Prvo predavanje Vladimir Dananić 28. veljače 2012.
ii
Sadržaj 1 Električne pojave i sile 1 1.1 Kratki povijesni pregled poznavanja fundamentalnih sila..... 1 1.2 Sveprisutnost elektriciteta...................... 2 2 Coulombov zakon 5 2.1 Električno polje............................ 6 iii
SADRŽAJ SADRŽAJ iv
POGLAVLJE 1. ELEKTRIČNE POJAVE I SILE Poglavlje 1 Električne pojave i sile 1.1 Kratki povijesni pregled poznavanja fundamentalnih sila Elektromagnetska sila je jedna od četiriju poznatih fundemantalnih sila.u nekim svojim vidovima ta je sila jako slična gravitacijskoj sili, koja je također fundamentalna sila. Povijesni razvitak znanosti svjedoči o toj činjenici jednostavno tako što su te dvije sile bile poznate od davnine, premda nisu bile matematički opisane. Ali i onda kada su obje bile opisane i uobličene u teorije, to znači Newtonov zakon gravitacije (17. stoljeće) 1, kojega je naslijedila Einsteinova 2 teorija opće gravitacije, i Maxwellova 3 teorija klasične elektrodinamike koja je proizašla iz domišljatih pokusa Michaela Faradaya 4, te dvije teorije bile su prve koje je ljudski um pokušao ujediniti u jedinstvenu teoriju sila. To je pokušao Einstein 20.-tih godina 20. stoljeća, no bez uspjeha. Međutim, tijekom druge polovice 20. stoljeća elektromagnetska sila bila je ujedinjena, ali ne s gravitacijskom nego sa slabom nuklearnom silom. To je poznato kao Weinberg-Salamov 56 standardni model. Gravitacijska sila ostala je po strani, tako da još uvijek nemamo općeprihvaćenu i pokusima potkrijepljenu ujedinjenu teoriju sila. Mi se ovdje ne ćemo baviti ujedinjavanjem elektromagnetske sile s ostalim silama, ali ćemo se ipak baviti svojevrsnim ujedinjavanjem. Naime, elektricitet i magnetizam bile su poznate kao dvije nezavisne i nepovezane sile. Tako je to bilo sve dok Ørsted 7 nije slučajno otkrio da se magnetska igla pomiče u blizini žice 1 Sir Isaac Newton, 1643.-1728., engleski prirodoslovac, utemeljitelj zakona dinamike i zakona gravitacije. Za više potankosti vidjeti http://hr.wikipedia.org/wiki/isaac_newton 2 Albert Einstein, 1879.-1955., njemački fizičar, utemeljitelj posebne i opće teorije relativnosti (gravitacije). Njegovo je ime postalo istoznačnicom za genija u modernoj fizici. Za više potankosti vidjeti http://hr.wikipedia.org/wiki/albert_einstein 3 James Clerk Maxwell, 1831.-1879., škotski fizičar, utemeljitelj klasične elektrodinamike. Za više potanksti vidjeti http://hr.wikipedia.org/wiki/james_clerk_maxwell 4 Michael Faraday,1791.-1867., engleski fizičar, poznat po domišljatim pokusima. Za više potankosti vidjeti http://hr.wikipedia.org/wiki/michael_faraday 5 Steven Weinberg,rođen 1933., američki teorijski fizičar. Za više potankosti vidjeti http: //en.wikipedia.org/wiki/steven_weinberg 6 Mohammad Abdus Salam, 1926.-1996., pakistanski teorijski fizičar. Za više potankosti vidjeti http://en.wikipedia.org/wiki/abdus_salam 7 Hans Christian Ørsted, 1777.-1851., danski fizičar i kemičar. Za više potankosti vidjeti http://hr.wikipedia.org/wiki/hans_christian_\t1\o{}rsted 1
1.2. SVEPRISUTNOST.. POGLAVLJE 1. ELEKTRIČNE POJAVE I SILE Slika 1.1: Statički elektricitet djeluje jednako na ljude i na ostala živa bića. protjecane električnom strujom. Sam naziv elektromagnetska sila upućuje na tu povijesnu činjenicu. Dakle, elektromagnetizam već je jedna teorija ujedinjenja. A sada idemo vidjeti što ćemo ujediniti s čime, zašto i kako ćemo to učiniti. 1.2 Sveprisutnost elektriciteta Moderno doba, u kojem smo se navikli rabiti elektricitet na bezbroj načina, nije doba otkrića elektriciteta nego njegove primjene. Svakodnevno iskustvo nam pokazuje postojanje elektriciteta i to se iskustvo ne bi jako promijenilo čak i kada bismo ostali bez ikakvih modernih naprava, poput televizora i računala, mikrovalnih pećnica i mobitela i svakovrsne umjetne rasvjete. Dovoljno je posjedovati i nositi vuneni dio odjeće pa da se vlastitim osjetilima uvjerimo da postoji nekakva sila koja čini da nam kosa (ako ju imamo) strši zato što ju je nešto nevidljivo privuklo, ili da nam iz prstiju iskoči iskra pri dodiru s metalnim predmetom. I sve to ako imamo sreće da nas nikada ne udari munja iz oblaka. No, ono što je najuočljivije, toliko uočljivo da to ne možemo vidjeti, nego s pomoću toga vidimo, je sama svjetlost. Činjenica da je svjetlost elektromagnetski val postala je poznatom tek u drugoj polovici 19. stoljeća. Svjetlo je, dakle, najuočljivi primjer ujedinjenja dviju pojavnosti elektriciteta i magnetizma. Statički elektricitet može se proizvoditi jednostavnim postupkom. Naprimjer, obično trljanje jantarnog štapa vunenom krpom proizvodi električni naboj. No, postoje i živa bića koja mogu trenutno proizvesti toliko statičkog elektriciteta da se mogu obraniti od napadača. Primjeri navedeni u slikama zorno svjedoče o tome da je električni naboj svakodnevna i sveprisutna pojava. Sada tu pojavu trebamo opisati tako da ju apstrahiramo na sličan način kao što se apstrahira broj. Kad kažemo broj, onda ne moramo reći što brojimo.tako ćemo postupiti i s električnim nabojem. Kao prvo, jasno je da postoji količina naboja. Ta veličina mora biti skalarna, jer nije uočeno da ona ovisi o smjeru. Dakle, električni je naboj veličina poput mase. No, s jednom bitnom razlikom. 2
POGLAVLJE 1. ELEKTRIČNE POJAVE I SILE 1.2. Slika 1.2: Električna jegulja (Electrophorus electricus) može proizvesti dovoljno veliku količinu naboja i dovoljno veliki električni napon da ubije čovjeka. Za više potankosti vidjeti http://en. wikipedia.org/wiki/electric_eel Kad bismo masu htjeli proizvoditi na sličan način kao što to možemo činiti s električnim nabojem, naprimjer trljanjem dvaju predmeta, možemo to učiniti. Ali znamo da smo tim procesom jednom tijelu oduzeli ( ostrugali ) nešto mase, tako da je masa tijela nakon toga manja. Dakle, imamo zakon očuvanja mase; nju ne možemo ni iz čega stvoriti ili ju u ništa pretvoriti. No, kad imamo električni naboj, onda trljanjem dvaju tijela oba tijela dobiju naboj. Znači li to da električni naboj možemo stvoriti ni iz čega? Naravno da ne znači. Moramo biti sumnjičavi kada nam se prividno nudi mogućnost da nešto stvorimo ni iz čega. Očiti izlaz iz ovog prividnog kršenja zakona očuvanja je vrlo jednostavan. Naime, postoje dvije vrste naboja: pozitivan i negativan. Zbroj sviju naboja u zatvorenu sustavu očuvan je. Ako je taj zbroj jednak 0, onda govorimo o električki neutralnom sustavu. Za razliku od mase, električki naboj može biti i pozitivan i negativan, a masa je samo pozitivna veličina. Ako je tako, a svi pokusi pokazuju da je to istina, onda se moramo zapitati kako to da su materijalna tijela uglavnom električki neutralna. Moramo zaključiti da tvar teži k električkoj neutralnosti, tj. da se pozitivni i negativni naboji vole. Preciznije, to nas navodi na zaključak da se pozitivni i negativni naboji međusobno privlače, da između njih postoji privlačna sila. Znamo da se mase uvijek privlače, ali sve su mase pozitivne. Ovdje smo naišli na sasvim drugačiju pojavu privlače se naboji različitog predznaka, pa su tijela zato električki neutralna. Sljedeće pitanje koje se nameće je kako međusobno djeluju naboji istoga predznaka? Ako bi i između njih, tj. između naboja istoga predznaka, djelovala također privlačna sila, onda bismo u prirodi morali moći naći tijela koja su električki nabijena i koja se nastoje što više skupiti, upravo kao što se zbog gravitacijskog privlačenja nastoje skupljati tijela koja združuju svoje mase. Međutim, već sam pogled na Sliku 1. govori nam da tu nije riječ o skupljanju, nego o međusobnom odbijanju. Dakle, naboji istoga predznaka međusobno se odbijaju. To je vrlo jednostavno pokazati pokusom. No, ta činjenica dovodi do sljedećeg teškog pitanja, na koje još uvijek nemamo sasvim zadovoljavajući odgovor. A to pitanje je sljedeće: ako se naboji istoga predznaka međusobno odbijaju i ako je električki naboj kontinuirana veličina, kako to da uopće onda postoji bilo što što ima naboj jednog te istog predznaka? Naime, zbog odbijanja naboj bi se morao raspršiti, potpuno nestati. Postoji li onda nekakva druga nepoznata, ne-električka, sila koja jedan te isti naboj uopće drži na okupu? Odgovor na to pitanje je sasvim jednostavan i, zapravo, još uvijek neshvatljiv električki naboj nije kontinuirana veličina, nego se pojavljuje u cjelobrojnim jedinicama elementarnog naboja. U kemiji su naročito poznate te jedinice naboja: pro- 3
1.2. POGLAVLJE 1. ELEKTRIČNE POJAVE I SILE ton i elektron, pozitivna i negativna jedinica električkog naboja. Pitanje što drži na okupu tu jedinicu naboja preteško je za ovaj kolegij i zadire u najdublje teorije moderne fizike. Kvantiziranost naboja uzet ćemo kao datost za koju priznajemo da ju uopće ne razumijemo. Činjenicu kvantiziranosti električkog naboja prvi je dokazao Millikan 8. No, jedno moguće teorijsko objašnjenje za kvantiziranost električkog naboja dao je Dirac. 9. Međutim, to teorijsko objašnjenje pretpostavlja postojanje magnetskih naboja (monopola) i poznavanje kvantne mehanike. Ali magnetski monopoli nisu nikada bili sa sigurnošću ustanovljeni ni u kojem pokusu. Na kraju ovoga kratkoga pregleda sakupimo osnovne činjenice o elektricitetu Električki naboj je skalarna veličina, koja može imati i pozitivne i negativne vrijednosti. U zatvorenu sustavu ukupni električki naboj je očuvan. To znači da je u zatvorenu sustavu promjena količine naboja jednaka 0: q = 0 (1.1) Naboji istoga predznaka međusobno se odbijaju, a naboji različitog predznaka međusobno se privlače. Količina naboja je kvantizirana, tj. pojavljuje se samo kao cjelobrojni umnožak osnovne količine naboja. To znači da za svaki naboj q vrijedi gdje je e neka elementarna količina naboja. q = Ne, N Z (1.2) Elementarna količina naboja u SI sustavu mjernih jedinica iznosi e = 1, 6 10 19 C. 8 Robert Andrews Millikan, 1868.-1953., američki fizičar. Za više potankosti o njemu i o čuvenom pokusu kojim je dokazao kvantiziranost električkog naboja vidjeti http://en. wikipedia.org/wiki/robert_andrews_millikan 9 Paul Adrien Maurice Dirac, 1902.-1984., engleski fizičar. Zaslužan je za razvoj kvantne teorije polja. Više o njemu i njegovim dubokim teorijskim uvidima vidjeti na http://en. wikipedia.org/wiki/paul_dirac 4
Poglavlje 2 Coulombov zakon Slično kao i kod ustanovljenja Newtonovog zakona gravitacije, gdje smo govorili o zakonu privlačenja točkastih masa, tako ćemo i ovdje zamisliti naprije točkaste naboje. Zapravo ćemo zamisliti male kuglice koje na sebi imaju neku količinu naboja. Kuglice su tijela koja najviše sliče točci i zato ih uvijek uzimamo kada želimo smanjiti utjecaj geometrijskog oblika na promatranu silu. Metalne kuglice iste veličine imaju zgodno svojstvo: ako jednu nabijenu metalnu kuglicu dodirnemo s nenabijenom metalnom kuglicom iste veličine, naboji će na te dvije kuglice biti isti nakon dodira. Zašto? Iskustvena je činjenica da se naboji lako gibaju po metalnim površinama, a po nekim drugim površinama se ne gibaju uopće. Metali su dobri vodiči električkog naboja, a ostali su materijali izolatori i po njima se naboji teško, ako uopće, gibaju. Budući da su dvije metalne kuglice iste veličine, pri njihovu dodiru naboj će s jedne kuglice lako prelaziti na drugu sve dok se ne postigne ravnoteža. Kuglice se ni po čemu ne razlikuju, pa prema tome ne možemo tvrditi da se razlikuju po količini naboja ako su kuglice u jednom trenutku bile u dodiru. Zato što se naboji istoga predznaka međusobno odbijaju i zato što se lako gibaju po metalnim površinama, intuitivno je jasno da će se naboji po dvjema geometrijski jednakim kuglicama savršeno podjednako raspodijeliti kad se kuglice dodirnu. Taj je postupak sličan postupku u kojem pretačemo tekućinu iz jedne u drugu posudu sve dok se razine tekućine u dvjema posudama ne izjednače. No, kod spojenih posuda imamo izjednačavanje hidrostatskog tlaka, a ne sile. Pitanje je, dakle, što se pri spajanju metalnih površina izjednačava, što ima ulogu hidrostatskog tlaka? Ustvari, u 18. stoljeću, ljudi i jesu bili zamišljali električki naboj kao svojevrsni fluid. Isto su tako bili zamišljali i toplinu. Tok topline s jednoga tijela na drugo prestaje kada se temperature tijela izjednače. Slično je i s tokom naboja s jednog metalnog tijela na drugo, ali tok naboja ne prestaje s izjednačavanjem temperature temperature mogu na samom početku biti iste, a naboj će i dalje teći dok se to nešto, što nije ni temperatura ni hidrostatski tlak, ne izjednači. To nešto se uspostavlja dodirom metalnih površina. Postojanje toga nečega može se ustanoviti jednostavnim pokusom. Dakle, vrlo lako možemo dobiti dvije kuglice s istom, premda nepoznatom, količinom naboja q. Zapravo, zgodno je imati četiri takve jednake kuglice, od čega su dvije slobodne, a dvije su stavljene na torzijsku vagu. Primičući slobodne kuglice kuglicama na vagi možemi izravno mjeriti silu kojom jedna kuglica djeluje na drugu istoga naboja. Upravo takav je pokus bio izvršio 5
2.1. ELEKTRIČNO POLJE POGLAVLJE 2. COULOMBOV ZAKON Slika 2.1: Torzijska vaga jako jednostavan i jako učinkovit način mjerenja sile. Coulomb 1 Taj je pokus bio izveden 10 godina prije Cavendishova 2 pokusa u kojem je mjerio gravitacijsku silu, također s pomoću torzijske vage. I što je Coulomb bio ustanovio? Ustanovio je da je odbojna sila među kuglicama razmjerna količini naboja na njoj i obrnuto razmjerna kvadratu udaljenosti između kuglica. Dakle, sila među nabojima istoga predznaka odbojna je. Naravno da je potrebno biti domišljat i smisliti način kako postići da na jednoj kuglici bude količina naboja q, a na drugoj, naprimjer, količina naboja q, da bsimo tako mogli mjeriti privlačnu silu između naboja suprotnih predznaka. Matematički je oblik Coulombova zakona sljedeći: sila F 12 na točkasti naboj q 1 u točci r 1 kojom na njega djeluje točkasti naboj q 2, koji se nalazi u točci r 2, jednaka je q 1 q 2 F 12 = k r 1 r 2 3 ( r 1 r 2 ) (2.1) Elektrostatska sila djeluje na spojnici naboja i za tu silu vrijedi treći Newtonov zakon. U jednadžbi (2.1) konstanta k samo odražava sustav mjernih jedinica. Iz izraza za silu vidimo da ona jako naliči na gravitacijsku silu, pri čemu bi naboji imali ulogu mase, a konstanta k ulogu gravitacijske konstante. Koliko danas znamo, ne postoje nabijene čestice bez mase. Naprimjer, elektron i proton imaju i masu i naboj. Zato se među elementarnim česticam može uspoređivati gravitacijska i elektrostatska sila. Naime, omjer tih dviju sila ne će ovisiti o udaljenosti među česticama. Pokazuje se da je taj omjer takav da uz postojanje elektrostatske sile gravitacijsku silu među česticama možemo posve zanemariti. Budući da je Coulombov zakon, opisan jednadžbom (2.1), matematički istovjetan s Newtonovim zakonom gravitacije, možemo odmah zaključiti da za silu (2.1) postoji potencijalna energija q 1 q 2 E pot = k r 1 r 2 (2.2) 2.1 Električno polje Nastavljajući dalje sa sličnošću Newtonovog zakona gravitacije i Coulombovog zakona, uvest ćemo pojam električnog polja na sličan način kako smo uveli pojam gravitacijskom polja. Gravitacijsko polje je omjer sile na probnu masu 1 Charles Augustin de Coulomb, 1736.-1806., francuski fizičar. Za više potankosti o njemu vidjeti na http://hr.wikipedia.org/wiki/charles-augustin_de_coulomb 2 Henry Cavendish, 1731.-1810., engleski fizičar. Više o njemu na http://hr.wikipedia. org/wiki/henry_cavendish 6
POGLAVLJE 2. COULOMBOV ZAKON 2.1. ELEKTRIČNO POLJE Slika 2.2: Silnice električnog polja pozitivnog i negativnog točkastog naboja i probne mase kada probna masa teži k 0. Na sličan način električno polje definiramo kao omjer električne sile na probni naboj i probnog naboja kada probni naboj teži k 0. Recimo da je u jednadžbi (2.1) naboj q 2 probni naboj. Tada se on nalazi u električnom polju što ga stvara naboj q 1. Recimo da smo naboj q 1 smjestili u ishodište koordinatnog sustava, tako da imamo r 1 = 0, a položaj probnog naboja q 2 označit ćemo jednostavno s r, tj. stavit ćemo r 2 = r. Električno polje što ga stvara naboj q 1 tada je jednako F E 1 ( r) = lim 12 = k q 1 q 2 0 q 3 r (2.3) 2 r Grafički prikaz vektora električnog polja dan je na slici 2.2. Na nabijenu česticu q u električnom polju E djelovat će sila F = q E (2.4) Pozitivni naboji osjećat će silu u smjeru električnog polja, a negativni naboji suprotno smjeru električnog polja. Ta lako shvatljiva činjenica, što slijedi iz jednadžbe (2.4), ima za posljedicu pojavu polarizacije. Naime, kada neutralni sustav naboja stavimo u električno polje, pozitni naboji će se pomaknuti u smjeru polja, a negativni suprotno njemu. Doći će do razmicanja naboja, tako da će jedan kraj sustava biti pozitivno nabijen, a drugi negativno, premda će u cjelini sustav ostati i dalje neutralan. Ta pojava u kemiji ima jako velike posljedice. Jedna od najvažnijih posljedica polarizacije su van der Waalsove sile, 3 odgovorne za ukapljivanje plinova na niskim temperaturama. Ako stavimo metalni predmet u električno polje, onda govorimo o električnoj influenciji zato što se naboji lako gibaju po metalnim površinama. No, kakav god bio sustav koji stavimo u električno polje, uvijek imamo razmicanje pozitivnog i negativnog naboja. Takav, razmaknuti naboj, kojemu je ukupna vrijednost jednaka 0, zovemo električni dipol. Dakle, kada električno polje djeluje na neutralni sustav, ono u njemu inducira električni dipol. O tome malo više kasnije. Za električno polje vrijedi zakon superpozicije, koji kaže da je električno polje 3 Johannes Diderik van der Waals, 1837.-1923., nizozemski fizičar. Više o njemu na http: //en.wikipedia.org/wiki/johannes_diderik_van_der_waals 7
2.1. ELEKTRIČNO POLJE POGLAVLJE 2. COULOMBOV ZAKON Slika 2.3: Silnice električnog polja i ekvipotencijalne plohe za neke nabijene sustave. sustava točkastih naboja u svakoj točci jednako zbroju električnih polja od pojedinačnih naboja u toj točci. Dakle, ako imamo sustav točkastih naboja q i, i = 1, 2,..N. onda će ukupno električno polje biti jednako N N q i E ( r) = E i ( r) = k r r i 3 ( r r i) (2.5) i=1 i=1 Nastavljajući prispodobu Newtonovog zakona gravitacije i Coulombovog zakona za elektrostatsku silu, možemo lako definirati električni potencijal. Prisjetimo se: gravitacijski potencijal smo definirali kao omjer potencijalne energije čestice u gravitacijskom polju i njezine mase. Slično tomu, električni potencijal definiramo kao omjer potencijalne energije točkastog naboja u električnom polju i naboja: E pot Φ ( r) = lim = k q 1 (2.6) q 2 0 q 2 r To je električni potencijal što ga točkasti naboj q 1 stvara u prostoru oko sebe. Ta je veličina skalarna. Električno se polje dobiva iz električnog potencijala deriviranjem po prostornoj koordinati: E = Φ ( r) (2.7) Čestica naboja q u polju električnog potencijala Φ ima potencijalnu energiju: E pot = qφ (2.8) Točke u prostoru koje imaju istu vrijednost električnog potencijala čine ekvipotencijalnu plohu. Silnice električnog polja okomite su na ekvipotencijalne plohe. Orijentacija električnog polja uvijek je od područja (plohe) višeg potencijala prema području (plohi) nižeg potencijala. Električni potencijal je ono nešto što se izjednačava pri dodiru metalnih ploha. Metalne su plohe ekvipotencijalne plohe Zašto? Ako ne bi tako bilo, onda bi na metalnoj plohi električno polje imalo sastavnicu tangencijalno na plohu. No, zato što se 8
POGLAVLJE 2. COULOMBOV ZAKON 2.1. ELEKTRIČNO POLJE naboji lako gibaju po metalnoj plohi, takvo tangencijalno električno polje pomaknulo bi naboj na njoj. Dokle će ga pomicati? Kada će to pomicanje završiti? Pomicat će ga dotle dok se ne uspostavi upravo takva razdioba naboja na plohi koja više ne će imati tangencijalno električno polje, tj. dotle dok metalna ploha ne postane ekvipotencijalnom. Pomaci okomito na plohu nisu mogući (barem ne u nekakvim normalnim situacijama) jer neke druge, recimo kemijske, sile drže naboj prikovanim za plohu. Dakle, u statičkom slučaju metalna ploha je uvijek ekvipotencijalna. Slično kao što vrijedi za električno polje, zakon superpozicije vrijedi i za električni potencijal: N N q i Φ ( r) = Φ i ( r) = k r r i i=1 i=1 (2.9) Skalarne veličine je uvijek jednostavnije zbrajati nego vektorske veličine. Zato je za sustav naboja uvijek bolje izračunati, ili izmjeriti, električni potencijal i ekvipotencijalne plohe nego samo električno polje. Text 9