( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se umeşte ecuaţia difereţială Riccati. Dacă q, p şi r sut costate, atuci ecuaţia se itegrează pri separarea variabilelor: d + + q p r + Dacă r( ), ecuaţia (4) este liiară Dacă q( ), ecuaţia (4) este de tip Beroulli Î geeral, această ecuaţie u se poate rezolva pri metode elemetare. Teorema 5: Dacă se cuoaşte o soluţie particulară a ecuaţiei Riccati, atuci soluţia geerală a ecuaţiei poate fi găsită pri metode elemetare. Demostraţie: Presupuem cuoscută o soluţie particulară ( ) are loc: Atuci, cu substituţia: q + p + r + z a ecuaţiei (4) şi ude z( ) este oua fucţie ecuoscută, ecuaţia Riccati se reduce la o ecuaţie difereţială Beroulli. d dz + q + p + p z + r + r d d z + r z dz ( p ( ) r( ) ( ) ) z( ) r( ) z ( ) d + Aceasta este o ecuaţie Beroulli. Eemple: Itegraţi ecuaţia Riccati:. + e e + e dacă cuoaştem soluţia particulară e. Fie: z( ) ( ) e e + z( ) dz e + e e z z + e e + e z e + e d

dz d z ecuatie cu variabile separabile dz d + z z z( ) ( ) e +., > ( ), () z z+ dz z + z + z + d dz z z ecuatie Beroulli d w z w z z w dw w d w w dw w + ecuatie liiara d dw w dw d + l w l + l d w ( ) w w ± w w d ( ) + + d d ( ) z d ( ) + w( ) ( ) + + + + solutia problemei auch Solutia geerala a ecuatiei date: ()

ap.vi Ecuaţii difereţiale de ordi superior 6. Problema auch forma: O ecuaţie difereţială de ordiul, rezolvată î derivata cea mai mare, are (,,,, ) ( ) ( ) f () Petru a obţie o soluţie particulară a acesteia, trebuie să precizăm codiţii:,,, ( ) ( ) () ude,,, ecuaţia difereţială (). sut umere. Aceste codiţii se umesc codiţii iiţiale petru Problema auch costă î determiarea soluţiei ecuaţiei difereţiale () care satisface codiţiile iiţiale (). Teorema : (de eisteţă şi uicitate a soluţiei problemei auch) Fie: (,,,, ) ( ) ( ) f () o ecuaţie difereţială de ordiul, rezolvată î derivata cea mai mare. Dacă fucţia f este ( ) cotiuă î cele + argumete pe o veciătate Ω a puctului M (,,,, ) (eemplu î figura 6.) atuci eistă u iterval h < < + h pe aa pe ϕ petru ecuaţie care satisface codiţiile iiţiale: care eistă cel puţi o soluţie Mai mult, dacă fucţia,,, ( ) (,,,, ) mărgiite pe Ω, atuci soluţia este uică. ( ) ( ) f are derivatele parţiale (4) f f f,,, ( ) az particular: iar Ω este veciătatea lui (,, ) f,, M.

Figura 6. Eemplu: e + si (,, ) e + si f Este fucţie de trei variabile cotiuă peste tot. f e Derivatele parţiale sut mărgiite peste tot. Atuci, petru orice umere,, verifică codiţiile iiţiale: şi f cos, eistă o soluţie uică, ϕ ( ), a ecuaţiei care Defiiţie: Soluţia geerală a ecuaţiei: (,,,, ) ( ) ( ) f (5) pe u domeiu Ω î care problema auch are soluţie uică, este o familie -parametrică de fucţii S: ϕ (,,,, ) care depid de şi de costate arbitrare,,..., astfel îcât: Petru orice costate,,..., fucţia ϕ (,,,, ) S este soluţie a ecuaţiei (5), adică: ( ) ( ( ),,,, f,,,,,,, (,,,, ) ) ( h, + h) ϕ ϕ ϕ Petru orice codiţii iiţiale:, astfel îcât puctul,, (,,,, ) ( ) ( ) să aparţiă domeiului Ω, de eisteţă şi uicitate a soluţiei problemei auch asociată ecuaţiei (5), putem găsi costatele, 4

,, astfel îcât soluţia ϕ (,,,, ) S să satisfacă codiţiile iiţiale cosiderate. O soluţie particulară a ecuaţiei difereţiale se obţie di soluţia geerală pri fiarea costatelor,,...,. Graficul său este o curbă î plaul şi se umeşte curbă itegrală a ecuaţiei. Relaţia la care se ajuge î urma itegrării φ (,,,,, ) şi care defieşte implicit soluţia geerală se umeşte itegrala geerală a ecuaţiei difereţiale. 6. Reducerea ordiului uor ecuaţii difereţiale de ordi superior. O ecuaţie de forma: ( ) f (6) ude f ( ) este fucţie cotiuă cuoscută, este itegrabilă cu metode elemetare. obţiem: Îtr-adevăr, deoarece ( ) ( d ) / d, itegrâd ambele părţi ale ecuaţiei ( ) f d+ Această ecuaţie are aceeaşi formă cu (6). Atuci, mai itegrăm o dată: ( ) ( ) f d d + + ( ( ) ) ( ) f d d d + + + După -itegrări obţiem soluţia geerală a ecuaţiei (6): ( ) ( ) ( ) f( ) d d d+ + + +!! Eemplu: + + +. Dacă o ecuaţie difereţială u coţie fucţia ecuoscută şi derivatele sale pâă la ordiul k, adică are forma: ( k) ( k+ ) ( ) F,,,, (7) 5

atuci ordiul ecuaţiei poate fi redus pâă la k pri schimbarea de variabilă: ( k ) p( ) şi ecuaţia difereţială (7) î oua ecuoscută p ( ) devie: ( k ) F(, p, p,, p ) Presupuem că putem itegra această ecuaţie şi obţiem: p ψ (,,,, k) um ( k ) p( ), pri k itegrări obţiem fucţia căutată. Eemplu: p( ) p ( ) Ecuaţia î oua ecuoscută este: p p dp d p l p l + l p + + + 6. Dacă o ecuaţie difereţială u coţie eplicit variabila idepedetă, adică are forma: ( ) Ordiul ecuaţiei poate fi redus cu uu, cu substituţia: F(,,, ) (8) p Aici, p p este oua fucţie ecuoscută şi este variabila idepedetă. Eemplu: + ( ) p 6

d dp d dp p( ) p d d d d Ecuaţia difereţială dată devie: dp p + p d dp d l p l + l p l l p p( ) d d d + d + 6. Ecuaţii difereţiale liiare şi omogee O ecuaţie difereţială liiară şi omogeă are forma: ( ) ( ) + p + + p + p (9) ude p ( ), p ( ),, p ( ) sut fucţii cotiue pe u iterval [, ] cuoscute. Ecuaţia este liiară î fucţia ecuoscută şi î toate derivatele acesteia. Ecuaţia (9) o putem rescrie rezolvată î derivata de ordi maim: ( ) ( ) ab şi sut p p p () Fucţia di partea dreaptă a acestei ecuaţii este o fucţie cotiuă î pe [, ],, ( ) ab şi î, peste tot. Mai mult, această fucţie are derivate parţiale î raport cu ab,. Atuci, cu teorema, rezultă egale cu p k, derivate care sut mărgiite pe [ ] că dacă coeficieţii pk ( ), k,,, sut fucţii cotiue pe [, ] ab atuci petru orice codiţii iiţiale: ( ) ( ) ( k ),,,, ( ab, ), () eistă o soluţie uică a ecuaţiei () care satisface codiţiile iiţiale (). ( k ) 7

Prelimiarii Fie E şi F două mulţimi. Spuem că A este u operator A : E F dacă la fiecare elemet E îi corespude pritr-o lege dată, u elemet f A F. E este domeiul operatorului A. Dacă E este u spaţiu liiar, atuci operatorul A se umeşte operator liiar, dacă: A( + ) A+ A,, E A A, E, ( ) Rescriem ecuaţia (9) î forma: ude ( ) [ ] L[ ] ( ) L + p + + p + p L[ ] este u operator difereţial liiar, defiit pe spaţiul fucţiilor [ ab, ], împreuă cu derivatele pâă la ordiul, adică L[ ] : [ a, b] [ a, b], cotiue pe. Natura difereţială a operatorului este evidetă. Liiaritatea operatorului, presupue: L[ + ] L[ ] + L[ ] L [ ] L [ ], ude şi sut fucţii arbitrare, avâd derivate pâă la ordiul cotiue. Teorema : Dacă fucţia L[ ], atuci şi fucţia costată arbitrară). Teorema : Dacă fucţiile ( ) şi omogee L[ ], atuci şi suma ( ) ( ) ecuaţii. este o soluţie a ecuaţiei difereţiale liiare omogee este de asemeea o soluţie a acestei ecuaţii ( este sut soluţii ale ecuaţiei difereţiale liiare + este de asemeea o soluţie a acestei orolar: Dacă fucţiile ( ), ( ),, liiare omogee L[ ], atuci şi combiaţia liiară ( ) ecuaţii. Ecuaţia L[ ] are îtotdeaua soluţia trivială ( ). m sut soluţii ale ecuaţiei difereţiale m i i este o soluţie a acestei i Observaţie: Di teoremele şi rezultă că mulţimea soluţiilor ecuaţiei L[ ] formează u spaţiu liiar, a cărui este fucţia ( ). 8

Teorema : Dacă o ecuaţie difereţială liiară omogeă L[ ] cu coeficieţi reali pk ( ), k,,, are o soluţie compleă ( ) u( ) + iv( ), atuci şi partea reală u( ) şi partea imagiară v( ) sut de asemeea soluţii ale acestei ecuaţii. 6.4 Sisteme de fucţii liiar depedete şi liiar idepedete osiderăm u sistem de fucţii iterval [ ab, ]., ( ),, Defiiţie: Spuem că fucţiile ( ), ( ),, itervalul [, ] ab, dacă eistă costatele,,, astfel îcât: + + +, [ ab, ] şi cel puţi u i este diferit de zero. Dacă egalitatea are loc umai petru ab,. cotiue pe u sut liiar depedete pe, atuci fucţiile ( ),, ( ) sut liiar idepedete pe itervalul [ ] Eemple:. Fucţiile ( ) şi ( ) Îtr-adevăr, avem de eemplu, idetitatea:, sut liiare depedete pe orice iterval [, ], cu, ab. ab. Îtr-. Fucţiile adevăr,,,,, sut liiar idepedete pe orice iterval [, ] + + + +, [ ab, ] are loc umai dacă i, i,,,. k k. Fucţiile e, e,, k e cu k i k j orice iterval [ ab, ]. osideram cazul k e liiar depedete. Atuci, petru i j sut liiar idepedete pe k k. Presupuem fucţiile e, e, k k k e + e + e u toti i uli 9

k Presupuem. Împărţim relaţia cu e şi difereţiem relaţia obţiută. ( k k ) ( ) k k + e + e ( k ) k k k e k k e k k + Împărţim relaţia cu k k e şi difereţiem relaţia obţiută. k k k k e ( k ) k k k k k e k k + Relaţia este imposibilă deoarece şi ki kj petru i j. Presupuerea oastră a fost falsă şi fucţiile cosiderate sut liiar liiar idepedete. Remarcă: Dacă fucţiile ( ), ( ),, sut liiar depedete, atuci cel puţi ua ditre ele este combiaţie liiară de celelalte. Teorema : Dacă fucţiile ( ), ( ),, ( ) cu derivate pâă la ordiul -, sut liiar depedete pe itervalul [ ab, ], atuci determiatul umit Wroskia-ul sistemului de fucţii ( ), ( ),, ( ) este ul pe itervalul [ ab, ]. W () Demostraţie: Petru simplitate, cosiderăm. Fie fucţiile ( ), ( ), ( ) cu derivate pâă la ordiul doi şi liiar depedete pe itervalul [ ab, ]. Atuci, + + şi cel puţi u i este diferit de zero. Fie. Rezolvăm ecuaţia î şi difereţiem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) W ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Prima coloaă a determiatului este combiaţie liiară de celelalte două coloae a, b. U astfel de determiat este ul. ( ) a, b. W Teorema : Dacă Wroskia-ul W ( ) al uui sistem de fucţii este eul pe u iterval ( a, b), atuci aceste fucţii sut liiar idepedete pe itervalul ( a, b). Teorema : Dacă fucţiile ( ), ( ),, itervalul [ ab, ] şi sut soluţii petru ecuaţia difereţială liiară omogeă: ( ) ( ) + p + + p + p cu coeficieţii pk ( ) fucţii cotiue pe [, ] fucţii este eul pe [ ab, ]. W sut liiar idepedete pe ab, atuci Wroskia-ul sistemului de Teorema 4: Fie ( ), ( ),, liiare şi omogee: ( ) ( ) soluţii particulare ale ecuaţiei difereţiale + p + + p + p

cu coeficieţii pk ( ) fucţii cotiue pe [, ] idepedete pe [ ab, ] Wroskia-ul ( ) ab. Aceste soluţii particulare sut liiar W al sistemului de soluţii este eul. 6.5 Structura soluţiei geerale a uei ecuaţii difereţiale liiară omogeă Teorema : (asupra structurii soluţiei uei ecuaţii difereţiale liiare omogee) O ecuaţie difereţială liiară omogeă: cu coeficieţii k ( ) ( ) + p + + p + p p k,, fucţii cotiue pe itervalul [, ] i i i ab are soluţia geerală: () adică o combiaţie liiară de soluţii particulare i ( ), i,, idepedete pe itervalul [ ab, ].,,, sut costate arbitrare., care sut liiar Di această teoremă rezultă că dacă se cuosc soluţii particulare liiar idepedete ale ecuaţiei difereţiale liiare omogee de ordiul, atuci orice altă soluţie a ecuaţiei poate fi reprezetată ca o combiaţie liiară de aceste soluţii particulare şi aceasta ar fi liiar depedetă î raport cu primele. Astfel, umărul maim de soluţii liiar idepedete al uei ecuaţii difereţiale liiare omogee este egal cu ordiul său. Observaţie: Mulţimea de soluţii a uei ecuaţii difereţiale liiare omogee formează u spaţiu vectorial cu dimesiuea egală cu ordiul ecuaţiei difereţiale. Defiiţie: O mulţime formată di oricare soluţii particulare liiar idepedete ale uei ecuaţii difereţiale liiare omogee de ordiul se umeşte sistem fudametal de soluţii. Teorema : Petru fiecare ecuaţie difereţială liiară omogeă cu coeficieţii k ( ) ( ) + p + + p + p p k,, fucţii cotiue pe itervalul [, ] ab, eistă u sistem fudametal de soluţii (chiar u umăr ifiit de astfel de sisteme fudametale de soluţii).

U sistem fudametal de soluţii defieşte complet ecuaţia difereţială liiară şi omogeă. Dacă se cuoaşte sistemul fudametal,,, î itervalul [ ab, ], ecuaţia difereţială respectivă se poate costrui dezvoltâd după elemetele ultimei coloae determiatul următor: ( ) ( ) W W + ± W Î această relaţie W ( ) este Wroskia-ul sistemului fudametal de soluţii,,, şi W ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) um, W( ) pe itervalul [ ab, ], putem împărţi ultima relaţie cu devie: ( ) ( ) ude, î particular p ( ) W ( ) W ( ) + p + + p + p. / W şi ecuaţia Eemplu: Determiaţi ecuaţia difereţială care are următorul sistem fudametal de soluţii: cos, si. Ecuaţia difereţială se obţie dezvoltâd după ultima coloaă a determiatul: cos si si cos cos si

si cos cos si cos si + cos si cos si si cos si + cos cos si + cos si + cos + si + 6.6 Ecuaţii difereţiale liiare omogee cu coeficieţi costaţi forma: O ecuaţie difereţială liiară omogeă cu coeficieţi costaţi de ordiul doi are + p + p (4) ude p şi p sut umere reale. Petru a determia soluţia geerală a ecuaţiei, trebuie să găsim două soluţii particulare liiar idepedete ale acesteia. ăutăm aceste soluţii de forma: e λ, λ costată Derivăm această fucţie şi o substituim î ecuaţia difereţială (4): ( λ λ ) λ e + p + p Deoarece epoeţiala este eulă, poliomul î λ di parateză trebuie să fie ul. Î coseciţă, fucţia ( ) e λ, este soluţie a ecuaţiei difereţiale umai dacă λ este rădăciă a poliomului di parateză, umit poliom caracteristic, λ + p + (5) λ p Această ecuaţie se umeşte ecuaţie caracteristică î raport cu ecuaţia difereţială (4). Vom ota cu λ şi λ rădăciile poliomului caracteristic. Acestea pot fi: () reale şi disticte () complee () reale şi egale. osiderăm separat fiecare caz: () Dacă rădăciile λ şi λ sut reale şi disticte, atuci soluţiile particulare petru ecuaţia (4) vor fi: e λ şi ( ) e λ Aceste soluţii sut liiar idepedete şi formează u sistem fudametal de soluţii petru ecuaţie. Soluţia geerală va fi de forma (): 4

λ λ e e + (6) cu şi costate arbitrare. Eemple: ) Determiaţi soluţia geerală a ecuaţiei: + Rezolvăm mai îtâi ecuaţia caracteristică: λ λ+ λ λ Soluţia geerală va fi o combiaţie liiară de epoeţiale: + e e ) Determiaţi soluţia geerală a ecuaţiei: 7 + Rezolvăm mai îtâi ecuaţia caracteristică: λ 7λ+ λ λ 4 Soluţia geerală va fi o combiaţie liiară de epoeţiale: 4 + e e 5