Astronomija i astrofizika II

Astronomija i astrofizika II 1

Projektni zadatak 1: PULSACIJE I ODREĐIVANJE UDALJENOSTI 2

OPAŽANJA U ASTRONOMIJI 1. Opažanja u danom trenutku određivanje svojstava astronomskih objekata u danom trenutku Primjer: spektroskopija - Detaljna i precizna opažanja s velikom rezolucijom zahtijevaju dugačka vremena integracije i dedicirane, složene i velike uređaje (npr. optički/infracrveni interferometri, aktivna/adaptivna optika velike rezolucije, mreža radio teleskopa: VLBI) - Opažanja koja nastoje promotriti objekt sa što je više moguće detalja promjena svojstva objekta u vremenu nisu prioritet, već je prioritet detaljan opis objekta i fizikalnih procesa 3

OPAŽANJA U ASTRONOMIJI 1. Opažanja u vremenu određivanje promjene svojstava astronomskih objekata tijekom vremena Primjer: opažanje promjena sjaja ili površinske brzine zvijezde - Opažanja koja nastoje istražiti objekt u vremenu i odrediti promjene njegovih svojstava - Instrumenti koji omogućuju što je moguće više opažanja tijekom noći kratka opažanja, brzi teleskopi s velikim vidnim poljem (npr. teleskopi za velike preglede neba: SDSS, 2MASS, LSST... ) - Kratko vrijeme opažanja smanjuje broj objekata koji se mogu opažati, znatno manje detalja i niska rezolucija 4

OPAŽANJA U ASTRONOMIJI - Omogućuje opažanje promjene svojstava u vremenu znatna vremenska rezolucija - Najčešće se opažaju sjaj objekta i površinske brzine: 1. svjetlosne krivulje 2. krivulje radijalnih brzina Svjetlosne krivulje - Ovisnost sjaja zvijezde opaženog u nekom fotometrijskom sustavu o vremenu - Ključni instrument za izučavanje pulsacija zvijezda, ali i kod određivanja masa zvijezda, razvoja kataklizmičkih zvijezda (supernova), nova i bliskih dvojnih sustava, itd. 5

Svjetlosna krivulja Doradus 6

KAKO ODREDITI PERIODIČNOST U OPAŽANJIMA SJAJA (SVJETLOSNE KRIVULJE)? Analiza periodičnih vremenskih signala u fizici: - Vrlo čest slučaj u eksperimentalnoj fizici osnova istraživanja svih pojava koje su vremenski ovisne Vremenske signale možemo analizirati metodom Fourierove analize! 7

FOURIEROVA ANALIZA Fourierov teorem Svaka kontinuirana (derivabilna) periodička funkcija može se prikazati kao (beskonačna) suma jednostavnih sinusnih funkcija (sinusa i kosinusa) Fourierov niz - Svaki član Fourierovog niza određen je koeficijentima a n i b n : N f N t = a 0 2 + n=1 a n cos 2πnt P + N n=1 b n sin 2πnt P - Funkcije sinus i kosinus čine potpuni ortogonalni skup 8

- Stvarna periodička funkcija f t može se aproksimirati Fourierovim redom f N t ako broj članova reda teži beskonačnosti N, a tada Fourierovi koeficijenti postaju: a 0 = 2 P 0 Pf t dx n = 1, 2, 3,... a n = 2 P f t cos 2πnt P 0 P b n = 2 P f t sin 2πnt P 0 P dx dx - Problem Fourierove analize svodi se na problem određivanja Fourierovih koeficijenata 9

- Fourierov niz može se proširiti i na kompleksne koeficijente: f N t = N n= N c n e i2πnt P - Kompleksni koeficijent c n povezan je sa Fourierovim koeficijentima a n i b n : 1 2 a n b n za n > 0 c n = 1 2 a 0 za n = 0 1 2 a n + b n za n < 0 10

- Periodička kompleksna funkcija može se aproksimirati beskonačnim kompleksnim Fourierovim nizom u kojem je kompleksni koeficijent c n : c n = 1 P f t e i2πnt P dt P 0 - Problem Fourierove analize svodi se na problem određivanja Fourierovih koeficijenata 11

http://bl.ocks.org/jinroh/7524988 Kako odrediti periodu (frekvenciju) poznavajući funkciju u vremenu? 12

FOURIEROV TRANSFORMAT TRANSFORMAT transformacija (prijelaz) iz vremenske domene u domenu frekvencija Transformacija periodičke funkcije kontinuirane realne varijable (vrijeme) f t u kontinuiranu funkciju frekvencije F ω frekventna raspodjela ili 'power' spektar (spektar 'snage') Fourierov transformat: F ω = F f t = 1 2π + f t e iωt dt Reverzni Fourierov transformat: f t = F 1 F ω = 1 2π + F ω e iωt dt 13

- 1/ 2π potječe od zahtjeva za simetrijom prilikom transformacija - Koja je povezanost Fourierovog niza i Fourierovog transformata? pogledajmo funkciju koja je jednaka nuli izvan intervala [0, P] tada je koeficijent c n : c n = 1 P 0 Pf t e inωt dt - Usporedimo li to s Fourierovim transformatom dobijemo: c n = 2π P 1 f t e inωt dt P 2π 0 c n = 2π 2π F f nt = F nω P P - Određivanje Fourierovog transformata ekvivalentno je određivanju koeficijenata Fourierovog niza 14

- Koeficijent c n možemo promatrati kao 'količinu' vala određene frekvencije prisutnog u Fourierovom nizu funkcije f - Fourierov transformat možemo promatrati kao mjeru prisustva određene frekvencije u funkciji f (signalu) POWER SPECTRUM 15

16

Svjetlosna krivulja Doradus 17

Fourierov transformat (diskretni) 18

VREMENSKO DISKRETNI FOURIEROV TRANSFORMAT (DTFT) - Mjerenja u astrofizici i fizici NISU KONTINUIRANA već DISKRETNA mjerenja se vrše uzastopno nakon konačnog vremenskog intervala 'sampling rate' - Brzina uzorkovanja ('sampling rate') pokazuje koliko puta se izvrši mjerenje u nekoj jedinici vremena frekvencija mjerenja - Primjer: 'sampling rate' od 50 Hz znači da se svake sekunde izvrši 50 mjerenja s uvijek istim vremenskim intervalom od 20 ms - Analiza signala u fizici i astrofizici sa kontinuirane vremenske raspodjele potrebno je preći na diskretnu vremensku raspodjelu 19

Kontinuirani Fourierov transformat: F ω = F f t = 1 2π + f t e iωt dt - Prelazak s kontinuirane funkcije f t na diskretnu funkciju x t k gdje je t k = k t; k = 0, 1, 2,, N 1; dok je t vremenski interval između dva uzastopna mjerenja, frekvencija uzorkovanja (sampling rate) f s iznosi f s = 1/ t X 1/T = F k x t k k=0 k=n 1 = N 1 k=0 x t k e i2πt k P - Vremensko diskretni Fourierov transformat je periodičan, s frekvencijom periodičnosti jednakoj frekvenciji uzorkovanja (sampling rate) f s nužno je odrediti DTFT samo za frekvencije do frekvencije f s 20

- DTFT se određuje u frekventnom intervalu f s, f s 2 2 - Nyquistova frekvencija je najveća frekvencija početnog signala x t k koju je moguće razlučiti s frekvencijom uzorkovanja f s potrebne su barem dvije točke da bi razlučili frekvenciju, a najmanji razmak između dviju susjednih točaka je t: f Nyquist = f s 2 - Vremensko diskretni Fourierov transformat je periodičan, s frekvencijom periodičnosti jednakoj frekvenciji uzorkovanja (sampling rate) f s nužno je odrediti DTFT samo za frekvencije do frekvencije f s 21

- Vremensko diskretni Fourierov transformat određuje frekventni spektar na kontinuiranim frekvencijama iz signala opaženog u diskretnim vremenskim trenucima - Signal NE MORA BITI PERIODIČAN spektar signala je periodičan - PERIODIČNI SIGNAL DISKRETNI FOURIEROV TRANSFORMAT 22

DISKRETNI FOURIEROV TRANSFORMAT (DFT) PERIODIČNI SIGNAL: x t = x t + N t gdje je N broj mjerenja u jednoj periodi, t je vremenski razmak između dva uzastopna mjerenja - Mjerenja su kontinuirana, vremenski diskretna i s uvijek istim intervalom t - Perioda signala: P = N t - Frekvencije su također diskretne, s intervalom: f = 1 N t = f s N 23

- Kako je ranije pokazano, dovoljno je računati za interval frekvencija f s, f s 2 2 diskretni spektar frekvencija: f k = k f; k = N 2 + 1,, 0,, N 2 - U praksi se koriste pozitivni indeksi: f k = k f; k = 0, 1, 2,, N 1 DISKRETNI FOURIEROV TRANSFORMAT (DFT): X f k = N 1 j=0 x t j e i2πf kt j k = 0, 1, 2,, N 1 INVERZNI DISKRETNI FOURIEROV TRANSFORMAT (IDFT): N 1 x t j = X f k e i2πf kt j j = 0, 1, 2,, N 1 j=0 24

25

FAST FOURIER TRANSFORM (FFT) - Metoda (numerički algoritam) za brzo računanje diskretnih Fourierovih transformata - Metoda koja je danas u širokoj upotrebi: - Analiza i procesuiranje zvuka - Kompjuterska tomografija, medicina - Mjerenje i analiza vremenskih signala - Računanje diskretnih Fourierovih transformata zahtjeva račun s N Fourierovih nizova (N frekvencija) sa N članova u svakom nizu ukupno N 2 članova - FFT drastično smanjuje broj operacija sa N 2 na N log 2 N povećanje brzine za 5 milijuna puta za 100 milijuna mjerenja 26

SIGSPEC (SIGNIFICANT SPECTRUM) P. Reegen (2007). "SigSpec - I. Frequency- and phaseresolved significance in Fourier space". Astronomy and Astrophysics. 467: 1353 1371. arxiv:physics/0703160 http://homepage.univie.ac.at/peter.reegen/samples.html - Metodama Fourierove analize možemo odrediti prisustvo frekvencija u izmjerenom signalu, no broj tih frekvencija može biti vrlo velik Problem: Koje su od tih frekvencija značajne? 27

SigSpec je statistička metoda za procjenu pouzdanosti periodičnosti i značaja (signifikantnosti) dobivenih perioda (frekvencija) određenih nekom drugom metodom poput diskretnih Fourierovih transformata - Procjena pouzdanosti postojanja periodičnosti u vremenskom signalu sa šumom - Vremenski signal ne mora biti ekvidistantan u vremenu ključno u astronomskim opažanjima i u svjetlosnim krivuljama gdje su intervali između opažanja neravnomjerni - Temelji se na amplitudnom spektru dobivenom DFT metodom - Svakoj vrijednosti u amplitudnom spektru (power spektar) dodjeljuje statistički značaj (signifikantnost) - sig 28

Amplitudni spektar iz DFT analize diskretni Fourierov transformat opažanja x t i u vremenu t i kako bi dobili amplitude X ω i u spektru s frekvencijom ω i za N opažanja, i = 1,2,, N: t i, x t i ω i, X ω i Spektralna signifikantnost je logaritamska mjera vjerojatnosti da je periodičnost ω i dobivena DFT metodom s pripadnom amplitudom X ω i SLUČAJNA -. SigSpec je proširenje Lomb-Scargle periodograma 29

Funkcija gustoće vjerojatnosti neke nasumične varijable u nekom uzorku u statistici se definira kao relativna vjerojatnost da je vrijednost te nasumične varijable jednaka uzorku (procjena vjerojatnosti da je neka izmjerena veličina nasumična i uzrokovana šumom) Gustoća vjerojatnosti amplitude X dobivene DFT metodom: NX sock φ X = 2 x 2 e NX 2 sock 4 x 2 Sock funkcija: sock ω, θ = cos 2 θ θ 0 2 + sin 2 θ θ 0 2 α 0 β 0 x 2 je varijanca uzorka 30

Sock funkcija i gustoća vjerojatnosti opisane su parametrima α 0, β 0 i θ 0 koji određuju profil sampliranja: N i sin 2ωt i 2 i cos ωt i i sin ωt i tan 2θ 0 = 2 2 N i cos 2ωt i i cos ωt i + i sin ωt i α 0 2 = 2 N 2 β 0 2 = 2 N 2 N N i i cos 2 ωt i θ 0 sin 2 ωt i θ 0 i i cos ωt i θ 0 sin ωt i θ 0 SigSpec se svodi na analizu funkcije gustoće vjerojatnosti amplitude iz DFT metode 2 2 31

False-alarm vjerojatnost za danu amplitudu X: Φ FA X - Integracija funkcije gustoće vjerojatnosti daje vjerojatnost da šum u vremenskoj domeni pri frekvenciji ω daje amplitudu veću ili jednaku amplitudi uzorka X dobivenoj iz DFT-a: Φ FA X = e NX2 sock 4 x 2 Spektralna signifikantnost amplitude X i frekvencije je logaritam false-alarm vjerojatnosti: sig X = log Φ FA X 32

sig X = 5 opažena amplituda u prostoru frekvencija ω, A je nasumična i uzrokovana šumom u jednom od 10 5 slučajeva - Broj nasumičnih nizova koje treba opažati da bi amplituda bila veća ili jednaka A za danu frekvenciju i uzrokovana šumom Numerički proces: 1. DFT metoda 2. Izračun signifikantnog spektra 3. Prilagodba sinusoida metodom najmanjih kvadrata sa svim signifikantnim komponentama 4. Otklanjanje signifikantnih komponenata i iteracija kako bi se detektirale druge moguće komponente 33

Vjerojatnost cijelog niza frekvencija sa signifikantnom vrijednošću (K frekvencija) kumulativna signifikantnost: ukupna vjerojatnost da su sve komponente stvarne: 1 Φ FA = csig X K K n=1 1 Φ FAn = log 1 Φ FA Aliasing periodičke praznine u nizu mjerenja u vremenu - Vrh u spektru amplituda posjeduje vrhove sa strane - Umjesto jednog vrha, radi se kombinacija sa svim mogućim vrhovima dok se ne dostigne minimum odstupanja anti-aliasing 34

V fotometrija realne zvijezde opterećena sinusoidalnim šumom 35

Spektralna signifikantnost i amplitudni spektar 36

Doradus P = 9.849 dana f = 0.1015 dan -1 37

Doradus P = 4.924 dana f = 0.2031 dan -1 (prvi viši harmonik) 38

Doradus P = 3.283 dana f = 0.3046 dan -1 (drugi viši harmonik) 39