Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii şi ecuaţii canonice 1.1 Elipsa Definiţie 1.1. Fie F 1, F Π douǎ puncte oarecare fixate în plan, iar d (0, ) un numǎr pozitiv cu proprietatea cǎ d > F 1 F. Elipsa de focare F 1 şi F şi axǎ mare d este locul geometric al punctelor din plan pentru care suma distanţelor pânǎ la focarele F 1 şi F este egalǎ cu d: E = E(F 1, F, d) = {M Π MF 1 + MF = d}. Observaţie 1.. Cercul C = C(O, r) de centru O şi razǎ r este un caz particular de elipsǎ pentru care F 1 = F = O şi d = r. Observaţie 1.3. Considerând un reper ortogonal cu originea O în mijlocul segmentului [F 1 F ], cu axa Ox = F 1 F, notând F 1 F = c şi d = a, coordonatele focarelor vor fi F 1 (c, 0) şi F ( c, 0). Atunci M(x, y) E MF 1 + MF = a (x c) + y + (x + c) + y = a x + y + c + (x + y + c ) 4c x = a = (a c )x + a y = a (a c ) unde b = a c. b x + a y = a b x a + y = 1, (1) b Reciproc, dacǎ coordonatele punctului M verificǎ ecuaţia (1), atunci MF 1 = (x c) + y = x cx + c + b b c a x = a x cx + a = a c a x, şi analog MF = a + c a x. 1

Dacǎ (x, y) verificǎ (1), atunci x a, astfel cǎ c a x a şi Rezultǎ cǎ MF 1 + MF = a = d, şi M E. Prin urmare, MF 1 = a c a x, MF = a + c a x. M(x, y) E x a + y b = 1. Ecuaţia (1) se numeşte ecuaţia canonicǎ a elipsei. 1. Hiperbola Definiţie 1.4. Fie F 1, F Π douǎ puncte oarecare fixate în plan, iar d (0, ) un numǎr pozitiv cu proprietatea cǎ d < F 1 F. Hiperbola de focare F 1 şi F şi axǎ mare d este locul geometric al punctelor din plan pentru care valoarea absolutǎ a diferenţei distanţelor pânǎ la focarele F 1 şi F este egalǎ cu d: H = H(F 1, F, d) = {M Π MF 1 MF = d}. Observaţie 1.5. Considerând un reper ortogonal cu originea O în mijlocul segmentului [F 1 F ], cu axa Ox = F 1 F, notând F 1 F = c şi d = a, avem cǎ M(x, y) H MF 1 MF = a (x c) + y (x + c) + y = a x + y + c (x + y + c ) 4c x = a = (c a )x a y = a (c a ) unde b = c a. b x a y = a b x a y = 1, () b Reciproc, dacǎ coordonatele punctului M verificǎ ecuaţia (), atunci MF 1 = a c a x şi MF = a + c a x. Dacǎ (x, y) verificǎ (), atunci x a, şi c a x a. Dacǎ x a, atunci Dacǎ x a, atunci Prin urmare, MF 1 = c a x a, MF = c a x + a, şi MF 1 MF = a = M H. MF 1 = c a x + a, MF = c a x a, şi MF 1 MF = a = M H. M(x, y) H x a y b = 1. Ecuaţia () se numeşte ecuaţia canonicǎ a hiperbolei.

1.3 Parabola Definiţie 1.6. Fie F Π un punct, iar δ Π o dreaptǎ în plan. Parabola de focar F şi dreaptǎ directoare δ este locul geometric al punctelor egal depǎrtate de focarul F şi dreapta direcoare δ: P = P(F, δ) = {M Π MF = dist(m, δ)}. Observaţie 1.7. Considerǎm un reper ortogonal cu originea O în mijlocul segmentului [F P ], unde P = pr δ (F ) este proiecţia focarului F pe directoarea δ, cu axa Ox = F P (şi deci Oy δ). Dacǎ p = dist(f, δ), atunci focarul F are coordonatele F ( p, 0), iar directoarea δ are ecuaţia x = p. Avem atunci: ( M(x, y) P MF = dist(m, δ) x p ) + y = x + p ( x p ( + y ) = x + p y ) = px. (3) 1.4 Excentricitate Propoziţie 1.8. Fie F Π un punct, δ Π o dreaptǎ în plan, iar e (0, 1). Atunci locul geometric L al punctelor M din plan cu proprietatea cǎ MF = e dist(m, δ) este o elipsǎ având un focar în F şi pentru care raportul dintre distanţa focalǎ şi axa mare este egal cu e. Demonstraţie. Considerǎm un reper ortogonal xoy în care δ coincide cu axa Oy şi are ecuaţia x = 0, iar F are coordonatele (p, 0), unde p = dist(f, δ). Atunci M L MF = e dist(m, δ) (x p) + y = e x ( (1 e )x px + p + y = 0 x p ) + y 1 e 1 e = p e ( ). (1 e ) Considerând un nou reper ortogonal x O y cu O ( p, 0 ), în raport cu care coordonatele sunt 1 e x = x p, y = y, notând a = pe şi b = pe 1 e 1 e 1 e, atunci ( ) x a + y b = 1. pe pe 1 e Prin urmare, L este o elipsǎ cu centrul în O, semiaxǎ mare a =, semiaxǎ micǎ b = 1 e şi semidistanţǎ focalǎ c = a b = pe. Deoarece F O = p p = pe = c, punctul F 1 e 1 e 1 e este unul dintre focare, al doilea fiind simetricul lui F faţǎ de centrul elipsei O. În plus, avem cǎ c a = pe 1 e 1 e = e. pe Observaţie 1.9. Numǎrul e = c se numeşte excentricitatea elipsei. Deoarece cercul este un a caz particular de elipsǎ, de semidistanţǎ focalǎ c = 0, cercul poate fi considerat o elipsǎ de excentrictate nulǎ. 3

Propoziţie 1.10. Fie F Π un punct, δ Π o dreaptǎ în plan, iar e (1, ). Atunci locul geometric L al punctelor M din plan cu proprietatea cǎ MF = e dist(m, δ) este o hiperbolǎ având un focar în F şi pentru care raportul dintre distanţa focalǎ şi axa mare este egal cu e. Demonstraţie. La fel ca în cazul elipsei, considerǎm un reper ortogonal xoy în care δ coincide cu axa Oy şi are ecuaţia x = 0, iar F are coordonatele (p, 0), unde p = dist(f, δ). Atunci M L MF = e dist(m, δ) (x p) + y = e x (1 e )x px + p + y = 0 ( x p ) + y 1 e 1 e = p e ( ). (1 e ) Procedǎm în continuare ca în cazul elipsei şi considerǎm reperul ortogonal x O y cu O ( p, 0 ), 1 e în raport cu care coordonatele sunt x = x p, y = y. Notǎm a = pe, b = 1 e e pe şi 1 e 1 c = a + b = pe. Atunci e 1 ( ) x a y b = 1, astfel cǎ L este o hiperbolǎ cu centrul în O, semiaxa mare a = pe e 1 şi semidistanţa focalǎ c = pe. Deoarece F e 1 O = c, rezultǎ cǎ unul dintre focarele hiperbolei este punctul F. De asemenea, are loc egalitatea c = e. La fel ca în cazul elipsei, e se numeşte excentricitatea a conicei. Ecuaţia generalǎ a unei conice. Polara unui punct în raport cu o conicǎ. Pol al unei drepte în raport cu o conicǎ Fǎrǎ demonstraţie dǎm urmǎtoarea propoziţie: Propoziţie.1. Fie xoy un reper ortogonal fixat, iar a 11, a 1, a, b 1, b, c R, astfel încât ( ) a a11 a 11 a 1 b 1 matricea A = 1 este nenulǎ, iar matricea D = a a 1 a 1 a b este inversabilǎ. b 1 b c Locul geometric C al punctelor din plan ale cǎror coordonate verificǎ ecuaţia este atunci o conicǎ : - o elipsǎ dacǎ δ = det(a) > 0, - o hiperbolǎ dacǎ δ < 0, - o parabolǎ dacǎ δ = 0. a 11 x + a 1 xy + a y + b 1 x + b y + c = 0 În continuare vom considera cǎ o conicǎ C este datǎ de ecuaţia (C) : a 11 x + a 1 xy + a y + b 1 x + b y + c = 0 (C) 4

Observaţie.. O dreaptǎ oarecare din plan poate avea cel mult douǎ puncte de intersecţie cu conica C. Dacǎ dreapta d are ecuaţia αx + βy + γ = 0, acestea se determinǎ rezolvând sistemul de ecuaţii d C : { a11 x + a 1 xy + a y + b 1 x + b y + c = 0 αx + βy + γ = 0 Când soluţiile sistemului de mai sus nu sunt perechi de numere reale vom spune cǎ dreapta şi conica au puncte de intersecţie imaginare. Astfel, orice dreaptǎ intersecteazǎ o conicǎ în douǎ puncte(reale sau imaginare, care eventual pot coincide). Definiţie.3. Fie M(x 0, y 0 ) Π un punct oarecare din plan. Dreapta p M de ecuaţie (p M ) : (a 11 x 0 + a 1 y 0 + b 1 )x + (a 1 x 0 + a y 0 + b )y + b 1 x 0 + b y 0 + c = 0 se numeşte polara punctului M în raport cu conica C. Observaţie.4. Deoarece det(d) 0, pentru orice α, β, γ R(cu (α, β) (0, 0)) existǎ un unic punct M(x 0, y 0 ) Π cu proprietatea cǎ a 11 x 0 + a 1 y 0 + b 1 α = a 1x 0 + a y 0 + b β = b 1x 0 + b y 0 + c γ. Atunci dreapta d de ecuaţie αx + βy + γ = 0 este exact polara p M a punctului M, iar M se numeşte polul dreptei d în raport cu conica C. Propoziţie.5. Dacǎ d este o dreaptǎ oarecare care trece printr-un punct M, N d p M, iar d C = {P, Q}, atunci M şi N sunt conjugate armonic faţǎ de P şi Q. Demonstraţie. Dacǎ M x, N x, P x, Q x sunt proiecţiile punctelor M, N, P, Q pe axa Ox, atunci (M, N P, Q) = 1 (M x, N x P x, Q x ) = 1 (x M x P )(x N x Q )+(x M x Q )(x N x P ) = 0 (x M x N +x P x Q ) = (x M +x N )(x P +x Q ). Pentru o dreaptǎ oarecare d care trece prin punctul M vom determina în funcţie de panta sa m abscisa punctului N, precum şi valorile sumei x P + x Q şi produsului x P x Q. Notând ( ) α = a 11 x 0 + a 1 y 0 + b 1, β = a 1 x 0 + a y 0 + b, γ = b 1 x 0 + b y 0 + c, ecuaţia polarei p M devine αx + βy + γ = 0, iar abscisa punctului N este x N = mβx 0 βy 0 γ α + mβ Coordonatele punctelor P şi Q sunt date de sistemul de ecuaţii. d C : { a11 x + a 1 xy + a y + b 1 x + b y + c = 0 y = m(x x 0 ) + y 0 5

Fǎcând substituţia y = m(x x 0 )+y 0 în ecuaţia conicei, abscisele x P şi x Q sunt atunci soluţiile ecuaţiei a 11 x + a 1 x(m(x x 0 ) + y 0 ) + a (m(x x 0 ) + y 0 ) + b 1 x + b (m(x x 0 ) + y 0 ) + c = 0 (a 11 + ma 1 + m a )x + ( ma 1 x 0 + ma (y 0 mx 0 ) + b 1 + mb )x+ Din relaţiile lui Viète rezultǎ atunci cǎ respectiv +a (y 0 mx 0 ) + mb (y 0 mx 0 ) + c = 0. x P + x Q = ma 1x 0 + ma (y 0 mx 0 ) + b 1 + mb a 11 + ma 1 + m a, Egalitatea ( ) se verificǎ atunci uşor. x P x Q = a (y 0 mx 0 ) + mb (y 0 mx 0 ) + c a 11 + ma 1 + m a. Rezultatul din propoziţia de mai sus justificǎ urmǎtoarea definiţie: Definiţie.6. Fie M, N Π douǎ puncte în plan. Spunem cǎ N este conjugat cu M în raport cu conica C dacǎ N p M. Observaţie.7. Relaţia de conjugare definitǎ mai sus este simetricǎ: N p M (a 11 x M + a 1 y M + b 1 )x N + (a 1 x M + a y M + b )y N + b 1 x M + b y M + c = 0 a 11 x M x N + a 1 (x M y N + y M x N ) + a y M y N + b 1 (x M + x N ) + b (y M + y N ) + c = 0 M p N. Observaţie.8. Cu notaţiile din propoziţia de mai sus, dacǎ P = Q(i.e., d este tangentǎ la conica C), atunci N = P = Q, astfel cǎ d p M = d C. Acest lucru este rǎmâne atunci valabil pentru orice punct M d. Cum M p N N p M, deducem cǎ pentru un punct N C polara p N este exact tangenta în N la conica C. Observaţie.9. Din simetria relaţiei de conjugare în raport cu conica C deducem şi cǎ pentru trei puncte M, N, P Π are loc echivalenţa P p M p N M, N p P MN = p P. Observaţie.10. Pentru M, N, P Π sunt atunci echivalente afirmaţiile M, N, P coliniare p M, p N, p P concurente. Observaţie.11. Dacǎ pentru o dreaptǎ d Π notǎm cu P d polul dreptei d în raport cu conica C, atunci pentru trei drepte a, b, c Π avem echivalenţa a, b, c concurente P a, P b, P c coliniare. 6