Á ÆÌÁ Áà ÁÇÆ ËÌÊ ÆÁ ÇÃÌÇÊËà ÁË ÊÌ Á Iº ÙØÓÖ ÁÑ ÔÖ Þ Ñ Ì Ø Ò Ð Ð ØÙÑ Ñ ØÓ ÖÓ Û ÃÖ Ù Ú Ë ßÛ Þ ÔÓ Ð Û Ø ÒØ Ò ÈÖ ÖÓ ÒÓ¹Ñ Ø Ñ Ø ÓÑ ÙÐØ ØÙ ÍÒ Ú

ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ø Ù ÃÖ Ù ÚÙ ÈÖ ÖÓ ÒÓ¹Ñ Ø Ñ Ø ÙÐØ Ø Ì Ø Ò Ð Ð Ê ÇÎÁ ÁÂ Â Æ ÂÅ Ï Ã Ê ÃÌ ÊÁËÌÁ Æ ÎÊ ÆÇËÌ ÅÁÆÁÅ ÄÆ Í Æ ÃÁÅ ÃÄ Ë Å Ê ÇÎ Ó ØÓÖ ÖØ ÃÖ Ù Ú ¾¼½¾º

Á ÆÌÁ Áà ÁÇÆ ËÌÊ ÆÁ ÇÃÌÇÊËà ÁË ÊÌ Á Iº ÙØÓÖ ÁÑ ÔÖ Þ Ñ Ì Ø Ò Ð Ð ØÙÑ Ñ ØÓ ÖÓ Û 17.06.1982. ÃÖ Ù Ú Ë ßÛ Þ ÔÓ Ð Û Ø ÒØ Ò ÈÖ ÖÓ ÒÓ¹Ñ Ø Ñ Ø ÓÑ ÙÐØ ØÙ ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ø Ù ÃÖ Ù ÚÙ IIº Ó ØÓÖ ÖØ Æ ÐÓÚ Ö ÓÚ Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ñ Ò Ñ ÐÒ Ù Ò Ñ Ð Ñ Ö ÓÚ ÖÓ ØÖ Ò 101 ÖÓ Ð 29 ÖÓ Ð Ó Ö ÔÓ Ø 49 Í Ø ÒÓÚ Ñ ØÓ Ö ÞÖ Ò ÈÖ ÖÓ ÒÓ¹Ñ Ø Ñ Ø ÙÐØ Ø ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ø Ù ÃÖ Ù ÚÙ Æ Ù Ò Ó Ð Ø Í Ãµ Å Ø Ñ Ø ËÔ ØÖ ÐÒ Ø ÓÖ Ö ÓÚ µ Å ÒØÓÖ Ö Å ÖÓ Ð Ú È ØÖÓÚ Ð IIIº Ç Ò Ó Ö Ò ØÙÑ ÔÖ Ú Ø Ñ 10.06.2011. ÖÓ Ó ÐÙ ØÙÑ ÔÖ Ú Ø Û Ó ØÓÖ ÖØ ÃÓÑ Þ Ó ÒÙ ÔÓ Ó ÒÓ Ø Ø Ñ Ò Ø Ö Å ÖÓ Ð Ú È ØÖÓÚ Ð ¹ Ö ÓÚÒ ÔÖÓ ÓÖ ÈÖ ÖÓ ÒÓ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÙÐØ Ø Ù ÃÖ ¹ Ù ÚÙ Ö ËÐÓ Ó Ò Ë Ñ Ð ¹ Ò Ù Ò Ú ØÒ Å Ø Ñ Ø Ó Ò Ø ØÙØ Ù Ó Ö Ù Ö ÁÚ Ò ÙØÑ Ò ¹ Ö ÓÚÒ ÔÖÓ ÓÖ ÈÖ ÖÓ ÒÓ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÙÐØ Ø Ù ÃÖ Ù ÚÙ Ö Å Ö Ó Ä ÔÓÚ Ð ¹ Ú ÒÖ Ò ÔÖÓ ÓÖ ÈÖ ÖÓ ÒÓ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÙÐØ Ø Ù ÃÖ Ù¹ ÚÙ Ö Ó Ò ÓÖÓÚ Ð Ò Ò ¹ Ó ÒØ ÈÖ ÖÓ ÒÓ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÙÐØ Ø Ù ÃÖ Ù ÚÙ ÃÓÑ Þ Ó ÒÙ Ó Ö ÒÙ Ó ØÓÖ ÖØ Ö Å ÖÓ Ð Ú È ØÖÓÚ Ð ¹ Ö ÓÚÒ ÔÖÓ ÓÖ Ö ÚÒÓ ÙÒ Ú ÖÞ Ø Ø Ù ÆÓÚÓÑ È Þ ÖÙ Ö ËÐÓ Ó Ò Ë Ñ Ð ¹ Ò Ù Ò Ú ØÒ Å Ø Ñ Ø Ó Ò Ø ØÙØ Ù Ó Ö Ù Ö ÁÚ Ò ÙØÑ Ò ¹ Ö ÓÚÒ ÔÖÓ ÓÖ ÈÖ ÖÓ ÒÓ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÙÐØ Ø Ù ÃÖ Ù ÚÙ Ö Å Ö Ó Ä ÔÓÚ Ð ¹ Ú ÒÖ Ò ÔÖÓ ÓÖ ÈÖ ÖÓ ÒÓ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÙÐØ Ø Ù ÃÖ Ù¹ ÚÙ Ö Ó Ò ÓÖÓÚ Ð Ò Ò ¹ Ó ÒØ ÈÖ ÖÓ ÒÓ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÙÐØ Ø Ù ÃÖ Ù ÚÙ ØÙÑ Ó Ö Ò ÖØ ¼ º½¼º¾¼½¾º ½

ÈÖ ÓÚÓÖ ÇÚ Ó ØÓÖ ÖØ ÔÖÓ Ø Ð Ó Ö ÞÙÐØ Ø Ú ß Ó ßÛ Ö ÔÓ Ñ ÒØÓÖ ØÚÓÑ Ö Å ÖÓ Ð Ú È ØÖÓÚ Ð Ö ÓÚÒÓ ÔÖÓ ÓÖ Ò ÈÖ ÖÓ ÒÓ¹Ñ Ø Ñ Ø ÓÑ ÙÐØ ØÙ ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ø Ù ÃÖ Ù ÚÙº Ì Ñ ØÖ Ú Û Ó ØÓÖ ÖØ Ö Ø Ö Þ ØÖ Ñ Ð¹ Ò Ö ÓÚ Ù Ö ÞÐ Ø Ñ Ð Ñ ÔÓÚ Þ Ò Ö ÓÚ º ÈÓ ØÖ Ñ ÐÒ Ñ Ö ÓÚ Ñ ÔÓ Ö ÞÙÑ Ú Ù Ö ÓÚ Ñ Ò Ñ ÐÒÓÑ Ò Ñ ÛÓÑ Ö Ø Ö ¹ Ø ÒÓÑ ÚÖ ÒÓßÐÙ Ñ Ñ ÐÒ Ñ Ò ÓÑ Ð Ñ Ñ ÐÒ Ñ Ö ÔÓÒÓÑ Ù Ó Ö Ò Ñ Ð Ñ Ö ÓÚ º Í ÓÚÓ Ó ØÓÖ Ó ÖØ Ö ÞÙÐØ Ø Ù Ó¹ Ò Ù Ð Ñ ÔÓÚ Þ Ò Ö ÓÚ Ö Ò Ñ ÖÓ Ñ ÚÓÖÓÚ Ö Ò Ù Ð Ñ ÙÒ Ð Ò Ð Ò ØÖ Ð Ò Ø ØÖ Ð Ò Ô ÒØ Ð Ò Ö ÓÚ µ Ù Ð ØÙ Ö Ò Ñ ÖÓ Ñ ÚÓÖÓÚ Ö Ò Ñ ÖÓ Ñ ÓÒØÙÖ Ó Ù Ð ØÙ Ö Ò Ñ ÖÓ Ñ ÚÓÖÓÚ º Í Ô Ö Ó Ù Ó ¾¼¼ º Ó ¾¼½½º Ó Ò Ö ÞÙÐØ Ø ÓÚÓ ØÖ Ú Û Ó ¹ ÚÕ Ò Ù Ù Ó Ú ÖÙ ÔÖÓ Ø Ì ÓÖ Ö ÓÚ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ö Û ÔÖ Ñ Ò Ñ Ù Ñ Ø Ò Ñ Ò Ù Ñ Ò Ò Ö ÒÓ Ó ØÖ Ò Å ¹ Ò Ø Ö ØÚ Ò Ù Ê ÔÙ Ð ËÖ µ ÔÓ ÖÙ ÓÚÓ ØÚÓÑ Ñ Ö Óß Ú Ø ÓÚ Ð Þ Ø Ñ Ó ¾¼½½º Ó Ò Ù Ó Ú ÖÙ ÔÖÓ Ø Ì ÓÖ Ö ÓÚ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ö Û ÔÖ Ñ Ò Ñ Ù Ñ Ö ÙÒ Ö ØÚÙ Ò Ò¹ Ö ÒÓ Ó ØÖ Ò Å Ò Ø Ö ØÚ ÔÖÓ Ú Ø Ò Ù Ê ÔÙ Ð ËÖ µ ÔÓ ÖÙ ÓÚÓ ØÚÓÑ ÔÖÓ ÓÖ Ö ËÐÓ Ó Ò Ë Ñ Ð º ÇÚÓÑ ÔÖ Ð ÓÑ ÔÓ ÒÓ Þ Ú ÕÙ Ñ ÚÓÑ Ñ ÒØÓÖÙ Ö Å ÖÓ Ð ÚÙ È ¹ ØÖÓÚ ÐÙ Ò ØÖÙ ÒÓ ÔÓÑÓÐ Ú Ð Ó ÔÓ Öß Ó Ù Ñ Ú Ó Ò ÚÒÓ ÔÖÙ Ó Ó ÔÓ Ø Ò ß Ö Û º Ú ÐÒÓ Ø Ù Ù Ñ Ñ Ù Ö ÁÚ ÒÙ ÙØÑ ÒÙ Ò Ö Û Ù ØÓ Ù Ó ØÓÖ ØÙ Ó Ñ ÞÒ ÒÓ ÔÓÑÓ Ð Ù Ö ÞÙÑ Ú ÛÙ Ø Ú Ó Ð Ø º Ð Ñ Þ Ú Ð Ñ Ñ Ù Ö Ö ÓßÙ Ú Ø ÓÚ ÐÙ Ö ËÐÓ Ó ÒÙ Ë Ñ ÐÙ Ó Ñ Ñ Ñ Ð ÞÙÞ ØÒÙ Ö ÛÙ Ù Ó Ú ÖÙ Ñ Ò Ö Ë ÆÍ Ò ÔÖÓ Ø Ñ ÔÓ Û ÓÚ Ñ ÖÙ ÓÚÓ ØÚÓѺ Ì Ó Þ Ú ÕÙ Ñ Ö Å Ö Ù Ä ÔÓÚ ÐÙ Ö Ó Ò ÓÖÓÚ Ð Ò Ò Ò Ó Ð ÒÓ Ö Û ÔÓÑÓÐ ÓÖ Ò Ñ Ù Ø Ñ ØÓ ÓÑ Ó ØÓÖ ØÙ º Æ Ö Ù Ò Ö Ò Þ Ú ÕÙ Ñ ÚÓ Ó ÔÓÖÓ ÔÖ Ø Õ Ñ Ñ Ò Ö Ñ ÕÙ Ñ Ó Ù Ó ÔÖÚÓ Ò Ú ÖÓÚ Ð Ù Ñ Ò Ò ØÖÔÕ ÛÙ ÔÓ ÖØÚÓÚ ÒÓ Ø ÕÙ Ú Ó Ù Ñ Ò ÒÓ ÔÖÙ Ð Ú ÓÚ Ó Ò º ÃÖ Ù Ú ÔÖ Ð ¾¼½¾º Ì Ø Ò Ð Ð ¾

Ë Ö ÈÖ ÓÚÓÖ Ä Ø Ð Ä Ø Ø Ð ¾ ½ ÍÚÓ ¾ ËÔ Ø Ö Ö ½¾ Ç Ö ÓÚ Ñ Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ñ Ò Ñ ÐÒ ¾¼ º½ ËØÖÙ ØÙÖ ØÖ Ñ ÐÒ Ö ÓÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º¾ ËØÖÙ ØÙÖ ØÖ Ñ ÐÒ Ô ÖØ ØÒ Ö ÓÚ º º º º º º º º º ¾ Ö ÓÚ Ñ Ð Ñ ÖÓ Ñ ÓÒØÙÖ Ñ Ò Ñ ÐÒÓÑ Ò Ñ ÛÓÑ Ö Ø ¹ Ö Ø ÒÓÑ ÚÖ ÒÓßÐÙ º½ ÍÒ Ð Ò Ö ÓÚ Ö ÒÓ Ö º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ô ÖØ ØÒ ÙÒ Ð Ò Ö ÓÚ º º º º º º º º º º º º º½º¾ Æ Ô ÖØ ØÒ ÙÒ Ð Ò Ö ÓÚ º º º º º º º º º º ¼ º½º ËØÖÙ ØÙÖ ØÖ Ñ ÐÒÓ ÙÒ Ð ÒÓ Ö º º º º º º ½ º¾ Ð Ò Ö ÓÚ Ö ÒÓ Ö º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º½ Ô ÖØ ØÒ Ð Ò Ö ÓÚ º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ Æ Ô ÖØ ØÒ Ð Ò Ö ÓÚ º º º º º º º º º º º º¾º ËØÖÙ ØÙÖ ØÖ Ñ ÐÒÓ Ð ÒÓ Ö º º º º º º º ÌÖ Ð Ò Ø ØÖ Ð Ò Ô ÒØ Ð Ò Ö ÓÚ Ö ÒÓ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Æ Ô ÖØ ØÒ Ö ÓÚ Ñ Ð Ñ ÖÓ Ñ ÓÒØÙÖ º º º º º º¾ ËØÖÙ ØÙÖ ØÖ Ñ ÐÒÓ Ö Ñ Ð Ñ ÖÓ Ñ ÓÒØÙÖ ØÖ Ñ ÐÒ ØÙ º½ º¾ ØÖ Ñ ÐÒ Ö ÓÚ Ù Ð ØÙ Ö Ò Ñ ÖÓ Ñ ÚÓÖÓÚ Ö Ò Ñ ÖÓ Ñ ÓÒØÙÖ º º º º º º º º º º ØÖ Ñ ÐÒ Ö ÓÚ Ù Ð ØÙ Ö Ò Ñ ÖÓ Ñ ÚÓÖÓÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Ë Ê Â Ö ÓÚ Ñ Ð Ñ ÖÓ Ñ ÓÒØÙÖ Ñ Ñ ÐÒ Ñ Ö ÔÓÒÓÑ Ó ØÒ Ø Ð º½ ÈÓÚ Þ Ò Ö ÓÚ 2 Ó 5 ÚÓÖÓÚ º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÈÓÚ Þ Ò Ð Ò Ö ÓÚ 6 ÚÓÖÓÚ º º º º º º º º º º º ¼ Summary Ä Ø Ö ØÙÖ Ó Ö

Ä Ø Ð ¾º½ Ö ÓÚ G G º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ö W n º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Ö ÓÚ A B º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½ Ä Ò Ò Ö Ú Ò 1 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ä Ò Ò Ö Ú Ò 2 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ä Ò Ò Ö ÓÚ D 1 D k+1 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ä Ò Ò Ö G = D(1,m 2,m 3 ;n 1,n 2,n 3 ) º º º º º º º º º º º º º½ ÍÒ Ð Ò Ö U 1 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÍÒ Ð Ò Ö U 2 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ð Ò Ö ÓÚ B 1 B 2 B 3 º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ç ÒÓÚ G 0 Ð ÒÓ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö H º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ò Ö B 4 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö G q Þ q > 0 i < j º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º à ÒÓÒ Ö Ö G q Þ q > 0 i < j º º º º º º º º º º º º ¼ º Ö G 0 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½ ËÚ ÛG(C 1,...,C k ;r) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ËÚ ÛB k,s º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö ÓÚ G 1 G 2 G 3 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ñ ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÍÒ Ð Ò Ö ÓÚ U 1 U 2 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ö ÓÚ B 4 B 4 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö ÓÚ B 6 B 6 B 6 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö B 5 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö G 0 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö B 0 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ö B 2 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½ ÈÓÚ Þ Ò Ö ÓÚ Ö 2 n 5 º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÈÓÚ Þ Ò Ð Ò Ö ÓÚ Ö 6 º º º º º º º º º º º º º º ½

Ä Ø Ø Ð º½ ÎÖ ÒÓ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö t 1 n 0 Þ 0 k 4 º º º º º º º º º º º º º½ Æ Ñ Û ÓÔ ØÚ Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ò Ö ÔÓÒ Ú Û Ú B k,s Þ 3 n 14 1 k 1 2 (n 1) º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½ Ê ÔÓÒ Ö ÓÚ B 2 B 4 Þ 5 n 27 º º º º º º º º º º º º º º º½ º¾ Æ Ñ Û ÓÔ ØÚ Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ò Ö ÔÓÒ ÔÓÚ Þ Ò Ö ÓÚ Ö 2 n 5 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Æ Ñ Û ÓÔ ØÚ Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ò Ö ÔÓÒ ÔÓÚ Þ Ò Ð Ò Ö ÓÚ Ö 6 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

ÈÖ ÖÓ Ó ÖÓÑÒ Û Ù Ó Ó Ò Ô Ò Ò Ù º ÇÒ Ø ÐÒÓ ÓØÚÓÖ Ò ÔÖ Ò ß Ñ Ó Ñ Ð ÓÚ Ò ÑÓ Ö ÞÙÑ Ø Ù ÓÐ Ó ÔÖ Ø Ó ÒÓ Ò Ò Ù Þ ÐÓÚ Ó Ñ Ò Ô Ò º Ò Ô Ò ÓÒ Þ ÓÑ Ñ Ø Ñ Ø º Ð Ð Ó Ð Ð

Ð Ú ½ ÍÚÓ Ö ÓÚ ÔÖ Ø ÚÕ Ù Ú ÔÖ ÙØÒ ÑÓ Ð Ó ÔÖ ÖÓ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ø Ó ØÖÙ ØÙÖ Ó Ö Ö Ó ÓÚ º ÇÒ ÑÓ Ù ÓÖ Ø Ø Þ ÔÖ Ø ¹ ÚÕ Û Ö ÞÐ Ø ÚÖ Ø Ö Ð Ò Ñ ÔÖÓ Ù Þ Ñ ÓÐÓ ÓÒÓÑ Ó ÓÐÓß Ñ ÑÖ Ñ º Æ ÑÓ ÙÐ ÙØÚÖ Ø Ù ÕÙ ÔÓ Ð ÓÖ Ø Ö Ñ Ó Ò Ò Þ Ú ÑÓ Ö ÓÚ Ñ Þ ÑÓ ¹ Ð Ö Û Ö ÞÐ Ø Ø Ñ Þ Ö ÐÒÓ ÚÓØ º Å Ø Ñ Ø Ö Ù Ñ ÙØ Ñ Ø ÔÖ Ò ÓÐ Ó Ú ÓÚ ÔÓ Ð Ú Û Ñ Ø Ó Ø ÓÖ Ö ÓÚ Ö Ð Ø ÚÒÓ ÑÐ Ò Ù º Leonhard Euler ½ º Ó Ò Ó Ú Ó Ö Ë Ñ ÑÓ ØÓÚ ÃÓÒ Ö Ó Ñ ØÖ ÔÖÚ Ñ Ö ÓÑ Ù ØÓÖ Ø ÓÖ Ö ¹ ÓÚ º Ã Ó ÔÓ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÔÐ Ò Ø ÓÖ Ö ÓÚ Þ ÒÓÚ Ò ½ º Ó Ò Denes König Ó Ú Ó Û Ù Ì ÓÖ ÓÒ Ò ¹ ÓÒ Ò Ö ÓÚ Ø ÔÓ ÛÙ ÔÖÚ Ú Ð ØÖ Ú Û Ù ÓÚÓ Ø ÓÖ º ËÚÓ ÒØ ÒÞ ÚÒ Ö ÞÚÓ Ú Ð Ù ÔÓÔÙÐ ÖÒÓ Ø ÔÖ Ñ ÒÙ Ø ÓÖ Ö ÓÚ Ó Ú Ð ÔÓÚ Ð Û Ñ ÙÔÓØÖ Ö ÙÒ Ö Ù ÖÙ Ó ÔÓÐÓÚ Ò Ú ØÓ Ú º Ç ÔÓÑÓÐÒÓ Ö Ñ Þ Ð ÓÚ Ø ÓÔ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÔÓ Ø Ò Ó Ó ÒÓÚÒ Ñ Ø Ñ Ø ÔÓ ÑÓÚ º ÈÖ Ò ÓÐ Ó Ò Ñ Ø Ñ Ø Ö Ù ÙÚ Ð ÑÓ ÙÐÒÓ Ø Ö ÞÙй Ø Ø Ð Ò ÖÒ Ð Ö Ó Ù ÕÙ Ù Ø ÓÖ Ù Ñ ØÖ ÓÖ Ø Ù Ø ÓÖ Ö ÓÚ Û Ò Ñ ÔÖ Ñ Ò Ñ º Ì ÙÚÓ Û Ñ ÒÓÚ Ò Ò Ö ÞÓÒÓÚ Û ÓßÐÓ Ó Ò Ø Ò Ô ØÖ ÐÒ Ø ÓÖ Ö ÓÚ Ó Ò Ñ ØÖ ÔÓ¹ ÒÓÑ Ñ Ø Ñ Ø ÓÑ Ø ÓÖ ÓѺ Ç Ó Ò Ö Ò ÞÙ Ú Ù ÔÓÑÓÐÙ ÓÔ ØÚ Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ó ÒÓ ÒÓ Ô ØÖ Ñ ØÖ ÔÖ ÖÙ Ò Ö Ù Ó Û Ò ÓÔ ØÚ Ò Ú ØÓÖ ÓÔ ØÚ Ò ÔÓØÔÖÓ ØÓÖ º ÈÓ Þ ÒÓ Ô ¹ Ø Ö Ö ÑÒÓßØÚÓ Ò ÓÖÑ Ó ØÖÙ ØÙÖ Ö ßØÓ ÓÚ ÐÓ Ó Û ÓÚ Ú Ð ÔÖ Ñ Ò ÔÓ Ú Ó ÔÖ Ñ Ò Ù Ñ ÓÐÓ Ñ Ò Ô Ú Ó ÔÖ Ñ Ò Ù ÓÒÓÑ ÓÔ Ö ÓÒ Ñ ØÖ Ú Û Ñ Ð ØÖÓØ Ò Ú ÔÖ ÙØÒ ÔÖ Ñ Ò Ù Ò ÓÖÑ Ø º Æ ÞÒ Ò Ö ÞÙÐØ Ø ÓÚ Ø ÓÖ ÙÑ Ö Ò Ù Ù ÑÓÒÓ Ö Ñ [10, 11, 13]º Seven Bridges of Königsberg Theorie der endlichen und unendlichen Graphen

½º ÍÎÇ Â Ò Ó ÒØ Ö ÒØÒ Ø Ñ Ù Ô ØÖ ÐÒÓ Ø ÓÖ Ö ÓÚ ÞÙ Ú Û Ö ÓÚ ØÖ Ñ ÐÒ Ñ Ñ Ñ ÐÒ Ñ Ð Ñ Ò Ñ ÐÒ Ñµ Ò ÓÑ ØÖ ¹ Ñ ÐÒÓÑ Ò Ñ ÛÓÑ Ö Ø Ö Ø ÒÓÑ ÚÖ ÒÓßÐÙ Ð Ñ Ñ ÐÒ Ñ Ö ÔÓ¹ ÒÓÑ Ñ Ù Ö ÓÚ Ñ ÔÓ Ñ ØÖ Ò Ð º Ö ÓÚ ÔÓÑ ÒÙØ Ñ Ó Ó Ò Ñ Ò Þ Ú ÑÓ ØÖ Ñ ÐÒ Ñ Ö ÓÚ Ñ º ÈÖÓ Ð Ñ Ó Ö Ú Û ØÖ Ñ ÐÒ Ö ÓÚ ÙÚ Ð ÙCollatz Sinogovitz ½ º Ó Ò [8] Ú Ð ÔÖÓ Ð ÑÓÑ Ò Ø Ð º Lovasz Pelikan [28] Ù Þ Ø Ñ ÔÓ Þ Ð Ñ Ù Ø Ð Ñ Ö Ò Ñ ÖÓ Ñ ÚÓÖÓÚ Ò Ú Ð Ò Ñ ÞÚ Þ Ò Ñ Û Ò Ñ ÔÙغ Ó Ò ÔÓÞÒ ØÓ ÑÒÓ Ó Ö ÞÙÐØ Ø Ó Ö ÓÚ Ñ Ó Ù ØÖ Ñ ÐÒ Ù Ñ ÐÙ Ò º Ç Ö Ò Ù Ò ÔÖ Ñ Ö Ö ÓÚ Ñ Ñ ÐÒ Ñ Ò ÓÑ Ñ Ù ÔÓÚ Þ Ò Ñ Ö Ó¹ Ú Ñ [3] Ñ Ù Ö ÓÚ Ñ Ö Ò Ñ ÖÓ Ñ Ö Ò [36] Ð Ò Ñ Ö ÓÚ Ñ Ö ÒÓ Ó Ñ [48] Ó Ö ÓÚ Ñ Ò Ñ ÐÒ Ñ Ò ÓÑ Ù Ö ÞÒ Ñ Ð Ñ Ö ÓÚ [34, 46, 47]º Í Ú Þ Ò Ñ ÛÓÑ Ö Ø Ö Ø ÒÓÑ ÚÖ ÒÓßÐÙ Óß ÙÚ Ò Ó ÚÕ ÒÓ ÑÒÓ Ó Ö ÞÙÐØ Ø º Á ØÖ Ú Û Ù Ð Ú¹ ÒÓÑ ÚÓ Ò Ó Ö Ú Û Ö Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ñ Ò Ñ ÐÒ Ù Ó Ö ÒÓ Ð º ÈÖÚ Ö ÓÚ Ò ÓÚÙ Ø ÑÙ ÔÓ ÚÕÙ Ù ¾¼¼ º Ó Ò º Ê ÞÙÐØ Ø Ù Ó Ò Þ ÙÒ Ð Ò Ö ÓÚ [16] ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ð [17] Ð Ò Ö ÓÚ [33] ØÙ [32] Ö ÓÚ ÖØ ÙÐ Ó¹ Ò Ñ ÚÓÖÓÚ Ñ [43] Ø º ÇÚ ÖØ Ò Ú Ð Ñ ÐÓÑ Ú Ö ÓÚ Ñ Ó Ù ØÖ Ñ ÐÒ Ù Ñ ÐÙ Ñ Ò Ñ ÐÒ Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ¹ Ø Ù Ó Ö Ò Ñ Ð Ñ Ø Ó Ù Ò Ó ÔÓÑ ÒÙØ Ö ÞÙÐØ Ø Ö Ò Ù ÖØ º ÈÓÖ ØÓ ÔÖ Þ Ò Ù Ö ÞÙÐØ Ø Ó Ö ÓÚ Ñ Ó Ñ Ù Ñ Ñ ÐÒ Ö ÔÓÒ Ù Ò Ñ Ð Ñ Ö ÓÚ º ÖØ ØÓ Þ ß Ø Ð Ú Ó Ø º ÈÖÚ Ð Ú ÙÚÓ ÒÓ Ö Ø Ö º Í ÛÓ ÔÖ Ø ÚÕ Ò Ö Ø ØÓÖ ¹ Ø Ô ØÖ ÐÒ Ø ÓÖ Ö ÓÚ Ó ÑÓØ Ú Þ Ö ØÖ Ñ ÐÒ Ñ Ö ÓÚ Ñ º Í ÖÙ Ó Ð Ú ÓÚ ÖØ ÙÚ Ò Ù Ó ÒÓÚÒ ÔÓ ÑÓÚ Ö Ø ¹ Ö Ø Ö ÓÚ ÔÓÐ ÒÓÑ Ñ ØÖ Ò Ò ÔÓ Ñ Ô ØÖ Ö Û ÓÚ Ó Ó Ò º Æ Ú Ò Ù Ð Ñ Ó Ù Þ Ø Ñ ÓÖ ßÐ Ò Ù Ó Þ Ñ Ö ÞÙÐØ Ø Ó Ø Ð ÔÓ Ð ÚÕ º Í ØÖ ÐÓ Ð Ú Ù ÔÖ Ø ÚÕ Ò Ö ÞÙÐØ Ø Ù Ú Þ ØÖÙ ØÙÖÓÑ Ö Ó Ñ Ñ Ò Ñ ÐÒÙ Ò Ñ ÛÙ Ö Ø Ö Ø ÒÙ ÚÖ ÒÓ Ø Ù Ð ÔÓÚ Þ Ò Ö ÓÚ Ö ÒÓ Ö Ú Ð Ò º ÇÚ Ð Ú Ò Ô Ö Ò Ö ÓÚ Ñ Ù ÙØÓÖ Bell Ú Ø ÓÚ Ð Rowlinson Ë Ñ Ð [4, 5] Ó Ù ÙÒ¹ Ñ ÒØ ÐÒ Þ ÓÚÙ Ø Ñ Ø Ùº Ì Ó ÔÖ Ø ÚÕ Ò Ù Ö ÞÙÐØ Ø Ó A. Sawikowska [37] Ó Ð Ú Ð Ð ÒÓÑ Ø Ñ Ø ÓѺ Æ Ö Ù ÔÓ Ð ¹ ÚÕ ÔÓ Ò Ô Û ÔÓ Ú Ð Ò ØÖ Ñ ÐÒ Ñ Ô ÖØ ØÒ Ñ Ö ÓÚ Ñ ÔÓÑ ÒÙØ Ð Þ Ö Ò Ñ Ò Ö ÞÙÐØ Ø Ñ Ö [31]º ØÚÖØ Ð Ú ÖØ Ú ØÖ Ñ ÐÒ Ñ Ö ÓÚ Ñ Ù Ð Ñ ÔÓ¹ Ú Þ Ò Ö ÓÚ Ñ Ð Ñ ÐÓÑ Ø Ò Ñ ÖÓ Ñº Ó Ò Ù Ò ØÚ Ò Ê ÔÓÒ Ö Ò ß Ó Ö ÞÐ ÞÑ Ù Ò Ú Ð Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ¹ ÒÓ Ø Ö º

½º ÍÎÇ Ö ÓÚ Ó Ñ Ù Ñ Ò Ñ ÐÒÙ Ò Ñ ÛÙ Ö Ø Ö Ø ÒÙ ÚÖ ÒÓ Ø Ñ Ù ÙÒ ¹ Ð Ò Ñ Ð Ò Ñ Ö ÓÚ Ñ Þ Ø Ñ ÞÚÖß ÒÓ ÙÓÔßØ Û Ö ¹ ÞÙÐØ Ø Ò Ú c Ð Ò Ö ÓÚ Þ ÚÖ ÒÓ Ø 1 c 5º ÇÚÓ ÔÓ Ð ÚÕ Ó Ð Û Ò Ö ÓÚ [16, 31, 33] ÔÖ ÑÙ Ù Ù Ò Ñ Ö ÞÙÐØ Ø Ñ Ø Ò Ó Þ Ú Û ÞÑ Û Ò º Í Ô ØÓ Ð Ú Ó Ö Ö ÞÙÐØ Ø Ö ÓÚ [2] [32] ÔÖ Ø ÚÕ Ò Ù ØÖ Ñ ÐÒ Ö ÓÚ Ù Ð ØÙ º Æ Ñ Ñ Ù Ú Ñ ØÙ Ñ ¹ Ö ÒÓ Ö Ö Ò Ñ ÖÓ Ñ ÓÒØÙÖ ÓÔ Ò ØÖÙ ØÙÖ ØÙ Ñ Ñ ÐÒ Ñ Ò ÓÑ ØÙ Ñ Ò Ñ ÐÒÓÑ Ò Ñ ÛÓÑ ÓÔ ØÚ ÒÓÑ ÚÖ ÒÓßÐÙ ØÙ Ñ Ñ ÐÒ Ñ Ö ÔÓÒÓѺ Æ Ö ÞÙÐØ Ø Ù Þ Ø Ñ ÔÖÓß Ö Ò Ò Ð Ù Ú ØÙ Ö ÒÓ Ö º ÈÓ Þ ÒÓ Ó Ò ØÙ Ñ Ù Ó Ð Ú Û º Ø Ð Ú Þ Ö Ò Ò Ö ÓÚ Ñ [1, 6, 12, 16, 31, 32, 33] Ú Ö ÓÚ Ñ Ó Ù ØÖ Ñ ÐÒ Ù Ñ ÐÙ Ñ Ñ ÐÒÓ Ö ÔÓÒ º ÇÚ ÔÖÓ¹ Ð Ñ Ö ß Ò Ù Ð Ñ ÔÓÚ Þ Ò ÙÒ Ð Ò Ð Ò Ö ÓÚ Ó Ù Ð Ñ ØÖ Ð Ò Ø ØÖ Ð Ò Ô ÒØ Ð Ò Ö ÓÚ ÓÚÓÕÒÓ Ú Ð Ó Ö º Ã Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ö Ú Û Ñ Ñ ÐÒÓ Ö ÔÓÒ Ù Ð Ó Ú Þ ÔÖÓ Ð ÑÓÑ Ó Ö Ú Û Ñ Ñ ÐÒÓ Ò Ñ Ò Ñ ÐÒ Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ù ØÓ Ð Ö ÓÚ Ù ÓÚÓÑ ÔÓ Ð ÚÕÙ Ù ÓÖ ßÐ Ò Ö ÞÙÐØ Ø ÔÖ Ø Ó Ò ÔÓ Ð ÚÕ º Ó Ø ÓÚ ÖØ Ö Ð Ú ÔÓÚ Þ Ò Ö ÓÚ Ñ ¹ Û Ó ß Ø ÚÓÖÓÚ Ø ÐÙ Û ÓÚ Ò Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ö ÔÓÒ º Ì Ó ÔÖ Þ Ò Ù Ú ÔÓÚ Þ Ò Ð Ò Ö ÓÚ ß Ø ÚÓÖÓÚ Û ÓÚ Ò Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ¹ ÒÓ Ø Ö ÔÓÒ º Æ Ó ÓÚ ÚÖ ÒÓ Ø ÓÖ ßÐ Ò Ù Ù Ó Þ Ñ Ö ÞÙÐØ Ø Ù ÔÖ Ø Ó Ò Ñ Ð Ú Ñ º Í Ó Ø Ù Ò Ö Ù Ó ØÓÖ ÖØ Ò Ò Ð ÓÑ Þ Ù Ù Ù Ö Ø Ó ÙÑ Ö Ò Ú ÔÖ Ø Ó ÒÓ ÔÖ Þ Ò Ö ÞÙÐØ Ø º Æ Ú Ò ÓÔÖ ÒÓ ÙØÓÖ Ù ÓÚÓ ÖØ Ó Ð Ù Ð Ð Ñ Ö ÞÙÐØ Ø Ñ Ö Ø Ö Þ Ö ÓÚ Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ñ Ò Ñ ÐÒ Ù Ð ÔÓÚ Þ Ò Ô ÖØ ØÒ Ö ÓÚ Ö ÒÓ Ö Ú Ð Ò º¾ Ø ÓÖ Ñ ÔÖ Ñ Ö ÞÙÐØ Ø Ñ Ö [31]µ Ö Ø Ö Þ Ö ÓÚ Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ñ Ò Ñ ÐÒ Ù Ð ÔÓÚ Þ Ò Ð Ò Ö ÓÚ º¾ ÔÖ Ñ Ö ÞÙÐØ Ø Ñ Ö [33]µ Ö Ø Ö Þ Ö ÓÚ Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ñ Ò Ñ ÐÒ Ù Ð ÔÓÚ Þ Ò Ö ÓÚ Ñ Ð Ñ ÐÓÑ Ø Ò Ñ ÖÓ Ñ º ÔÖ Ñ Ö ÞÙÐØ Ø Ñ Ö [31]µ Ö Ø Ö Þ Ö ÓÚ Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ñ Ò Ñ ÐÒ Ù Ð ØÙ Ö ÒÓ Ö Ö Ò Ñ ÖÓ Ñ ÓÒØÙÖ º½ ÔÖ Ñ Ö ÞÙÐØ Ø Ñ Ö [32]µ ½¼

½º ÍÎÇ Ö Ø Ö Þ Ö ÓÚ Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ñ Ò Ñ ÐÒ Ù Ð ØÙ Ö ÒÓ Ö º¾ ÔÖ Ñ Ö ÞÙй Ø Ø Ñ Ö [32]µ Ö Ø Ö Þ Ö ÓÚ Ö ÔÓÒ Ñ Ñ Ð Ò Ù Ð ØÙ Ö ÒÓ Ö Ö Ò Ñ ÖÓ Ñ ÓÒØÙÖ º½ ÔÖ Ñ Ö ÞÙÐØ Ø Ñ Ö [2]µ Ö Ø Ö Þ Ö ÓÚ Ö ÔÓÒ Ñ Ñ Ð Ò Ù Ð Ñ ÔÓÚ Þ ¹ Ò Ö ÓÚ Ñ Ð Ñ ÖÓ Ñ ÓÒØÙÖ Ð Ú ÔÖ Ñ Ö ÞÙÐØ Ø Ñ Ö [1]µº ½½

Ð Ú ¾ ËÔ Ø Ö Ö Ö G ÑÓ Ò Ø Ó ÙÖ Ò Ô Ö (V,E) V ÓÒ Ò Ò ÔÖ Þ Ò ÙÔ Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Þ Ú Ù ÚÓÖÓÚ Ö E ÙÔ ÚÓ Ð Ò ÔÓ ÙÔÓÚ ÙÔ V Ó Ò Þ Ú Ù Ö Ò Ö Gº ÇÚ Ó Ò Ò Ö ÓÒ Ò Ò ÓÖ ÒØ Ò Þ Ô ØÕ Ú ß ØÖÙ Ö Ò Ò Þ Ú ÑÓ ÔÖÓ Ø Ñ Ö ÓѺ Ö Ò Þ Ú Ò ØÖ Ú ÐÒ Ñ Ó Ö Ö Ú ÚÓÖ º Ö G ÑÓ Ö n = V Ú Ð Ò m = E º Ú ÚÓÖ Ö G Ù Ù Ò Ù ÓÐ Ó ÔÓ ØÓ Ö Ò Ó Ô º ÖÓ ÚÓÖÓÚ Ó Ù Ù Ò ÚÓÖÓÑ v Ò Þ Ú Ø Ô Ò ÚÓÖ v ÓÞÒ Ú d(v)º Ö Ö n Ù Ú ÚÓÖÓÚ Ø Ô Ò n 1 Ò Þ Ú ÑÓ ÓÑÔÐ ØÒ Ñ Ö ÓÑ ÓÞÒ Ú ÑÓ K n º ÚÓÖÓÚ Ø Ô Ò 0 1 Ù Ö Ù Ò Þ Ú Ù ÞÓÐÓÚ Ò Ú Ð ÚÓÖÓÚ Ö Ô Ø ÚÒÓº ÔÖÓ ÞÚÓÕ Ò ÚÓÖ v Ö G N(v) ÓÞÒ Ú ÑÓ ÙÔ Ú Ù ÚÓÖ v Ù Ö ÙGº Ö Ù G = (V,E) ÙÔÓÑ ÚÓÖÓÚ V = {v 1,v 2,...,v n } Ò ÔÖ ÖÓ Ò Ò Ò ÑÓ ÔÖ ÖÙ Ø 0,1µ¹Ñ ØÖ Ù ØÚ A(G) = (a ij ) n n Ó Ò ß Ò Ð Ð Ò Ò { 1, Ó v i v j E ¾º½µ a ij = 0, Ó v i v j E. ÈÓßØÓ A(G) Ñ ØÖ Ò Ñ ØÖ Û Ò Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ù Ö ¹ ÐÒ ÖÓ Ú Ò Þ Ú ÑÓ Ö Ø Ö Ø Ò Ñ ÓÔ ØÚ Ò Ñµ ÚÖ ÒÓ Ø Ñ Ò Ðºeigenvaluesµ Ö Gº Þ Ù Ø ÓÔßØÓ Ø Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ¹ Ø Ö GÑÓ ÑÓ Ô Ø Ù Ò Ö ØÙÐ Ñ ÔÓÖ Ø Ù Ó λ 1 (G) λ 2 (G) λ n (G). Æ Ú ÐÙ ÓÔ ØÚ ÒÙ ÚÖ ÒÓ Ø Ö G ÓÞÒ Ú ÑÓ ρ(g) Ò Þ Ú ÑÓ Ò¹ ÓÑ Ð Ô ØÖ ÐÒ Ñ Ö Ù ÓÑ Ö G Ò Ðº index, spectral radiusµº Æ Ñ ÛÙ ÓÔ ØÚ ÒÙ ÚÖ ÒÓ Ø Ö G ÓÞÒ Ú ÑÓ λ(g)º Ê ÔÓÒ Ö Ò Ðºspreadµ ÔÖ Ø ÚÕ Ö ÞÐ Ù ÞÑ Ù Ò Ú Ð Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ö ÓÞÒ Ú s(g) = ρ(g) λ(g)º Ë ÙÔ Ú Ö ¹ Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ö Ò Þ Ú ÑÓ Ô ØÖÓÑ Ö Ò Ðº spectrumµº ½¾

¾º ËÈ ÃÌ Ê Ê Ã Ö Ø Ö Ø Ò ÔÓÐ ÒÓÑ Ö G Ò Ðº eigenpolynomialµ Ò ß Ó det(λi A(G)) ÓÞÒ Ú φ(g,λ)º ÈÓÚ Þ Ò Ö C n n ÚÓÖÓÚ Ó Ó Ù Ú ÚÓÖÓÚ Ø Ô Ò 2Ò Þ Ú ÑÓ ÓÒØÙÖÓÑ Ù Ò n Ò Ðº cycleµº ÈÓÚ Þ Ò Ö ÓÚ Ó Ò Ö ÓÒØÙÖ Ù Ø Ð Ò Ðº treesµ ÓÞÒ Ú ÑÓ T n n ÖÓ ÚÓÖÓÚ Ø Ð º ËØ ÐÓ n ÚÓÖÓÚ Ó Ó Ò ÚÓÖ Ø Ô Ò n 1 Ú Ó Ø Ð ÚÓÖÓÚ Ø Ô Ò 1 Ò Þ Ú ÑÓ ÞÚ Þ ÓÑ Ò Ðº starµ Ù ÓÞÒ S 1,n 1 º ÚÓÖ Ø Ô Ò n 1 Ò Þ Ú ÒØ Ö ÞÚ Þ º ÈÓÚ Þ Ò Ö P n n ÚÓÖÓÚ Ó Ò Ö ÓÒØÙÖ Ù ÓÑ Ò Ò ÚÓÖ Ò Ø Ô Ò Ú Ð Ó 2 Ò Þ Ú ÑÓ ÔÙØ Ñ Ò Ðºpathµº Ä Ñ ½ [11]µº ËÔ Ø Ö ÔÙØ P n ØÓ Þ ÖÓ Ú Ó Ð 2cos π k = 1,...,nº n+1 k ÈÓÚ Þ Ò Ö G Ô ÖØ Ø Ò Ó Û ÓÚ ÚÓÖÓÚ ÑÓ Ù ÔÓ Ð Ø Ù Ú ÙÒ ØÒ ÙÔ U V Ø Ó Ú Ö Ò Ù Ö Ù G ÔÓÚ ÞÙ ÚÓÖ Þ ÙÔ U ÚÓÖÓÑ Þ ÙÔ Vº Ô ÖØ Ø Ò Ö G ÓÑÔÐ Ø Ò Ô ÖØ Ø Ò Ò Ðº complete bipartiteµ Ó Ú ÚÓÖ Þ ÙÔ U Ù Ò Ú Ñ ÚÓÖÓÑ Þ ÙÔ V º ÃÓÑÔÐ Ø Ò Ô ÖØ Ø Ò Ö ÓÞÒ Ú ÑÓ K p,q p ÖÓ Ð Ñ Ò Ø ÙÔ U q ÖÓ Ð Ñ Ò Ø ÙÔ V º Ú Þ S 1,q Ø Ó ÓÑÔÐ Ø Ò Ô ÖØ Ø Ò Ö K 1,q º Ö G = G 1 G 2 ÓÑÔÐ Ø Ò ÔÖÓ ÞÚÓ Ò Ðº joinµ Ú ÙÒ ØÒ Ö G 1 G 2 Ó Ú V(G) = V(G 1 ) V(G 2 ) E(G) = E(G 1 ) E(G 2 ) E E = {uv u V(G 1 ),v V(G 2 )}º Æ G Ò ÔÓÚ Þ Ò Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ñ ÔÓÚ Þ ÒÓ Ø G 1,G 2,...,G k Ó ÑÓ ÑÓ ÔÓ Ñ ØÖ Ø Ó ÑÓ Ø ÐÒ Ö ÓÚ º Æ Ù A 1,A 2,...,A k Ñ ØÖ Ù ØÚ Ö ÓÑ Ö ÓÚ G 1,G 2,...,G k º Ì Ñ ØÖ Ù ØÚ Ö G Ó Ð A 1 0 0 0 A 2 0 A(G) = º º ººº º. 0 0 A k Ç Ð ÒÓ Ö Ø Ö Ø Ò ÔÓÐ ÒÓÑ Ö G ¾º¾µ φ(g,λ) = φ(g 1,λ) φ(g 2,λ)... φ(g k,λ), Ó Ð Þ ÕÙ Ù ÑÓ Ô Ø Ö Ö G Ó Ó Û Ú Û Ñ Ô Ø Ö Û ÓÚ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÔÓÚ Þ ÒÓ Ø G 1,G 2,...,G k º Æ X = (x 1,x 2,...,x n ) T Ú ØÓÖ ÓÐÓÒ Ù R n G Ö ÚÓÖÓÚ Ñ v 1,v 2,...,v n º Ì X ÑÓ ÔÓ Ñ ØÖ Ø Ó ÙÒ Ò Ò Ò ÙÔÙ ÚÓÖÓÚ Ö G Ó ÔÖÓ ÞÚÓÕÒ ÚÓÖ v i ÔÖ Ð Ú Ù Ð Ñ ÒØ x i = X(v i )º à ÑÓ x i ÚÖ ÒÓ Ø ÚÓÖ v i Ø ÙÒ ÓÑXº ÅÓ ÔÓ Þ Ø ¾º µ X T A(G)X = 2 x i x j v i v j E(G) ½

¾º ËÈ ÃÌ Ê Ê λ Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ö G Ó Ó ÓÚ Ö Ö Ø Ö Ø ÒÓÑ Ú ØÓÖÙX Ó ÑÓ Ó X 0 ¾º µ λx i = (i = 1,2,...,n). v i v j E(G) x j Â Ò Ò ¾º µ Ò Þ Ú Ù λ,xµ Ö Ø Ö Ø Ò Ò Ò Ö Gº Ì Ó Þ ÔÖÓ ÞÚÓÕÒ Ò Ò Ú ØÓÖ X = (x 1,x 2,...,x n ) T ÔÙÛ Ò Ò Ò Ó Ø λ(g) X T A(G)X. Â Ò Ó Ø ÔÓ Ø Ó ÑÓ Ó X Ö Ø Ö Ø Ò Ú ØÓÖ Ñ ØÖ A(G) Ó Ó ÓÚ Ö Ò Ñ ÛÓ Ö Ø Ö Ø ÒÓ ÚÖ ÒÓ Ø λ(g) Ú Ø [13]µº ËØÓ ¾º µ ËÐ ÒÓ ¾º µ λ(g) = min X T A(G)X = min X =1 X =1 2 v i v j E(G) ρ(g) = max X =1 XT A(G)X = max 2 X =1 v i v j E(G) x i x j. x i x j. ËÔ ØÖ ÐÒ Ö Ù ÔÓÚ Þ ÒÓ Ö ÔÖÓ Ø Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø ÔÓ ØÓ Ò ØÚ Ò Ö Ø Ö Ø Ò Ú ØÓÖ Ó Ó Ó ÓÚ Ö Ù Ú ÓÓÖ Ò Ø ÔÓÞ Ø ÚÒ º ÇÚ Ö Ø Ö Ø Ò Ú ØÓÖ Ò Þ Ú È ÖÓÒÓÚ Ú ØÓÖ Ö Gº Ä Ñ ¾ [44]µº Æ G ÔÖÓ ÞÚÓÕ Ò Ö Ö n X Ò Ò Ú ØÓÖ Þ R n º Ó ρ(g) = X T A(G)X Ø A(G)X = ρ(g)xº Ä Ñ [44]µº Æ GÔÓÚ Þ Ò Ö Ö n ρ(g) Û ÓÚ Ô ØÖ ÐÒ Ö Ù º Æ Ù u,v Ú ÚÓÖ Ö G d(v) Ø Ô Ò ÚÓÖ vº ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ v 1,v 2,...,v s N(v) \ N(u) 1 s d(v)µ X = (x 1,x 2,...,x n ) T È ÖÓÒÓÚ Ú ØÓÖ Ö G ÓÓÖ Ò Ø x i Ó ÓÚ Ö ÚÓÖÙ v i 1 i nµº Æ G Ö Ó Ò Þ Ö G Ù Ð Û Û Ñ Ö Ò vv i Ó Ú Û Ñ Ö Ò uv i 1 i sµº Ó x v x u Ø ρ(g) < ρ(g )º Ó Þº ÈÖ Ñ Ø ÑÓ Ë Ò Ó ÒÓÚÙ ¾º µ X T (A(G ) A(G))X = 2 s x i (x u x v ) 0. i=1 ¾º µ ρ(g ) = max Y =1 Y T A(G )Y X T A(G )X X T A(G)X = ρ(g), ½

¾º ËÈ ÃÌ Ê Ê Ó ÒÓ ÒÓρ(G) ρ(g )º ÑÓ Ó Þ Ð Ø ÓÖ ÑÙ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ ÙÔÖÓØÒÓ Ø º ρ(g ) = ρ(g)º Ì Ù Ö Ð ¾º µ ÚÙ Ú Ò Ó Ø ρ(g ) = X T A(G )X. Æ Ó ÒÓÚÙ Ð Ñ ¾ Ð A(G )X = ρ(g )X Ô Ó ÑÓ ¾º µ ρ(g )x v = (A(G )X) v = x i. Ì Ó Ó A(G)X = ρ(g)x ÓÒ ¾º µ ρ(g)x v = (A(G)X) v = v i N G (v) v i N G (v) x i = v i N G (v) x i + s x i. ÈÓßØÓ X È ÖÓÒÓÚ Ú ØÓÖ Ö G Ú Û ÓÚ ÓÓÖ Ò Ø Ù ÔÓÞ Ø ÚÒ Ô s i=1 x i > 0º ÁÞ ¾º µ ¾º µ Ó ÑÓ ρ(g )x v < ρ(g)x v. Ç Ú ρ(g ) < ρ(g) ßØÓ Ò ÑÓ ÙÐ º Æ Ù G 1 G 2 Ú Ö ÞÐ Ø ÔÓÚ Þ Ò Ö Ò Ù u v Û ÓÚ ÚÓÖÓÚ ÔÖ ÑÙ u V(G 1 ) v V(G 2 )º Ö G ÑÓ ÔÖ Ø ¹ ÚÕ Ó Ð Ò Ù Ò Ðº coalescenceµ ÓÖ Ò Ö ÓÚ G 1 G 2 Ô ß ÑÓ G = G 1 (u) G 2 (v) Ù ÓÐ Ó G Ó Ò Þ Ö ÓÚ G 1 G 2 ÔÖ Ð Ô Û Ñ Û ÓÚ ÓÖ Ò u vº i=1 G 2 u v 1 v 2 G 1 u v 1 v 2 G 1 G 2 G G ËÐ ¾º½º Ö ÓÚ G G Ä Ñ [16]µº Æ Ù G 1 G 2 Ú Ö ÞÐ Ø Ò ØÖ Ú ÐÒ ÔÓÚ Þ Ò Ö v 1,v 2 V(G 1 ) u V(G 2 )º Æ G = G 1 (v 1 ) G 2 (u) G = G 1 (v 2 ) G 2 (u) Ð ¾º½µº Ó X Ö Ø Ö Ø Ò Ú ØÓÖ Ó Ó ÓÚ Ö Ö Ø Ö Ø ÒÓ ÚÖ ÒÓ Ø λ(g) x v1 x v2 Ø λ(g ) λ(g). Â Ò Ó Ø ÔÙÛ Ò Ó ÑÓ Ó X Ö Ø Ö Ø Ò Ú ØÓÖ Ó Ó ÓÚ Ö Ö Ø Ö Ø ÒÓ ÚÖ ÒÓ Ø λ(g ) x v1 = x v2 w N G2 (u) x w = 0º ½

¾º ËÈ ÃÌ Ê Ê Ó Þº ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ X Ò Ò Ú ØÓÖ x v2 0º Æ α = w N G2 (u) x wº Æ Õ E 1 = {v 1 w E(G) w N G2 (u)} E 2 = {v 2 w E(G ) w N G2 (u)}º Ê ÞÑÓØÖ ÑÓ Ð Ð Ú ÐÙ ÓÞÒ ¹ Ú ÙÐ ÚÓÖv i Ö Ð iº 1 x v1 0 à α 0 Ó ÑÓ 1 2 λ(g ) 1 2 XT A(G )X = x i x j = x i x j + x i x j ij E(G ) ij E(G )\E 2 ij E 2 = x i x j +x v2 α x i x j +x v1 α ij E(G )\E 2 ij E(G)\E 1 = x i x j + x i x j = x i x j ij E(G)\E 1 ij E 1 ij E(G) = 1 2 XT A(G)X = 1 2 λ(g). Ó λ(g ) = λ(g) Ø X Ø Ó Ö Ø Ö Ø Ò Ú ØÓÖ Ö G Ó Ó ÓÚ Ö Ò Ñ ÛÓ Ö Ø Ö Ø ÒÓ ÚÖ ÒÓ Ø λ(g )º Ê ÞÑ ØÖ Û Ñ Ò Ó Ø ¾º µ Þ λ(g ) Ú ØÓÖ X Þ ÔÖÓ ÞÚÓÕÒ ÚÓÖ Þ N G2 (u) Þ ÚÓÖ v 2 Ó ÑÓ x v1 = x v2 α = 0 Ö Ô Ø ÚÒÓº Ù Ø Ù ÐÓÚ ÓÚÓÕÒ Þ Ò Ó Ø λ(g ) = λ(g) Ð Ó ÔÖÓÚ Ö Ú ÓÖ ßÐ Û Ñ ÓÖÛ Ò Ò Ó Ø º Ó α > 0 X ÓÞÒ ÑÓ Ú ØÓÖ Ó Ó Þ Ú ØÓÖ X Þ Ñ ÒÓÑ Ú ÓÓÖ Ò Ø x w x w Þ w V(G 2 )\{u} Ó Ó Ø Ð ÓÓÖ Ò Ø Ó Ø Ù Ò ÔÖÓÑ Û Ò º Ë Ñ ÑÓ 1 2 λ(g ) 1 2 (X ) T A(G )X = x i x j ij E(G ) = x i x j + x i x j + x i x j. ij E 2 Ã Ó Ó ÑÓ ij E(G )\(E 2 E(G 2 u)) ij E 2 x i x j = x v 2 ( α) x v1 α = ij E(G 2 u) 1 2 λ(g ) ij E(G) x i x j = ij E(G 2 u) ij E 1 x i x j x i x j, ij E(G 2 u) x i x j = 1 2 XT A(G)X = 1 2 λ(g). Ó λ(g ) = λ(g) ÓÒ X Ö Ø Ö Ø Ò Ú ØÓÖ Ö G Ó Ó ÓÚ Ö λ(g )º Ê ÞÑ ØÖ Û Ñ Ò Ó Ø ¾º µ Þ λ(g ) X Þ ÚÓÖ v 2 Ó ÑÓ α = 0 ßØÓ Ò ÑÓ ÙÐ º Ð Ú λ(g ) < λ(g)º ½

¾º ËÈ ÃÌ Ê Ê 2 x v1 < 0 Ó α 0 α > 0µ Ó Þ Ú ÓÑ Ð Ò Ó Ù ÐÙ Ù 1 Þ α 0 α > 0µº Í Ó ÐÙ ÔÓ ÞÙ Ò Ó Ø Ò ÑÓ Ø ÔÙÛ Ò º Ö H = (V 1,E 1 ) Þ Ó Ú V 1 V E 1 E ÑÓ ÔÓ Ö Ö G = (V,E) Ò Ðº subgraphµº Ö H Ò Ù ÓÚ Ò ÔÓ Ö Ö G Ò Ðº induced subgraphµ Ó ÙÔ E 1 Ö Ú Ö Ò Þ E Ó ÔÓÚ ÞÙ Ù ÚÓÖÓÚ Þ ÙÔ V 1 º Ä Ñ [11]µº Æ Ù λ 1 λ 2 λ n Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ö G µ 1 µ 2 µ m Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Û ÓÚÓ Ò Ù ÓÚ ÒÓ ÔÓ Ö Hº Ì Ú Ò Ò Ó Ø λ n m+i µ i λ i (i = 1,...,m). ÇÞÒ ÑÓ G v Ö Ó Ó Þ Ö G Ù Ð Û Û Ñ ÚÓÖ v V(G)º ËÐ Ð Ö ÞÙÐØ Ø Ð ÑÓ ÓÖ Ø Ø Þ Ò Ð Û Ö Ø Ö Ø Ò ÔÓÐ ÒÓÑ Ö ÓÚ º Ä Ñ [38]µº Æ v ÚÓÖ Ö G C(v) ÙÔ Ú ÓÒØÙÖ ÙG Ó Ö ÚÓÖ vº Ì Ú φ(g,λ) = λφ(g v,λ) φ(g u v,λ) 2 φ(g V(Z),λ), uv E(G) Z C(v) G V(Z) Ö Ó Ò Ó Ö G Ù Ð Û Û Ñ Ú ÚÓÖÓÚ Ó ÔÖ Ô Ù ÙÔÙ Zº Ä Ñ [38]µº Æ Ù H G Ú ÓÖ Ò Ö ÓÖ Ò Ñ v 1 v 2 Ö Ô ¹ Ø ÚÒÓº Æ H G Ó Ð Ò Ö ÓÚ H Gº Ã Ö Ø Ö Ø Ò ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ð Ò H G Þ ÓÚÓÕ Ú Ö Ð Ù φ(h G,λ) = φ(h v 1,λ)φ(G,λ)+φ(H,λ)φ(G v 2,λ) λφ(h v 1,λ)φ(G v 2, λ). ÇÞÒ ÑÓ G u,v Ö Ó Ò Þ ÔÓÚ Þ ÒÓ Ö GÔÓ ÐÓÑ Ö Ò uv E(G) Ó ÒÓ ÒÓ Ó Ú Û Ñ ÒÓÚÓ ÚÓÖ w Ö Ò wu wv Ù Ö G uvº Hoffman Smith Ù Ö Ù [20] Ò ßÙ ÙÒÙØÖ ßÛ ÔÙØ Ö G Ó ß ØÛÙ v 0 v 1...v s s 1µ Ø ÚÙ Ù ÚÓÖÓÚ v 0,v 1,...,v s Ö ÞÐ Ø d(v 0 ) > 2 d(v s ) > 2 d(v i ) = 2 Þ Ú Ó 0 < i < sº ÇÚ s Ù Ò ÙÒÙØÖ ßÛ ÔÙØ º ÍÒÙØÖ ßÛ ÔÙØ Þ ØÚÓÖ Ò Ó v 0 = v s º ÇÒ Ù Ó Ð Ð Ð Ö ÞÙÐØ Øº ËÐ ¾º¾º Ö W n ½

¾º ËÈ ÃÌ Ê Ê Ä Ñ [20]µº Æ uv Ö Ò Ù ÔÓÚ Þ ÒÓÑ Ö Ù G Ó Ö n ÚÓÖÓÚ º (i) Ó Ö Ò uv Ò ÔÖ Ô ÙÒÙØÖ ßÛ Ñ ÔÙØÙ Ù G G C n Ø ρ(g u,v ) > ρ(g)º (ii) Ó Ö Ò uv ÔÖ Ô Ò ÓÑ ÙÒÙØÖ ßÛ Ñ ÔÙØÙ ÙG G W n W n Ö ÔÖ Þ Ò Ò Ð ¾º¾ Ø ρ(g u,v ) < ρ(g)º Ä Ñ º Æ G ÔÓÚ Þ Ò ÓÖ Ò Ö Ò Ñ Û Ú ÚÓÖ ÓÖ ÒÓÑ vº Ó Ù A B Ö ÓÚ Ð ¾º Ø (i) ρ(a) < ρ(b) (ii) λ(a) λ(b) (iii) s(a) < s(b)º Ó Þº Æ G ÔÓÚ Þ Ò ÓÖ Ò Ö Ò Ñ Û Ú ÚÓÖ ÓÖ ÒÓÑvº (i) ÇÞÒ ÑÓ u ÒØÖ ÐÒ ÚÓÖ ÞÚ Þ S 1,n+1 w 1,...,w n v Û Ò ÚÓÖÓÚ Ø Ô Ò 1 Ð ¾º µº Ì Ó ÓÞÒ ÑÓ v 1,...,v s Ù ÚÓÖ v Ù Ö Ù Gº Æ X È ÖÓÒÓÚ Ú ØÓÖ Ö A Ð ¾º x u x v Û ÓÚ ÓÓÖ Ò Ø Ó Ó ÓÚ Ö Ù ÚÓÖÓÚ Ñ u v Ö ÓѺ Ó x u x v ÓÞÒ ÑÓ G Ö Ó Ò Þ Ö G Ù Ð Û Û Ñ Ö Ò vv i Ó Ú Û Ñ Ö Ò uv i i = 1,...,sµº Ó Ô x u < x v Ò G Ö Ó Ò Þ Ö G Ù Ð Û Û Ñ Ö Ò uw j Ó Ú Û Ñ Ö Ò vw j j = 1,...,nµº Í Ó ÐÙ Ó Ò Ö G Ö B Ð ¾º Ò Ó ÒÓÚÙ Ð Ñ Ú ρ(a) < ρ(b)º (ii) Æ H 1 = S 1,n+1 H 2 = S 1,n G 1 Ö Ò Ù ÓÚ Ò ÙÔÓÑ ÚÓÖÓÚ V(G) {u}º Æ Õ X Ö Ø Ö Ø Ò Ú ØÓÖ Ö A Ð ¾º Ó Ó ÓÚ Ö ÓÔ ØÚ ÒÓ ÚÖ ÒÓ Ø λ(g) x u x v Û ÓÚ ÓÓÖ Ò Ø Ó Ó ÓÚ Ö Ù Ö ÓÑ ÚÓÖÓÚ Ñ u vº Ó x u x v Ö AÑÓ ÑÓ ÔÓ Ñ ØÖ Ø Ó Ó Ð Ò Ù Ö ÓÚ H 1 (v) G(v) Ø º A = H 1 (v) G(v)º Æ G = H 1 (u) G(v)º Ó Ô x u < x v Ö AÑÓ ÑÓ ÔÓ Ñ ØÖ Ø Ó Ó Ð Ò ÙA = H 2 (u) G 1 (u)º Æ G = H 2 (u) G 1 (v)º Í Ó ÐÙ Ó Ò Ö G Ö B Ð ¾º Ò Ó ÒÓÚÙ Ð Ñ λ(a) λ(b)º w 1 w 2 w n n+1 A G u v B G v ËÐ ¾º º Ö ÓÚ A B ½

¾º ËÈ ÃÌ Ê Ê (iii) Ö ØÒÓÑ ÔÖ Ñ ÒÓÑ Ò Ò Ó Ø (i) (ii) ÓÐ Þ ÑÓ Ó Þ ÕÙ Þ Ö ÓÚ A B Ð ¾º Ú s(a) < s(b)º Æ Ò Ó Ø (i) (ii) Þ ÔÖ Ø Ó Ò Ð Ñ Ó Þ Ð Ù Ë Ñ Ð[39] Ó ÒÓ ÒÓ Fan, Wang Gao [16] Ö Ô Ø ÚÒÓº Í Û ÓÚ Ñ Ó Þ Ñ ÓÖ ßÐ Ò ÖÙ Ø Ò Ò Ó Ù Ó Þ Ñ ÔÖ Ø ÚÕ Ò Ñ Ù ÓÚÓ Ø Þ º Ã Ó ÔÓ Ð Ù Ð Ñ Ó ÑÓ Ð ÐÙ Ð ÑÙº Ä Ñ ½¼º Æ GÒ ØÖ Ú Ð Ò ÔÓÚ Þ Ò Ö T k Ø ÐÓ Ö k S 1,k 1 ÞÚ Þ Ö k ÒØÖÓÑ wº Æ G 1 = G(u) T k (v) G 2 = G(u) S 1,k 1 (w) Þ ÔÖÓ ÞÚÓÕÒ ÚÓÖÓÚ u V(G) v V(T k )º Ó T k S 1,k 1 Ø (i) ρ(g 1 ) < ρ(g 2 ) (ii) λ(g 1 ) λ(g 2 ) (iii) s(g 1 ) < s(g 2 ). Ò ß ÑÓ Ù ÙÔÙ ÚÓÖÓÚ V Ö G Ò ÖÒÙ Ö Ð Ù Ú ¹ Ú Ð Ò Ò Ð Ð Ò Ò ÚÓÖÓÚ u v Ù Ú Ú Ð ÒØÒ Ó ÑÓ Ó Ñ Ù Ø Ù º Æ V/ = {V 1,V 2,...,V r } Ó ÓÚ Ö ÙÐ ÓÐ Ò ÙÔº ÈÓ ÙÔÓÚ V 1,V 2,...,V r Ö Ø Ö Ø Ò ÔÓ ÙÔÓÚ Ö Gµ Ñ Ù Ð ÐÙ Ó Ó ÒÙ Ú Ú ÚÓÖ Þ ØÓ ÔÓ ÙÔ Ù Ò Ù Ò Ú Ú ÔÓ ÙÔ Ù ÓÑÔÐ ØÒÓ Ù Ò Ð ÓÑÔÐ ØÒÓ Ò Ù Ò Ù Ö ÙGº ÁÒ Ù ÓÚ Ò ÔÓ Ö G Ó Ò Þ ÓÖÓÑ ÔÓ ÒÓ ÚÓÖ Þ Ú Ó ¹ Ö Ø Ö Ø ÒÓ ÔÓ ÙÔ Ò Þ Ú ÒÓÒ Ö Ò Ðº canonical graphµ Ö Gº Æ Õ η(g) Ð Ö Ú ß ØÖÙ Ó Ø ÒÙÐ Ù Ô ØÖÙ Ö G η(g) ÖÓ Ó ÒÙÐ Ö ÞÐ Ø ÓÔ ØÚ Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ö G Ö ÙÒ ÙÐ Û ÓÚ Ð Ö Ú ß ØÖÙ Ó Ø º Ç Ð ÒÓ η(g)+η(g) = n nö Ö Gº Ä Ñ ½½ [41, 42]µº Ó G Ö G Û ÓÚ ÒÓÒ Ö Ø η(g) = η(g ) Ø º Ö ÓÚ G G Ñ Ù Ø ÖÓ Ò ÒÙÐ Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø º ½

Ð Ú Ç Ö ÓÚ Ñ Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ñ Ò Ñ ÐÒ Í Ô ØÖ ÐÒÓ Ø ÓÖ Ö ÓÚ ÔÖÓÙ Ú Û Ò Ö Ú Ò ÒØ Ö ÒØÒ Ø Ñ º ÈÓ ØÓ ÑÒÓ Ó Ö ÞÙÐØ Ø Ù Ð Ø Ö ØÙÖ Ó Ø Ù Ò¹ ÔÖÓ Ø Ö ÓÚ º ÈÖÓÙ Ú Ò Ù Ö ÓÚ Ñ Ñ ÐÒ Ñ Ò ÓÑ Ù Ó Ö Ò Ñ Ð Ñ Ö ÓÚ Þ Ø Ñ Ö ÓÚ Ñ Ò Ñ ÐÒ Ñ Ò ÓÑ ÔÓ¹ Ö Ö ÓÚ ÔÖ Ñ Û ÓÚ Ñ Ò Ñ ÔÖ Ñ Ò Ò Ö Ù Ñ Ö ÙÒ Ö ØÚÙ ÓÒÓÑ ÖÙ Ñ Ó Ð Ø Ñ Ò Ù Ø º Â Ò Ó ÒØ Ö ÒØÒ Ø Ñ Ø ÞÙ Ú Û Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ¹ ÒÓ Ø Ö º Ô ÖØ ØÒ Ö ÓÚ Ò Ö ÞÙÐØ Ø Ù Ú Þ Ò ÓÑ Ö ÑÓ ÑÓ ÔÖ Ò Ø Ò Ò Ñ ÛÙ Ö Ø Ö Ø ÒÙ ÚÖ ÒÓ Øº Æ Ñ Þ Ú Ô ÖØ Ø Ò Ö GÚ λ(g) = ρ(g)º ÅÒÓ Ó Ñ Û Ñ ÙØ Ñ ÔÓÞÒ ØÓ Ù Ú Þ Ò Ñ ÛÓÑ Ö Ø Ö Ø ÒÓÑ ÚÖ ÒÓßÐÙ Ó Ø Ð Ö ÓÚ º Ò ÑÓ Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ö Ò ÔÓÞ Ø ÚÒ ÚÖ ÒÓ Øº ÇÒ Ò ÒÙÐ ÒÓ Ó Ö ÓÚ Ó ØÓ ÑÓ Ó ÞÓÐÓÚ Ò ÚÓÖÓÚ º Í ÙÔÖÓØÒÓÑ Ó Ö ÓÚ Ó Ö Ö ÒÙ Ö ÒÙ ÓÚ ÚÖ ÒÓ Ø Ñ Û Ð Ò 1º ÌÓ ÑÓ Þ ÕÙ Ø Ò Ó ÒÓÚÙ Ð Ñ Ñ ÙÐ Ò ÙÑÙ Ø Ú Ö Ö ÔÙØ P 2 Ó Ò Ù ÓÚ Ò ÔÓ Ö º ÓÑÔÐ ØÒ Ö ÓÚ Ú Ñ Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ò 1 Ó Þ Ò ÔÓ¹ Ú Þ Ò Ö ÓÚ Ù Ú ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÑÔÐ ØÒ Ö ÓÚ º ÃÓ Ú Ó Ø Ð Ö ÓÚ ÓÚ ÚÖ ÒÓ Ø Ñ Û Ð Ò 2 ÔÓßØÓ ÓÒ Ö Ö S 1,2 Ó Ò Ù ÓÚ Ò ÔÓ Ö º Ö ÓÚ Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ¹ ÒÓ Ø Ò 2 Ø ÕÒÓ Ù ÔÖÓÙ Ú Ò Ù ÑÓÒÓ Ö [14] Ù ÙØÓÖ Ú Ø ÓÚ Ð Rowlinson Ë Ñ Ðº Í Ú Þ Ò Ñ ÛÓÑ Ö Ø Ö Ø ÒÓÑ ÚÖ ÒÓßÐÙ Ö ÓÚ Ò Ú ß Ö ¹ ÞÙÐØ Ø Ó ÒÓ Ó ÓÖÛ Ñ ÓÛ Ñ Ö Ò Ñ ÓÚ ÚÖ ÒÓ Ø º ÂÓß ½ º ¾¼

º½º ËÌÊÍÃÌÍÊ ÃËÌÊ Å ÄÆÁÀ Ê ÇÎ Ó Ò Constantine [9] Ó ÞÙ Þ Ö GÖ nú Ò Ò Ó Ø n n λ(g), 2 2 ÔÖ ÑÙ Ò Ó Ø ÔÙÛ Ò Ó ÑÓ Ó G ÓÑÔÐ Ø Ò Ô ÖØ Ø Ò Ö K n º Ø Ñ Powers [35] Ó ÚÕÙ Óß ÒÙ ÓÛÙ Ö Ò Ù 2, n 2 m λ(g), mú Ð Ò Ö Gº Ã Ò Ù Ó Ò Óß Ò Ö Ò Þ Ò Ñ ÛÙ Ö Ø Ö Ø ÒÙ ÚÖ ÒÓ Ø Ò ÓÑÔÐ ØÒ ÔÓÚ Þ Ò Ö ÓÚ Ö n Ó Ò ÔÖ Ñ Ö º½µ n 2 λ(g) < 1 2 ( 1+ 1+ 4n 12 n 1 ÈÓÖ Ò Ú Ò Ö ÞÙÐØ Ø Ò Ó Ú Ò Ø Ñ Ù Ô ØÖ ÐÒÓ Ø ÓÖ Ö ÓÚ Ø ÞÙ Ú Û Ö ÓÚ Ñ Ñ ÐÒ Ñ Ð Ñ Ò Ñ ÐÒ Ñ Ò ¹ ÓÑ Ó ÒÓ ÒÓ Ñ Ñ ÐÒÓÑ Ð Ñ Ò Ñ ÐÒÓÑ Ò Ñ ÛÓÑ Ö Ø Ö Ø ÒÓÑ ÚÖ ÒÓßÐÙ Ñ Ù ÔÓÚ Þ Ò Ñ Ö ÓÚ Ñ Ó Ö Ò Ð º Í ÓÚÓÑ ÔÓ Ð ÚÕÙ ÔÖ Þ Ò Ù Ö ÞÙÐØ Ø Ù Ú Þ Ò Ñ ÛÓÑ Ö Ø Ö ¹ Ø ÒÓÑ ÚÖ ÒÓßÐÙ Ö ÓÚ Ö ÒÓ Ö Ú Ð Ò º Æ Ñ ÓÔ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ö ÓÚ Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ñ Ò Ñ ÐÒ Ù ÓÚÓ Ð Ö ÓÚ º Ì Ó Ó Ö Ò Ù Ò ØÚ Ò Ö ÓÚ Ñ Ò Ñ Ð¹ ÒÓÑ Ò Ñ ÛÓÑ Ö Ø Ö Ø ÒÓÑ ÚÖ ÒÓßÐÙ Ù Ð Ô ÖØ ØÒ Ö ÓÚ Ö n Ú Ð Ò n+k n > k +4µ Þ 0 k 4º ). º½ ËØÖÙ ØÙÖ ØÖ Ñ ÐÒ Ö ÓÚ Æ GÔÖÓ Ø Ö Ö n Ú Ð Ò m Ò X Ò Ò ÓÔ ØÚ Ò Ú ØÓÖ Ö G Ó Ó ÓÚ Ö Ò Ñ ÛÓ Ö Ø Ö Ø ÒÓ ÚÖ ÒÓ Ø λ(g)º ÇÞÒ ÑÓ G Ö Ó Ò Þ Ö G ÔÓÑ Ö Û Ñ Ò Ö Ò Ù ÔÓÞ Ù ÔÖ Ø Ó ÒÓ Ò ÐÓ Ö Ò A(G ) Û ÓÚÙ Ñ ØÖ Ù Ù ØÚ º Æ Ó ÒÓÚÙ Ò Ò Ó Ø ¾º µ Ó ÑÓ º¾µ λ(g ) λ(g) = min Y T A(G )Y X T A(G)X Y =1 X T (A(G ) A(G))X. Ä Ñ ½¾ [4]µº Æ G Ö Ó Ò Þ Ö G ÖÓØ ÓÑ Ö Ò rs Ó Ó ÚÓÖ rµ Ù ÔÓÞ Ù rt ÔÖ Ø Ó ÒÓ Ò ÐÓ Ö Ò º Ì (i) λ(g ) < λ(g) Ó x r < 0 x s x t Ð x r = 0 x s x t Ð x r > 0 x s x t ; (ii) λ(g ) λ(g) Ó x r = 0 x s = x t º ¾½

º½º ËÌÊÍÃÌÍÊ ÃËÌÊ Å ÄÆÁÀ Ê ÇÎ Ó Þº ÁÞ Ö Ð º¾µ Ó ÑÓ º µ λ(g ) λ(g) X T (A(G ) A(G))X = 2x r (x t x s ). Í Þ Ú ÒÓ Ø Ó ÚÖ ÒÓ Ø ÓÓÖ Ò Ø x r Ö ÞÑÓØÖ ÑÓ Ð Ð Ú ÐÙ º 1 x r = 0 Í ÓÚÓÑ ÐÙ Ù λ(g ) λ(g)º Ø Ú ß Ù ÓÐ Ó x s x t ÓÒ λ(g ) < λ(g)º Í ÙÔÖÓØÒÓÑ Þ λ(g ) = λ(g) = λ Þ Ò Ò Ó Ø º µ Ú ÑÓ X T A(G )X = X T A(G)X Ô X ÑÓÖ Ø Ö Ø Ö Ø Ò Ú ØÓÖ Ö G Ó Ó ÓÚ Ö Ö Ø Ö Ø ÒÓ ÚÖ ÒÓ Ø λº Ç ØÐ Þ Ö G Ó Þ Ö Gµ Ú λx r = vr E(G ) x vº ÇÚÓ Ò ÑÓ ÙÐ x s x t ÔÓßØÓ ÚÓÖ r Ù Ö Ù G Ù Ò ÚÓÖÓÑ s Ù Ö Ù G Ù Ò ÚÓÖÓÑt Ó Ù Ú Ó Ø Ð Ù ÚÓÖ r Ø º 2 x r 0 Í ÓÚÓÑ ÐÙ Ù Þ Ù Ø ÓÔßØÓ Ø ÑÓ ÑÓ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ø x r > 0 Ù ÙÔÖÓØÒÓÑ Þ Ñ Ò ÑÓ x r x r µº Ó x t < x s ÓÒ Þ º µ Ð λ(g ) < λ(g)º ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ Þ ØÓ x t = x s º Ì λ(g ) λ(g)º Í ÓÐ Ó λ(g ) = λ(g) = λ ÓÒ Ó Ù ÐÙ Ù 1 Ú ØÓÖ X ÑÓÖ Ø Ö Ø Ö Ø Ò Ú ØÓÖ Ö G Ó Ó ÓÚ Ö Ö Ø Ö Ø ÒÓ ÚÖ ÒÓ Ø λº ÇØÙ Ò Ó Ø λx s = us E(G) x u Ú Þ Ö ÓÚ G G º ÇÚÓ Ò ÑÓ ÙÐ ÔÓßØÓ Ù ÚÓÖÓÚ s r Ù Ò Ù Ö ÙG Ð Ò Ù Ö Ù G º Ä Ñ ½ [4]µº Æ G Ö Ó Ò Þ Ö G ÔÖ Ñ ßØ Û Ñ Ö Ò ab Ù ÔÓÞ Ù cd ÔÖ Ø Ó ÒÓ Ò ÐÓ Ö Ò ÔÖ ÑÙ {a,b} {c,d} = º Ì Ú (i) λ(g ) < λ(g) Ó x c x d < x a x b ; (ii) λ(g ) λ(g) Ó x c x d = x a x b º Â Ò Ó Ø ÔÓ Ø ÒÓ x a = x b = x c = x d = 0º Ó Þº ÁÞ Ö Ð º¾µ Ó ÑÓ λ(g ) λ(g) X T (A(G ) A(G))X = 2(x c x d x a x b ). Ç Ú Ð λ(g ) < λ(g) x c x d < x a x b º ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ x c x d = x a x b º Ì Ó Ð ÒÓ λ(g ) λ(g)º ËÐ ÒÓ Ó Ù ÔÖ Ø Ó ÒÓÑ Ó ÞÙ Ó λ(g ) = λ(g) = λ ÓÒ Ú ¹ ØÓÖ X ÑÓÖ Ø Ö Ø Ö Ø Ò Ú ØÓÖ Ö G Ó Ó ÓÚ Ö Ö ¹ Ø Ö Ø ÒÓ ÚÖ ÒÓ Ø λº Ë Ú ÑÓ Ú Ö Ø Ö Ø Ò Ò Ò λx u = vu E(G) x v Ú Þ Ö G Þ Ö G ÒÓ Ù ÐÙ Ù x a = x b = x c = x d = 0º ¾¾

º½º ËÌÊÍÃÌÍÊ ÃËÌÊ Å ÄÆÁÀ Ê ÇÎ ÈÖ Ø Ó Ò Ð Ñ ÔÓ Ð Ù Ò Ð ÑÙ Ó ÓÔ Ù ÔÖÓÑ Ò Ò Ö Ò ÓÒ ÖÓØ Ö Ò Ù Û ÑÙº Í Ð Ñ Ñ ½¾ (ii) ½ (ii) Ñ ÙØ Ñ Ò ÙØÚÖ ÒÓ Ð ÑÓ Ú Ø ØÖÓ Ò Ò Ó Øº Í Ò Ø Ú Ù G Ð Ø ÓÞÒ Ò Ò ØÖ Ú Ð Ò ÔÓÚ Þ Ò Ö Ö n Ú Ð Ò m Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ñ Ò Ñ ÐÒ Ù ÓÚÓ Ð Ö ÓÚ º Ö G Ö Ð ÞÓÚ ØÖ Ñ ÐÒ Ö Ð Ó Þ ÒÓ ÓÒ Ñ ØÖÓ Ó Ó Ö ÒÙ ØÖÙ ØÙÖÙº Ë Ø Ñ Ù Ú Þ ÔÖÚÓ ÑÓÖ Ò Ø ÔÓ Ñ Ø Ô Ò ØÓ Ö º Ö H Ò Þ Ú Ø Ô Ò Ø Ö Ò Ðº nested split graphµ Ó Û ÓÚ ÚÓÖÓÚ ÑÓ Ù Ø ÙÖ Ò Ø Ó jq E(H) Ù ÐÓÚÕ Ú ip E(H) Þ Ú Ó i j p qº ÇÚ ÚÓÑ Ö Ù Ó ÓÚ Ö Ø Ô Ò Ø Ñ ØÖ Ù ØÚ º ËØÖÙ ØÙÖ ØÖ Ñ ÐÒÓ Ö G ÓÔ Ò Ù Ð ÐÓ Ø ÓÖ Ñ º Ì ÓÖ Ñ ½ [4]µº Æ G ÔÓÚ Þ Ò Ö Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø ( ( λ(g) Ñ Ò Ñ ÐÒ Ñ Ù ÔÓÚ Þ Ò Ñ Ö ÓÚ Ñ Ö n Ú Ð Ò m m < n )) 2 º Ì G (i) Ô ÖØ Ø Ò Ö Ð (ii) ÓÑÔÐ Ø Ò ÔÖÓ ÞÚÓ Ú Ø Ô Ò Ø Ö Ó Ó Ò Ù Ó ÔÓØÔÙÒÓ Ò ÔÓÚ Þ Ò µº ÈÓ ÞÙ ØÖÙ ØÙÖ Ö GÙ ÐÓÚÕ Ò ÞÒ ÓÑ ÓÓÖ Ò Ø Ö ¹ Ø Ö Ø ÒÓ Ú ØÓÖ Ó Ó ÓÚ Ö Ö Ø Ö Ø ÒÓ ÚÖ ÒÓ Ø λ(g)º Ó Þ ÓÚ Ø ÓÖ Ñ Þ ÒÓÚ Ò Ò Ð Ñ Ñ Ó Ù Ø Ù Ò Ø Ú Ùº Æ X = (x 1,x 2,...,x n ) T ÓÔ ØÚ Ò Ú ØÓÖ Ó Ó ÓÚ Ö ÓÔ ØÚ ¹ ÒÓ ÚÖ ÒÓ Ø λ(g)º Ò ß ÑÓ ÔÓ ÐÙ ÙÔ ÚÓÖÓÚ V(G) Ò Ù ÓÚ ÒÙ ÔÓ ÐÓÑ ÓÓÖ Ò Ø Ú ØÓÖ X Ò Ò Ø ÚÒ ÒÙÐ ÔÓÞ Ø ÚÒ Ò Ð Ð Ò Ò V (X) = {u V(G) x u < 0} ÙÔ Ò Ø ÚÒ ÚÓÖÓÚ, V 0 (X) = {u V(G) x u = 0} ÙÔ ÒÙÐ ÚÓÖÓÚ, V + (X) = {u V(G) x u > 0} ÙÔ ÔÓÞ Ø ÚÒ ÚÓÖÓÚ. Ä Ñ ½ [4]µº Ó V 0 (X) ÓÒ d(u) = n 1 Þ Ú ÚÓÖ u V 0 (X)º Ó Þº ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ ÙÔÖÓØÒÓ Ø º ÔÓ ØÓ ÚÓÖr Þ ÙÔ V 0 (X) Ø Ú d(r) < n 1º Æ S r = {s V(G) sr E(G)} ÙÔ Ú Û ÓÚ Ù Ù Ö Ù G T r ÙÔ Ú ÚÓÖÓÚ Ó Ò Ù Ù Ò r Ù Ö Ù G Ø º T r = {t V(G) tr E(G),t r}º ÈÖ Ñ Ø ÑÓ S r ÔÓßØÓ Ö G ÔÓÚ Þ Ò Ò ØÖ Ú Ð Òº Ì Ó T r º Æ Ù s S r t T r Ú ÔÖÓ ÞÚÓÕÒ ÚÓÖ º ÊÓØ Ö ÑÓ Ö ÒÙ rs Ù Ö Ù G Ù ÔÓÞ Ù rt Ø Ó Ó Ò Ö ÓÞÒ ÑÓ G º ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ ÔÖÚÓ Ö G ÔÓÚ Þ Ò Þ Ú Þ ÓÖ ÚÓÖÓÚ s tº Ó x s x t Þ Ò Ó s t ÓÒ ÔÖ Ñ ÒÓÑ Ð Ñ ½¾ (i) Ó ÑÓ λ(g ) < λ(g) ßØÓ Ù ÓÒØÖ Þ ÓÖÓÑ Ö Gº ËÐ x s = x t Þ Ú Þ ÓÖ ÚÓÖÓÚ s tº ËØÓ x v = c Þ ÔÖÓ ÞÚÓÕ Ò ÚÓÖ ¾

º½º ËÌÊÍÃÌÍÊ ÃËÌÊ Å ÄÆÁÀ Ê ÇÎ v r Ö G cö ÐÒ ÓÒ Ø ÒØ º Ë λ(g)x r = v S r x v = d(r)cº ÈÓßØÓ d(r) 0 x r = 0 Þ ÕÙ Ù ÑÓ c = 0 ÓØÙ X = 0 ßØÓ Ò ÑÓ ÙÐ º Ë ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ Þ Ò Þ ÓÖ ÚÓÖÓÚ s t Ö G Ò ÔÓÚ Þ Òº Ì Ö Ò rs ÑÓÖ Ø ÑÓ Ø Ù Ö ÙG ÚÓÖÓÚ s t Ò Ð Þ Ù Ö ÞÐ Ø Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ñ G s G t Ö G Ö Ô Ø ÚÒÓº ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ ÔÓ ØÓ ÚÓÖ t G s t sµº Ì t T r Ö Ù ÙÔÖÓØÒÓÑ ÐÙ Ù Ù Ö Ù G ÔÓ ØÓ Ó ÔÙØ Ó ÚÓÖ r Ó ÚÓÖ s Ó Þ Ú ÑÓ Ørsº Ó x s x t Ø Ó ÑÓ ÓÒØÖ Ù ÔÖ Ñ ÒÓÑ ÓÖÛ Ö ÙÑ Ò Ø Ò ÚÓÖ t ÙÑ ØÓ Ò ÚÓÖ tº ÈÖ Ñ Ø ÑÓ Ó ÓÚ Ö ÙÐ Ö G Ù ÓÚÓÑ ÐÙ Ù ÔÓÚ Þ Òº ØÓ Ò x u = x s Þ Ú ÚÓÖ u V(G s )º ÈÓÑÓÐÙ λ,xµ Ö Ø Ö Ø Ò Ò Ò ÚÓÖ s ÔÖ Ñ Û Ò Ù Ö Ù G Ó ÑÓ λ(g)x s = (d(s) 1)x s Ó Ð x s = 0º Ó ØÓ G t ÑÓÖ Ö ÚÓÖ u Ø Ú x u 0º ÇÞÒ ÑÓ G Ö Ó Ò Þ Ö GÖÓØ ÓÑ Ö Ò sr Ù ÔÓÞ Ù suº Ö G ÔÓÚ Þ Ò ÔÖ Ñ ÒÓÑ Ð Ñ ½¾ (i) ÓÐ Þ ÑÓ Ó ÓÒØÖ λ(g ) < λ(g)º Ó ÔÓÑ ÒÙØ ÚÓÖ t Ò ÔÓ ØÓ Ø ÚÓÖ s Ø Ô Ò 1 Ò Ó ÒÓÚÙ Ö Ø Ö Ø Ò Ò Ò Þ ÚÓÖsÞ ÕÙ Ù ÑÓ x s = x r = 0º ÈÖ Ñ ØÓÑ Ö G t Ö ÚÓÖ u Þ Ó x u 0º Á Ù ÓÚÓÑ ÐÙ Ù G ÓÞÒ ÑÓ Ö Ó Ò Þ Ö G ÖÓØ ÓÑ Ö Ò sr Ù ÔÓÞ Ù suº Ö G ÔÓÚ Þ Ò Ô Ò Ó ÒÓÚÙ Ð Ñ ½¾ (i) Ó ÑÓ λ(g ) < λ(g) ßØÓ Ò ÑÓ ÙÐ º Ä Ñ ½ [4]µº Æ G ÔÓÚ Þ Ò Ö Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ¹ ÒÓ Ø Ñ Ò Ñ ÐÒ Ñ Ù ÔÓÚ Þ Ò Ñ Ö ÓÚ Ñ Ö n Ú Ð Ò m < ( n 2) º Ì λ(g) ÔÖÓ Ø Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ö Gº Ó Þº ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Øλ(G) Ñ Ú ß ØÖÙ Ó Ø Ö 2º Ì Þ Ú ÚÓÖ u V(G) ÔÓ ØÓ Ö Ø Ö Ø Ò Ú ØÓÖX u¹ø ÓÓÖ Ò Ø Ò ÒÙÐ º Ð u V 0 (X) V 0 (X) º ÈÓßØÓ G Ò ÓÑÔÐ Ø Ò Ö ÑÓ ÑÓ Þ Ö Ø ÚÓÖuØ Ó d(u) < n 1 ßØÓ Ù ÓÒØÖ Ð ÑÓÑ ½ º Ã Ó Ö ØÒ ÔÓ Ð ÔÖ Ø Ó Ò Ð Ñ ÞÚÓ Þ ÕÙ ÓGÒ ÓÑÔÐ Ø Ò Ö ÓÒ Ô ÖØ ÙÔ V(G) Ó Ò Ù ÓÚ Ò ÞÒ ÓÑ Ó¹ ÓÖ Ò Ø ÔÖÓ ÞÚÓÕÒÓ Ö Ø Ö Ø ÒÓ Ú ØÓÖ Ó Ó ÓÚ Ö Ö Ø Ö ¹ Ø ÒÓ ÚÖ ÒÓ Ø λ(g) Ò ØÚ Ò ÔÖ Ñ Ø ÑÓ ÑÓ ÙÐÓ ÔÓÞ Ø ÚÒ Ò Ø ÚÒ ÚÓÖÓÚ ÑÓ ÔÖÓÑ Ò Ø µº Ë Ó ÒÓ ØÓÑ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ m < ( n 2) V(G) = V + V 0 V º ÇÞÒ ÑÓ U ÔÓ Ö Ö G Ò Ù ÓÚ Ò ÚÓÖÓÚ Ñ ÙÔ U V(G) G H ÓÑÔÐ Ø Ò ÔÖÓ ÞÚÓ Ö ÓÚ G Hº ÃÓÖ ßÐ Û Ñ Ð Ñ ½ ÑÓ ÓÔ Ø ØÖÙ ØÙÖ Ö Gº Ó V 0 ÓÒ K = V 0 ÓÑÔÐ Ø Ò Ö G = K H H = V + V º Ó Ù Ö ÑÓ Ù Ò Ø Ú Ù Ò Ö Hº Æ H = V H + = V + º ÈÓ Ö ÓÚ H H + Ö GÔÓ ØÓ ÔÓßØÓ Ù ÓÔ ØÚ Ò ÔÖÓ ØÓÖ Þ λ(g) ¾

º½º ËÌÊÍÃÌÍÊ ÃËÌÊ Å ÄÆÁÀ Ê ÇÎ ρ(g) Ñ Ù Ó ÒÓ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ ÓÔ ØÚ Ò ÔÖÓ ØÓÖ Ó Ó ÓÚ Ö Ò Ù ρ(g) Ö Þ Ô Ø ÔÓÞ Ø ÚÒ Ñ Ö Ø Ö Ø Ò Ñ Ú ØÓÖÓѺ Ë ÙÔV 0 ÑÓ Ø ÔÖ Þ Òº Ä Ñ ½ [4]µº Ö ÓÚ H + H Ù Ø Ô Ò Ø Ö ÓÚ º Ó Þº Æ V + = {1,2,...,k} ÔÖ ÑÙ Ú x 1 x 2 x k º ÌÖ Ó Þ Ø Ó Ö G Ö Ö ÒÙjq ÓÒ ÓÒ Ö Ö ÒÙ ip Þ Ú Ó 1 i j k 1 p q kº ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ ÙÔÖÓØÒÓ Ø º Ò jq E(G) ip / E(G) Þ 1 i j k 1 p q kº Í Ö Ù G ÔÖ Ñ Ø ÑÓ Ö ÒÙ jq Ù ÔÓÞ Ù ip ÒÓÚ Ö ÓÞÒ ÑÓ G º Ã Ó Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ö G Ñ Ò Ñ ÐÒ Ù ÔÓ Ñ ØÖ ÒÓ Ð ÓÒ Ú Ð Ð Ò Ò Ó Ø 0 λ(g ) λ(g) 2(x i x p x j x q ) = 2(x i x j )x p +2(x p x q )x j 0. Ç Ú Þ ÕÙ Ù ÑÓ x i = x j x p = x q Ó X Ö Ø Ö Ø Ò Ú ØÓÖ Ó Ó ÓÚ Ö Ö Ø Ö Ø ÒÓ ÚÖ ÒÓ Ø λ(g ) = λ(g)º Ó ÔÓ Ø ¹ Ú ÑÓ Ö Ø Ö Ø Ò Ò Ò Þ ÚÓÖ q Ù Ö ÓÚ Ñ G G Ó Ð ÒÓ ÓÐ Þ Ó ÓÒØÖ ÔÓßØÓ ÚÓÖ q Þ Ù Ó ÒÓ Ù Ù Ö Ù G º Ð H + Ø Ô Ò Ø Ö º Ò ÐÓ ÒÓ Ó ÞÙ Ö H Ø Ô Ò Ø Ö º Ä Ñ ½ [4]µº Ó ÙÔV + Ð V Ò Ù Ù Ö ÒÙij ÓÒ Ö G Ö Ö ÒÙ pq Þ Ú p V q V + º Ó Þº ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ Ò Ó ÙÔÓÚ V + Ð V Ò Ù Ù Ö ÒÙ ij Ò Ú ØÚÖ Û Ð Ñ º Ì Ö ÒÙ ij ÑÓ ÑÓ ÔÖ Ñ Ø ÑÓ Ù ÔÓÞ Ù pq p V, q V + µº Ã Ó x i x j > 0 x p x q < 0 ÔÖ Ñ ÒÓÑ Ð Ñ ½ (i) ÓÐ Þ ÑÓ Ó ÓÒØÖ º Æ Ó ÒÓÚÙ Ð Ñ ½ ÓÐ Þ Ó Ð Ð Þ ÕÙ º Ä Ñ ½ [4]µº Ó Ö Ò Ó Ö ÓÚ H + Ð H Ò ÔÓØÔÙÒÓ Ò ÔÓÚ Þ Ò ÓÒ H = H + H º Í ÙÔÖÓØÒÓÑ H Ô ÖØ Ø Ò Ö Ò Ó Ú ÞÒÓ ÓÑÔÐ Ø Ò Ô ÖØ Ø Òµº Í Ú Þ ØÖÙ ØÙÖÓÑ Ö GÚ Ð Ð Ö ÞÙÐØ Ø º Ä Ñ ½ [4]µº Ó V 0 ÓÒ H = H + H º Ó Þº ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ H H + H º ÁÞ Ö ÑÓ Ø Ö ÚÓÖ Ù Ö Ù G Ò Ð Ð Ò Ò a V 0 b V + V c V + d V ÔÖ ÑÙ Ù ÚÓÖÓÚ c dò Ù Ò º Æ Ó ÒÓÚÙ Ð Ñ ½ ÚÓÖÓÚ a b Ù Ù Ò Ù Ö Ù G Ö Ò ab Ò ÑÓ Øº Ø Ú ß Ú x a x b > x c x d º ÈÖ Ñ Ø ÑÓ Óß ÚÓÖ b Ò ÑÓ Ø Ø Ô Ò 1 Ö Ù ØÓÑ ÐÙ Ù Ó b V 0 º Ó Ö ÒÙ ab Þ Ñ Ò ÑÓ Ö ÒÓÑ cd Ó Ð ÑÓ ÔÓÚ Þ Ò Ö G º ÈÖ Ñ ÒÓÑ Ð Ñ ½ Ú ÑÓ λ(g ) < λ(g) ßØÓ ÓÚÓ Ó ÓÒØÖ º Ð Ú ÚÓÖ Ö H + Ù Ò Ú Ñ ÚÓÖÓÑ Ö H º ¾

º½º ËÌÊÍÃÌÍÊ ÃËÌÊ Å ÄÆÁÀ Ê ÇÎ ÁÞ Ð Ñ ½ ½ Ð Ó V 0 ÓÒ ÔÓ Ñ ØÖ Ò Ö G Ñ Ó Ð K L ÙK L Ø Ô Ò Ø Ö ÓÚ ÚÓÖÓÚ ÞK Ù Ò Ò Ø ÚÒ ÚÓÖÓÚ Þ L Ù Ò ÔÓÞ Ø ÚÒ º Ð V K = V + X V L = V Y X Y ÔÖÓ ÞÚÓÕÒ Ô ÖØ ÙÔ V 0 º ÇÚÓ Þ Ô Û Ù ÓÑ Ò Ð ÑÓÑ ½ Ó Þ Ø ÓÖ Ñ ½º Ì ÓÖ Ñ ½ Ò Ó ÕÙ Ò Ø ÓÖ Ñ Ù ÞÙ Ú ÛÙ Ñ Ò Ñ ÐÒ Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ò Ð Ö ÓÚ º ÇÒ Ò Ñ Ò ÓÖÑ Ó ØÖÙ ØÙÖ ÔÓ Ñ ØÖ ÒÓ Ö G G ÔÓÚ Þ Ò Ö º Ó Ñ ÙØ Ñ Ù Ó Þ Ö ÙÞÑ ÑÓ Ò ÔÓÚ Þ Ò Ö ÓÚ n ÚÓÖÓÚ m Ö Ò Õ Ð ÑÓ ÑÓÐ ÓÖ Ø ÑÓ Ø ÓÖ ÑÙ ½º Æ Ñ ÔÓ ÞÙ ØÖ Ñ ÐÒ Ö Ö Ò Ú ß ÒÙ Ò ØÖ Ú ÐÒÙ ÓÑÔÓÒ ÒØÙ ÔÓÚ Þ ÒÓ Ø Ù Ó Ó ÙÔÖ ÚÓ ÔÓ¹ Ø Ñ Ò Ñ ÐÒ Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Øº Æ ÓÚÙ ÓÑÔÓÒ ÒØÙ ÑÓ ÑÓ ÔÖ Ñ Ò Ø Ø ÓÖ ÑÙ ½ Ó Ø Ð Ö ÞÙÐØ Ø Ó Ó ÒÓ Ò ÔÓÚ ¹ Þ Ò Ö ÓÚ º Ó ÓÚÓ Þ ÕÙ ÓÐ Þ Ò Ó ÒÓÚÙ ÔÓ ØÙÔ ÓÔ ÒÓ Ù Ò Ø Ú Ùº Æ G ÔÖÓ ÞÚÓÕÒ Ö Ö n Ú Ð Ò m Ù Ò ØÖ Ú ÐÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÔÓÚ Þ ÒÓ Ø G 1,G 2,...,G k k 1µº Æ Ó ÒÓÚÙ Ö Ð ¾º¾µ Ú ÑÓ Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ö G Ù ØÚ Ö Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ò Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ G i i = 1,...,kµº Ã Ó Ù Ö ¹ ÓÚ G i i = 1,...,kµ ÔÓ Ö ÓÚ Ö G Ò Ó ÒÓÚÙ Ð Ñ Þ ÔÖÓ ÞÚÓÕÒ Ú Ö ÞÐ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ G i G j i,j {1,...,k} k 2µ Ú º µ λ(g i G j ) min{λ(g i ),λ(g j )} = λ(g i G j ). Ó G i G j Ù Ö Ù G Þ Ñ Ò ÑÓ (G i G j ) K 1 Ó ÑÓ Ö G Ó Ó Ø Ù ØÓ Ð Þ Ó λ(g ) λ(g)º Ó Ø ÔÓ ØÙÔ ÔÖ Ñ Ò ÑÓ Ò Ö G Þ Ø Ñ ÔÓ ØÙÔ ÔÓÒ ÚÕ ÑÓ Ú Ó Ò Ó ÑÓ Ö ÑÓ ÒÓÑ Ò ØÖ Ú ÐÒÓÑ ÓÑÔÓÒ ÒØÓÑ Ò Ö Ù Ð ÑÓ Ó Ø Ö G Ó Ó ÒÓÑλ(G ) λ(g)º ÈÖ Ñ ØÓÑ ÔÓØÖ Þ ØÖ Ñ ÐÒ Ñ Ö ÓÑ ÑÓ ÙÞ Ø Ò ÔÓÚ Þ Ò Ö ÓÚ ßØÓ ÑÓ ÑÓ Ò Ô Ø ÔÖ ÞÒ Ù Ú Ù ØÚÖ Û Ó Ð º Æ H(n,m) ÙÔ Ú Ö ÓÚ Ö n Ú Ð Ò mº Ò ß ÑÓ Ú Ð Ò f(n,m) = min{λ(g) G H(n,m)}, g(n,m) = min{λ(g) G H(n,m) G ÔÓÚ Þ Ò}. Ä Ñ ¾¼ [4]µº f(n,m) = min{g(k,m) k n ÙÔ H(k,m) Ö Ö Ò ÔÓÚ Þ Ò Ö }º Ð Ø ÓÖ Ñ ½ Ù ÓÑ Ò Ð ÑÓÑ ¾¼ ÑÓ ÔÖ Ñ Ò Ø Ò Ò ÔÓÚ Þ Ò Ö ÓÚ º ÇÚ Ø ÓÖ Ñ Ó Ø ÔÓ ÒÓ Ø ÚÕÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð Û ØÖ Ñ ÐÒÓ Ö Ù Ð Ö ÓÚ Ö ÒÓ Ö Ú Ð Ò º ÇÒ Ò ÓÚÓ Ó Ú ÔÓØ Ð Ð Ô ÖØ ØÒ Ö ÓÚ Ð Ö ÓÚ Ó ¾

º½º ËÌÊÍÃÌÍÊ ÃËÌÊ Å ÄÆÁÀ Ê ÇÎ ÔÖ Ø ÚÕ Ù ÓÑÔÐ Ø Ò ÔÖÓ ÞÚÓ Ú Ø Ô Ò Ø Ö Ó Ñ Õ Ð ß Ö Ø º Í ØÓÑ ÙÔÖ ÚÓ Ó Ð Ú ÒÓ Ø ÓÚ Ø ÓÖ Ñ º Ó Ð ÒÓ Ö ÞÙÐØ Ø ÓßÐ A. Sawikovska [37] Ù ÚÓ Ó Ó ØÓÖ Ó ÖØ ÞÙ Ú ÙÐ Ö ÓÚ Ö n Ú Ð Ò m Ò Ó Ú ÞÒÓ ÔÓÚ Þ Ò º Ì ÓÖ Ñ ¾ [37]µº Æ G Ö Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø λ(g) Ñ Ò Ñ ÐÒ Ñ Ù Ö ÓÚ Ñ Ö n Ú Ð Ò mº Ì G (i) Ô ÖØ Ø Ò Ö Ó Ó Ò ÚÓÖÓÚ ÑÓ Ù Ø ÞÓÐÓÚ Ò Ð (ii) ÓÑÔÐ Ø Ò ÔÖÓ ÞÚÓ Ú Ö º Ó Þº Æ G Ö Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø λ(g) Ñ ¹ Ò Ñ ÐÒ Ñ Ù Ö ÓÚ Ñ Ö n Ú Ð Ò m Ò X = (x 1,x 2,...,x n ) T Ö Ø Ö Ø Ò Ú ØÓÖ Ó Ó ÓÚ Ö Ò Ñ ÛÓ ÓÔ ØÚ ÒÓ ÚÖ ÒÓ Ø λ(g)º Þ Ù Ø ÓÔßØÓ Ø ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ x 1 x 2 x n. Ã Ó A(G) 0 λ(g) < 0 Ú ÐÓ A(G)X = λ(g)x Ö Ø Ö ¹ Ø Ò Ú ØÓÖX ÑÓÖ Ñ Ø Ò Ø ÚÒ ÔÓÞ Ø ÚÒ ÓÓÖ Ò Ø º Ó ØÓ x 1 < 0 x n > 0º Æ pôö ÖÓ Ò ÖÓ Ø Ú Ù Ú ÓÓÖ Ò Ø x i < 0 Þ i p Ú ÓÓÖ Ò Ø x i 0 Þ i > pº ÌÓ ÞÒ ÓÔ ØÚ Ò Ú ØÓÖ X ÑÓ ÑÓ ÔÖ Ø Ú Ø Ù Ó Ð Ù ( ) x (1) X =, x (1) Ú ØÓÖ Ñ ÒÞ p Ù Ú ÓÓÖ Ò Ø Ò Ø ÚÒ x (2) Ú ØÓÖ Ñ ÒÞ n p Ù Ú ÓÓÖ Ò Ø Ò Ò Ø ÚÒ º ËÐ ÒÓ Ñ ØÖ Ù Ù ØÚ A(G) ÑÓ ÑÓ Ò Ô Ø Ó ( ) A11 A A(G) = 12 A T, 12 A 22 A 11 Ú Ö ØÒ Ñ ØÖ Ñ ÒÞ p A 22 Ú Ö ØÒ Ñ ØÖ Ñ ÒÞ n pº Ê ÞÑÓØÖ ÑÓ ÔÖÓ ÞÚÓ X T A(G)Xº Æ Ñ x (2) º µ X T A(G)X = x (1)T A 11 x (1) +x (2)T A 22 x (2) +2x (1)T A 12 x (2). Æ Ó ÒÓÚÙ ¾º µ Ú ÑÓ λ(g) = min Y =1 Y T A(G)Y = X T A(G)Xº Ã Ó Ù Ú Ö Ù ÔÖÚ Ú ÞÖ Þ ÔÖÓ ÞÚÓ º µ Ò Ò Ø ÚÒ Ñ ØÖ A 11 A 22 ÑÓÖ Ù Ø 0¹Ñ ØÖ Ð Ú Ð Ñ ÒØ Ñ ØÖ A 12 ÑÓÖ Ù Ø Ò º Ø Ù ÓÐ Ó Ñ ØÖ A 12 Ø Ñ A T 12µ Ö ÒÙÐ ÓÒ Ò Û ÓÚÓ Ñ ØÓ ÑÓ ÑÓ ÔÖ Ñ Ø Ø Ñ ØÖ ÒÓ ÔÓ Ø ÚÕ Ò Ò Þ A 11 Ð A 22 º Æ Ø Ò Ò Ó ÑÓ ÒÓÚÙ Ñ ØÖ Ù A = A(G ) Ó ÔÖ Ø ÚÕ Ñ ØÖ Ù Ù ØÚ Ó ÓÚ Ö ÙÐ Ö G ÔÖ ÑÙ Ö G Ø Ó Ö Ö n ¾

º¾º ËÌÊÍÃÌÍÊ ÃËÌÊ Å ÄÆÁÀ ÁÈ ÊÌÁÌÆÁÀ Ê ÇÎ Ú Ð Ò mº Ë ÔÖÓ ÞÚÓ X T A(G )X Ñ Ñ ÛÙ ÚÖ ÒÓ Ø Ó ÔÖÓ ÞÚÓ º µº Ð λ(g ) < λ(g) ßØÓ Ù ÓÒØÖ Þ ÓÖÓÑ Ö Gº Ó Ù Ñ ØÖ A 11 A 22 0¹Ñ ØÖ Ö G Ô ÖØ Ø Ò ÔÖ ÑÙ Ò Û ÓÚ ÚÓÖÓÚ ÑÓ Ù Ø ÞÓÐÓÚ Ò º Ó Ù Ô Ú Ð Ñ ÒØ Ñ ØÖ A 12 Ò ÓÒ Ö GÔÖ Ø ÚÕ ÓÑÔÐ Ø Ò ÔÖÓ ÞÚÓ Ú Ö ØÖÙ ØÙÖ Ó Ö Ò Ñ ØÖ Ñ A 11 A 22 º Ä Ñ ¾½ [37]µº Æ G Ö Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø λ(g) Ñ Ò Ñ ÐÒ Ñ Ù Ö ÓÚ Ñ Ö n Ú Ð Ò m Þ m n2 4 m = fg f,g Nµ f + g nº Ì Ö G ØÓ Ó ÓÑÔÐ ØÒÓ Ô ÖØ ØÒÓ Ö ÑÓ ÙÐ µ Ò ÞÓÐÓÚ Ò ÓÖÓÚ º Î ÑÓ Ù Ù Ø ÓÖ Ñ ½ Ø ÓÖ Ñ ¾ Ó Ò Ð Ò Ö ÞÙÐØ Ø º Ò Ø ÓÖ Ñ ¾ Ó Ð Ù ØÓÑ ßØÓ ÓÒ Ó Ù Ú Ø Ö ÓÚ Ö n Ú Ð Ò m Þ Ó Ö Ò Û Þ ÖÓ Ö Ò ÔÓÚ Þ ÒÓ Ø Ö º Í ÐÙ Ù (ii) Ñ ÙØ Ñ Ò Ó ÑÓ Ò ÚÙ Ò ÓÖÑ Ù Ó ØÖÙ ØÙÖ Ö ÓÚ H 1 H 2 Ó Ò ÓÑÔÐ Ø Ò ÔÖÓ ÞÚÓ G = H 1 H 2 º Ë ÖÙ ØÖ Ò Ø ÓÖ Ñ ½ ÔÖ ÞÒ Ò ÓÖÑ ( ( Ó ØÖÙ ØÙÖ ØÖ ÒÓ Ö G Ñ ÖÓ Ö Ò Ó Ö Ò Ò m < n )) 2 Ø Ù ÓÑ Ò Ð ÑÓÑ ¾¼ ÑÓ ÔÖ Ñ Ò Ø Ò Ò ÔÓÚ Þ Ò Ö ÓÚ º º¾ ËØÖÙ ØÙÖ ØÖ Ñ ÐÒ Ô ÖØ ØÒ Ö ÓÚ Æ GÔÓÚ Þ Ò Ô ÖØ Ø Ò Ö Ó Ö ÖÒ Ð ÚÓÖÓÚ º Ë U ÓÞÒ ÑÓ ÙÔ ÖÒ ÚÓÖÓÚ V ÙÔ Ð ÚÓÖÓÚ Ö Gº Ö G Ò Þ Ú ÑÓ Ð Ò Ò Ñ Ö ÓÑ Ò Ðº double nested graph Ð chain graphµ Ù ÓÐ Ó ÔÓ ØÓ Ô ÖØ U = U 1 U 2 U h V = V 1 V 2 V h, Ø Ú ÙÔ Ù Þ Ú ÚÓÖ Þ U i ÙÔ V 1 V 2 V h i+1 i = 1,2,...,hµº ÇÞÒ ÑÓ G = D(m 1,m 2,...,m h ; n 1,n 2,...,n h ) Ð Ò Ò Ö Ó Ó U i = m i i = 1,2,...,hµ V i = n i i = 1,2,...,hµº È Ö Ñ Ø Öh Óß Ò Þ Ú ÑÓ Ú ÒÓÑ Ð Ò ÒÓ Ö Gº Ç Ð ÒÓ Þ Ð Ò Ò Ö G Ú Ò Ó Ø º µ º µ n(g) = m 1 +m 2 + +m h +n 1 +n 2 + +n h, m(g) = m 1 (n 1 + +n h )+m 2 (n 1 + +n h 1 )+ +m h n 1. ËÔ ÐÒÓ Ó Ú Ò h = 1 Ø G ÓÑÔÐ Ø Ò Ô ÖØ ØÒ Ö K m1,n 1 Û ÓÚ Ö Ø Ö Ø Ò ÔÓÐ ÒÓÑ º µ φ(g,λ) = λ n 2 (λ 2 m(g)). ¾

º¾º ËÌÊÍÃÌÍÊ ÃËÌÊ Å ÄÆÁÀ ÁÈ ÊÌÁÌÆÁÀ Ê ÇÎ h = 2 Ö G = D(m 1,m 2 ;n 1,n 2 ) ÔÖ Þ Ò Ò Ð º½ Û ÓÚ ¹ ÒÓÒ Ö G = D(1,1;1,1)º Æ Ó ÒÓÚÙ Ð Ñ ½½ Ú η(g) = η(g ) = 4 Ô η(g) = n 4º Æ X = (x 1,...,x m1,y 1,...,y n1,z 1,...,z m2,t 1,...,t n2 ) Ö Ø Ö Ø Ò Ú ØÓÖ Ó Ó ÓÚ Ö Ò ÒÙÐ Ö Ø Ö Ø ÒÓ ÚÖ ÒÓ Ø Ö Gº ÃÓÓÖ Ò Ø ÓÚÓ Ú ØÓÖ Ó ÓÚ Ö Ù Ö ÓÑ ÚÓÖÓÚ Ñ v 1,...,v m1, u 1,...,u n1,v m1 +1,...,v m1 +m 2,u n1 +1,...,u n1 +n 2 º m 1 n 1 m 2 n 2 ËÐ º½º Ä Ò Ò Ö Ú Ò 1 ÃÓÖ Ø Ð λ,xµ Ö Ø Ö Ø Ò Ò Ò ¾º µ Ö G Þ ÕÙ Ù ÑÓ x 1 = = x m1 y 1 = = y n1 z 1 = = z m2 t 1 = = t n2 ÓÓÖ Ò Ø x 1 y 1 z 1 t 1 Þ ÓÚÓÕ Ú Ù Ò Ó Ø λx 1 = n 1 y 1 +n 2 t 1, λy 1 = m 1 x 1 +m 2 z 1, λz 1 = n 1 y 1, λt 1 = m 1 x 1. Ó Ò ÓÑÓ Ò Ø Ñ Ò Ò Ñ Ò ØÖ Ú ÐÒ Ö ß Û ÔÓx 1 y 1 z 1 t 1 µ Ó ÑÓ Ó Û ÓÚ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÒÙÐ Ó ÒÓ ÒÓ λ n 1 0 n 2 º µ m 1 λ m 2 0 0 n 1 λ 0 = 0. m 1 0 0 λ Ð Ò ÒÙÐ ÓÔ ØÚ Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ö G Þ ÓÚÓÕ Ú Ù Ò ÒÙ º µ Ö ÞÚÓ Ñ ÔÓ Ð Û Ø ÖÑ Ò ÒØ Ó ÑÓ Ö Ø Ö Ø Ò ÔÓÐ ÒÓÑ º½¼µ φ(g,λ) = λ n 4 (λ 4 m(g)λ 2 +m 1 m 2 n 1 n 2 ). h = 3 Ö G = D(m 1,m 2,m 3 ;n 1,n 2,n 3 ) ÔÖ Þ Ò Ò Ð º¾º ÃÓ¹ Ö Ø Ð ÔÓ ØÙÔ Ó Ð Ò ÔÓ ØÙÔ Ù Ù ÐÙ Ù h = 2 Ó Ö Ø Ö Ø Ò ÔÓÐ ÒÓÑ Ö G º½½µ φ(g,λ) = λ n 6 (λ 6 m(g)λ 4 +(m 2 m 3 n 1 n 2 +m 1 m 2 (n 1 +n 2 )n 3 +m 1 m 3 n 1 (n 2 +n 3 ))λ 2 m 1 m 2 m 3 n 1 n 2 n 3 ). ÈÓ ÞÙ Ð Ò Ò Ö ÓÚ Ñ Ù ØÙ ÙÐÓ Ù Ù ÙÔÙ Ô ÖØ ØÒ Ö ÓÚ Ù Ó ÒÓ Ù Ò Ò µ Ó Ø Ô Ò Ø Ö ÓÚ Ù ÙÔÙ Ò Ô ÖØ ØÒ Ö ÓÚ Ù Ó ÒÓ Ù Ò Ò Ñ ÛÙ Ö Ø Ö Ø ÒÙ ÚÖ ÒÓ Øµº ¾

º¾º ËÌÊÍÃÌÍÊ ÃËÌÊ Å ÄÆÁÀ ÁÈ ÊÌÁÌÆÁÀ Ê ÇÎ m 1 n 1 m 2 n 2 m 3 n 3 ËÐ º¾º Ä Ò Ò Ö Ú Ò 2 Ì ÓÖ Ñ [5]µº Ó G Ö Þ Ó λ(g) Ñ Ò Ñ ÐÒÓ Ó ÒÓ ÒÓ ρ(g) Ñ ¹ Ñ ÐÒÓµ Ñ Ù Ú Ñ ÔÓÚ Þ Ò Ñ Ô ÖØ ØÒ Ñ Ö ÓÚ Ñ Ö n Ú Ð Ò m ÓÒ G Ð Ò Ò Ö º Ó Þ ÔÖ Ø Ó Ò Ø ÓÖ Ñ Þ ÒÓÚ Ò Ò Ð Ñ Ð Ñ Ñ Ó Ò ÚÓ ÑÓ Ù Ò Ø Ú Ùº ÈÓÞÒ ØÓ Þ Ú Ô ÖØ ØÒ Ö G Ú λ(g) = ρ(g)º ÇØÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ñ ÐÒ Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ú Ú Ð Ò¹ Ø Ò ÔÖÓ Ð ÑÓÑ Ñ Ñ ÐÒÓ Ò Ù ÓÚÓ Ð Ö ÓÚ Ø Ó Ð ÑÓ Ù Ò Ø Ú Ù Ó Ù Ö Ø Ò Ò Ó ÓÚ Ö ÙÐ Ö ÓÚ º ËÐ Ð Ð Ñ Ú ÓÑ ÓÖ Ò Ù Ö ØÒ ÑÓ ÑÓ ØÓÑ Ù Ö Ù Ò ÔÓ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ñ Ñ Ð Òº Æ ÙP = P u Q = Q v Ú ÓÖ Ò Ö ÓÖ Ò Ñ u v G Ö Ó Ò Þ ÙÒ P Q Ó Ú Û Ñ Ö Ò uvº Æ G Ö ÓÖÑ Ö Ò Ó Ó Ð Ò Ö ÓÚ P u Q v Ó Ú Û Ñ ÐÓ Ó Ò Ö Ò Ò ÚÓÖ Ó Ò ÔÓ ØÓÚ Ð Ú Û Ñ ÚÓÖÓÚ u vº Ä Ñ ¾¾ [5]µº Í Ð Ù Ò Ú Ò Ñ ÓÞÒ Ñ Ó Ù P Q Ò ØÖ Ú ÐÒ ÔÓÚ Þ Ò Ö ÓÚ ÓÒ Ú ρ(g ) > ρ(g)º Ó Þº Æ X = (x 1,x 2,...,x n ) T È ÖÓÒÓÚ Ú ØÓÖ Ö Gº Þ Ù Ø ÓÔßØÓ Ø ÑÓ ÑÓ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ø x u x v º Æ N P (u) = {w 1,...,w k } ÙÔ Ú ÚÓÖÓÚ Ù Ò ÚÓÖÓÑ u Ù Ö Ù P º Ã Ó P Ò ØÖ Ú ¹ Ð Ò Ö Ó Ð ÒÓ N P (u) º Ö G ÑÓ ÑÓ Ó Ø Þ Ö G ÔÖ Ñ ßØ Û Ñ Ö Ò uw i i = 1,...,kµ Ù ÔÓÞ vw i º Æ Ó ÒÓÚÙ Ð Ñ Ð ρ(g) < ρ(g )º Í Ò Ø Ú Ù ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ Ö G Ñ Ñ Ñ ÐÒ Ò Ù ÙÔÙ ÔÓÚ Þ Ò Ô ÖØ ØÒ Ö ÓÚ Ö ÒÓ Ö Ú Ð Ò º Ä Ñ ¾ [5]µº Æ Ö G Þ ÓÚÓÕ Ú Ò Ú Ò ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ò X = (x 1,x 2,...,x n ) T È ÖÓÒÓÚ Ú ØÓÖ Ö Gº Ó Ùv w ÚÓÖÓÚ Ø Ó Ø Ú x v x w ÓÒ d(v) d(w)º Ó Þº ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ ÙÔÖÓØÒÓº Æ x v x w d(v) < d(w)º Ì Ú 1 < d(w) Ó ÒÓ ÒÓ ÔÓ ØÓ ÚÓÖu U Ó Ù Ò w Ò Ù Ò vº Ó Ù Ö Ù G Ö ÒÙ uw ÖÓØ Ö ÑÓ Ù ÔÓÐÓ uv Ò Ó ÒÓÚÙ Ð Ñ Ó ÑÓ Ö G Þ Ó ρ(g) < ρ(g )º Ó Ö Ò uw ÑÓ Ø ÓÒ Þ ¼

º¾º ËÌÊÍÃÌÍÊ ÃËÌÊ Å ÄÆÁÀ ÁÈ ÊÌÁÌÆÁÀ Ê ÇÎ Ð Ñ ¾¾ Ú ÑÓ d(u) = 1º Ð Ö G Ù Ú ÓÑ ÐÙ Ù ÔÓÚ Þ Òº ÓÐ Þ ÑÓ Ó ÓÒØÖ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÓÑ ρ(g) Ñ Ñ ÐÒÓº Æ Ù ÔÓ Ñ ØÖ ÒÓÑ Ô ÖØ ØÒÓÑ Ö ÙG ÙÔ Ð ÚÓÖÓÚ ÓÞÒ Ò U = {u 1,u 2,...,u p } ÙÔ ÖÒ ÚÓÖÓÚ V = {v 1,v 2,...,v q } x u1 x u2 x up x v1 x v2 x vq º Æ Ó ÒÓÚÙ ÔÖ Ø Ó Ò Ð Ñ ÑÓ Þ ÕÙ Ø ÓÚ ÚÓÑ ÙÖ ÛÙ ÓÓÖ Ò Ø Ú ØÓÖ X Ó ÓÚ Ö ØÓ ÙÖ Û Ø Ô Ò ÚÓÖÓÚ Ù Ó Ð º ËÐ Ð Ð Ñ Ò ÔÓ Ð ÔÖ Ø Ó Ò Ð Ñ º Ä Ñ ¾ [5]µº Æ Ö G Þ ÓÚÓÕ Ú Ò Ú Ò ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ù ÕÙ Ù ÙÐ ÓÒ Ó Ó ÒÓ Ò ÙÖ Û ÚÓÖÓÚ Ö º Ì Ú (i) ÚÓÖÓÚ u 1 v 1 Ù Ù Ò (ii) ÚÓÖ u 1 Ù Ò Ú Ñ ÚÓÖÓÚ Ñ Þ Ð V ÚÓÖ v 1 Ù Ò Ú Ñ ÚÓÖÓÚ Ñ Þ Ð U (iii) Ó ÚÓÖ u Ù Ò ÚÓÖÓÑ v k ÓÒ u Ù Ò Ú Ñ ÚÓÖÓÚ Ñ v j Þ j < kº ËÐ ÒÓ Ó ÚÓÖ v Ù Ò ÚÓÖÓÑ u k ÓÒ v Ù Ò Ú Ñ ÚÓÖÓÚ Ñ u j Þ j < kº Ó Þº Ê ÞÑÓØÖ ÑÓ ÔÖÚÓ ÑÓ ØÓÚ Ù Ö ÙGº Æ Ó ÒÓÚÙ Ð Ñ ¾¾ Ú ÑÓ ØÓÚ Ù Ö Ù ÑÓÖ Ù Ø Ú Ð Ö Ò Ò ÑÓ ÓßÐ Ó ÓÒØÖ Ñ Ñ ÐÒÓßÐÙ Ò ρ(g)µº ÈÓÑÓÐÙ Ð Ñ Þ ÕÙ Ù ÑÓ Ù Ú Ú Ð ÚÓÖÓÚ Ù Ò ÚÓÖÓÑ w Þ Ó Ú x w Ñ Ñ ÐÒÓ Ù Ö Ø Ö Ø ÒÓÑ Ú ØÓÖÙ Xº Þ ÙÑ Û Û ÓÔßØÓ Ø ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ x u1 x v1 w = u 1 º ËÐ Ö ÞÙÐØ Ø Ú Ó G Ø ÐÓ Ø º G ÞÚ Þ º ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ Õ GÒ Ø ÐÓº (i) ÑÓ Ó Þ Ð ÓÚÓ ØÚÖ Û ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ ÙÔÖÓØÒÓ Ø º ÚÓÖÓÚ u 1 v 1 Ò Ù Ù Ò º Ì v 1 Ù Ò Ò Ñ ÖÙ Ñ ÚÓÖÓÑu U uv 1 Ò ÑÓ Øº Ë ÑÓ ÑÓ ÖÓØ Ö Ø Ö ÒÙuv 1 Ù ÔÓÐÓ u 1 v 1 Ó Ø ÔÓÚ Þ Ò Ô ÖØ Ø Ò Ö G º Æ Ó ÒÓÚÙ Ð Ñ Ó ÑÓ ρ(g) < ρ(g ) ßØÓ ÓÚÓ Ó ÓÒØÖ º (ii) ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ u U ÚÓÖ Ó Ò Ù Ò v 1 º Æ Ó ÒÓÚÙ (i) Þ ÕÙ Ù ÑÓ u u 1 uv 1 Ò ÑÓ Ø ÚÓÖ u Ù Ò Ò Ñ ÚÓÖÓÑ v V v v 1 µº Ö ÒÙ uv ÑÓ ÑÓ ÖÓØ Ö Ø Ù ÔÓÐÓ uv 1 Ó Ø ÓÒØÖ Ù Ó Ù ÐÙ Ù (i)º ËÐ ÒÓ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ v V ÚÓÖ Ó Ò Ù Ò u 1 º ÈÓÒÓÚÓ Ò Ó ÒÓÚÙ (i) Ú v v 1 Ö Ò vu 1 Ò ÑÓ Ø ÚÓÖ v Ù Ò Ò Ñ ÚÓÖÓÑ u Uº ÊÓØ Ö Ò Ó Ó ÚÓÖ v ÓÚÓ Ó ÓÒØÖ º (iii) ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ ÚÓÖ u Ù Ò Ò Ñ ÚÓÖÓÑ v k V ØÓ¹ ÚÖ Ñ ÒÓ Ò Ù Ò v j Þ Ò Ó j < kº ÁÞ (ii) Ð u u 1 Ö Ò uv k Ò ÑÓ Øº ÈÖ Ñ ØÓÑ Ö ÒÙ uv k ÑÓ ÑÓ ÖÓØ Ö Ø Ù ÔÓÐÓ uv j Ñ ½

º¾º ËÌÊÍÃÌÍÊ ÃËÌÊ Å ÄÆÁÀ ÁÈ ÊÌÁÌÆÁÀ Ê ÇÎ ÓÐ Þ ÑÓ Ó ÓÒØÖ º ËÐ ÒÓ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ ÚÓÖ v Ù Ò Ò Ñ ÚÓÖÓÑ u k U ØÓÚÖ Ñ ÒÓ Ò Ù Ò u j Þ Ò Ó j < kº Í ÓÚÓÑ ÐÙ Ùvu k Ò ÑÓ Ø ÔÓßØÓ k > 1º ÊÓØ Ö Ò vu k Ù ÔÓÐÓ vu j ÓÚÓ Ó ÓÒØÖ º Ó Þ Ø ÓÖ Ñ Ð Ö ØÒÓ Þ Ð Ñ ¾ Ò Ð Ò ÒÓ Ö º Í Ò Ø Ú Ù Ô Û Ð Ø ÔÓ Ú Ð Ò ÔÓÚ Þ Ò Ñ Ô ÖØ ØÒ Ñ Ö ÓÚ Ñ n ÚÓÖÓÚ n + k Ö Ò k 0µº ÈÖ Ñ Ø ÑÓ Ù Þ k = 1 Ù Ô Ø ÛÙ Ø Ð Ô ÞÚ Þ S 1,n 1 K 1,n 1 µ ØÖ Ñ ÐÒ Ö Ù ÓÚÓ Ð Ö ÓÚ Ú Ø [15]µº ÁÑ ÙÐ Ò ÙÑÙ Ø ÓÖ ÑÙ Ð Ó Ö Ò Ò ØÚ Ò Ö Ñ Ò Ñ ÐÒÓÑ Ò Ñ ÛÓÑ Ö Ø Ö Ø ÒÓÑ ÚÖ ÒÓßÐÙ Ñ Ù Ú Ñ ÔÓÚ Þ Ò Ñ Ô ÖØ ØÒ Ñ Ö ÓÚ Ñ Ö n Ú Ð Ò n+k 0 k 4 n > k+4º ÑÓ ÓÖÑÙÐ Ð Ó Þ Ð Ð ÚÒÙ Ø ÓÖ ÑÙ ÓÚÓ ÔÓ Ð ÚÕ Ò ÓÔ¹ Ó ÒÓ Ó Þ Ø Ð ÐÙ Ð ÑÙº Ä Ñ ¾ º Æ Ù n 1,n 2,m 2,m 3 k ÔÖ ÖÓ Ò ÖÓ Ú Ò n 1 2º Ì Ú ÑÔÐ (n 1 1)(m 2 +m 3 )+n 2 m 2 k +1 n 1 +n 2 +m 2 +m 3 k +3. Ó Þº ÃÓÖ Ø Ð Þ ÓÒ ÓÒØÖ ÔÓÞ ÓÚÓÕÒÓ Ó Þ Ø ÑÔÐ Ù n 1 +n 2 +m 2 +m 3 > k +3 (n 1 1)(m 2 +m 3 )+n 2 m 2 > k +1. ÈÖ Ñ Ø ÑÓ Þ Ú Ú ÔÖ ÖÓ Ò ÖÓ a,b 1 ÔÙÛ Ò Ò Ò Ó Ø º½¾µ ab a+b 1. ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ n 1 +n 2 +m 2 +m 3 > k+3º ÃÓÖ Ø Ð Ò Ò Ó Ø º½¾µ Ó ÑÓ (n 1 1)(m 2 +m 3 )+n 2 m 2 n 1 1+m 2 +m 3 1+n 2 +m 2 1 Ñ Ó Þ Ð Ñ ÓÑÔÐ Ø Ö Òº n 1 +n 2 +m 2 +m 3 2 > k +1, Ì ÓÖ Ñ º Æ G Ö Ó Ñ Ñ Ñ ÐÒ Ò ρ(g) Ñ Ù Ú Ñ ÔÓÚ Þ ¹ Ò Ñ Ô ÖØ ØÒ Ñ Ö ÓÚ Ñ Ö n Ú Ð Ò n+k k 0,n > k+4µº Ö G Ð Ò Ò Ö D(m 1,m 2,...,m h ;n 1,n 2,...,n h ) Ð Ð Ñ Ó Ó Ò Ñ (i) h > 1; (ii) Ø ÒÓ Ò Ó Ô Ö Ñ Ø Ö m 1 n 1 Ò 1; (iii) Ó Þ Ö G Ú h = 2 Ø G = D(1,1;k+2,n (k +4)); (iv) h 3º Ó Þº Ë G ÓÞÒ ÑÓ Ö Ó Ñ Ñ Ñ ÐÒ Ò ρ(g) Ñ Ù Ú Ñ ÔÓÚ Þ Ò Ñ Ô ÖØ ØÒ Ñ Ö ÓÚ Ñ Ö n Ú Ð Ò n+k k 0,n > k+4µº Æ Ó ÒÓÚÙ Ø ÓÖ Ñ Þ ÕÙ Ù ÑÓ G Ð Ò Ò Ö D(m 1,m 2,...,m h ; n 1,n 2,...,n h ) h 1µº ¾

º¾º ËÌÊÍÃÌÍÊ ÃËÌÊ Å ÄÆÁÀ ÁÈ ÊÌÁÌÆÁÀ Ê ÇÎ (i) ÑÓ Ó Þ Ð ÓÚÙ Ó Ó ÒÙ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ ÙÔÖÓØÒÓ Ø º h = 1º Ì G ÓÑÔÐ Ø Ò Ô ÖØ Ø Ò Ö K t,n t 2 t n µ ÔÖ ÑÙ 2 m = t(n t) 2(n 2). Ç ØÐ Ó ÑÓ k = m n n 4 > k, ßØÓ Ó Ð ÒÓ ÓÒØÖ º (ii) Æ G = D(m 1,m 2,...,m h ;n 1,n 2,...,n h ) (h 2) m 1 2 n 1 2º Æ Ó ÒÓÚÙ Ò Ð Ò ÒÓ Ö Þ ÕÙ Ù ÑÓ ÖÓ Ù Ö Ò Ò Ú ß ÓÔÖ ÒÓ ÔÖÚ m 1 Ð n 1 ÖÒ ÚÓÖÓÚ º ØÓ ÓÖ Ø Ð Ò Ó Ø º µ Ú ÑÓ Ù Þ ÓÚÓÕ Ò Ð Ð Ö Ð m(g) m(d(2,m 1 +m 2 2,...,m h ;n 1,...,n h )) m(g) m(d(m 1,...,m h ;2,n 1 +n 2 2,...,n h )). Ó h = 2 Ø Þ ÔÖ Ø Ó Ò Ò Ò Ó Ø º µ Ñ ÑÓ m(g) m(d(2,m 1 +m 2 2;2,n 1 +n 2 2)) = 2n 4. Ì Ó ÓÖ Ø Ð Ø Ò Ò Ó Ø º µ Þ h 3 Ó ÑÓ m(g) m(d(2,m 1 +m 2 2,...,m h ;2,n 1 +n 2 2,...,n h )) = 2(n 1 +n 2 + +n h )+(m 1 +m 2 2)(n 1 +n 2 + +n h 1 ) +m 3 (n 1 +n 2 + +n h 2 )+ +m h n 1 = (m 1 +m 2 )(n 1 +n 2 + +n h 1 )+m 3 (n 1 +n 2 + +n h 2 ) +m 4 (n 1 + +n h 3 )+ +m h n 1 +2n h (m 1 +m 2 )(n 1 +n 2 + +n h 1 )+m 3 +m 4 + +m h +2n h = 2n+(m 1 +m 2 )(n 1 + +n h 1 ) 2(m 1 +m 2 +n 1 + +n h 1 ). ÈÓßØÓ m 1 +m 2 3 n 1 + +n h 1 3 Ð (m 1 +m 2 )(n 1 + +n h 1 ) 2(m 1 +m 2 +n 1 + +n h 1 ) 3. Ç ØÐ m(g) > 2n 4. Í Ó ÐÙ Ó ÑÓ ÓÒØÖ Ùk = m n n 4 > k ßØÓ ÞÒ Ò Ñ Û Ò Ó Ô Ö Ñ Ø Ö m 1 n 1 Ò 1º ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ m 1 = 1 n 1 = 1 Ó ÒÓ ÒÓG = D(1,m 2,...,m h ; 1,n 2,...,n h )º Ó h = 2 Ø Ö G Ø ÐÓ ßØÓ Ò ÑÓ ÙÐ º h 3 Ò Ó ÒÓÚÙ Ð Ñ Ñ ÑÓ ρ(g) < ρ(d(m 2 +1,m 3,...,m h +n h ;1,n 2,...,n h 1 )) Ð ρ(g) < ρ(d(1,m 2,...,m h 1 ;n 2 +1,n 3,...,m h +n h )), ßØÓ Ù ÓÒØÖ Û Ò ÓÑ ρ(g) ÑÓÖ Ø Ñ Ñ ÐÒÓº Æ ÓÚ Ò Ò ÑÓ Ó Þ Ð Ø ÒÓ Ò Ó Ô Ö Ñ Ø Ö m 1 n 1 Ò 1º

º¾º ËÌÊÍÃÌÍÊ ÃËÌÊ Å ÄÆÁÀ ÁÈ ÊÌÁÌÆÁÀ Ê ÇÎ (iii) Æ G = D(m 1,m 2 ;n 1,n 2 )º ÃÓÖ Ø Ð Ó Ó ÒÙ(ii) ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ m 1 = 1 n 1 > 1º Ð G = D(1,m 2 ;n 1,n 2 )º Ì Ò Ó ÒÓÚÙ º µ º µ Ñ ÑÓn = m 2 +n 1 +n 2 +1 m = n 1 +n 2 +n 1 m 2 º Ã Ó m = n+k Ú Ð Ð Ò Ó Ø º½ µ m 2 (n 1 1) = k +1. Ó k = 0 ÓÒ m 2 = 1 n 1 = 2 Ö D(1,1;2,n 4) Ò Ð Ò Ò Ö Þ h = 2º ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ Õ k 1º Ó m 2 = 1 Ø Þ º½ µ Ó ÑÓ n 1 = k + 2 n 2 = n (k + 4)º ËÐ ÒÓ Ó m 2 = k + 1 Ø n 1 = 2 n 2 = n (k+4)º Æ D 1 = D(1,1;k+2,n (k+4)) D k+1 = D(1,k+1; 2,n (k + 4)) Ð º µº ÍÔÓÖ ÑÓ Ö Ø Ö Ø Ò ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÚ Ú Ö º ÁÞ º½¼µ Ó ÑÓ φ(d 1,λ) = λ n 4 (λ 4 m(d 1 )λ 2 +(k +2)(n (k +4))), φ(d k+1,λ) = λ n 4 (λ 4 m(d k+1 )λ 2 +2(k+1)(n (k +4))). k +2 k +1 v n (k +4) n (k +4) v D 1 D k+1 ËÐ º º Ä Ò Ò Ö ÓÚ D 1 D k+1 Ð Þ λ > 0 Ú φ(d 1,λ) φ(d k+1,λ) = k(n k 4)λ n 4 < 0 Ô Þ ÕÙ Ù ÑÓ ρ(d k+1 ) < ρ(d 1 )º Ó k+1 ÔÖÓ Ø ÖÓ Ø Ù Ö ÓÚ D 1 D k+1 Ò Ð Ò Ò Ö ÓÚ Ó Þ ÓÑÔÐ Ø Ö Òº ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ Õ k +1 ÐÓ Ò ÖÓ º Æ m 2 Û ÓÚ Ð Ð Ø Ú 1 < m 2 < k +1º Ì 2 < n 1 < k +2º Ì Ó Ú ÑÓ Ú m 2 +n 1 < k +3 m 2 +n 1 < m 2 (n 1 1)+2 º½ µ 1 2 m 2(3 n 1 )+ 1 2 (n 1 1)(2 m 2 ) < 1. ÈÓßØÓ Ù º½ µ ÔÓ Ð Û Ò Ò Ó Ø Ó Ð ÒÓ ÔÙÛ Ò Ó ÑÓ m 2 +n 1 < k +3º Ç ØÐ n 2 = n 1 m 2 n 1 > n k 4º Æ D m2 = D(1,m 2 ;n 1,n (m 2 +n 1 +1))º Ì Ò Ó ÒÓÚÙ º½¼µ φ(d m2,λ) = λ n 4 (λ 4 m(d m2 )λ 2 +m 2 n 1 (n (m 2 +n 1 +1))).

º¾º ËÌÊÍÃÌÍÊ ÃËÌÊ Å ÄÆÁÀ ÁÈ ÊÌÁÌÆÁÀ Ê ÇÎ Ã Ó Þ λ > 0 Ú φ(d 1,λ) φ(d m2,λ) = λ n 4 ((k +2)(n k 4) m 2 n 1 n 2 ) < λ n 4 ((k +2)(n k 4) m 2 n 1 (n k 4)) = (m 2 1)(n k 4)λ n 4 < 0, ØÓ ρ(d 1 ) > ρ(d m2 )º ÇÚ Ñ Ó Þ Ó Ó Ò (iii) ÓÑÔÐ Ø Ö Òº (iv) Ó G Ð Ò Ò Ö Ú Ò h = 3 Ø Ò Ó ÒÓÚÙ Ó Ó Ò (ii) G = D(1,m 2,m 3 ;n 1,n 2,n 3 ) n 1 2º ÁÞ Ò Ó Ø º µ º µ Ð Ô Ö Ñ ØÖ m 2,m 3,n 1 n 2 Þ ÓÚÓÕ Ú Ù Ò Ó Ø º½ µ (n 1 1)(m 2 +m 3 )+n 2 m 2 = k +1. ÃÓÖ Ø Ð Ð ÑÙ ¾ Þ ÕÙ Ù ÑÓ n 1 + n 2 + m 2 + m 3 k + 3º n 3 = n (n 1 +n 2 +m 2 +m 3 +1) n (k +4)º ÇØÙ v n 1 m 2 n 2 m 3 n 3 ËÐ º º Ä Ò Ò Ö G = D(1,m 2,m 3 ;n 1,n 2,n 3 ) ÈÓ Ñ ØÖ ÑÓ Ö G = D(1,m 2,m 3 ;n 1,n 2,n 3 ) Ð º Ó Ó Ð ¹ Ò Ù ÞÚ Þ H = S 1,n (k+4) Ö G 1 = D(1,m 2,m 3 ; n 1,n 2,n 3 ) n 3 = n 3 n + k + 4º ÈÖ Ñ Ø ÑÓ n 3 0 G 1 = k + 4 Ô Ö Ñ ¹ ØÖ Ö G 1 Þ ÓÚÓÕ Ú Ù Ó Ó ÒÙ º½ µº Ì Ó ÔÓ Ñ ØÖ ÑÓ Ö D 1 = D(1,1;k+2,n (k+4)) Ð º µ Ó Ó Ð Ò Ù Ö ÓÚ H = S 1,n (k+4) G 2 = K 2,k+2 º Æ Ð º Ð º v ÓÞÒ Ò ÚÓÖ Ó Ò ÔÖ Ð ¹ Ô Û Ñ ÓÖ Ò Ö H ÓÖ Ò Ñ Ö ÓÚ G 1 G 2 Ö Ô Ø ÚÒÓº Ð Ó G = H G 1 D 1 = H G 2 Ò Ó ÒÓÚÙ Ð Ñ Ð º½ µ φ(g,λ) φ(d 1,λ) = λ n k 5( λ(φ(g 1,λ) φ(g 2,λ)) (n k 4)(φ(G 1 v,λ) φ(g 2 v,λ)) ). ÃÓÖ Ø Ð Ö Ð º½¼µ º½½µ Ú ÑÓ φ(g 1,λ) = λ k 2 (λ 6 m(g 1 )λ 4 +(m 2 m 3 n 1 n 2 +m 2 (n 1 +n 2 )n 3 +m 3 n 1 (n 2 +n 3 ))λ 2 m 2 m 3 n 1 n 2 n 3 ) φ(g 1 v,λ) = λ k (λ 4 m(g 1 v)λ 2 +m 2 n 1 n 2 ).

º¾º ËÌÊÍÃÌÍÊ ÃËÌÊ Å ÄÆÁÀ ÁÈ ÊÌÁÌÆÁÀ Ê ÇÎ ËÐ ÒÓ Þ º µ Ñ ÑÓ φ(g 2,λ) = φ(k 2,k+2 λ) = λ k+2 (λ 2 2(k +2)) φ(g 2 v,λ) = φ(k 1,k+2 λ) = λ k+1 (λ 2 (k +2)). Ç Ú ÔÓÑÓÐÙ º½ µ Ó ÑÓ φ(g,λ) φ(d 1,λ) = λ n 6( (m 2 m 3 n 1 n 2 +m 2 (n 1 +n 2 )n 3 +m 3 n 1 (n 2 +n 3 ) +(n k 4)(m(G 1 v) m(g 2 v)))λ 2 m 2 m 3 n 1 n 2 n 3 ). Ã Ó Ö G Ö ÞÚ Þ ÙS 1,n3 Ó Ò Ù ÓÚ Ò ÔÓ Ö ÓÒ Ò Ó ÒÓÚÙ Ð Ñ Ú ρ(g) > n 3 º ÚÖ ÒÓ Ø Ö ÞÐ φ(g,λ) φ(d 1,λ) Ó ÑÓ ÙÒ Ù Ó Ö ØÙÐ Þ ÔÓÞ Ø ÚÒÓλº ÈÖ Ñ ØÓÑ Þ λ > n 3 Ñ ÑÓ φ(g,λ) φ(d 1,λ) > φ(g, n 3 ) φ(d 1, n 3 ) = n n 4 2 3 (m 2 (n 1 +n 2 )n 3 +m 3 n 1 (n 2 +n 3 )+(n k 4)(m(G 1 v) m(g 2 v))) > 0. Ç Ú Þ ÕÙ Ù ÑÓ ρ(g) < ρ(d 1 ) ßØÓ Ù ÓÒØÖ Û Ò ÓÑ ρ(g) ÑÓÖ Ø Ñ Ñ ÐÒÓº Ì ÓÖ Ñ º Ó 0 k 4 Ø Ö D(1,1;k +2,n k 4) ÔÖ Þ Ò Ò Ð º Ò ØÚ Ò Ö Ñ Ñ ÐÒ Ñ Ò ÓÑ Ñ Ù Ú Ñ ÔÓÚ Þ Ò Ñ Ô ÖØ ØÒ Ñ Ö ÓÚ Ñ Ö n Ú Ð Ò n+k n > k +4µº Ó Þº Æ G Ö Ñ Ñ ÐÒ Ñ Ò ÓÑ ρ(g) Ñ Ù Ú Ñ ÔÓÚ Þ Ò Ñ Ô ÖØ ØÒ Ñ Ö ÓÚ Ñ Ö n Ú Ð Ò n+k 0 k 4, n > k +4µº Æ Ó ÒÓÚÙ Ø ÓÖ Ñ Þ ÕÙ Ù ÑÓ Ö G Ð Ò Ò Ö D(m 1,m 2,...,m h ; n 1,n 2,...,n h )º ÃÓÖ Ø Ð Ó Ó ÒÙ(ii) Ø ÓÖ Ñ Ú ÑÓ Ø ÒÓ Ò Ó Ô Ö Ñ Ø Ö m 1 n 1 Ò 1º Ó h > 3 Ø Ö D 0 = D(1,1,1,1;2,1,1,1) ÔÓ Ö Ö G ÓÐ Þ ÑÓ Ó ÓÒØÖ k = m(g) n(g) m(d 0 ) n(d 0 ) = 5. ÌÚÖ Û Ø ÓÖ Ñ Ð Ö ØÒÓ Þ Ø ÓÖ Ñ º Í Ø ÓÖ Ñ Ó Þ ÒÓ Þ Ö ÒÓ k ÓÚÓÕÒÓ Ú Ð Ó n Ñ ¹ Ñ ÐÒ Ò Ó ÒÓ ÒÓ Ñ Ò Ñ ÐÒÙ Ò Ñ ÛÙ Ö Ø Ö Ø ÒÙ ÚÖ ÒÓ Ø Ñ Ù ÔÓÚ Þ Ò Ñ Ô ÖØ ØÒ Ñ Ö ÓÚ Ñ Ñ Ð Ò ØÚ Ò Ö D 1 Ð º µ Ð Ò Ð Ò Ò Ö Ú Ò Ú Ð Ó 3º Æ Ú ÖÓÚ ØÒ ÓÚ ÖÙ ÐÙ Ò ÑÓ Ùк ÌÓ Ó Þ ÒÓ Þ k 4 Ù Ø ÓÖ Ñ º k 5 ÓÑÔ ÙØ Ö ÞÖ ÙÒ Ú Û ÔÓØÚÖ Ù Ù ÓÚÙ ÔÓØ ÞÙ Ð ÓÒ Óß ÙÚ Ò Ó Þ Ò º

Ð Ú Ö ÓÚ Ñ Ð Ñ ÖÓ Ñ ÓÒØÙÖ Ñ Ò Ñ ÐÒÓÑ Ò Ñ ÛÓÑ Ö Ø Ö Ø ÒÓÑ ÚÖ ÒÓßÐÙ Æ G Ö Ö n Ú Ð Ò m t ÓÑÔÓÒ ÒØ ÔÓÚ Þ ÒÓ Ø º ÖÓ c = m n+t Ò Þ Ú ÐÓÑ Ø Ò ÖÓ Ò Ðº cyclomatic numberµ Ö Gº Ó G ÔÓÚ Þ Ò Ö Û ÓÚ ÐÓÑ Ø Ò ÖÓ c = m n + 1º Ö ÐÓÑ Ø Ò Ñ ÖÓ Ñc c Ð Ò Ö º ËÔ ÐÒÓ Þ c = 1,2,3,4,5 Ö Ó ÙÒ Ð Ò Ñ Ð Ò Ñ ØÖ Ð Ò Ñ Ø ¹ ØÖ Ð Ò Ñ Ô ÒØ Ð Ò Ñ Ö ÓÚ Ñ Ö Ô Ø ÚÒÓº Ó GÔÓÚ Þ Ò Ö Þ Ó c = 0 ÓÒ Ö G Ø ÐÓº Ã Ö Ø Ö Ø Ö ÓÚ Ñ Ð Ñ ÐÓÑ Ø Ò Ñ ÖÓ Ñ Ø Ö Ñ Ð ÖÓ ÓÒØÙÖ º ÈÖ Ñ ØÓÑ ÓÚ Ö ÓÚ Ñ Ù ÒÓ Ø ÚÒ Ù ØÖÙ ØÙÖÙ Ò Ó Ö ÓÚ ÐÓÑ Ø Ò ÖÓ Ú Ð º Ó Ø Ó Ó Ò Þ Û Ô Ø Ò Ú Ð ÖÓ Ô ØÖ ÐÒ ÒÚ Ö ÒØÒ º ÂÓß ½ º Ó Ò Ëº Ë Ñ Ð Ó ÚÕÙ ÔÖÚ Ö ÞÙÐØ Ø Ù Ú Þ Ô ØÖ ÐÒ Ñ Ö Ù ÓÑ ÙÒ Ð Ò Ö ¹ ÓÚ [39] Þ Ø Ñ ½ º Ó Ò Ð Ò Ö ÓÚ [40]º ÈÓÖ Ò Ó Ò Ù Ó Ò Ö ÞÙÐØ Ø Ù Ú Þ Ò Ö ÓÑ ÓÚ Ö ÓÚ Ð ÚÒ Ñ Ö ¹ Ø Ö Ø Ò Ñ ÚÖ ÒÓ Ø Ñ Ä ÔÐ ÓÚ Ñ Ô ØÖÓÑ Ä ÔÐ ÓÚ Ñ Ô ØÖ ÐÒ Ñ Ö Ù ÓÑ Ö Ò ÓÑ Ê Ò Ð Ú Ñ Ò ÓÑ ÑÒÓ Ñ ÖÙ Ñ Ö ¹ Ø Ö Ø Ñ ÓÚ Ö ÓÚ [19, 23, 24, 25, 49]º Æ ÓÒ ÒÓ Ø ÚÒ Ð Ô ØÖ ÐÒ ÒÚ Ö ÒØ Û ÓÚ Ó Ó Ò Ô ØÙ Ù Þ ÐÓ Ò Ð Ö ÓÚ Ó ßØÓ Ù ØÖ Ð Ò Ø ØÖ Ð Ò Þ Ø Ñ Ú ÔÓÚ Þ Ò Ö ÓÚ [3, 21, 29]º Ç ÒÓÚÒ Ø Ñ ÓÚÓ ÔÓ Ð ÚÕ Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ö ¹ ÓÚ Ñ Ð Ñ ÐÓÑ Ø Ò Ñ ÖÓ Ñº Æ Ñ ÔÖÚÓ Ð Ø ÔÖ Ø ÚÕ ÒÓ Ö ß Û ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ñ ÐÒ Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ù Ð ÙÒ Ð Ò Ö ÓÚ Ö ÒÓ Ö º Á ØÓÑ Ø Ñ Ø ÓÑ Ú Ð Ù Fan, Wang Gao [16] Ð ÓÚ ÔÖ Þ Ò ÖÙ Ø Ò Þ Ö ß Ú Û ÓÚÓ ÔÖÓ Ð Ñ º Ø Ñ Ø Ø Ñ Ð Ø Ö ÞÑ ØÖ Ò Ù Ð ÔÓÚ Þ Ò Ð Ò Ö ÓÚ n ÚÓÖÓÚ º Ð ÓÔ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ö

º½º ÍÆÁ ÁÃÄÁ ÆÁ Ê ÇÎÁ ÁÃËÁÊ ÆÇ Ê Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ñ Ò Ñ ÐÒ Ù ÓÚÓ Ð ÔÓ Þ ÒÓ Ø Ö Ò ØÚ Òº Æ Ö Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ø ÔÖÓß Ö Ò Ò Ú ÔÓÚ Þ Ò Ö ÓÚ Ö n Ú Ð Ò n+k Þ 0 k 4º ÇÔ Ò Ò ØÚ Ò Ø Ò Þ Ó Ö Ú Û ØÖ Ñ ÐÒÓ Ö Ù Ú Ñ ÔÓÑ ÒÙØ Ñ Ð Ñ Ö ÓÚ º ÈÓ ØÖ Ñ ÐÒ Ñ Ö ÓÑ Ñ ØÖ Ð ÑÓ ÔÓÚ Þ Ò Ö Ö n Ú Ð Ò n + k Ò Ñ Û Ö Ø Ö Ø Ò ÚÖ ÒÓ Ø Ñ Ò Ñ ÐÒ Ù ÔÓ Ñ ØÖ ÒÓ Ð Ö ÓÚ Ó ÒÓ ÒÓ Ò Ñ Ñ Ð Ò Ù ÓÐ Ó Ö Ó Ô ÖØ ØÒ Ñ Ö ÓÚ Ñ º ÑÓ ÓßÐ Ó Ò Ú Ò Ö ÞÙÐØ Ø Ù Ò Ø Ú Ù Ð ÑÓ ÓÖ Ø Ø Ð Ð ÒÓ Ø ÚÒÓ ØÚÖ Û º Ä Ñ ¾ º Æ Ù n k Ò Ò Ø ÚÒ Ð ÖÓ Ú Ø Ú 0 k 4 n > k + 4º Ì Þ Ú ÔÖ ÖÓ Ò ÖÓ s Ø Ú 2 s n 2 Ú Ò Ò Ó Ø s(n s) > n+k. Ó Þº Æ Ò Ó Ø s(n s) > n + k Ú Ú Ð ÒØÒ Ò Ò ÓßÐÙ s 2 ns+n+k < 0º ÈÓ Ñ ØÖ ÑÓ Ú Ö ØÒÙ ÙÒ Ùf(s) = s 2 ns+n+kº ÇÚ ÙÒ Ñ Ú ÔÓÞ Ø ÚÒ ÓÖ Ò s 1 = n n 2 4(n+k) 2 s 2 = n+ n 2 4(n+k), 2 ÔÖ ÑÙ s 1 < 2 s 2 > n 2º Ó ØÓ Þ Ú ÔÖ ÖÓ Ò ÖÓ sø Ú 2 s n 2 Ú Ò Ò Ó Ø f(s) = s 2 ns+n+k < 0 Ñ Ð Ñ Ó Þ Ò º ËÔ ÐÒÓ Þ k = 0 Ó ÒÓ ÒÓk = 1 Ó ÑÓ Ð Ð ØÚÖ Û º ÈÓ Ð ½º Æ n ÔÖ ÖÓ Ò ÖÓ Ú Ð Ó 4º Ì Þ Ú ÔÖ ÖÓ Ò ÖÓ s Ø Ú 2 s n 2 Ú Ò Ò Ó Ø s(n s) > nº ÈÓ Ð ¾º Æ n ÔÖ ÖÓ Ò ÖÓ Ú Ð Ó 5º Ì Þ Ú ÔÖ ÖÓ Ò ÖÓ s Ø Ú 2 s n 2 Ú Ò Ò Ó Ø s(n s) > n+1º º½ ÍÒ Ð Ò Ö ÓÚ Ö ÒÓ Ö ÇÞÒ ÑÓ U(n) Ð Ù ÔÓÚ Þ Ò ÙÒ Ð Ò Ö ÓÚ n ÚÓÖÓÚ º Ö ÓÚ ÓÚ Ð Ù Ú Ð Ò nº ÃÐ U(n) ÑÓ ÔÓ Ñ ØÖ Ø Ó ÙÒ Ú ÔÓØ Ð Ð ÔÓÚ Þ Ò Ô ÖØ ØÒ ÙÒ Ð Ò Ö ÓÚ n ÚÓ¹ ÖÓÚ Ð ÔÓÚ Þ Ò Ò Ô ÖØ ØÒ ÙÒ Ð Ò Ö ÓÚ n ÚÓÖÓÚ º ÁÑ ÙÐ Ù Ú Ù Ø ÓÖ ÑÙ ½ ÔÓÑÓÐÙ ØÖ Ñ ÐÒ Ö ÓÚ ÓÚ Ú ÔÓØ Ð ÑÓ Ó Ö Ø ØÖ Ñ ÐÒ Ö Ù Ð U(n) ßØÓ Ð Ù Ò Ø Ú Ù Ø ÔÓ Þ ÒÓº