Многоугао, странице и дијагонале. Број дијагонала многоугла. Obele`i svaki mnogougao, a zatim napi{i kojoj vrsti po broju stranica pripada.

Transcript

1 Многоугао Многоугао, странице и дијагонале. Број дијагонала многоугла 1 Obeleì svki mnogougo, ztim npi{i kojoj vrsti po broju strnic pripd. Petougo Ncrtj osmougo FGH. Obeleì wegov temen. ) Npi{i temen susedn temenu. b) Npi{i temen nesusedn temenu G. v) Ncrtj dijgonle iz temen. Koliko ih im? 3 Ncrtj petougo tko d bude: ) konveksn b) nekonveksn. 4 Ncrtj {estougo i obeleì wegov temen ko je {estougo: ) konveksn b) nekonveksn. 5 Ncrtj sve dijgonle iz temen mnogougl n slici. Npi{i koliko ih im i n koliko je trouglov tim dijgonlm podeqen dti mnogougo. [t je zpo~eto? ) sedmougo b) devetougo v) desetougo F I H G G F J H I G F 6 Ncrtj duž ko n crtežu. Ncrtj proizvoqn sedmougo FG ko je dt du` wegov dijgonl. 57

2 7 Koliko mnogougo im strnic ko iz jednog temen mo`e{ ncrtti: ) 1 dijgonl b) 5 dijgonl? 8 Ncrtj mnogougo i obele`i wegov temen ko su ncrtne jedine dijgonle iz temen. Koliko mnogougo im strnic? 9 Ncrtj sve dijgonle {estougl n slici. Koliko ih im? F 10 Ncrtj proizvoqn mnogougo i sve wegove dijgonle ko je: ) n = 7 b) n = 8 v) n = 10 Koliko svki od mnogouglov im dijgonl? roj dijgonl jednog mnogougl je 44. Koji je to mnogougo? Решење Prvi kork Primewujemo formulu z broj dijgonl: n ( n 3) = 44 n n 3 = 88 ( ) Postupk crtw dijgonl: prvo ncrtj sve dijgonle iz jednog temen, ztim sve dijgonle iz slede}eg temen i tko redom. rugi kork Rstvqmo broj 88 n ~inioce: 88 = 11 = 8 11 obili smo d je 88 proizvod dv prirodn broj koj se rzlikuju z 3. kle, n = 11. Jednestougo im 44 dijgonle Koliko mnogougo im strnic ko je ukupn broj wegovih dijgonl: ) 0 b) 90 v) 170 g) 405? li postoji mnogougo ~iji je ukupn broj dijgonl jednk: ) 100 b) 3 30? 58

3 Збир углова многоугла 1 Izr~unj zbir uglov: ) devetougl b) petnestougl v) trinestougl. Izr~unj koliko mnogougo im strnic ko je dt zbir unutr{wih uglov mnogougl. ) b) v) ) Re{i jedn~inu: (n ) 180 = Izr~unj ugo mnogougl n slici. ) b) v) Izr~unj uglove 1, i Zbir unutr{wih uglov mnogougl je 50. Koliko strnic im mnogougo? Koliko dijgonl im mnogougo? Koliki je zbir unutr{wih uglov mnogougl koji im 54 dijgonle? Nek je jedn unutršwi ugo petougl i nek je svki slede}i ugo od preostl ~etiri z 0 ve}i od prethodnog. Izr~unj sve uglove petougl. Izr~unj spoq{we uglove {estougl ko je jedn spoq{wi ugo, drugi, svki slede}i spoq{wi ugo, od preostl ~etiri, jednk zbiru prethodn dv. Tri spoq{w ugl {estougl su prv, ostl tri su jednk. Izr~unj spoq{we i unutr{we uglove tog {estougl. 10 Izr~unj spoq{we uglove petougl ko je jedn spoq{wi ugo, svki slede}i od preostl ~etiri z 10 ve}i od prethodnog. 59

4 11 Izr~unj nepoznte uglove mnogougl n slici. ) b) v) β β U petouglu su tri ugl prv i dv ugl jednk. Koliki su uglovi petougl? 13 Od dv jednkokrk trpez jednkih osnovic sstvqen je konveksn {estougo. ko je po jedn ugo dtih trpez 4, koliki su uglovi {estougl? 14 Od dv prvougl trpez jednkih osnovic sstvqen je konveksn petougo. ko je po jedn ugo dtih trpez 55, koliki su uglovi petougl? 15 Izr~unj zbir ozn~enih uglov petokrke zvezde n slici Uglovi, y, z, δ, j, su spoqšwi uglovi petougl y z Својства правилних многоуглова 1 Koji su mnogouglovi n slici prvilni? Zokru`i slov ispod wih. Koristi {estr d utvrdi{ jednkost uglov i strnic. ) b) v) g) d) ) e) `) z) i) 60

5 Izr~unj unutr{wi ugo prvilnog mnogougl ko je: ) n = 15 b) n = 18 v) n = 0 3 Izr~unj broj strnic prvilnog mnogougl ko je unutr{wi ugo: ) 150 b) 140 v) Izr~unj unutr{wi ugo i centrlni ugo prvilnog mnogougl ko je spoq{wi ugo: ) 15 b) 45 5 Koliko strnic im prvilni mnogougo ko je spoq{wi ugo: ) 40 b) 0 v) 1? 6 ijgonle prvilnog petougl su jednke. okì. okì d su trouglovi i podudrni. 7 t je prviln petougo. Izr~unj uglove, i. Prvo izr~unj unutr{wi ugo petougl. Trougo je jednkokrki trougo. 8 t je prviln {estougo F. Izr~unj uglove F i. F 9 Koliko dijgonl moè d se povu~e iz jednog temen prvilnog sedmougl FG n slici? Ncrtj ih. Koje su dijgonle jednke? okì okì d su odgovrju}i trouglovi podudrni. Primeni prvilo SUS

6 10 Ncrtj ose simetrije i obeleì polupre~nike opisne i upisne kru`nice prvilnog: ) sedmougl b) osmougl. 11 Prvilnim mnogouglovim n slici konstrui{i centr. êtvorougo n slici je jednkokrki trpez. okì. Решење okžimo d su strnice i prlelne Produùjemo krke i do presek u t~ki. Trougo je jednkokrki trougo, =, jer je: = = 180 Zbir uglov u trouglu je 180. Izrzimo ugo : = 180 Trougo tko e je jednkokrki trougo jer su strnice i jednke: = +, = + Strnic je osnovic jednkokrkog trougl, {to zn~i d su uglovi n woj jednki. = Izrzimo ugo preko ugl : = (180 ) : = (180 ( 180 )) : = 180 Zkqu~ujemo d je: = {to zn~i d su prve i prlelne, odnosno d je ~etvorougo jednkokrki trpez. 6

7 1 Strnice osen~enog ~etvorougl su tri strnice i dijgonl prvilnog mnogougl n slici. ) okì d je osen~eni ~etvorougo jednkokrki trpez. b) Izr~unj wegove uglove. Pogledj re{en primer n prethodnoj strni. 13 Produì strnice 1 i 7 8 devetougl do presek S. Pokì d je trougo 7 S jednkostrni~ni trougo. S Izr~unj uglove trougl 7 S N slici je prviln mnogougo. Izr~unj uglove: ) ~etvorougl b) petougl v) trougl N slici je prviln mnogougo. okì d je: ) trougo prviln b) ~etvorougo kvdrt Uputstvo z deo zdtk pod b): dokži jednkost strnic i uglov četvorougl. 63

8 Izrzi pomo}u strnice polupre~nik opisne i polupre~nik upisne kru`nice: ) jednkostrni~nog trougl Решење b) kvdrt Решење v) prvilnog {estougl. Решење ) b) v) ro ru ro ru ro ru entr jednkostrni~nog trougl je presek simetrl uglov, simetrl strnic, visin i teì{nih duì. entr kvdrt je presek simetrl strnic i simetrl uglov, odnosno dijgonl kvdrt. Krkteristi~ni trougo prvilnog {estougl je jednkostrni~ni trougo. ro = h 3 r = 1 u h 3 r = 1 o d r = 1 u r = o r = u 3 r o = 3 3 r = 1 u 3 3 r = o 3 3 r = u 6 3 r = o r = 1 u užin strnice prvilnog mnogougl je 1 cm. Izr~unj polupre~nik opisnog krug i polupre~nik upisnog krug ko je: ) n = 3 b) n = 4 v) n = 6 Polupre~nik opisnog krug prvilnog mnogougl je 1 cm. Izr~unj dužinu strnice mnogougl ko je: ) n = 3 b) n = 4 v) n = 6 Polupre~nik upisnog krug prvilnog mnogougl je cm. Izr~unj dužinu strnice ko je: ) n = 3 b) n = 4 v) n = 6 19 Koliko dijgonl im prviln {estougo? Ncrtj ih. Izr~unj wihove duìne ko je strnic = 6 cm. 0 okì d je kr} dijgonl prvilnog {estougl dv put ve} od polupre~nik upisnog krug. d 1 d h h d 1 = d = h S h je oznčen visin jednkostrni~nog trougl. 64

9 1 Nek su M, N, P, Q, R i S sredi{t strnic prvilnog {estougl F n slici. okì d je {estougo MNPQRS prviln. M F S R N Q P N slikm su jednkostrni~ni trougo, kvdrt, prviln {estougo i wihove opisne kru`nice. N osnovu podtk s slike izr~unj wihove strnice. cm 1 cm 30 cm 90 cm cm 60 cm 3 Od ~etiri podudrn deltoid moè{ d sstvi{ prviln osmougo. Koliki su uglovi tkvog deltoid? 4 N slici je prviln mnogougo. okì d su prlelne strnice: ) 1 i 4 5 b) 1 i ko je mnogougo n slici prviln, dokì d je osen~eni ~etvorougo prvougonik. ) b) Пробај и ово 6 okì d njve} i njmw dijgonl prvilnog osmougl grde ugo od 45 ili 90 ili su međusobno prlelne. 65

10 Конструкција правилних многоуглова 1 U kru`nicu k upi{i: ) jednkostrni~ni trougo b) kvdrt. O O ) entrlni ugo jednkostrni~nog trougl je 10. b) entrlni ugo kvdrt je Ncrtj kru`nicu k(o, r =,5 cm). Upi{i u kru`nicu jednkostrni~ni trougo i prviln {estougo. U kkvom su odnosu wihove strnice? Polupre~nik opisnog krug prvilnog mnogougl je 3 cm. Konstrui{i mnogougo ko je: ) n = 4 b) n = 8 U kru`nicu polupre~nik 3 cm upi{i prviln dvnestougo. 5 U kru`nicu polupre~nik 3 cm upi{i prviln šestougo. 6 užin strnice prvilnog mnogougl je,5 cm. Konstrui{i mnogougo ko je: ) n = 6 b) n = 8 v) n = 1 ) Ncrtj jednkostrni~ni trougo O strnice,5 cm i kru`nicu k(o, r =,5 cm). b) Ncrtj jednkokrki trougo O, osnovice =,5 cm i O = 45. Ncrtj kru`nicu k(o, r = O). Konstrui{i prviln {estougo ko je r u = cm. Решење Prvi kork Konstrui{emo prvougli trougo SO ko n slici. O 30 cm S 66

11 rugi kork Konstrui{i kru`nicu k(o, r = O). Presek prve S i kru`nice k ozn~imo s. u` je strnic prvilnog {estougl i kru`nic k je wegov opisn kru`nic. 30 O cm S 7 Konstrui{i jednkostrni~ni trougo ko je polupre~nik upisne kru`nice cm. Prvi kork O 60 Konstrui{i trougo SO. cm S rugi kork Konstrui{i krkteristi~ni trougo O. 8 Konstrui{i prviln {estougo ko je: ) ml dijgonl dužine 3 cm. b) velik dijgonl dužine 4 cm. Skic ti mo`e pomo}i d re{i{ zdtk. ) b) 4 cm 3 cm Konstrui{i prviln osmougo ko je: ) r u = cm b) njmw dijgonl 3 cm v) njve} dijgonl 5 cm. 10 Koriste}i uglomer i lewir, ncrtj prviln petougo strnice = 3 cm. Unutr{wi ugo prvilnog petougl jednk je Koriste}i lewir, {estr i uglomer, ncrtj prviln petougo ko je: ) polupre~nik opisnog krug r о = 3 cm b) dijgonl d =3 cm. Uputstvo z deo zdtk pod b): prvo konstrui{i jednkokrki trougo O Koriste}i lewir, {estr i uglomer, ncrtj prviln desetougo strnice = cm. 67

12 Обим и површина многоугла 1 Petougo n slici podeqen je dijgonlm i n tri trougl. Izmeri potrebne duì u milimetrim i izr~unj povr{inu mnogougl. Ncrtj proizvoqn petougo, rzloì g n tri trougl. Izmeri potrebne elemente i izr~unj obim i povr{inu. 3 4 Ncrtj proizvoqn sedmougo. Rzloì g n njmwi broj trouglov. Izmeri odgovrju}e elemente i izr~unj povr{inu sedmougl ko zbir povr{in tih trouglov. Rzloì mnogougo n slici, izmeri potrebne duì u milimetrim i izr~unj povr{inu mnogougl. b c c b 5 Rzloì mnogougo n slici n jedn prvougonik i dv trougl i izr~unj wegovu povr{inu. cm 4 cm 1 cm cm 6 Strnice deltoid su 3,6 cm i 5, cm i polupre~nik upisnog krug je 1,8 cm. Izr~unj povr{inu deltoid. 7 Izr~unj povr{inu: ) prvougonik strnic = 1, cm i b = 0,8 cm b) romb čije su dijgonle d 1 = cm i d = 3,6 cm v) deltoid čije su dijgonle d 1 = 4 cm i d = 3, cm g) trougl čij je strnic = 6 cm, odgovrju} visin h = 4, cm. 68

13 8 Izr~unj obim i povr{inu prvilnog mnogougl strnice = 4 cm ko je: ) n = 3 b) n = 4 v) n = 6 Prvo izr~unj strnicu trougl. Primeni formule: n = 3, r ro o = 3, r 3 u = n = 4, r o =, r = 1 u n = 6, r = o, r = u 3 9 Izr~unj obim i povr{inu jednkostrni~nog trougl ko je: ) polupre~nik opisnog krug r о = 3 cm b) polupre~nik upisnog krug r u = cm v) visin h = 1 cm Izr~unj obim i povr{inu kvdrt ko je: ) polupre~nik opisnog krug r о = 3 cm b) polupre~nik upisnog krug r u = cm. Izr~unj obim i povr{inu prvilnog {estougl ko je ) polupre~nik opisnog krug r о = 3 cm b) poluprečnik upisnog krug r u = 3 cm. 1 ok`i d je povr{in jednkostrni~nog trougl ~ije su strnice jednke kr}oj dijgonli prvilnog {estougl jednk polovini povr{ine tog {estougl. 13 [estougo n slici sstvqen je od dv podudrn jednkokrk trpez. N osnovu podtk s slike izr~unj obim i povr{inu {estougl. 18 mm Primeni Pitgorinu teoremu i izr~unj dužinu krk trpez. 1 cm 36 mm 14 Povr{in jednkostrni~nog trougl je 1 3 cm. Izr~unj dužinu strnice trougl. 15 Povr{in prvilnog {estougl je 1 3 cm. Izr~unj dužinu strnice {estougl. 16 Prviln {estougo i jednkostrni~ni trougo imju jednke obime. U kojoj su rzmeri wihove povr{ine? 69

14 17 Od kvdrt strnice = 1 cm izrezn je osmougo ko n slici. Izr~unj wegov obim i povr{inu. Izrzi u procentim koji je deo dtog kvdrt osmougo. 18 Od jednkostrni~nog trougl izrezn je {estougo ko n slici. okì d je {estougo prviln. Izrzi u procentim koji je deo dtog trougl {estougo. 19 Izr~unj obim i povr{inu osen~ene figure ko se zn d je strnic prvilnog {estougl = 1 cm. ) b) Пробај и ово 0 okì d je povr{in prvilnog osmougl jednk proizvodu njve}e i njmwe dijgonle. 1 Nd strnicm kvdrt strnice = 4 cm konstruisni su jednkostrni~ni trouglovi n slici. okì d je ~etvorougo kvdrt i izr~unj wegov obim i povr{inu. Nd strnicm jednkostrni~nog trougl strnice = 6 cm konstruisni su kvdrti. Izr~unj obim i povr{inu {estougl F. F R P Q 70

15 3 Izr~unj obim i povr{inu figure n slici. ) b) v) 4 Koji deo, izržen u procentim, zuzim osen~en figur u odnosu n dti mnogougo? Многоугао - систематизација 1 li broj dijgonl mnogougl mo`e d bude: ) 15 b) 100 v) 10 g) 1 710? Koji je to mnogougo kod kojeg je broj strnic jednk broju dijgonl? 3 Postoji li petougo s uglovim od: 40, 15, 155, 90, 135? 4 5 Zbir unutr{wih uglov mnogougl je Odredi broj strnic i broj dijgonl tog mnogougl. li zbir unutr{wih uglov nekog mnogougl d bude 3 000? 6 entrlni ugo prvilnog mnogougl je j = 30. Koliko mnogougo im strnic? Koliki je wegov unutr{wi ugo? Koliko im dijgonl? 7 Koliko strnic im prvilni mnogougo ko je spoq{wi ugo: ) 7 30 b) 15 v) 18 g) d) 9? 71

16 8 Koliko os simetrije im: ) prviln sedmougo b) prviln osmougo v) prviln dvnestotougo g) prviln trinestougo? Koji su od wih centrlnosimetri~ni mnogouglovi? 9 Osen~eni mnogouglovi dobijeni su od prvilnih mnogouglov, ko što je prikzno n crteìm. okì d su osen~eni mnogouglovi prvilni. 10 Konstrui{i krkteristi~n trougo prvilnog mnogougl strnice = 3 cm ko je: ) n = 1 b) n = te su prv i t~k O vn we. Konstrui{i prviln mnogougo ~ij strnic pripd prvoj, t~k O je wegov centr, ko je: ) n = 3 b) n = 4 v) n = 6 Prvo konstrui{i krkteristi~ni trougo. 1 Konstrui{i prviln osmougo ko duìn njkr}e dijgonle iznosi 3 cm Ncrtj proizvoqn petougo i rzloì g n tri trougl. Izmeri potrebne elemente i izr~unj obim i povr{inu. Prviln mnogougo rzloèn je n dve figure. Odredi rzmeru wihovih povr{in. P 1 P 1 P P 7

17

18