Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca

Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este polinom în variabilele x şi y.

Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este polinom în variabilele x şi y. Exemple: a). 2x + y 1 = 0; x = 7 drepte; b). y 3 4x 2 + 3x 1 = 0; c). x2 2 + y 2 9 = 1 elipsă (caz particular de conică).

Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este polinom în variabilele x şi y. Exemple: a). 2x + y 1 = 0; x = 7 drepte; b). y 3 4x 2 + 3x 1 = 0; c). x2 2 + y 2 9 = 1 elipsă (caz particular de conică). Definiţie: Se numeşte conică o curbă algebrică plană de gradul doi. Ecuaţia generală a unei conice este (C) : a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + b 1 x + b 2 y + c = 0 cu a 11, a 12, a 22, b 1, b 2, c R şi a 2 11 + a2 12 + a2 22 0.

Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este polinom în variabilele x şi y. Exemple: a). 2x + y 1 = 0; x = 7 drepte; b). y 3 4x 2 + 3x 1 = 0; c). x2 2 + y 2 9 = 1 elipsă (caz particular de conică). Definiţie: Se numeşte conică o curbă algebrică plană de gradul doi. Ecuaţia generală a unei conice este (C) : a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + b 1 x + b 2 y + c = 0 cu a 11, a 12, a 22, b 1, b 2, c R şi a 2 11 + a2 12 + a2 22 0. Exemple: a). (x 2) 2 + (y + 3) 2 = 9 cerc; b). 4x 2 y 2 = 0 două drepte concurente; c). x 2 + 3 2 xy y 2 + 5x 7y 2 = 0.

Dacă sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuaţia oricărei conice se reduce la o formă simplă numită forma canonică sau ecuaţie redusă. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuaţii reduse) sunt:

Dacă sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuaţia oricărei conice se reduce la o formă simplă numită forma canonică sau ecuaţie redusă. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuaţii reduse) sunt: 1. Elipsa: (E) : x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 ecuaţia implicită;

Dacă sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuaţia oricărei conice se reduce la o formă simplă numită forma canonică sau ecuaţie redusă. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuaţii reduse) sunt: 1. Elipsa: (E) : x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0 ecuaţia implicită;

În cazul particular a = b = r elipsa devine cerc (C) : x 2 + y 2 = r 2. Dacă centrul cercului este M 0 (x 0, y 0 ) iar raza este r, ecuaţia cercului (implicită) este (C) : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2.

În cazul particular a = b = r elipsa devine cerc (C) : x 2 + y 2 = r 2. Dacă centrul cercului este M 0 (x 0, y 0 ) iar raza este r, ecuaţia cercului (implicită) este (C) : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2. D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelor M(x, y) din plan pentru care suma distanţelor la două puncte fixe F şi F (numite focare) este constantă. În cazul nostru F ( c, 0), F (c, 0) şi MF + MF = 2a, unde c 2 = a 2 b 2.

În cazul particular a = b = r elipsa devine cerc (C) : x 2 + y 2 = r 2. Dacă centrul cercului este M 0 (x 0, y 0 ) iar raza este r, ecuaţia cercului (implicită) este (C) : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2. D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelor M(x, y) din plan pentru care suma distanţelor la două puncte fixe F şi F (numite focare) este constantă. În cazul nostru F ( c, 0), F (c, 0) şi MF + MF = 2a, unde c 2 = a 2 b 2. (E) : { x = a cos t y = b sin t, t [0, 2π] ecuaţii parametrice;

2. Hiperbola: (H) : x 2 a 2 y 2 b 2 1 = 0 ecuaţia implicită;

2. Hiperbola: (H) : x 2 a 2 y 2 b 2 1 = 0 ecuaţia implicită;

Hiperbola este o curbă nemărginită (cu roşu) şi admite două asimptote (dreptele punctate) y = b a x; y = b a x.

Hiperbola este o curbă nemărginită (cu roşu) şi admite două asimptote (dreptele punctate) y = b a x; y = b a x. D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric al punctelor M(x, y) din plan pentru care diferenţa distanţelor la două puncte fixe F, F (focare) este în modul constantă. În cazul nostru F ( c, 0), F (c, 0), c 2 = a 2 + b 2, MF MF = 2a.

Hiperbola este o curbă nemărginită (cu roşu) şi admite două asimptote (dreptele punctate) y = b a x; y = b a x. D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric al punctelor M(x, y) din plan pentru care diferenţa distanţelor la două puncte fixe F, F (focare) este în modul constantă. În cazul nostru F ( c, 0), F (c, 0), c 2 = a 2 + b 2, MF MF = 2a. (H) : { x = a et +e t 2 (:= a cosh t) y = b et e t 2 (:= b sinh t), t R ecuaţii parametrice;

Hiperbola este o curbă nemărginită (cu roşu) şi admite două asimptote (dreptele punctate) y = b a x; y = b a x. D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric al punctelor M(x, y) din plan pentru care diferenţa distanţelor la două puncte fixe F, F (focare) este în modul constantă. În cazul nostru F ( c, 0), F (c, 0), c 2 = a 2 + b 2, MF MF = 2a. (H) : { x = a et +e t 2 (:= a cosh t) y = b et e t 2 (:= b sinh t), t R ecuaţii parametrice; T.A: Arătaţi că ecuaţiile parametrice verifică ecuaţia implicită.

3. Parabola: (P) : y 2 = 2px ecuaţia implicită;

3. Parabola: (P) : y 2 = 2px ecuaţia implicită; D

D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelor M(x, y) din plan egal depărtate de o dreaptă fixă (directoare, notată (d), de ecuaţie x = p 2 ) şi de un punct fix (focarul F ( p 2, 0)).

D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelor M(x, y) din plan egal depărtate de o dreaptă fixă (directoare, notată (d), de ecuaţie x = p 2 ) şi de un punct fix (focarul F ( p 2, 0)). (P) : { x = t2 2p y = t, t R ecuaţii parametrice;

D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelor M(x, y) din plan egal depărtate de o dreaptă fixă (directoare, notată (d), de ecuaţie x = p 2 ) şi de un punct fix (focarul F ( p 2, 0)). (P) : { x = t2 2p y = t, t R ecuaţii parametrice; Parabola este, în general, graficul unei funcţii de gradul doi în plan, de forma y = ax 2 + bx + c sau x = a y 2 + b y + c.

D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelor M(x, y) din plan egal depărtate de o dreaptă fixă (directoare, notată (d), de ecuaţie x = p 2 ) şi de un punct fix (focarul F ( p 2, 0)). (P) : { x = t2 2p y = t, t R ecuaţii parametrice; Parabola este, în general, graficul unei funcţii de gradul doi în plan, de forma y = ax 2 + bx + c sau x = a y 2 + b y + c. Conice degenerate: Prin red. la f. canonică, obţinem şi conice degenerate care pot fi: -reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x 2 y 2 = 0;

D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelor M(x, y) din plan egal depărtate de o dreaptă fixă (directoare, notată (d), de ecuaţie x = p 2 ) şi de un punct fix (focarul F ( p 2, 0)). (P) : { x = t2 2p y = t, t R ecuaţii parametrice; Parabola este, în general, graficul unei funcţii de gradul doi în plan, de forma y = ax 2 + bx + c sau x = a y 2 + b y + c. Conice degenerate: Prin red. la f. canonică, obţinem şi conice degenerate care pot fi: -reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x 2 y 2 = 0; -un punct, de ex. x 2 + y 2 = 0;

D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelor M(x, y) din plan egal depărtate de o dreaptă fixă (directoare, notată (d), de ecuaţie x = p 2 ) şi de un punct fix (focarul F ( p 2, 0)). (P) : { x = t2 2p y = t, t R ecuaţii parametrice; Parabola este, în general, graficul unei funcţii de gradul doi în plan, de forma y = ax 2 + bx + c sau x = a y 2 + b y + c. Conice degenerate: Prin red. la f. canonică, obţinem şi conice degenerate care pot fi: -reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x 2 y 2 = 0; -un punct, de ex. x 2 + y 2 = 0; -reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x 2 2x = 0;

D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelor M(x, y) din plan egal depărtate de o dreaptă fixă (directoare, notată (d), de ecuaţie x = p 2 ) şi de un punct fix (focarul F ( p 2, 0)). (P) : { x = t2 2p y = t, t R ecuaţii parametrice; Parabola este, în general, graficul unei funcţii de gradul doi în plan, de forma y = ax 2 + bx + c sau x = a y 2 + b y + c. Conice degenerate: Prin red. la f. canonică, obţinem şi conice degenerate care pot fi: -reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x 2 y 2 = 0; -un punct, de ex. x 2 + y 2 = 0; -reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x 2 2x = 0; -mulţimea vidă, de ex. x 2 + y 2 + 1 = 0.

Recunoaşteţi conicele din imaginile urmatoare!

http://users.utcluj.ro/ todeacos/teaching.html