M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A"

Transcript

1 Miloš Miličić M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Akdemsk miso Beogrd, 2012

2 Dr Miloš Miličić redovni profesor Držvnog univerzitet u Novom Pzru MATEMATIČKA ANALIZA Recenzenti Dr Ćeml Dolićnin redovni profesor i rektor Držvnog univerzitet u Novom Pzru Dr Miloš Čnk redovni profesor Univerzitet u Beogrdu i Držvnog univerzitet u Novom Pzru

3 SADRŽAJ PREDGOVOR 8 1 POLJE REALNIH BROJEVA 9 1. Istorijski pregled rzvoj pojm relnog broj Aksiome skup relnih brojev Predstvljnje relnih brojev tčkm prve Prošireni skup relnih brojev. Intervli Apsolutn vrednost relnog broj Podskupovi skup relnih brojev Skup prirodnih brojev. Princip mtemtičke indukcije Skup celih brojev Skup rcionlnih brojev Skup ircionlnih brojev Dedekindov princip neprekidnosti Ogrničeni i neogrničeni podskupovi skup R Stepenovnje i korenovnje u skupu relnih brojev. Njutnov binomn formul Princip umetnutih segment Rstojnje u skupu R. Okoline. Tčke ngomilvnj Decimlni brojevi KARDINALNI BROJ SKUPA 45 3 REALNA FUNKCIJA JEDNE REALNE PROMENLJIVE OSNOVNI POJMOVI Definicij funkcije iz R u R. Nčini zdvnj funkcije Opercije s funkcijm Aritmetičke opercije s funkcijm Kompozicij funkcij. Složen funkcij Prne i neprne funkcije Periodične funkcije Ršćenje i opdnje funkcije Loklni ekstremumi funkcije Inverzn funkcij Elementrne funkcije Osnovne elementrne funkcije Algebrske funkcije Hiperboličke funkcije. Inverzne funkcije hiperboličkih funkcij (re-funkcije) Trnsformcij grfik funkcije Krive u rvni zdte prmetrskim jednčinm

4 4 Sdržj Kružnic Elips Cikloid Astroid Evolvent kružnice Polrn jednčin krive Polrni koordintni sistem Polrn jednčin prve Polrn jednčin kružnice Lemniskt Krdioid Četvorolisn ruž BESKONAČNI BROJEVNI NIZOVI Definicij i nčini zdvnj beskončnog niz Grničn vrednost niz Osobine konvergentnih nizov Monotoni nizovi Podnizovi. Tčke ngomilvnj niz Bolcno Vjerštrsov teorem Košijev kriterijum konvergencije nizov Gornji i donji limes niz GRANIČNA VREDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE Grničn vrednost funkcije Pojm grnične vrednosti funkcije Lev i desn grničn vrednost funkcije Grničn vrednost funkcije kd x + ili x. Beskončn grničn vrednost Svojstv grničnih vrednosti funkcij Beskončno mle i beskončno velike Izrčunvnje grničnih vrednosti funkcij Neprekidnost funkcije Pojm neprekidnosti funkcije u tčki Tčke prekid funkcije Osobine neprekidnih funkcij n intervlu Rvnomern neprekidnost IZVODI I DIFERENCIJALI Izvodi Pojm prvog izvod funkcije Levi i desni izvod funkcije Geometrijski smiso prvog izvod Fizički (mehnički) smiso prvog izvod Diferencijbilnost funkcije Prvil diferencirnj

5 Sdržj Izvodi osnovnih elementrnih funkcij Izvodi hiperboličkih i re funkcij Tblic izvod Izvodi višeg red Diferencijl funkcije Diferencijl prvog red Diferencijli višeg red Osnovne teoreme diferencijlnog rčun Fermov teorem Rolov, Lgrnžov i Košijev teorem Lopitlovo prvilo Tejlorov formul Ispitivnje funkcij Kriterijum monotonosti Odred ivnje ekstremnih vrednosti funkcije Konveksnost i konkvnost funkcije Asimptote Opšt shem ispitivnj funkcij Tngent i norml krive. subtngent i subnorml Krivin. Krug krivine. Evolut i evolvent NEODRED- ENI INTEGRAL Pojm primitivne funkcije i neodred enog integrl Osobine neodred enog integrl Tblic osnovnih neodred enih integrl Metod smene promenljive Metod prcijlne integrcije Integrcij rcionlnih funkcij Integrcij ircionlnih funkcij Integrcij trigonometrijskih funkcij ODRE-DENI INTEGRAL Definicij odred enog integrl. Drbuove sume Neke klse integrbilnih funkcij Osobine odred enog integrl Odred eni integrl ko funkcij gornje grnice. Njutn-Ljbnicov formul Smen promenljive kod odred enog integrl Prcijln integrcij kod odred enog integrl Nesvojstveni integrli Primen odred enog integrl Površin rvnog lik Zpremin obrtnog tel Dužin luk krive Površin obrtne površi

6 6 Sdržj 9 REDOVI Numerički redovi Osnovni pojmovi Potrebni uslovi konvergencije. Košijev opšti kriterijum konvergencije Osobine konvergentnih redov Nenegtivni redovi Nizmenični (lterntivni) redovi Redovi s člnovim proizvoljnog znk Apsolutno konvergentni redovi Funkcionlni nizovi i redovi Konvergencij i uniformn konvergencij funkcionlnih nizov i redov Osobine uniformno konvergentnih nizov i redov Stepeni redovi Poluprečnik i oblst konvergencije stepenog red Osobine stepenih redov Rzvoj funkcije u stepeni red Rzvoj nekih elementrnih funkcij u Mklorenov stepeni red Neke primene stepenih redov Furijeovi redovi Ortogonlni sistemi funkcij Definicij trigonometrijskog Furijeovog red. Tvrd enje o konvergenciji Furijeovog red Primeri rzvijnj funkcij u Furijeov red n intervlu [ π, π] Rzvijnje prnih i neprnih funkcij u Furijeov red Rzvijnje u Furijeov red funkcije s periodom 2l Rzvijnje funkcije u Furijeov red u proizvoljnom intervlu [,b] Rzvijnje neperiodičnih funkcij u Furijeov red Rzvijnje funkcije u Furijeov red u intervlu [0, l] Rimn-Lebegov lem Delimične sume Furijeovog red Dokz tvrd enj o rzvijnju funkcije u Furijeov red Beselov nejednkost Srednjekvdrtn proksimcij funkcije trigonometrijskim polinomom Uniformn konvergencij Furijeovog red Furijeov integrl Furijeov integrl z prne i neprne funkcije REALNE FUNKCIJE VIŠE REALNIH PROMENLJIVIH Reln funkcij dve relne promenljive Uvodni pojmovi Grničn vrednost i neprekidnost funkcije dve promenljive Prcijlni izvodi

7 Sdržj Totlni diferencijl Prcijlni izvodi složene funkcije Izvodi implicitnih funkcij Tngentn rvn i norml površi. Geometrijsk interpretcij totlnog diferencijl Izvod u dtom smeru i grdijent funkcije Tejlorov formul z funkcije dve promenljive Ekstremne vrednosti funkcije dve promenljive Uslovni ekstremumi Reln funkcij tri relne promenljive LITERATURA 469

8 PREDGOVOR U ovoj knjizi obrd eni su osnovni pojmovi mtemtičke nlize koji se, u okviru mtemtičkih kursev, izučvju n prirodno-mtemtičkim, rčunrsko informtičkim, tehničkim i drugim fkultetim, ko i n nekim visokim školm strukovnih studij. Knjig je zmišljen ko udžbenik z studente ovih fkultet, p su i koncepcij i nčin obrde mterije prilgod eni, pre sveg, njenim budućim korisnicim. U tu svrhu, dt je veliki broj grfičkih ilustrcij, primer i rešenih zdtk. Mterij u knjizi podeljen je u deset poglvlj. U pripremi i obrdi sedmog, osmog i devetog poglvlj utoru je znčjno pomogl dr Nd Miličić, redovni profesor Tehnološko-metlurškog fkultet u Beogrdu. Recenzenti dr Ćeml Dolićnin, rektor Držvnog univerzitet u Novom Pzru i dr Miloš Čnk, redovni profesor Univerzitet u Beogrdu i Držvnog univerzitet u Novom Pzru svojim sugestijm zntno su doprineli kvlitetu knjige. Autor im toplo zhvljuje. U Beogrdu, Autor

9 I POGLAVLJE POLJE REALNIH BROJEVA 1. ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA POJMA REALNOG BROJA Jedn od njvžnijih pojmov u mtemtici je pojm relnog broj. Istorijski rzvoj pojm relnog broj ide od prirodnih, preko celih i rcionlnih do ircionlnih brojev. Možemo smtrti d su prirodni brojevi: 1, 2, 3, 4, 5,...nstli s nstnkom čovek. Skup prirodnih brojev se oznčv s N, dkle, N = {1,2,3,4,5,...}. U skupu prirodnih brojev definisne su dve binrne opercije: sbirnje i množenje, tj. ko su m,n N, td je i m +n N i m n N. Z sbirnje i množenje prirodnih brojev vže zkoni socijcije i komutcije, ko i zkon distribucije množenj u odnosu n sbirnje. Skup prirodnih brojev je potpuno ured en po veličini relcijom (mnje ili jednko): 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < U tom ured enju, broj 1 je minimum skup N, dok mksimum ne postoji. Svki broj im svog neposrednog sledbenik, svki broj, rzličit od 1, svog neposrednog prethodnik. Ako je n prirodni broj rzličit od 1, td je n 1 njegov neposredni prethodnik, n+1 njegov neposredni sledbenik. Z brojeve n 1 i n, odnosno n i n+1 kže se d su uzstopni prirodni brojevi. Izmed u dv prirodn broj n i n+(k+1), gde je k N, nlzi se k prirodnih brojev. Med utim, ko se zn zbir m dv prirodn broj i jedn od sbirk, recimo n, td nepoznti sbirk x možemo odrediti smo u slučju kd je m > n. Drugim rečim, jednčin x+n = m im rešenje u skupu prirodnih brojev smo u slučju kd je m > n. Zhtev d jednčin n+x = m im rešenje z proizvoljne m, n N dovodi do proširenj skup prirodnih brojev u skup celih brojev. Broj nul dobijmo ko rešenje jednčine x+1 = 1, ili bilo koje jednčine x + n = n (n N). Broj 1 dobijmo ko rešenje jednčin x+1 = 0, ili bilo koje jednčine x+(n+1) = n (n N). Uopšte, broj n dobijmo ko rešenje jednčine x + n = 0, ili bilo koje jednčine x+(n+m) = m (m,n N). Skup celih brojev ćemo oznčvti s Z (upotrebljvjusejošioznkedie). Dkle, Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...}. Z sbirnje i množenje celih brojev vže zkoni socijcije i komutcije, ko i zkon distribucije množenj u odnosu n sbirnje. U skupu Z se definiše i binrn opercij oduzimnje, tj. rzlik dv cel broj. Rzlik celih brojev m i n je broj k, tkv d je n +k = m. Pišemo k = m n, jsno m n = m+( n). Skup Z je potpuno ured en po veličini relcijom :... 3 < 2 < 1 < 0 < 1 < 2 < 3 <.... U ovkvom ured enju ne

10 10 Polje relnih brojev postoji ni mksimum ni minimum skup Z; svki broj im svog neposrednog prethodnik i neposrednog sledbenik, izmed u svk dv neuzstopn cel broj postoji končno mnogo celih brojev. Med utim, jednčin 2x = 1 u skupu celih brojev nem rešenj, tj. u skupu Z ne postoji broj x, tkv d je proizvod broj 2 i broj x jednk 1. Zhtev d ov jednčin, ko i sve jednčine oblik qx = p, gde p,q Z i q 0, imju rešenje, dovodi do proširenj skup celih brojev u skup rcionlnih brojev ili rzlomk. Rešenje jednčine qx = p izržvmo u obliku x = pq 1. Ovim je definisn binrn opercij deljenje, s jednim izuzetkom d se ne može deliti nulom. Količnik brojev p i q je broj kojim treb pomnožiti broj q d bi se dobio broj p. Oznčvmo g s p : q ili p q, to je, u stvri, p q 1 (q 0). Rcionln broj je svki broj oblik p q, gde p,q Z i q 0. Skup rcionlnih brojev ćemo oznčvti s Q. Dkle, { } p Q = (p,q Z) (q 0). q Npomenimo d bez ogrničenj možemo pretpostviti d je q > 0. Z sbirnje i množenje rcionlnih brojev vže zkoni socijcije i komutcije, ko i zkon distribucije množenj u odnosu n sbirnje. U skupu Q\{0} deljenje je tkod e binrn opercij. Skup rcionlnih brojev potpuno je ured en relcijom, tj. z svk dv rcionln broj i b vži jedn od sledeć tri odnos: < b, = b ili > b. Izmed u dv m koj rcionln broj i b postoji beskončno mnogo rcionlnih brojev. Nime, ko je < b, td je broj c = +b izmed u 2 brojev i b. Isto tko, broj c 1 = +c je izmed u brojev i c i broj 2 c 2 = c+b izmed u c i b, tj. < c 1 < c < c 2 < b. Ovj postupk se može 2 nstviti i po svojoj prirodi je tkv d mu nem krj, što uprvo i znči d izmed u svk dv rcionln broj postoji beskončno mnogo rcionlnih brojev. Zto kžemo d je skup rcionlnih brojev svud gust. Ako je r Q i m Z, td je r m Q, li ko r,m Q, td r m ne mor biti rcionln broj. N primer, ( 4 5 ) 3 = je rcionln broj, dok ( )2 4 3 nije rcionln broj. Pre nego što dokžemo d broj čiji je kvdrt 2 5 ( koji oznčvmo s 2) nije rcionln, odnosno d jednčin x 2 = 2 nem rešenj u skupu rcionlnih brojev, npomenimo d su u Stroj Grčkoj brojevim dvli geometrijski smiso, jer su oni dovod eni u vezu s merenjem

11 1. Istorijski pregled rzvoj pojm relnog broj 11 veličin. Izmeriti neku veličinu znči uporediti je s jedinicom mere te veličine, tj. nći koliko se put jedinic mere sdrži u veličini koj se meri. N ovj nčin se merenoj veličini pridružuje merni broj. Med utim, sledeći jednostvn primer merenj duži pokzuje d se svkoj duži ne može pridružiti merni broj koji bi bio rcionln. Nime, još su u Stroj Grčkoj pripdnici poznte Pitgorejske 2) škole (u V i IV veku pre nove ere) znli d su strnic i dijgonl d kvdrt nesmerljive duži, tj. d je nemoguće nći duž koj bi se ceo broj put sdržvl i u strnici i u dijgonli kvdrt. Ovo je u vezi s činjenicom d sl. 1 2 nije rcionln broj. Nime, ko bi postojl duž c koj se q put sdrži u i p put u d, gde su p i q celi brojevi, td bi bilo = qc i d = pc. Kko je, prem Pitgorinoj teoremi, d = 2, dlje bi bilo pc = qc 2, tj. p = q 2 ili 2 = p, što bi znčilo d q je 2 rcionln broj. Dokžimo, med utim, d 2 nije rcionln broj, tj. d se ne može predstviti u obliku p, gde su p i q celi brojevi. Dokz koji nvodimo potiče od q Euklid. 3) Pretpostvimo suprotno, d je 2 = p, gde su p i q uzjmno q prosti celi brojevi, tj. NZD (p,q) = 1. Ov pretpostvk je bitn i on se uvek može učiniti, jer ko p i q nisu uzjmno prosti, rzlomk p se može q skrtiti. Dlje sledi p = q 2, tj. p 2 = 2q 2, što znči d je p 2, smim tim i p, deljivo s 2. Dkle, p = 2m, gde m Z, p poslednj jednkost dje 4m 2 = 2q 2, tj. q 2 = 2m 2, što znči d je i q 2, smim tim i q, deljivo s 2. Dobili smo d je 2 zjednički činilc brojev p i q, što je suprotno pretpostvci d su p i q uzjmno prosti. Ovim smo dokzli d 2 nije rcionln broj. Broj 2 je ircionln. Sznnje d odnos dijgonle i strnice kvdrt nije rcionln broj i d se, u skldu s tim, n primer, dijgonli jediničnog kvdrt ne može pridružiti merni broj koji bi bio rcionln, jeste prvi susret s ircionlnim brojevim. To sznnje je unelo zbunu med u mtemtičre, jer je teško bilo prihvtiti d se posve odred enoj duži, kkv je dijgonl kvdrt, ne može pridružiti merni broj. Pojm ircionlnog broj biće precizno definisn tek dve hiljde godin ksnije, zsluge z to pripdju znmenitim 2) Pitgor ( god. pre nove ere) strogrčki mtemtičr. 3) Euklid (365? 275? god. pre nove ere), strogrčki mtemtičr.

12 12 Polje relnih brojev mtemtičrim XIX vek - Dedekindu 4), Kntoru 5) i Vjerštrsu. 6) O nekim Dedekindovim i Kntorovim rezulttim u tom smislu biće reči ksnije u okviru ksiomtske metode izučvnj relnih brojev. Dkle, pored rcionlnih, postoje i ircionlni brojevi. Možemo reći d je broj ircionln ko se ne može predstviti u obliku p, gde p,q Z i q q 0. Skup ircionlnih brojev ćemo oznčvti s I. Definicij 1. Jednčin oblik 0 x n + 1 x n n 1 x+ n = 0, gde su koeficijenti i (i = 0,1,2,...,n) celi brojevi, 0 0 i n N, je lgebrsk jednčin n-tog stepen. Definicij 2. Broj koji predstvlj rešenje lgebrske jednčine nziv se lgebrski broj. A l g e b r s k i b r o j e v i N Z Q I T r n s c e d e n t n i b r o j e v i s;. 2 Svi rcionlni brojevi su lgebrski, jer su rešenj lgebrske jednčine prvog stepen 0 x + 1 = 0, 0, 1 Z i 0 0. Broj 2 je tkod e lgebrski, jer zdovoljv jednčinu x 2 2 = 0. Nije teško pokzti d su lgebrski ircionlni brojevi: 3, 2 3 5, itd. Med utim, postoje ircionlni brojevi koji nisu lgebrski, to su trnscedentni ircionlni brojevi. Brojevi: π, e, log 2 5 itd. su trnscedentni ircionlni brojevi. Unij skup rcionlnih i skup ircionlnih brojev je skup relnih brojev. Uobičjen oznk z skup relnih brojev je R. Dkle, R = Q I. Pregled prirodnih, celih, rcionlnih, ircionlnih, lgebrskih i trnscedentnih brojev dt je n sl AKSIOME SKUPA REALNIH BROJEVA Koristeći sve rezultte o svojstvim relnih brojev do kojih su došli mtemtičri, moguće je teoriju relnih brojev zsnovti ksiomtski, tj. 4) Richrd Dedekind ( ), nemčki mtemtičr. 5) Georg Cntor ( ), nemčki mtemtičr. 6) Krl Weierstrss ( ), nemčki mtemtičr.

13 2. Aksiome skup relnih brojev 13 poći od osnovnih pojmov i polznih tvrd enj (ksiom), ztim definisti nove pojmove i izvoditi rzn svojstv n osnovu polznih i već dokznih tvrd enj. Definicij 3. Skup relnih brojev je neprzn skup R u kome su definisne dve binrne opercije: sbirnje (+) i množenje ( ) i binrn relcij (mnje ili jednko), tko d su ispunjen sledeć svojstv: I 1 (,b,c R) ((+b)+c = +(b+c)) sbirnje je socijtivn opercij, 2 ( 0 R) ( R) (+0 = 0+ = ) 0 (nul) je neutrlni element z sbirnje, 3 ( R) ( ( ) R) ( + ( ) = ( ) + = 0) element je suprotni elementu u odnosu n sbirnje, 4 (,b R) (+b = b+) sbirnje je komuttivn opercij, 5 (,b,c R) ((b)c = (bc)) množenje je socijtivn opercij, 6 ( 1 R) ( R) ( 1 = 1 = ) 1 (jedinic) je neutrlni element z množenje, 7 ( R \{0}) ( 1 R) ( 1 = 1 = 1) element 1 je inverzni elementu ( 0) u odnosu n množenje, 8 (,b R) (b = b) množenje je komuttivn opercij, 9 (,b,c R) ((+b) c = c+bc & c (+b) = c+cb) množenje je distributivno u odnosu n sbirnje; II 10 ( R) ( ) relcij je refleksivn, 11 (,b R) ( b b = b) relcij je ntisimetričn, 12 (,b,c R) ( b b c c) relcij je trnzitivn, 13 (,b R) ( b b ) svk dv element iz R su uporediv, 14 (,b,c R) ( b + c b + c) relcij je sglsn s sbirnjem, 15 (,b R) (0 0 b 0 b) relcij je sglsn s množenjem. III 16 Ako su A i B neprzni podskupovi od R, tkvi d je ( A) ( b B) ( b), td postoji element c R, tkv d je ( A) ( b B) ( c b) svojstvo neprekidnosti (potpunosti) skup R. Nveden tvrd enj, koj uzimmo ko tčn, nzivju se ksiome skup relnih brojev i, ko što se vidi, podeljene su u tri grupe. Iz ksiom I grupe sledi d skup R u odnosu n opercije + i im lgebrsku strukturu polj. Iz ksiom II grupe sledi d je skup R potpuno ured en relcijom, ko i sglsnost te relcije s opercijm sbirnj i množenj. Njzd, u R vži ksiom 16 III grupe, koj se nziv ksiom neprekidnosti ili ksiom potpunosti. S obizrom n nveden svojstv, kže se d je skup relnih brojev potpuno ured eno polje.

14 14 Polje relnih brojev Sv ostl, nm mnje ili više poznt, svojstv relnih brojev mogu se izvesti iz nvedenih ksiom. Pre sveg, u skupu R definišu se opercije oduzimnj i deljenj. Definicij 4. Rzlik relnih brojev i b, u oznci b, je zbir broj i broj b, tj. b = +( b). Lko je videti d je rzlik brojev i b broj koji treb sbrti s b d bi se dobio broj. Definicij 5. Količnik relnih brojev i b, gde je b 0, u oznci b ili : b, je proizvod broj i broj b 1, tj. b = b 1 Istknimo sd neke osobine relnih brojev. Tvrd enje 1. () Neutrlni element u odnosu n sbirnje u R (broj nul) je jedinstven; (b) Svki element R im jedinstven suprotni element u R; (c) ( ) = z svko R; (d) (+b) = ( )+( b) z sve,b R; (e) Jednčine +x = b i y + = b imju jedinstven rešenj u R; (f) Vže zkoni skrćivnj slev i zdesn, tj. +b = +c b = c i b+ = c+ b = c; (g) + = = 0; ( ) Neutrlni (jedinični) element u odnosu n množenje u R (broj 1) je jedinstven; (b ) Svki element R \ {0} im jedinstveni inverzni element 1 u R\{0}; (c ) ( 1 ) 1 = z svko R\{0}; (d ) (b) 1 = 1 b 1 z sve,b R\{0}; (e ) Jednčine x = b i y = b ( R \ {0}, b R) imju jedinstven rešenj u R. (f ) Vže zkoni skrćivnj slev i zdesn, tj. (b = c 0) b = c i (b = c 0) b = c. (g ) ( = 0) = 1. Dokz. () Ako bi bil dv neutrln element, tj. dve nule 0 i 0 1, td bi bilo = = 0 1 (zbog tog što je 0 neutrlni element) i

15 2. Aksiome skup relnih brojev = = 0 (zbog tog što je 0 1 neutrlni element), p sledi d je 0 = 0 1. (b) Pretpostvimo d element im dv suprotn element i, tj. + = + = 0 i + = + = 0. Td je = +0 = +(+ ) = ( +)+ = 0+ =. (c) ( ) = ( )+0 = ( )+( +) = ( ( )+( )) + = 0+ =. (d) (( )+( b))+(+b) = b+( +)+b = b+0+b = b+b = 0 (+b) = ( )+( b). (e) + x = b + ( + x) = + b ( + ) + x = + b 0+x = +b x = +b = b, dkle, x = b je rešenje jednčine + x = b. Ako bi i x 1 bilo rešenje jednčine, tj. + x 1 = b, td bi bilo x 1 = 0+x 1 = ( +)+x 1 = +(+x 1 ) = +b = b = x. N isti nčin se pokzuje d jednčin y+ = b im jedinstveno rešenje y = b+( ) = b. (f) + b = + c + ( + b) = + ( + c) ( + ) + b = ( +)+c 0+b = 0+c b = c. Drug formul sledi iz dokzne n osnovu komuttivnosti sbirnj. (g) x+x = x x+(x+x) = x+x ( x+x)+x = x+x 0+x = 0 x = 0. N potpuno isti nčin dokzuju se svojstv ( )-(g ). Tvrd enje 2. U skupu R vži () 0 = 0 = 0 z svko R, (b) ( b) = ( ) b = ( b) (,b R), (c) ( )( b) = b (,b R), (d) ( b)c = c bc & c( b) = c cb (,b,c R). Dokz. () Iz 0+0 = 0 sledi (0 +0) = 0, tj = 0, odnosno 0 = 0. Jednkost 0 = 0 sledi iz dokzne jednkosti n osnovu komuttivnosti množenj. Dodjmo ovome d je b = 0 kko = 0 ili b = 0. Nime, ko je b = 0 i 0, td je 1 (b) = 1 0, tj. ( 1 )b = 0, odnosno 1 b = 0, dkle b = 0. N isti nčin, iz b = 0 i b 0 sledi = 0. (b) 0 = 0 b = (+( ))b = b+( )b ( )b = (b). N isti nčin se dokzuje drug jednkost. (c) N osnovu (b) je ( )( b) = (( b)) = ( (b)) = b. (d) ( b)c = (+( b)c = c+( b)c = c bc. Drug formul sledi iz dokzne n osnovu komuttivnosti množenj. Iz ksiome 13 sledi d z svki reln broj vži: 0 ili 0, tj. > 0 ili = 0 ili < 0. Ako je > 0, z broj kžemo d je pozitivn,

16 16 Polje relnih brojev ko je < 0, d je negtivn. Ako s R + oznčimo skup pozitivnih, s R skup negtivnih relnih brojev, td je R = R {0} R +. Tvrd enje 3. () 0 0; (b) b b ; (c) < b b < 0. Dokz. () 0 (prem ksiomi 14 ) +( ) 0+( ) (prem ksiomm 2 i 3 ) 0, ovo je isto što i 0. (b) N osnovu ksiom 1, 2, 3 i 14 je: b + ( ) b + ( ) 0 b + ( ) b + 0 b + (b + ( )) b ( b+b)+( ) b 0+( ) b. (c) N osnovu ksiom 3 i 14 je: < b +( b) < b+( b) +( b) < 0 b < 0. Tvrd enje 4. () 2 = 0; b) 1 > 0; c) > 0 1 > 0; d) 1. ( b c 0) c bc, 2. ( b c 0) c bc; e) 0 < b 2 b 2 ; f) 0 < < b 0 < b 1 < 1. Dokz. () 1 Ako je 0, td je prem ksiomi 15 = 2 0; 2 ko je < 0, td je = b, gde je b > 0, p je = ( b) ( b) = (n osnovu Tvrd enj 2 i 1 ovog tvrd enj)= b b = b 2 > 0. b) Z proizvoljno 0 iz R je 0 = 0 i 1 =, p je 1 0. Kko je, n osnovu prethodnog tvrd enj, 1 1 > 0 i osim tog je 1 1 = 1, to je 1 > 0. c) Nek je > 0. Ako bi bilo 1 < 0, td bi bilo 1 > 0, p bi dlje bilo ( 1 ) = 1 > 0, što je suprotno već dokznom 1 > 0. d) 1. Nek je b i c 0. Td je b 0, p je (b ) c 0, tj. bc c 0, odnosno bc c ili, što je isto, c bc. 2. Ako je c < 0, td je c > 0, p je n osnovu 1 ( c) b ( c), tj. (c) (bc), odnosno 0 c bc ili bc c. e) Iz 0 < b, n osnovu d) 1, sledi 2 b i b b 2, p je 2 b 2. f) Ako je > 0 i b > 0, td je 1 > 0 i b 1 > 0, p < b 1 < b 1 1 < b 1 b 1 < b 1 b 1 b 1 < 1. Tvrd enje 5. Skup relnih brojev je svud gust, tj. izmed u svk dv reln broj i b postoji beskončno mnogo relnih brojev. Dokz. Nek je,b R i nek je < b. N osnovu ksiome 14 sledi d je + < + b i + b < b + b, tj. 2 < + b i + b < 2b, odnosno 2 < + b < 2b. N osnovu tvrd enj 4 c) i d) dlje sledi d je

17 3. Predstvljnje relnih brojev tčkm prve (2) < 2 1 (+b) < 2 1 (2b), tj. (2 1 2) < 2 1 (+b) < (2 1 2) b, odnosno < +b < b. N tj nčin smo dobili d je broj c = +b izmed u 2 2 brojev i b, tj. < c < b. N isti nčin se dobijju brojevi c 1 i c 2 tko d je < c 1 < c < c 2 < b. Ovj postupk se može nstviti i po svojoj prirodi je tkv d mu nem krj, što uprvo i znči d izmed u relnih brojev i b postoji beskončno mnogo relnih brojev. 3. PREDSTAVLJANJE REALNIH BROJEVA TAČKAMA PRAVE Izberimonprvoj x dvetčke O i J i pridružimoih redom brojevim0 i 1 (sl. 3). Ovim smo prvu x orijentisli tko što je pozitivn smer od tčke O prem tčki J. Duž OJ nziv se jediničn duž. Broju 2 pridružujemo tčku K prve x tko d je OK = 2OJ i J je izmed u O i K. Broju 1 pridružujemo tčku H prve x, tko d je OH = OJ i O je izmed u J i H. N nlogn nčin se proizvoljnom celom broju može pridružiti jedn tčk prve x. 0 sl. 3 Svkom rcionlnom rzlomljenom broju može se tkod e pridružiti tčk prve x. Pridružimo tčku, n primer, broju 2. N proizvoljnoj poluprvoj 3 Os nnesimo proizvoljnu duž tri put. x sl. 4 sl. 5 N tj nčin dobijmo tčke P 1, P 2 i P 3 (sl. 4). Povucimo duž JP 3, ztim njoj prlelnu duž P 2 P, gde P pripd prvoj x. Tčku P uprvo pridružujemo broju 2 3. S sl. 5 vidi se kko je broju 7 pridružen tčk P prve 5 x. Sd je jsno kko se proizvoljnom rcionlnom broju p > 0 (p > 0, q q > 0) pridružuje tčk prve x. N proizvoljnu poluprvu Os nnese se proizvoljn duž mx{p,q} put. Tko se dobiju tčke P 1,P 2,...,P mx{p,q}. Ztim se povuče duž P q J i njoj prleln duž P p P, gde P pripd prvoj

18 18 Polje relnih brojev x. Tčk P uprvo se pridružuje broju p q. Jsno, broju p pridružuje se q tčk prve x simetričn tčki P u odnosu n tčku O. Tčke prve x pridružene rcionlnim brojevim nzivju se rcionlne tčke. N osnovu osobin skup rcionlnih brojev sledi d izmed u svke dve rcionlne tčke postoji beskončno mnogo rcionlnih tčk. Jsno, sve tčke prve x nisu rcionlne. Pridružimo tčku ircionlnom broju 2. Nd jediničnom duži OJ konstruišimo kvdrt OJMN, ztim uzmimo n prvoj x tčku T s one strne tčke J s koje nije tčk O, tko d je OM = OT (sl. 6). Tčku T uprvo pridružujemo broju 2. Dkle, tčk T nije rcionln tčk. Uopšte, ircionlnim brojevim pridružujemo tčke prve x koje nisu rcionlne i te tčke nzivmo ircionlne tčke. N ovj nčin smo skup relnih brojev preslikli n skup tčk prve x i to preslikvnje je bijekcij. Prv x nziv se brojevn os. Akojerelnombrojupridružentčk A brojevne ose, td umesto d se kže: A je tčk koju smo pridružili relnom broju ili A je tčk kojom smo n brojevnoj prvoj predstvili reln broj, kko je prvilno, li dugčko, uobičjeno je d se kže neprvilno, li krtko, d je to tčk. sl PROŠIRENI SKUP REALNIH BROJEVA. INTERVALI Već smo rekli d je skup relnih brojev R potpuno ured en relcijom (mnje ili jednko). U tko ured enom skupu R ne postoji ni mksimum ni minimum. Drugim rečim, skup relnih brojev je neogrničen i odozgo i odozdo. D bismo tu činjenicu zpisli, skup R ćemo proširiti s dv element: + (plus beskončno) i (minus beskončno), tko d z svki reln broj x vži d je < x < +. Skup R = R {,+ } nziv se prošireni skup relnih brojev. Elemente skup R rzličite od + i, tj. relne brojeve, zvćemo končnim elementim ili končnim tčkm. Umesto + piše se i. Nek su i b relni brojevi i nek je < b; skup [,b] = {x R x b} je ztvoreni intervl ili segment ili odsečk, skup (,b) = {x R < x < b}

19 5. Apsolutn vrednost relnog broj 19 je otvoreni intervl, skupovi [,b) = {x R x < b}, (,b] = {x R < x b} su poluotvoreni (poluztvoreni) intervli. Tčke i b su krjevi ili grnice intervl. Intervli čij je jedn grnic + ili su: [,+ ) = {x R x }, (,+ ) = {x R x > }, (,b] = {x R x b}, (,b) = {x R x < b}, dok intervl (, + ) predstvlj skup relnih brojev R, tj. R = (,+ ). 5. APSOLUTNA VREDNOST REALNOG BROJA Definicij 6. Apsolutn vrednost (modul) relnog broj x je broj koji oznčvmo s x i koji je jednk broju x ko je x 0, x ko je x < 0. Dkle, { x ko je x 0 x = x ko je x < 0. Primer 1. x = 3, 0 = 0, 5 = ( 5) = 5. Jsno, x 0 z svko x R i x = 0 kko x = 0. Istknimo nek svojstv psolutne vrednosti relnog broj. Tvrd enje 6. Z svki reln broj x je () x = x, (b) x x. Dokz. Sledi iz definicije psolutne vrednosti broj. Tvrd enje 7. Ako je pozitivn reln broj, td () x = (x = x = ), (b) x x x [,], (c) x > (x < x > ) x (, ) (,+ ). Dokz. Sledi iz definicije psolutne vrednosti broj. Tvrd enje 8. Z sve relne brojeve x i y vži: ) x+y x + y,

20 20 Polje relnih brojev b) x y x y, c) x y = x y, d) x y = x (y 0). y Dokz. ) 1 Ako je x+y 0, td je x+y = x+y x + y. 2 Ako je x+y < 0, td je x+y = (x+y) = ( x)+( y) x + y = x + y. Vži opštij nejednkost x 1,+x 2 + +x n x 1 + x x n, koju zpisujemo i u obliku n x i i=1 n x i, i=1 koj se dokzuje n isti nčin. Iz dokzne nejednkosti sledi d je tj. x y = x+( y) x + y = x + y. b) Ako stvimo x = (x y)+y, td je x = (x y)+y x y + y, Ako sd stvimo y = (y x)+x, td je x y x y. (1) y = (y x)+y y x + x, tj. odnosno y x y x, y x x y,

21 III POGLAVLJE REALNA FUNKCIJA JEDNE REALNE PROMENLJIVE OSNOVNI POJMOVI 1. DEFINICIJA FUNKCIJE IZ R U R. NAČINI ZADAVANJA FUNKCIJE Definicij 1. Ako se svkom elementu x neprznog podskup D skup relnih brojev R prem prvilu (zkonu) f pridruži jedinstven element y R, td je f reln funkcij jedne relne promenljive ili funkcij iz R u R, definisn n skupu D. Piše se y = f(x), x D, ili x f(x), x D. Primer 1. y = x 2, x R ili x x 2, x R predstvlj kvdrtnu funkciju n skupu R relnih brojev, tj. funkciju koj svkom relnom broju pridružuje njegov kvdrt. Skup D je domen ili oblst definisnosti funkcije f. Promenljiv x nziv se nezvisno promenljiv ili rgument funkcije, promenljiv y nziv se zvisno promenljiv. Ako je x =, D, kžemo d je vrednost rgument, b = f() je vrednost funkcije u tčki x = ili slik od D. Skup V = f(d) = {f(x) x D} je skup vrednosti funkcije f. Definicij 2. Skup tčk M(x,y) u rvni Dekrtovog 15) prvouglog koordintnog sistem Oxy, čije koordinte x i y zdovoljvju jednčinu y = f(x) je grfik funkcije y = f(x). Kriv u rvni Dekrtovog prvouglog koordintnog sistem predstvlj grfik funkcije kko proizvoljn prv prleln osi Oy seče tu krivu u njviše jednoj tčki. Primer 2. Nek je dt funkcij y = f(x) = 2x 1, 2 x 3. Domen je( segment ) [ 2,3] skup relnih brojev, f( 2) = 5, f( 1) = 3, 1 f(0) = 1, f = 0, f(3) = 5, skup vrednosti funkcije je V = f(d) = [ 5,5], 2 (sl. 1). 15) René Decrtes Crtesius ( ), frncuski mtemtičr i filosof.

22 1. Definicij funkcije iz R u R. Nčini zdvnj funkcije 51 Reln funkcij jedne rlne promenljive, ili kko se još kže, funkcij iz R u R, njčešće se zdje formulom oblik y = f(x) 16). Sm formul, ili bolje rečeno izrz f(x), ukzuje nm kkve opercije treb obviti nd vrednošću rgument x d bi se dobil odgovrjuć vrednost funkcije. Pri tome, ko oblst definisnosti D nije dt, podrzumev se d je to njširi skup relnih brojev z koji dt formul im smisl. Primer 3. Funkcij y = f(x) = x+1 x 1 definisn je n skupu D = R \ {1} = (,1) (1,+ ), jer dt formul im smisl z sve relne brojeve osim z x = 1. Definicij 3. Dve funkcije: f : D f R i g : D g R su jednke ko su ispunjen sledeć dv uslov: 1 D f = D g = D, 2 ( x D) (f(x) = g(x)). O sl. 1 Primer 4. Funkcije f(x) = lnx 2, x > 0 i g(x) = 2lnx su jednke. Primer 5. Funkcije f(x) = x 2, x (,1] i g(x) = x 2, x [ 1,+ ) su, sglsno definiciji, rzličite funkcije (sl. 2 i b). sl. 2 16) Umesto: funkcij f zdt formulom y = f(x), kko je prvilno, govorićemo krće: funkcij y = f(x).

23 52 Reln funkcij jedne relne promenljive... Definicij 4. Restrikcij ili suženje funkcije f, čiji je domen D, n neprznom skupu D 1 D je funkcij g čiji je domen D 1, tkv d je ( x D 1 )(g(x) = f(x)). Obično se piše g = f D 1. Primer [ 6. Funkcij g(x) = sinx, x π 2, π ] je restrikcij 2 funkcije f(x) = sinx. Definicij 5. Funkcij f, definisn n skupu D, tkv d je ( x D)(f(x) = C), gde je C konstnt, je funkcij-konstnt. sl. 3 Primer 7. Funkcij y = f(x) = 2 je konstnt (sl. 3). je Primer 8. Funkcij f(x) = sin 2 x+cos 2 x je tkod e konstnt n skupu R, jer ( x R)(sin 2 x+cos 2 x = 1). Definicij 6. Funkcij f, definisn n skupu D, tkv d je ( x D)(f(x) = x) je identičn funkcij ili identično preslikvnje skup D. Primer 9. Funkcij y = x je identičko preslikvnje n skupu R. Funkcij se može zdti: nlitički, tbelrno i grfički. Ko što je već rečeno, funkcij se nlitički njčešće zdje formulom oblik y = f(x). U ovom slučju kžemo d je funkcij zdt eksplicitno. Nekd je funkcij n rzličitim skupovim zdt rzličitim formulm.

24 1. Definicij funkcije iz R u R. Nčini zdvnj funkcije 53 (sl. 4). Primer 10. y = { 1 2 x 1, x < 0 x 2, x 0 Funkcijy = y(x)može bitizdtjednčinom F(x,y) = 0 17). U ovom slučju kžemo d je funkcij zdt implicitno. Primer 11. Jednčin x 2 xy x y = 0 definiše funkciju y = x2 x sl. 4 x+1. Funkcij y = y(x) može biti zdt prmetrskim jednčinm x = ϕ(t), y = ψ(t), gde je t T prmetr. 18) Primer 12. Prmetrskim jednčinm x = 2cos 2 t,y = 3sin 2 t, gde t R, definisn je jedn funkcij čiji je implicitni oblik x 2 + y = 1, 0 x 2, 0 y 3, 3 grfik duž AB (sl. 5) Funkcij može biti zdt i polrnom jednčinom sl. 5 ρ = f(ϕ), ϕ P, gde su ϕ i ρ polrne koordintne tčke. Funkcij zdt polrnom jednčinom može se grfički predstviti u polrnom koordintnom sistemu. 17) Pod kojim uslovim jednčin F(x,y) = 0 definiše y ko funkciju od x, videćemo u IX poglvlju, odeljk 1.6. Ako jednčin F(x,y) = 0 definiše y ko funkciju od x, to još uvek ne znči d se y može izrziti pomoću x. 18) Pod kojim uslovom prmetrske jednčine definišu funkciju videćemo ksnije.

25 54 Reln funkcij jedne relne promenljive... Drugi nčin zdvnj funkcije je tbelrni. Tblicom se prikzuju vrednosti funkcije zjedno s odgovrjućim vrednostim nezvisno promenljive. N primer, ko je funkcij f definisn n končnom skupu {x 1, x 2,..., x n }, on se jednostvno može prikzti sledećom tblicom x x 1 x 2 x n f(x) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x n ). Tblic se formir i u slučju kd se merenjem dod e do podtk o zvisnosti dve veličine. N primer, meri se tempertur vzduh u toku 24 st u rzmcim od jednog st. Iznosi temperture, zjedno s vremenom merenj, stve se u tblicu. N osnovu formirne tblice moguće je, s odred enom tčnošću, nći iznos temperture u proizvoljnom vremenskom momentu koji se nlzi izmed u dv moment u kojim je tempertur meren. Ovo je jedn od brojnih primer koji pokzuju d se u prirodnim nukm i tehnici zvisnost med u dvem veličinm utvrd uje eksperimentlnim putem. N osnovu dobijenih podtk formir se tblic funkcionlne zvisnosti tih veličin. Eventulno nlženje formule, koj opisuje funkcionlnu zvistnost merenih veličin, može biti složeno. Treći nčin predstvljnj funkcije je grfički, tj. crtnjem grfik u Dekrtovom prvouglom ili polrnom koordintnom sistemu. Isto tko, korišćenjem rzličitih prt moguće je funkcionlnu zvisnost dve veličine dobiti pomoću grfik. 2. OPERACIJE SA FUNKCIJAMA 2.1. Aritmetičke opercije s funkcijm Nek su f i g funkcije iz R u R definisne redom n skupovm D f i D g. Zbir, rzlik, proizvod i količnik funkcij f i g defiiniše se n sledeći nčin: (f +g)(x) = f(x)+g(x), (f g)(x) = f(x) g(x), (fg)(x) = f(x) g(x), ( ) f (x) = f(x), g(x) 0. g g(x) To znči d je vrednost funkcije f +g, f g, f g, f/g u tčki x jednk redom zbiru, rzlici, proizvodu, količniku vrdnosti funkcij f i g u toj tčki. Oblst deefinisnosti funkcij f + g, f g, f g, f g jednk je preseku D f D g, s tim što se iz njeg z funkciju f g g(x) = 0. odstrne tčke u kojim je

26 2. Opercije s funkcijm 55 Grfici funkcij f+g, f g, f g, f dobijju se primenom odgovrjućih g ritmetičkih opercij n grfike funkcij f i g. Nime, ko su M(x,y f ) i N(x,y g ) tčke n grficim funkcij f i g, koje imju istu pscisu, td se odgovrjuć tčk grfik zbir, rzlike, proizvod i količnik funkcij f i g dobij sbirnjem, oduzimnjem, množenjem, deljenjem ordint y f i y g. Primer 13. Nek su dte funkcije: f(x) = x i g(x) = 1. Td je x (f +g)(x) = f(x)+g(x) = x+ 1 x, (f g)(x) = f(x) g(x) = x 1 x. Grfici funkcij f +g i f g lko se dobijju pomoću grfik funkcij f i g (sl. 6 i 7). sl. 6 sl Kompozicij funkcij. Složen funkcij Nekd se preslikvnje može relizovti u dv ili više kork, tj. uzstopnom primenom dv ili više preslikvnj. Primer 14. Posmtrjmo funkciju h(x) = cosx 2. Vidimo d se do vrednosti funkcije h z proizvoljn reln broj x dolzi pomoću funkcij f(x) = x 2 i g(x) = cosx, tko što funkcij f svki reln broj x preslik u njegov kvdrt, ztim funkcij g kvdrtu od x pridružuje njegov kosinus. Definicij 7. Nek je f funkcij s domenom D f i skupom vrednosti V f i g funkcij s domenom D g i skupom vrednosti V g. Funkcij h = g f, tkv d je h(x) = (g f)(x) = g(f(x)),

27 56 Reln funkcij jedne relne promenljive... je složen funkcij ili kompozicij funkcij f i g. Domen D g f funkcije g f je skup svih vrednosti x iz D f z koje je f(x) D g (sl. 8). sl. 8 Kod formirnj složene funkcije h pomoću funkcij f i g često se, iz prktičnih rzlog, zvisno promenljiv funkcije f i nezvisno promenljiv funkcije g oznčvju istim slovom, p se obrzovnje složene funkcije može precizirti ovko: kojey funkcijodu, tj. y = g(u), u je funkcij od x, tj. u = f(x), td je y = g(f(x)) složen funkcijodf i g promenljive x. Ovkvom formulcijom se, možd, previše ističe vžnost slov kojim su oznčene promenljive kod funkcije. Med utim, u formuli sl. 9 y = f(x), x D nije bitno koj su slov upotrebljen z oznčvnje promenljivih. Tko je formulm y = x 2, u = t 2, z = y 2 zdt ist funkcij - kvdrirnje relnog broj. U prethodnoj formuli bitn je simbol f, jer on oznčv zkon pridruživnj. Tko, ko je y = f(x) = x 3 i y = g(x) = log 2 (x), x > 0, td, ko što se vidi, f znči stepenovnje s 3, g logritmovnje pozitivnog broj z osnovu 2, p g f znči logritmovnje z osnovu 2 trećeg stepen pozitivnog broj, tj. (g f)(x) = g ( f(x) ) = g(x 3 ) = log 2 x 3, x > 0.

28 3. Prne i neprne funkcije 57 Grfik složene funkcije može se ncrtti pomoću grfik njenih komponenti. Primer 15. Grfik funkcije y = x 1 možemo dobiti pomoću grfik funkcij y = x 1 i y = x. To postižemo korenovnjem ordint tčk grfik funkcije y = x 1 z x 1 (sl. 9). Ko što je poznto, slgnje funkcij je socijtivno, li nije komuttivno. 3. PARNE I NEPARNE FUNKCIJE Definicij 8. Z funkciju f definisnu n skupu D kžemo d je prn ko su ispunjen sledeć dv uslov: 1 ( x) (x D x D), 2 ( x D) (f( x) = f(x)). Z funkciju f kžemo d je neprn ko su ispunjen sledeć dv uslov: 1 ( x) (x D x D), 2 ( x D) (f( x) = f(x)). Drugim rečim, funkcij je prn ko je njen domen simetričn u odnosu n nulu i z svke dve suprotne vrednosti rgument postiže istu vrednost, neprn ko je njen domen simetričn u odnosu n nulu i z svke dve suprotne vrednosti rgument postiže suprotne vrednosti. Grfik prne funkcije je simetričn u odnosu n osu Oy (sl. 10), grfik neprne u odnosu n koordintni početk (11). sl. 10 sl. 11 Primer 16. Funkcij f(x) = x 2 je prn (sl. 12), jer je definisn n skupu R relnih brojev i osim tog je ( x R) (( x) 2 = x 2 )

29 58 Reln funkcij jedne relne promenljive... sl. 12 sl. 13 Primer 17. Funkcij f(x) = x 3 je neprn (sl. ), jer je definisn n skupu R relnih brojev i osim tog je ( x R) (( x) 3 = x 3 ). Primer 18. Funkcij f(x) = x 2, 1 x 2 nije prn, jer njen domen nije simetričn u odnosu n nulu (sl. 14). sl. 14 sl. 15 Primer 19. Funkcij f(x) = x2 x x(x 1) nije neprn. Nime, f(x) = = x 1 x 1 x z x 1, što znči d domen funkcije nije simetričn u odnosu n nulu (sl. 15). Većin funkcij nisu ni prne ni neprne.

30 4. Periodične funkcije PERIODIČNE FUNKCIJE Definicij 9. Funkcij f, definisn n skupu D, je periodičn ko postoji broj T 0, tko d z svko x D je i x+t D, x T D i ( x D)) (f(x+t) = f(x)). (1) Njmnji pozitivn broj T s nvedenom osobinom nziv se osnovni period funkcije f. Ako govorimo o periodu funkcije, obično se podrzumev osnovni period (sl. 16). sl. 16 Poznto je d su trigonometrijske funkcije periodične. Osnovni period funkcij sinx i cosx je 2π, funkcij tgx i ctgx je π. Primer 20. Koristeći definiciju periodičnosti pokzćemo d osnovni period funkcije f(x) = sinx iznosi 2π. Tržimo broj T > 0 tkv d je z svko x R sin(x+t) = sinx, odnosno tj. sin(x+t) sinx = 0, 2sin T ( 2 cos x+ T ) = 0. 2 Proizvod n levoj strni poslednje jednkosti jednk je nuli nezvisno od x ko je sin T = 0, tj. T = 2kπ, k = 0,±1,±2,... Njmnji pozitivn broj je očigledno 2 T = 2π, što predstvlj osnovni period funkcije f(x) = sinx. Tvrd enje 1. Ako je funkcij f periodičn s osnovnim periodom T, td je i nt, gde je n proizvoljn ceo broj rzličit od nule, tkod e period funkcije f.

31 IV POGLAVLJE BESKONAČNI BROJEVNI NIZOVI 1. DEFINICIJA I NAČINI ZADAVANJA BESKONAČNOG NIZA Definicij 1. Funkcij f, koj preslikv skup prirodnih brojev N u skup A je beskončni niz u skupu A. Ako je f(x) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3,..., f(n) = n,..., td se niz može zpisti u obliku ili jednostvnije bez zgrd: ( 1, 2, 3,..., n,...), 1, 2, 3,..., n,... Kže se d su 1, 2, 3,..., n,... člnovi niz. Svki niz im beskončno mnogo člnov. Čln n = f(n) nziv se opšti čln niz. Ako je poznt opšti čln niz, td se niz može jednostvno oznčiti s ( n ) n N, pri čemu se n N u indeksu može izostviti, jer se podrzumev. Niz se može zdti i rekurentnom formulom, n primer, oblik ili oblik 1 = b, n+1 = g( n ) (n N) 1 = b, 2 = c, n+2 = h ( n, n+1 ) (n N). Skup vrednosti niz ( n ) n N je skup V = { n n N}. On može biti končn ili beskončn (prebrojiv). Mi ćemo isključivo rzmtrti nizove čiji su člnovi relni brojevi. Nvodimo nekoliko primer nizov. Primer 1. Niz 1, 1 2, 1 3,..., 1 ( ) 1 n,..., tj. niz nziv se hrmonijski niz. n n N Primer 2. Niz čiji je opšti čln n = 1+( 1) n je, u stvri, niz 0,2,0,2,...,0,2,...

32 96 Beskončni brojevni nizovi Primer 3. Niz čiji je opšti čln n = 1 n je konstntn niz 1,1,1,...,1,... Ko što se vidi, skup vrednosti niz u Primeru 1 je beskončn skup V 1 = {1, 12, 13, 14,... }, u Primeru 2 dvočln skup V 2 = {0,2}, u Primeru 3 jednočln skup V 3 = {1}. Niz, ko i svku funkciju jedne promenljive, možemo grfički predstviti u Dekrtovom prvouglom koordintnom sistemu, možemo i n brojevnoj osi. Primer 4. Nizovi čiji su opšti člnovi n = 2+( 1) n 1 n, b n = n 1 n, c n = ( 1) n+1 n n+1, d n = n+1 predstvljeni su grfički redom n slikm 1, 2, 3, 4. 2 sl. 1 sl. 2 sl. 3 Definicij 2. Ako su ( n ) n N i (b n ) n N ( dti ) nizovi, td su nizovi n ( n + b n ) n N, ( n b n ) n N, ( n b n ) n N i redom zbir, rlzik, proizvod i količnik nizov ( n ) n N i (b n ) n N. b n n N

33 1. Definicij i nčini zdvnj beskončnog niz 97 sl. 4 ( ) n Npomen 1. Niz moguće je obrzovti smo u slučju kd b n n N ( ) n su svi člnovi niz (b n ) n N rzličiti od nule. Niz se može obrzovti i u slučju kd je končno mnogo člnov niz (b n ) n N jednko nuli, počev od onog indeks od kog su svi člnovi b n rzličiti od nule. Definicij 3. Niz ( n ) n N je ogrničen odozgo (odozdo) ko postoji reln broj M(m), tkv d je n M ( n m) (n N). Broj M se nziv mjornt (gornj grnic), broj m minornt (donj grnic) niz ( n ) n N. Definicij 4. Niz ( n ) n N je ogrničen ko je ogrničen i odozgo i odozdo, tj. ko postoje relni brojevi M i m, tko d z sve člnove niz n vži nejednksot b n m n M. (1) Jsno, ogrničen niz im beskončno mnogo mjornti, odnosno minornti, p utvrd ivnje ogrničenosti niz svodi se n pronlženje br jedne mjornte, odnosno minornte tog niz. Primetimo d se uslov ogrničenosti niz može precizirti i u drugoj ekvivlentnoj formi: niz ( n ) n N je ogrničen ko postoji pozitivn broj G,

34 98 Beskončni brojevni nizovi tkv d z svki čln niz vži n G. (2) Zist, ko svki čln niz ( n ) n N zdovoljv relciju (1), to uzimjući d je G = mx{ m, M }, očigledno vži (2). Obrnuto, ko svki čln niz ( n ) n N zdovoljv relciju (2), td uzimjući d je m = G i M = G, sledi (1). ( ) n 1 Primer 5. Niz je ogničen. Nime, 0 n < 1 z svko n N. n n N Njmnji čln niz je 0, dok njveći ne postoji. Primer 6. Niz je ogrničen odozdo, li nije odozgo. 1, 1 2,2, 1 3,3, 1 4,4, 1 5, GRANIČNA VREDNOST NIZA Ovde će ns intersovti kko se ponšju člnovi niz s ršćenjem indeks. Rzmotrimo zto ponovo nizove u Primeru 4 koje smo i grfički predstvili. Primetimo d se člnovi niz ( n ) n N ngomilvju oko tčke (relnog broj) 2 u sledećem smislu: ko uzmemo proizvoljnu, p i koliko hoćemo mlu okolinu tčke 2, svi člnovi niz, počev od nekog indeks, su u toj okolini. Istu osobinu im broj 1 kod niz (b n ) n N. Z niz ( n ) n N tkv broj ne postoji. Njzd, vidimo d se člnovi niz (d n ) n N s rstom indeks beskončno uvećvju. Nime, ko uzmemo proizvoljn pozitivn reln broj, p i po volji veliki, svi člnovi niz, počev od nekog indeks, su veći od tog broj. Djemo sd definiciju grnične vrednosti (limes) niz. Definicij 5. Reln broj (tčk) je grničn vrednost niz ( n ) n N ko z svku okolinu O() tčke postoji prirodn broj n 0, koji zvisi od izbrne okoline O(), tko d svi člnovi niz n z n > n 0 pripdju okolini O(). Piše se po dogovoru lim n + n = (čit se: limes od n, kd n teži u beskončnost, je ). Formlno-logički zpis dte definicije je: lim n = ( O())( n 0 N)( n N)(n > n 0 n O()). n + Uobičjenij od dte je definicij grnične vrednosti niz pomoću ε-okolin tčke.

35 2. Grničn vrednost niz 99 Definicij 6. Reln broj (tčk) je grničn vrednost niz ( n ) n N ko z svki reln broj ε > 0 postoji prirodn broj n 0, koji zvisi od ε, tko d je z svko n > n 0 ispunjeno n < ε (ili, što je isto, ε < n < ε, odnosno ε < n < +ε). Formlno-logički zpis dte definicije je lim n = ( ε > 0)( n 0 N)( n N)(n > n 0 n < ε). n + Djemo još jednu definiciju grnične vrednosti niz. Definicij 7. Reln broj (tčk) je grničn vrednost niz ( n ) n N ko se u svkoj okolini tčke nlze svi člnovi niz, osim možd njih končno mnogo, ili kko se to još kže, skoro svi člnovi niz. Definicij 8. Z niz ( n ) n N koji im končnu grničnu vrednost, tj. čij je grničn vrednost reln broj, kžemo d je konvergentn. U ovom slučju kže se još d niz ( n ) n N konvergir k ili d n teži k kd n, p se upotrebljv i oznk n kd n + ili n (n + ). Z niz koji nije konvergentn, kžemo d je divergentn. Rzlikujemo divergentne nizove u užem i širem smislu. Definicij 9. Ako z svki reln broj M > 0, postoji priridn broj n 0, koji zvisi od M, tko d su svi člnovi niz ( n ) n N z n > n 0 veći od M, td kžemo d niz ( n ) n N divergir k + i pišemo Dkle, lim n = +. n + lim n = + ( M > 0)( n 0 N)( n N)(n > n 0 n > M). n + Definicij 10. Ako z svki reln broj K < 0, postoji prirodn broj n 0, koji zvisi od K, tko d su svi člnovi niz ( n ) n N z n > n 0 mnji od K, td kžemo d niz ( n ) n N divergir k i pišemo Dkle, lim n =. n + lim n = ( K < 0)( n 0 N)( n N)(n > n 0 n < K). n +

36 100 Beskončni brojevni nizovi Nizovi koji divergirju k + ili, tj. nizovi čije su grnične vrednosti + ili u proširenom skupu relnih brojev R = R {,+ }, su divergentni nizovi u užem smislu. Ostli divergentni nizovi su divergentni u širem smislu. 2n+1 Primer 7. Dokžimo d je lim n + 3n 1 = 2 3. Nek je ε > 0 proizvoljn reln broj, td je 2n+1 3n < ε 5 3(3n 1) < ε 5 3(3n 1) < ε n > 1 ( ) 5 3 3ε +1. [ ( )] 1 5 Ako stvimo d je n 0 = 3 3ε +1, tj. n 0 je njveći ceo broj koji je mnji ili jednk od 1 ( ) 5 3 3ε +1, td je z svko n N, tkvo d je n > n 0, ispunjeno 2n+1 3n 1 2 2n+1 3 < ε, što uprvo i znči d je lim n + 3n 1 = 2 3. n 2 +2n 2 Primer 8. Dokzti d je lim n + n 2 5n 4 = 1. Nek je ε > 0 proizvoljn reln broj, td je n 2 +2n 2 n 2 5n 4 1 = 7n+2 n 2 5n 4 = 7n+2 n 2 5n 4. Kko je 7n+2 7n+2n = 9n z svko n N i n 2 5n 4 n 2 5n 4 = n 2 (5n+4) n n2 = 1 7n+2 2 n2 z n 11, to je n 2 5n 4 9n 18 = 1 n < ε, 2 n2 z n > 18 { [ ]} 18 ε. Ako je n 0 = mx 11,, td je n 2 +2n 1 ε n 2 5n 4 1 < ε z svki n 2 +2n 1 prirodn broj n > n 0, to uprvo znči d je lim n + n 2 5n 4 = OSOBINE KONVERGENTNIH NIZOVA Tvrd enje 1. Grničn vrednost niz je jedinstven, tj. konvergentn niz ne može imti dve rzličite grnične vrednosti. Dokz. Pretpostvimo d niz ( n ) n N im dve grnične vrednosti i b, gde je b. Uzmimo ε-okolinu tčk i b z ε = 1 b. Kko je 2 O ε () O ε (b) =, nemoguće je d i u O ε () i O ε (b) budu skoro svi člnovi niz ( n ) n N. Tvrd enje 2. Svki konvergentn niz je ogrničen.

37 3. Osobine konvergentnih nizov 101 Dokz. Nek je lim n + =, td postoji prirodn broj n 0, tkv d je n < 1 z svko n > n 0. Sledi d je n = n + n + < 1+ z svko n > n 0. Ako uzmemo d je G = mx{ 1, 2,..., n0,1+ }, td je n G z svko n N, što je i treblo dokzti. Tvrd enje 3. Ako je lim n + n =, td je lim n + n =. Dokz. Nek je ε > 0 proizvoljn reln broj, td postoji prirodn broj n 0, tkv d je n < ε z svko n > n 0. No, kko je n n, sledi d je i n < ε z svko n > n 0, tj. lim n =. n + D iz lim n = ne sledi uvek lim n =, pokzuje primer niz ( 1) n n. Nime, lim n n+1 n + ( 1)n n N ( n + ) n + n+1 = lim n n + n+1 = 1, n dok lim n + ( 1)n ne postoji. n+1 Ako je = 0, td lim n = 0 očigledno povlči lim n = 0. n + n + Tvrd enje 4. Ako je, z svko n N, n =, td je lim n + n =. Dokz. Z proizvoljno ε je n = = 0 < ε z svko n N, p je lim n + n =. Tvrd enje 5. Ako je lim n =, lim b n = b i n b n z svko n + n + n N, td je b. Dokz. Pretpostvimodjeb < iuzmimodjeε = 1 2 b = 1 2 ( b). Td postoji prirodn broj n 1, tkv d je n < ε ili ε < n < +ε z svki prirodn broj n > n 1 i prirodn broj n 2, tkv d je b n b < ε ili b ε < b n < b+ε

IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064)

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064) Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 SADRŽAJ SADRŽAJ UVOD DEO RELACIJE I FUNKCIJE DEO ALGEBRA 6 DEO NIZOVI I REDOVI DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE 7 5 DEO LIMESI I IZVODI 9 6 DEO

Διαβάστε περισσότερα

B I O M A T E M A T I K A

B I O M A T E M A T I K A Mterijli z predmet B I O M A T E M A T I K A Biologij Zorn Rkić Beogrd, 03. godine i S A D R Ž A J. UVOD. Skupovi. Funkcije 4.3 Relcije 6.4 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8.5 Kompleksni brojevi 7.6 Elementi

Διαβάστε περισσότερα

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 Mterijli z predmet M A T E M A T I K A 1 Fizičk hemij Zorn Rkić Beogrd, 010 godine i S A D R Ž A J 1 UVOD 1 11 Skupovi 1 1 Funkcije 4 13 Relcije 6 14 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8 15 Kompleksni brojevi

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00 Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,. Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri

Διαβάστε περισσότερα

Integracija funkcija više promenljivih

Integracija funkcija više promenljivih Integrcij funkcij više promenljivih Drgn S. Djordjević Univerzitet u Nišu, Prirodno-mtemtički fkultet Niš, Srbij Februry 18, 216 ii Predgovor Predvnj su nmenjen studentim, koji polžu ispit iz predmet Mtemtičk

Διαβάστε περισσότερα

Integralni raqun. F (x) = f(x)

Integralni raqun. F (x) = f(x) Mterijl pripremio Benjmin Linus U mterijlu su e definicije, teoreme, dokzi teorem (rđenih n predvƭu i primeri. Dodo sm i neke done primere d bih ilustrovo prikznu teoriju. Integrlni rqun Definicij. Nek

Διαβάστε περισσότερα

7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo

7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo 7 Odreženi integrli 63 7 Odreženi integrli Nek je funkcij f(x) definisn n intervlu [, ]. Ako ovj intervl podeo n n delov tčkm = x < x < x

Διαβάστε περισσότερα

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek

Διαβάστε περισσότερα

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5 Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE

SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE Do sd smo već definisli skup Ω elementrnih dogđj Ako se elementrni dogđji ω mogu predstviti ko relni brojevi, ond se eksperiment može zmisliti ko izbor jedne promenljive

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

4. Relacije. Teorijski uvod

4. Relacije. Teorijski uvod VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 4

Matematička analiza 4 Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević 14.5.214. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij 7 1.1 Žordnov mer u R n....................... 7 1.1.1 Mer prvougonik u R 2................ 7 1.1.2 Mer n-intervl u R n..................

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Mera, integral i izvod

Mera, integral i izvod Mer, integrl i izvod Drgn S. Dor dević 3.1.2014. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Uvod 7 1.1 Osnovni pojmovi......................... 7 1.2 Topološki prostori......................... 8 1.3 Metrički prostori.........................

Διαβάστε περισσότερα

Rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću redova. Specijalne funkcije. Ortogonalne funkcije

Rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću redova. Specijalne funkcije. Ortogonalne funkcije Glv 1 Rešvnje diferencijlnih jednčin pomoću redov. Specijlne funkcije. Ortogonlne funkcije 1.1 Neke druge specijlne funkcije Skoro bez izuzetk, njčešće korišćene specijlne funkcije su trigonometrijske

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F

SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost

Διαβάστε περισσότερα

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk

Διαβάστε περισσότερα

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Matematički osnovi Z transformacije

Matematički osnovi Z transformacije Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije

1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Izvodi i integrali necelog reda

Izvodi i integrali necelog reda UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ntš Durković Izvodi i integrli necelog red -mster rd- Mentor: Docent dr Snj Konjik Novi Sd, 2. Predgovor Frkcioni

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata] Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

R A D N I M A T E R I J A L I

R A D N I M A T E R I J A L I Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7. IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Krivolinijski integral

Krivolinijski integral Poglvlje 4 Krivolinijski integrl 4.1 Vektorsko polje U ovom i nrednom poglvlju, osim sklrnih, rdićemo i s vektorskim funkcijm više promenljivih, F : R n R m, F = (F1,...,F m ), F i : R n R, i = 1,...,m,

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.

Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Neodre deni integral

1.1 Neodre deni integral . Neodre deni integrl.. Površinski problem Uvod u površinski problem Iko većin rzmišlj o integrlu isključivo ko o obrtu izvod, osnove integrlnog rčun sežu mnogo dlje u prošlost od modernih vremen. Jedn

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Dodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x)

Dodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x) Dodtk B Furijeovi redovi Posmtrjmo itervu [, eku fukciju f () i ek je o tom itervu eprekid u deovim (im koč roj prekid prve vrste - prekidi u kojim fukcij im koč skok s eve desu griču vredost (vidi S.

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Relativno mirovanje tečnosti. Translatorno kretanje suda sa tečnošću

Relativno mirovanje tečnosti. Translatorno kretanje suda sa tečnošću Reltivno irovnje tečnosti Trnsltorno kretnje sud s tečnošću Zdtk Cistern čiji je orečni resek elis oluos i b nunjen je tečnošću ustine i kreće se rvolinijski jednklo ubrzno ubrznje w o orizontlnoj rvni

Διαβάστε περισσότερα

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n

Διαβάστε περισσότερα

TROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β

TROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Mster rd LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Snježn Mksimović Mentor: Akdemik dr Stevn Pilipović Novi Sd, pril 211. iii Sdržj Predgovor vi 1. Osnovn Lplce-ov trnsformcij 1 1.1. Egzistencij Lplce-ove trnsformcije...............

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos

Διαβάστε περισσότερα

U n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematički fakultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE

U n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematički fakultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE U n i v e r z i t e t u B e o g r d u Mtemtički fkultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE M s t e r r d Mentor: dr Jelen Jocković Student: Jelen R. Suzić B e o g r d, 2015 S d r ž j Predgovor 1 1 Integrlni

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

REPETITORIJ MATEMATIKE za studente elektrotehnike

REPETITORIJ MATEMATIKE za studente elektrotehnike REPETITORIJ MATEMATIKE z studente elektrotehnike Bojn Kovčić Luk Mrohnić Tihn Strmečki Tehničko veleučilište u Zgrebu Predgovor Ovj priručnik nmijenjen je studentim 1. godine stručnih studij elektrotehnike

Διαβάστε περισσότερα

NEJEDNAKOSTI I PRIMENE

NEJEDNAKOSTI I PRIMENE NEJEDNAKOSTI I PRIMENE dr Jele Mojlović Prirodo-mtemtički fkultet Niš SADRŽAJ Nejedkosti izmed u brojih sredi Prime ejedkosti izmed u brojih sredi 6 Geometrijske ejedkosti Nejedkosti z elemete trougl Stereometrijske

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi: tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNE JEDNAČINE. za koji važi: a x b

LINEARNE JEDNAČINE. za koji važi: a x b LINERNE JEDNČINE Pod linernom jednčinom po x podrzumevmo svku jednčinu s nepozntom x koj se ekvivlentnim trnsformijm svodi n jednčinu olik: gde su i dti relni rojevi. x Rešenje ove jednčine je svki reln

Διαβάστε περισσότερα

d(o,1) = i = 1. Uvođenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ]

d(o,1) = i = 1. Uvođenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ] -- 71 -- 7.2. KOORDINATNI SISTEM-KOORDINATIZACIJA Podsjetimo se pojmov dimenzij i bz prostor: ''Njveći'' broj linerno nezvisnih vektor u nekom vektorskom prostoru zovemo dimenzijom tog prostor. Ako je

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1 Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Boris Širola

Matematika 2. Boris Širola Mtemtik 2 (. Riemnnov integrl) Boris Širol predvnj . Riemnnov integrl 3 Pretpostvimo d immo neku neprekidnu relnu funkciju f, definirnu n nekom segmentu; tj., nek je dn neprekidn funkcij f : [, b] R.

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα