10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku

10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku Definicija 20 Iskazni račun je deduktivni sistem H = X, F orm, Ax, R, gde je X = S {,, (, )}, gde S = {p 1, p 2,..., p n,... }, F orm je skup iskaznih formula definisan nad skupom iskaznih veznika {, }, Ax = Ax 1 Ax 2 Ax 3, gde su Ax 1, Ax 2, Ax 3 skupovi formula definisani pomoću tzv. šema aksioma (dakle, A,, C F orm): Ax 1 : A ( A) Ax 2 : (A ( C)) ((A ) (A C)) Ax 3 : ( A ) ( A) R = {MP}, (tzv. modus ponens), MP : A, A. Naravno, pojmovi dokaznog niza, teoreme, sintaktičke posledice su samo specijalni slučajevi odgovarajućih pojmova definisanih u slučaju bilo kog deduktivnog sistema. U daljem ćemo dokazati nekoliko najvažnijih osobina iskaznog računa H. Lema 1 U iskaznom računu H za sve formule A F orm važi A A. Korake dokaznog niza ćemo pisati vertikalno, zajedno sa rednim brojem koraka i sa obrazloženjem zašto je to legalan korak u dokazu: 1. A ((A A) A).................................... Ax 1 2. ( A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)) Ax 2 3. (A (A A)) (A A)............................. MP 1.2. 4. A (A A)........................................... Ax 1 5. A A.................................................. MP 3.4. 25

26 U daljem ćemo isključivo raditi u deduktivnom sistemu H, pa to nećemo posebno navoditi. Sledeća teorema će nam omogućiti da formule prebacujemo preko sintaktičke rampe : Teorema 22 (Teorema dedukcije) Neka je Σ F orm, A, F orm. Tada Σ {A} akko Σ A. Smer ( ): Neka je Σ A. Tada postoji dokazni niz za A iz Σ: A 1, A 2..., A n = A. Tada je sledeći niz formula dokaz za formulu iz skupa Σ {A}: A 1, A 2..., A n 1, A, A,. Smer ( ): Neka je sada Σ F orm, A, F orm, i neka je odgovarajući dokazni niz: A 1, A 2,..., A n =. Indukcijom po n dokažimo da je Σ A. 1. n = 1: Dokazni niz za iz Σ {A} ima samo jednu formulu,, pa imamo tri mogućnosti: a) je aksioma. Tada je dokazni niz za A iz Σ sledeći:, (A ), A. b) Σ. Tada je dokazni niz isti kao u prethodnom slučaju (samo sa drugim obrazloženjem). c) = A. Tada je formula A ustvari A A, a ta formula je teorema, pa sledi iz svakog skupa hipoteza. 2. Prepostavimo da tvrd enje važi za sve formule čiji je dokaz dužine manje od n. Neka je sada A 1, A 2,..., A n = dokazni niz formule iz skupa Σ {A}. Tada za imamo više mogućnosti: a) je aksioma. b) Σ. c) = A.

27 Ova prva tri slučaja su ista kao u bazi indukcije. d) sledi iz ranijih formula u nizu na osnovu pravila MP, recimo iz formula A i i A i. Kako su formule A i i A i ranije u nizu, imaju dokaze kraće od n, pa za njih važi indukcijska hipoteza. To znači da imamo Σ A A i, Σ A (A i ). Neka je 1, 2,..., m dokazni niz za formulu A A i (dakle, m = (A A i )), a C 1, C 2,..., C k dokazni niz za formulu A (A i ) (dakle, C k = (A (A i ))). Tada traženi dokazni niz za formulu A nastaje nadovezivanjem sledećih nizova formula: 1, 2,..., m 1, A A i, C 1, C 2,..., C k 1, A (A i ), (A (A i )) ((A A i ) (A )), (A A i ) (A ), A. Dakle, Σ A. U lemama koje slede, A,, C su proizvoljne formule. Lema 2 A, C A C Zbog Teoreme dedukcije, dovoljno je dokazati A, C, A C. Dokazni niz je: 1. A hipoteza 2. C hipoteza 3. A..... hipoteza 4...... MP 1.3. 5. C..... MP 2.4. Zbog prethodne leme, u naš formalni sistem H možemo dodati izvedeno pravilo tranzitivnosti TRANZ, a da tako obogaćen deduktivni sistem ima isti skup teorema: TRANZ : A, C. A C

28 Lema 3 A, A. 1. A..................... hipoteza 2. A ( A)..... Ax 1 3. A.............. MP 1.2. 4. ( A) (A ) Ax 3 5. A................. MP 3.4. 6. A...................... hipoteza 7....................... MP 5.6. Odgovarajuće izvedeno pravilo jeste: KONT R : A, A. Ponekad ćemo koristiti onu verziju Leme 2, u kojoj smo obe hipoteze prebacili preko rampe : A (A ). Ovu (kao i bilo koju ranije dokazanu) teoremu možemo ubaciti kao legalan korak u proizvoljni dokazni niz. U obrazloženju pišemo oznaku odgovarajućeg izvedenog pravila, u ovom slučaju KONTR. Lema 4 a) A A, b) A A, c) A A. a) A A 1. A......................... hipoteza 2. A ( A A)....... KONTR 3. A A................. MP 1.2. 4. ( A A) ( A A) Ax 1 5. A A..................... MP 3.4. 6. A............................ MP 1.5. b) A A 1. ( A A) (A A) Ax 3 2. A A................. Lema 4.a) 3. A A.................... MP 1.2.

29 c) A A 1. A....................... hipoteza 2..................... Lema 4.b) 3. A.................... TRANZ na 1.2. 4. A A.................... Lema 4.a) 5. A................. TRANZ na 4.3. 6. ( A ) ( A) Ax 3 7. A.................... MP 5.6. Sada možemo navesti odgovarajuća izvedena pravila: DN1 : A A, DN2 : A A, KP : Lema 5 A, A A A. 1. A.......................................................... hipoteza 2. A........................................................ hipoteza 3. A..................................................... KP na 2. 4. A A....................................................... DN1 5. A........................................................ TRANZ 3.4. 6......................................................... TRANZ 5.1. 7. ( ( ))........................................ KONTR 8. ( ( ( ))) (( ) ( ( ))) Ax 2 9. ( ) ( ( ))............................... MP 7.8. 10. ( )............................................... MP 6.9. 11. ( ( )) (( ) ).......................... Ax 3 12. ( )................................................... MP 10.11. 13........................................................... Lema 1. 14................................................................ MP 12.13. Izvedeno pravilo ( suprotne pretpostavke ) koje sledi iz ove leme je: SP : A, A. Sledeća lema daje sva četiri pravila za sintezu implikacije.

30 Lema 6 a) A, A, b) A, (A ), c) A, A, d) A, A. a) A, A 1............. hipoteza 2. (A ) Ax 1 3. A....... MP 1.2. b) A, (A ) Prvo dokažimo jednu teoremu, koju ćemo iskoristiti u prvom koraku dokaza ovog tvrd enja. Kako je A, A, ako primenimo Teoremu dedukcije dva puta, dobijamo da je A ((A ) ). Sada dokaz tvrd enja izgleda ovako: 1. A ((A ) ) dokazano 2. A................... hipoteza 3................... hipoteza 4. (A )....... MP 1.2. 5. (A )... KP na 4. 6. (A ).......... MP 3.5. c) Slično kao pod a). d) U tri koraka, koristeći pravilo KONTR. Odgovarajuća izvedena pravila ( sinteza implikacije ) možemo označiti redom sa SI1, SI2, SI3, SI4. Na primer, pravilo koje ćemo puno puta koristiti (pogotovo u zadacima): A, SI2 : (A ). Lema 7 a) (A ) A b) (A ) a) Dokazaćemo da je (A ) A.

31 1. A (A )... KONTR 2. (A ) A KP na 1. 3. A A........ DN1 4. (A ) A... TRANZ na 2.3. b) Dokazaćemo (A ) 1. (A )... Ax 1 2. (A ) KP na 1. Na osnovu ove leme dobijamo izvedena pravila: NI1 : (A ) A, NI2 : (A ). Na kraju ove sekcije uvedimo i ostale uobičajene logičke veznike u naš deduktivni sistem I. U stvari, formalno gledano, nećemo proširivati azbuku, nego ćemo veznike, i uvesti kao zamene za neke formule: oznaka A je zamena za formulu (A ), oznaka A je zamena za formulu A, oznaka A je oznaka za formulu (A ) ( A). Sada lako dokazujemo sledeće osobine konjunkcije: Posledica 1 a) A A b) A c) A, A a) Sledi direktno po pravilu NI1. b) Sledi po pravilima NI2 i DN1. c) Sledi po pravilima DN2 i SI2. Odgovarajuća izvedena pravila su: K1 : A A,, K2 : A, SK : A, A. Na kraju, evo pregleda najvažnijih izvedenih pravila iskaznog računa H:

32 Modus Ponens Pravila izvod enja Iskaznog računa Tranzitivnost implikacije Kontradiktorne hipoteze Dvojna negacija Kontrapozicija KP 1 : Suprotne pretpostavke Sinteza implikacije Negacija implikacije NI1 : MP : A, A TRANZ : A, C A C KONT R : A, A DN1 : A A, DN2 : A A A A, KP 2 : A A SP : Rastavljanje konjunkcije Sinteza konjunkcije A, A SI2 : (A ) A A, (A ), NI2 : (A ) K1 : A A,, K2 : A SK : A, A