INTDUEE utor u conceput lucrre de fţă, nttultă Îndrumător ş plcţ pentru studul ndvdul l mecncă prte I: sttc, c un mterl necesr studenţlor pentru consoldre cunoştnţelor teoretce ş formre deprnder rezolvăr corecte prolemelor de sttcă. Mterlul prezentt se dreseză în prmul rând studenţlor dn învăţământul tehnc superor de construcţ, urmărnd progrm nltcă uncă în vgore l dscpln Mecncă, de l Unverstte Tehncă de onstrucţ ucureşt, pentru speclzărle: construcţ ş nstlţ pentru construcţ, dr pote f utlzt ş de către studenţ de l lte speclzăr dn învăţământul poltehnc. ptolele îndrumătorulu corespund mtere predte ş ordte l semnr pentru Sttcă, prm dvzune dscplne Mecncă. Fecre cptol dn prmele unsprezece, prezntă l început elemente teoretce, su o formă sntetcă su su o formă m dezvolttă, necesre pentru înţelegere strteglor de rezolvre decvte tpurlor de proleme. Etpele de urmt în rezolvre prolemelor sunt detlte în contnure, fnd relute în cuprnsul plcţlor rezolvte ntegrl. sere de plcţ sunt propuse pentru studul ndvdul. ceste u răspunsur ş ndcţ unde este czul, pentru orentre ş verfcre rezulttelor oţnute. ptolul Proleme recptultve grupeză plcţ cre pot f rezolvte pentru pregătre emenulu de l fnlul semestrulu. plcţle dn cest cptol, cu tote că păstreză un grd modert de dfcultte, sunt mportnte, deorece unele proleme cupleză elemente teoretce prezentte în cptole dferte, dezvoltând un mod de gândre sntetc dn prte studentulu ş nu zt pe utomtsme. utor consderă că este necesră păstrre unu echlru între: formre unor deprnder corecte de ordre prolemelor, prn eemple clre, cu trăsătur puternce ş ccenture une metodolog specfce ş, ndependenţ în gândre ş moltte în legere unor că cât m drecte de soluţonre.
În cest sens, plcţle rezolvte în lucrre de fţă evdenţză, su form unu model, etpele esenţle în soluţonre pentru fecre cptol în prte. tenţe sportă treue cordtă etpe în cre fenomenul studt este trnspus su form unu model mtemtc. Spre eemplu, eprmre condţe de echlru pentru un sstem de forţe se fce prn screre unor ecuţ de proecţe cre formeză ssteme lgerce. Este l lttudne rezolvtorulu să-ş legă cele m potrvte ecuţ de proecţ (evntul cu o sngură necunoscută), pentru c rezolvre să fe cât m smplă ş scuttă de eventule complcţ de clcul. Se pote spune că cest este un punct de plecre în formre unu rţonment rguros în gândre vtorulu ngner, vând drept scop găsre celor m smple soluţ, cu tote vntjele cre decurg de c. ptolul nttult Proleme de concurs furnzeză studenţlor enunţurle prolemelor de sttcă, cre u fost dte ş propuse l concursul profesonl de l dscpln Mecncă, desfăşurt în Unverstte Tehncă de onstrucţ, în ultm ptru n. Dn punct de vedere metodologc, se recomndă studenţlor (c o regulă generlă), ctre cu tenţe enunţulu proleme de m multe or, pentru înţelege fenomenul ş stl o strtege de rezolvre potrvtă. Desenele su schemele treue să fe clre, cuprnzând toţ vector utlzţ în plcţe. ăspunsurle treue redctte cu clrtte (sntă, ortogrfe). Verfcre rezulttelor dn punctul de vedere l omogentăţ relţlor oţnute ş l dmensunlor este olgtore. L fnlul rezolvăr este necesră nterpretre rezulttelor cu referre drectă l cernţele dn enunţul proleme. Ţnând cont de complette plcţlor numerce, de regulă este permsă utlzre unu clcultor. unoştere ş utlzre corectă tuturor funcţlor este olgtore. Erorle cele m frecvente sunt produse l utlzre funcţlor trgonometrce ş de cee s- consdert utlă relure unor funcţ ş relţ trgonometrce fundmentle în ne. Pozţle centrelor de msă pentru corpurle omogene uzule sunt prezentte în ne, r ne furnzeză unele relţ trgonometrce într-un trungh orecre. utor 4
. PEŢII U VETI.. Sumre ş multplcre vectorlor cu o mărme sclră Vector sunt enttăţ mtemtce, crcterzţ de mărme, drecţe, sens ş punct de plcţe. Sumre do vector concurenţ într-un punct, se relzeză după regul prlelogrmulu (fg..). De ltfel, multe dn operţle cu vector studte de lger vectorlă pot f deduse cu jutorul ceste regul. Folosnd pentru vector, notţ cu smolul rt l prte superoră, se scre: c + (.) Dn regul prlelogrmulu rezultă că sumre este o operţe în cdrul căre nu este mportntă ordne de sumre, cee ce însemnă că cestă operţe este comuttvă: c + + (.) c Fg... Se oservă că se pote oţne celş c+ rezultt dcă se relzeză un trungh l vectorlor (fg..), în cre un vector echpolent cu, re orgne în etremtte vectorulu. Fg... Vectorul c, numt vector rezultnt su rezultntă, v ve orgne comună cu orgne prmulu vector (punctul ), ş etremtte în etremtte celu de-l dole vector. onstrucţ grfcă dn fgur. este numtă regul trunghulu, ş este echvlentă cu regul prlelogrmulu. Sumre vectorlor este o operţe soctvă. stfel, pentru tre vector, ş c, vectorul rezultnt se clculeză în două etpe: se procedeză l sumre prmlor do vector, po l sum oţnută se sumeză cel de-l trele vector (fg..). celş rezultt se oţne ş dcă se sumeză m întâ ultm do vector, po prmul vector (fg..4), cee ce se scre: ( + ) + c + ( + c) (.) Sumre m multor vector conduce l generlzre regul trunghulu, stlndu-se regul conturulu polgonl, vectorul rezultnt 5
vând orgne comună cu prmul vector, r etremtte în etremtte ultmulu vector. + c +c c (+)+c +(+c) Fg... Fg..4. e m smplă operţe de multplcre vectorlor este multplcre cu un sclr (su cu o mărme sclră). Mărme sclră este o enttte crcterztă prntr-un număr. Dcă α este un sclr, tunc prn multplcre vectorulu cu sclrul α înţelegem un vector α cre re următorele crcterstc: mărme este eglă cu produsul dntre α ş modulul vectorulu ; drecţ ceeş cu ce vectorulu ; sensul este celş cu sensul vectorulu dcă α este poztv, su de sens opus dcă α este negtv; punctul de plcţe concde cu l vectorulu... Versor ş componentele ortogonle le unu vector Dcă vectorul u, unde este mărme vectorulu, este dmensonl, re mărme eglă cu untte ş re ceeş drecţe cu vectorul, tunc u se numeşte versorul drecţe vectorulu. Versor drecţlor predefnte furnzeză mecnsmul oşnut de eprmre vectorlor. stfel, orce vector se pote eprm în funcţe de versorul drecţe sle: u (.4) Fe un sstem de e trortogonl crtezn drept z, pentru cre versor cestor e sunt, j ş k. egul prlelogrmulu ne permte să descompunem un vector în tre componente recproc ortogonle scrse, j ş z k (fg..5), stfel încât: 6
+ j k (.5) + z elţ (.5) reprezntă epres nltcă vectorulu în rport cu sstemul de e z. Numm proecţle vectorulu pe cele tre e, mărmle sclre,, ş z (fg..6), cre se scru în funcţe de unghurle α, β ş γ pe cre le fce vectorul cu cele tre e, ş respectv z: cosα, cos β ş z cosγ (.6) ceste cosnusur sunt numte cosnusurle drectore le vectorulu. Între ele estă relţ: cos α + cos β + cos γ (.7) z z γ z k P j α M Fg..5. Fg..6. z β Mărme vectorulu este dtă de epres: z + + (.8) Dntre propretăţle sumăr ş multplcăr cu un sclr prezentte în prgrful nteror, de mre mportnţă în plcţ sunt următorele două relţ: dcă c +, tunc: c c c z z + + + dcă λ este un sclr, tunc: z (.9) λ λ + λ j + λ k (.0) z 7
Epresle (.9) se pot generlz în czul sumăr n vector concurenţ. stfel se enunţă teorem proecţlor: Sum proecţlor pe o ă unu sstem de vector concurenţ este eglă cu proecţ pe ceeş ă vectorulu rezultnt... Produsul sclr do vector Produsul sclr do vector ş, este defnt stfel: cosϕ (.) unde ϕ este unghul dntre ce do vector. cest produs, ş cum î rtă numele, este un sclr ş pre în mod evdent dn relţ de defnţe (.) că cest produs este comuttv, dcă: (.) Dcă vectorul este înmulţt sclr cu un versor u, tunc () cos Pr u ϕ (.) ş se oţne proecţ vectorulu pe drecţ versorulu u. u Proecţle unu vector pe ele de coordonte defnte în relţle (.6), se pot scre ş su form:, j ş k (.4) z Ţnând cont că versor elor de coordonte sunt recproc ortogonl, tunc: j j k k j j k k 0 (.5) proprette mportntă este cee că produsul sclr este dstrutv fţă de operţ de sumre, dcă: ( + c) + c (.6) Propretăţle de dstrutvtte ş comuttvtte le produsulu sclr sunt utlzte l stlre unor relţ de mportnţ prctcă: + + (.7) + + z z z (.8) 8
elţ (.8) se pote stl ş dn relţ de defnţe (.): ( 0) cos Dn relţle (.) ş (.7) se pote eprm unghul formt de do vector tunc când sunt cunoscute proecţle cestor: + + zz cosϕ (.9) + + + + z z.4. Produsul vectorl do vector l dole produs stlt între do vector ş, este produsul vectorl nott ş reprezntă un vector c (fg..9) cre re următorle crcterstc: mărme c snϕ unde ϕ este unghul (m mc de 80 ) dntre vector ş ; drecţ perpendculră pe plnul formt de ce do vector; sensul stlt cu regul şuruulu (fg..7) su regul mân drepte (fg..8); orgne în punctul de concurenţă l celor do vector ş. ϕ < 80 c c Fg..7. Fg..8. plcând relţ de defnţe, se oservă că produsul vectorl nu este comuttv (este ntcomuttv):, (.0) dr este dstrutv fţă de operţ de sumre: ( + c) + c. (.) 9
Produsele vectorle cre se stlesc între versor elor de coordonte, treue să respecte convenţ dmsă în Mecnc Teoretcă de se lucr în sstemul de refernţă drept : j j k ; j k k j ; k k j (.) j j k k 0 (.) Eprmând vector ş în funcţe de proecţle lor, produsul vectorl se eprmă su form unu determnnt cre re pe prm lne versor elor, r pe următorele ln proecţle celor do vector: j k ( ) + ( ) j + ( z z z z z z ) k (.4) c ϕ h snϕ Fg..9. Mărm produsulu vectorl se pote d o nterpretre geometrcă, ş nume cee că reprezntă r prlelogrmulu vând c ltur ce do vector ş (fg..9): c sn ϕ h.5. Produsul mt ş dulul produs vectorl tre vector Două operţ de multplcre, fecre mplcând tre vector, sunt în mod fresc necesre în Mecncă: produsul mt ş dulul produs vectorl. Produsul mt re c rezultt un sclr ş se oţne prn efecture unu produs sclr dntre un vector cu produsul vectorl ltor do vector: c ( ) (.5) nterpretre geometrcă produsulu mt este cee că reprezntă volumul unu prlelpped le căru ltur u c lungm mărmle celor tre vector. Un dn propretăţle produsulu mt este cee că prn permutre vectorlor cre îl formeză, vlore clcultă nu se schmă: c ( ) ( c) ( c ) (.6) 0
unoscând epresle nltce le celor tre vector, produsul mt se eprmă su form unu determnnt: c c c z c ( ) (.7) Dcă do dn ce tre vector u proecţle proporţonle (sunt prlel), tunc produsul mt este nul. Justfcre se fce pelând l propretăţle determnnţlor: dcă două ln le determnntulu sunt proporţonle, tunc vlore cestu este zero. Dn punctul de vedere l nterpretăr geometrce, proporţonltte do vector re drept consecnţă stre de coplnrtte celor tre vector, cee ce însemnă că volumul prlelppedulu este nul. Dulul produs vectorl tre vector se scre: z z ( c) (.8) ş este o mărme vectorlă cre re drecţ normlă l plnul celor do vector dn prnteză ( c) ( c) ( ) c (.9) ( ) c ( c) ( c) (.0) elţle de m sus sunt utle în dnmcă..6. plcţ.. Se consderă punctele (,, ), (,, ) ş (,, 0). Se cere: ) să se eprme nltc vector,,,, ş, unde punctul reprezntă orgne unu reper trortogonl crtezn drept z; ) să se determne modulele vectorlor,, ş ş versor drecţlor vectorlor ş ; c) să se clculeze cosnusurle drectore le vectorulu în rport cu reperul z; d) să se fle unghul dntre drecţle vectorlor ş ; e) să se clculeze r trunghulu (coordontele punctelor, ş sunt eprmte în metr).
ezolvre: ) ( ) + ( ) j + ( z z ) k 5 + 4 j k 5 4 j + k + 5 j k, + j + k, j + k ( ) ) + ( ) + ( z z ) 5 + 4 + ( ) 50 5 7, 07 + 5 + ( ) 5 5, 9 ( ) + + 9 ( ) + ( ) + 4, 74 ( 0,5 + 0,4 j 0, k ) 5 + 4 j k u 5 u ( + j k ) 5 5 5 c) ( 5 + 4 j k ) ( + 5 j k ) 7 j k 59 X cos α 0,0 59 cos β Y cos γ Z Verfcre: 7 0,9 59 0,906 59 cos α + cos β + cos γ 0,0 + ( 0,9) + ( 0,906) 0,9999 j + k + j + k d) ( ) ( ) ( ) cos, 4 9
( ) ( ) + ( ) + 4 0,67 (, ) 74 0' 4 4 j k e) S, 5 4 4 j + k 5 S + 06 ( 4 ) + 8,75m.. Se du vector: (,, ), (,, ), c ( 4,, ) ş d (0, -, -) le căror proecţ în rport cu un reper trortogonl crtezn drept z, sunt eprmte în metr. Se cere: ) să se eprme nltc ş să se repreznte grfc ce ptru vector, în rport cu un reper trortogonl crtezn drept z; ) să se clculeze modulele vectorlor,, c ş d, versor drecţlor cestor ş pozţle lor (dte de cosnusurle drectore) în rport cu reperul z; c) să se clculeze epresle următore ş să se preczeze cre dntre ceste nu u sens (motvând legere): d E + c + E c d + c E ( d ) E c 4 ( ) d 5 ( c ) ( d ) E c( c d ) 6 7 ( d )( ) E 8 ( c ) ( d ) 9 ( )( d ) E0 ( c d ) ( c ) E E E d) să se determne unghurle dntre drecţle vectorlor ş, c ş d respectv ş d ; e) să se fle proecţ vectorulu sumă + c, pe drecţ vectorulu d ; f) să se clculeze proecţ vectorulu dferenţă D c, pe drecţ vectorulu sumă S + + d ; g) să se clculeze r trunghulu determnt de vector ş c ; h) să se fle r prlelogrmulu determnt de vector ş c ; ) să se fle volumul tetredrulu determnt de vector c, ş ; j) să se clculeze volumul prsme formtă de vector d, ş ;
k) să se fle volumul prlelppedulu formt de vector, c ş d ; l) să se găsescă vlorle prmetrlor rel, ş z cre stsfc relţ: + zc d ; m) să se determne prmetr rel ş stfel încât vectorul e + d să fe perpendculr pe plnul. ăspuns: d) (, ) 9' ; ( c, d ) 5 04' ; (, d ) 79 0' e) Pr ( + c ),88m ; d ; f) Pr S D 5,6m ; g) S 6,80m ; h) S 7,8m ; ) V 5,50m ; j) V 9,67m ; k) V 44,00m ; l), 54;, 600; z, 657; m), 00 ;, 5... Se dă punctul (, 4, 5). cest se proecteză pe cele tre plne de coordonte le reperulu z în punctele, ş z. Să se rte că: + +. z.4. Să se rte că într-un trungh echlterl, înscrs în cercul cu centrul în punctul, estă relţ: +..5. Se dă o prmdă cu vârful în punctul V ş z un prlelogrm D le căru dgonle se ntersecteză în punctul. Să se demonstreze că: V + V + V + VD 4V..6. Se du punctele (, ), (λ, ) ş (4,), unde λ. Să se determne prmetrul rel λ stfel încât: ) vector ş să fe ortogonl; ) punctele, ş să fe colnre. ăspuns: ) λ, 00; ) λ, 5..7. Să se determne pe cle vectorlă ecuţ drepte cre trece prn punctele (, ) ş (, ). ăspuns: + 7 0. 4
. SISTEME DE FŢE NUENTE.. Generltăţ Un sstem de forţe concurente reprezntă o mulţme de forţe cre u suporturle concurente. Punctul de concurenţă l drecţlor forţelor pote f: un punct mterl ş tunc forţele componente sunt vector legţ; un punct consttutv l unu sold rgd ş tunc forţele sstemulu sunt vector lunecător (glsnţ). Un sstem de forţe concurente se pote înlocu cu o forţă uncă numtă rezultntă, cre să ă celş efect cu efectul smultn l tuturor forţelor sstemulu. cestă operţe de reducere unu sstem de forţe concurente l cel m smplu sstem echvlent - rezultnt, se numeşte compunere su sumre forţelor. ondţ necesră ş sufcentă c două su m multe ssteme de forţe concurente s fe echvlente, este c ceste să ă ceeş rezultntă (eprmtă c vector ler). Un sstem de forţe concurente cre re rezultnt nulă, se numeşte ehvlent cu zero, în echlru su nul... ompunere forţelor concurente ompunere două forţe concurente F ş F de mărm cunoscute, este rezolvtă prn metod grfcă, plcând regul prlelogrmulu forţelor (fg.., ). stfel, rezultnt forţelor se oţne prn operţ de sumre vectorlă: ş re mărme: F + F, (.) F F + F + F cosα, (.) 5
elţ (.) reprezntă plcre teoreme cosnusulu în trunghul (fg.., ). Drecţ rezultnte, în rport cu cele două forţe F ş F, este dtă de unghurle β s γ. ceste se oţn prn plcre teoreme snusurlor în celş trungh : servţe: F F (.) snγ sn β snα ezultnt se m pote oţne plcând regul trunghulu forţelor, echvlentă cu regul prlelogrmulu. stfel, în etremtte forţe F se construeşte un vector F echpolent (prlel, de celş sens ş egl) cu forţ F. ezultnt este vectorul cre re orgne în orgne forţe F ş etremtte, în etremtte forţe F (fg.., ). F α β F γ F F F Fg... Dcă sstemul este formt dn m multe forţe concurente, tunc rezultnt cestor se pote oţne cu jutorul metode grfce, utlzând regul conturulu polgonl. stfel, se junge l construcţ grfcă cunoscută su numele de polgonul forţelor. Lturle polgonulu sunt reprezentte de vector echpolenţ cu forţele concurente, rezultnt unnd orgne prme forţe cu etremtte ultmulu vector echpolent (fg..). F n F F F F Fg... n F F n F servţe: Dcă polgonul forţelor este închs, dcă etremtte vectorulu echpolent cu ultm forţă dn polgon concde cu orgne prme forţe, tunc rezultnt este nulă ş sstemul de forţe concurente este echvlent cu zero (nul su în echlru). 6
ompunere m multor forţe concurente de mărm cunoscute, se relzeză de regulă plcând metod nltcă. Metod nltcă oferă un rezultt ect, spre deosere de metod grfcă prezenttă m sus, l căru rezultt este unul promtv, depnzând de precz construcţe grfce. Totodtă metod nltcă se preteză forte ne ş l relzre unu clcul utomt. Procedeul constă în prcurgere următorelor etpe: se eprmă cele n forţe le sstemulu F (,..., n) su formă nltcă în rport cu un sstem de refernţă: F X + Y j Z k (.4) + se foloseşte teorem proecţlor pentru clculul proecţlor rezultnte pe ele sstemulu de refernţă: X n X n Y n Z, Y, Z (.5) se scre rezultnt su formă nltcă ş se clculeză mărme e: n F X + Y j + Z k X + Y + Z (.6) se clculeză drecţ rezultnte (dtă de cosnusurle drectore) ş po se reprezntă grfc rezultnt: cos α X, cos β Y, Z cos γ (.7) Se oservă că se pote fce următore verfcre: cos α + cos β + cos γ (.8).. Descompunere une forţe Descompunere une forţe reprezntă operţ nversă compuner forţelor concurente. stfel, prn descompunere une forţe în n componente concurente pe suportul său, se înţelege înlocure lu (dec une sngure forţe dte) cu nşte forţe F (,..., n), stfel încât să este următore egltte vectorlă: n F (.9) 7
În mod prent, relţ nteroră ş omolog e (.6) de l compunere forţelor sunt dentce, dr în relţ de l compunere forţ este unc necunoscută cu forţele F (,..., n) cunoscute, în tmp ce în relţ de m sus prolem este nversă, fnd n necunoscute vectorle, forţele F (,..., n) ş o sngură cunoscută forţ. oncluze: În generl, soluţonre proleme descompuner în mod determnt nu este poslă decât dcă se ntroduc unele restrcţ su condţ suplmentre. neînţeles că estă o nfntte de modltăţ prn cre se pot mpune restrcţ, dr num câtev sunt de nteres în prolemele teoretce su prctce ngnereşt. De eemplu, cele m frecvente czur de descompunere une forţe sunt următorele: în prolem plnă, prn două forţe concurente pe suportul său, cunoscându-se: cele două drecţ le forţelor; mărme une forţe ş drecţ celellte; mărmle melor forţe; o forţă c vector (în modul, drecţe ş sens); în prolem trdmensonlă, prn tre forţe după drecţ dte, necoplnre, concurente pe suportul său..4. plcţ.. Un sstem lcătut dn ptru forţe concurente ş coplnre de mărm cunoscute, cţoneză conform fgur.,. Se du: F N, F 6 N, F 5 N ş F 4 N. Să se clculeze ş să se repreznte grfc rezultnt sstemulu de forţe concurente (sstemul echvlent cel m smplu). ezolvre: prolemă de cest tp (ssteme de forţe concurente) se pote rezolv prn metod nltcă, prcurgând următorele etpe: ) Se lege un sstem de refernţă convenl, cu orgne în punctul de concurenţă l forţelor ş vând ele colnre cu cât m multe forţe dn sstem. ) Se descompun forţele sstemulu în componente prlele cu ele reperulu (fg.., ) ş po se clculeză proecţle forţelor pe e. 8
Se v ţne cont de fptul că proecţle forţelor pot f poztve su negtve, în funcţe de sensurle componentelor respectve. X N F Y 0N X F cos60 F o Y F sn 60 o 6 6 N N 4 X F cosα 5 N 5 F Y F snα 5 9N 5 X 4 0N F 4. Y 4 N F F Y α 60 F X α F X (-4,-) F F 4 F X F 4 Y 4 Y Fg... ) Se clculeză rezultnt sstemulu de forţe u jutorul teoreme proecţlor se determnă proecţle rezultnte pe ele sstemulu de refernţă: X Y 4 4 Y X + + 0 4N 0 + 9 9N Epres nltcă rezultnte în rport cu reperul ş mărme (modulul) e vor f: X + Y j 4 9 j X + Y 4 + ( 9) 97 9,85N 9
Drecţ rezultnte este defntă de cosnusurle drectore: X 4 Y 9 cos α 0,406, cos β 0, 97 9,85 9,85 α ± 66 ş β ± 56. Soluţ este α 66 ş β + 56 (fg..4, ). În czul de fţă (prolem plnă) este mult m comod să se eprme drecţ rezultnte prn unghul pe cre cest îl fce cu : Y o β 56 X α 66 o F (-4,-) F 4 4 F F α 60 F F 4 F F Fg..4. Y 9 tg α,5 α 66 X 4 4) Se reprezntă grfc rezultnt sstemulu de forţe (fg..4, ). 5) Verfcre rezulttulu oţnut. Se pote relz prn metod grfcă compuner forţelor concurente (regul polgonulu), construndu-se l scră polgonul forţelor (fg..4, ), cu cre se determnă rezultnt. După cum se pote oserv mărmle forţele dn fgurle. ş.4,, dferă de cele dn fgur.4,. Eplcţ este următore: prmele tre fgur reprezntă nşte scheme (schţe) le sstemulu de forţe ş le rezultnte clculte prn metod nltcă, pe când fgur.4, (polgonul forţelor), este o 0
construcţe grfcă în urm căre rezultnt sstemulu se oţne în mod corect num dcă forţele sunt reprezentte l scră... Se dă un sstem lcătut dn tre forţe concurente ş coplnre, tote vând ceeş mărme F F F F. Forţele F ş F ş respectv F ş F formeză între ele unghul α 0. ) să se clculeze rezultnt celor tre forţe folosnd cele tre metode: grfcă, geometrcă ş nltcă; ) între ce vlor este cuprnsă mărme rezultnte, dcă unghul α este vrl? ăspuns: ), 7F ; ) F F... Se consderă două forţe concurente ş coplnre F ş F, de mărm cunoscute F F 90 kn. Unghul dntre cele două forţe este α 60. Să se determne: ) rezultnt celor două forţe folosnd cele tre metode: grfcă, geometrcă ş nltcă; ) cre este locul geometrc l rezultnte ş ce vlor pote lu cest dcă unghul α este vrl? ăspuns: ) 9, kn; ) 45kN 5kN..4. Forţele F ş F, vând mărmle F 00 N ş F 40 N, formeză un sstem de forţe concurente căru rezultntă re mărme 70N. ) să se clculeze unghul formt de cele două forţe; ) să se verfce pe cle grfcă ş nltcă rezulttul oţnut l punctul ) (vând c dte de ntrre, F ş unghul respectv, se v clcul rezultnt ). F ăspuns: ) ( F ) 46 5' F.,.5. Fe sstemul de forţe concurente ş coplnre dn fgur.5, în cre tote forţele u mărmle egle: F F F F, F fnd o forţă cunoscută. Să se clculeze pe cle nltcă rezultnt sstemulu de forţe ş po să se verfce rezulttul oţnut folosnd metod grfcă su geometrcă. F α α 0 α F F Fg..5.
ăspuns: F F j.6. Sstemele de forţe concurente dn fgur.6, sunt reprezentte l scră. unoscându-se că lungme une dvzun crojelor corespunde une mărm P (eprmtă în newton) pe scr forţelor, se cer următorele: ) să se clculeze ş să se repreznte grfc rezultnt fecăru sstem de forţe; ) se pote modfc mărme une forţe sstemulu dn fgur.6, stfel încât sstemul de forţe concurente să fe unul echvlent cu zero? În cz frmtv, cre este forţ în cuză ş ce mărme treue să ă cest? c) ce forţă treue dăugtă sstemulu dn fgur.6, c stfel încât cest să fe echvlent cu sstemul de forţe dn fgur.6, d? F F 4 F F F F F 4 F F F F F 4 F F 5 F F F 4 c d Fg..6..7. Fe sstemele de forţe concurente dn fgur.7, de mărm cunoscute, cre dferă de cele de l.6 prn cee că forţele nu m sunt reprezentte l
scră. Se cere să se clculeze ş să se repreznte grfc rezultnt fecăru sstem de forţe în czurle: ) F F 4P F 6 5 (fg..7, ) P P ) F 6 F 6 F (fg..7, ) P P P c) F F 4 F 0 (fg..7, c) P P P d) F 5P F 5 0 F 6P (fg..7, d) P F F α 45 F F α 45 β 60 γ 0 (-,-4) F F F β 60 F (,) E(-,) F F D(4,) F (,-6) F c Fg..7. d ăspuns: ) 6P Pj c) P + ( ) Pj
d) 7P Pj ) P + ( 6 ) Pj.8. Fe sstemele de forţe concurente în cre mărmle forţelor sunt proporţonle (sunt dte l scră) cu lturle prlelppedulu dreptunghc de dmensun cunoscute (fg..8). Să se clculeze ş să se repreznte grfc rezultnt sstemelor de forţe în fecre cz. z z F F F F 4 F F F F F z F F z F F 4 c Fg..8. F d.9. Să se descompună grfc ş nltc forţ F după două drecţ cunoscute le vectorlor ş. Se du: ) F (,6 ), (, ) ş (,4 ) ) F ( 6, ), (, ) ş (,) ;. ăspuns: ) F (, ) ş (,8) ) ( 0, 0 F ; F ) ş ( 6, ) F. 4
. STTI PUNTULUI MTEIL.. specte teoretce supr unu punct mterl cţoneză un sstem de forţe concurente. Punctul mterl ler pote ocup orce pozţe în spţu. Punctul mterl ler re tre grde de lertte în spţu ş două grde de lertte în pln: N GL N MX.GL (). Punctul mterl cu legătur pote ocup num numte pozţ în spţu, permse de legătur. Legătur unu punct mterl cu medul înconjurător este ndependentă de forţele dte, ş pote f prvtă c o restrcţe de ntură geometrcă mpusă punctulu mterl. Legăturle punctulu mterl se pot mterlz stfel: cu fre (legătur unlterle); cu re (legătur lterle); prn restrcţ c punctul mterl să rămână pe o suprfţă su pe o cură (legătur unlterle su lterle). Fecre legătură smplă v suprm punctulu mterl câte un grd de lertte. şdr, în czul punctulu mterl cu legătur, numărul de grde de lertte N GL, su 0. onform ome legăturlor, fecre legătură smplă se înlocueşte cu o forţă de legătură (recţune) corespunzătore cre să ă celş efect mecnc cu cel l legătur suprmte. Prn urmre, sstemul de forţe cre cţoneză supr punctulu mterl pote f lcătut dn două tpur de forţe: forţe dte cre dmt o rezultntă d ; forţe de legătură cre l rândul lor pot furnz o rezultntă l. ondţ necesră ş sufcentă pentru c un punct mterl flt în repus să-ş păstreze cestă stre, este c sstemul de forţe dte ( d ) ş de legătură ( l ) cre cţoneză supr lu să fe în echlru (rezultnt lor să fe nulă). 5
Epres mtemtcă condţe de echlru este: d + 0 (.) l elţ (.) reprezntă ecuţ vectorlă de echlru sstemulu de forţe cre cţoneză supr punctulu. Proecttă pe ele sstemulu crtezn drept z se oţn ecuţle sclre pentru echlru: n n n X Y Z, d, d, d + + + j m m j m Y j X, l Z, l, l 0 0 0, (.) unde: n reprezntă numărul de forţe dte, r m numărul de forţe de legătură le punctulu mterl. Dn punct de vedere geometrc, condţ necesră ş sufcentă pentru echlru este c polgonul forţelor (relzt cu tote forţele cre cţoneză supr punctulu) să fe închs. În czul punctulu mterl cu legătur rele (spre, cu frecre) m pre o forţă de frecre T cre se opune tendnţe de mşcre ş cre este stută: în plnul tngent, dcă legătur este o suprfţă cu frecre; în lungul tngente dcă legătur este o cură. Ecuţle sclre de echlru (.) se vor complet cu condţ: T T µ N N tgφ (.) m unde: µ coefcentul de frecre de lunecre; N recţune normlă; φ unghul de frecre. În sttc punctulu mterl estă tre tpur de proleme: ) prolem drectă: se cunoşte sstemul de forţe dte cre cţoneză supr punctulu mterl; 6
se cere să se determne pozţ de echlru ş prn urmre, necunoscutele vor f prmetr de pozţe (în număr de în spţu su în pln) cre vor precz pozţ în cre punctul mterl se flă în repus. În czul proleme drecte, punctul mterl este ler ş dec, N GL N MX.G.L. (). ) prolem nversă: se cunosc: pozţ de echlru ş sstemul de forţe dte; se cere să se determne sstemul de forţe de legătură (recţunle) cre reprezntă necunoscutele proleme. În czul proleme nverse, punctul mterl este ft cu un număr mnm de legătur ş dec N GL 0. c) prolem mtă: se cunosc: o prte prmetrlor geometrc cre defnesc pozţ de echlru, precum ş unele condţ prvnd sstemul de forţe dte ş de legătură; se cere să se fle restul prmetrlor de pozţe ş restul condţlor prvnd forţele dte ş de legătură, cre consttue necunoscutele proleme. În cest cz, 0 < N GL < N MX.G.L... plcţ.. Două re M ş M cre fc între ele un ungh α 60 ş cre sunt dspuse într-un pln vertcl, susţn un punct mterl M, de greutte G 600 N, conform fgur.,. Să se determne forţele cre pr în cele două re su cţune punctulu mterl M. ezolvre: prolemă de sttcă punctulu mterl se rezolvă prcurgând următorele etpe de clcul: ) Se stleşte grdul de moltte l punctulu mterl ş se preczeză tpul ş necunoscutele proleme. În czul de fţă, deorece prolem este plnă, N MX.G.L., r N LEG.S., deorece cele două legătur smple sunt reprezentte de rele M ş M. Numărul de grde de lertte (N GL ) le punctulu mterl se clculeză, plcând relţ: N GL N MX.G.L. -N LEG.S. -0 unde: N MX.G.L numărul mm de grde de lertte; N LEG.S. numărul de legătur smple ndependente. 7
Dcă grdul de moltte este nul (N GL 0), însemnă că punctul mterl M este ft de către legăturle (rele) M ş M, r prolem este nversă. şdr, necunoscutele proleme vor f forţele eforturle dn cele două re. servţe: T ş T cre sunt Pentru prolem mtă N GL în prolem plnă ş N GL su în prolem spţlă. ) Se relzeză schem de forţe. onstrucţ grfcă dn fgur., rezultă în urm zolăr punctulu mterl M ş încărcăr cestu cu: forţ dtă G ; forţele de legătură T ş T (provente dn înlocure legăturlorconform ome legăturlor). T α 60 M G α 60 T M G G T c T α 60 Fg... ) Se scre ecuţ vectorlă de echlru punctulu mterl: d + l 0 G + T + T 0 4) Se lege un sstem de refernţă convenl ş proectându-se pe e ecuţ vectorlă de echlru, se oţn ecuţle sclre de echlru: X Y 0 T 0 T cosα T snα G 0 0 În urm rezolvăr sstemulu de ecuţ rezultă necunoscutele proleme: 8
T T G 00 snα 600 Gctgα 400 00 N 69,8N N 46,4N 5) Verfcre ş nterpretre rezulttelor. Verfcre se pote fce prntr-o metodă grfo-nltcă. Se deseneză polgonul forţelor (cre v f unul închs, deorece 0 ) ş prn relţ geometrce su trgonometrce decvte se flă necunoscutele proleme. Pentru prolem dtă polgonul forţelor este un trungh dreptunghc (fg.., c) în cre se pot plc funcţle trgonometrce: snα G Τ Τ Τ ctgα Τ G omentr: G 69,8N snα Gctgα 46,4N recţune T rezultt cu semn negtv în urm clculu, dcă sensul rel l forţe T este opus celu de pe schem de forţe; r M este comprmtă ( T < 0 ), r r M este întnsă ( > 0 ); când relzăm polgonul forţelor, recţunle se orenteză cu sensurle lor rele; rele su cţune recţunlor ( eforturlor) pot f comprmte su întnse, pe când frele nu pot f decât întnse su cţune tensunlor dn fre... Un punct mterl M, vând greutte G 40N, este susţnut prn ntermedul re M ş frulu M. supr punctulu mterl M cţoneză forţele F 00N ş F 50N cre fc între ele un ungh M F α 0 (fg...). vând în vedere că tât rele cât ş forţele α 0 sunt stute într-un pln vertcl, α 0 să se determne efortul dn r M ş tensune dn frul M. G F ăspuns: T 9,5N ; T 80,0N. Fg... 9 T
.. Un punct mterl P, de greutte G 00N, este suspendt prn ntermedul relor P ş P, stute într-un pln vertcl, conform fgur.. Să se determne recţunle (eforturle) dn re în fecre dntre czurle ), ), c) ş d). Se cunoşte α45. Să se nterpreteze rezulttele oţnute. ăspuns: ) T T 70,7N ; ) T 4,4 N ş T 00N ; c) T T 70,7N ; d) T 00N ş T 4,4 N. α 45 α P P α G G α P G α P G α c d Fg....4. Un punct mterl M, de greutte G 0N, este suspendt de un tvn prn ntermedul unu fr. Punctul flt în repus este cţont ş de o forţă orzontlă F 60N conform fgur.4. Să se studeze stre de echlru sttc punctulu mterl. ăspuns: Pozţ de echlru punctulu mterl pote f dtă de unghul pe cre frul îl F fce cu vertcl α 6 4', r tensune dn fr M este T 4,N. G Fg..4..5. Un punct mterl M, vând greutte G 70N, este suspendt de un tvn prn ntermedul unu fr. Să se determne mărme forţe 0
orzontle F cu cre treue cţont punctul mterl M, stfel încât în pozţ de echlru punctulu, frul să fcă un ungh α 60 cu vertcl (fg..4). ăspuns: F, N..6. rele P ş P flte într-un pln vertcl în dverse confgurţ, conform fgur.5, feză un punct mterl P, de greutte G 00N. supr punctulu cţoneză o forţă F. Să se determne recţunle (eforturle) dn re în fecre dntre czurle ), ), c), d), ş e). Se cunoşte: F 0N, α 0 ş β 60. Să se nterpreteze rezulttele oţnute. ăspuns: ) T 48,0N ş T,N ; ) T 76,0N ş 7,6N ; c) T 0,N ş T 00,0N ; d) T 00N ş 00N ; e) T 0,0N ş T 86,6N. T T F G P α β P α P G β F F G P α β G d β α G P β F c Fg..5. e.7. Un punct mterl M, vând greutte G 50N, este cţont de greutăţle P 0N ş Q 40N, prn ntermedul două fre trecute peste do scrpeţ de dmensun negljle, conform fgur.6. Să se studeze stre de echlru sttc punctulu mterl M.
ăspuns: Pozţ de echlru punctulu mterl M, pote f defntă de unghurle α ş β pe cre cele două fre le fc cu orzontl α 40 ' ş β 67 40'. Treue remrct că prolem re soluţ, în czul generl, num dcă este îndeplntă o condţe de comptltte: P Q G P + Q (cre rezultă medt în urm condţlor de defnţe funcţlor trgonometrce le unghurlor α ş β su dn trunghul forţelor). D P α G β Q M /4 /4 / / Fg..6. Fg..7..8. Un nel M, de msă m cunoscută, flt în plnul unu pătrt de ltură, este cţont de ptru resortur dele M, M, M ş MD. ele ptru resortur u ceeş constntă elstcă k. Să se determne forţ F cre treue plctă punctulu mterl M stfel încât cest să ocupe pozţ dn fgur.7. ăspuns: supr punctul mterl M cre se găseşte în echlru în pozţ ndctă, cţoneză şse forţe: ptru forţe elstce cre provn dn înlocure resorturlor, greutte G mg j ş forţ F. Se oţne: F k + mg j. µ α G Fg..8. F.9. Un punct mterl de greutte G, cţont de o forţă orzontlă F se flă pe un pln înclnt cu unghul α fţă de orzontlă. oefcentul de frecre de lunecre µ este cunoscut. Să se fle vlorle pe cre le pote ve F stfel încât punctul mterl să se fle în echlru cu frecre pe plnul înclnt, conform fgur.8. ăspuns: tg( α φ ) F Gtg( α + φ ) G.
4. EDUEE SISTEMEL DE FŢE EE 4.. perţ de reducere unu sstem de forţe în rport cu un punct orecre. Torsor. onsderăm un sstem de forţe orecre cţonând supr unu sold rgd. perţ prn cre se determnă efectele unu sstem de forţe orecre cţonând supr unu sold rgd într-un punct orecre l cestu, portă numele de reducere sstemulu de forţe în rport cu punctul mntt. cestă operţe de reducere peleză l noţunle de rezultntă ( ) ş de moment rezultnt ( M ) l unu sstem de forţe în rport cu un punct: ( X ) + ( Y ) j + ( Z ) k X + Y j Z k ( ) ( M ) + ( M j + M ) ( z k F + ; (4.) M M ) (4.) M + M j + M k Se defneşte nsmlul celor do vector ş M concurenţ în punctul c formând torsorul sstemulu de forţe în punctul dt ş se noteză τ, M ). z ( Torsorul sstemulu de forţe reprezntă un sstem de forţe echvlent cu cel nţl, însă cu mult m smplu. Noţune de torsor permte formulre condţe generle de echvlenţă sstemelor de forţe: Două su m multe ssteme de forţe cţonând supr unu sold rgd sunt echvlente dcă u celş torsor defnt în rport cu un celş punct rtrr. 4.. Invrnţ unu sstem de forţe fţă de punctul de reducere Se oservă că rezultnt sstemulu de forţe este ceeş ndferent de punctul de reducere (reprezentând prmul nvrnt su nvrntul vectorl
l operţe de reducere), în tmp ce momentul rezultnt M vrză de l un punct de reducere l ltul conform relţe: M M + (4.) l dole nvrnt l sstemulu de forţe este nvrntul sclr, reprezentt de produsul sclr M. Pentru pune în evdenţă cest nou nvrnt, se înmulţeşte sclr cu relţ (4.) M M ( + Este evdent că produsul mt ( ) 0 ş tunc rezultă: ) M (4.4) M servţ: omprând ce do nvrnţ treue să se fcă unele preczăr: Invrntul sclr este un număr ş dec nu depnde în nc un fel de legere unu nou sstem de e (trnsltt su rott). Invrntul vectorl (rezultnt) ( X, Y, Z) pote f prvt c un vector ler l legere unu nou sstem de refernţă, dr prmetr să drector sunt nvrnţ num fţă de sstemele de refernţe trnsltte. comnţe celor do nvrnţ conduce l defnre unu l trele nvrnt, cu mult m mportnt decât l dole nvrnt, prvt dn punctul de vedere l nterpretăr mecnce. cest nvrnt este proecţ momentulu rezultnt pe drecţ rezultnte (dcă 0), cre se noteză cu : M M M M u M cos( M, ) (4.5) ş reprezntă un rport do nvrnţ. În relţ (4.5) u este versorul rezultnte. Un sstem de forţe re do nvrnţ: ş M su ş M. omponent momentulu rezultnt M M u reprezntă un mnm pentru mulţme vectorlor moment l orcăru sstem de forţe cre re 0, tunc când se schmă punctul de reducere. 4
4.. Torsor mnm, centrlă unoscând sstemul de forţe cre cţoneză supr unu sold rgd, se pune întrere cre este vlore mnmă torsorulu ş în ce puncte de reducere se stleşte cestă vlore. După cum s- rătt, l reducere sstemelor de forţe, dn componenţ torsorulu num momentul se modfcă tunc când se modfcă punctul de reducere. Dcă momentul rezultnt M se decompune în două componente: M (după drecţ rezultnte) ş M N (după drecţ normle l rezultntă), se consttă că l schmre punctulu de reducere vrză num component M N, în tmp ce component M este nvrntă. oncluz este că vlore mnmă momentulu rezultnt M este oţnută în punctele pentru cre component normlă M N se nuleză, r vlore cestu mnm este: M XM YM ZM + + z M MIN M (4.6) X + Y + Z Prn urmre, torsorul mnm este lcătut dn rezultnt ş momentul mnm M MIN M MIN u. Pentru sstemele de forţe cre u 0, noţune de torsor mnm nu re sens. Pentru fl pozţ punctelor de reducere pentru cre torsorul este mnm, se pote pune condţ c M să fe colnr cu, dcă se restleşte condţ c vlore componente normle M N să fe nulă. Dcă epres rezultnte este: X + Yj + Zk, (4.7) fe (,,z) un punct pentru cre se v scre condţ de colnrtte: M M + λ (4.8) în cre dezvoltăm produsul vectorl: j k M ( M M + M j + M Z + zy ) + ( M z k + X Y z Z zx + Z) j + ( M z Y + X ) k (4.9) ondţ de colnrtte (4.8) M λ se pote scre su form: M M zx Z Z + zy + M z Y + X X Y Z cee ce reprezntă o dreptă oţnută c ntersecţ două plne. (4.0) 5
Locul geometrc l punctelor pentru cre torsorul unu sstem de forţe cu rezultntă nenulă este mnm este o dreptă cre se numeşte centrlă. servţe: Dcă M 0, tunc centrlă se dentfcă cu suportul rezultnte, deorece torsorul mnm re form prtculră: τ (,0). mn 4.4. zurle de reducere le unu sstem de forţe orecre. Ssteme echvlente. lsfcre sstemelor de forţe se pote fce în ssteme echvlente cu zero ş ssteme de forţe orecre. Sstemele de forţe orecre se clsfcă l rândul lor, în ssteme de forţe echvlente cu unul dn cele două elemente de ză le sttc (forţ ş cuplul), po în ssteme generle (numte ş dnme). Funcţe de componentele torsorulu sstemulu de forţe (, M ), se desprnd următorele czur de reducere: ) 0 ş M 0, dcă torsorul este nul τ (0,0) cz în cre sstemul de forţe este în echlru su sstemul de forţe este echvlent cu zero ; ) 0 ş M 0, sstemul de forţe dt este echvlent cu un cuplu, r torsorul se scre τ 0, M ) ; ( ) 0 ş M 0, dcă torsorul este lcătut num dn rezultntă, τ (,0). Sstemul de forţe este echvlent în cest cz cu o sngură forţă ( rezultnt, l căre suport trece prn punctul de reducere. Se noteză prescurtt UT- (rezultntă uncă cre trece prn ). 4) 0 ş M 0 este czul în cre este necesră ntroducere unu l trele crteru de clsfcre: nvrntul sclr. stfel se deoseesc suczurle: ) M 0, dcă M, su component M 0 conduce l stlre sstemulu echvlent cel m smplu une forţe unce (rezultnt) cre nu trece prn punctul de reducere. Se noteză prescurtt UNT- (rezultntă uncă cre nu trece prn ). În punctele stute pe centrlă, τ 6
τ M MIN 0, dcă MIN (,0), r centrlă concde cu suportul rezultnte. Se plcă în cest cz teorem lu Vrgnon. ) M 0, este czul sstemelor de forţe generle, sstemul de forţe este echvlent cu o dnmă, r torsorul mmn τ MIN (, M MIN ) re c dreptă suport centrlă. oncluz este că sstemele de forţe pot f clsfcte în două mr ctegor: ssteme prtculre de forţe (echlru, cuplul ş rezultnt uncă cre trece su nu prn punctul de reducere) ş ssteme generle (dnme). Sntez czurlor dscutte este prezenttă în telul următor: Nr. cz Telul 4.. zurle de reducere le sstemelor de forţe M M zul de reducere Ssteme de. 0 0 0 Echlru. 0 * 0 uplu. * 0 0 ezultntă uncă cre trece prn punctul de reducere (UT-) 4. ) ezultntă uncă cre nu trece 0 prn punctul de reducere * * (UNT-). ) Dnmă * Notă: * - rezultnt su momentul rezultnt 4.5. plcţ 4.. Două forţe F ş F vând fecre mărme P forţe Prtculre M sunt nenule. Generle, cţoneză pe feţele lterle le cuulu de ltură cunoscută (fg. 4., ). Să se stlescă torsorul sstemulu de forţe în rport cu punctul, po czul de reducere ş să se repreznte sstemul echvlent cel m smplu. ezolvre: Epresle nltce le celor două forţe sunt: F Pj + Pk ; F Pj + Pk. Vectorul rezultnt se oţne: F + F Pk. Momentul rezultnt l sstemulu de forţe fţă de punctul se flă sumând momentele forţelor, clculte în rport cu celş punct : 7
M ( F) F 0 0 Pj + Pk 0 P P j k M ( F ) F 0 0 P j k 0 P P Momentul rezultnt este: M M ( F ) + M ( F ) P( j + k ) În concluze, torsorul în punctul l sstemulu celor două forţe este: Pk ; M P( j + k ) cest este reprezentt în fgur 4.,. L stlre czulu de reducere este necesr să se clculeze m întâ nvrntul sclr: M P 0. z z z F F M Fg. 4.. zul de reducere este 4, deorece 0; M 0; M 0, r sstemul echvlent cel m smplu este torsorul mnm, consttut dn rezultnt Pk ş momentul mnm. ceste dn urmă se clculeză cu relţ (4.6): P M MIN M P ş dec M MIN M MINu P k. P Torsorul mnm se găseşte pe centrlă cre căre eprese nltcă se oţne înlocund proecţle rezultnte ş momentulu rezultnt în (4.0): P P + 0 P 0+ P P 0+ 0 0 0 P Deorece rezultnt nu re proecţ pe ele ş, tunc epresle de l numărătorul prmelor două rporte se egleză cu zero ş dec / /.. M c 8
centrlă este drept prlelă cu z ş se oţne l ntersecţ celor două plne prlele cu plnele de refernţă z ş z. Pe cestă ă centrlă se reprezntă torsorul mnm (fg. 4., c). 4.. orpul prsmtc dn fgur 4., este cţont de două forţe cunoscute în modul: F P ş F P. Să se clculeze torsorul în punctul ş ş să se repreznte sstemul echvlent cel m smplu. z (0,,) z F F M Fg. 4.. ăspuns: P + Pk ; M P Pj; M M + Pj Pk centrlă se flă l ntersecţ plnelor: + z ; /, r momentul mnm este: M MIN P Pk (fg. 4., ). 4.. Se cere să se fle forţ F ş coordontele punctulu dn plnul prn cre trece suportul e, stfel încât reducând sstemul de forţe în punctul (fg 4.), sstemul să fe echvlent cu un cuplu prlel cu. F F P. z ăspuns: Dcă epres forţe necunoscute F este: F X + Y j + Z k, tunc dn condţ c rezultnt să fe nulă F + F + F 0, se stleşte: X 0; Y P; Z 0. Momentul forţe F se clculeză funcţe de coordontele punctulu (, 0, z ): M ( F ) zp Pk. ondţ c momentul rezultnt să fe un vector F F Fg. 4.. 9
colnr cu, este c proecţle cestu pe ele ş z să fe nule: M P + zp 0 M z P P 0 z / 4.4, 4.5. Un corp de form unu prlelpped dreptunghc cu z un pǎtrt de lturǎ ş înǎlţme este cţont de ptru forţe vând ceeş mǎrme P (fg. 4.4 ş 4.5). Sǎ se stlescǎ pentru fecre cz în prte: ) torsorul în orgne ş sǎ se repreznte cest; ) czul de reducere; c) ecuţ e centrle; d) torsorul mnm ş sǎ se repreznte cest. z z F 4 F F F Fg. 4.4. F F F 4 Fg. 4.5. F ăspuns: 4.4: ) τ ( Pj + Pk ; M Pj + Pk ) ; ) zul 4: UNT- ( M 0); c) Intersecţ două plne: (P ): ş (P ): z 0; d) τ ( Pj + Pk ; M 0). MIN 4.5: ) τ ( Pk ; M P Pj Pk ) ; ) zul 4: dnmă ( M 4 P 0 ); c) Intersecţ două plne: (P ): -,5 ş (P ): ; d) τ ( Pk ; M Pk ). MIN 40
5. EDUEE SISTEMEL DE FŢE PLNE ŞI SISTEMEL DE FŢE PLELE. ENTUL FŢEL PLELE Sstemele de forţe coplnre ş sstemele de forţe prlele fc prte dn ctegor sstemelor de forţe prtculre, dcă cele ssteme de forţe l cre nvrntul sclr este nul ( M 0). 5.. educere sstemelor de forţe coplnre Fe un sstem de forţe coplnre de form: F X Y j ;,,n (5.) + Sstemul de forţe coplnre flt în plnul, se reduce într-un punct rtrr (formeză un sstem echvlent în cel punct) l un torsor de tpul: X + Y j τ (5.) M M zk ( Y X ) k Sstemul echvlent cel m smplu (torsorul mnm) este: X + Y j τ mn M (5.) M mn 0 şdr, sstemul de forţe coplnre se pote reduce l o rezultntă uncă, l căru suport este centrlă. Ecuţ e centrle, cre rezultă prn prtculrzre eprese generle e centrle dn relţ (4.0), este de form: M z Y + X 0 (5.4) elţ (5.4) reprezntă ecuţ une drepte cre ntersecteză ele de M z M z coordonte ş în punctele:,0 ş 0,. Y X 4
servţ: În czul sstemelor de forţe coplnre cre dmt o rezultntă nenulă, se pote plc teorem lu Vrgnon, deorece sstemul se reduce l o rezultntă uncă: M d unde: d este rţul rezultnte. (5.5) vând în vedere că vector rezultntă ş moment rezultnt M sunt întotdeun ortogonl ( M 0 M ), în czul sstemelor de forţe coplnre nu estă czul de reducere numărul 4, ( dnmă ). elellte czur de reducere: echlru, cuplu, rezultntă uncă l căru suport trece ( UT- ) / nu trece ( UNT- ) prn punctul de reducere, rămân însă vlle (vez telul 4., pgn 7). 5.. educere sstemelor de forţe prlele Fe un sstem de forţe prlele cu z, de form: F Z k,,, n (5.6) Un stfel de sstem de forţe prlele cu z, în urm operţe de reducere fţă de un punct rtrr, formeză un torsor cre re următorele componente: Z k τ (5.7) M M + M j Sstemul de forţe prlele se pote reduce l o rezultntă uncă r torsorul mnm l forţelor este: Z k τ mn (5.8) M mn 0 ( M 0) centrlă este o dreptă prlelă cu z cre înţepă plnul în punctul (, ), r coordontele ş u următorele epres: n F M Z Z n F M Z Z (5.9) 4
S- presupus că rezultnt re proecţ pe z poztvă (Z > 0), r forţele componente le sstemulu F ntersecteză plnul în punctele (, ). servţe: servţle făcute în sucptolul 5.. în czul sstemelor de forţe coplnre, rămân vlle ş pentru sstemele de forţe prlele, c pentru orce sstem de forţe prtculre. 5.. entrul forţelor prlele Pentru est un stfel de punct l centrulu forţelor prlele, nott cu, sstemul de forţe prlele treue să îndeplnescă următorele condţ: rezultnt să fe dfertă de zero ( 0) ; forţele să fe vector legţ. entrul forţelor prlele este un punct f (,, z ) prn cre trece drept suport rezultnte ş reprezntă chr punctul de plcţe l ceste. Ţnând cont de condţle de m sus, rezultnt este un vector legt. oordontele centrulu forţelor prlele vor f: n n F n n F F F n, F z n n z F F (5.0) În czul forţelor prlele cu z, vem : F Z Z. servţe: Sumele de l numărător, dn relţle (5.9) ş (5.0) se numesc momente sttce ş sunt sume lgerce. Fecre proecţe forţe F sstemulu ş respectv, fecre coordontă, su z, prtcpă l sumre cu semnul lor. n n 4
Dcă numărul forţelor prlele le sstemulu tnde spre nfnt (czul forţelor prlele dstrute), în epresle coordontelor, ş z, sumele fnte ( ) devn ntegrle ( ), r forţele F devn forţe elemntre df. stfel, relţle (5.0) devn: df df zdf D D D,, z (5.) df D df D df D Pozţ centrulu forţelor prlele (,, z ), re următorele propretăţ: nu se schmă dcă forţele (vector legţ) cre lcătuesc sstemul îş modfcă drecţ contnuând să rămână prlele între ele; nu se modfcă dcă tote forţele sstemulu sunt multplcte cu o mărme sclră; este nvrlă în rport cu forţele, dec nu depnde de sstemul de e consdert. 5.4. plcţ 5.. Se consderă sstemul de forţe coplnre dn fgur 5.,, lcătut dn ptru forţe de mărm cunoscute: F P, F P, F P ş F4 5P. Vlorle lu P(kN) ş (m) sunt dte. Să se reducă sstemul de forţe coplnre în rport cu punctul ş po să se clculeze ş să se repreznte grfc sstemul echvlent cel m smplu. ezolvre: ) Se reduce stemul de forţe în rport cu polul, dcă se clculeză torsorul τ l sstemulu de forţe în rport cu punctul. cestă operţe presupune clculul celor două componente vectorle: rezultnt sstemulu de forţe ş momentul rezultnt M l forţelor în rport cu punctul..) lculul rezultnte sstemulu de forţe Se plcă metod nltcă de clcul: fecre forţă sstemulu se descompune în componente prlele cu ele sstemulu de refernţă (fg. 5., ), stlnd proecţle forţelor pe e ş în fnl, scrnd nltc forţele. 44
4 F F 4 α F β F F4 X 4 F α F Y X β F Y Y X Fg. 5.. F F cos α + F sn α j P + P F F j P j j P + P j F F cos β F sn β j P P j P P F F 5P 4 4 j servţe: Se oservă că forţele F, se puteu clcul nltc ş folosnd relţ (.4), eprmând forţ în funcţe de versorul drecţe sle. Vom eemplfc dor pentru forţ F : F Fu F P P + j ( 0 ) + ( 0) ( ) + ( ) P + P j ezultnt re următore eprese nltcă (cre se oţne în urm plcăr teoreme proecţlor): j 45
4 F ( P + 0 P + 5P) + ( P + P P + 0) j P + P j 4 Mărme rezultnte este: ( 4P) P 7 P +.) lculul momentulu rezultnt rport cu polul lculul momentulu rezultnt modul nltc: M 4 M ( F) P F j P M, l sstemulu de forţe, în M se pote efectu în două vrnte: + 0 k 0 0 F 5P 5P 6P k + 9P k 0P k 5P k + + j 0 0 4 k 0 0 F + 4 0 j 4 ( M ( F ) 0 deorece punctul prţne suportulu forţe plcând teorem lu Vrgnon (fg. 5., ): M Y + Y + X Y X 4 4 6P + 9P 0P 5P 44 4 4 M 5P k 0 Torsorul sstemulu de forţe în rport cu punctul este: τ P + 4P j M 5P k ) Se verfcă clculul torsorulu sstemulu de forţe în punctul (les în etp precedentă). Verfcre se pote efectu în două modur: plcând teorem lu Vrgnon dcă nu fost utlztă l punctul. pentru clculul momentulu rezultnt M ; plcând relţ (4.) pentru cre se clculeză momentul rezultnt l sstemulu de forţe în rport cu lt punct, ş cum se v preznt în contnure. 0 k 0 0 F ) 46
Se clculeză momentul rezultnt l forţelor sstemulu în rport cu punctul, cre fost les dn motve de smplfcre clcululu: M 4 M ( F) F + j k j 4 0 + 0 P P 0 0 P F k 0 4Pk 0 Pk 7P k Se plcă relţ (4.) ş rezultă: M M + 7P k + cee ce însemnă că momentul rezultnt ) Se stleşte czul de reducere. 4 P 4 4P 7Pk + Pk 5P k j k 0 0 M fost clcult corect. 0 M 0 Sstemul de forţe coplnre se reduce l czul UNT- M 0 4) Se clculeză torsorul mnm l sstemulu de forţe. τ mn P + 4P j M mn ( M ) 0 5) Se eprmă ecuţ e centrle, conform relţe (5.4): M Y + X 0 5P 4P + P 0 5 4 + 0 Punctele de ntersecţe le e centrle (nottă cu..) cu ele ş 5 vor f: P ( 0, 5) ş P, 0. 4 6) Se reprezntă grfc sstemul echvlent cel m smplu: o rezultntă uncă pe centrlă (fg. 5.). 5P Se oservă că: M d, unde d,. 7P 47
cest se pote verfc forte uşor, rţul rezultnte d fnd înălţme trunghulu dreptunghc P P. ( 0, ) P 5 entrlă (..) P 5, 0 4 d Fg. 5.. 5.. Se consderă sstemul de forţe prlele dn fgur 5.,. Forţele componente u mărmle cunoscute: F F, F 5F, F 4F, F4 F r l, l ş l. Vlorle lu F(kN) ş l(m) sunt dte. Să se reducă sstemul de forţe coplnre în rport cu punctul ş po să se clculeze ş să se repreznte grfc sstemul echvlent cel m smplu. ezolvre: ) lculul torsorulu sstemulu de forţe prlele în rport cu polul ( τ ): ( F + F + F F ) j ( F + 5F + 4F F ) j F j 6 4 M F + F F 5F l + 4F l F 6l 0Fl M 0Fl τ 4 k 6F j M 0Fl k 48
F F F D.. F 4 Fg. 5.. ) Verfcre torsorulu forţelor τ, în rport cu punctul. M F + F F F l + 4F l F 4l Fl M Fl 4 k M M + Fl k + 0 0 Fl k + Fl k 0Fl k 0 6F 0 elţ de m sus se verfcă, dec clculul fost efectut corect! ) Identfcre czulu de reducere. 0 M 0 czul 4 (UNT-) M 0 4) lculul torsorulu mnm l sstemulu de forţe prlele. τ mn 6F j M mn 0 5) Ecuţ e centrle Este sufcent să clculăm dor, dcă scs punctulu D (fg. 5., ), pentru că centrlă, fnd suportul rezultnte, v f prlelă cu. j k 49
servţe: 4 F F 0 + F + F F4 M 0Fl, 67l 4 F + F + F F4 6F F 6) eprezentre rezultnte unce fost relztă în fgur 5.,. Dcă consderăm forţele F c fnd vector legţ cu punctele de plcţe în,, ş, tunc ş rezultnt v f un vector legt vând orgne în punctul D. 5.. Ştnd că sstemele de forţe coplnre dn fgur 5.4. sunt reprezentte l scră, să se determne torsorul forţelor în orgne ş să se repreznte sstemul echvlent cel m smplu, în tote cele ptru czur. Se cunosc: mărme dvzun crojulu (m) ş mărme forţe P corespunzătore une dvzun. F F F F F F F 4 F F F F F 4 F F c d Fg. 5.4. ăspuns: M Ecuţ e centrle ) P 8Pk 8 ) P j 4Pk 4 c) P Pk d) P Pj Pk 50
5.4. Se du sstemele de forţe coplnre dn fgur 5.5 pentru cre se cunosc mărmle tuturor forţelor: F P 0, F 4P, F P ş F 4 P. Să se determne ş să se repreznte grfc torsorul forţelor în orgne ş sstemul echvlent cel m smplu. Se cunosc: mărme dvzun crojulu (m) ş mărme P(kN). ăspuns: M Ecuţ e centrle ) P + Pj 4 Pk 4 ) 0 Pk c) 5P 4Pj 4Pk 4 + 4 d) Pj 0Pk 0 F F F F F 4 F F 4 F F 4 F F F F F c Fg. 5.5. 5 d
5.5. Un sstem de forţe prlele de mărm cunoscute: F P, F F4 P, F 4P ş F5 P, cţoneză pe un prlelpped dreptunghc conform fgur 5.6. Fnd dte vlorle pentru P(kN) ş (m), se cere: ) să se clculeze ş să se repreznte grfc torsorul forţelor în punctul ; ) să se determne suportul rezultnte; c) consderând sstemul de forţe c fnd vector legţ ş vând punctele de plcţe cunoscute (fg. 5.6), să se determne centrul forţelor prlele. ) Pk ăspuns: M P + 5pj ; 5 c),,. (, ) F F 4 z F (, ) F 5 Fg. 5.6. F, 4 ( ) 5.6. Pentru sstemul de forţe prlele dn fgur 5.7 se cunosc: mărmle forţelor F 5P, F P, F P, F4 P ş F 5 4P, vlorle lu P(kN) ş (m). Punctele de plcţe le forţelor sunt ndcte pe fgură. Să se determne: ) torsorul forţelor în punctul ; ) centrul forţelor prlele. z F F ăspuns: ) Pk, M P + 0pj. ( ) ) 0,,0. F (,,0) D ( 4,,0) (,,0) E (,0), (,4,0) F 5 F 4 5 Fg. 5.7.
6. ENTE DE MSĂ PENTU E ŞI PLĂI MGENE 6.. entre de msă pentru re omogene Se consderă o ră vând ms totlă M unform dstrută pe lungme e (nottă L). Se spune că r este omogenă tunc când denstte untăţ de lungme µ M/L este constntă. Presupunem că r se flă în plnul ş este lcătută dn elemente smple (segmente de ră rectln, crculre, etc). Deorece lungmle elementelor (l ) ş pozţle centrelor de msă (, ) le cestor se cunosc într-un sstem de e dt, tunc pozţ centrulu de msă l re lcătută dn stfel de elemente, re epres : n l n l n n ; (6.) l l 6.. entre de msă pentru plăc omogene Pentru o plcă plnă omogenă cre pote f descompusă în sudomen smple c formă (cu rle ş coordontele centrelor de msă (, ) cunoscute), centrul de msă l plăc este dt de : n n n n ; (6.) servţ : Dcă domenul dt (ră su plcă) este reprtzt în spţul trdmensonl, tunc relţle (6.) ş (6.) conţn ş tre coordontă centrulu de msă cre re epres smlră prmelor două. Utlzre teoremelor Pppus-Guldn permte clculul re lterle ( l ) ş volumulu (V) pentru corpurle de rotţe, cu formulele : l π Ld (6.) unde L este lungme re omogene cre prn rotţe, genereză r lterlă, r d este dstnţ de l centrul de msă l re l de rotţe ; V π d (6.4) p unde p este r plăc omogene cre prn rotţe genereză volulmul, r d este dstnţ de l centrul de msă l plăc, l de rotţe. 5
6.. Etpe în rezolvre prolemelor ) Se nlzeză geometr domenulu dt pentru -l dvz într-un număr mnm de sudomen smple (vez ne ). ) Pentru fecre sudomenu se reprezntă pozţ centrulu de msă. ) Se lege un sstem unc de e cre este tşt domenulu dt. L cestă legere sunt mportnte două crter pentru uşurnţ rezolvăr proleme :.. Defnre centrelor sudomenlor să fe cât m uşor de stlt în sstemul de e les... tunc când este posl, ele să trecă prn cât m multe centre de msă le sudomenlor. Îndeplnre celu de-l dole crteru mcşoreză numărul operţlor elementre de clcul. În cest sens, pentru czul prtculr l smetre de reflectre în rport cu o ă conţnută în plnul domenulu, un dntre ele sstemulu treue să fe de smetre, deorece centrul de msă prţne ceste e. 4) Se stleşte crcterstc geometrcă (lungme su r) fecăru sudomenu ş cordontelor corespunzătore fecăru centru de msă. 5) Utlzând după cz relţle (6.) su (6.), se clculeză coordontele centrulu de msă cerut. 6) Se reprezntă pozţ centrulu de msă. 6.4. plcţ 6.. Să se determne pozţ centrulu de msă pentru r omogenă dn fgur 6., cunoscând rz. ezolvre: Fg. 6.. ) r este lcătută dn tre re elementre (fg. 6., ): două re rectln (numerele ş ) ş o ră semcrculră (numărul ). ) Se reprezntă centrele de msă le celor tre re elementre. 54 c
) Se lege un sstem de refernţă cre re orgne în centrul re, orzontlă prn centrul de msă le re, r vertclă prn centrul re numărul (fg. 6., ). legere cestu sstem de e ortogonl conduce l stlre ptru coordonte nule dn şse pe cre le u centrele celor tre elemente, cee ce mprmă vntjul unu număr mnm de operţ rtmetce l clculul centrulu de msă l re dte. 4) Este necesră stlre pentru fecre element în prte, lungm sle ş coordontelor centrulu de msă corespunzător elementulu : l 6 l 6 l π Elem. 0 Elem. 0 Elem. + 6 / π 0 0 snα π Se foloseşte relţ în cre α (vez ne ), l α clculul coordonte +. 5) Se plcă relţ (6.) pentru cele tre re elementre (n ) : 6 l π ( + ) l ( ) π + π,6 l+ l + l 6+ 6+ π 4+ π l l l 6 ( ) 6 0,84 l + l + l (4 + π) 4+ π l 6) eprezentre centrulu de msă este prezenttă în fgur 6., c. L fnl se pote prec pozţ centrulu de msă c fnd plstă în nterorul trunghulu formt de centrele de msă le celor tre elemente de ră, cee ce reprezntă în czul proleme de fţă o verfcre clttvă rezulttulu. 6.. Să se determne pozţ centrulu de msă pentru r omogenă dn fgur 6., cunoscând rz. ezolvre: ) r se consderă c fnd lcătută dn tre re elementre (ră semcrculră), (ră rectlne) ş (ră sfert de cerc). ) Se reprezntă pozţle centrelor, ş (fg. 6., ). 55
4 Fg. 6.. α ) Se lege c sstem de refernţă, sstemul cre încdreză r, cest fnd plstă în prmul cdrn ; cotele centrelor, ş sunt uşor de dentfct (fg. 6., ). 4) Se scru lungmle ş coordontele le centrelor de msă pentru fecre element: l π/ π l 4 l π /4 π snα ; ; + cos π / 4 α π 0 4 π unde dstnţ (v. ne ) se determnă pentru unghul α π/4 cu relţ: snα sn( π / 4) 4 α π /4 π ( ) 5) lculele se efectueză folosnd telul 6.: 4 α TELUL 6.. orpul () l l l () () () (4) (5) (6) () π /π π () 4 0 8 0 () π +4/π 4/π π +4 4 Sumând vlorle dn colon dou, se stleşte lungme totlă re cre este L l ( + π ), r po sumând vlorle dn colon cnce ş 56
respectv şse, se flă momentele sttce cre sunt: S ş S (4 + π ). Utlzând relţle (6.) oţnem coordontele: S 7 + π S 4 + π,97; 0, 69 L + π L ( + π ) 6) entrul de msă este reprezentt în fgur 6.,. (7 + π ) 6.. Plc omogenă trpezodlă re dmensunle cunoscute:, ş h (fg. 6., ). Să se clculeze cot centrulu de msă. h h/ / h/ +(-)/ c Fg. 6.. ezolvre: Estă m multe vrnte de descompunere plăc trpezodle într-un număr mnm de elemente smple (două). stfel se pot condder următorele czur de împărţre unu trpez : un dreptungh ş un trungh, un dreptungh dn cre se «scde» un trungh ş două trunghur. Se prezntă prmele două czur de descompunere. zul. Plc trpezodlă se pote descompune într-o plcă dreptunghulră cu r h ş coordont centrulu de msă h/ (fg. 6., ), precum ş într-un trunghulră cu r (-)h/ ş coordont centrulu de msă h/ (fg. 6., c). Sstemul de e les plseză plc trpezodlă în prmul cdrn, cu tote coordontele centrelor poztve. Utlzând relţ (6.), se clculeză: h ( ) h + + 6 h( + ) ( ) h + h + ( + ) zul. Se consderă o plcă dreptunghulră cu r h (fg 6.4, ), dn cre se scde o plcă trunghulră cu r (-)h/ (fg. 6.4, c). 57
h h/ h/ / +(-)/ c Fg. 6.4. Evdent se oţne celş rezultt: h ( ) h h( + ). ( ) h h ( + ) 6.4. Să se determne pozţ centrulu de msă pentru plc omogenă dn fgur 6.5,. z cerculu este cunoscută. Fg. 6.5. ezolvre: Plc se descompune în următorele ptru plăc smple (fg 6.5, ) vând următorele forme: ) pătrt cu ltur ; 4 Fg. 6.6. ) semcerc cu rz ; ) trungh dreptunghc soscel vând ctetele egle tot cu ; 4) sfert de cerc cu rz (deorece cest se scde, r s se consderă negtvă). lculele pot f orgnzte în telul 6., în mod semănător cu cel de l plcţ 6.. În fgur 6.6 s-u reprezentt centrele de msă pentru fecre plcă smplă componentă, po s- les un sstem de e după ctetele trunghulu dreptunghc. 58
TELUL 6.. orpul () () () () (4) (5) (6) -/ / / / π / 0 4/π 0 / / / / /6 /6 π /4 +4/π 4/π π /4 / -π /4+ / Se efectueză sumele pe colonele, 5 ş 6, după cre se clculeză coordontele centrulu de msă cu relţle (6.): (π 8) / (π 8) 0, 05 (6 + π ) / 4 (6 + π ) (4 π )/ (4 π ) 0, 98 (6 + π ) / 4 (6 + π ) 6.5. Să se clculeze pentru corpul de rotţe dn fgur 6.7 plcând relţle (6.) ş (6.4) (teoremele Pppus-Guldn), cunoscându-se rz : ) r lterlă; ) volumul. ezolvre: ) Pentru clculul re lterle se consderă r omogenă plnă dn fgur 6.8, cre este lcătută dn două rce sfert de cerc, cu centrele cercurlor în ş. 45 45 Fg. 6.7. Fg. 6.8. 59
entrele de msă ş se găsesc pe sectorele rcelor. Se scre : sn 45 π π 4 u relţ (6.) se clculeză r corpulu de rotţe : l π Ld unde d reprezntă dstnţ măsurtă de l centrul de greutte l re l de rotţe : Dr l l d ; dec. l π l π ( l + l ) L l π π l l, cos45, cos45. π π După înlocur, se oţne r lterlă: l π. 45 ) Volumul corpulu de rotţe se stleşte cu relţ (6.4), consderând plc omogenă plnă dn fgur 6.9, cre este lcătută dn tre domen elementre plne : o plcă pătrtă dn cre se «scde» plc sfert de cerc cu centrul în ş se dugă plc sfert de cerc cu centrul cerculu în. Plc dn fgur 6.9 se roteşte în jurul e, r dstnţ d. Volumul genert este : 45 V π π unde : Fg. 6.9. pentru plc pătrtă : ş, pentru plc sfert de cerc cre se «scde» : π 4 4,, r pentru π plc sfert de cerc : π 4 4,. π π (4 π ) ezultă V,4. 6 60
7. ENTE DE MSĂ PENTU LUI MGENE ŞI PUI MPUSE 7.. entre de msă pentru locur omogene Fe un loc omogen (vând denstte ρ M/V, constntă), cre pote f descompus într-un număr de sudomen smple c formă ş cre u volumele V ş coordontele centrelor de msă (,, z ) cunoscute. Pozţ centrulu de msă (,, z ) l loculu omogen, în rport cu un sstem de refernţă z, este dtă de epresle următore: n n n n n n V z V V V V V z,, (7.) 7.. entre de msă pentru corpur compuse Se consderă c fnd corpur compuse, cele ssteme relzte dn comnţ de m multe tpur de corpur: puncte mterle, re, plăc, volume. stfel, corpurle compuse reprezntă ssteme eterogene de corpur. Pozţ centrulu de msă (,, z ) pentru corpurle compuse, în rport cu un sstem de refernţă z, se determnă cu relţle următore: n n n n n n m z m m m m m z,, (7.) servţ: În relţle (7.) ş (7.), numtor reprezntă volumul totl l loculu ş 6
respectv ms totlă corpulu compus: V Vloc ş m M orp ; Volumele corpurlor de rotţe se pot determn ş utlzând relţle (6.4) dcă un dn teoremele Pppus-Guldn; Etpele prcurse în rezolvre prolemelor în cre ntervn locurle omogene su corpurle compuse sunt smlre cu cele descrse în sucptolul 6. (pentru re ş plăc omogene) estând următorele deoser: n elementele smple vor f puncte mterle su corpur omogene (locur, plăc, re); coordontele centrulu de msă se vor clcul cu relţle specfce: (7.) în czul locurlor omogene, su (7.) în czul corpurlor compuse. n 7.. plcţ 7.. Să se determne pozţ centrulu de msă pentru locul (corpul) omogen dn fgur 7.. Se cunoşte vlore lu (m). ezolvre: ) Se împrte locul omogen în corpur elementre (smple) locul omogen este lcătut dn tre locur elementre: corpul : semsfer de rză ; corpul : clndrul crculr drept de rză ş înălţme 4 ; corpul : prlelppedul dreptunghc vând dmensunle 4 4. ) Se reprezntă centrele de msă le celor tre locur omogene elementre. ) Se lege un sstem de refernţă convenl. Pentru locul dt se doptă un sstem cre re orgne în centrul de msă l corpulu, r vertclă z în concdenţă cu de smetre întregulu corp (fg. 7.). legere cestu sstem trortogonl de e z, conduce l smplfcre clcululu deorece z fnd ă de smetre corpulu, tunc centrul de msă se v fl pe cestă ă, ş tunc: 0. şdr, treue clcultă dor coordont z centrulu de msă. 6
4) lculul volumelor ş stlre coordontelor centrulu de msă pentru fecre element smplu în prte. lculele se pot orgnz fe într-un tel, fe drect (în czul când vem de fce cu puţne corpur smple), cum se prezntă în contnure. z 4 Fg. 7.. orpul (semsfer): V π 8 z ( ) π 5 5 + 8 8 8 ( ) 0,0, orpul (clndrul crculr drept): V z ( ) π 4 0 4 π ( 0,0,0) 6
orpul (prlelppedul dreptunghc): ( 4)( 4)( ) V 6 z 5 5 + 0,0, 5) Se clculeză coordontele centrulu de msă. Se plcă relţle (7.), în czul de fţă dor pentru determnre coordonte z centrulu de msă, deorece 0. n V z 5 5 8π + 4π 0 + 6 8 z, 6 n 8π + 4π + 6 V 6) eprezentre centrulu de msă l loculu (fg. 7.). ( 0 ; 0;, ) 6 7.. Pentru locul dn fgur 7. se cunosc msele corpurlor smple: m m (pentru semsferă), m m (pentru clndrul crculr drept) ş m 5m (pentru prlelppedul dreptunghc). Să se determne pozţ centrulu de msă l corpulu, cunoscându-se m (kg). ezolvre: Se lege celş sstem de e dn plcţ 7.. ş se clculeză dor coordont z centrulu de msă (deorece 0), plcând relţle (7.). neînţeles că z, z ş z rămân dentce cu cele clculte în plcţ 7.. 5 5 m z m + m 0 + 5m 8 0, m + m + 5m m z ( 0; 0;, ) 7.. Să se determne pozţ centrulu de msă pentru corpul omogen dn fgur 7.. Se cunoşte (m). ăspuns: ( 0; 0,45; 0, 667) 64
z 4 4 Fg. 7. 7.4. Să se determne pozţ centrulu de msă pentru corpul omogen dn fgur 7., cunoscându-se (m). ăspuns: ( 0,056; 0,89; 0, 8) z Fg. 7.. 65
7.5. Fe corpul compus dn fgur 7.4, lcătut dntr-o plcă omogenă, semcrculră, de msă m ş o ră omogenă, în formă de semcerc, de msă m. vând în vedere că mele corpur u ceeş rză, se cere să se determne rportul celor două mse stfel încât centrul de msă l corpulu compus să se fle în punctul. 4,6 m ăspuns: m m 7.6. Se consderă corpul dn fgur 7.5, m lcătut dntr-un loc omogen, în formă de semsferă de rză cunoscută ş msă m ş un ltul în formă de con crculr drept de msă m. ) Să se determne înlţme Fg. 7.4 conulu hcon, stfel încât centrul de msă l corpulu compus să se fle în punctul. ) onsderând cunoscute denstăţle celor două locur ρ ş ρ, să se determne înălţme conulu stfel încât centrul de msă l corpulu compus dn con ş semsferă să se fle în celş punct? ăspuns: ) m ; ) m h con h con ρ ρ m m Fg. 7.5. 66
8. STTI SLIDULUI IGID 8.. Etpe în studul echlrulu sstemelor de forţe cţonând supr unu sold rgd în prolem plnă ) Stlre grdulu de moltte ş tpulu de prolemă (drectă, nversă su mtă). ) eprezentre scheme de forţe : - forţele dstrute se înlocuesc cu rezultnt lor (rezultnt re mărme re suprfeţe dstruţe, drecţ ş sensul celeş cu l forţelor prlele dstrute, r suportul rezultnte trece prn centrul forţelor prlele) ; - plcând «om legăturlor», se reprezntă recţunle dn legătur ; ) Se dentfcă numărul de necunoscute ş se stleşte în mod decvt strteg de rezolvre, ţnând cont ş de cernţele dn enunţul proleme ; 4) Screre condţe de echlru pentru soldul ler su cu legătur dele (fără frecre) su un dn următorele tre vrnte : 4.. Vrnt I (fără restrcţ) X 0, Y 0, (8.,) M z ( Y X ) 0. 4.. Vrnt II X 0, M z M z ( F ) 0, (8.,) M z M z ( F ) 0, cu restrcţ c punctele ş să nu se fle pe o drecţe normlă drecţe e de proecţe forţelor (c ). 4.. Vrnt III M z M z ( F ) 0, M z M z ( F ) 0, (8.,c) M z M z ( F ) 0, Pentru cestă vrntă, restrcţ este c cele tre ecuţ de proecţe de momente (în rport cu e prlele cu z) să fe scrse în rport cu tre puncte necolnre, ş, puncte în cre ele înţepă plnul forţelor. În czul legăturlor cu frecre l lunecre se dugă condţlor de echlru (8.) ş negltăţle de form: 67
T µ N (8.) unde soldul re n rezemăr punctule cu frecre (,,...,n), r T, N ş µ sunt : forţ de frecre, recţune normlă ş coefcentul de frecre l lunecre dn rezemul. În czul legăturlor cu frecre l rostogolre, se dugă condţlor de echlru (8.) ş negltăţle de form: T µ N (8.) M r sn (8.4) unde soldul rezemă cu frecre l rostogolre, r M r ş respectv, s reprezntă momentul de frecre l rostogolre ş respectv, coefcentul de frecre l rostogolre. Fenomenul de frecre l rostolre este însoţt de fenomenul de frecre l lunecre, r relţle (8.) ş (8.4) treue îndeplnte smultn pentru c soldul s-ş păstreze stre de repus. Stre lmtă de echlru în condţle prezenţe frecăr este dtă de consderre egltăţlor în locul negltăţlor dn (8.), (8.) ş (8.4). 5) Verfcre rezulttelor se fce scrnd ltă ecuţe de proecţe pentru echlrul forţelor dn schem de forţe de l punctul. 6) Interpretre rezulttelor este o etpă mportntă m les tunc când sunt m multe soluţ cre treue fltrte dn punctul de vedere l lmtărlor fzce su recţunle sunt negtve, cee ce însemnă că sensul lor este opus celu presupus nţl. 8.. plcţ 8.. r, m este rtcultă în ş cţontă de greutte G 50 N. Ştnd că r re o greutte p 00 N/m ş că este cţontă ş de greutte Q 500 N, se cere să se fle dstnţ l cre se flă greutte Q, stfel încât pozţ de echlru re să fe orzontlă (fg.., ).,0 p 00 N/m 0,60 G G Q Fg. 8.. H V Q P 68
ezolvre: r re o posltte de se rot în jurul rtculţe dn, dec re un grd de lertte. În pozţ de echlru, se reprezntă schem de forţe (fg. 8., ): - se înlocueşte rtculţ (legătur) dn cu recţunle necunoscute H ş V ; - forţ unform dstrută (greutte propre) se înlocueşte cu rezultnt e: Pp 00,0 N cre cţoneză în centrul de greutte l dstruţe, dcă l jumătte re; - frul vertcl dn se înlocueşte după secţonre cu tensune vând ntenstte G. Necunoscutele dn prolemă sunt recţunle H ş V, precum ş dstnţ l cre cţoneză greutte Q. Dn cele tre ecuţ de proecţe (8., ), ultm furnzeză relţ pentru clculul necunoscute : M 0 Q 0,60 P +,0 G 0, rezultă 0,456 m. elellte ecuţ de echlru se scru: X H 0, Y 0 V Q P + G 0, V 70 N. Verfcre este ultm etpă în rezolvre une proleme de sttcă ş cest este olgtore. Se verfcă condţ c momentul rezultnt în lt punct, în de eemplu, să fe dentc nul: M 0,6 P + (,0 ) Q V,0 0,6,0 + (,0 0,456) 500 70,0 7 + 7 444 0 8.. Să se clculeze recţunle dn încstrre stâlpulu peron dn fgur 8.,.,0,0 pkn/m 0º F kn 0, P Y 4,0 M H X,,8 Fg. 8.. ezolvre: Schem de forţe este reprezenttă în fgur 8., : - forţ unform dstrută p se înlocueşte cu rezultnt Pp (,+,8) kn, pe drecţe vertclă, în centrul forţelor prlele l încărcăr dstrute; - se descompune forţ F: X F cos 0,7 kn, Y F sn0 kn; V,8 69
- după suprmre încstrăr, se reprezntă cele tre necunoscute în : H, V ş M. ondţ de echlru se eprmă prn sstemul de ecuţ: X H + X 0, Y V P Y 0; M h P 0, Y,8 X 4 + M h 0. cre se determnă după înlocur: H,7 kn; V 4 kn; M 9,68 knm. Verfcre se fce punând condţ c sum momentelor forţelor în rport cu un lt punct, de eemplu, să fe dentc nulă: M P,5 Y X H + V, + M,5,7,7 + 4, + 9,68 0 8.. Să se determne tensunle dn frele cu cre este prnsă plc dn fgur 8., cunoscând greutte G 40 N ş dmensunle plăc dreptunghulre: 0 cm, D 0 cm. ăspuns: T 5,98 N, T 5 N, T 0 N. T T 0º T D G E Fg. 8.. 8.4. r lungă de 4 m, este rtcultă în cpătul ş sprjntă în cpătul (fg. 8.4) fnd cţontă de greutte propre G 0 N ş prn ntermedul unu fr, de greutte P 0 N. Să se clculeze recţunle dn legătur ştnd că D m. ăspuns: H 5,98 N ( ), V 7,5 N ( ), V 7,5 N ( ). 60º D h, 0,, 0,9 P G 0º F Q Fg. 8.4. Fg. 8.5. 8.5. Să se clculeze vlore mnmă pe cre treue să o ă contrgreutte Q, stfel încât să nu se deschdă clpet dn fgur 8.5, su cţune forţe dstrute lnr (presune unu lchd). 70
ăspuns: ezultnt forţe dstrute este eglă cu r trunghulu presunlor, drjtă pe drecţ centrulu de greutte l cestu (F p h / ). Dn condţ de moment nul în rport cu rtculţ, rezultă Q 8,6 kn. 45 p T 45 Fg.8.6. D F F c T 45 8.6. pltformă m este ncortă cu un clu su un ungh α 45º (fg. 8.6, ). Să se determne tensune dn clu ş recţunle dn rtculţ, dcă greutte propre pltforme este p 800 N/m. ezolvre: Schem de forţe este reprezenttă în fgur 8.6,. ezultnt forţe dstrute p 800 400 N, este plctă în punctul, l jumătte re. Frul este înlocut cu tensune T pe drecţ. ele două forţe ( ş T) u suporturle concurente în D. onform teoreme celor tre forţe, ş ce de- tre forţă, recţune F dn rtculţ v ve suportul concurent în D. Dn consderente geometrce elementre, trunghul D este dreptunghc soscel ş semene cu trunghul forţelor dn fgur 8.6, c. Se oţne T F / 697 N. ecţune dn rtculţ fce un ungh de 45 cu r ş re proecţle pe drecţle orzontlă ş vertclă egle cu Fcos 45 00 N. 8.7. verge 8 cm rezemă su unghul de 5º într-un vs, cpătul superor eşnd în fră cu 8 cm ( 8 cm, fg. 8.7). unoscând greutte G 0,5 N, să se clculeze recţunle. G 5 0 Fg. 8.7. Fg. 8.8. G 7
ăspuns: ecţune dn este normlă l drecţ vergele N 0,0 N. L cpătul nferor, se stleşte recţune V 0,86N ( ) ş recţune H 0,5 N ( ). 8.8. r suportă l un cpăt o greutte G 5 kn (fg. 8.8), fnd rtcultă l celăllt cpăt ş susţnută l jumătte e de un pendul orzontl (r dulu rtcultă ). Să se fle recţunle dn rtculţe ş pendul. ăspuns: T 0 7, kn ( ), H 0 7, kn ( ) V 5 kn ( ). 8.9, 8.0. Să se clculeze recţunle pentru corpurle dn fgurle 8.9 ş 8.0. 4l p l P4pl l 4l p Ppl Fg. 8.9. Fg. 8.0. ăspuns: 8.9 : H 0, V pl ( ), V 7pl ( ). 8.0 : H pl ( ), V 4pl ( ), M +pl ( ). 8., 8.. Să se clculeze recţunle pentru r dreptă înclntă, consderând ceeş încărcre pentru două czur în cre legătur eterore sunt dferte (fg. 8. ş 8.). Ppl Ppl ăspuns: p 4l p 4l 8. : H 4pl ( ), V pl ( ), M +4pl ( ). l l 8. : H 0,5pl ( ), V pl ( ), H,5pl ( ). Fg. 8.. Fg. 8.. 7
8., 8.4. Să se clculeze recţunle pentru corpurle vând formă de cdru, dn fgurle 8. ş 8.4. p p l ăspuns: 8. : V,5pl ( ), H 6pl ( ), V,5pl ( ). 8.4 : H 4pl ( ), V pl ( ), V 5pl ( ). 8.5. plcă omogenă de form unu sector crculr cu rz, cu unghul l centru 60 ş de greutte G, se flă în plnul vertcl rtcultă în ş cţontă de un punct mterl de greutte P, prn ntermedul unu fr trecut peste scrpetele D (fg. 8.5, ). Să se stlescă vlore greutăţ P în funcţe de G, tunc când este orzontlă : ) ltur (fg. 8.5, ), ) sectore (fg. 8.5, c), c) ltur (fg. 8.5, d). p l 4l l Fg. 8.. P6pl M5pl 4l Fg. 8.4. l D P 60 G D H V h 45 0 d G TP D H V 0 h 0 0 d c TP G D H V h 5 0 G d TP d Fg. 8.5. ăspuns: Se stleşte dstnţ centrulu de msă pentru plc sn0 sector crculr cu unghul l centru 60 : ş se scre pentru π / 6 π echlru, ecuţ de proecţe de moment în rtculţ pentru cele tre czur, oţnându-se : G cos0 G G cos0 ) P 0, 80G ; ) P 0, 74G ; c) P 0, 57G. π cos45 π cos0 π cos5 7
8.6. Prolem scăr. scră de lungme l ş greutte G rezemă cu frecre pe o pode ş pe un perete, vând coefcenţ de frecre de lunecre µ ş respectv µ, conform fgur 8.6. Se cere unghul α pentru pozţ lmtă de echlru, precum ş recţunle corespunzătore. ezolvre: Se reprezntă schem de forţe ntroducând recţunle normle N, N ş forţele de frecre T ş T l căror sens este determnt de de tendnţ de mşcre scăr (fg. 8.6). Ecuţle de echlru sunt: X h 0 N T 0; T µ T N T Y h M 0 T z µ N 0 Gl cosα T ; + N G 0; l cosα N l snα 0; T µ N. Pentru echlru l lmtă, ultmele două relţ se scru: N T µ N ; T µ N. α µ ezolvând, se oţne: N G /( + µ µ ); N µ G /( + µ µ ); tgα MX ( f f) / f. Fg. 8.6. oncluz este că pentru echlru: tgα tgα. 8.7. ot trsă. Se consderă o rotă de rză r ş greutte G, şeztă pe un pln înclnt cu unghul α. oefcentul de frecre de lunecre este µ, r de rostogolre s. Se cere vlore mmă forţe de trcţune F pentru echlru, consderând tendnţ de lunecre roţ în sensul forţe F (fg. 8.7). ezolvre: Izolăm rot ntroducănd recţunle N, T, M r ş se scru condţle pentru echlru: X h 0 F G snα T 0; () F Y h 0 N G cosα 0; () M z 0 M r + Gr snα Fr 0 (c) G M r sn (d) T T fn (e) α N Folosnd relţle (), (c) ş (d) găsm vlore M r forţe F c rot să nu se rostogolescă: Fg. 8.7. s F G(snα + cosα) r Utlzând relţle (), () ş (e) găsm condţ c rot să nu lunece: F G(snα + f cosα) 74 MX
9. STTI SISTEMEL DE SLIDE IGIDE 9.. Tpur de proleme ş necunoscute Necunoscutele dn prolemele de sttc soldulu rgd (forţele de legătură dn legăturle eterore ş prmetr geometrc - coordonte - cre defnesc pozţ de echlru) se regăsesc ş în prolemele de sttc sstemelor de corpur. În plus, l sstemele de corpur estă o nouă ctegore de necunoscute, ş nume forţele dn legăturle nterore. L rezolvre unu numt tp de prolemă se v ţne sem de prtculrtăţle sstemulu de forţe dte, de lcăture sstemulu de corpur ş nu în ultmul rând de cernţele dn enunţ. Tpurle de proleme întâlnte sunt celeş cu cele de l studul echlrulu soldulu rgd. 9.. Grdul de moltte ş condţ de determnre sttcă De l început este necesr să se stlescă grdul de moltte (N GL ) l sstemulu de corpur. Funcţe de numărul de corpur (N) ş de numărul de legătur smple (nterore ş eterore) le sstemulu de corpur (N LEG.S. ), se clculeză numărul grdelor de lertte pentru un sstem pln: NGL N N LEG. S. (9.) În relţ (9.) s- ţnut cont că un corp ler tre grde de lertte în prolem plnă (-d), stfel că prmul termen re semnfcţ numărulu mm de grde de lertte clcult pentru tote corpurle dn sstem, c ş cum ceste r f complet lere. Dcă grdul de moltte este egl cu zero, tunc sstemul de corpur, în prncpu este ft cu numărul mnm de legătur (necunoscutele fnd forţele de legătură) sstemul numndu-se sttc determnt, r dcă N GL este m mre decât zero, tunc sstemul de corpur formeză un mecnsm ş pe lângă forţele de legătură, necunoscutele în cest cz sunt ş prmetr de pozţe cre defnesc pozţ de echlru. zul ultm, când N GL este negtv, rtă că sstemul de corpur este de semene ft, numărul de legătur fnd superor numărulu mnm necesr sgurăr nvrltăţ geometrce (făr), sstemul de corpur numndu-se sttc nedetermnt. Num prmele două stuţ fc oectul de studu l cptolulu de fţă, deorece este evdent fptul că necunoscutele une proleme pot f determnte num dcă numărul de ecuţ este egl cu numărul de necunoscute. Sstemele de corpur sttc nedetermnte se studză în cdrul 75
ltor dscplne dn cdrul Mecnc soldelor deformle (rezstenţ mterlelor, sttc construcţlor, etc). servţe: ceste crcterzăr trdţonle pentru sstemele de corpur de f consderte sttc determnte su sttc nedetermnte sunt într-un numt sens mpropr, deorece este vor de fpt, de nterpretre mtemtcă rezolvăr unu sstem de ecuţ cre pote f comptl determnt su nu, sstem de ecuţ cre modeleză condţle de echlru pentru sstemul de forţe dte ş de legătură cre îl cţoneză. 9.. Metode pentru rezolvre prolemelor ) Prm metodă de rezolvre este metod soldfcăr cre pune în prctcă «teorem soldfcăr». Screre ecuţlor de echlru num pentru sstemul forţelor eterore dte ş de legătură furnzeză tre ecuţ sclre de echlru în prolem -d. Dcă sstemul de corpur re tre legătur eterore smple, plcre metode este evdent recomndtă pentru flre recţunlor eterore (necunoscute). ) dou metodă este numtă metod seprăr corpurlor cre în conformtte cu «teorem echlrulu părţlor ndvzle» pune l dspozţe un sstem de ecuţ de echlru ndependente, lcătut dn sussteme corespunzătore fecăru dn corpurle componente. stfel, pentru N corpur se scru N ecuţ, în prolem plnă. evennd l sstemele de corpur sttc determnte, în prolem plnă numărul de ecuţ cre este N treue să fe egl cu numărul de necunoscute (forţele dn legăturle eterore ş nterore): N n + n + n (9.) nc deorece într-o încstrre vem tre necunoscute, într-o rtculţe două, ş un în rezemul smplu. În relţ (9.) s-u folost notţle : n nc număr de încstrăr, n rt numărul de rtculţ smple ş n rs numărul rezemelor smple. elţ (9.) sngură este nterprettă c o condţe necesră de determnre sttcă întregulu sstem de corpur, dr nu ş sufcentă, deorece este de dăugt condţ c legăturle să fe judcos plste stfel încât să se îndepărteze orce grd de lertte, su ltfel spus, să se sgure nvrltte geometrcă întregulu sstem de corpur. ) e de- tre metodă este numtă metod mtă. «Teorem echlrulu părţlor» etnde posltte de eprmre echlrulu părţlor ndvzle, prn selectre celor m smple ecuţ de echlru. Ecuţle de rt 76 rs
echlru oferte de plcre «teoreme echlrulu părţlor» sunt comnţ lnre le celor stlte cu metod echlrulu părţlor ndvzle. plcre în unele proleme num «teoreme soldfcăr» s-r pute să ofere un număr pre mc de ecuţ de echlru pentru flre necunoscutelor (recţun eterore) ş tunc se pot scre un număr suplmentr de ecuţ de echlru lese în mod vntjos, conform «teoreme echlrulu părţlor». omnre plcăr celor două teoreme, vând oectv clr stlre unu număr mnm de ecuţ pentru flre necunoscutelor preczte în enunţ (de eemplu, recţunle eterore), formeză ş numt metodă mtă. 9.4. plcţ 9.. Să se stlescă pozţ de echlru ş recţunle dn legăturle eterore, corespunzătore ceste, pentru mecnsmul dn fgur 9.,. Se cunosc: constnt elstcă k resortulu D, lungmle relor l, mărme forţe Pkl, precum ş pozţ punctelor ş D l mjlocul relor. P P H P θ θ D H D F D F D V lcosθ V V F D D V c ezolvre: Fg. 9. ) Verfcăm în prmul rând grdul de moltte l sstemulu cu relţ (9.): N ( n + n + n ) ( 0 + + ) 6 5 N GL nc rt rs dn cre se stlşte că sstemul celor două re formeză un mecnsm cu un grd de lertte. Se consderă unghul θ c fnd prmetrul (necunoscut), necesr pentru dentfcre pozţe de echlru. 77
) Necunoscute. ecţunle dn legăturle eterore sunt în număr de tre: două în rtculţ ş un în rezemul smplu dn, dec sunt de flt ptru necunoscute (tre recţun ş prmetrul de pozţeθ ) conform enunţulu. ) Schem de forţe respectând metod soldfcăr este reprezenttă în fgur 4.5, unde resortul D fost înlocut cu forţ elstcă corespunzătore, în punctele ş D: F D F D k D k l cos θ. 4) Metod soldfcăr. Sstemul de ecuţ de proecţe, pentru schem de forţe dn fgur 9.,, se scre conform metode soldfcăr X 0 H 0; M ( ) 0 P l cosθ + V Y 0 V P + V 0 V l cosθ 0 V P / kl. 78 P / kl; ecţunle clculte nu depnd de vlore prmetrulu unghulr θ, dr dn dou ecuţe se oţne ş soluţ: cosθ 0, dcă rele sunt vertcle, punctul este în concdenţă cu punctul. cestă pozţe de echlru este prtculră, r forţ elstcă dn resort este nulă. 5) Metod seprăr corpurlor. Se zoleză (sepră) r ş se scre ecuţ de proecţe de moment în rport cu punctul (conform «teoreme echlrulu părţlor ndvzle»): l M ( ) 0 V l cosθ kl cosθ snθ 0 cu soluţle: ) sn θ ; ) cos θ 0. Soluţ ) m fost întâlntă, r dn ) se oţne θ 0. 9.. Utlzând metod seprăr corpurlor, să se clculeze tote forţele de legătură le sstemulu de corpur dn fgur 9.,. Se cunosc mărmle pentru forţ dstrută p ş pentru lungme l. ezolvre: Sstemul este lcătut dn tre re:, D ş DE. Se clculeză grdul de moltte: N GL N ( nnc + nrt + nrs ) ( + + ) 9 9 0. Numărul necunoscutelor cerute în enunţ pre scrs în prntez dn relţ nteroră ş este egl cu 9. Prm concluze este că sstemul de corpur este molzt cu numărul mnm de legătur, r dou concluze este că numărul de ecuţ (câte tre pentru fecre corp) este 9, egl cu numărul de necunoscute ş dec vem de rezolvt o prolemă dn ctegor structurlor sttc determnte.
Schem de forţe necesră rezolvăr prn metod cerută, se oţne seprând cele tre re în dreptul rtculţlor nterore ş respectv D (fg. 9., ). Forţ unform dstrută (p) este reprtztă pe prmele două re. cest este înlocută cu rezultntele corespunzătore, pentru screre ecuţlor de echlru. Forţ concentrtă (P) dn rtculţ D pote f consdertă cţonând pe unul dn cele două corpur su pote f împărţtă într-o numtă proporţe pe fecre dntre ceste, cu condţ c prn reconstture sstemulu, în rtculţ D să se regăsescă forţ nţlă. În rezolvre, s- consdert că forţ este plctă num pe r DE. p Ppl α45 D E l l l l V 6pl V H pl Ppl M E α45 D E H D H E V D V E V D D V H V 8pl V P pl H D pl D E V M E H E c Fg. 9.. Ecuţle de echlru se scru pentru: - r : X 0 H 0; H 0 M ( ) 0 ( p l),5l V l 0; V pl Y V p l + V V pl 0 0. 79
- r D: X 0 H H D 0; M ( D) 0 V l + ( p l),5l V Y 0 V p l + V VD 0. H D 0 l 0; V 7 pl V D pl - r DE: X 0 H D H E + Pcos45 0; M E) 0 ( Psn 45 ) l VD l M Y 0 Psn 45 + VD + VE 0. H E pl 0; M E pl V E pl ( E ezolvre proleme se închee cu operţ de verfcre. ezulttele oţnute se ntroduc într-o ecuţe de proecţe de forţe pe drecţ e, pentru schem de forţe corespunzătore metode soldfcăr (fg. 9., c), dcă pentru nsmlul sstemulu de corpur zolte de medul eteror: Y 0 V + V + V 8 pl Psn 45 0 E 9.. Să se clculeze recţunle dn legăturle eterore le sstemulu de corpur dn fgur 9.,, utlzând metod mtă. Se cunosc mărmle forţe dstrute p ş lungm. p p F 5p 5p 5 8p p H H 4 6 V V Fg. 9.. ezolvre: Schem de forţe folostă l rezolvre este reprezenttă în fgur 9., unde se remrcă stlre rezultnte forţelor dstrute pentru fecre corp în prte. Necunoscutele cerute în enunţ sunt ptru: H, V, H, V. 80
Se scru m întâ tre ecuţ de echlru pentru întregul sstem c ş când r f un sngur corp (în vrtute teoreme soldfcăr), ş nume: M M X ( ) ( ) 0 0-5p 5-8 p p 7 + V 0-5p 5 + 8 p 8 + p V 5 p + H H 0; 0 0; V,5 p 0 0; V 7,5 p H H + 5 p L cest sstem de ecuţ se dugă o ecuţe de proecţe de moment în rport cu rtculţ nteroră, pentru un dn cele două părţ, de eemplu pentru prte stângă: stg M ( ) 0 V 4 + H 5 + 8p 0 H,8 p. Verfcre este ultm etpă, l fel de mportntă c ş rezolvre efectvă. Pentru verfcre se utlzeză m întâ o ecuţe de proecţe de forţe pe drecţe vertclă, pe nsmlul sstemulu de corpur: Y 0 V p 0 + V,5 p 0 p + 7,5 p 0. cestă ecuţe este o comnţe lnră prmelor două ecuţ de proecţe foloste l rezolvre conform teoreme soldfcăr; m ect, dn prm scădem dou ş împărţm cu 0p. dou ecuţe de verfcre este o ecuţe de proecţe de moment în rport cu rtculţ nteroră, pentru celltă dn cele două părţ, dcă pentru prte dreptă: dr M ( ) 0 p + V 6 H 5 0 9.4, 9.5. Să se clculeze recţunle dn legăturle nterore ş eterore le grnzlor Gerer dn fgurle 9.4 ş 9.5. p Ppl P0kN p 5 kn/m 4l l l α 60 D E l,0,0,0 Fg. 9.4. Fg. 9.5. ăspuns: 9.4. : H pl ( ), V 5pl ( ), V 0, V D 0pl ( ). 9.5. : H 0, V 70 kn ( ), M +0 knm ( ), V 40 kn ( ). 8
9.6, 9.7, 9.8. Utlzând metod mtă, să se clculeze recţunle dn legăturle eterore pentru cdrele dn fgurle 9.6, 9.7 ş 9.8. P pl p 0 kn/m,0 F 40 kn p l l l l,0,0 6,0 4,0 (m) Fg. 9.6. Fg. 9.7. 0 kn/m D E 6 kn/m 4,0,00,00,00,00 Fg. 9.8. ăspuns: 9.6 : H pl ( ), V pl ( ), M +pl ( ), V pl ( ). 9.7 : H 6 kn ( ), V 64 kn ( ), H 6 kn ( ), V 56 kn ( ). 9.8 : V 5 kn ( ), H 4 kn ( ), V 79 kn ( ), M -8 knm ( ), V c 66 kn ( ). 8
0. GINZI U ZĂELE, METD IZLĂII NDUIL 0.. Etpe în plcre metode zolăr nodurlor Metod zolăr nodurlor se zeză pe teorem echlrulu părţlor ndvzle, unde se consderă c prte ndvzlă, succesv fecre nod ş pe teorem soldfcăr pentru flre recţunlor dn legăturle eterore. Dcă metod este plctă grnzlor smple, rezolvre se fce consderând următorele etpe: După verfcre condţe de determnre sttcă ş nvrltte geometrcă, se plcă metod soldfcăr pentru clculul recţunlor dn legăturle eterore; cele tre ecuţ de echlru sunt sufcente pentru clculul celor tre recţun. Se zoleză un nod în cre converg două re (eforturle dn cele două re sunt necunoscute) ş se scru două ecuţ de proecţe pentru forţele cre cţoneză în nod. ceste forţe pot f: forţele eterore dte, recţunle clculte nteror ş cele două efortur necunoscute. Se respectă convenţ dopttă pentru sensul eforturlor necunoscute: totdeun sunt consderte poztve, c eşnd dn nod. Se rezolvă sstemul de două ecuţ cu cele două necunoscute. Eforturle stlte se reprezntă pe o schemă de forţe grnz, pe mele nodur ferente fecăre re. Se înţelege că o vlore negtvă unu efort clcult conduce l reprezentre cestu cu sensul său de cţune, dcă ntrând în nod. Se cută zolre unu lt nod (de regulă vecn cu precedentele zolte), cre re două re de efort necunoscut. cest se încrcă cu forţele eterore (dte ş de legătură) ş cu eforturle cunoscute ş necunoscute. Se eprmă condţ de echlru prn screre celor două ecuţ de proecţe. Procedeul se contnuă dn prope în prope până când se epuzeză tote nodurle grnz ş se stlesc tote eforturle. servţe Ultmele două nodur zolte conţn tre ecuţ de verfcre. 8
0.. Stlre relor de efort nul zul. Izolând un nod în cre converg num două re, nodul fnd neîncărct, tunc în mele re este efortul nul (fg. 0., ). zul. Nodul formt dn două re ş încărct cu o forţă F pe drecţ une, re celltă ră de efort nul (fg. 0., ). Tot în cest cz se încdreză ş stuţ prtculră nodulu lcătut dn două re ş cre re un rezem smplu pe drecţ une re. tunc în celltă ră efortul este nul deorece recţune corespunzătore rezemulu re rolul forţe F. zul. Dcă un nod este neîncărct ş este lcătut dn tre re dntre cre două sunt în prelungre, tunc în ce de- tre ră efortul este nul (fg. 0., c). F servţe c Fg. 0.. Determnre relor de efort nul pote f plctă chr înnte de clculul recţunlor eterore ş re c efect reducere numărulu necunoscutelor de clcult. 0.. plcţ 0.. Să se clculeze eforturle dn rele grnz cu zărele dn fgur 0. folosnd metod zolăr nodurlor. ezolvre: ) Se numeroteză nodurle (fg. 0.), stlndu-se numărul cestor: N 8. ) Pentru verfcre condţe de determnre sttcă N + r, se stleşte numărul de re ş numărul legăturlor eterore smple r. ezultă 8 + ş dec condţ este îndeplntă. 84
) lculul recţunlor dn legăturle eterore (dn rtculţe ş rezemul smplu) se fce plcând metod soldfcăr. Ecuţle de echlru se scru consderând schem de forţe dn fgur 0.. P P P 4P 4 4 4 4 Fg. 0.. H α P α α P 4 α α P 6 4P α 8 V 5 4 4 4 7 4 V 8 Fg. 0.. M () P 4 P 8 P 4P + V8 6 0 V8 4P; M (8) V 6 + P + P 8 + P 4 4P 0 V P; X 4P H 0 H 4P. Verfcre recţunlor se fce scrnd ecuţ de proecţe forţelor pe : Y V + V P P 0. 8 P 4) Se cută rele de efort nul, înnte de zolre efectvă nodurlor, pentru reduce numărul de efortur necunoscute. stfel, nodurle cu numerele ş 7, îndeplnesc condţ reprezenttă în fgur 0., c: dcă un nod este lcătut dn tre re dntre cre două sunt în prelungre, ş cest este neîncărct, tunc în ce de- tre ră efortul este nul, cee ce însemnă că rele - ş 6-7 sunt de efort nul (fg. 0.). 5) Izolre nodurlor începe ş cum s- rătt, cu un nod în cre estă două re de efort necunoscut. În cestă stuţe estă două nodur l grnd dtă: nodul numărul ş nodul numărul 8. Se zoleză prmul nod (numărul ). 85
Schem de forţe corespunzătore cestu nod zolt este răttă în fgur 0.4, unde eforturle necunoscute I ş S sunt reprezentte c eşnd dn nod (conform convenţe de lucru doptte), r recţunle V ş H cu vlorle lor. Ecuţle de proecţe de forţe pentru echlrul nodulu numărul sunt: 0 X + + S P 4P I S cos 0 α Y P + S sn 0 0 α I P 4 unde vlorle funcţlor trgonomertce sn α ş cos α se stlesc dn 5 5 trunghul dreptunghc formt de nodurle, ş. 4P α P S M I I I 5 Fg. 0.4. 4P P 0P 0P P P 4 5 6) Etp următore constă în reprezentre rezulttelor oţnute pe o schemă generlă grnz cu zărele. Efortul dn tlp superoră S rezultt cu semnul mnus, cee ce însemnă că de fpt cest efort ntră în nod, ş cum este reprezentt în fgur 0.4, c. Trnsmtem medt cele două efortur clculte dn nodul numărul, l nodurle vecne ş, de l celăllt cpăt l relor respectve. Se oservă de ltfel că zolând nodul numărul, unde un dn cele tre re fost dentfctă c fnd de efort nul (M 0), eforturle I ş I 5 sunt egle ş de sensur opuse (fg. 0.4, ), dcă rele flte în prelungre u celş efort. onsecnţ medtă este cee că numărul necunoscutelor de clcult (efortur dn re) se m reduce cu o untte, efortul I ( I 5 ) putând f trnsms drect în nodul numărul 5 (fg. 0.4, c). 7) nlz scheme generle de forţe reprezentte pe grnd cu zărele dn fgur 0.4, c rtă că nodurle vecne cre r pute f zolte sunt nodurle vând numerele ş 5. În nodul numărul sunt două re de efort necunoscut (-4 ş -5), în tmp ce în nodul numărul 5 estă ptru re de efort necunoscut (5-, 5-4, 5-6 ş 5-7). Este evdent că se lege nodul numărul pentru f zolt ş se scru ecuţle de proecţe corespunzător scheme de forţe dn fgur 0.5, : c 86
0 X + + 8 S 4 D5 cosα P cosα 0; S 4 P; 0 Y P sn D sn 0 D5 0. α 5 α P Vlorle oţnute sunt reprezentte pe schem de forţe dn fgur 0.5,. α 0P P S 4 α D 5 4P P 0P 0P P Fg. 0.5. P 8P 4 6 0P 5 P 7 4P 4P 8) Se zoleză nodul numărul 4 (fg. 0.6, ). cest nod este formt dn tre re, dntre cre două sunt în prelungre ş estă o forţă eteroră cţonând pe drecţ cele de- tre re. Ecuţle de proecţe rtă prtculrtăţle cestu cz: 8 8 X P + S46 0 S46 P; Y P M 45 0 M 45 P. rele flte în prelungre u celş efort, r forţ eteroră este echlrtă de un efort egt ş de sens contrr dn ce de- tre ră (M 45 ). ceste consttăr pot f foloste ş în cdrul ltor plcţ, tot pentru mcşorre numărulu de necunoscute. 9) Schem generlă de forţe este complettă cu rezulttele oţnute l zolre nodulu numărul 4 (fg. 0.6, ). 8P 4 P M 45 S 46 4P P 0P 0P Fg. 0.6. P P 0P 5 8P 8P 4 6 7 P 4P P 4P 8 8 87
0) Se trece l zolre nodulu numărul 5 (fg. 0.7, ) ş se scru ecuţle de proecţe: 0 5 X + cos + 0 D56 P P D56 α I57 6 Y P + D56 snα I57 P, po se reprezntă pe schem generlă de efortur grnz cu zărele (fg. 0.7, ). Efortul I 57 clcult în nodul 5, se trnsmte drect l nodul 8 su form efotulu I 87 I 57 pentru că în nodul ntermedr 7 re loc egltte I 75 I 78 ( se vede concluz de l zolre nodulu numărul, flt în ceeş stuţe). α 0P 5 P α D 56 I 57 4P P 0P 0P P Fg. 0.7. P 8P 8P 4 6 4P 0P 5 ) Se zoleză nodul numărul 6 (fg. 0.8, ) l cre estă o sngură ră de efort necunoscut. În cest nod se scre prm ecuţe de proecţe de forţe pe : 8 5 0 X P P cosα + 4P + S68 cosα 0 S68 P dn cre s- flt sngur necunoscută S 68 P 5P 6P 7 P 6P 4P 8 8P 5P ) Schem fnlă de forţe este reprezenttă în fgur 0.8,. α 6 P 4P S 68 4P P 0P 0P P Fg. 0.8. P 8P 8P 4 6 0P 5 7 P 4P P 5P 6P 0P 6P 4P 8 88
) dou ecuţe de proecţe cre se pote scre în cest nod (numărul 6), este o ecuţe de verfcre: 5 5 0 Y P P cosα + 4P + S68 snα P P + 4P P 0. 5 În ultmul nod, numărul 8 (fg. 0.9), cele două ecuţ de proecţe se scru tot c ecuţ de verfcre, deorece eforturle u fost flte pentru S 0P 86 tote eforturle dn rele cre converg în cest nod: 8 α 6 0 6 0 4 6P X P + P cosα P + P 0; 5 I 87 4P 0 Y 4P S86 snα 4P P 0. 5 Fg. 0.9. 0.. unoscând lungme l ş greutte Q cre cţoneză o mcr în nodul, să se clculeze recţunle dn rtculţ ş rezemul smplu, precum ş eforturle dn cele tre re (fg. 0.0). ăspuns : ecţun : H 0, V 0,5 Q ( ), V,5Q ( ). Eforturle dn re: S Q, I 0,5Q, D Q. 0.. Pentru gnd cu zărele dn fgur 0. să se stlescă : ) recţunle dn legăturle eterore; ) rele de efort nul; c) eforturle dn restul relor. ăspuns : ) ecţun: H P ( ), V 0 ş V 4 P ( ). ) re de efort nul: - (czul ) ş - (czul ). c) I 4 P ş S 4 P. P P 0,00 0 l l Q 4,00,00 Fg. 0.0. Fg. 0. 89
0.4. Pentru grnd cu zărele încărctă smetrc (fg. 0.) să se clculeze eforturle dn re. ăspuns: ecţun: H 0, V V 5 0kN ( ). r: - - - -4-4 -5 4-5 Efort: (kn) -5 +5 0-5 0 +5-5 P0kN P0kN 4 5,0 m,5,5,5 Fg. 0.,5 0.5. unoscând lungme l ş mărme forţe P, să se clculeze eforturle dn rele grnz cu zărele dn fgur 0., folosnd metod zolăr nodurlor. ăspuns: r 4 este ră de efort nul (czul ). ecţun: H 4P ( ), V P ( ), V 5 P ( ). Efortur: S 6P, I -P, D 8P, S 4 -P, I 5 P, S 45 -P. 4P l 0 l 4 60 60 l 4P l/ l 0 5 Fg. 0. 90
0.6. După clculul recţunlor pentru grnd cu zărele dn fgur 0.4, să se stlescă m întâ rele de efort nul, po eforturle dn celellte re. ăspuns: ecţun: H 0, V 0, V 4 8kN ( ). re de efort nul: - ş - (nodul neîncărct - czul ), po - ş -4 (nodul neîncărct czul ). r: -4-5 4-5 4-6 5-6 Efort: (kn) -4 +9,8-8 -4 +9,8 5 4 kn 4 6 4 kn Fg. 0.4 0.7. Utlzând metod zolăr nodurlor, să se stlescă m întâ rele de efort nul, po să se clculeze eforturle dn rele rămse ş să se verfce rezulttele oţnute (fg. 0.5). 40kN 4 6 0kN 8 5 4,0 7 9,0,0,0,0 Fg. 0.5. 9
ăspuns: ecţun: H 8 90kN ( ), V 9 60kN ( ), H 9 90kN ( ). re de efort nul : -, -5, 4-5, 4-7, 6-7 (czul ) ş 8-9 (czul ). Se zoleză nodul (S 6 80kN, I 9-40kN), po nodul 6 (D 6 9-0 5 kn, S 68 90kN) ş se verfcă rezulttele zolând nodurle 8 ş 9. 0.8. Să se clculeze eforturle dn rele grnz cu zărele dn fgur 0.6. ăspuns: ecţun: H 6kN ( ), V kn ( ), V 5 0kN ( ). r: - - -4-4 -4-5 4-5 4-6 5-6 Efort: (kn) 0, -6,67 0 0, -6,67-6 0 4 kn 6 6 kn 5,00 4,00 4,00 Fg. 0.6. 9
. GINZI U ZĂELE, METD SEŢIUNIL.. Etpe în plcre metode dou metodă nltcă pentru clculul eforturlor dn rele grnzlor cu zărele este metod secţunlor cre se zeză tât pe teorem soldfcăr cât ş pe teorem echlrulu părţlor. Metod se utlzeză de oce pentru verfcre rezulttelor eforturlor dn re stlte în urm utlzăr metode zolăr nodurlor (v. cp. 0), dr pote f folostă ş c metodă drectă pentru clculul eforturlor dn re. Etpele de clcul l plcre ceste metode (utlztă c metodă de verfcre) sunt : ) Se verfcă condţ de determnre sttcă ş nvrltte geometrcă, conform relţe: N + r, unde s- nott cu N numărul nodurlor, cu numărul relor, r cu r numărul legăturlor eterore smple. ) Se clculeză recţunle dn legăturle eterore. ) Se procedeză l o secţonre grnz cu zărele, recomndându-se îndeplnre următorelor condţ: - secţune treue să desprtă grnd în două părţ dstncte; - secţune plctă treue să întâlnescă cel mult tre re de efort necunoscut; - legere celor tre re de efort necunoscut, se fce stfel încât ceste re secţonte să nu fe tote tre prlele, su tote tre concurente în celş punct. 4) Pentru un dn cele două părţ oţnute în urm secţonăr se scru tre ecuţ de echlru. Screre ecuţlor se fce stfel încât să se oţnă un sstem de ecuţ ndependente în vedere une rezolvăr rpde. De eemplu, pentru o grndă cu tălp prlele, un dntre ecuţ v f ecuţ de proecţe forţelor pe drecţ normlă l drecţ tălplor, r celellte două, ecuţ de proecţe de moment în rport cu punctele de ntersecţe în cre se întâlnesc două câte două, drecţle eforturlor căutte. 5) Se rezolvă sstemul de ecuţ stlt l punctul nteror ş se fgureză eforturle găste pe o schemă de forţe grnz în nsmlul e. 6) Verfcre se fce pentru un efort clcult, consderând o ltă secţune. 9
.. plcţ.. Utlzând metod secţunlor, să se determne num eforturle dn rele grnz cu zărele întâlnte de secţune I - I (fg..). P I P P 4P I 4 4 4 4 Fg... ezolvre: Grnd cu zărele dn fgur. fost rezolvtă în cptolul precedent, urmărndu-se verfcre rezulttelor oţnute nteror cu metod zolăr nodurlor, num pentru rele secţonte. stfel, secţune I - I desprte grnd cu zărele în două părţ. Se lege un dn cele două, de eemplu prte dn stâng (fg..). cest este supusă cţun forţelor eterore dte ş de legătură, precum ş eforturlor dn cele tre re secţonte. ondţ de echlru părţ lese, se eprmă prn tre ecuţ de proecţe (conform teoreme echlrulu părţlor), ecuţ cre se leg stfel încât fecre dn ceste să ă câte o sngură necunoscută. P S 4 H 4P V P 4 D 5 I 5 4 5 Fg... Pentru clculul efortulu dn tlp nferoră I 5 se scre ecuţ de proecţe de moment în rport cu punctul, deorece celellte două efortur necunoscute sunt concurente în cest punct ş nu ntervn în ecuţe: 0 M ( ) V 4 H + I 5 0 I 5 P. 94
plcând celş rţonment pentru clculul efortulu dn tlp superoră S 4, se scre dou ecuţe de proecţe tot de moment, dr de cestă dtă în rport cu punctul 5, punct în cre eforturle D 5 dn dgonlă ş I 5 dn tlp nferoră sunt concurente: 8 M ( 5) V 8 + P 4 S4 0 S4 P. el de-l trele efort, D 5 dn dgonlă se stleşte dn ecuţ de proecţe de forţe pe drecţ vertclă, deorece S 4 ş I 5 sunt orzontle ş dec u proecţ nulă pe drecţ vertclă: Y V P + D5 snα P P + D5 0 D5 0. 5.. Să se clculeze eforturle dn rele însemnte, utlzând metod secţunlor pentru grnd dn fgur.. 0 kn 60 kn 0 kn 4 6 8 0,0 5 7 9 4,0 4,0 4,0 4,0 Fg... ăspuns : S 46-80 kn, D 6-50 kn, M 87 0 kn, I 97 80 kn... Să se clculeze eforturle dn rele însemnte, utlzând metod secţunlor pentru grnd cu zărele dn fgur.4. ăspuns : S 5 -P, D 45 -P, I 46 P. P P l 5 l l l l 6 l 4 l l l Fg..4 95
.4. Să se stlescă mărme forţe orzontle Q în funcţe de vlore forţe vertcle P, stfel încât efortul dn dgonl - să fe nul (fg..5). ăspuns : Se clculeză recţunle H Q( ), V (P-Q)/4( ), V 5 (P+Q)/4( ). Se secţoneză rele -, - ş -4 ş se scre ecuţ de proecţe de moment în rport cu punctul flt l ntersecţ prelungrlor relor - ş -4. Se flă D (P-Q) 5 /0 ş dec Q P. Verfcre pote f efectută prn zolre re -4, scrnd ecuţ de proecţe de moment în nodul 4 : Q -V 40. Q 4 P 4,0 4,0 m Fg..5. 6 5,0,0.5. Să se stlescă eforturle dn rele 7-9, 8-9 ş 8-0 pentru grnd cu zărele compusă dn fgur.6. ăspuns : Sstemul este smetrc ş este lcătut dn două grnz cu zărele smple, rtculte între ele în nodul 6. Se clculeză num recţunle dn rtculţ : H 05 kn( ), V 90 kn ( ); secţonând rele cerute rezultă : N 97-75 kn, N 0-8 -5 kn, N 98-5 kn. 5 4 60 kn 6 60 kn 60 kn 8 7 9 0 Fg..6. 96
. PLEME EPITULTIVE.. Se du vector: r j ş F 5 4 j. Se cer următorele: ) să se clculeze produsul vectorl M r F ş să se repreznte grfc în rport cu un reper trortogonl crtezn drept z, vector r, F ş M ; ) cre treue să fe vlore proecţe vectorulu r pe stfel încât vector r ş F să fe colnr? Dr ortogonl? În mele czur să se clculeze modulul lu M... Se du vector unoscându-se fptul că 4 ş j 0 ş, cre formeză între e un ungh α π 6., se cere: ) să se fle proecţle vectorulu pe ele reperulu trortogonl drept z pe cle grfcă ş nltcă; ) să se eprme nltc ş să se repreznte grfc, în rport cu un reper trortogonl crtezn drept z, vector sumă S + ş dferenţă D ; ) să se clculeze modulele vectorlor S ş D, versor drecţlor cestor ş cosnusurle drectore în rport cu reperul z; c) să se clculeze unghurle dntre drecţle vectorlor S ş, S ş, D ş, D ş, S ş D. ăspuns: ) ( 6,0, ± ). z ( 0,0, ) V.. Se dă sstemul de forţe concurente dn fgur.. Mărmle forţelor sunt cunoscute: F P 5, F 6P, F P ş F4 4P, r P este o mărme căre vlore este dtă ş eprmtă în newton. Să se clculeze ş să se repreznte grfc rezultnt sstemulu de forţe. F F 4 F Fg... F (,0), ăspuns: P P j.4. Să se relzeze pe o cle grfcă ş geometrcă, descompunere forţe, prn două / tre forţe concurente pe suportul său în czurle dte c eemplu în cdrul sucptolulu.. (Descompunere une forţe). 97
.5. Un punct mterl M, de greutte G 00N, este suspendt de un tvn prn ntermedul unu fr. Punctul este cţont de o forţă cre fce un ungh α 0 cu orzontl ş re mărme F 50N (fg..). Să se studeze stre de echlru sttc punctulu mterl. ăspuns: În pozţ de echlru punctulu mterl frul fce cu vertcl un ungh α 0, r tensune dn fr este T 86,6 N. F F P F M α 0 α? G G Fg... Fg....6. Un punct mterl P, cre re greutte G, se flă pe un pln înclnt G fără frecre. supr punctulu mterl cţoneză forţele: F F (fg..). Să se determne unghul α de înclnre l plnulu ş recţune normlă cestu, stfel încât punctul mterl să fe în echlru. ăspuns: cos α snα + 0 ; Ν G(cosα + snα)..7,.8,.9. Un cu de ltură dtă este cţont de un sstem de forţe vând mărmle cunoscute. Pentru czurle dn fgurle.4,.5 ş.6 să se stlescă: ) torsorul în orgne ş să se repreznte cest; ) czul de reducere; c) ecuţ e centrle; d) torsorul mnm ş să se repreznte cest. Se cunosc F P, F F P ş F 4 P (forţ F 4 cţoneză pe dgonl cuulu dn fgur.6). ăspuns: τ.7. ) ( Pk ; M P Pj Pk ) ; ) zul 4: dnmă ( M 4 P 0); c) Intersecţ două plne: (P ): ş (P ): z 0; d) τ ( Pj + Pk ; M 0). MIN 98
.8. ) τ ( Pj; M P Pk ) ; ) zul 4: UNT- ( M 0 ); c) Intersecţ două plne: (P ): z ş (P ): -; d) τ MIN ( Pj; M 0)..9. ) τ ( P + Pk ; M Pk ); ) zul 4: dnmă ( M P 0 ); c) Intersecţ două plne: (P ): z ş (P ): ; d) τ ( P + Pk ; M P Pk ). MIN z z z F F 4 F Fg..4. F F F Fg..5. F F Fg..6. F.0. Să se stlescă pozţ centrulu de msă pentru plc dn fgur.7, ş să se clculeze volumul oţnut prn rotre completă ceste în jurul e vertcle -. ( ) ( ) 4 π.5 + ( ) 0.5 Fg..7. ăspuns: Plc se descompune în tre plăc smple : pătrt, semcerc ş trungh, r sstemul de e cel m convenl este reprezentt în fgur.7,. Se clculeză : ( ) 8 (4 + π ) 0, 575 ; 0, 86 5 + π (5 + π ) 99
Volumul genert prn rotre plăc în jurul e -, se stleşte ţnând cont că dstnţ de l centrul de msă până l ă este d +, 575 : V plc π d 77,4... Să se determne pozţ centrulu de msă pentru plc omogenă dn fgur.8, ş să se stlescă volumul genert prn rotre completă plăc în jurul ze (e - ), cunoscând lungme. 4 π + 0,5 G ( ) ( ) Fg..8. ăspuns: Plc omogenă este compusă dn tre domen elementre: un dreptungh, un semcerc ş un trungh. După dentfcre pozţe centrelor de msă, ş, se lege sstemul de e dn fgur.8, : trece prn, r prn ş. u relţ (6.), se clculeză: 4,5 8 0, 75 π + π 6 + + 4,5 ; π 4 6 + ( + ) ( ) + π π 0, 85. π (+ π ) 6 + + 4,5 Pentru clculul volumulu genert prn rotre completă plăc în jurul e -, se clculeză dstnţ d +0,85,85 dntre centrul de msă l plăc ş de rotţe. Se plcă formul (6.4), unde : 00 p
( + π ) V d π p π,85 40,... Să se determne pozţ centrulu de msă pentru cocnul stlzt dn fgur.9, cunoscând denstte ρ coz cocnulu (de formă clndrcă) ş denstte corpulu metlc (ρ 0ρ). otele dn fgur.9 sunt dte în centmetr. ăspuns: ( 0;;0,7) z 7,6,0,5p 4p,5,5 4,, 0,9 4,4,5 6 Fg..9. Fg..0... Să se clculeze recţunle pentru cdrul dn fgur.0. ăspuns : V V p ( ), H 6 p ( ). 6.4,.5. Să se clculeze recţunle pentru r dreptă înclntă, dn fgurle. ş.. ăspuns :.4 H pl ( ), V pl ( ), H pl ( )..5 N 0,4P, H 0,76P ( ), V 0,P ( ). 0
p Ppl l l P l l l,5l,5l Fg... Fg....6. Să se clculeze recţunle pentru r cottă dn fgur.. p l p 4l Fg... l ăspuns: V 4, 79 pl ( ), H, 655 pl ( ), N, 759 pl ( )..7. Să se clculeze vlore mmă greutăţ P de l cpătul l re omogene l, stfel încât cestă ră să se fle în repus tunc când este rezemtă cu frecre în centrul e ş este ftă cu frul de cpătul (fg..4). unoscând greutte re G, lungmle P l ş coefcentul de frecre l lunecre µ, să se stlescă ntervlul de vlor pe cre îl pote ve µ. plcţe numercă pentru µ 0,800. ezolvre: Necunoscutele (ptru l număr), sunt tensune S dn frul, recţune normlă N, forţ de frecre T ş mărme forţe eterore P (fg..5). Ecuţle de proecţe pentru condţ de echlru forţelor sunt: () M ( ) 0 Pl cos0 + Sl sn 0 0 S P () X 0 Psn0 + Gsn0 T + Scos0 0 T P+ 0,5G () Y 0 Pcos0 Gcos0 + N Ssn0 0 N P + 0,5G 0
0 0 P S T 0 0 0 G N P 0 Fg..4. Fg..5. ondţ de echlru cu frecre se scre: ( µ ) G (4) T µ N P+ 0,5 G µ ( P + 0,5G ) P, ( µ ) r pentru condţ lmtă de echlru cu frecre se consderă în (4) egltte: ( µ ) G Pm ( µ ) Domenul de vlor pentru coefcentul de frecre µ se oţne dn condţ c tensune dn frul să fe poztvă, dcă S P > 0, cee ce însemnă că produsul ( µ )( µ ) >0, cu soluţ µ,. plcţ numercă ( µ 0,800 ) furnzeză vlore Pm 0,4G..8. Să se studeze echlrul une roţ de rză r ş greutte G, cre se rezemă pe un pln înclnt cu unghul α fţă de orzontlă (fg..6), ţnând sem de frecre de lunecre (coefcent de frecre µ) ş de frecre de rostogolre (coefcent de frecre s). ăspuns: Pentru echlru se scru relţle: N G cosα, F Gsnα, M r Gr snα, F µ N, M r sn. T G de unde se stlesc condţle: µ tgα, s r tgα. M r α servţ: N. Dcă µ tgα ş s < r tgα, rot se rostogoleşte fără să lunece. Fg..6.. Dcă µ < tgα ş s r tgα, rot lunecă, dr nu se rostogoleşte.. Dcă µ < tgα ş s < r tgα, rot ş lunecă ş se rostogoleşte. 0
.9. plcă omogenă semcrculră de rză 0 cm, se rezemă cu frecre pe un pln orzontl. ottă fţă de centrul, plc se flă în echlru (fg..7). Să se găsescă unghul ϕ mm pentru echlru l lmtă, cunoscând vlore coefcentulu de frecre de rostogolre s 0,05 cm. G N ϕ M r ăspuns: Pentru echlru l lmtă, M r sn, unde N G, r forţ de greutte produce un moment s G sn ϕ G s. ezultă sn ϕ. Dstnţ de l centrul cerculu l centrul de msă l plăc este 4 4,44 cm. Se oţne ϕ MX 0 4. π Fg..7. oefcentul de frecre de rostogolre s fnd în generl forte mc, mşcre de rostogolre se produce de oce m uşor decât ce de lunecre. stfel că un utovehcul înnteză oşnut prn rostogolre ş nu prn lunecre roţlor sle..0. plcă omogenă vând greutte cunoscută G se flă în plnul orzontl. Plc este delmttă de cele două e ş ş de rcul de prolă vând vârful în punctul. Să se determne tensunle dn cele tre fre vertcle cu cre este suspendtă plc în punctele, ş, cunoscând lungmle lturlor ş H (fg..8). z G Fg..8. ezolvre: ) În prmul rând este necesr să se stlescă ecuţ prole pentru clcul pozţ centrulu de msă. Pornnd de l ecuţ generlă une prole + + c, se stlesc coefcenţ, ş c, utlzând următorele tre condţ (fg..9, ): cur trece prn punctul : 0 ş H c H ; punctul de etrem se găseşte în (,0): + 0 ş dec ; cur trece prn punctul : ş 0 0 + + H ş dec : H H ;. H Ecuţ prole re epres : ( ). 04
) oordontele centrulu de msă ş u epresle: unde d este r elementră. d d ;, d d ) Metod de ntegrre prn enz: oordont : r elementră d este r une enz (fg..9, ) oţnută între două secţun vertcle nfnt propte d f ( ) d. Se clculeză momentul sttc ş r plăc: 4 H H H S d ( ) d + 4 0 0 0. H 4 H d f ( ) d ( ) d 0 0 oordont : r elementră d este r enz oţnută prn două secţun orzontle nfnt propte d f ( ) d (fg..9, c). Dcă se fce schmre de vrlă dn în, se schmă ş lmtele de ntegrre: pentru lmt nferoră 0, r pentru lmt superoră H 0. H Dferenţl d re epres: d ( ) d ş pentru verfcre se reclculeză r plăc: H 0 H H H d d ( ) d 0 Momentul sttc clcult în rport cu v ve epres: S H 0 H H d d ( ) d 4 0 0 0 H. 0 (0, H) ++c (,0) d f()d f() d d d d c Fg..9. 05
4) Tensunle T, T ş T (necunoscute proleme) se determnă dn condţ c torsorul sstemulu de forţe dte ş de legătură, clcult în rport cu punctul să fe nul. Deorece vem un sstem de forţe prlele cu z, condţ de echlru se rezumă l screre tre z ecuţ de proecţe: două ecuţ de proecţe momentelor forţelor în rport cu cele două e T o T ş, r tre ecuţe v f ecuţ de proecţe T forţelor pe z. nlzând schem de forţe dn fgur.0, se oservă că tensunle T ş T ntersecteză G ş dec u momentul nul fţă de cestă ă: Fg..0. M 0 G T 0 T 0, 5G În mod smlr, ecuţ de proecţe momentelor forţelor în rport cu v conţne num necunoscut T, pentru că tensunle T ş T ntersecteză : M 0 T G 0 T 0, 0G tre ecuţe de proecţe este: Z 0 T + T + T G 0 T 0, 45G Pentru verfcre se consderă ecuţ de momente în rport cu prlelă cu ş cre trece prn punctul : M 0 ( T T ) G( ) 0. + După înlocur se oţne verfcre: ( 0,45 G + 0,0 G) G( 0,5 ) 0... pesă este lcătută dntr-un con col cu un clndru. Se cunosc : înălţme conulu H on 6 dm, on dm, l dm. Se cere să se fle înălţme clndrulu, stfel încăt tensune dn frul să fe nulă (fg..). ăspuns: Se eprmă greutăţle celor două volume: G γv ş G γv (unde γ este greutte specfcă pese). Dn condţ de echlru 0, se deduce: G G ş rezultă: H l 4 4,9 dm. M (D).. Să se clculeze recţunle dn legăturle eterore ş le cdrulu dn fgur.. ăspuns: H pl ( ), V pl ( ), H pl ( ), V pl ( ), M +pl ( ). 06
D Mpl p G D G l l D l l Fg... Fg..... Să se clculeze recţunle dn legăturle eterore le cdrulu dn fgur., ştnd că lungmle cotte sunt dte în metr. ăspuns: H 5 kn ( ), V 80 kn ( ), M +70kNm( ), H 5kN ( ), V 40 kn ( )..4. Să se clculeze recţunle dn legăturle eterore ş eforturle dn dgonlele 5-8 ş 8-9 le grnz cu zărele dn fgur.4. 60 kn 90 knm 5 4 Fg... 0 kn/m D 4 ăspuns: ecţun: V 7,5 kn ( ), V 6 40 kn ( ), H 0 kn, V,5 kn ( ). Efortur: D 58 4,75 kn, D 89 -,5 kn. 5 7 9 4 6 0 5 kn 5 kn 8 5 kn Fg..4. 07
.5. Pentru grnd cu zărele dn fgur.5, să se clculeze eforturle dn rele -4, -4 ş -5 zolând nodurle, ş, po să se verfce rezulttele cu metod secţunlor (consderând secţune I I). Să se rte că efortul dn dgonl 4-7 este 50 kn.,0 60 kn 0 kn ( I ) 4 6 8 40 kn ( I ) 5 7 4,0 4,0 4,0 4,0 Fg..5. ăspuns: ecţun: H 40 kn ( ), V 0 kn ( ), V 8 60 kn ( ). Efortur: S 4-80 kn, D 4-50 kn, I 5 +0 kn..6. Se dă sstemul de corpur lcătut dn stâlpul ş o grndă cu zărele (fg..6). Să se clculeze recţunle dn legăturle eterore le sstemulu ş efortul dn r însemntă, ştnd că lungmle sunt dte în metr. ăspuns: H 90 kn ( ), V 0 kn ( ), M +840 knm( ), V 0 kn ( ) ş efortul D +8,8 kn. 0 kn/m 40 kn 0 kn 40 kn 5 kn/m D 0 kn/m ' 0 kn/m 6 4 4 ' Fg..6. Fg..7..7. Să se clculeze recţunle dn legăturle eterore le cdrulu etjt dn fgur.7 (lungmle sunt dte în metr). ăspuns: H, kn ( ), H, kn ( ), V V ' 00 kn ( ). 08
. PLEME DE NUS.. otţ tmurulu de rză dtortă greutăţ G fltă l cpătul unu fr del înfăşurt pe tmur este oprtă de frân prn ntermedul sotulu dn punctul. Să se determne vlore mnmă forţe de păsre P pentru oprre mşcăr tmurulu, cunoscând coefcentul de frecre usctă µ 0, ş grosme sotulu 0,4, po să se clculeze eforturle dn rele grnz cu zărele ş recţunle dn legăturle eterore ceste (fg..). Se cunosc ş G. (oncursul de mecncă pentru urs de performnţă UT, 00 ; utor prof. Vsle SZLG). P P G Fg... Fg... Q.. Se dă sstemul dn fgur., lcătut dn două re l, un dsc înscrs în trunghul echlterl ş un punct mterl de greutte Q. unoscând coefcentul de frecre ( µ ) dntre dsc-re ş dsc-perete, să se determne mărme lu P (funcţe de Q) pentru echlrul lmtă. (oncursul de mecncă pentru urs de performnţă UT, 00 ; utor conf. drănel TESU). 09
.. Se consderă r omogenă reprezenttă în fgur., pentru cre rzele celor tre semcercur tngente în punctele ş sunt, ş respectv. Se cere: ) să se determne pozţ centrulu de msă l re; ) să se generlzeze pentru n semcercur tngente în punctele de contct. (oncursul de mecncă pentru urs de performnţă UT, 00 ; utor prof. Mhl LEXNDESU)..4. pesă metlcă de greutte G se rdcă folosnd un cleşte c în fgur.4. unoscând dmensunle pese, le cleştelu ş confgurţ în momentul rdcăr, să se determne vlore mnmă coefcentulu de frecre dntre cleşte ş pes metlcă pentru c rdcre să fe poslă. leştele re greutte negljlă în rport cu greutte pese rdcte. (oncursul de mecncă pentru urs de performnţă UT, 00 ; utor prof. Vsle SZLG). l l Fg... Fg..4. G 0
.5. Se consderă sstemul de corpur dn fgur.5. Se cer : ) relţ dntre G ş P corespunzătore stăr de repus ; ) efortul dn montntul însemnt, în funcţe de G, folosnd un dntre metodele cunoscute dn sttcă. (oncursul de mecncă pentru urs de performnţă UT, 004 ; utor prof. Mhl LEXNDESU). l G P G l l l l l Fg..5..6. plcă plnă ş omogenă rtcultă în se rezemă cu frecre în punctul (coefcent de frecre µ) de un dsc cu centrul în ş rză (fg..6). unoscând că pe perfer dsculu este un fr del cre este petrecut după un scrpete mol de greutte negljlă de centrul căru târnă o greutte P, să se determne : ) relţ dntre greutăţle G ş P pentru c echlrul să fe posl ; ) pentru G P, să se clculeze vlore mnmă lu µ pentru echlru. (oncursul de mecncă pentru urs de performnţă UT, 004 ; utor prof. Vsle SZLG). G G G Fg..6. P