul proiectiv, deoarece valoarea sa într-un punct x depinde de sistemul de coordonate omogene ales (singura excepţie este dată de polinoamele constante). Totuşi, dacă F este un polinom omogen de grad d, atunci, pentru orice λ K, F (λx 0, λx 1,..., λx n ) = λ d F (x 0, x 1,..., x n ) (1) 3

Definiţia 2.1. Fie F K[X 0,..., X n ]. Spunem că punctul x este un zero al lui F dacă F (x 0, x 1,..., x n ) = 0 pentru orice sistem de coordonate omogene (x 0, x 1,..., x n ) al lui x, şi scriem F (x) = 0. Să presupunem că polinomul F este omogen. Relaţia (1) implică faptul că dacă F (x 0, x 1,..., x n ) = 0 pentru un sistem particular de coordonate omogene (x 0, x 1,..., x n ) al punctului x, atunci x este un zero al lui F. Exerciţiul 2.1. Fie F = F 0 +F 1 +...+F r, unde F i sunt polinoame omogene de grad i pentru i {0,..., r}. Arătaţi că F (x) = 0 dacă şi numai dacă F i (x) = 0 pentru orice i {0,..., r}. Definiţia 2.2. Fie S o submulţime oarecare a lui K[X 0,..., X n ]. Se numeşte mulţime algebrică proiectivă definită de S mulţimea V p (S) = {x P n / F (x) = 0, F S}. Exemplul 2.1. a) V p ({0}) = P n. b) Fie m = K[X 0,..., X n ] + = X 0,..., X n idealul polinoamelor fără termen liber. Atunci V p (m) =. Acest ideal se numeşte idealul irelevant. c) Dacă S = {f}, mulţimea algebrică proiectivă obţinută se numeşte hipersuprafaţă în P n. d) Un punct x = (x 0,..., x n ) P n este o mulţime algebrică proiectivă: într-adevăr, există o coordonată nenulă, să zicem x 0, şi putem presupune că x 0 = 1. Atunci {x} = V p (X 1 x 1 X 0,..., X n x n X 0 ). e) Orice mulţime finită este o mulţime algebrică afină (a se vedea exemplul anterior şi Proprietatea 4 de mai jos). Proprietăţi 1. Aplicaţia V p : {S K[X 0,..., X n ]} {mulţimi algebrice proiective} 4

este descrescătoare în raport cu incluziunea: S S V p (S) V p (S ). 2. Fără a restrânge generalitatea, putem considera doar submulţi-mile S K[X 1,..., X n ] care sunt ideale, deoarece dacă S este idealul generat de S, { S = f = } a i f i / f i S, a i K[X 0,..., X n ], atunci V p (S) = V p ( S ). 3. Orice mulţime algebrică afină este definită de un număr finit de ecuaţii, deoarece K[X 0,..., X n ] este un inel noetherian, deci orice ideal al său este de tip finit: I = f 1,..., f r. 4. O intersecţie oarecare sau o reuniune finită de mulţimi algebrice proiective este o mulţime algebrică proiectivă. Prin urmare spaţiul proiectiv P n este înzestrat cu o topologie, ai carei închişi sunt mulţimile algebrice proiective, numită topologia Zariski. Aceasta induce o topologie pe orice submulţime a lui P n, în particular pe mulţimile algebrice proiective. Definiţia 2.3. Fie V P n. Mulţimea I p (V ) = {F K[X 0,..., X n ] / F (x) = 0, x V } se numeşte idealul mulţimii V. Observaţia 2.1. a) I p (V ) este un ideal omogen şi radical al inelului graduat K[X 0,..., X n ]. b) Funcţia V I p (V ) este descrescătoare în raport cu incluziunea. c) Dacă V este o mulţime algebrică proiectivă, atunci V p (I p (V )) = V. 5

Dacă I este un ideal omogen al inelului de polinoame K[X 0,..., X n ], atunci I I p (V p (I)). d) I p (P n ) = (0), I p ( ) = K[X 0,..., X n ]. Fie V P n o mulţime algebrică proiectivă şi I p (V ) idealul său. Deoarece acesta este un ideal omogen, inelul cât Γ h (V ) = K[X 0,..., X n ]/I p (V ) este un inel graduat, numit inelul de coordonate al lui V. Putem atunci, ca şi în cazul afin, traduce proprietăţi topologice ale submulţi-milor algebrice proiective ale lui V prin proprietăţi algebrice ale idealelor omogene ale lui Γ h (V ). Lăsăm cititorului sarcina de a explicita un astfel de dicţionar. Observaţia 2.2. Definiţiile şi rezultatele referitoare la mulţimi ireductibile din capitolul anterior se transcriu în contextul de aici fără dificultate. Definiţia 2.4. Fie V P n o mulţime algebrică proiectivă şi fie f Γ h (V ) un element omogen de grad strict pozitiv. Se numeşte deschis fundamental (sau standard) al lui V mulţimea D + f = {x V / f(x) 0}. Deschişii fundamentali formează o bază pentru topologia Zariski pe V. Exemplul 2.2. Deoarece fiecare punct al spaţiului proiectiv P n are cel puţin o coordonată nenulă, rezultă că P n = i D + X i. Vom vedea în paragraful următor că fiecare mulţime D + X i poate fi identificată cu un spaţiu afin. Definiţia funcţiilor regulate într-un punct al unei mulţimi algebrice proiective este asemănătoare cu cea din cazul afin. De data aceasta trebuie să ţinem cont că raportul a două polinoame determină o funcţie doar dacă aceste polinoame au acelaşi grad. 6

Definiţia 2.5. Fie V P n o mulţime algebrică proiectivă, W V un deschis şi f : W K o funcţie definită pe W. Spunem că f este regulată în punctul P W dacă există o vecinătate deschisă U W a punctului P şi două polinoame omogene de acelaşi grad G, H K[X 0,..., X n ] astfel încât H nu se anulează pe U şi f /U = G H. Spunem că funcţia f este regulată pe W dacă este regulată în orice punct al lui W. Asociind oricărei mulţimi deschise U V, mulţimea funcţiilor f : U K regulate pe U, obţinem, ca şi în cazul afin, un fascicul de funcţii pe V - fasciculul funcţiilor regulate. Acesta este notat O V, iar mulţimea secţiunilor peste un deschis oarecare U V, notată în mod uzual Γ(U, O V ), este un inel. Corpul funcţiilor raţionale pe o mulţime algebrică proiectivă V (notat K(V )) şi inelul local într-un punct P V (notat O P ) se pot defini ca şi în cazul afin, vezi Definiţiile 2 şi 3, secţiunea Funţii regulate. Morfisme (se folosesc mulţimile deschise ale topologiei Zariski şi funcţiile regulate pe acestea). 2.3 Legătura afin-proiectiv Pentru a studia diverse proprietăţi ale mulţimilor algebrice proiective, vom reduce de multe ori problema la cazul afin. Vom descrie două posibilităţi de a realiza această trecere proiectiv afin. Prima modalitate, ce poate fi privită ca o metodă globală, este sugerată chiar de Definiţia 2.3. Definiţia 2.6. Fie V P n o mulţime algebrică proiectivă. Mulţimea se numeşte conul lui V. C(V ) = p 1 (V ) {0} A n+1, În Definiţia 2.6, p : A n+1 \ {0} P n este proiecţia canonică (identificăm, ca şi altă dată, mulţimea K n+1 cu mulţimea punctelor spaţiului afin A n+1 K ). 7

Observaţia 2.3. (i) Dacă I K[X 0,..., X n ] este idealul omogen al mulţimii algebrice proiective V, I = I p (V ), şi I K[X 0,..., X n ], atunci C(V ) este mulţimea algebrică afină din A n+1 definită de I, C(V ) = V (I). (ii) Pentru orice mulţime algebrică proiectivă V P n, În particular, dacă V =, atunci O = (0, 0,..., 0) C(V ). C(V ) = V (K[X 0,..., X n ] + ) = {O}. (iii) Dacă P = (x 0, x 1,..., x n ) C(V ) şi x i 0 pentru cel puţin un indice i {0, 1,..., n}, atunci C(V ) contine toate punctele dreptei OP. O problemă importantă la rezolvarea căreia este utilizat conul unei mulţimi algebrice proiective este varianta proiectivă a Teoremei zerourilor : Teorema 2.1. (Nullstellensatz proiectiv) Presupunem corpul K algebric închis. Fie I K[X 0,..., X n ] un ideal omogen şi V = V p (I). (1) V p (I) = N N astfel încât X 0,..., X n N I X 0,..., X n = K[X 0,..., X n ] + r(i). (2) Dacă V p (I), atunci I p (V p (I)) = r(i). Demonstraţie. Dacă I = K[X 0,..., X n ], atunci V = V p (I) = şi afirmaţia (1) este evident adevărată. Presupunem că I K[X 0,..., X n ]. Aplicăm Nullstellensatz conului C(V ) = V (I) A n+1. Obţinem: V p (I) = C(V ) = {O} r(i) = I({O}) = K[X 0,..., X n ] +, deci prima parte a teoremei este demonstrată. Pentru a demonstra cea de-a doua parte, să presupunem că V = V p (I). Atunci, aplicând din nou Teorema zerourilor, rezultă I p (V ) = I(C(V )) = I(V (I)) = r(i). A doua posibilitate de a utiliza proprietăţi afine în studiul mulţimi-lor proiective este mai profundă. Ea furnizează informaţii privind structura spaţiului proiectiv şi a submulţimilor acestuia. 8

Fie hiperplanul proiectiv H P n K asociat hiperplanului vectorial de ecuaţie x 0 = 0. Atunci mulţimea P n K H este deschisul fundamental D+ X 0. Funcţia este bijectivă şi bine definită. corespondenţa Pe de altă parte, ϕ : D + X 0 A n ( x1 x = (x 0 : x 1 :... : x n ),..., x ) n x 0 x 0 (x 1,..., x n ) Funcţia inversă, ψ = ϕ 1, este dată de ψ (1 : x 1 :... : x n ). H = {(0 : x 1 :... : x n ) P n K / x i K nu toţi nuli}. Funcţia H P n 1 K, (0 : x 1 :... : x n ) (x 1 :... : x n ) este o bijecţie. Prin urmare, daca uităm prima coordonată, hiperplanul H poate fi privit ca un spaţiu proiectiv de dimensiune n 1. Rezultă că spaţiul proiectiv P n K de dimensiune n poate fi gândit ca reuniunea disjunctă a unui spaţiu afin A n cu un spaţiu proiectiv de dimensiune n 1. Spunem că punctele lui A n sunt puncte la distanţă finită, iar cele ale lui H sunt puncte la infinit. Această clasificare a punctelor spaţiului proiectiv depinde de alegerea hiperplanului H făcută la începutul acestul paragraf. Coordonata x 0 nu are nimic particular, şi am fi putut porni discuţia de mai sus cu hiperplanul de ecuaţie x i = 0, cu i oarecare din mulţimea {0,..., n} (bineînţeles, cu modificările de rigoare în definiţia funcţiei ϕ şi a inversei sale). Chiar mai general, putem considera ca hiperplan la infinit imaginea, prin proiectia canonică, a oricărui hiperplan vectorial al lui K n+1. Exemplul 2.3. Dreapta proiectivă. Să particularizăm discuţia de mai sus în cazul n = 1. Notăm (x : y) coordonatele proiective ale dreptei proiective P 1 şi alegem drept hiperplan la infinit hiperplanul H de ecuaţie x = 0. Atunci H = {(0 : y) / y K }. Cum orice două perechi de coordonate omogene (0 : y), (0 : y ) (y, y 0) reprezintă acelaşi punct din spaţiul proiectiv P 1, rezultă că H este de fapt un 9

punct. Acesta este notat şi poate fi reprezentat de coordonatele omogene (0 : 1). Identificăm K(= A 1 ) şi P 1 \ { } prin ξ (1 : ξ) (funcţia ψ de mai sus). Aşadar, dreapta proiectivă poate fi privită ca o dreaptă afină la care am adăugat un punct la infinit. Omografiile sunt în acest caz ξ aξ + b cξ + d (ad bc 0), prelungite la infinit cu regulile uzuale de trecere la limită. Exemplul 2.4. Planul proiectiv. În planul proiectiv P2 K, utilizăm coordonatele (x : y : t). Să presupunem de data aceasta că hiperplanul la infinit este H, de ecuaţie t = 0. Atunci H = {(x : y : 0) P 2 K / x, y K, x 0 sau y 0}, ceea ce reprezintă o dreaptă proiectivă, D. Pe de altă parte, D + t = P 2 K D = {(x : y : 1) / x, y K} ϕ A 2, deoarece pentru orice punct P D + t, a treia coordonată, t, este nenulă. Deoarece coordonatele unui punct sunt bine definite doar până la înmulţirea cu un scalar nenul, putem presupune t = 1. Vom descrie în continuare cum putem trece de la polinoame omogene din K[X 0,..., X n ], esenţiale pentru studiul mulţimilor algebrice proiective din P n K, la polinoame aparţinând inelului K[X 1,..., X n ], pe care le-am utilizat în studiul mulţimilor algebrice afine incluse în spaţiul afin A n K. a) Dezomogenizarea polinoamelor. Fie aplicaţia K [X 0, X 1,..., X n ] K [X 1,..., X n ] (2) P (X 0, X 1,..., X n ) P (X 1,..., X n ) = P (1, X 1,..., X n ) (3) Funcţia este un morfism de inele. Să observăm faptul că dacă P este un polinom omogen de grad d, atunci ( X1 P,..., X ) ( n X0 = P, X 1,..., X ) n = P (X 0, X 1,..., X n ) (4) X 0 X 0 X 0 X 0 X 0 X0 d 10

În plus, deg P = d dacă şi numai dacă X 0 P. Cazul polinoamelor omogene din inelul graduat K [X 0, X 1,..., X n ] este cel care ne va interesa în acest capitol. b) Omogenizarea polinoamelor. Considerăm funcţia K [X 1,..., X n ] K [X 0, X 1,..., X n ] (5) ( p(x 1,..., X n ) p (X 0, X 1,..., X n ) = X deg p X1 0 p,..., X ) n (6) X 0 X 0 Spre deosebire de, funcţia nu este un morfism de inele. Pentru orice p K [X 1,..., X n ], polinomul p este omogen. În mod evident, acţiunile de omogenizare şi dezomogenizare a polinoamelor pot fi realizate în raport cu orice coordonată, nu doar în raport cu X 0. Următoarele proprietăţi sunt imediate (exerciţiu): (i) p, q K [X 1,..., X n ] (pq) = p q. (ii) p K [X 1,..., X n ] ( p ) = p. Mai precis, p este polinomul omogen de grad minim, cu proprietatea ( p ) = p. (iii) Dacă P K [X 0, X 1,..., X n ] este un polinom omogen de grad d, atunci P = X0(P r ), unde X0 r este cea mai mare putere a lui X 0 ce divide P. (iv) Dacă P este un polinom omogen, atunci P = 0 P = 0. Propoziţia 2.2. Fie i {0,..., n} fixat şi D + X i definită de X i 0. Atunci aplicaţia P n mulţimea deschisă ϕ i : D + X i A n ( x1 (x 0 :... : x n ),..., x ) n x 0 x 0 este un homeomorfism şi induce, via şi de mai sus, un izomorfism între inelul funcţiilor regulate pe A n şi localizatul K[X 0,..., X n ] (Xi ) ale cărui elemente sunt funcţii regulate pe D + X i. Demonstraţie. Să demonstrăm mai întâi faptul că ϕ i este homeomorfism. Am văzut deja că ϕ i este o bijecţie, cu inversa ψ i. Folosim bazele topologiilor pe A n, respectiv P n, formate din deschişi standard. Astfel, { D + F D+ X i / F K [X 0, X 1,..., X n ] omogen, deg F > 0 } 11

este o bază a topologiei Zariski pe D + X i, iar {D(f) / f K [X 1,..., X n ], deg f > 0} este o bază a topologiei Zariski pe A n. Pe de o parte, pentru orice polinom f K [X 1,..., X n ], ϕ 1 i (D(f)) = D + D + f X i, iar pe de altă parte, pentru orice F K [X 0, X 1,..., X n ], ψ 1 i (D + F D+ X i ) = D(F ). Rezultă că ϕ i şi ψ i sunt funcţii continue, deci ϕ i este un homeomorfism. Izomorfismul din a doua parte a Propoziţiei 2.2 este izomorfismul de inele ϕ i : K[Y 1,..., Y n ] şi este dat de corespondenţa p(y 1,..., Y n ) p K[X 0,..., X n ] (Xi ) ( X1 X i,..., X i 1 = p (X 0,..., X n ) X deg p i X i, X i+1. X i,..., X ) n X i În spaţiul proiectiv P n identificăm, ca spaţii topologice cu topologiile Zariski respective, deschisul D + X 0 definit de x 0 0 cu spaţiul afin A n. Dacă I este un ideal al lui K[X 1,..., X n ], notăm cu I idealul lui K[X 0,..., X n ] generat de { p / p I }. Dacă J este un ideal al lui K[X 0,..., X n ], notăm cu J idealul lui K[X 0,..., X n ] generat de {P / P J}. Propoziţia 2.3. Fie V = V (I) A n (respectiv W = V p (J) P n ) o mulţime algebrică afină (respectiv proiectivă), şi V P n (respectiv W A n ) mulţimea algebrică definită de I (respectiv J ). Atunci: (i) aplicaţiile şi sunt crescătoare în raport cu incluziunea; (ii) (V ) = V ; (iii) V este închiderea lui V în P n ; (iv) W = W D + X 0. 12

Demonstraţia este imediată. Vom descrie în continuare submulţimi ale planului proiectiv definite de ecuaţii omogene de grad 1 sau 2. Folosim, ca în Exemplul 2.4, coordonatele omogene (x : y : t). Să presupunem pentru început că dreapta la infinit este D : t = 0. Bineînţeles, folosim notaţiile şi pentru omogenizarea şi dezomogenizarea polinoamelor în raport cu coordonata t. 1. Dreptele proiective ale planului. O dreaptă proiectivă D este obţinută ca imaginea unui subspaţiu vectorial 2-dimensional al lui K 3, prin proiecţia canonică p : K 3 \ {(0, 0, 0)} P 2. Dreapta D este aşadar descrisă de o ecuaţie liniară omogenă netrivială: ax + by + ct = 0. Putem distinge următoarele situaţii: (a) dacă a = b = 0, obţinem D = D ; (b) dacă a 0 sau b 0, atunci D = D D + t = {(x, y) / ax + by + c = 0}, ceea ce reprezintă o dreaptă afină în A 2 (planul afin este identificat cu mulţimea deschisă standard D t + prin bijecţia ϕ corespunzătoare coordonatei t). Pe de altă parte, D D = {(x : y : 0) / ax + by = 0} = {(b : a : 0)}. Să considerăm două drepte D 1 şi D 2 din planul afin A 2, de ecuaţii: D 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, D 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0. Folosind aplicaţia, obţinem două drepte proiective în P 2 : astfel încât D 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 t = 0, D 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 t = 0, D 1 D + t = D 1 ; D 2 D + t = D 2. 13

Dreptele proiective D 1, D 2 sunt închiderile topologice ale dreptelor afine D 1, respectiv D 2 în P 2. Pe de altă parte, D 1 D = {(b 1 : a 1 : 0)}, D 2 D = {(b 2 : a 2 : 0)}. Observăm că dreptele afine D 1 şi D 2 sunt paralele dacă şi numai dacă D 1 şi D 2 se intersectează la infinit! Prin urmare, intersecţia unei drepte proiective cu dreapta la infinit este un punct ce determină direcţia dreptei. În acelaşi timp, un punct (α : β : 0) de pe dreapta la infinit determină o direcţie în planul afin, mai precis familia de drepte paralele { βx + αy + µ = 0 / µ K}. 2. Conice. Numim conică în planul proiectiv P 2 o curbă C P 2, definită de o ecuaţie omogenă de gradul al doilea în coordonatele x, y, t. Vom considera în continuare un exemplu concret. Fie C = {(x : y : t) P 2 / xy t 2 = 0}. Intersectând curba C cu D t + (acest deschis standard fiind identificat cu planul afin A 2 ), obţinem hiperbola C de ecuaţie xy = 1. Dacă intersectăm C cu D, obţinem două puncte: C D = {(1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0)}. Aceste puncte corespund direcţiilor asimptotice ale hiperbolei C. Dacă intersectăm C cu o dreaptă paralelă cu una din asimptote, obţinem un punct la distanţă finită şi unul la infinit, acesta din urmă fiind unul din cele două puncte ale mulţimii C D. Dacă intersectăm C cu una din asimptote obţinem un punct dublu la infinit. Putem alege însă ca dreaptă la infinit subspaţiul D de ecuaţie x = 0. Atunci mulţimea complementară dreptei D este D + x = P 2 \ D 14

şi poate fi identificată, în mod analog, cu un plan afin, un punct al acestuia având coordonatele (y, t). Curba C D + x este parabola de ecuaţie y = t 2, iar intersecţia conicei cu dreapta la infinit are un singur punct: C D = (0 : 1 : 0). Să alegem ca dreaptă la infinit subspaţiul proiectiv D de ecuaţie x + y = 0 şi să presupunem K = R. Făcând schimbarea de coordonate (omografia!) x = x, y = t, t = x + y ecuaţia curbei C devine iar cea a dreptei la infinit: x 2 + y 2 x t = 0, D : t = 0. Intersectând C cu spaţiul afin complementar dreptei la infinit obţinem elipsa x 2 + y 2 x = 0, iar intersecţia cu dreapta la infinit este: C D =. Conica C nu are în acest caz nici un punct la infinit. Natura uzuală a conicelor (hiperbolă, parabolă, elipsă) este aşadar o proprietate afină care se traduce, când lucrăm în spaţiul proiectiv, prin numărul punctelor de intersecţie cu dreapta aleasă la infinit. Fie V P n o mulţime algebrică proiectivă. În mod evident, orice funcţie constantă este regulată pe V. Teorema următoare afirmă că, dacă V este o mulţime ireductibilă şi K este un corp algebric închis, atunci are loc şi afirmaţia reciprocă: orice funţie regulată pe întreaga mulţime V este constantă. Demonstraţia este o ilustrare a corespondenţei afin - proiectiv dată de homeomorfismele ϕ i din Propoziţia 2.2. 15

Teorema 2.4. Fie V P n o mulţime algebrică proiectivă ireductibilă cu inelul de coordonate Γ h (V ). Atunci: (1) Inelul funcţiilor regulate pe V, Γ(V, O V ), este izomorf cu corpul K; (2) Pentru orice P V, fie m P Γ h (V ) idealul generat de polinoamele omogene F Γ h (V ), astfel încât F (P ) = 0. Atunci (3) K(V ) Γ h (V ) ( 0 ). O P Γ h (V ) (mp ). Demonstraţie. Amintim pentru început că Γ h (V ) = K[X 0,..., X n ]/I p (V ). Pentru simplitatea expunerii, vom numi pe parcursul acestei demon-straţii un element al inelului Γ h (V ) polinom, şi nu clasă a unui polinom modulo relaţia de echivalenţă indusă de idealul I p (V ). Fie V i = V D + X i. Deoarece V i este o mulţime închisă în D + X i, iar acest spaţiu este identificat cu spaţiul afin A n prin homeomorfismul ϕ i, mulţimea V i poate fi considerată mulţime algebrică afină. Imaginea inelului I(V i ) prin izomorfismul din Propoziţia 2.2 este I p (V )K[X 0,..., X n ] (Xi ), ceea ce implică Γ(V i ) Γ h (V ) (Xi ) (am notat, ca în Capitolul 1, Γ(V i ) inelul funcţiilor regulate pe V i ). (1) Aşa cum am menţionat mai devreme, orice funcţie constantă este regulată. Există aşadar un morfism natural de inele K Γ(V, O V ), care este în mod evident injectiv. Pentru a demonstra surjectivitatea acestuia, fie F Γ(V, O V ). Atunci pentru fiecare i {0,..., n}, deci F /Vi Γ(V i ) Γ h (V ) (Xi ), F /Vi = g i /X N i i unde g i Γ h (V ), omogen de grad N i. Atunci deg F = 0 şi X N i i F Γ h (V ) Ni, 16

i=0 unde Γ h (V ) Ni este mulţimea elementelor inelului Γ h (V ) de grad N i. Fie N n N i. Atunci inelul Γ h (V ) N este generat, ca şi K-spaţiu vectorial, de monoamele de grad N în X 0,..., X n. În fiecare asemenea monom apare măcar unul dintre factorii X N i i (i {0,..., n}). Aşadar, şi iterând, obţinem Γ h (V ) N F Γ h (V ) N Γ h (V ) N F q Γ h (V ) N, pentru orice q N. În particular X0 N F q Γ h (V ) pentru orice q N. Atunci Γ h (V )[F ] X0 N Γ h (V ), care este un Γ h (V )-modul finit generat, ceea ce implică faptul că F este un element întreg peste inelul Γ h (V ) (vezi Secţiunea A.1.4). Există deci a 1,..., a m Γ h (V ) astfel încât F m + a 1 F m 1 +... + a m = 0. (7) Deoarece F este un polinom de grad zero, putem presupune că a 1,..., a m sunt polinoame de grad zero, altfel spus a i K (dacă nu, luăm partea de grad 0 a membrului stâng al ecuaţiei (7)). Rezultă că F este element algebric peste K. Acesta este un corp algebric închis, ceea ce implică F K. (2) Alegem un indice i {0,..., n}, astfel încât P V i. Inelul local al lui P este independent de mulţimea deschisă în care situăm punctul P, fie aceasta V sau V i. Atunci, din Propoziţia 4, secţiunea Funcţii regulate. Morfisme obţinem O P Γ(V i ) m P unde m P este idealul maximal al lui Γ(V i) corespunzător lui P. Dar m P m P Γ h (V ) (Xi ). Pe de altă parte X i / m P, iar operaţia de localizare este tranzitivă. Aşadar Γ(V i ) m P Γ h (V ) (mp ). (3) Fie i {0,..., n} astfel încât V i. Deoarece V este o mulţime ireductibilă şi V i este o submulţime deschisă nevidă a sa, rezultă că V i este densă în V. Atunci folosim Propoziţia 5, secţiunea Funcţii regulate. Morfisme, şi obţinem K(V ) K(V i ) = F rγ(v i ) Γ h (V ) ( 0 ). 17

3 Varietăţi proiective Fie V P n o mulţime algebrică proiectivă. Vom vedea în această secţiune că unele rezultate din paragraful anterior permit definirea unei structuri de varietate algebrică pe V. Fasciculul structural al acesteia este fasciculul funcţiilor regulate. Propoziţia 2.2 ne furnizează structura de varietate algebrică a spaţiului proiectiv P n. În cazul unei mulţimi algebrice proiective V oarecare, definim fasciculul structural pe baza de deschişi { D + f, f Γ h(v ), deg f > 0 }. Propoziţia 2.2 descrie izomorfismul de spaţii inelate asociat în cazul mulţimii D + X 0. Acest izomorfism este indus de bijecţia cu funcţia inversă ψ : A n D + X 0, (x 1,..., x n ) (1, x 1,..., x n ) ϕ : (x 0, x 1,..., x n ) (x 1 /x 0,..., x n /x 0 ). Secţiunile fasciculului structural peste D + X 0 pe K n, deci corespund funcţiilor polinomiale Γ(D + X 0, O P n) = K [X 1 /X 0,..., X n /X 0 ] K [X 0, X 1,..., X n ] (X0 ). Definiţia 3.1. Fasciculul structural O V al unei mulţimi algebrice proiective V este definit prin asocierea la fiecare deschis U al lui V a inelului funcţiilor regulate pe U. Ca în cazul oricărui fascicul de funcţii, fasciculul structural O V este bine determinat dacă sunt cunoscute secţiunile sale pe deschişii unei baze a topologiei Zariski pe V. Ca şi în cazul afin, folosim baza compusă din deschişii fundamentali D + f (f Γ h(v ), deg f > 0). Definim pentru orice f Γ h (V ), deg f > 0. Γ(D + f, O V ) = Γ h (V ) (f), Teorema 3.1. Spaţiul inelat (P n, O P n) este o varietate algebrică. 18

Demonstraţie. Este suficient să arătăm că pentru orice i {0,..., n}, D + X i este varietate afină. Mai mult, putem să ne limităm la cazul i = 0, celelalte situaţii tratându-se în mod perfect analog. Cu aceste observaţii, demonstraţia este o traducere formală a legăturii afin-proiectiv, legătură furnizată de bijecţia ψ : A n D + X 0 de mai sus şi de aplicaţiile şi descrise în paragraful 2.4.2. Să considerăm aşadar bijecţia ψ. Spaţiul afin A n este înzestrat cu topologia Zariski, iar D + X 0 cu topologia indusă de topologia Zariski pe P n. Teorema este demonstrată dacă arătăm că: (1) ψ este un homeomorfism (2) ψ este un izomorfism de spaţii inelate între (A n, O A n) şi (D + X 0, (O P n) /D + X 0 ). Faptul că ψ este un homeomorfism a fost deja demonstrat anterior (Propoziţia 2.3). Pentru (2) vom folosi funcţiile (formula (5)) şi (formula (2)). Pentru a arăta că ψ induce un izomorfism de fascicule, este suficient să arătăm că pentru orice polinom omogen de grad d, F K [X 0, X 1,..., X n ], Dar iar Γ(D + F D+ X 0, O P n) Γ(D(F ), O A n). Γ(D + F D+ X 0, O P n) = Γ(D + F X 0, O P n) = K [X 0, X 1,..., X n ] (F X0 ) { } = P = / deg P = r(d + 1) = (F X 0 ) r { } P = / deg P = rd + s, F r X0 s Morfismul este indus de operaţia : Γ(D(F ), O A n) = K [X 1,..., X n ] F. φ : Γ(D + F D+ X 0, O P n) Γ(D(F ), O A n) ( ) P ϕ = P F r X0 s F r 19.

Acest morfism este injectiv pentru că, dacă P /F r = 0, atunci P = 0 şi deci P = 0. Pe de altă parte φ este surjectiv deoarece, dacă p Γ(D(F ), O A n), F r atunci ( ) p p = ϕ, F r F r X0 s unde s = deg p r deg F. Cu aceasta teorema este demonstrată. Corolarul 3.2. Dacă V P n este o mulţime algebrică proiectivă, atunci (V, O V ) este o varietate algebrică. Demonstraţie. Fie f Γ h (V ) imaginea lui F K [X 0, X 1,..., X n ]. Atunci D + f = D+ F V, iar O V este imaginea morfismului natural de restricţie O P n F, unde F este fasciculul tuturor funcţiilor pe V. Cum P n este o varietate algebrică, rezultă că V este o varietate algebrică, cu structura de subvarietate închisă având spaţiul topologic suport V. Definiţia 3.2. Se numeşte varietate proiectivă o varietate algebrică care este izomorfă, ca spaţiu inelat, cu o mulţime algebrică proiectivă. Corolarul 3.3. Spaţiul proiectiv P n este ireductibil. Demonstraţie. Afirmaţia este o consecinţă a faptului că P n se scrie ca reuniune finită de deschişi ireductibili cu intersecţia nevidă, n P n = D + X i. i=0 Propoziţia 3.4. Fie x = (x 0 :... : x n ) P n şi I x = I p ({x}) idealul prim omogen al polinoamelor care se anulează în x. Atunci O P n,x = K [X 0, X 1,..., X n ] (Ix). Dacă x 0 = 1 şi ξ = (x 1,..., x n ), atunci O P n,x O A n,ξ. 20

Demonstraţie. Exerciţiu. Fie V P n o mulţime algebrică proiectivă şi fie ϕ : V P m un morfism. Dacă x V putem presupune că ϕ(x) D + X 0 A m. Atunci x are o vecinătate deschisă U astfel încât ϕ /U = (f 1, f 2,..., f m ), unde f 1,..., f m sunt funcţii regulate pe U. Prin urmare, pentru orice i {1,..., m}, f i = H i G i, unde H i, G i K[X 0,..., X n ] sunt polinoame omogene de acelaşi grad, G i/u 0. Aducând aceste fracţii la acelaşi numitor, obţinem f i = F i F 0, unde F i K[X 0,..., X n ] sunt polinoame omogene de acelaşi grad, i {0,..., m}, iar F 0/U 0. Aşadar ϕ(x) = (F 0 (x) : F 1 (x) :... : F m (x)) P m. Altfel spus, un morfism ϕ : V P m este reprezentat de un sistem de polinoame omogene de acelaşi grad (F 0 : F 1 :... : F m ). Sistemele (F 0 : F 1 :... : F m ) şi (G 0 : G 1 :... : G m ) reprezintă acelaşi morfism dacă F i G j = F j G i, 0 i, j m. Este necesar ca pentru orice x V să existe un asemenea sistem astfel încât F i (x) 0 măcar pentru un i {0,..., m}. Exemplul 3.1. (a) Fie F un subspaţiu proiectiv d-dimensional al lui P n, definit de ecuaţiile liniare omogene L 1 = L 2 =... = L n d = 0. 21

Se numeşte proiecţie cu centrul în F aplicaţia ϕ : P n \ F P n d 1 ϕ(x) = (L 1 (x) : L 2 (x) :... : L n d (x)). Această funcţie este regulată pe orice mulţime algebrică proiectivă inclusă în P n \ F. (b) Fie mulţimea algebrică proiectivă V = V p (x 2 + y 2 t 2 = 0) P 2, a cărei intersecţie cu planul afin t = 1 este cercul x 2 + y 2 1 = 0. Considerăm proiecţia f : V P 1 de centru (1 : 0 : 1), care se scrie f(x : y : t) = (x t : y) Ambele polinoame ce definesc f se anulează în punctul (1 : 0 : 1), dar pe V avem y 2 = (x t)(x + t), deci iar x + t nu se anulează în (1 : 0 : 1). f(x : y : t) = ( y : x + t), Bibliografie [1] Hartshorne, R. : Algebraic Geometry, GTM 52, Springer, 1977 [2] Liţcanu, R. : Introducere în geometria algebrică, Ed. Demiurg, 2004 [3] Perrin, D. : Géométrie algébrique, une introduction, InterEditions & CNRS Editions, Paris, 1995 22