8. RIADENIE V KĹZAVOM REŽIME

8. RIADENIE V KĹZAVOM REŽIME Riadenie v kĺzavom režime je formou dvojhodnotového riadenia, pri ktorom sú stavy daného systému nútené priblížiť sa a udržať sa v blízkom okolí rozhrania, ktoré určí návrhár riadenia. 8.. Koncepcia systému s premenlivou štruktúrou a fázový portrét Systém s premenlivou štruktúrou sa definuje ako dynamický systém, ktorý mení svoju štruktúru ako funkciu vlastných stavov a externých vstupných premenných. Najčastejšie systémy s premenlivou štruktúrou mávajú iba dve štruktúry, S a S, medzi ktorými sa prepínajú podľa prepínacej funkcie S(x,y r ). Ako príklad uvažujme systém s premenlivou štruktúrou, ktorý je na obr. 8... Tento systém pozostáva z dvoch kaskádne zapojených integrátorov. Podľa toho v akej polohe je spínač S, je zaradená buď záporná spätná väzba a systém vytvára štruktúru S a naopak, ak je zaradená kladná spätná väzba, systém vytvára štruktúru S. q Štruktúra S - S &X X &X ω ω s s X q Štruktúra S Obr. 8.. Systém s premenlivou štruktúrou Stavové diferenciálne rovnice (v tomto prípade vlastne vstupy do integrátorov) sa dajú odvodiť priamo z obr. 8.. a majú nasledujúci tvar: x& =ωx x& = qωx, (8.a,b) 59

kde q=- pre štruktúru S a q= pre štruktúru S. Ak z diferenciálnych rovníc (8.a,b) vylúčime čas dostaneme separovateľnú diferenciálnu rovnicu v tvare: dx dx qx =. (8.) x Toto je diferenciálna rovnica prvého rádu, ktorá má pri nenulových začiatočných podmienkach riešenie: ( ) qx ( ) x qx = x. (8.3) Riešenie pre štruktúru S s q=- predstavuje skupinu sústredených kružníc okolo počiatku súradnicovej sústavy a pre štruktúru S s q= sa jedná o skupinu hyperbôl opäť sústredených okolo počiatku. Riešenia pre zodpovedajúce štruktúry pri rozličných začiatočných podmienkach sú zobrazené na obr. 8... a) x x = x ( ) x ( ) b) x x = x ( ) x ( ) X 3 X 4 X X -3 - - 3 4-3 - - 3 4 - - - -4-3 -4-6 Obr. 8.. Fázový portrét systému s premenlivou štruktúrou oddelene Veľmi dôležité si je uvedomiť, že odvodené sústavy kriviek majú svoj smer a preto je treba určiť aj smer pohybu pozdĺž stavových trajektórií. Toto sa dá zistiť podrobnejším vyšetrením stavových diferenciálnych rovníc. Rovnica (8.a) naznačuje, že x musí mať stúpajúci trend pre x > a podobne z rovnice (8.b) možno usúdiť, že x musí mať klesajúci trend pre x <. 6

V nasledujúcom kroku sa určí fázový portrét celého spätnoväzbového systému. K tomu je potrebné najskôr určiť prepínaciu funkciu spínača S. V tomto špeciálnom - teoretickom prípade (zvolenom len pre teoretické vysvetlenie), nech je prepínacie rozhranie (prepínacia funkcia spínača S) určené dvomi rovnicami: x x = = kx. (8.4) Takto sa už stavové trajektórie úplného systému s premenlivou štruktúrou dajú nakresliť pre ľubovoľný začiatočný stav. K prepínaniu prichádza vždy v prípade, keď stavové trajektórie dosiahnu prepínacie rozhranie dané rovnicami (8.4). Fázový portrét systému, ktorý rešpektuje premenlivú štruktúru v uzavretej slučke, ukazuje obr. 8..3. X S X S Obr. 8..3 Fázový portrét systému s premenlivou štruktúrou v uzavretej slučke. 6

8.. Kĺzavý pohyb a riadenie v kĺzavom režime Na základe doteraz uvedeného je už možné navrhnúť kĺzavé riadenie systému, ktorý má premenlivú štruktúru. Ak nahradíme pôvodný spínač S pre prepínanie dvoch maximálnych hodnôt napätia U m matematickou funkciou signun, je tým jednoznačne určený spôsob riadenia systému, čím vzniká už realizovateľné riadenie vybraného systému, ktoré bude pracovať v kĺzavom režime: ( S) u = U sign, (8.5) m kde S je prepínacia funkcia. Ak napr. predpokladáme riadený systém druhého rádu, potom je prepínacia funkcia S určená ako: S= ω ω Tω ω &. (8.6) d r r Bloková schéma takéhoto riadenia systému druhého rádu, ktorý je opísaný v stavovom priestore je na obr. 8... ωd S U m S u(t) x& = f ( x,u) y= C( x) -U m ω r T ω s Obr. 8.. Realizovateľné riadenie v kĺzavom režime pre systém druhého rádu Činnosť navrhnutého riadenia a celého systému s naznačenými spätnými väzbami je výhodné znova vyšetriť vo fázovej rovine, t.j. ako závislosti ˆω & r =f( ˆω r ). Akčná veličina u(t) prepína medzi dvomi hodnotami napätia U m a -U m vždy v okamžiku, keď prepínacia funkcia nadobúda hodnotu S =. Ak dosadíme túto podmienku späť do rovnice (8.6), dostaneme rovnicu pre prepínacie rozhranie: ω& r = ( ωr ωd ). (8.7a) T ω 6

Toto rozhranie ukazuje obr. 8.. spolu so skupinou stavových trajektórií začínajúcich z rozličných začiatočných hodnôt (označovaný ako fázový portrét). ω& r Rovnica prepínacieho rozhrania - ω& = ω ω r T r d ω ωr ω d ( ) Obr. 8... Fázový portrét a prepínacie rozhranie pre SISO systém pracujúci v kĺzavom režime Z obr. 8.. je evidentné, že v celom ukázanom rozsahu prepínacieho rozhrania sú trajektórie fázového portrétu smerované k rozhraniu z oboch strán, čo znamená, že ak sa raz dosiahne prepínacie rozhranie potom je trajektória udržiavaná v jeho tesnej blízkosti, zatiaľ čo akčná veličina u(t) rýchle prepína (prepínanie riadenia). Toto je podmienkou riadenia v kĺzavom režime a takto navrhnutý riadiaci systém je klasické riadenie v kĺzavom režime. Za týchto okolností systém v uzavretej slučke vyhovuje rovnici prepínacieho rozhrania (8.7a) tak, ako je uvedená v obr. 8.. a ktorá je tiež určená funkciou: ω ω r d () s = () s stω (8.7b) Ideálny systém pracujúci v kĺzavom režime bude prepínať akčnú veličinu s nekonečnou frekvenciou a spojite sa meniacim pomerným zopnutím napätí, čím udrží trajektóriu systému pracujúceho v kĺzavom režime vo fázovej rovine presne na prepínacom rozhraní. V takomto prípade spojitá krátkodobá stredná hodnota akčnej veličiny, ktorú možno získať napr. vyfiltrovaním iba niekoľkých zložiek napätia u(t) s konečnou frekvenciou, by taktiež udržala stavovú trajektóriu y(t) presne na prepínacom rozhraní. V tomto zmysle je spojitá krátkodobá stredná hodnota akčnej veličiny ekvivalentná ideálnemu prepínaciemu riadeniu. Z tohoto dôvodu sa táto krátkodobá stredná hodnota nazýva aj ekvivalentné riadenie. 63

V reálnych systémoch s premenlivou štruktúrou riadenia a uzavretými spätnými väzbami sa vykazuje kĺzavý pohyb pozdĺž segmentov prepínacieho rozhrania, ku ktorému sú smerované fázové trajektórie z oboch strán. Toto je možné jasne vysledovať z obr. 8..3. 4 6 8 (ω r-ω d) 4 U m - v eq -4. -6. ω r Prepínacie rozhranie -4 -U m Obr. 8..3 Kĺzavé riadenie reálneho systému s premenlivou štruktúrou Vo svojej najjednoduchšej forme, ktorá je zobrazená na obr. 8.., je riadenie v kĺzavom režime vlastne formou dvojhodnotového stavového riadenia, pri ktorom akčná veličina u(t) prepína medzi svojimi krajnými medznými hodnotami s opačným znamienkom. Takého systémy s dvojhodnotovým riadením sa niekedy tiež nazývajú releové systémy. Ak sa pre systém s jedným vstupom a jedným výstupom (SISO) vyberie výstupná stavová veličina ako riadená veličina a jej derivácie do rádu R- tvoria spätné väzby (kde R je hodnosť systému t.j. v prípade lineárneho systému počet pólov mínus počet núl prenosovej funkcie), potom ak je stav systému udržiavaný presne na prepínacom rozhraní, je spätnoväzbová dynamika určená rozhraním samotným a je nezávislá od parametrov systému a je tiež nezávislá od externých porúch. Ako je to vidieť aj na obr. 8..3a, stavový bod akoby sa kĺzal po rozhraní samotnom. Odtiaľ pochádza aj termín kĺzavé riadenie. Pretože prepínacie rozhranie je vlastne R- dimenzionálny hyperpovrch v R rozmernom priestore výstupných derivácií, rád systému v uzavretej slučke je vždy R-. Túto skutočnosť možno dobre využiť pre zovšeobecnenie návrhu kĺzavého riadenia pre SISO lineárny systém rádu R : R R (,y,y,y,...,y && ) = y ( y q y& q & y... q y ) S y r &. (8.8) r R 64

Ak nahradíme v rovnici (8.8) výraz v zátvorke sumou, možno zovšeobecnenú formulu pre prepínaciu funkciu zapísať ako: R ( ), y r = y yr i= i (i) S y q y, (8.9) kde y=[y, y., y (R-) ] T je vektor stavových veličín obsahujúci aj riadený výstup a jeho derivácie, pričom R je hodnosť systému. Prepínacia funkcia mení svoje znamienka vždy v prípade, ak je splnená nasledujúca rovnica: (, y ) S y r =. (8.) Všetky hodnoty stavových premenných y, pri ktorých dochádza k prepínaniu akčnej veličiny u(t), sú takto jednoznačne určené, čo sa tiež označuje ako rovnica prepínacieho rozhrania, čo už bolo pre systém druhého rádu uvedené rovnicou (8.7a). Zodpovedajúca bloková schéma riadenia SISO systému je na obr. 8..4. y r S U m S u(t) x & = f( x, u) y= g( x) -U m y q R s q s... q Rs Obr. 8..4 Zovšeobecnené riadenie v kĺzavom režime pre lineárny systém Pre systém druhého rádu v ideálnom prípade, keď sa prepínanie v kĺzavom režime uskutočňuje s nekonečne vysokou frekvenciou, rovnica (8.7a) určuje chovanie v uzavretej slučke a pretože x = y a x = y&, je systém v uzavretej slučke lineárny s prenosovou funkciou ekvivalentnou oneskoreniu prvého rádu, čo je dané rovnicou (8.7b). Na základe doteraz uvedeného možno urobiť nasledujúce dôležité konštatovania o riadení v kĺzavom režime: a) Celý riadiaci systém je extrémne robustný, pretože jeho prenosová funkcia (8.7b) je nezávislá na parametroch systému a je tiež nezávislá aj od externých porúch t.j. v tomto prípade od momentu záťaže, ak sa to berie vo vzťahu k riadiacemu napätiu u(t). 65

b) Systém v uzavretej slučke je len prvého rádu napriek tomu, že pôvodný systém bol druhého rádu. Je to dôsledok toho, že bol odstránený jeden stupeň voľnosti pohybu v stavovom priestore tým, že stavová trajektória je nútená sa pohybovať pozdĺž prepínacieho rozhrania. c) V tomto prípade je možné pre regulovaný systém zvoliť dobu ustálenia T s a časová konštanta uzavretej slučky je daná ako T ω =T s /3. Na druhej strane si treba tiež uvedomiť, že doteraz opisované ideálne charakteristiky uvedené ako (a) sa nedajú realizovať, pretože každé riadenie realizované digitálnym procesorom pracuje s reálnou vzorkovacou frekvenciou. Taktiež podstatný vplyv na chovanie systému v kĺzavom režime môžu mať zanedbané dynamické oneskorenia (napr. by sa tak stalo v prípade zanedbania elektrickej časovej konštanty kotvy jednosmerného motora). Chovanie reálneho systému riadeného v kĺzavom režime je preto vhodné vyšetriť najskôr presnou - realistickou simuláciou. Pr. 8..: Návrh riadenia uhlovej rýchlosti v kĺzavom režime pre jednosmerný motor s cudzím budením. Ako riadený systém predpokladáme jednosmerný motor s cudzím budením s parametrami podľa odst. 3... Riadeniu rýchlosti v kĺzavom režime zodpovedá bloková schéma na obr. 8..5. Keďže sa jedná o systém druhého rádu, pre návrh prepínacej funkcie S postačuje spätná väzba od riadenej veličiny a jednej derivácie, ktorá je v tomto prípade úmerná prúdu kotvy. Pre realizáciu žiadanej regulácie takto postačuje správne určiť proporcionálne zosilnenia pre koeficienty g a g. U max M z U i cφ ω z g S I a M el SIGNUM K a cφ funkcia st a Js ω r g -U max Obr. 8..5 Bloková schéma pre riadenie uhlovej rýchlosti jednosmerného motora s cudzím budením v kĺzavom režime 66

Na základe Masonovho pravidla môžeme vypočítať prenosovú funkciu regulačného obvodu na obr. 8..5 ako: Ka g cφ ωr () s sta sj F() s = =, (8.) ω () s z g g K g K cφ K ( cφ) ( ) ( ) a a a st st sj st sj a a a ktorý postupnými algebraickými úpravami upravíme tak, aby najvyššia mocnina s v menovateli mala koeficient rovný : () F s = s s Ta gk a cφ Ta J K cφ a JTa a ( g g K ) ( g cφ). (8.) Koeficienty zosilnení g a g určíme na základe porovnania s predpísaným žiadaným polynómom prenosovej funkcie, ktorého korene zabezpečia najrýchlejšiu ozvu bez prekmitu (t.j. v tomto polynóme volíme zámerne násobné reálne korene, čiže aj tu sa jedná o aplikáciu metódy umiestnenia pólov). Pre dosiahnutie doby ustálenia ozvy systému n-tého rádu (nadobudnutie.95 ustálenej hodnoty) platí empirický vzťah T u =,5( n)/ω, takže pre predpísanú ozvu systému druhého rádu (n=) medzi zvolenou dobou ustálenia a prirodzenou kruhovou frekvenciou ω polynómu so žiadaným chovaním platí ω =9/T u Po umiestnení oboch pólov v s, = -ω má predpísaný polynóm tvar: ( s ω ) = s ω ω. (8.3) s V ďalšom kroku porovnáme koeficienty polynómu s predpísaným chovaním (8.3) s koeficientmi menovateľa už určenej prenosovej funkcie (8.). Z porovnania koeficientov pri rovnakých mocninách s vyplýva: K cφ a JT T a a ( g cφ) = ω ( gg K a ) = ω odkiaľ odkiaľ g g ωjta = cφ K cφ, a ω T a =. gka (8.4a,b) 67

Spätné väzby v navrhnutom regulovanom obvode musia byť záporné. Aby to bolo splnené, musia byť koeficienty g a g kladné, takže pre zvolenú prirodzenú kruhovú frekvenciu ω musia zároveň platiť vzťahy: K a ω > cφ a súčasne JTa ω >. T (8.5a,b) a Ak si pre regulovaný obvod s parametrami podľa pr. 3.., s. 65 navrhneme hodnotu ω = /s, čo určuje dobu ustálenia T u =,45 s a zároveň vyhovuje obidvom podmienkam (8.5a,b), potom pre hľadané koeficienty vypočítame hodnoty g =7,547 a g =,. Bloková schéma pre reguláciu rýchlosti jednosmerného motora je uložená ako súbor s názvom smcpr_s.m. Jeho model v Simulinku je na obr. 8..6 a možno ho priamo vyvolať napísaním mena súboru do príkazového okna MatLabu. V tejto schéme sú zámerne použité približné hodnoty g a g, aby sa dala pomerne jednoducho určiť rovnica sklzového rozhrania, v tomto prípade vlastne sklzovej priamky. Prepínacie rozhranie, ktoré je pre všeobecný systém R-tého rádu dané ako R- dimenzionálny hyperpovrch, sa v prípade systému druhého rádu mení na prepínaciu priamku. Jej rovnicu dostaneme, ak položíme v blokovej schéme na obr. 8..5 S=. g [( ω ω ) g I ] odkiaľ I = ( ω ω ) z r a = a z r. (8.6a,b) g Pre názornosť je v súbore smcpr_s.m vypočítaná aj regulačná odchýlka a jej derivácia, ktoré vo fázovej rovine určujú pre riadenie rýchlosti js. motora sklzovú priamku ako e ω=f(e ω ). Táto závislosť je znázornená v grafe na obr. 8..7a. Graf na obr. 8..7b uvádza vzájomnú závislosť prúdu motora a regulačnej odchýlky ako funkciu -i a =f(e ω ). Na základe vzájomného porovnania priebehov na obr. 8..7a a obr. 8..7b možno konštatovať, že tieto závislosti sú rovnaké (majú len iné mierky), a preto aby sme už nemuseli ďalej počítať deriváciu odchýlky, stačí sklzovú priamku znázorniť rovnicou (8.6b). Na obr. 8..7c sa nachádza priebeh prúdu kotvy a na obr. 8..7d ozva uhlovej rýchlosti rotora. Prúd kotvy motora, ktorý zatiaľ nie je ohraničený, v čase t=, s narastie na menovitú hodnotu, pretože v tomto momente je motor zaťažený menovitým záťažovým momentom. Z ozvy uhlovej rýchlosti na obr. 8..7d možno sledovať v čase t=, s jej malý pokles v dôsledku skokového zaťaženia s menovitým záťažovým momentom. 68

kreslenie wd Wrkspc3 w_d ew Wrkspc5 - S time du/dt Der - S de Wrkspc6 7.5 ia Workspc 35 Ud G -35 Ud Switch Load JSMCB-lz Ua Workspc4 Sc-Ia Sc-wr wr Workspc. G Obr. 8..6 Súbor smcpr_s.m 5-5 - -5 - -5-3 - -4-6 -8 - - -4-6 -35 4 6 8 8-8 4 6 8 a) de ω /dt= f(e ω ) b) -i a =f(e ω ) 6 4 8 6 4 8 6 4 -.5..5..5..5. c) i a =f(t) d) ω r =f(t) Obr. 8..7 Priebehy, sklzovej priamky a jej náhrady, prúdu kotvy a ozvy rýchlosti 69

Sklzová priamka vypočítaná podľa rovnice (8.6b), ako aj pohyb ozvy riadeného systému po tejto priamke pri kladnej a zápornej regulačnej odchýlke je možno sledovať na obr. 8..8. 5 5-5 - -5 - - -5 5 Obr. 8..8 Pohyb stavového bodu riadeného systému druhého rádu vo fázovej rovine a sklzová priamka Súbor smcpr_s.m, ktorý je na obr. 8..9 ukazuje riadenie v kĺzavom režime s presným výpočtom zosilnení podľa vzťahu (8.4a,b). Uvedený výpočet zosilnení sa robí v súbore smcini.m, ktorý je uvedený ďalej v tab. 8... Funkciu signum realizuje v tomto prípade prepínač S, ktorého prepínanie zabezpečuje spínacia funkcia S. SMCini time Ud kreslenie Load Ud JSMCB-lz S w_d g - Sum -Ud Switch Ua Ia Ud Workspc4Workspc g Sc_Ia Sum wd Workspc5.95 Mux Sc_w wr Workspc Mux Obr. 8..9 Riadenie jednosmerného motora v kĺzavom režime 7

% Parametre DC motora Pn=3; Un=; In=.3; nn=8; Ra=.6; La=.6; J=.35; Ud=35; Tload=; Lrec=/La; Ta=La/Ra; % Constants for Computation of Motor wnom=pi*nn/3; Mn=Pn/wnom; cfu=(un-ra*in-)/wnom; cfm=mn/in; Ka=/Ra; cfi=(cfucfm)/; cfir=/cfi; kjrec=/j; % CONTROL LAW Parameters w>4 % Ts=9/(*w) e.g. for w= Ts=45 ms w=; Ts=4.5/w g=(w*w*j*ta)/(ka*cfi) - cfi; g=(*w*ta - )/(g*ka); Tab. 8.. Parametre motora a výpočet zosilnení pre riadenie v kĺzavom režime Výsledky simulácie so súborom smcpr_s.m sú na obr. 8... Prúd kotvy možno sledovať na obr. 8..a. Z jeho priebehu vidieť okrem dynamického stavu aj nárast prúdu na menovitú hodnotu v čase t=, s v dôsledku zaťaženia menovitým momentom. Obr. 8..b ukazuje detail napätia kotvy pre časový interval t=(,5) s. Napätie kotvy má úzku súvislosť s pohybom stavového bodu vo fázovej rovine na obr. 8..c, pretože pokiaľ trvá nasýtenie akčnej veličiny U a =f(t) (zopnutá len kladná hodnota U a približne do t=,5 s), stavový bod sa len približuje ku sklzovej priamke. Obr. 8..c ukazuje už opísaný náhradný priebeh sklzovej priamky, ktorý je určený ako i a =f(e ω ). Ozva uhlovej rýchlosti motora ako funkcia času je na obr. 8..d. Z vynesených súradníc je vidieť, že okrem dosiahnutia žiadanej hodnoty, je tu dodržaná aj žiadaná doba ustálenia celého systému T u =,45 s tak, ako bola predpísaná súborom smcini.n a ako je uvedená v tab. 8... 7

8 6 4 8 6 4 4 3 - - -..4.6.8...4-3 -4...3.4.5 a) i a =f(t) b) U a =f(t) - detail - -4-6 -8 - - -4 8 6 4-6 -8 4 6 8..4.6.8...4 c) -i a =f(e ω ) d) ω r =f(t), T u =.45 s Obr. 8.. Priebehy prúdu a napätia kotvy, sklzovej priamky a ozvy rýchlosti Pr. 8..: Návrh riadenia uhlovej rýchlosti v kĺzavom režime pre jednosmerný motor s ohraničením prúdu kotvy. V skutočných pohonárskych aplikáciách však nie je reálne vnútiť jednosmernému motoru s cudzím budením prúd kotvy, ktorý viac ako desaťnásobne prekračuje jeho menovitú hodnotu. Preto je nutné realizovať prúdové ohraničenie, ktoré zabezpečí, že prúd kotvy a tým aj moment na hriadeli neprekročí dvojnásobok menovitej hodnoty. Preto sa do pôvodného regulačného obvodu, ktorý pracuje v kĺzavom režime, musí zaradiť člen ohraničenia prúdu kotvy. Tento je realizovaný ako softvérový prepínač, ktorý prepína žiadanú hodnotu prúdu kotvy podľa nasledujúcej podmienky: IF abs(ia) > Imax Sk = -Ia ELSE Sk = Skorig END, (8.7) 7

t.j. pokiaľ prúd kotvy neprekročí stanovenú maximálnu hodnotu I max, potom regulátor pracuje v pôvodnom kĺzavom režime (časť podmienky else, v ktorej je pôvodná sklzová priamka označená ako Sk orig ). V prípade, že absolútna hodnota prúdu kotvy však prekročí stanovený maximálny prúd I max, potom prepínač prepne na upravenú hodnotu, ktorá sa rovná zápornej hodnote skutočného prúdu kotvy (časť podmienky if, pri ktorej sa sklzová priamka prepne na S k =-I a ). Toto ovšem znamená, že pôvodný regulátor (ktorý určuje hodnotu Sk orig ) sa musí doplniť vyhodnocovaním podmienky (8.7). Blokovú schému, ktorá realizuje riadenie v kĺzavom režime s prúdovým ohraničením, možno vyvolať vpísaním príkazu smc3pr_s.m do príkazového okna. Podmienku pre realizáciu prúdového ohraničenia (8.7) možno vysledovať z obr. 8.., ktorý ukazuje obsah bloku SMCriad z blokovej schémy súboru smc3pr_s.m. V tomto prípade bol prúd kotvou ohraničený na I max =5 A, čo zodpovedá dvojnásobku menovitého prúdu uvažovaného motora. - Gx in_ Udc in_ Ia 3 in_3 wr. Gx4 4 in_4 wdem Smc3 - Abs Smc4 5 Imax Ss Wrksp5 7.5 Gx - Smc5 Swtch - Gx3 out_ Switch Obr. 8.. Schéma regulátora v kĺzavom režime s ohraničením prúdu kotvy Pozn.: Uvedené prúdové ohraničenie je možné realizovať aj pre systémy vyššieho rádu (napr. regulácia polohy jednosmerného motora s cudzím budením), avšak v takom prípade sa nejedná o prepínanie po sklzovej priamke, ale o prepínanie prepínacieho rozhrania daného ako hyperpovrch. 73

Výsledky simulácie sú na obr. 8... Z grafu pre prúd kotvy v závislosti na čase je vidieť, že regulátor udržuje stanovenú hodnotu prúdového ohraničenia. To má však podstatný vplyv na dynamiku pohonu, pretože táto je v takom prípade daná dynamickým momentom úmerným prúdu kotvy, takže pri konštantnom momente rýchlosť lineárne stúpa na žiadanú hodnotu. Napätie na svorkách kotvy sa pohybuje v rozsahu -35 až 35 V tak, ako je nadefinovaný jednosmerný zdroj. Motor je v čase t=,3 s zaťažený menovitým záťažovým momentom M z =7,8 Nm. Pretože základný návrh regulačného obvodu zostal v porovnaní s blokovou schémou na obr. 8..9 nezmenený, tak aj v tomto prípade sa prejavuje citlivosť regulačnej odchýlky na skokovú zmenu poruchového záťažového momentu (túto citlivosť možno čiastočne znížiť úpravou zosilnenia g napr. na hodnotu,). 3 5 5 5 8 6 4-5.5..5..5.3.35.4.5..5..5.3.35.4 a) I a =f(t) b) ω r =f(t) Obr. 8.. Výsledky simulácie riadenia v kĺzavom režime s ohraničením prúdu kotvy Doteraz opísané riadenie jednosmerného motora v kĺzavom režime je možné realizovať s dvojkvadrantovým alebo štvorkvadrantovým impulzovým meničom s reverzáciou napätia. Ten pri zapnutých riadených prvkoch meniča vytvára kladnú napäťovú hodnotu a počas ich rozopnutia komplementárne diódy vytvárajú rovnako veľkú zápornú napäťovú hodnotu. V prípade, ak je k dispozícii len jednokvadrantový impulzový menič, je možné riadenie upraviť tak, aby vyžadovalo len kladnú hodnotu napätia, čo sa docieli zaradením člena pre ohraničenie napätia na výstupe bloku riadenia. Takéto riešenie uvádza nasledujúci príklad. 74

Pr. 8..3: Návrh riadenia uhlovej rýchlosti jednosmerného motora v kĺzavom režime s ohraničením prúdu kotvy motora a s jednokvadrantovým impulzovým meničom. Realizácia upraveného bloku riadenia o člen ohraničenia napätia, ktorý prepúšťa ako požiadavku na napätie len kladný signál, je na obr. 8..3 a súbor, ktorý ho obsahuje má názov smc4pr_s.m. - Gx in_ Udc in_ Ia 3 in_3 wr. Gx4 4 in_4 wdem Smc3 - Abs Smc4 5 Imax Ss Wrksp5 7.5 Gx - Smc5 Swtch - Satur out_ Gx3 Switch Obr. 8..3 Upravená schéma radenia v kĺzavom režime s ohraničením prúdu kotvy pre jednokvadrantový impulzový menič Výsledky simulácie, ktoré ak neberieme do úvahy spínané napätie, prakticky zodpovedajú riadeniu s dvojkvadrantovým impulzovým meničom, sa nachádzajú na obr. 8..4. 3 5 5 5 8 6 4-5.5..5..5.3.35.4.5..5..5.3.35.4 a) I a =f(t) b) ω r =f(t) Obr. 8..4 Výsledky simulácie pre kĺzavé radenie uhlovej rýchlosti js. motora s ohraničením prúdu kotvy a pre jednokvadrantový impulzový menič 75

8.3. Eliminácia prepínania riadenia v kĺzavom režime Pri niektorých aplikáciách riadenia v kĺzavom režime rýchle prepínanie akčnej veličiny aj v ustálenom stave je nežiadúce. Najčastejším spôsobom jeho eliminácie je náhrada signum funkcie v riadiacom algoritme rovnicami (8.8) a (8.9) tak, ako to ukazuje obr. 8.3.. - S - -δ S - - a) u= U u= U max max sign(s) S Sδ (8.8) b) u= U u= U max max sign(s) sat(k,s) (8.9) Obr. 8.3.. Dve najčastejšie aproximácie funkcie signum V prípade aproximácie signum funkcie podľa Ambrosina na obr. 8.3.a, je aproximácia daná rovnicou (8.8), takže riadenie nikdy nedosiahne hranice nasýtenia, ale sa len asymptoticky približuje k signum funkcii podľa toho, ako prepínacia funkcia S mení svoju hodnotu. Ostré prechody medzi jej extrémnymi hodnotami sa prejavia v okamihu, keď prepínacia funkcia S mení svoje znamienko. Podobný výsledok sa dosiahne, ak sa funkcia signum nahradí proporcionálnym zosilnením s ohraničením (8.9), čo je uvedené na obr. 8.3.b. V tomto prípade je prepínacie rozhranie nahradené konečnou riadiacou prechodovou oblasťou, nazývanou prepínacia vrstva, kotrá ja charakterizovaná svoju šírkou δ, Mimo tejto vrstvy je riadenie saturované na hodnotu ± U. Úplne odlišný prístup k eliminácii prepínania je zaradenie vyhladzovacieho integrátora medzi rýchle prepínajúcu riadiacu veličinu (v tomto prípade premenovanú na u (t) ) a skutočnú akčnú veličinu u(t), ktorá pôsobí na riadený systém. Vložený vyhladzovací integrátor je potrebné brať ako súčasť pôvodného m 76

systému, ktorý je potrebné riadiť. To znamená, že toto vloženie integrátora má za následok zvýšenie hodnosti systému z predchádzajúcej hodnoty o jeden rád. Preto je tiež potrebné zvýšiť o jednu aj počet derivácií zaradených do spätnej väzby, nakoľko systém má teraz hodnosť R, ako to ukazuje obr. 8.3.. U m y r S u (t) S u(t) x & = f( x, u) s y= g( x) -U m vyhladzovací integrátor y R s qs... qrs q Obr. 8.3. Bloková schéma riadenia v kĺzavom režime s vyhladzujúcim integrátorom Riadenie jednosmerného motora v kĺzavom režime so zaradeným vyhladzujúcim integrátorom realizuje súbor smc5pr_s.m. Obr. 8.3.3 ukazuje zodpovedajúcu blokovú schému v prostredí Simulink. Zvýšenie potrebného počtu derivácií sa tu realizuje formou derivovania riadenej veličiny, čo sa však pre praktickú aplikáciu nedoporučuje. Systém je teraz tretieho rádu, takže kĺzavé riadenie vyžaduje okrem riadenej veličiny zaväzbenie aj ďalších dvoch derivácií. Súbor smc5pr_s.m sa inicializuje súborom intdcx.m, ktorý vypočíta parametre jednosmerného motora a z nich určí aj potrebné zosilnenia v spätných väzbách (teraz pre systém tretieho rádu) pre predpísanú dobu ustálenia T u =,5 s. Initdcx w_d wd Wrkspc3 time kreslenie - S - S Ss Wrkspc5 g G 35 Ud -35 Ud g3 Load s Int Switch du/dt JSMCB-lz Ua Wrkspc4 ia Wrkspc Sc-Ia wr Workspc S3 G3 g G Der du/dt Der Sc_w Obr. 8.3.3 Riadenie js. motora v kĺzavom režime s vyhladzujúcim integrátorom 77

Výsledky simulácie s uvedenou schémou sú na obr. 8.3.4. Účinok vyhladzovacieho integrátora na akčnú veličinu u(t) ukazuje graf 4a). Z jeho priebehu je jasne vidieť, že napätie priložené na kotvu jednosmerného motora už nie je spínané, ale je spojité. Na zabezpečenie takéhoto priebehu napätia je už potrebná šírkovoimpulzová modulácia impulzového meniča. Graf 4b) ukazuje zodpovedajúci priebeh prúdu kotvy. Ten v dôsledku preregulovania prejde nakrátko do zápornej hodnoty (motor pracuje počas tejto doby v generátorickom režime). Po zaťažení motora menovitým záťažovým momentom sa prúd kotvy motora ustáli na svojej menovitej hodnote I n =,3 A. Zodpovedajúci priebeh záťažového momentu je na grafe 4c). Nakoniec graf 4d) ukazuje priebeh riadenej veličiny, z ktorej vidieť malé preregulovanie v stave naprázdno a udržanie žiadanej hodnoty uhlovej rýchlosti pri zaťažení. 9 8 5 7 6 5 4 5 3 8.5.5-5.5.5 a) U a =f(t) b) I a =f(t) 7 6 5 4 3 8 6 4.5.5.5.5 c) M z =f(t) d) ω r =f(t) Obr. 8.3.4 Výsledky simulácie radenia uhlovej rýchlosti jednosmerného motora v kĺzavom režime s vyhladzovacím integrátorom 78

8.4. Riadenie asynchrónneho motora v kĺzavom režime Na základe princípov linearizácie spätnej väzby a hierarchického riadenia je možné navrhnúť riadenie rýchlosti asynchrónneho motora v podradenej a nadradenej spätnoväzobnej slučke, ktoré zabezpečí predpísanú ozvu t.j. dynamiku prvého rádu (viď literatúra). Táto je daná rovnicou: dω dt r = T ω ( ω ω ) d r, (8.) Nadradená regulačná slučka na základe linearizácie spätnej väzby vypočíta žiadané prúdy motora tak, aby zodpovedali predpísanej dynamike. Úlohou podradenej prúdovej slučky je zabezpečiť vhodné riadenie striedača a vnútiť motoru také prúdy, ktoré čo najtesnejšie sledujú vypočítané žiadané prúdy z nadradenej slučky (napr. hysterézne regulátory). Hierarchická štruktúra naznačeného spôsobu riadenia je na obr. 8.4.. ω d, Ψ d, T ω T ψ ˆω r Nadradený riadiaci algoritmus ˆΓ L Ψ α Ψ β i α d i β d Podradený riadiaci algoritmus i a i b AM merania prúdov br. 8.4. Hierarchická štruktúra systému riadenia Na základe opísaného usporiadania a návrhu riadiaceho algoritmu má celý spätnoväzbový systém ozvu, ktorá je definovaná prenosovou funkciou: () s = () s stω ωr F() s =. (8.) ω d Pretože asynchrónny motor predstavuje nelineárny systém, chyby vnesené neurčitosťami jeho parametrov spôsobia, že sa predpísaná lineárna dynamika nedodrží a naopak sa stane častočne nelineárnou. Ďalej bude ukázané, že pridanie vonkajšej riadiacej slučky, ktorá pracuje v kĺzavom režime, môže takéto vplyvy spôsobujúce nelinaerity kompenzovať. Na čo najjednoduchšie opísanie účinku vonkajšej slučky nech sú neurčitosti v parametroch motora, vplyvy momentu 79

záťaže a nie celkom ideálna činnosť vnútornej prúdovej slučky v dôsledku nenulového iteračného intervalu (daného krokom digitálnej realizácie riadenia), približne reprezentované zmenou časovej konštanty a jednosmerného zisku pôvodnej prenosovej funkcie (8.). V dôsledku spomenutých chýb sa preto dynamika vnútornej a strednej slučky preto zapíše ako modifikovaná prenosová funkcia: F ' () s r ' d () s K d = ' () s st ω =, (8.) ω ω kde K d & a ω & Tω. Aby sa realizovalo riadenie v kĺzavom režime bez redukcie hodnosti systému (rovný rádu systému bez núl prenosovej funkcie), ktoré má zabezpečiť chovanie celého systému podľa prenosovej funkcie (8.), vloží sa do referenčného vstupu strednej slučky vyhladzovací integrátor. Ako aj predtým pridanie vyhladzovacieho integrátora znamená zvýšenie rádu systému o jeden. Zodpovedajúca bloková schéma je na obr. 8.4., ktorý už obsahuje aj vonkajšiu slučku s riadením v kĺzavom režime. Nová akčná veličina pôsobiaca na asynchrónny motor je tu označená ako ω d(t) a výstup z pôvodného kĺzavého regulátora ako u (t). T ' ω d S u m u u S m Sklon K u s ω& Vnútorná a stredná slučka r T ω ω d r K d st ω s ω Obr. 8.4. Vonkajšia slučka pracujúca v kĺzavom režime Nová akčná veličina ω d(t) je určená ako: ' [( ω ω ) T ]dt ωd = KSM d r ω ω & r. (8.3) Pretože uhlové zrýchlenie ako derivácia uhlovej rýchlosti by bolo pomerne dosť zašumené (v dôsledku derivovania), ponúka sa tu príležitosť využiť pre 8

vonkajšiu slučku alternatívny algoritmus. Jeho úlohou je odstránenie derivovania. Ak si uvedomíme, že nová žiadaná hodnota uhlovej rýchlosti ω d pôsobí až za vyhladzovacím integrátorom, možno ju tiež určiť ako: ' [ ( ω ω ) dt T ω ] ωd = K SM d r ω r. (8.4) Vloženým integrátorom možno teda zrušiť deriváciu obsiahnutú vo vnútornej spätnej väzbe, takže aplikovaný algoritmus má tvar daný rovnicou (8.4). Uvedené zjednodušenie možno tiež s veľkou výhodou využiť aj pri kĺzavom riadení jednosmerného motora s cudzím budením s vyhladzovacím integrátorom. Zodpovedajúca bloková schéma riadenia asynchrónneho motora s vonkajšou spätnoväzbovou slučkou v kĺzavom režime, ktorá rešpektuje rovnicu (8.4), je na obr. 8.4.3. ω d - s T ω - K sm u=ω d Vnútorná a stredná riadiaca slučka asynchr. motora s prenosovou funkciou st ω ω r ω r ω r Obr. 8.4.3 Realizovaná vonkajšia slučka riadenia v kĺzavom režime Obr. 8.4.4 uvádza porovnanie simulačných (ľavý stĺpec a index ) a experimentálnych výsledkov (pravý stĺpec a index ), ktoré sa dosiahli pri realizácii riadenia asynchrónneho motora s opísanou riadiacou štruktúrou. V grafoch označených ako 4a) a 4a) sú uvedené statorové prúdy a rotorové magnetické toky pre rozbehový interval v čase t ( -,) s. Grafy označené ako 4b) a 4b) ukazujú ozvu ideálnej rýchlosti rotora ω id, ktorá sa vypočítala z prenosovej funkcie (8.), a skutočnou rýchlosťou rotora pre celý interval ukladania údajov,8 s počas experimentov. Z porovnania priebehov už vymenovaných veličín v ľavej a v pravej časti obr. 8.4.4 vidieť, že sa dosiahla pomerne veľmi dobrá zhoda medzi simuláciou a experimentom. Simulované statorové prúdy a rotorové magnetické toky sledujú reálne hodnoty (resp. vypočítané hodnoty) len s malým oneskorením a to isté je možné konštatovať aj o uhlovej rýchlosti rotora. 8

.5.5 [A], [Vs] i α Ψ α Ψ β.5.5 iα [A], [Vs] ψα ψβ iβ -.5 i β [s] -..4.6.8. a) Statorové prúdy a rotorové magnetické toky - simulácia -.5 [s] -..4.6.8. a) Statorové prúdy a rotorové magnetické toky - experiment [rad/s] ω r [rad/s] ω r 8 6 ω id 8 6 ω id 4 4 - [s].5.5 b) Ideálna ozva a skutočná rýchlosť simulácia - [s].5.5 b) Ideálna ozva a skutočná rýchlosť - experiment Obr. 8.4.4 Ozvy statorových prúdov, rotorových magnetických tokov a uhlovej rýchlosti pri riadení s vonkajšou slučkou v kĺzavom režime 8