Termn Analza varjan (ANOVA) Upoređvanje rednjh vrednot vše etova rezultata; npr. upoređvanje rednjh vrednot koncentracja protena u ratvorma čuvanm pod razlčtm ulovma, upoređvanje rednjh vrednot rezultata dobjenh za koncentracju analta prmenom nekolko razlčth metoda; upoređvanje rednjh vrednot rezultata ttracje dobjenh od trane nekolko ekpermentatora na toj aparatur. Može doć do odtupanja unutar uzorka do odtupanja zmeđu uzoraka. Nulta hpoteza: Sv uzorc potču z te populacje a rednjom vrednošću µ varjanom σ 0. Ako je nulta hpoteza tačna, dva određvanja σ 0 ne treba da e razlkuju značajno. Ako je nulta hpoteza netačna, odtupanje zmeđu uzoraka će bt značajno veće od odtupanja unutar uzoraka. Šta ćete radt dana? Analza varjan upoređvanje rednjh vrednot vše etova rezultata. Neparametrjk tetov. Regreja I korelacja. Vrš e upoređvanje varjan unutar zmeđu uzoraka jednomernm F tetom. Utvrđvanje etova rezultata koj u razlog odtupanja: a) Srednje vrednot e poređaju u ratuć nz vrednot. b) Vrš e određvanje najmanje značajne razlke (leat gnfcant dfference) ( /n) t h ( n 1) odtupanje unutar uzorka, h(n 1) broj tepen lobode pomenutog određvanja. c) Upoređvanje razlka rednjh vrednot a najmanjom značajnom razlkom. Prmer 1. ANOVA Određvana je tablnot fluorecena upoređvanjem uzoraka u kojma je fluorecen čuvan pod razlčtm ulovma. U tabel u dat rezultat ntenzteta fluorecentnog gnala u ratvorma u kojma je koncentracja fluorecena jednaka. Ulov Intenztet gnala A veže prpremljen ratvor 10, 100, 101 B ratvor čuvan u mraku 1h 101, 101, 104 C ratvor čuvan u polumraku 1h 97, 95, 99 D ratvor čuvan na vetlot 1h 90, 9, 94 Da l uzorc potču z te populacje? U okvru Data Analy ToolPack a potoj alatka Anova: Sngle Factor. Odaberte opcju a padajućeg menja Tool/Data Analy; tarujte komandu Anova: Sngle Factor. U polje Input Range unete opeg ćelja zmeđu kojh u mešten vaš podac. U polje Output Range unete ćelju pod koje deno do koje nema nkakvh podataka na radnom ltu, u uprotnom excel će vam aopštt da će rezultate prepat preko već potojećh podataka.
Ukolko te ve pravno uradl trebalo b da konačan rezultat zgleda ovako: Izračunata F vrednot upoređuje e a krtčnom vrednošću; ukolko je F zr > F krt nulta hpoteza e odbacuje, tj. v uzorc ne potču z te populacje; ukolko je F zr < F krt nulta hpoteza e zadržava, tj. uzorc potču z te populacje. Pošto je zračunata vrednot parametra F veća od krtčne, nulta hpoteza e odbacuje, tj. rednje vrednot uzoraka e značajno razlkuju. Utvrđvanje eta rezultata koj ulovljava odtupanja vrš e tako što e rednje vrednot poređaju u ratuć nz upoređuju razlke uednh vrednot a najmanjom značajnom razlkom. Srednje vrednot uzoraka, poređane u ratuć nz, u ledeće: xd = 9 xc = 97 x A = 101 xb = 10 Najmanja značajna razlka zno: 3 /3,306 = 3,6 Upoređvanjem ove vrednot a razlkama zmeđu rednjh vrednot uočava e da ulov D C, kao C A daju rezultate koj e značajno razlkuju jedn od drugh od rezultata dobjenh u ulovma A B. Sa druge trane, rezultat dobjen u ulovma A B e ne razlkuju značajno jedn od drugh. Sve ovo na navod na zaključak da zlaganje uzorka vetlot utče na fluorecencju. Zadac 1. Četr analtčara vršl u određvanje adržaja Hg (ppb) u tom uzorku. Dobjen u ledeć rezultat: Analtčar 1 Analtčar Analtčar 3 Analtčar 4 10,38 10,14 10,0 10,19 10,6 10,5 10,11 10,15 10,9 10,04 10,0 10,16 10,4 10,8 10,15 10,8 10,31 10,16 10,50 10,10 10,19 10,09 10,1 10,3 a) Odredt rednju vrednot, tandardnu devjacju 95% nterval pouzdanot vakog eta podataka. b) Utvrdt da l potoj tattčk značajna razlka (P = 0,05) zmeđu rednjh vrednot prvog trećeg eta rezultata. c) Uporedt rednje vrednot va četr eta rezultata (P = 0,05). d) Odredt zajednčku rednju vrednot ukupnu tandardnu devjacju rezultata. e) Uporedt zajednčku rednju vrednot a pravom vrednošću adržaja Hg od 10,18 ppb. Odredt apolutnu relatvnu grešku određvanja.. Podac prkazan u tabel predtavljaju rezultate određvanja koncentracje paracetamola (% m/m) u tabletama, dvema razlčtm metodama. Deet tableta z deet razlčth šarž analzrano je u clju utvrđvanja potojanja razlke u dvema metodama.
Šarza Metoda 1 Metoda 1 84,63 83,15 84,38 83,7 3 84,08 83,84 4 84,41 84,0 5 83,8 83,9 6 89,56 84,16 7 83,9 86,8 8 83,69 83,60 9 84,06 84,13 10 84,03 84,4 Utvrdt da l potoj tattčk značajna razlka (P = 0,05) u dobjenm rezultatma. 3. Koncentracja analta A određvana je u nekom uzorku prmenom tr metode. Dobjen u ledeć rezultat, zražen u ppm: Metoda 1 Metoda Metoda 3,6 13,6 16,0 3,0 14, 15,9 1,5 13,9 16,3 1,9 13,9 16,9 1,3 13,5 16,7,1 13,5 17,4 3,1 13,9 17,5 1,7 13,5 16,8, 1,9 17, 1,7 13,8 16,7 a) za vak et rezultata odredt rednju vrednot, medjanu, opeg (nterval), tandardnu devjacju, varjanu, koefcjent varjacje, 95% nterval pouzdanot; b) provert da l e rezultat dobjen prmenom metoda 3 tattčk značajno razlkuju na nvou pouzdanot P = 0,05; c) provert da l potoj tattčk značajna razlka (za P = 0,05) zmeđu rezultata dobjenh prmenom ove tr metode. 4. Pr određvanju adržaja antmona u nekom uzorku dobjen u ledeć rezultat: 49.0 50.8 51.3 5.0 50.6 49.3 51.0 51.0 49.3 51. 54. 50.7 5.0 49.4 48.3 55.8 5.8 5.3 50.6 53.4 49.7 49.6 54. 51.5 a) Za vak et rezultata odredt rednju vrednot, medjanu, opeg (nterval), tandardnu devjacju, 95% nterval pouzdanot; b) Utvrdt da l potoj tattčk značajna razlka na nvou pouzdanot P = 0,05 zmeđu rednjh vrednot prvog trećeg eta rezultata; c) Uporedt rednje vrednot va tr eta rezultata na nvou pouzdanot P = 0,05. 5. Tr razlčte analtčke metode koršćene u za određvanje Ca: kolormetrja, komplekometrjka ttracja atomko aporpcona pektrometrja. Dobjen u ledeć rezultat (ppm Ca): n Kolormetrja Komplekometrja AAS 1 3,9,99 4,40 3,3,89 4,9 3 4,18,17 3,51 4 3,53 3,40 3,97 5 3,35 3,9 4,59
a) Za vak et rezultata odredt rednju vrednot, medjanu, nterval, tandardnu devjacju, relatvnu tandardnu devjacju, varjanu, nterval pouzdanot na nvou pouzdanot od 95%; b) Provert da l e rednje vrednot dobjene kolormetrjk AAS.metodom tattčk značajno razlkuju na nvou pouzdanot P = 0,05; c) Odredt da l e rednje vrednot va tr eta merenja tattčk značajno razlkuju na tom nvou pouzdanot. Neparametrjk tetov Tet predznaka Kort e kada god je potrebno zračunat verovatnoću događaja da je od n znakova r znakova negatvno, a otal poztvn. n ( n r ) P ( r ) p n = q r n! ( n r ) ( ) p n P r = q (n r)!r! p verovatnoća dobjanja znaka mnu u određenom rezultatu, q verovatnoća dobjanja poztvnog znaka u određenom rezultatu. Na ovakav događaj mogu e vet razlčte tuacje: A: poređenje medjane eta rezultata Prmer 1 Farmaceutka kompanja tvrd da njhov prozvod adrž 8% određene aktvne materje. U prak je pronađeno da razlčte tablete adrže : % 7.3 7.1 7.9 9.1 8.0 7.1 6.8 7.3 Da l u ov rezultat konztetntn a tvrdnjom prozvođača? Vrednot jednaka potulranoj vrednot e odbacuje. Od preotalh vrednot e oduzma potulrana prpuje m e poztvan l negatvan znak. Izračunava e verovatnoća da šet znakova 7 6 1 1 7 bude mnu: P( 6) 6 1 = =, verovatnoća da edam znakova bude mnu: P () 7 = 18 18 8 verovatnoća dobjanja šet l vše negatvnh znakova zno. Pošto e u zadatku potavlja 18 ptanje da l e podac značajno razlkuju od potulrane, zvodmo dvomern tet, tj. moramo zračunat verovatnoću dobjanja šet l vše dentčnh znakova kada e edam znakova uzme u 16 obzr P = = 0,15. Pošto je ova vrednot veća od 0,05, nulta hpoteza e zadržava, tj. podac 18 e ne razlkuju značajno od potulrane. B: uparen t tet Prmer Koncentracje (g/100ml) munoglobulna G u krvnom erumu nekolko donora u meren pomoć dve metode, radjalnom munodfzujom (RID) elektro munodfuzjom (EID). Dobjen u ledeć rezultat: Donor 1 3 4 5 6 7 8 9 10 RID 1.3 1.5 0.7 0.9 1.0 1.1 0.8 1.8 0.4 1.3 EID 1.1 1.6 0.5 0.8 0.8 1.0 0.7 1.4 0.4 0.9 Da l potoj značajna razlka zmeđu ova dva eta rezultata (dve metode)?
Kada e od rezultata RID metode oduzmu rezultat dobjen EID metodom dobje e ledeć led znakova: + + + + + + + 0 + Stoga je verovatnoća da oam od devet znakova bude poztvno P(8)=9 0,5 10. Verovatnoća da devet znakova bude poztvno P(9)=0,5 9 verovatnoća dobjanja oam l vše poztvnh znakova zno P(8)+P(9)=0,0107. Pošto e zvod dvomerno tetranje to je konačna vrednot verovatnoće udvotručena, tj. 0,014. Pošto je ova vrednot manja od 0,05 nulta hpoteza e odbacuje, tj. potoj tattčk značajna razlka zmeđu ova dva eta rezultata. C: Ukazvanje na moguć trend u rezultatma Prmer 3 Nvo hormona kod jednog određenog pacjenta meren je u to vreme tokom 10 dana. Dobjen u ledeć rezultat: Dan 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Nvo hormona ng/ml 5.8 7.3 4.9 6.1 5.5 5.5 6.0 4.9 6.0 5.0 Da l u dobjenm rezultatma potoj trend u koncentracj hormona? Podac e podele u dva jednaka eta, zadržavajuć redoled. Za neparan broj merenja centralna vrednot e odbacuje. Traž e razlka zmeđu vakog para vrednot: +, +, 0, +, +. Verovatnoća 1 dobjanja četr dentčna znaka zno = 0,15. Pošto je ova vrednot veća od 0,05, nulta 16 hpoteza, po kojoj ne potoj trend u podacma, e zadržava. Wald Wolfowtz tet homogenog nza (run ova) Kort e kada je potrebno utvrdt da l je određen led poztvnh negatvnh vrednot lučajan l potoj nekakav trend. Tet proverava da l je broj ledova dovoljno mal da b e nulta hpoteza o lučajnoj rapodel znakova odbacla. Broj ledova z ekpermentalnh podataka e upoređuje a vrednotma z Tablce u kojoj e nalaze vrednot za N broj poztvnh znakova M broj negatvnh znakova. Ukolko je ekpermentalno određen broj ledova manj od tablčnh vrednot, nulta hpoteza e odbacuje. Prmer 4 Lnearno regreona analza je koršćena za zračunavanje jednačne prave koja b opala odno zmeđu 1 ekpermentalnh podataka. Znakov rezultujućh y zaotalh vrednot u redu porata x vrednot u: + + + + + +. Da l je dat led lučajan l potoj trend (da l je bolje ftovat krvu lnju u ekp. podatke)? M = N = 6, broj ledova zno tr. Iz Tablce e vd da za dato M N broj ledova mora bt već od 4 da b e nulta hpoteza zadržala. U ovom lučaju e nulta hpoteza odbacuje, tj. led poztvnh negatvnh znakova nje lučajan podac e ne mogu ftovat u pravu lnju. Wlcoxon ov tet ranga predznaka Predtavlja prošrenje teta predznaka, korte e pored predznaka vrednot rangova. A: poređenje medjane eta rezultata Prmer 5 Nvo olova u krv (pg/ml) kod edoro dece zno:
104 79 98 150 87 136 101 Da l ov podac prpadaju populacj a rednjom vrednošću/medjanom od 95 pg/ml? Referentna vrednot e oduzma od dobjenh vrednot, razlke poređaju u ratuć nz zanemarujuć predznak. Brojev e potom rangraju zadržavajuć predznak. Određuje e uma poztvnh negatvnh rangova, pr čemu e nža vrednot uzma za tetranje. Ukolko je ova vrednot manja l jednaka od tablčne nulta hpoteza e odbacuje. 9 16 3 55 8 41 6 3 6 8 9 16 41 55 1 3 4 5 6 7 uma poztvnh rangova 0 uma negatvnh rangova 8 tablčna vrednot za n=7 zno, pošto je 8 >, nulta hpoteza e zadržava, tj. podac potču z populacje a medjanom 95 pg/ml. B: uparen t tet Prmer 6 Procenat cnka u razlčtm uzorcma određen je pomoću dve metode komplekometrjk atomkom aporpconom pektrofotometrjom Uzorak 1 3 4 5 6 7 8 EDTA 7. 6.1 5. 5.9 9.0 8.5 6.6 4.4 Atomka aporpcja 7.6 6.8 4.6 5.7 9.7 8.7 7.0 4.7 Da l potoj tematka razlka zmeđu ova dva eta rezultata? Izračunava e razlka podataka dobjenh za dve metode, rezultat poređaju u ratuć nz zanemarujuć predznak rangraju. 0,4 0,7 0,6 0, 0,7 0, 0,4 0,3 0, 0, 0,3 0,4 0,4 0,6 0,7 0,7 1,5 1,5 3 4,5 4,5 6 7,5 7,5 uma poztvnh rangova 7,5 uma negatvnh rangova 8,5 tablčna vrednot za n=8 zno 3, pošto je 7,5 > 3, nulta hpoteza e zadržava, tj. ne potoj tattčk značajna razlka zmeđu dve metode. Mann Whtney U tet Poređenje dva eta rezultata koj e ne mogu vet na jedan zajednčk (t tet) Prmer 7 Analzran je adržaj rebra u uzorku fotografkog otpada pre pole tretranja tog. Dobjen u ledeć rezultat: Netretran otpad 9.8 10. 10.7 9.5 10.5 Tretran otpad 7.7 9.7 8.0 9.9 9.0 Da l metod za hemjko tretranje otpada manjuje adržaj rebra? Za vaku vrednot z eta podataka a všm vrednotma određuje e broj podataka a všm vrednotma z drugog eta podataka. ukupan broj všh vrednot e upoređuje a tablčnm podacma. Ukolko je dobjena vrednot manja l jednaka tablčnoj nulta hpoteza e odbacuje. Netretran Vše vrednot u tretranom Broj všh vrednot otpad otpadu 9,8 9,9 1 10, 0 10,7 0 9,5 9,7; 9,9 10,5 0
3 < 4 nulta hpoteza e odbacuje, tj. tretranje otpada manjuje adržaj rebra. Nepotpuna Thal ova metoda Lnearno regreona analza neparametrjkm tetom. Prmer 8 U lučaju kalbracje plamenog fotometra očtana je ledeća fototruja za date koncentracje Ca + jona: Koncentracja μg/ml 0 10 0 30 40 50 60 70 Aporbanca 0.04 0.3 0.39 0.59 0.84 0.86 1.4 1.4 Prmenom Thel ove nepotpune metode odredt nagb odečak regreone prave. Najpre poređat vrednot u ratuć nz. U lučaju neparnog broja merenja centralnu vrednot odbact. Podelt et podataka na polovnu na onovu vakog para tačaka u gornjoj (x,y ) donjoj polovn eta rezultata (x j,y j ) gde je x j > x, odredt vrednot bj po formul b j = y x j j y x Koefcjent pravca e određuje kao medjana ovako zračunath vrednot Za vaku tačku datog eta rezultata odredt odečak prave, a, korteć nagb određen na prethodno opan načn. ~ a = y bx Medjana dobjenh vrednot parametra a određuje odečak prave. Korelacja regreja y = a + bx Koefcjent korelacje: r = {( x x)( y y) } ( x x) ( y y) 1/ 1 r + 1 Tet za proveru značajnot korelacje: Dvomern t tet Nulta hpoteza ne potoj korelacja zmeđu x y Broj tepen lobode (n ) r t = n 1 r
Određvanje nagba odečka prave: Greške nagba odečka: y/x b = x x a y/x = = y/x ( ) n ( x x) ( y ŷ ) n x b = a = y bx b ± t( n ) b a ± t( n ) a {( x x)( y y) } ( x x) Izračunavanje nepoznate koncentracje njene greške: vrednot dobjena zamenom zmerene y vrednot u jednačnu prave x 0 x0 x0 = b y/x = b y/x 1 m x 0 ± t( n ) x0 1 1 + + n b 1 + + n b ( y 0 y) ( x x) ( y 0 y) ( x x) Granca detekcje: vrednot koncentracje (x), za koju važ ulov: granca detekcje = y + 3 y B ( = a), ( = ) B y/x B B Prmer 1. Regreja I korelacja Standardn ratvor fluorecena je ptvan fluorecentnom pektrofotometrjom dobjen u ledeć rezultat: Intenztet fluorecencje:,1 5,0 9,0 1,6 17,3 1,0 4,7 Koncentracja, pg/cm 3 : 0 4 6 8 10 1 Odredt: a) Koefcjent korelacje. b) Provert da l je korelacja značajna. c) Nagb odečak. d) Standardnu devjacju nterval pouzdanot nagba odečka. e) Nepoznatu koncentracju njenu grešku za ntenztet fluorecencje od 13,5. f) Grancu detekcje određvanja fluorecena. U okvru Data Analy ToolPack a potoj alatka Regreon. Odaberte opcju a padajućeg menja Tool/Data Analy; tarujte komandu Regreon. U polje Input Range unete opeg ćelja zmeđu kojh u mešten vaš podac a koj e odnoe na odgovarajuću ou.
U polje Output Range unete ćelju pod koje deno do koje nema nkakvh podataka na radnom ltu, u uprotnom excel će vam aopštt da će rezultate prepat preko već potojećh podataka. Ukolko te ve pravno uradl trebalo b da konačan rezultat zgleda ovako: a ) Koefcjent korelacje r = 0,9989 b) t = 47,19669 t k =,57 t > t k H 0 e odbacuje, tj. potoj korelacja zmeđu koncentracje ntenzteta fluorecencje. c) Nagb odečak b =1,93; a = 1,5 d) Standardna devjacja nterval pouzdanot nagba odečka b = 1,93 ± 0,11; a = 1,5 ± 0,76 e) Nepoznata koncentracja njena grešku za ntenztet fluorecencje od 13,5 x 0 = 6,1 ± 0,6 f) Granc detekcje određvanja fluorecena 0,67 pg/cm 3. Upoređvanje dve analtčke metode regreonom analzom. Regreonu pravu možemo da upotrebmo za upoređvanje dve metode upotrebljene za određvanje razlčth koncentracja analta. Na x ou e nanoe rezultat precznje metode. Regreonom analzom zračunava e nagb (b), odečak (a) korelacon koefcjent ( r) regreone prave. Ukolko 0 ulaz u nterval pouzdanot odečka, 1 u nterval pouzdanot nagba korelacon koefcjent je blzak 1, može e zaključt da e metode tattčk značajno ne razlkuju.
Prmer. Regreja I korelacja Nvo kelne u 0 uzoraka urna određvan je novom fluormetrjkom metodom rezultat upoređvan rezultatma dobjenm tandardnom fotometrjkom tehnkom. Dobjen u ledeć podac: Uzorak Fluormetrja Fotometrja 1 1,87 1,98,0,31 3 3,15 3,9 4 3,4 3,56 5 1,10 1,3 6 1,41 1,57 7 1,84,05 8 0,68 0,66 9 0,7 0,31 10,80,8 11 0,14 0,13 1 3,0 3,15 13,70,7 14,43,31 15 1,78 1,9 16 1,53 1,56 17 0,84 0,94 18,1,7 19 3,10 3,17 0,34,36 Da l e metode razlkuju po precznot? r = 0,9966 Odečak zno 0, 0497, a donjom gornjom grancom ntervala pouzdanot od 0,1399 0,0404 nterval adrž 0. Nagb zno 0,994, donjom gornjom grancom ntervala pouzdanot od 0,951 1,038 nterval adrž 1. Zaključak: metode e tattčk značajno ne razlkuju.
Zadac 6. U clju određvanja adržaja zo oktana u određenoj meš ugljovodonka vršena je kalbracja tandardnm ratvorma zo oktana dobjene ledeće vrednot: M olk procenat zo oktana Oblat pka 0,35 1,09 0,803 1,78 1,080,60 1,380 3,03 1,750 4,01 a) Utvrdt jednačnu kalbracone prave. Odredt tandardnu devjacju nterval pouzdanot nagba odečka (P = 0,05). b) Nakon hromatografkog određvanja zo oktana u ptvanoj meš ugljovodonka dobjen je pk u oblat od,65. Odredt adržaj zo oktana u meš, kao tandardnu devjacju, ako je: 1. dobjen pk rezultat jednog merenja;. dobjen pk rednja vrednot četr merenja. c) Odredt grancu detekcje ptvane metode. 7. U erj tandardnh ratvora puferovanh na ph = 4,6 određvan je Cd + dobjen u ledeć rezultat: + [ Cd ](nm) 15,4 30,4 44,9 59,0 7,7 86,0 S zm (na) 4,8 11,4 18, 6,6 3,3 37,7 a) Da l je S zm lnearna funkcja koncentracje? b) Odredt jednačnu odgovarajuće regreone prave. c) Izračunat nterval pouzdanot nagba odečka dobjene prave. Za ratvore puferovane n a ph = 3,7 d objen u l edeć rezultat: [ Cd + ](nm) 15,4 30,4 44,9 59,0 7,7 86,0 S zm (na) 15,0 4,7 58,8 77,0 101,0 118,0 d) Da l je veća oetljvot metode na nžoj ph vrednot? e) Za nepoznat uzorak puferovan na ph = 3,7 dobjen je ntenztet gnala od 66,3 na. Odredt koncentracju Cd u uzorku (P = 0,05). 8. Pr kolormetrjkom određvanju adržaja glukoze u erj tandardnh ratvora dobjen u ledeć rezultat: Koncentracja, mm: 0,0,0 4,0 6,0 8,0 10,0 Aporbancja, A: 0,00 0,150 0,94 0,434 0,570 0,704 a) Provert da l je aporbancja lnearna funkcja koncentracje. b) Odredt nagb odečak dobjene regreone prave. c) Odredt tandardnu devjacju nagba odečka ove prave. d) Na onovu ovh rezultata odredt grancu detekcje glukoze e) Dobjena kalbracona prava upotrebljena je za određvanje adržaja glukoze u krvnom erumu. Za četr paralelna određvanja glukoze u nepoznatom uzorku dobjene u ledeće vrednot A: 0,35; 0,37; 0,339; 0,36. Kolk je adržaj glukoze u nepoznatom uzorku? f) Prmenom Thel ove nepotpune metode odredt nagb odečak regreone prave. 9. Dve ntrumentalne metode u poređene grafčk dobjena je lnearna zavnot koja je data ledećom jednačnom: y = 3,87 ± 15,34 + 0,86 x ± 0,08 ( r = 0,9945). Rezultat koj u dobjen ov m metodama tat tčk e razlkuju na nvou značajnot od P = 0,05. a) da b) ne