Moderna teorija portfelja

Transcript

1 Moderna teorja portfelja Uvod Investcja ---->odrcanje od novčanh sredstava na neko vrjeme kako b se ostvarl buduć povrat koj će kompenzrat nvesttora za vrjeme na koje su novčana sredstva uložena očekvanu stopu nflacje nesgurnost budućh splata Moderna teorja portfelja (l kraće M) pretpostavlja da nvesttor 'ne vole' rzk, odnosno ako mogu odabrat dvje nvestcje jednakog očekvanog prnosa, odabrat će onu manje rzčnost. Kako bsmo trebal nvestrat movnu? eorja portfelja bazra se na dva prncpa: maksmzrat očekvane prnose (što je to očekvan prnos?) mnmzrat rzk Kako mnmzrat rzk? vše prstupa Standardna devjacja prnosa Vjerojatnost velkh gubtaka - ->VaR (value at rsk) Buduć da nvesttor 'zahtjevaju' nagradu za preuzmanje rzka, blo b logčno očekvat da rzčnja ulaganja maju veće prnose. Razlka zmeđu očekvanog prnosa rzčne nvestcje 'bezrzčne' nvestcje (što je uopće bezrzčna nvestcja?) zove se REMIJA ZA RIZIK. Bez premja za rzk, vrlo vjerojatno b se malo nvesttora odlučlo za ulaganje. ostoje optmaln komproms zmeđu očekvanh prnosa rzka. okazat ćemo kako je moguće maksmzrat očekvan prnos uz (gornju) ogradu na rzk l kako mnmzrat rzk uz (donju) ogradu na očekvan prnos. Osnovn koncept u takvm razmatranjma je smanjvanje rzka pomoću dverzfkacje portfelja vrjednosnca.

2 retpostavke M-a Markowtzev model prv je model koj je uspo kvanttatvno opsat rzk. Dva važna doprnosa: pokazao je da vrjed dverzfcrat pokazao je kako optmzrat rzk Osnovne pretpostavke: Investtor maksmzraju prnos u dućem razdoblju (koje se sastoj od jednog peroda - dan, mjesec, kvartal, godna-tzv. perod držanja) Investtor procjenjuju rzčnost nvestcje na baz varjablnost njenh očekvanh prnosa Investtor donose odluke sključvo na osnovu očekvanog prnosa rzčnost Za danu raznu rzčnost, nvesttor preferraju već prnos od manjega. Obratno, za dan očekvan prnos, nvesttor preferraju manju rzčnost Kako defnramo očekvan prnos portfelja vrjednosnca? Očekvan prnos portfelja je vagan prosjek očekvanh prnosa pojednh nvestcja u portfelju. retpostavmo da se portfelj sastoj od n razlčth vrjednosnca (nvestcja) E(R )očekvan prnos portfelja w udo ulaganja u portfelju,,,n R moguć prnos ulaganja E(R )očekvan prnos ulaganja n ada je E ( R ) w E ( R ) (lnearnost očekvanja!) () rmjer. retpostavmo da se portfelj vrjednosnca sastoj od vrjednsonce Vrjednosnce, V, s udjelom od 40% Vrjednosnce, V, s udjelom od 60% (00% - udo V) te da su očekvan prnos vrjednosnce vrjednosnce, 5% 6% redom. Kolk je očekvan prnos za portfelj? Harry Markowtz (95), ortfolo Selecton, Journal of Fnance, 7, p. 77-9

3 ablca. Očekvan prnos Udo u portfelju Očekvan prnos Očekvan prnos za portfelj Investcja 40% 5% 6% Investcja 60% 6% 3.6% ortfelj 00% 9.6% Očekvan prnos za portfelj računa se pomoću formule () odnosno E ( ) 0.4* * R Kako defnramo 'varjablnost', odnosno rzčnost portfelja vrjednosnca? Za portfelj koj se sastoj od n vrjednosnca (ulaganja) rzčnost portfelja dana je formulom odnosno pr čemu su: n n w +, j j w w jcov, j,, standardna devjacja nvestcje standardna devjacja portfelja Cov, j kovarjanca prnosa rmjer za n: w ( Cov. () + w ) + w ( w ) Kako zračunat očekvane prnose za pojedne nvestcje, njhove standardne devjacje te kovarjancu za dvje nvestcje I I j? E(R ), odnosno očekvan prnos za vrjednosncu se konzstentno može procjent pomoću npr. artmetčke sredne prošlh vrjednost (cjena) vrjednosnce, odnosno E ( R ) N N R, t t,, 3

4 pr čemu R, t označava vrjednost (cjenu) vrjednosnce u trenutku t, a N je broj opaženh podataka. odnosno varjancu vrjednosnce konzstentno ćemo procjent npr. pomoću artmetčke sredne kvadrata 'centrranh' vrjednost (cjena) vrjednosnce, odnosno N ( ) R, t E( R ) N t Nadalje, za dvje nvestcje j, kovarjanca se defnra kao Cov a koefcjent korelacje kao E [( R E( R )) ( R E( R ))],, j j j r, j Cov Unutar ste ndustrje uobčajeno je da koefcjent korelacje preko 50%! Napomena: formula () može se zapsat kao, j j. w (. + w ) + w ( w ) r, Kolk dug vremensk perod treba uzet u clju što bolje procjene očekvane vrjednost, odnosno kolko daleko u prošlost moramo posegnut za podacma? Ukolko dvje vrjednosnce nsu korelrane, odnosno moguć shod jedne vrjednosnce ne utječu na drugu, Cov., j 0 Možemo odmah prmjett da ukolko je broj vrjednosnca unutar portfelja velk (što je zapravo 'dovoljno velko'?), tada utjecaj varjance nove vrjednosnce koja se dodaje portfelju već postojećh postaje zanemarv! Utjecaj nove vrjednosnce se sve vše svod na njenu kovarjancu s drugm vrjednosncama u portfelju! rmjer. retpostavmo da se portfelj vrjednosnca sastoj od vrjednsonce Vrjednosnce, V, s udjelom od 40% Vrjednosnce, V, s udjelom od 60% (00% - udo V) te da su očekvan prnos vrjednosnce vrjednosnce 5% 6% respektvno. retpostavmo nadalje da su standardne varjacje vrjednosnca V V te da vrjednosnce nsu korelrane, odnosno da je njhov koefcjent korelacje jednak 0. Izračunajte rzčnost portfelja. 4

5 ablca. Rzčnost portfelja Udo u Očekvan Standardna w porfelju prnos devjacja V 40% 5% 0% 0.64% V 60% 6% 5% 0.8% ortfelj 00%.04% w + w rmjer3. (ortfelj dvje vrjednosnce jednakog udjela, sth očekvanh prnosa rzčnost) retpostavmo da se portfelj vrjednosnca sastoj od vrjednsonce Vrjednosnce, V, s udjelom od 50% Vrjednosnce, V, s udjelom od 50% (00% - udo V) te da su očekvan prnos vrjednosnce vrjednosnce 30%. retpostavmo nadalje da su standardne varjacje vrjednosnca V V 0.5 te da su vrjednosnce korelrane to na sljedeć načn. r (savršeno negatvno korelrane),. r, 0 (nekorelrane) 3. r 0. 5, 4. r, (savršeno korelrane) Izračunajte rzčnost portfelja za sve četr moguće korelranost. ablca 3. Rzčnost portfelja s jednakm udjelma, sth očekvanh prnosa rzčnost Udo u portfelju St.devjacja Očekvan prnos V 50% 5% 30% V 50% 5% 30% ORFELJ Udo Rzčnost Očekvan r, vrjednosnce portfelja prnos portfelja E(R ) ortfelj 50% 0 30% - ortfelj 50% 0.6% 30% 0 ortfelj 3 50% 3% 30% 0.5 ortfelj 4 50% 5% 30% 5

6 Slka. ortfelj dvje vrjednosnce jednakh udjela, sth očekvanh prnosa rzčnost ortfelj 4 Očekvan prnos 40% ortfelj 30% 0% 0% 0% 0,00% 5,00% 0,00% 5,00% 0,00% Standardna devjacja romotrmo sada slučaj portfelja dvju vrjednosnca jednakh udjela, razlčth očekvanh prnosa rzčnost. rmjer4. (ortfelj dvje vrjednosnce jednakog udjela, razlčth očekvanh prnosa rzčnost) retpostavmo da se portfelj vrjednosnca sastoj od vrjednosnce Vrjednosnce, V, s udjelom od 50% Vrjednosnce, V, s udjelom od 50% (00% - udo V) te da su očekvan prnos vrjednosnce vrjednosnce 0% 0%. retpostavmo nadalje da su standardne devjacje vrjednosnca V V te da su vrjednost korelrane to na sljedeć načn. r (savršeno negatvno korelrane),. r, 0 (nekorelrane) 3. r 0. 5, 4. r, (savršeno korelrane) Izračunajte rzčnost portfelja za sve četr moguće korelranost. 6

7 ablca 4. Rzčnost portfelja s jednakm udjelma, razlčth očekvanh prnosa rzčnost Udo u portfelju St.devjacja Očekvan prnos V 50% 5% 0% V 50% 30% 0% ORFELJ Udo Rzčnost Očekvan r, vrjednosnce portfelja prnos portfelja E(R ) ortfelj 50% 7.5% 5% - ortfelj 50% 6.77% 5% 0 ortfelj 3 50% 9.84% 5% 0.5 ortfelj 4 50%.5% 5% Slka. ortfelj dvje vrjednosnce jednakh udjela, razlčth očekvanh prnosa rzčnost Očekvan prnos 5% 0% 5% 0% 5% V 4 V 0% 0,00% 5,00% 0,00% 5,00% 0,00% 5,00% 30,00% 35,00% Standardna devjacja rmjer 5. retpostavmo da se portfelj vrjednosnca sastoj od dvje vrjednosnce čj se udo u portfelju mjenja to na sljedeć načn:. w 0 (odnosno w 00%). w 5% 3. w 50% 4. w 75% 5. w 00% (odnosno w 0%) 7

8 retpostavmo nadalje da su očekvan prnos vrjednosnce vrjednosnce 4% 8% te da su standardne varjacje vrjednosnca V V, retpostavmo da vrjednosnce od nteresa nsu korelrane, odnosno da je njhov koefcjent korelacje jednak 0. Izračunajte očekvane prnose rzčnost portfelja u danh pet slučajeva. ablca 5. Rzčnost portfelja za nekorelrane vrjednosnce s razlčtm udjelma Udo vrjednosnce Očekvan prnos Rzčnost portfelja portfelja E(R ) 0 8% 5% 5% 9.5%.3% 50%.%.5% 75%.5% 5.5% 00% 4% 0% Slka3. ortfelj dvju vrjednosnca 6,00% 4,00% V Očekvan prnos,00% 0,00% 8,00% 6,00% 4,00%,00% V 0,00% 0,00% 5,00% 0,00% 5,00% 0,00% 5,00% Standardna devjacja S obzrom na pretpostavke M-a, neka nvestcja smatra se efkasnom ako: 8

9 nema nt jedne druge nvestcje koja za stu rzčnost ma već očekvan prnos nema nt jedne druge nvestcje koja za st očekvan prnos ma manju rzčnost Utječe l vrsta korelranost vrjednosnca na rzčnost portfelja? oztvna korelranost zmeđu dvju vrjednosnca u portfelju povećava rzčnost portfelja. Ukolko su poztvno korelrane, vrjednosnce se kreću 'zajedno' što povećava volatlnost portfelja. S druge strane, negatvna korelranost je dobar ndkator. Name, ukolko su vrjednosnce negatvno korelrane, negatvn povrat jedne ujedno mplcra poztvnm povratom druge vrjednosnce čme se volatlnost portfelja smanjuje. Efkasna granca retpostavmo da u portfelju mamo dvje vrjednosnce očekvanh prnosa E(R ) E(R ), standardnh devjacja, te da je koefcjent korelacje r,. retpostavmo da je udo prve vrjednosnce u portfelju w, a druge -w. ada je očekvana vrjednost prnosa portfelja [ ( R ) E( )] E( R ) we( R ) + ( w) E( R ) E( R ) + w E R Nadalje, rzčnost portfelja je opsana formulom: w + ( w) + w( w) r,. Kolk je mnmaln rzk za portfelj ako je očekvan prnos portfelja E(R )c, pr čemu je c nek poztvn realan broj poznat vesttoru? otrebno je nać onaj udo prve vrjednosnce za koj se postže mnmalna rzčnost portfelja uz točno zadan očekvan prnos. Matematčk se problem može opsat na sljedeć načn: uz ogrančenje w + ( w ) + w ( w ) r, mn E( R ) c. 9

10 Može se pokazat da je rješenje zadanog problema dano sa h c g w +, pr čemu su I D A D C h I R E R E r r D A I D B g,,,, ) ( ) (,, Ω Ω Ω Ω Ω µ µ µ A BC D I I C B I A Ω Ω Ω µ µ µ Ako bsmo dodaval u razmatranje tržšne vrjednosnce gledal njhove kombnacje, te kombnacje kombnacja dobl bsmo Slka 4. Efkasna granca 0% % 4% 6% 8% 0% % 4% 6% 0% 5% 0% 5% 0% 5% Standardna devjacja Očekvan prnos B pčn portfelj C A ortfelj mnmalne varjance Kažemo da ulaganja A B domnraju C. Metoda Lagrangeovh multplkatora 0

11 Kažemo da je nvesttor koj se pozconra na efkasnoj granc efkasan nvesttor u Markowtzevom smslu. rmjer 6. retpostavmo da se portfelj vrjednosnca sastoj od dvje vrjednosnce te da je udo vrjednosnce u portfelju w, a vrjednosnce -w. Nadalje, neka su očekvan prnos vrjednosnce vrjednosnce, 4% 8% te neka su standardne varjacje vrjednosnca V V retpostavmo da vrjednosnce nsu korelrane, odnosno da je njhov koefcjent korelacje jednak 0. Odredte portfelj s mnmalnm rzkom. Drugm rječma, potrebno je zračunat za koj se udo u portfelju vrjednosnce postže mnmaln rzk. Buduć da očekvan prnos portfelja koj se žel postć nje specfcran, potrebno je nać onu vrjednost w za koju funkcja rzčnost za portfelj postže mnmalnu vrjednost. (roblem bezuvjetne mnmzacje). Funkcja rzka za portfelj je prema gore navedenom 0. w ( w). U clju nalaženja rješenja, potrebno je funkcju dervrat u odnosu na varjablu w, dobvenu funkcju zjednačt s nulom te rješt jednadžbu po w. rema toj računc sljed: w Kako bsmo provjerl da se dosta rad o točk mnmuma, potrebno je prje dobvenu prvu dervacju funkcje rzka još jednom dervrat u odnosu na w te provjert da je za w0.36 dobvena vrjednost poztvna. Dakle, za w0.36, odnosno za udo vrjednosnce od 36% (dakle 64% vrjednosnce ) u portfelju, dobvamo portfelj s najmanjom vrjednost rzka. Kombnranje dvju vrjednosnca s bezrzčnm ulaganjem Krajnj clj teorje portfelja je pronać one optmalne portfelje koj kombnraju N razlčth vrjednosnca s bezrzčnom vrjednosncom (što je uopće bezrzčno?) U prethodnom smo odjeljku zapravo vdjel da je svaka točka na efkasnoj granc oblka (, E(R )) za neku vrjednost w, 0<w<. Ako fksramo w tada mamo fksran portfelj vrjednosnca. Sada takav portfelj vrjednosnca želmo kombnrat u nov portfelj s bezrzčnom vrjednosncom. Što zapravo tme dobvamo da l takva kombnacja ukazuje na neke nove spoznaje o stavu nvesttora glede rzka? retpostavmo sljedeće:

12 sv nvesttor su efkasn nvesttor mogu posuđvat novac po bezrzčnoj stop u oba smjera sve nvestcje su 'beskonačno' djeljve nema troškova transakcja n poreza nema nflacje n promjene u kamatnm stopama Šta je zapravo bezrzčno ulaganje? retpostavmo da postoj ulaganje čj je prnos potpuno sguran (npr. državna obveznca l zaps). o prema defncj zapravo znač da je varjanca (a tme standardna devjacja) takvog ulaganja jednaka 0. Označmo stopu prnosa ovakvog (bezrzčnog) ulaganja s BRS. retpostavmo da raspolažemo s bezrzčnom vrjednosncom. Buduć da je varjanca takve vrjednosnce nula, tada je kovarjanca blo koje vrjednosnce s bezrzčnom vrjednosncom jednaka 0. retpostavmo da je N, tj. da u (efkasnom) portfelju mamo dvje vrjednosnce koje želmo kombnrat u nov portfelj s bezrzčnom vrjednosncom. Označmo sa E(R E ) očekvan prnos efkasnog portfelja, a sa E njegovu standardnu devjacju. Uočmo da u 'novom' portfelju koj se sastoj od efkasnog portfelja bezrzčne vrjednost ono što može varrat je proporcja koja je alocrana efkasnom portfelju odnosno bezrzčnoj vrjednost. Ukolko udo efkasnog portfelja koj ulažemo u novo nvestcju označmo sa w, tada je -w udo bezrčne vrjednosnce u novonastalom portfelju. Označmo sa E(R ) očekvan prnos novonastalog portfelja te sa njegovu standardnu devjacju. ada mamo E ( R ) we( RE ) + ( w) BRS, w E, što zapravo ukazuje da je kombnacja bezrzčne nvestcje blo koje druge nvestcje lnearna s obzrom na očekvan prnos, al s obzrom na rzčnost! Kako grafčk prkazat lnearnu kombnacju? retpostavmo da promatramo nekolko efkasnh portfelja (efkasna granca!) te da je BRS0.06 odnosno 6%. ada mamo nekolko mogućh kombnacja bezrzčne nvestcje sa onm efkasnm. rkažmo h grafčk:

13 Slka 5. Kombnacja rzčne bezrzčne nvestcje 6,00% 4,00%,00% Očekvan prnos 0,00% 8,00% 6,00% BRS A C 4,00%,00% 0,00% 0,00% 5,00% 0,00% 5,00% 0,00% 5,00% Standardna devjacja ržšn portfelj ravac koj prolaz točkama (0,BRS) koj je ujedno tangenta efkasne grance (u točk ) zove se pravac tržšta kaptala (engl. Captal market lne). Do pravca tržšta kaptala koj predstavlja segment BRS može se prkazat jednadžbom αbrs+(-α), α [0,]. Uočmo da pravac koj spaja točku označenu kao BRS onu označenu sa (sprekdana lnja) lež znad pravca koj spaja točke označene sa BRS A (puna lnja), pr čemu je A tpčn portfelj. o zapravo ukazuje da za blo koju vrjednost sprekdana lnja predstavlja već očekvan prnos od pune lnje. Što je zapravo optmaln portfelj? Koefcjent smjera svakog od gornjh pravaca zove se Sharpeov omjer 3 koj zapravo označava omjer premje u odnosu na rzk. o je zapravo omjer premje koja se kvantfcra kao prnos znad bezrzčne stope rzka koj se mjer standardnom devjacjom. rema slc je očto da pravac s većom vrjednost koefcjenta smjera predstavlja već očekvan prnos za određenu raznu rzka 3 Wllam Sharp, hd student H. Markowtza koj je s njm podjelo Nobelovu nagradu 3

14 dakle što je već Sharpeov omjer tm bolje u odnosu na nvo rzka koj je nvesttor spreman preuzet. očka predstavlja portfelj s najvećm Sharpeovm omjerom. o je ujedno optmaln portfelj u svrhu kombnranja s bezrzčnom nvestcjom. aj portfelj se ujedno nazva 'tangencjaln portfelj'. Optmaln l efkasn portfelj kombnraju tangencjaln portfelj s bezrzčnom nvestcjom. Svak takav portfelj ma dvje karakterstke: ma najveć očekvan prnos od svh drugh portfelja s stm (l manjm) rzkom ma najmanj rzk od svh drugh portfelja s stm (l manjm) očekvanm prnosom Dakle, jedno kako se može poboljšat rzk (poboljšat rzksmanjt rzk) efkasnog portfelja je prhvatt manj očekvan prnos l možemo povećat očekvan prnos efkasnog portfelja preuzmajuć gor (već) rzk! Slka 6. ravac tržšta kaptala 0,6 0,4 Negatvna vrjednost (-w) (posuđvaje novca) 0, 0, segment [BRS,] o<w< Očekvan prnos 0,08 0,06 BRS 0,04 0, ,05 0, 0,5 0, 0,5 Standardna devjacja 4

15 Možemo odmah uočt da sv portfelj na pravcu tržšta kaptala domnraju ostalm ulaganjma. o nam ukazuje na sljedeće: sv nvesttor teže portfelju koj se sastoj od 'tangencjalnog' portfelja bezrzčne nvestcje u portfelju moraju bt uključena sva rzčna ulaganja sva rzčna ulaganja su uključena u razmjerno svojoj ukupnoj vrjednost, tj. tržšnoj kaptalzacj, odnosno tržšna vrjednost nvestcje upravo je jednaka onom djelu sadržanom u Model za vrednovanje kaptalne movne (engl. Captal asset prcng model) retpostavmo da za neku nvestcju možemo prkazat njen prnos u promatranom perodu kao: R α + b R + ε, (*) pr čemu su R prnos na vrjednosncu α konstantn član za vrjednosncu β faktor lnearne ovsnost vrjednosnce o tržštu R prnos na ε slučajna greška nekorelrana s Može se pokazat da uz dane pretpostavke vrjed: Var ( R ) β Var ( R ) + Var ( ε ), odnosno varjanca vrjednosnce se može 'dekomponrat' na sstemsku varjancu odnosno varjancu objašnjenu modelom na nesstemsku varjancu. U tržšnom portfelju je nesstemska varjanca (rzk!) potpuno dverzfcrana prlkom dodavanja nove vrjednosnce u potrebno je samo promatrat korelranost vrjednosnce s! Može se pokazat da prema zrazu (*) sljed: 5

16 E( R ) BRS + β ( BRS), Cov, pr čemu je β vrjednost β ujedno zovemo standardzana mjera sstemskog rzka za vrjednosncu. Uočmo odmah da za β sljed da je E(R )R. Možemo odmah uočt da je očekvan povrat vrjednosnce određen s bezrzčnom stopom tržšnom premjom za rzk. Koja su svojstva β? Standardzrana oko jednce 0: bezrzčna nvestcja >: znadprosječno rzčna nvestcja <: spodprosječno rzčna nvestcja rmjer. retpostavmo da mamo 3 donce njhove β 0.3, β, β 3. 4 te da je BRS5% tržšna premja na rzk 5%. Odredte očekvan povrat na donce. Buduć da je tržšna premja na rzk 5%, prema defncj tržšne premje sljed da je očekvan prnos na tržšn portfelj 0. % U tom slučaju mamo: Donca β R Očekvan prnos % 0% 3.4 % Kako dentfcrat podcjenjene odnosno precjenjene donce? 6

17 Slka 7. ržšn pravac 0,6 0,4 0, Očekvan prnos 0,0 0,08 0,06 prnos ( tržšta) 0,04 0,0 negatvn β 0,00 0,00,00,00 Beta U stanju ravnoteže (ponudapotražnj) sve vrjednosnce b morale bt na tržšnom pravcu, s obzrom na njhov očekvan prnos vrjednost β. Nadalje, Donce koje se nalaze znad pravca su podcjenjene jer je očekvan prnos već od onog koj prpada toj vrjednost β Donce koje se nalaze spod pravca su precjenjene jer je očekvan prnos manj od onog koj prpada toj vrjednost β 7