Diskretne matematièke strukture

UNIVERZITET U BEOGRADU Fkultt orgnizcionih nuk dr Mirjn Èngloviæ Diskrtn mtmtièk struktur (nrdigovn skript) Bogrd, 997.

SADRŽAJ. UVOD... 3.. RELACIJA. OPERACIJA. FUNKCIJA... 3.. OSNOVNI POJMOVI LOGIKE... 5. MATEMATIÈKA LOGIKA... 6.. ISKAZNI RAÈUN... 6... Iskzn lgr... 6... Iskzn formul i njn vrdnost... 7..3. Prkidèk mrž... 9..4. Bool-ov funkcij... 0..5. Izvoðnj zkljuèk....5. PREDIKATSKI RAÈUN (KVANTIFIKATORSKI RAÈUN)....5.. Prdiktsk formul....5.. Pojvljivnj promnljivih u prdiktskoj formuli... 3.5.3. Intrprtcij prdiktsk formul... 4.5.4. Istinitosn vrdnost prdiktsk formul... 5 3. ALGEBARSKE STRUKTURE... 6 3.. GRUPA... 6 3.. PRSTEN. TELO. POLJE. BOOL-OVA ALGEBRA... 7 4. RELACIJSKE STRUKTURE... 8 4. PARCIJALNO UREÐENI SKUP... 8 4. SUPREMUM. INFIMUM. REŠETKA... 9 5. OSNOVI TEORIJE GRAFOVA... 0 5. DEFINICIJA GRAFA... 0 5.. MATRIÈNA INTERPRETACIJA GRAFA... 5.3 PUTEVI U GRAFU... 3 5.4 NEKI SPECIJALNI GRAFOVI... 4 5.5 STABLO (DRVO)... 5 6. TEORIJA KONAÈNIH AUTOMATA... 7 6. KONAÈNA MAŠINA... 7 6. KONAÈNI AUTOMAT... 30 7. FORMALNI JEZICI. GRAMATIKE... 3 7. FORMALNI JEZICI... 3 7. GRAMATIKE... 3 7.3 VEZA IZMEÐU AUTOMATA I REGULARNIH GRAMATIKA... 35

. Uvod.. Rlcij. Oprcij. Funkcij Df. Urðn n-tork (x, x,..., x n ) j niz lmnt èiji s rdosld tèno zn. (, ) j urðn dvojk. Df. (x, x,..., x n ) (y, y,..., y n ) ko j x y, x y,..., x n y n. Df. Dkrtov (dirktni) proizvod skupov A, A,...,A n j skup A A... An {(,,,n ) i A i, i,,...,n}. n Spcijlno, A A... A A {(,,, ) A, i,,...,n}. Primri: R ( x, y) 3 R (,,c) { x, y R} {,,c R} n i - rln rvn - rlni prostor Df. f j inrn rlcij nd skupovim A i B, ko j inrn rlcij nd A. f A B. Ako j A B, td j f Ako ( x,y) f, kž s "x u rlciji f s y", piš s x f y. Primri: ( x, y) ( x, y) { R x + < } f y - krug u rvni s cntrom (0,0) { R x y} f < - polurvn iznd prv y x. Df. f j rlcij dužin n nd skupovim A, A,...,A n ko j A A... A n A, td j f rlcij dužin n nd A. Ako j f 0/, to j przn rlcij. Ako j f A A... An, to j univrzln rlcij. Ako j n tj. f A, to j unrn rlcij nd A. f A A... An. Ako j Df. Nk su A i B nprzni skupovi. Ako s po nkom prvilu f svkom lmntu iz A pridružuj nki lmnt iz B, td s kž d j f funkcij koj prslikv A u B. 3

A f B U oznci: f : A B, f ( ) A j domn, f ( A) f ( ), - originl, - slik. { A} j kodomn. Df. f j jdnoznèn funkcij ko vži d, z svko x A i y, z B, ko y f (x) i z f (x), ond y z. Jdnoznèn funkcij f s nziv prslikvnj. Df. Prslikvnj f : A B j "n", ko j f ( A) B tj. z svko B postoji A tko d j f ( ). Prslikvnj f : A B j "-", ko vži: z svko x, y A, ko j f ( x) f ( y), ond j x y. Ako j f : A B i "n" i "-", nziv s ijkcij ili uzjmno jdnoznèno prslikvnj. A B Primri: f : N N, f ( x) x + - nij "n", jst "-" Z f N N, jst ijkcij : \{ } 4

f ( x) x f : R R, nij "n", nij "-" { x R x } f : R 0, jst "n", nij "-" f : N N, jst "n", jst "-" Df. f j inrn oprcij nd skupovim A, B, C ko j f prslikvnj A B u skup C. f j oprcij dužin n nd skupovim A, A,, A, n B ko j f prslikvnj A A A n u B. Z n, f j unrn oprcij. Primri: z x + y + : R R z x y : PA PA PA z x oprcij promn znk j unrn... Osnovni pojmovi logik Df. Iskz j rènic koj im smisl i koj j ili istinit ili nistinit (n mož iti i jdno i drugo ili ni jdno ni drugo). Iskz olžvmo s P, Q, R, S. Svkom iskzu pridružujmo istinitosnu vrdnost, u oznci v (P),, v( P) 0, ko j P istinito ko j P l`no (ili T) (ili, L) Primri: Z svki rlni roj x, x 9. (iskz koji j lžn) Kroz tèku A vn prv p prolz r dv rzlièit prv koj n sku prvu p. (ksiom dogovorno tèn iskz u gom. Loèvskog) Ov rènic j lžn (smntièki prdoks circulus vitiosus nij iskz) Df. Prdikt j rènic koj im smisl, sdrži jdnu ili viš promnljivih i njn istinitost zvisi od konkrtnih vrdnosti tih promnljivih. Primri: 5

x i y su rlni rojvi i x + y (prdikt istinit z x y 0, z x y j lžn). Z svki prirodni roj x, x > y (z y <, prdikt j istinit, z y j lžno). Od rènic (iskz i prdikt) s formirju složnij rènic upotrom tzv. logièkih oprcij. Istinitosn vrdnost novih rènic zvisi od istinitosnih vrdnosti rènic koj ih orzuju i utvrðuju s n osnovu ovih vrdnosti. Ngcij "n P" ngcij tènog iskz j ntèn iskz, i ornuto. Konjukcij "P i Q" istinit smo ko su i P i Q istinit. Disjunkcij "P ili Q" istinit ko j r jdn od isky tèn. Implikcij "Ako P, ond Q", - lžn j ko j P istinito, Q lžno, u svim ostlim sluèjvim j istinito. "Iz P sldi Q", "P povlèi Q", "P j dovoljn uslov z Q", "Q j nophodn uslov z P", itd. P j prtpostvk, prmis, Q j posldic, zkljuèk. Ekvivlncij "P ko i smo ko Q" tèno ko su P i Q o tèn ili o ntèn. "P j kvivlntno s Q", "P kko Q", "P j nophodno i dovoljno z Q". v (P) v (Q) v (np) v ( P i Q) v ( P ili Q) v ( ko P ond Q) v( P kko Q) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. Mtmtièk logik Formlizuj postupk doijnj složnih rènic od prostih, utvrðivnj istinitosn vrdnosti ovih rènic u skldu s prvilim isprvnog logièkog zkljuèivnj. Dli s n iskzni rèun i prdiktski rèun... Iskzni rèun formlizuj prvilno zpisivnj iskz, grðnj novih složnih iskz, ko i utvrðivnj istinitosn vrdnosti ovih iskz u zvisnosti od istinitosti iskz koji ih èin. D i s ov formlizcij uspš no izvl, uvodi s pojm iskzn lgr. Df. Dt j skup {, } lmnt iz { }, 0 0... Iskzn lgr 0 i oprcij,,,, dfinisn sldæim tlicm 6

0 lmnt iz { 0, } (, ) (, 0) 0 0 0 (0, ) 0 0 (0, 0) 0 0 Skup {, } 0 sndvn oprcijm,,,, j iskzn lgr. Oprcij iskzn lgr mogu, u opš tm sluèju, iti ilo koj oprcij s prthodnim tlicm. On ovd nos oznk logièkih oprcij, jr logièk oprcij imju ist tlic nd skupom {istinito, nistinito}. Uoièjn oznk z oprcij:, 0 0... Iskzn formul i njn vrdnost Simoli iskzn lgr: promnljiv iskzn lgr: p, q, r, p, q, r,, pn, qn, rn, simoli oprcij:,,,, pomoæni simoli: (, ). Df. Iskzn formul j niz sstvljn od iskznih slov, simol oprcij i zgrd koji j formirn prm sldæim konvncijm formlnog zpisivnj:. Iskzn slov su formul. Ako su A i B iskzn formul, td su i A, ( A B), ( A B), ( A B), ( A B) iskzn formul. 3. Iskzn formul s jdino orzuju konènom primnom. i. Primri: p, p, ( p q), (( p q) ( r q)) - prvilno p, ) p q, p q - nprvilno spoljš nj zgrd mogu s izostviti unutrš nj zgrd mogu s izostviti u skldu s sldæim priorittim oprcij: ), ),, 3), 4). Npr. ( p q) r q. ( A A An ) ( A A An ) A n n A A A n n n i n i A A A A A A i i 7

Iskzn formul z iskznu lgru prdstvlj ono š to prdstvlj lgrski izrz z lgru rojv. Vrdnost iskzn formul A, v( A), doij s kd u A svku promnljivu zmnimo s nkom vrdnoš æu iz { 0, } i izvrš imo sv nznèn oprcij. Ko rzultt s doij ili 0 koj prdstvlj vrdnost formul A z odgovrjuæ vrdnosti promnljivih. (( p q) ( r q )) z p q, r 0 v(( p q) ( r q)) (( ) ( 0 )) ( 0 ) 0 0 Ovkv formlizcij omoguæv jdnoznèno izrèunvnj istinitosnih vrdnosti složnih iskz: Ako sd u iskznoj lgri promnljiv p, q, r smtrmo iskzim, oprcij,,,, oznèvju odgovrjuæ logièk oprcij, 0 znèi lžno i znèi istinito, td iskzn formul prdstvljju prvilno zpisn složn iskz. Istinitosn vrdnost ovkvog složnog iskz s doij ko vrdnost njmu odgovrjuæ iskzn formul n sldæi nèin: Svki s iskz u formuli zmni svojom istinitosnom vrdnoš æu p s izrèun vrdnost formul ko u iskznoj lgri. Vrdnost formul prdstvlj istinitosnu vrdnost iskz. Tko s izrèunvnj istinitosnih vrdnosti složnih iskz svodi n izrèunvnj u iskznoj lgri. Dt su dv trougl ABC i A B C. Ako j α ABC i A B C podudrni ko i smo ko j β Formlizcij: α i AB A B, td su trouglovi β. p: α α, q: AB A B, r: ABC A B C, s: β β Odgovrjuæ formul iskzn lgr: ( p q) ( r s) z p q r s, v(( p q) ( r s)) ( ) ( ) z p q, r, s 0, v(( p q) ( r s)) ( ) ( 0) 0 0 Df. Tutologij j iskzn formul koj z sv moguæ vrdnosti svojih promnljivih im vrdnost. (Tutologij prdstvlj zkon prvilnog formlnog zkljuèivnj.) Nk poznt tutologij. p p. p p (rflksivnost) (iskljuènj træg) 8

3. ( p p ) (nprotivurènost) 4. p p (dvojn ngcij) 5. ( p q) ( q r) ( p r) (trnzitivnost z ) 6. ( p q) ( q p) (kontrpozicij) 7. ( p q) ( q r) ( p r) (trnzitivnost z ) 8. p p p, p p p (idmpotncij z, ) 9. p q q p, p q q p (komuttivnost z, ) 0. ( p q ) r p ( q r ) ( p q) r p ( q r) (siocijtivnost z, ). p ( p q) p, p ( p q) p (psorpcij prm, tj. prm ). p ( q r ) ( p q ) ( p r ) p ( q r) ( p q) ( p r) (distriutivnost) 3. p q p q 4. ( p q) p q ( p q) p q 5. ( p q) ( p q) ( q p) (D Morgnovi orsci) Df. Dv iskzn formul A i B su smntièki kvivlntn ko j A B tutologij tj. ko A i B imju uvk ist vrdnosti z ist vrdnosti promnljivih. Piš s A B. Sd s u svim tutologijm iz. - 5. koj sdrž, znk mož zmniti s...3. Prkidèk mrž Smo on iskzn formul koj sdrž, i, gd s jvlj nposrdno isprd iskznog slov, mogu s intrprtirti ko tzv. prkidèk mrž: Iskzn slov i njihov ngcij s intrprtirju ko dvopolni prkidèi koji mogu iti otvorni (kd n provod struju) i ztvorni kd provod struju. Ako iskzno slovo im vrdnost, prkidè j ztvorn, ko j 0, on j otvorn. Ako su A i B formul koj su væ prikzn ko prkidèk mrž, td j - Z A B, mrž A B - rdn vz - Z A B, mrž - prlln vz 9

A B Prkidèk mrž sdrži rdno ili prllno vzn prkidè, pri èmu su svi prkidèi oznèni istim slovom istovrmno ukljuèni ili iskljuèni. Prkidè s oznkom p j ukljuèn kko j prkidè s p iskljuèn i ornuto. Prkidèk mrž provodi struju kko odgovrjuæ formul im z odgovrjuæ vrdnosti slov (tj. stnj prkidè) vrdnost. Tutologijm odgovr prkidèk mrž koj provodi uvk struju z ozir n stnj svojih prkidè. Ako j A B, td su odgovrjuæ prkidèk mrž kvivlntn tj. z ist položj svojih jdnko oznènih prkidè o provod ili n provod struju. Primri. ) p ( p q) p q p p q ) (( p q) ( p q)) p p p - tutologij p p p p p q q q p Df. Svko prslikvnj { 0, } { 0, }..4. Bool-ov funkcij n, n N, j Bool-ov funkcij. Svk iskzn formul j jdn Bool-ov funkcij èiji j roj promnljivih jdnk roju rzlièitih iskznih slov koj formul sdrži, tj. svkoj iskznoj formuli F odgovr Bool-ov funkcij f tko d j v( F) f ( p, p,, p n ) z sv vrdnosti iskznih slov p, p,, p n iz formul F. Bool-ov funkcij jdn promnljiv p α α α 3 α 4 α 3 odgovr ngciji 0

0 0 0 0 0 Bool-ov funkcij dv promnljiv (im ih 6 ) p q β β β 5 β 0 β 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Z svku Bool-ovu funkciju f postoji iskzn formul F tko d j v( F) f ( p, p,, p n ). O tom govori sldæi stv: Torm. Nk j f p p p n (,,, ) proizvoljn Bool-ov funkcij i n { (,,, n ) { 0, } (,,, n ) } n { (,,, ) { 0, } (,,, ) 0 } B f i B n f n, i p 0 i pi, p i pi. Td j n. Z B 0/, f ( p, p,, pn ) v ( p p pn ) (,,, n ) B - svrš n disjunktivn normln form. Z n B 0/, (,,, ) ( ) f p p pn v p p pn (,,, n ) B - svrš n konjuktivn normln form. p q β 5 0 0 0 0 0 β 5 j implikcij B { 0 0 0 } (, ),(, ),(, ), β β 5 5 0 0 0 ( p q ) ( p q ) ( p q ) ( p q) ( p q) ( p q) B { 0 } 0 0 (, ) β 5 p q p q p q N tj nèin s svk Bool-ov funkcij mož prdstviti pomoæu formul s,,, p i pomoæu prkidèk mrž.

..5. Izvoðnj zkljuèk Df. Formul F j smntièk posldic skup formul F ko vži: Z sv vrdnosti iskznih slov z koj j v( H) z svko H F, vži d j i v( F). Elmnti skup F su hipotz formul F, u oznci F F. Z konèn skup F {F, F,..., F n }, F, F,..., F n F. Torm. F, F,..., F n F ko i smo ko j ( ) Nk prvil zkljuèivnj: F F F F tutologij.. p, p q q - modus ponns (dirktni dokz) p: 988 j dljivo s 4 p q : Ako j N dljivo s 4, td j godin N prstupn q : 988 j prstupn godin. n. p q, q r p r - hipottièki silogizm p q q : Ako j, td j 4 r : Ako j 3 4, td j 4 3 p r : Ako j, td j 4 3. p, q p q - modus tolns (indirktni dokz) - svoðnj n psurd p: U soi im 3 ljudi q p : Ako sv oso imju roðndn rzlièitih msci, td u soi im n viš od oso q : Dv ili viš oso imju roðndn istog msc 4. p q, q p p q - kvivlncij Trougo j jdnkostrnièn kko su mu svi uglovi jdnki.5. Prdiktski rèun (kvntifiktorski rèun)

formlizuj prvilni nèin zpisivnj prdikt nkog mtmtièkog ili drugog jzik, odrðivnj istinitosn vrdnosti prdikt. Pri tom s ulzi u sdržj rènic koj ulz u sstv prdikt..5.. Prdiktsk formul Osnovni simoli kvntittivnog rèun:. promnljiv: x y, z, x, y, z,, x, y, z,, n n n, n n n f, g, h, f, g, h,, f n, g n, hn α, β, γ, α, β, γ, i. konstnt:, c,,, c,,,, c, 3. oprcijski simoli:, 4. rlcijski simoli: 5. simoli logièkih oprcij i kvntifiktori:,,,,,. 6. pomoæni simoli: ml zgrd i zrzi. : univrzlni kvntifiktor, ilo koji, svki, m koji : gzistncijlni kvntifiktor, postoji r jdn, postoji nki. Formlizcij prvilnog zpisivnj prdikt Df. Izrz j niz promnljivih, konstnti, oprcijskih simol, zgrd i zrz koji s formir prm sldæim konvncijm:. Konstnt i promnljiv su izrzi (trmi). Ako su t, t,, t n izrzi, f oprcijski simol dužin n, td j f ( t, t,, t n ) izrz 3. Izrzi s doijju smo pomoæu konèno mnogo primn. i. Primri: x,, f ( x), g( x, y), g( g( x, )), f ( g( x), g( h( x, y))) Ako j f oprcijski simol dužin, td s, umsto f ( x), mož pisti f x, ko j f oprcijski simol dužin, td s, umsto f ( x, y), mož pisti x f y. Df. Ako su t, t,, t n izrzi i α rlcijski simol dužin n, td j α( t, t,, t n ) lmntrn formul. Ako j α rlcijski simol dužin, td s, umsto α( x, y ), mož pisti x α y. Primri: α( x, y), α( f ( x, y)), α( f ( x, y), ), α( x, y, f ( x), z) Df. Prdiktsk formul s dfiniš prm sldæim konvncijm:. Elmntrn formul j prdiktsk formul 3

. Ako su A i B prdiktsk formul i x promnljiv, td su ( A),( A B),( A B ), ( A B),( A B),( x) A,( x) A prdiktsk formul 3. Prdiktsk formul s doijju smo pomoæu konèno mnogo primn. i. U prdiktskoj formuli mogu s izostviti spoljš nj zgrd, i nk unutrš nj prm priorittu logièkih oprcij. Primri: () ( x)( y)( α( x, y) α( f ( x), f ( y)) () ( x) α( x, y) ( y) α( x, y) (c) α( x, y) ( z) β( y, f ( x, z)).5.. Pojvljivnj promnljivih u prdiktskoj formuli Df. Pojvljivnj promnljiv x u formuli F j vzno, ko j olik ( x ) ili ( x ) ili ko s x pojvljuj u nkoj formuli A, pri èmu j ( x) A ili ( x) A podformul formul F. Ako pojvljivnj x nij vzno ono j sloodno. Df. Sloodn promnljiv formul F j promnljiv koj im r jdno sloodno pojvljivnj u toj formuli. Vzn promnljiv formul F j promnljiv èij su sv pojvljivnj u toj formuli vzn. Primri: Sv promnljiv u formuli () su vzn. x, y, iz formul () su sloodn promnljiv. x, y su sloodn, z vzn u formuli (c). Ako su sv promnljiv u jdnoj formuli vzn, td s ov formul zov ztvorn formul. Tkv formul prdstvljju rènic kojim s mož dirktno odrditi istinitosn vrdnost, p on, u stvri, prdstvljju iskz. Ako su x, x,, sloodn promnljiv formul F, td s piš F( x, x,, x n ). x n.5.3. Intrprtcij prdiktsk formul Df. Urðn pr (, ) D ϕ j intrprtcij formul F, ko j D nprzn skup koji prdstvlj olst dfinisnosti svih promnljivih i konstnti iz formul F, ϕ prslikvnj koj: svkoj konstnti iz formul F dodljuj odrðn lmnt iz D, svkom oprcijskom simolu dužin n dodljuj konkrtnu n-rnu oprciju nd D, 4

svkom rlcijskom simolu dužin n dodljuj konkrtnu n-rnu rlciju u D. D s nziv domn intrprtcij formul F. Primri: ( x)( y) α( f ( x, y), f ( y, x)). D R, ϕ: f +, α ( x)( y) x + y y + x. D PA, ϕ: f, α ( x)( y) x y y x 3. D { 0, }, ϕ: f, α ( x)( y) x y y x Prdikt prdstvlj prdiktsku formulu koj j intrprtirn. Df. Broj sloodnih promnljivih u jdnom prdiktu prdstvlj dužinu tog prdikt. Prdikt dužin 0 prdstvlj iskz..5.4. Istinitosn vrdnost prdiktsk formul Istinitosn vrdnost prdiktsk formul mož s odrditi smo ko j t formul intrprtirn tj. istinitosn vrdnost formul zvisi od njn intrprtcij i vrdnosti njnih sloodnih promnljivih. Formlizovni postupk utvrðivnj istinitosn vrdnosti:. Ako intrprtirn formul im dužinu 0, njn istinitosn vrdnost s odrðuj dirktno ulžnjm u sdržj rènic.. Ako j dužin intrprtirn formul væ od 0, tr fiksirti vrdnosti svih sloodnih promnljivih formul. 3. Z fiksirn vrdnosti sloodnih promnljivih izrèunti vrdnosti svih izrz koji ulz u formulu (tj. izvrš iti nznèn oprcij nd konstntm iz D i doiti ko rzultt konstntu iz D). 4. Odrditi z tko doijn vrdnosti izrz, vrdnosti lmntrnih formul iz formul ko:, ( v( t), v( t ),, v( tn )) α v( α( t, t,, tn ). 0, drugcij 5. Nd vrdnostim lmntrnih formul ( ili 0) izvrš iti logièk oprcij,,,, ( u domnu iskzn lgr). 6. U sluèju d s u podformulm jvljju kvntifiktori, td 5

v(( x) A) v( A), ko A n sdrži x ko sloodnu promnljivu v(( x) A) v( A), ko A n sdrži x ko sloodnu promnljivu, ko j v( A) z svko x D v(( x) A( x)) 0, drugcij, ko j v( A) z r jdno x D v(( x) A( x)) 0, drugcij Primri: α( f ( x, y), z)) α( y, f ( x, z)) β( y, z) Intrprtcij: f :+, α:<, β: x + y < z y < x + z y z Z x, y 3, z : + 3 < 3 < 3 3 v( + 3 < 3 < 3 3 ) v( 4 < 3 < 3 3 ) 0 0 0 0 0 Z x, y, z 4: + < 4 < + 4 4 v( 3 < 4 < 5 4) 0 0 0 Df. Formul j tèn pri intrprtciji ( d, ϕ ) ko z sv vrdnosti sloodnih promnljivih im vrdnost pri toj intrprtciji. Df. Formul koj j tèn pri svkoj intrprtciji j vljn formul.. Ako s u nkoj tutologiji svk promnljiv zmni s nkom prdiktskom formulom (istoj promnljivoj odgovr ist formul), doij s prdiktsk formul koj j vljn. Primri: F F, F F F F, F F F F, itd.. ( x) A( x) ( x) A( x) ( x) A( x) ( x) A( x) ( x)( y) A( x, y) ( y)( x) A( x, y) ( x)( A( x) B( x)) ( x) A( x) ( x) B( x) ( x)( A( x) B( x)) ( x) A( x) ( x) B( x) vljn formul Df.. Formul A i B su smntièki kvivlntn, ko j A B vljn formul 3. Algrsk struktur Df. Binrn oprcij f u skupu S j ztvorn, ko Osoin ztvorn inrn oprcij * u skupu S: ( x, y S) xfy S 6

7. x y S y x S y x ), ( (komuttivnost) (K). ) ( ) ( ),, ( z y x z y x S z y x (socijtivnost) (A) 3. S S ) ( ) ( (nutrlni ili jdinièni lmnt) (N) S S ' ) ( ) ' ( ( - lvi nutrlni lmnt) (LN) S S ' ' ) ( ) ' ' ( ( - dsni nutrlni lmnt) (DN) 4. S S ) ( ) ( (invrzni lmnt) (I) Df. Nprzn skup S sndvn s jdnom ili viš ztvornih oprcij f, f,..., f n ilo koj dužin nziv s lgrsk struktur (ili lgr), u oznci (S, f, f,..., f n ). 3.. Grup Df. Spcijlno, z n, skup S sndvn jdnom inrnom ztvornom oprcijom j grupoid, u oznci (S, *). Primri: (R,+), (R, ), (Q,+), (Z, ) Df. Ako grupoid (S,*) zdovoljv i uslov d j * socijtivn, td j (S, *) polugrup, * j (A) i (N), td j (S, *) monoid, * j (A), (N), (I), td j (S, *) grup, * j (A), (K), (N), (I), td j (S, *) Alov grup. Primri: (N, +), (N, ) - komuttivni monoidi (PA, ), (PA, ) - komuttivni monoidi (Z, +), (Q, +), (R, +) - Alov grup (R\{0}, ), (Z\{0}, ) - Alov grup ({, -}, ) - Alov grup Torm. Ako j (S,*) grup, njn nutrlni lmnt j jdinstvn. Dokz: Ako postoj dv nutrln lmnt, ( ) ( x x x x x x S x Torm. Ako j (S,*) grup, svki njn lmnt im jdinstvni invrzni lmnt. Dokz: Ako postoj dv invrzn lmnt, lmnt td j * ) * ( ) * ( Df. Ako j (S,*) i (S, ) dv grupoid, td su ovi grupoidi izomorfni, ko postoji ijkcij f S n S tko d vži: ) ( ) ( ) ( ), ( y f x f y x f S y x

+lny. grup. (R +, ) j izomorfno s (R, +), jr postoji ijkcij lnx: R + R, tko d j ln(x z)lnx Izomorfni grupoidi su ist struktur. Ako j jdn od njih grup, i onj drugi mor iti 3.. Prstn. Tlo. Polj. Bool-ov lgr Posmtr s lgrsk struktur (S, *, ), gd su * i inrn ztvorn oprcij n S. Oprcij j distriutivn u odnosu n *, ko vži ( x, y, z S) ( x y) z ( x z) ( y z) ( x, y, z S) x ( y z) ( x y) ( x z) -(DD) dsn distriutivnost -(LD) lv distriutivnost Df. (S,*, ) j prstn, ko j (S,*) Alov grup, (S, ) polugrup, j distriutivn prm *. Ako j komuttivn oprcij, to j komuttivn prstn. Primri: (Z, +, ) Df. (S,*, ) j tlo, ko j (S,*) Alov grup, (S \ { 0}, ) grup (0 j nutrlni lmnt oprcij *) j distriutivn prm *. Df. Tlo (S,*, ) j polj, ko j (S { 0}, Primri: (R, +, ) \ ) Alov grup. Df. (S,*, ) j Bool-ov lgr, ko j *, su (A) i (K). * i su oostrno distriutivn. postoji nutrlni lmnt oprcij * i nutrlni lmnt oprcij. x S) ( x' S)( x * x' x x' ) ( Primri: (P,, ) i ({0,},, ) 8

4. Rlcijsk struktur 4. Prcijlno urðni skup Osoin inrn rlcij r u skupu S:. ( x S) xρx - rflksivnost. ( x, y S) x ρ y y ρ x - simtriènost ( x, y S) x ρ y y ρ x x y 3. - ntisimtriènost ili x y x ρ y y ρ x 4. ( x, y, z S) x ρ y y ρ z x ρ z) - trnzitivnost ρ j rlcij kvivlncij, ko zdovoljv,, 4. ρ j rlcij portk, ko zdovoljv,3, 4. Df. Nprzn skup S sndvn nkom rlcijom portk ρ nziv s prcijlno urðn skup, u oznci (S, ρ). Primri: (R, ), (P, ), (N, /) Df. Prcijlno urðn skup (S, ρ) j lnc ko su mu svk dv lmnt urdiv tj. vži. ( x, y S) ( x ρ y y ρ z) Primri: (R, ) - lnc (N, /), (P, ) nisu lnci Df. Njmnji lmnt skup (S, ρ):( y S) ρy. Njvæi lmnt skup (S, ρ):( y S) yρ. Minimlni lmnt skup (S, ρ): ( y S) (y y ) Mksimlni lmnt skup (S, ρ): ( y S) (y y). Svki njmnji (njvæi) lmnt j i minimlni (mksimlni). Kod lnc j svki minimlni (mksimlni) lmnt njmnji (njvæi) lmnt. Primri: (PA, ), A{,, 3}, j njmnji, A njvæi lmnt. (PA \ {, A}, ) - {}, {}, {3} - minimlni lmnti {,}, {,3}, {,3} - mksimlni lmnti Torm. Ako postoj njvæi ili njmnji lmnt, oni su jdinstvni Dokz: Ako postoj dv njvæ lmnt,, td y S y y ρ ρ ρ ( ) ρ 9

4. Suprmum. Infimum. Rš tk Df. Nk j (S, ρ) prcijlno urðn skup i S S. Td j S gornj (donj) mð skup S, ko j ( y S ) y ρ tj. ( y S ) ρ y Suprmum skup S j njmnji lmnt u skupu gornjih mð skup S. Infimum skup S j njvæi lmnt u skupu donjih mð skup S. Primri: - (R, ), S {-, }: donj mð -, inf S - gornj mð, sup S - (N, ), gd j ( k N) k, S {, 30} gornj mð: 60k, k,,.., sup{, 30}60 donj mð:,3,6 inf{, 30}6 Df. Prcijlno urðn skup (S, ρ) j mrž ili rš tk ko svk dv njgov lmnt imju suprmum i infimum. Torm. Svki lnc j rš tk. Primri: ) (N, ), sup (, ) njmnji zjdnièki sdržlc (,) inf (, ) njvæi zjdnièki dlilc (,) ) (S, ρ) S {0,, 6}, ρ {(0, 0), (, 0), (6, 0), (, ), (, 6), (6, 6)} S {0, 6} S {0, } S {, 6} donj mð :, 6, gornj mð : 0, donj mð :, gornj mð : 0, donj mð :, gornj mð : 0, 6 infs sups 6 0 infs sups 0 infs sups 6 5. Osnovi torij grfov 5. Dfinicij grf 0

Df. Ako j X nprzn konèn skup i ρ inrn rlcij u X, td s urðni pr G(x,ρ) nziv grf. Elmnti skup X su èvorovi, lmnti skup r grn (ivic) grf. Gomtrijsk prdstv grf: èvorovi grf iz X s prikzuju ko mðusono rzlièit tèk rvni ili prostor. Ako (x,y) ρ, td odgovrjuæ tèk spjmo nprkidnom linijom koj s orijntiš od x k y. Ako (x,y) ρ, odgovrjuæ tèk nisu povzn linijom. X {,, c, d}, p {(, ),(, ),(, c),(, d ),(, ),(, d ),( c, ) } d c Ivic koj spj èvor s smim soom zov s ptlj. Svkoj rlciji s mož pridružiti grf ko gomtrijsk prdstv i svkom grfu ko figuri s mogu pridružiti nk inrn rlcij u skupu èvorov. Osoin inrnih rlcij n grfu:. Rflksivnost: svki èvor grf im ptlju.. Simtriènost: izmðu svk dv rzlièit èvor gd postoji ivic, postoji i ivic u suprotnom smru. 3. Antisimtriènost: svk dv rzlièit èvor imju njviš jdnu ivicu koj ih spj. 4. Trnzitivnost: z svki pr ndovznih ivic (x,y) i (y,z), postoji ivic (x,z) koj ih ztvr. y x z X 0,,6, p { } {(0,0),(,0),(6,0),(,),(,6),(6,6)} 0 -Rlcij portk 6

Df. Ako j kod grf (X, ρ) rlcij ρ ntisimtrièn, grf j orijntisn. Ako j kod grf (X, ρ) rlcij ρ simtrièn, grf j norijntisn. Kod norijntisnog grf s svi provi grn koj spjju èvorov zmnjuju jdinstvnim norijntisnim grnm. c zmnjuj s c Postoj i grfovi koji nisu ni orijntisni ni norijntisni. Postoj i drugèij dfinicij norijntisnog grf: Df. Urðni pr (X, U), gd j X nprzn skup, U {( x y), x, y X } nziv s orijntisni grf. Urðni pr (X, U), gd j X nprzn skup, U {( x y), x, y X } nurðnih prov iz X, j norijntisni grf. Primri: X,, c, U (, ),(, ),(, c),(, c) (X,U), { } { }, i ntisimtrièno j,, tj. U j podskup skup c - norijntisn grf. 5.. Mtrièn intrprtcij grf Df. Nk su svi èvorovi nkog grf (X,ρ) urðni po nkom proizvoljnom portku u niz

x, x,..., x n.,(x i x j) ρ,. Mtric A ij, kod koj j nxm ij 0, drugcij j mtric susdstv grf (X, ρ). Mtric susdstv norijntisnog grf j simtrièn tj. ij ji z svko i,j {,,..,n}. Z mtricu susdstv orijntisnog grf vži d j ( i, j, i j) ij ji 0. Z ii, postoji ptlj u èvoru x i. Df. Nk su svi èvorovi i ivic norijntisnog grf (X,ρ) urðni u nizov x, x,..., x n tj. i, i,..., i m. Mtric B ij nxm, kod koj j ij, ko j x i jdn od krjnjih tck ivic i 0, drugcij j. d c 0 A c 0 d 0 0 0 0 c 0 0 d 0 0 0 (, ) A c c 0 (, c) 0 (, c) 0 5.3 Putvi u grfu Df. Zdt j grf G(X,ρ). Niz ivic iz ρ (x, x ), (x, x 3 ),..., (x n-, x n ) j put dužin n grf G od x do x n. (x j poètni, x n zvrš ni èvor). Ivic i èvorovi u putu s mogu ponvljti. Df. Ako s svi èvorovi nkog put rzlièiti, td j to lmntrni put (prolzi kroz svki èvor put smo jdn put). Df. Ako j x x n, td s put nziv ztvotni put. Umsto (x, x ), (x, x 3 ),..., (x n-, x n ) piš s x, x,..., x n. - d - c - - df - c - nij lmntrni put c f 3

- d c f c d - nij lmntrni, li j ztvorn - d c f - otvorn i lmntrn - d c,, c f c ztvorn i lmntrn Df. Nk j G(X,U) norijntisni grf. Niz ivic iz U {x, x }, {x, x 3 },..., {x n-, x n } j lnc u G od x do x n. (x j poètni, x n zvrš ni èvor). Ivic i èvorovi u putu s mogu ponvljti. Df. Ako s svi èvorovi lnc rzlièiti, to j lmntrni lnc. Df. Ako j x x n, lnc s nziv ciklus.,, c, d,, - lnc, li n lmntrni f,,, d - lmntrni lnc, f,,, d, c, - ciklus li n lmntrni, f c, d, - lmntrni ciklus c d Df. Ako j (X,ρ) norijntisni grf z ptlji, lnc koji prolzi tèno jdn put kroz sv ivic grf j Eulr-ov lnc. (isto vži i z orijntisni grf i Eulrov put) Df. Ako j (X, ρ) norijntisni grf, lnc (ciklus) koji kroz sv èvorov prolzi tèno jdn put j Hmiltonov lnc (ciklus). (Isto vži i z orijntisni grf, Eulrov put i Hmiltonov put). Primri: c Eulrov put: --c-d--f-- Hmiltonov put: n postoji d f c Nm ni Eulrov ni Hmiltonov put d 4

,,c,d,f,, Hmiltonov put d,c,,,c,,d,f,,,f Eulrov put c f d 5.4 Nki spcijlni grfovi Potpun grf K n Svk dv èvor spojn su ivicom Grf-ciklus C n Ivic orzuju ciklus Grf-put P n Ivic orzuju put Nul-grf N n Grf sdrži smo èvorov Potpuni ipritni grf K n,m Skup èvorov s mož podliti n dv skup, tko d èvorovi u istom skupu nisu spojni, svk dv èvor iz rzlièitih skupov su spojni K 3, K,n zvzd Mrž Orijntisni grf koji n srži ni jdn ytvorni put niti ptlju 5

5.5 Stlo (drvo) Df. Stlo j norijntisni grf z ptlji kod kog izmðu ilo koj dv èvor postoji jdinstvni lmntrni lnc. Primri: Df. Stlo s kornom (ukornjno ili orijntisno stlo) j stlo kod kog postoji spcijlno uoèni èvor koji prdstvlj korn. Nivoi 0 Visin stl: 3 c d f g h 3 Df. Nivo èvor x nkog stl j dužin lmntrnog lnc od korn do tog èvor (korn im nivo 0). Visin (dužin) stl j njvæi nivo èvor u stlu. Trminologij u ukornjnom stlu Ako j dt lmntrni lnc od korn do nkog èvor, npr.,, f, h do h td j f roditlj (otc) od h, h j dt (sin) od f,,, f su prci od h, h j potomk od,, f, g i h ræ, ko nki èvor nm dc, zov s list. Ako nki èvor nij list, on j èvor grn. Df. Èvor x nkog stl zjdno s svim svojim potomcim prdstvlj podstlo ovog stl s kornom x. 6

Df. Binrno stlo j ukornjno stlo gd svki èvor im njviš dv dtt Èvor x nkog (lvo ili dsno). Primri: Primri: Stlo prtrživnj u zm podtk, gd s svkom èvoru stl pridružuj nki podtk, tko d j podtk u lvom podstlu uvk mnji od podtk u dsnom podstlu. 7 O 4 3 A u 7 9 45 AB AN T T 6 9 37 99 6. Torij konènih utomt - formuliš pstrktn modl rd sistm koji s mož opisti n sldæi nèin: ulz u t stnj s t izlz i t Sistm s posmtr u diskrtnim vrmnskim trnucim t (t0,,, ) i u svkom od njih g krktriš nko stnj s t u kom s nlzi. U svkom trnutku t n ulz u sistm dolzi nki ulzni signl u t koji izziv (vntulno) mnjnj njgovog stnj u stnj s t i n izlzu izlzni signl i t. Poš to stnj s t i izlz i t zvis, n smo od ulz u t væ i od prthodnog stnj sistm s t- n kog ovj ulz nilzi, ovkv jdn sistm rdi s nkom vrstom primitivn unutrš nj mmorij. 7

6. Konèn mš in Sd s strktni modl koji opisuj rd ovkvog sistm mož dfinisti n sldæi nèin: Df. Konèn mš in s sstoji od: - konènog skup U ulznih simol, - konènog skup I izlznih simol, - konènog skup S stnj, - funkcij prlz stnj f:s U S, gd f(s,u)s znèi d,ko ulz u doð u sistm koji j u stnju s,td s stnj mnj u s, - funkcij izlz g: S U I, gd g(s,u)i znèi d,ko ulz u doð u sistm koji j u stnju s,td j izlz i, - poètnog stnj sistm σ* S. Ovkv konèn mš in s oznèv s M(U,I,S,f,g, σ*). U{,}, I{0,}, S{σ 0,σ }, σ* σ 0 u f g ili f(σ 0,) σ 0 g(σ 0,) 0 s f(σ 0,) σ g(σ 0,) σ 0 σ 0 σ 0 f(σ,) σ g(σ,) σ σ σ 0 f(σ,) σ g(σ,) 0 Jdn konèn mš in s mož u potpunosti dfinsti koriš ænjm tkozvnog dijgrm prlz. Df. U dijgrmu prlz z konènu mš inu M(U,I,S,f,g,σ*) svko stnjσ iz S s prdstvlj ko nki èvor ovog dijgrm. Od èvor σ do èvor σ postoji orijntisn ivic ko postoji ulz u, u U, tkv d vži f(σ,u)σ. Ako j, pri tom, g(σ,u)i, ovoj ivici s dodljuj oznk u/i. Èvor koji prdstvlj poètno stnj σ* oznèn j strlicom. Dijgrm prlz z konènu mržu iz prthodnog primr im olik: /0 / / σ 0 σ Sd s rd konèn mš in M mož opisti n sldæi nèin: N ulzu u mš inu s nlzi jdn niz ulznih simol (ulzni niz). Polzæi od poètnog stnj, svki od ovih simol prvodi sistm iz stnj u stnj (u skldu s funkcijom prlz) /0 8

pri èmu s gnriš odgovrjuæi izlzni simol (u skldu s funkcijom izlz). Ovj niz izlznih simol (izlzni niz) s zto mož formlno dfinisti n sldæi nèin: Df. Niz y, y,, y n, j izlzni niz mš in M koji odgovr ulznom nizu x, x,, x n ko postoji niz stnj σ 0, σ,, σ n, S tko d j σ 0 σ* σ i f(σ i-, x i ), i, n y i g(σ i-, x i ), i, n Ako j n ulzu konèn mš in iz primr ni x, odgovrjuæi niz stnj kroz koj mš in prolzi j σ 0, σ 0, σ 0, σ, σ, σ, σ, σ. Odgovrjuæi izlzni niz j y0000. Mnog oprcij koj s viš u digitlnom rèunru mogu s prikzti ko konèn mš in. x t y t sirc z t c t- c t zstoj Srijski sirè sir dv inrn roj x0 x n x n- x 0 i y0 y n y n- y 0. N ulzu s u diskrtnim vrmnskim trnucim t0,,,n+ nlz provi (x 0, y 0 ),,(x n, z n ), (0, 0). Stnj sirè u trnutku t s krktriš prnosnim itom c t, tj. prnosom n sldæ cifrsko msto pri sirnju u trnutku t. Sirnjm inrnih cifr x t, y t i prthodnog stnj c t-, doij s ko izlz inrn cifr z t i mnj s stnj sirè u c t. Rzultt sirnj j izlzni niz z n+ z n,,z 0. Sirè s mož prikzti ko konèn mš in n sldæi nèin: Skupovi ulznih i izlznih simol su U{00,0,0,} i I{0,}. Skup stnj j S{σ 0,σ }, gd σ 0 oznèv d nm prnos n sldæ cifrsko msto, dok σ oznèv d tkv prnos postoji. Sd s dijgrm prlz ov mš in mož prikzti ko: 0/0 00/0 0/ 00/ σ 0 σ /0 0/0 0/ / 9

Ako tr srti dv linrn roj x000 i y0, td ovom sirnju odgovr ulzni niz (0,), (,), (,0), (0,0), njmu odgovrjuæi izlzni niz prthodno dfinisn konèn mš in j z 00, š to j i rzultt sirnj. Koriš ænjm konèn mš in s mogu formlno prikzti mnogi postupci koji imju z cilj d n odrðni nèin prpoznju unprd zdt osoin ulznog niz. Konèn mš in dfinisn dijgrmom prlz: 0/0 /0 / /0 0/0 / σ σ 0 σ 0/0 σ 3 0/ dj n izlzu èim rgistruj 0 u ulznom nizu i ndlj. U ostlim sluèjvim dj 0. Mðutim, z nk osoin ulznih nizov, n mogu s formirti konèn mš in koj i ih prpoznl. N postoji konèn mš in koj n ulzu im niz 0 i i dj izlz uvk kd j roj i 0 jdnki, u ostlim sluèjvim dj 0. Stvrno, stnj ovkv mš in trlo i d udu σ 0 isti roj i 0 σ roj væi z od roj 0 σ σ roj væi z od roj 0 σ roj 0 væi z od roj roj 0 væi z od roj Mðutim, trlo i d ud skonèno mnogo stnj, p konèn mš in n mož d s formir n tkvom skupu stnj. 30

/0 /0 σ σ 0 σ 0/ 0/0... / 0/0 σ /0 0/0 σ... 6. Konèni utomt Spcijlni sluèj konèn mš in su konèni utomti. Oni su od posnog inrs, jr su vzni z formln jzik i grmtik. Df. Konèni utomt A( U,I,S,f,g,σ*) j tkv konèn msin kod koj j I{0, } i gd j izlz odrðn sldæim stnjm mš in. Drugim rèim, kod konènih utomt vži d, ilo kko doš li u nko stnj, dju uvk isti izlz tj. u njihovom dijgrmu prlz sv ivic koj ulz u isto stnj imju isti izlz. /0 / / / σ 0 /0 σ /0 σ U ovoj konènoj mš ini z svko stnj vži d sv ivic koj ulz u njg imju isti izlz. Zto on prdstvlj konèni utomt. Stnj z koj vži d uvk kd j utomt u njim dju izlz zovu s prihvtjuæ stnj. Sd s konèni utomt mož dfinisti n drugèiji nèin: Df. Konèni utomt A s sstoji od: konènog skup U ulznih simol, konènog skup S stnj, funkcij prlz stnj f: U S S, podskup A S prihvtjuæih stnj, polznog stnj σ* S. U oznci A (U,S,f,A,σ*). σ 0 σ 3

U dijgrmu prlz konènog utomt s prihvtjuæ stnj olžvju s, oznk izlz s n nvod. Konèni utomt iz prthodnog primr s mož prikzti ko: σ 0 σ σ Svkom ulznom nizu konènog utomt A odgovr jdn orijntisni put koji polzi od poètnog stnj σ o. Ako s tj put zvrš v u nkom prihvtjuæm stnju, td A prihvt (prpoznj) tj ulzni niz. Pojm prihvænog ulznog niz mož d s dfiniš n sldæi nèin: Df. Automt A(U,S,f,A,σ*) prihvt (prpoznj) ulzni niz x, x,, x n, ko postoji niz stnj σ o,σ,, σ n,tkvih d j σ o σ * f(σ i- x i ) σ i, i B σ n A. ij nx Skup svih ulznih nizov koj utomt A prpoznj oznèv s s Ac(A). Konèni utomt iz prthodnog primr prihvt ulzni niz, jr s odgovrjuæi niz stnj zvrš v s σ. Ovj utomt n prihvt, jr s odgovrjuæi niz stnj zvrš v u σ o. Konèni utomt j u suš tini jdn lgoritm koji odluèuj d li j ili n zdti niz prihvtljiv. Èsto tr næi tkv konèni utomt koji prpoznj (prihvt) sv nizov s tèno odrðnim osoinm i smo njih. Automt koji prpoznj sv nizov nd skupom {, } koji sdrž nprn roj mož s dfinisti sldæim dijgrmom prlz. σ 0 σ gd σ o oznèv stnj u kom j roj prn, σ stnj u kom j roj nprn. 3

Df. Dv konèn utomt A i A su kvivlntn ko prpoznju isti skup nizov tj. Ac(A) Ac(A ) Dv utomt σ 0 σ i σ 0 σ σ su kvivlntn, jr o prpoznju nizov koji s sstoj smo od. 7. Formlni jzici. Grmtik 7. Formlni jzici U opš tm sluèju jzik j skup rèi i mtod z njihovo kominovnj koji s koristi i "rzum" od strn odrðn zjdnic. Prvil formirnj rèi u ovkvim prirodnim jzicim su vom komplksn i tš k z krktrizciju. Formlni jzici i grmtik modlirju i formlno opisuju prirodn jzik i prvil formirnj njihovih rèi, u cilju lkš komunikcij s rèunrom. Df. Nk j A nki konèn skup. Formlni jzici L nd zukom A j poskup od A*, gd j A* skup svih nizov (rèi) nd A.. Z A{,}, jzik L mož d sdrži skup svih nizov nd A koji imju nprn roj tj. L {,,,,,,...} 7. Grmtik Df. Grmtik G s sstoji od: konènog skup N nzvrš nih slov, konènog skup T zvrš nih slov, gd N T konènog podskup P [(N T)*-T*] (N T)* koji s nziv skup prvil izvoðnj 33

polznog slov σ* N. U oznci G(N,T,P, σ*) Ako (A,B) P, td s to èsto oznèv s A B. A (N T)*-T* i B (N T)* tj. A i B su nizovi koji s sstoj od nzvrš nih i zvrš nih slov tko d A mor d sdrži r jdno nzvrš no slovo, dok B mož d s sstoji smo od zvrš nih. Polzæi od zdt grmtik G mož s gnristi nki jzik tj. koristæi prvil ov grmtik mogu s izvsti nizovi (rèi) ovog jzik. Df. Zdt j grmtik G (N,T,P,σ*). Ako j α β nko njno prvilo, tj. (α,β) P, i xαy (N T)*, td j xβy dirktno izvodivo iz xαy, u oznci xαy xβy. Ako α i (N T)* z i, n i α i α i+ z i, n, td jα n izvodivo iz α, u oznci α α n. Jzik L(G) gnrisn grmtikom G, L(G) j skup svih nizov nd T izvdn iz σ*. Primr : Grmtik G (N, T, P, σ*) j zdt s N{σ*, S}, T{, } i P{σ* σ*, σ* S, S S, S }. N osnovu prvil S S niz S j dirktno izvodiv iz S tj. S S. Tkoð, σ* pomoæu niz izvoðnj σ* σ* σ* S. Odrdimo opš ti olik rèi nd T izvdn iz poètnog slov σ* ov grmtik: σ* σ*... n σ* n S n S... n m S n m+, z m 0 i n 0, gd k oznèv k uzstopnih pojvljivnj slov u rèi. To znèi d jzik L(G) gnrisn grmtikom G sdrži sv rèi ovog olik i smo njih tj. sdrži sv on nizov nd {,} koji sdrž smo jdno zvrš vju s s. Npomnimo d j u opš tm sluèju z zdtu ilo kkvu grmtiku G tš ko næi olik opš tg èln njnog jzik L(G). Osnovu jdn grmtik èin njn skup prvil izvoðnj. Pomoæu ovih prvil s, polzæi od poètnog slov i koristæi dv disjunktn skup slov, izvod rèi jzik ov grmtik i to nd skupom zvrš nih slov ko njgovom zukom. Nzvrš n slov služ smo ko pomoæni simoli pri ovom izvoðnju. Grmtik i njn prvil mogu s kondnzovnij prikyti pomoæu tzv. Bckus-ov normln form (BNF). Df. U Bckus-ovoj normlnoj formi s prikzuju: nzvrš n slov izmðu uglstih zgrd <...>, prvil S T ko S::T, prvil S T, S T,..., S T n ko S::T T... T n. 34

Grmtik iz Primr. mož s prikyti u oliku BNF ko <σ*>::<σ*> <S> <S>::<S> Mnogi poznti skupovi iz lgr rojv mogu s prikzti ko jzici gnrisni odrðnim grmtikm koj dfiniš u prvil formirnj lmnt ovih skupov. Primr : Ako s co roj shvti ko niz cifr od 0 do 9, isprd kog stoji (novzno) + ili -, td s skup svih clih rojv mož smtrti jzikom gnrisnim sldæom grmtikom: <cifr>::0 3 4 5 6 7 8 9 <co roj>::<oznèn co roj> <noznèn co roj> <noznèn co roj>::<cifr> <cifr><noznèn co roj> Polzno slovo : <co roj> Sd s co roj 980 mož izvsti iz poètnog slov sldæim nizom izvoðnj: <co roj> <oznèn co roj> -<noznèn co roj> -<cifr><noznèn co roj> -<cifr><cifr><noznèn co roj> -<cifr><cifr><cifr> - 9<cifr><cifr> -98<cifr> -980. U zvisnosti od olik prvil nk grmtik postoj tri tip grmtik (prm klsifikciji Èomskog): Df. Nk j G(N, T, P, σ*) nk grmtik i λ przn niz (rè). ) Ako j svko prvilo izvoðnj grmtik G olik αaβ αδβ, gd j α,β (N T)*,A N, δ (N T)*\ {λ}to j kontkstno zvisn grmtik. ) Ako j svko prvilo izvoðnj grmtik G olik A δ z A N, δ (N T)*\ {λ}, to j kontksno sloodn (nzvisn) grmtik, c) Ako j svko prvilo izvoðnj grmtik G olik A α ili A αb, gd j A,B N, α T*\{λ}, to j rgulrn grmtik. Svk rgulrn grmtik j i kontkstno sloodn, svk kontkstno sloodn j i kontkstno zvisn. Grmtik iz Primr. j rgulrn, iz Primr. j kontksno sloodn. Df. Jzik L j kontkstno zvisn (sloodn, rgulrn) ko postoji kontkstno zvisn (sloodn, rgulrn) grmtik G tko d j LL(G). Primr 3: U Primru prikzno j d postoji jdn kontkstno sloodn grmtik koj gnriš skup clih rojv. Mðutim, skup clih rojv mož s gnristi i sldæom grmtikom: 35

<co roj>::+<noznèn co roj> -<noznèn co roj> *<noznèn co roj> <noznèn co roj>::0 3 4 5 6 7 8 9 0<noznèn co roj>... 9<noznèn co roj> Polzno slovo : <co roj>, gd j * zvrš no slovo koj oznèv lnko. Ov grmtik j rgulrn, p j zto skup clih rojv jdn rgulrn jzik. Df. Grmtik G i G su kvivlntn, ko j L(G )L(G ). Grmtik iz Primr i 3 su kvivlntn, jr gnriš u isti skup skup clih rojv. 7.3 Vz izmðu utomt i rgulrnih grmtik Mož d s pokž d s z svki konèn utomt A mož konstruisti rgulrn grmtik G tko d s jzik L(G) poklp s skup A c(a) svih nizov koj tj utomt prpoznj. Tvrðnj: Nk j A(U,S,f,A,σ*) konèni utomt i G(N, T, P, σ*) grmtik kod koj j NS, TU, σ* poètno slovo, skup svih prvil izvoðnj P dfiniš s n sldæi nèin: ko f(s,x)s td s x s P, ko f(s,x)s i s A td s x s, s x P. Td j skup svih nizov koj prpoznj utomt A jdnk jziku L(G) gnrisnom grmtikom G. Automtu A koji prpoznj sv nizov nd {,} tkv d sdrž nprn roj, zdtom dijgrmom prlz σ 0 σ odgovr sldæ grmtik G(N, T, P, σ*): N{σ 0, σ }, T{, }, σ*σ 0 i P {σ 0 σ, σ 0, σ 0 σ 0, σ σ 0, σ σ, σ }. Ornuto, ko j zdt nk rgulrn grmtik G, ond s konstrukcij utomt A tkvog d j Ac(A)L(G), n mož izvsti dirktno. Rgulrnoj grmtici G s mož, prvo, dodliti tzv. ndtrministièki konèni utomt NA tkv d j Ac(NA)L(G). 36

Df. Ndrministièki konèni utomt NA sstoji s od U,S,A,σ* i funkcij prlz olik f: S U PS tj. f(s,u)s PS, gd j PS prtittivni skup skup stnj S. Znèi d utomt NA, dlovnjm ulz u n stnj s, prlzi u jdno od stnj iz podskup stnj s tj. stnj u koj æ NA præi nij jdnoznèno odrðno. Podskup s mož iti i przn. NA(U, S, f, A, σ*) j odrðno s U{, }, S{σ*, C, F}, A{ F} i funkcijom f dfinisnom s U f S σ C σ C {C, F} F ili dijgrmom prlz σ C F Tvrðnj: Nk j G(N, T, P, σ*) rgulrn grmtik i NA ndtrministièki konèni utomt kod kog j UT, SN {F}, gd j F N T, A {F} i f s, u s' s us' P F s u P. ( ) { } { } Td j skup svih nizov koj prpoznj NP jdnk jziku L(G). Zdt j G(N, T, P, σ*) s T{, }, N{σ *, C}, σ * ko poètnim slovom i prvilim P {σ * σ *, σ * C, C C, C }. Ndrministièki utomt NA koji odgovr ovoj grmtici j dt u prthodnom primru tj. njgov dijgrm prlz j: σ C F Svki ndtrministièki utomt s mož trnsformisti u kvivlntni dtrministièki utomt. 37

Tvrðnj: Nk j NA(U, S, f, A, σ*) ndtrministièki konèni utomt i nk j S PS,, koj X U U, σ* {σ*}, A {x S x A } i f (X,x) f ( s, x), ko j X s X Td j konèni utomt A (U, S, f, A, σ* ) kvivlntn utomtu NA. Automt A (U, S, f, A, σ* ), kvivlntn utomtu NP iz prthodnog primr, mož s dfinisti n sldæi nèin: U {,}, S {, {σ * }, {C}, {F}, {σ *, C}, {σ *, F}, {C, F}, {σ *, C, F}}, A { {F}, {σ *, F}, {C, F}, {σ *, C, F}}, σ* {σ * }, funkcij f s mož dfinisti dijgrmom prlz: {σ*} {C} {σ*,c,f} {σ*,f} {σ*,c} {F} {C,F} Poš to, polzæi od {σ * } A oèigldno nikd n mož doæi u stnj {σ *, F}, {σ *, C}, {σ *,C, F} i { F}, td s dijgrm prlz mož konèno rdukovti n: {σ*} {C} {C,F} Ovko konstruisni utomt A prpoznj sv nizov koj gnriš grmtik G iz prthodnog primr. 38