Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Ivana Balatinac Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Ivana Balatinac Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi Diplomski rad Voditelj: Doc. dr. sc. Ivan Matić Osijek, 2012.

Sadržaj 1 Uvod 1 2 Povijest brojeva 3 2.1 Egipatska matematika................................. 3 2.2 Babilonska matematika................................. 5 2.3 Grčka matematika................................... 6 2.4 Indijska i Arapska matematika............................. 9 2.5 Matematika novog vijeka................................ 10 3 Prirodni brojevi 12 3.1 Definicija skupa prirodnih brojeva........................... 12 3.2 Teorem rekurzije i jedinstvenost skupa N....................... 14 3.3 Zbrajanje, množenje i uredenost prirodnih brojeva.................. 16 3.3.1 Zbrajanje.................................... 16 3.3.2 Množenje.................................... 18 3.3.3 Uredenost skupa N............................... 21 4 Cijeli brojevi 22 4.1 Definicija skupa cijelih brojeva............................. 22 4.2 Zbrajanje i množenje cijelih brojeva.......................... 22 4.3 Uredenost skupa Z................................... 23 5 Racionalni brojevi 25 5.1 Definicija skupa racionalnih brojeva.......................... 25 5.2 Zbrajanje i množenje racionalnih brojeva....................... 25 5.3 Uredenost skupa Q................................... 27 5.4 Skup cijelih brojeva kao podskup skupa racionalnih brojeva............. 28 6 Realni brojevi 29 6.1 Dedekindovi rezovi................................... 29 6.1.1 Skup rezova R.................................. 30 6.1.2 Relacija uredaja na skupu R.......................... 31

6.1.3 Zbrajanje na skupu R............................. 31 6.1.4 Množenje na skupu R.............................. 31 6.2 Geometrijski pristup definiranju realnih brojeva................... 32 6.3 Intervali......................................... 33 6.4 Apsolutna vrijednost realnog broja.......................... 34 6.5 Skup iracionalnih brojeva............................... 37 Literatura 39 Sažetak 40 Title and summary 41

1 1 Uvod Razvoj matematike vezan je za razvoj ljudskog društva. Simboli za brojeve pronadeni su u najranijim ostacima ljudskog pisanja. Čak i iz ranog kamenog doba našli smo ih u obliku ureza na kostima ili kao oznake na zidovima pećina. To je bilo doba kada je čovjek živio kao lovac i danas samo možemo nagadati jesu li neke oznake bile namjenjene kao oznake za broj lovina. Ljudi nisu oduvijek znali brojati na način kako danas brojimo. Prošlo je mnogo godina dok ljudi nisu počeli uvoditi pojam broja. U početku se brojanje svodilo na usporedivanje elemenata nekog skupa sa elementima poznatog skupa. U svakodnevnoj komunikaciji ljudi su upotrebljavali riječi kojima su predstavljali odredene brojeve. Te brojeve je trebalo nekako označiti. U početku su za označavanje služili kamenčići, prsti, školjke ili neki drugi predmeti. Brojevi su se označavali na razne načine: čvorovi na konopcu (Sl. 1.), horizontalne ili vertikalne crte urezane u glini, na drvetu, na jelenskim rogovima. Oblik i izgled znakova za brojeve ovisili su o priboru za pisanje kao i o materijalu na kojem se pisalo. Slika 1: Čvorovi na konopcu Prvi znaci za brojeve bili su crteži predmeta ili životinja. Put do današnjeg načina zapisivanja brojeva bio je dug, spor i nimalo jednostavan. Danas razlikujemo nekoliko vrsta brojeva. S prirodnim brojevima se upoznajemo već u osnovnoj školi, no tada mislimo da svojstva koja imaju neki prirodni brojevi imaju i svi prirodni brojevi. Tako smo npr. uvjereni da možemo zbrojiti ili oduzeti bilo koja dva prirodna broja. Skup prirodnih brojeva označavamo s N i on je temelj za izgradnju svih ostalih skupova brojeva. Oduzimanje ne može biti izvedivo u skupu prirodnih brojeva. Dok su negativni brojevi u početku bili tretirani oprezno, kao fiktivni izrazi, Leopold Kronecker 1 je u 19. stoljeću opisao 1 Leopold Kronecker (1823. - 1891.), njemački matematičar koji se bavio teorijom brojeva i algebrom.

2 cijele brojeve kao prirodna polazišta za razvoj koncepta broja. Poznata je njegova izreka Bog je stvorio cijele brojeve, a sve ostalo je djelo čovjeka. Prema Dedekindu 2 ni pozitivni brojevi nam nisu dani po prirodi, nego su to slobodne kreacije ljudskog uma. Algebarski gledano, to je pitanje proširenja aditivne polugrupe prirodnih brojeva do grupe cijelih brojeva. Skup cijelih brojeva označavamo sa Z. Dijeljenje, kao operacija inverzna množenju, ne može biti izvedivo u skupu cijelih brojeva. Zbog toga skup cijelih brojeva proširujemo skupom racionalnih brojeva kojeg označavamo sa Q. Razlomci, koji dijeljenje uvijek čine mogućim, već su bili poznati u ranijim vremenima. Nikad nisu bili okruženi misterijama kao negativni brojevi, za koje su mislili da se nalaze ispod ničega. Cijeli broj m može se reprezentirati razlomkom m, pa racionalni brojevi sadrže cijele brojeve, 1 a cijeli brojevi prirodne brojeve, tj. N Z Q. A što je s brojevima koje ne možemo zapisati u obliku razlomka? Takvi brojevi nisu racionalni. Primjer takvog broja je broj 2, koji označava duljinu dijagonale kvadrata stranice duljine jedan. Osim broja 2, poznati su nam i brojevi π = 3.14159265... i e = 2.718281828459.... Te brojeve nazivamo iracionalnim brojevima, a skup iracionalnih brojeva označavamo s I. Iracionalnih brojeva ima beskonačno mnogo. Svaki iracionalni broj je beskonačan, pa ga u računanju zamjenjujemo približnom vrijednošću. Njemački matematičar Stifel (1486. - 1567.) u svom je dijelu Arithmetica integra napisao Kao što beskonačan broj nije broj, tako i iracionalan broj nije istinit broj jer je tako reći skriven pod maglom beskonačnosti. Racionalne i iracionalne brojeve zajedno nazivamo realni brojevi i označavamo s R. Dakle, R = Q I. Pitanje što su realni brojevi riješeno je tek krajem 19. stoljeća i početkom 20. stoljeća. 2 Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831. - 1916.), njemački matematičar koji se bavio algebrom (teorijom prstena), teorijom brojeva i realnim brojevima.

3 2 Povijest brojeva 2.1 Egipatska matematika Staroegipatska je matematika jedna od najranijih epoha razvoja te znanosti. Najstarija bilješka o broju je za pet stoljeća starija od prve piramide. O matematici iz uklesanih podataka u kamenu znamo malo. O staroegipatskoj matematici doznajemo ponajviše iz dva papirusa 3 : Ahmesovog ili Rhindovog i Moskovskog. Rhindov papirus je 1858. godine kupio škotski egiptolog Alexander Henry Rhind u Luxoru. To je svitak duljine oko 6 metara i širine oko 50 centimetara. Pisao ga je pisar Ahmes oko 1650 g. pr. Kr., a u njemu navodi da prepisuje starije dokumente, tako da sadržaj vjerojatno predstavlja matematiku poznatu oko 2000. godine pr. Kr. Danas se čuva u British Museumu u Londonu, a sadrži 87 matematičkih problema od kojih se čak 81 problem tiče razlomaka. U papirusu piše da je to jedna kompletna studija o svim stvarima, pogled u unutrašnjost svega što postoji, saznanje o tamnim tajnama. Rhindov papirus je zbirka tablica i vježbi koja je namijenjena uglavnom učenju matematike. Sadrži vježbe iz aritmetike, algebre, geometrije i raznih mjerenja. Slika 2: Ahmesov ili Rhindov papirus Autor Moskovskog papirusa je nepoznat, potječe iz oko 1850. godine pr. Kr. Otkrio ga je 1893. godine V. S. Goleniščev zbog čega se naziva i papirus Goleniščeva. Malo je stariji od 3 Papirus je materijal za pisanje, prenošenje poruka i pohranjivanje znanja sličan današnjem papiru. Oko 2000. godine pr. Kr. pronašli su ga Egipćani. Izradivao se od samonikle močvarne biljke iz doline Nila - trske latinskoga naziva ciperus papyrus.

4 Rhindovog papirusa. Dug je oko 6 metara, širok oko 8 centimetara. Sadrži 25 problema, od kojih mnogi nisu čitljivi. Čuva se u Moskovskom muzeju. Slika 3: Moskovski papirus Pismo starih Egipćana je hijeroglifsko pismo koje spada u skupinu slikovnih pisama. Slika 4: Hijeroglifski brojevi Hijeroglifskim znacima se pisalo po kamenu kako s lijeva na desno, tako i obrnuto, a ponekad i odozgo prema dolje. Različito pisanje ne stvara probleme kod čitanja brojeva jer egipatski način pisanja brojeva nije pozicijski. Kasnije se razvilo pojednostavljeno hijeratsko pismo (svećeničko pismo) koje je uvedeno za brzo pisanje po papirusu, drvu ili lončariji. Slika 5: Hijeratski brojevi

5 Korišteni brojevni sustav je dekadski, s posebnim znakovima za brojeve 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000 i 1000000. Osim četiri osnovne računske operacije, znali su vaditi kvadratne korijene. Množenje i djeljenje Egipćana se svodi na udvostručavanje i zbrajanje. Poznavali su samo jedinične razlomke, tj. razlomke s brojnikom 1. Pisali su ih tako da zapišu nazivnik i iznad njega stave simbol otvorenih usta. Svi razlomci su se zapisivali kao zbroj jediničnih razlomaka, danas se takav zapis naziva egipatski razlomak. Slika 6: Zapis razlomka 1 5 Pisanje brojeva, kao i zbrajanje ili oduzimanje prirodnih brojeva nije više predstavljalo nikakvu poteškoću. Negativni brojevi i ništica još nisu postojali. Egipćani su gotovo 1000 godina prije stvarnog otkrića broja π znali njegovu približnu vrijednost. Po njihovim računima π bi iznosio približno 3.1605. 2.2 Babilonska matematika Mezopotamija je područje izmedu i oko Eufrata i Tigrisa. Govoreći o matematici stare Mezopotamije podrazumijevamo ostavštinu Sumerana, Babilonaca, Asiraca,... Babilonska matematika je naprednija od egipatske. Babilonci su razvili klinasto pismo, urezivali su znakove u pločice od meke gline koje su kasnije pečene na suncu. Mnoge glinene pločice su sačuvane, a na njima se nalaze zadaci i tablice. Slika 7: Glinena pločica

6 Babilonci su koristili seksagezimalni sustav, tj. brojevni sustav s bazom 60. Brojevi su se označavali pomoću dva osnovna klina oblika za 1 i oblika < za 10. Pisalo se s lijeva u desno, a sustav je bio pozicijski bez apsolutne pozicije. Slika 8: Seksagezimalni sustav U početku zapis nije bio jedinstven jer nije bilo oznake za 0. Kasnije se pojavljuje i znak za 0, ali se koristi samo kada je 0 potrebna usred broja. Više razlomaka je imalo konačan zapis jer baza 60 ima više djelitelja od baze 10. Mnogo stotina tablica u klinastom pismu se bavi ili problemima koje bismo danas zvali algebarskim, ili geometrijskim odnosima. Po svemu tome vidimo da je babilonska aritmetika bila visoko razvijena. Babilonci su znali rješavati linearne i kubne jednadžbe, poznavali su Pitagorin teorem i pitagorejske trojke. Opseg kruga i obujam kružnog valjka računali su u starije vrijeme s aproksimacijom 3 za broj π, no kasnije su Babilonci za broj π uzimali aproksimaciju 3.125. Sa svojim vještim i genijalnim metodama izračuna ostavili su znatan utjecaj na kasniji razvoj aritmetike i algebre. 2.3 Grčka matematika Počeci grčke matematike pojavljuju se u Joniji (zapadna Turska), a razvoj se nastavlja u južnoj Italiji. Brojevni sustav Grka u početku je bio sličan egipatskom, ali oko 450. godine pr. Kr. počinju koristiti brojevni sustav koji se sastoji od 24 slova grčke abecede (alfabeta) s 3 dodatna pomoćna simbola, za brojeve 6, 90 i 900. Pomoću tih 27 simbola mogli su pisati brojeve do 1000. Simbol za broj 0 nisu imali. Stavljanjem zareza ispred simbola za neki broj pisali su brojeve od 1000 do 10000. Za brojeve iznad 10 000 koriste simbol M. Brojevni sustav je dekadski, iako nije pozicijski.

7 Slika 9: Grčki brojevni sustav Pitagorejci 4 su vjerovali da je sve broj i da se sve može shvatiti preko brojeva i njihovih omjera. Otkrili su postojanje iracionalnih brojeva. Proučavali su svojstva parnih i neparnih brojeva, savršene i prijateljske brojeve, te razne figurativne brojeve. Figurativni brojevi su prirodni brojevi koje možemo prikazati slaganjem kamenčića u geometrijske likove. Geometrijsko predočavanje prirodnih brojeva točkicama ili kvadratićima omogućuje zorno izvodenje raznih algebarskih svojstava i relacija. Jednom točkicom ili kvadratićem prikazan je broj 1, a slaganjem točkica ili kvadratića u odredene oblike dobivaju se ostali prirodni brojevi. Slika 10: Figurativni brojevi Pitagorejcima je bio problem definirati što je broj. Euklid 5 je u Elementima (knjiga VII, definicija 2) definirao broj kao mnoštvo koje se sastoji od jedinica. Elementi predstavljaju sintezu sve dotad poznate matematike u 13 knjiga. 4 Sljedbenici učenja grčkog filozofa Pitagore (oko 570. - 500. pr. Kr.). 5 Euklid (330. pr. Kr. - 275. pr. Kr.), grčki matematičar, njegovo najznačajnije djelo su Elementi.

8 Prvo sustavno razmatranje racionalnih brojeva nalazi se u VII knjizi Euklidovih Elemenata koja se bavi omjerima prirodnih brojeva. Grci su samo prirodne brojeve smatrali brojevima. Razlomke su shvaćali kao omjere brojeva, a iracionalne brojeve kao odnos izmedu nesumjerljivih veličina u geometriji. Arhimed 6 je prvi precizno definirao interval 223 < π < 22, čija je sredina 3.1418, koja od 71 7 broja π odstupa za približno 0.0002. Hipasus 7 je tvrdio da postoje segmenti linije čiji su elementi nesumjerljivi. Ovo otkriće je dovelo u pitanje jedno od osnovnih načela grčke filozofije, da se sve može izraziti preko cijelih brojeva. Obrada omjera linija segmenata izašla je iz mjerenja zaposlenih u praksi. Segment a linije se mjerio polaganjem jediničnih linija mjere e, jedne za drugom duž linije, onoliko puta koliko je potrebno. a = e } + {{... + e } = m e m Za dva segmenta a 0 i a 1 govorilo se da su sumjerljiva ako se oba mogu izmjeriti sa istom mjerom e, tako da je a 0 = m e i a 1 = n e, m i n su prirodni brojevi. U tom slučaju je omjer segmenata a 0 : a 1 jednak omjeru prirodnih brojeva m : n. Simbol koji su Pitagorejci koristili bio je Pentagram, koji je sadržavao moć i u srednjovjekovnoj astrologiji. Slika 11: Pentagram Hipasus je radeći na Pentagramu otkrio da dvije linije unutar njega nisu sumjerljive. Grčki matematičar Eudoks je stvorio geometrijsku teoriju proporcija koja se bavi s nesumjerljivim i sumjerljivim veličinama. Eudoks kreće od pozitivne geometrijske veličine kao što je 6 Arhimed iz Sirakuze (287. pr. Kr. - 212. pr. Kr.), jedan od trojice najgenijalnijih matematičara svih vremena, bio je vrhunac helenske matematike i najveći fizičar starog vijeka 7 Grčki filozof, rodio se oko 500. godine pr. Kr. u Magna Graciji (jugoistočna Italija).

9 vrsta, npr. linija segmenata a, b,..., ili područja A, B,.... Postavlja da se veličine iste vrste mogu zbrojiti i pretpostavlja da kod zbrajanja vrijede zakoni komutativnosti i asocijativnosti. Grci nikad nisu smatrali racionalne i iracionalne omjere kao proširenje domene prirodnih brojeva. 2.4 Indijska i Arapska matematika Staroindijska matematika bila je pretežno aritmetičko-algebarski orijentirana. Indijci su razvili pravila za provodenje aritmetičkih operacija (zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, kvadriranje, kubiranje, odredivanje kvadratnog ili kubnog korijena) na temelju dekadskog sustava. Koriste dekadski brojevni sustav sa znamenkama 1,..., 9. U 3. st. pr. Kr. pojavljuju se brahmanski brojevi koji su kroz vrijeme modificirani do Gupta-znamenki. Slika 12: Gupta-znamenke Nulu indijci nazivaju sunya što znači praznina, a znak 0 koriste od 4. stoljeća. Indijci su značajni po uvodenju negativnih brojeva. Imali su znakove za pozitivne i negativne brojeve. Uočili su postojanje pozitivnog i negativnog kvadratnog korijena, te nemogućnost vadenja kvadratnog korijena iz negativnog broja. Indijski matematičar Brahmagupta (598. - 670.) je prvi koji je dao sustavan prikaz pravila rada s negativnim (racionalnim) brojevima. Negativne brojeve interpretira kao dug, a pozitivne kao blago (imanje). Matematičar Sridhara (850. - 950.) postavio je aritmetička pravila za operacije s nulom. Indijski način zapisivanja brojki bio je temelj europskom načinu zapisivanja koji je danas jako proširen. No, oni nisu odmah preneseni iz Indije u Europu već je njihov medij bio arapski narod. Do 10. stoljeća u arapskim su se zemljama koristila tri tipa aritmetike. Prvi tip bio je račun na prste koji koriste trgovci i računovode, a brojevi su se pisali riječima. Drugi tip je seksagezimalni sustav kod kojeg se brojevi označavaju arapskim slovima, a koristio se za astronomiju. Posljednji tip aritmetike je indijski dekadski sustav. Znamenke su preuzete iz Indije, ali bez standardnog skupa simbola, u raznim krajevima koristili su se različiti oblici simbola.

10 Slika 13: Arapske znamenke Posljednji sustav omogućio je napredak numeričkih metoda, npr. računanje korijena, otkriće binomnog teorema za prirodne eksponente, aproksimaciju transcendentnih realnih brojeva i računanje n-tih korijena. Arapi su koristili riječ al-sifr za nulu, od koje je došla riječ cifra koja se koristi kasnije. Arapski matematičar Abu Kamil (850. - 930.) znao je raditi sa izrazima koji su uključivali kvadratne korijene koristeći pravila. Jedno od pravila koje je koristio: p + q = p + q + 2 pq Arapi su najpoznatiji po svojim dostignućima u algebri i teoriji brojeva, ali su bitno doprinjeli i geometriji, trigonometriji i matematičkoj astronomiji. 2.5 Matematika novog vijeka Indoarapska aritmetička praksa širila se diljem zapadnog svijeta preko aritmetičkih udžbenika. U renesansno doba omogućila je uspjeh talijanskih matematičara u rješavanju algebarskih jednadžbi. U renesansi se počinje sustavno razvijati matematička notacija. Kao oznake za nepoznanicu i njen kvadrat vrlo su raširene latinske riječi res i census. Prije uvodenja oznaka za računske operacije i relacije koristile su se kratice (ili čak cijele riječi) tih pojmova na latinskom, talijanskom, španjolskom ili nekom drugom jeziku. U 16. stoljeću uvode se oznake +,, =, <, >,. Njemački matematičar Stifel bavio se aritmetikom i algebrom. Kod njega se spominje iracionalnost brojeva, kaže da iracionalni broj ne može biti racionalan, ali može biti izmedu dva racionalna. Promatra samo pozitivne brojeve, a negativne smatra apstraktnim. Rekao je da negativni brojevi nisu samo besmisleno brbljanje, već da nije beskorisno izmisliti brojeve ispod nule, tj. izmisliti fiktivne brojeve koji su manji nego ništa. Euler 8 je formulirao kriterij konvergencije za redove u smislu beskonačnosti. Osim konačnog 8 Leonhard Euler (1707. - 1783.), švicarski matematičar, fizičar i astronom.

11 i stvarnog broja, koji su se koristili u mjerenju, pojavljuju se beskonačni i idealni brojevi. Takvi izrazi su u 19. stoljeću zabranjeni jer su previše neprecizni. Francuski matematičar Cauchy (1789. 1857.) u svom dijelu Cours d analyse formirao je kriterij konvergencije, koji je nazvan po njemu, i smatra se zakonom aritmetike. Slika 14: Augustin-Louis Cauchy Interpretacija omjera kao razlomaka i proširivanja domene cijelih brojeva pojavljuje se u 19. stoljeću. Češki matematičar Bolzano (1781. 1848.) je u svom radu Reine Zahlenlehre razvio teoriju racionalnih brojeva. Centralna ideja koncepta realnog broja, koju je vizualizirao Weierstrass 9, izražena je u smislu načela gniježdenja intervala. Iako su matematičari od početka matematičke znanosti radili sa brojevima i otkrivali teoreme o brojevima, tek je u 19. stoljeću dana pogodna matematička definicija koncepta broja. Nakon Dedekinda i Cantora definirani su realni brojevi kao i skup racionalnih brojeva. Tada je slijedila klasična definicija prirodnih brojeva u smislu logike i teorije skupova. Spoznaja da se proširenje prirodnih brojeva na cijele i racionalne brojeve još uvijek može smatrati temom algebre, usko je povezana s uvodenjem temeljnih algebarskih ideja teorije prstena i teorije polja. 9 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815. 1897.) bio je njemački matematičar koji se često navodi kao otac moderne analize.

12 3 Prirodni brojevi 3.1 Definicija skupa prirodnih brojeva Skup prirodnih brojeva označavamo sa N. Dedekind je skup prirodnih brojeva opisao kao skup koji sadrži istaknuti element 0 zajedno sa funkcijom sljedbenika s: N N, te koji zadovoljava sljedeće aksiome: (D1) s je injekcija, (D2) 0 / s(n), (D3) Ako podskup M N sadrži 0 i preslika se u sebe sama po s, tada je M = N. Funkcija sljedbenika s opisuje proces izgradivanja skupa N. Ideja je da s dodijeli svakom prirodnom broju n njegov sljedbenik s(n). Prvi aksiom nam pokazuje da se u izgradivanju skupa N isti broj ne susreće više puta. Drugi aksiom izražava činjenicu da je 0 početna točka procesa izgradivanja skupa N ili da se 0 nikad nije našla kao sljedbenik u procesu izgradivanja. Treći aksiom je formulacija Principa matematičke ili potpune indukcije. Princip matematičke ili potpune indukcije: Ako 0 posjeduje neko svojstvo m (početak indukcije) i ako, za svaki broj n koji ima svojstvo m, njegov sljedbenik s(n) isto ima svojstvo m (korak indukcije), tada to svojstvo imaju svi prirodni brojevi. Ekvivalentnost ovog načela sa trećim aksiomom se vidi kada se svojstvo m zamijeni s podskupom M brojeva koji posjeduju to svojstvo. Definicija 1. Za skup M kažemo da je beskonačan ako postoji injektivno preslikavanje f : M M takvo da je f(m) M. Ova definicija govori o tome da samo beskonačni skupovi mogu biti injektivno preslikani na jedan od svojih pravih podskupova. Ovu definiciju je dao Dedekind u knjizi Was sind und was sollen die Zahlen?. Umjesto izraza injektivno preslikavanje, Dedekind je koristio izraz preslikavanje sličnosti. Teorem 1. Postoji beskonačan skup ako i samo ako postoji skup N koji zadovoljava aksiome (D1) - (D3).

13 Dokaz: Neka postoji beskonačan skup A. Tada po definiciji postoji injektivno preslikavanje f : A A takvo da je f(a) A. Tada mora postojati element 0 A takav da je 0 / f(a). Neka je I klasa svih skupova M A sa svojstvom 0 M i f(m) M. Vidimo da je I. Možemo definirati M I M. Ovaj skup zadovoljava aksiome (D1) - (D3), ako se uzme f M kao funkcija sljedbenika s. Obratno, ako postoji skup N koji zadovoljava aksiome (D1) - (D3), tada po aksiomima (D1) i (D2) mora postojati beskonačan skup, pa stavimo da je f = s. Dedekind je takoder dokazao postojanje beskonačnog skupa, ali je bio baziran na nekonzistentnom konceptu skupa svih skupova. Govori o jednostavnim beskonačnim sustavima. Konstrukcija N dana u dokazu ovisi o izboru A, f i 0. Talijanski matematičar Giuseppe Peano (1858. - 1932.) opisao je prirodne brojeve pomoću aksioma. (P1) 1 N, (P2) ako je n N, onda je s(n) N, (P3) ako je n N, onda je s(n) 0, (P4) ako je s(m) = s(n), onda je m = n, za brojeve m, n N, (P5) ako je M N i ako vrijedi: 1. 1 M, 2. ako za n M slijedi s(n) M, za svaki n N onda je M = N. Peano je 1889. godine iznio set od 9 aksioma u svojoj knjizi Aritmetices principia nova methodo axposita. Za razliku od Dedekinda, kod Peana je broj 1 bio istaknuti element. Danas skup prirodnih brojeva definiramo pomoću Peanovih aksioma.

14 Definicija 2. Neprazni skup N zove se skup prirodnih brojeva, a njegovi elementi prirodni brojevi, ako vrijede sljedeći aksiomi: (A1) Postoji funkcija s: N N. (A2) Postoji barem jedan element u N, označimo ga s 1, takav da je ( n N)s(n) 1. (A3) Ako je s(m) = s(n), onda je m = n, za brojeve m, n N. (A4) Ako je M N i ako vrijedi: 1. 1 M, 2. ako za ( n N)(n M s(n) M), onda je M = N. Skup N, koji zadovoljava navedena četiri aksioma, ima sva ona svojstva za koja vjerujemo da ih ima skup prirodnih brojeva s kojim se služimo u svakodnevnom životu. Četvrti aksiom koristimo pri dokazivanju teorema i prilikom rekurzivnog definiranja funkcija na N. 3.2 Teorem rekurzije i jedinstvenost skupa N Novi koncepti vezani uz prirodne brojeve su većim dijelom uvedeni rekurzivno, govore o induktivnim definicijama. Neka je A neprazan skup, a A. Pomoću funkcije g : A A definirajmo funkciju ϕ: N A na rekurzivini način: najprije broju 1 pridružimo element a A; tj. definiramo da je ϕ(1) = a. Funkcija g pridružuje elementu a novi element b iz A, a funkcija s broju 1 broj s(1). Sada definiramo da je ϕ(s(1)) = g(a) = b. Taj postupak se nastavlja. Teorem 2. (Teorem rekurzije) (Dedekind 1888.) Neka je A proizvoljan skup koji sadrži a, a A. Neka je g dano preslikavanje g : A A. Tada postoji jedno i samo jedno preslikavanje ϕ: N A takvo da je ϕ(0) = a i ϕ s = g ϕ.

15 Dokaz: Da bi dokazali jedinstvenost preslikavanja ϕ, uzimamo dva preslikavanja ϕ 1 i ϕ 2 iz N u A sa danim svojstvima. Indukcijom po n treba pokazati da za sve n vrijedi ϕ 1 (n) = ϕ 2 (n). Indukcija počinje s ϕ 1 (0) = a = ϕ 2 (0). Po induktivnoj pretpostavci, ϕ 1 (n) = ϕ 2 (n) slijedi da je ϕ 1 (s(n)) = g(ϕ 1 (n)) = g(ϕ 2 (n)) = ϕ 2 (s(n)). Da bi dokazali postojanje preslikavanja ϕ, uzmemo sve podskupove B N A koji imaju sljedeća svojstva: (1) (0, a) B, (2) ako je (n, b) B, tada je (s(n), g(b)) B, za sve n, b. Sa F označimo familiju svih skupova B. Budući da cijeli skup B N A i svi skupovi B sadrže element (0, a), presjek C = B F je najmanji podskup od N A koji zadovoljava svojstva (1) i (2). Tvrdimo da je C slika preslikavanja ϕ: N A i dokazujemo tvrdnju potpunom indukcijom. Neka je (0, a) C. Ako je (0, c) C, c a, tada možemo ukloniti (0, c) iz C. Skup D \ (0, c) bi i dalje imao svojstva (1) i (2), što je u kontradikciji s činjenicom da je C najmanji takav skup. Po induktivnoj pretpostavci postoji samo jedan b takav da je (n, b) C. Po svojstvu (2) imamo (s(n), g(b)) C. Ako su (s(n), c) C i c g(b), tada se jedan od (s(n), c) može ukloniti iz D. Po istoj tvrdnji koja je korištena na početku indukcije, trebali bi doći do kontradikcije. Kada je dokazano da za svaki n N postoji samo jedan b takav da je (n, b) C, C se može opisati kao slika preslikavanja ϕ: N A, D = (n, ϕ(n)) n N. Po svojstvu (1) za C slijedi ϕ(0) = a i po svojstvu (2) slijedi da je (s(n), g(n)) C, pa slijedi da je ϕ s(n) = g ϕ(n), za svaki n. Iz Teorema rekurzije slijedi Teorem jedinstvenosti skupa N. Teorem 3. (Teorem jedinstvenosti) Neka je N skup sa funkcijom sljedbenika s, koji sadrži istaknuti element 0 i zadovoljava aksiome (D1) - (D3). Tada su N i N kanonski izomorfni, odnosno postoji samo jedno bijektivno preslikavanje ϕ: N N takvo da je ϕ(0) = 0 i s ϕ = ϕ s. Dokaz: Po Teoremu rekurzije stavimo da je A = N, a = 0 i ϕ = s. Tada postoji samo jedno preslikavanje ϕ: N N takvo da je ϕ(0) = 0 i ϕ s = s ϕ. Zamijenom uloga N i N, dobivamo

16 preslikavanje ψ : N N takvo da vrijedi ψ(0 ) = 0 i ψ s = s ψ. Trebamo dokazati da je ψ ϕ = id. Koristimo tvrdnju jedinstvenosti rekurzivnog teorema za A = N, a = 0 i g = s. ψ ϕ i id zajedno su preslikavanja φ: N N za koje vrijedi φ(0) = 0 i φ s = s φ, dakle ψ ϕ mora biti jednak identiteti. Slično za ϕ ψ = id. 3.3 Zbrajanje, množenje i uredenost prirodnih brojeva 3.3.1 Zbrajanje Zbrajanje m + n je definirano za svaki fiksan broj m. Počinjemo od m + 1 = s(m) i nastavljamo rekurzivnom formulom m + s(n) = s(m + n). Ovdje primjenjujemo rekurzivni teorem za A = N, a = m, g = s i ϕ(n) = m + n. Slijedi za 1 := s(0) da je m + 1 = s(m) sljedbenik od m. Definirajmo zbrajanje na skupu N. Definicija 3. Funkcija f : N N N za koju vrijedi (1) ( m N) f(m, 1) = s(m), (2) ( m N)( n N) f(m, s(n)) = s(f(m, n)), zove se zbrajanje na skupu N i umjesto f(m, n) pišemo m + n. Brojevi m i n su pribrojnici, a broj m + n je zbroj. Teorem 4. (Asocijativnost zbrajanja) Za proizvoljne brojeve k, m, n N vrijedi (k + m) + n = k + (m + n). Dokaz: Za proizvoljne k, m N s M k,m označimo skup svih prirodnih brojeva n takvih da je (k + m) + n = k + (m + n). Dokažimo da je M k,m = N. Vrijedi: i (k + m) + 1 = f(k + m, 1) = s(k + m), k + (m + 1) = k + f(m, 1) = k + s(m) = f(k, s(m)) = s(f(k, m)) = s(k + m),

17 pa dobivamo da je (k + m) + 1 = k + (m + 1), odnosno, dobili smo da je 1 M k,m. Neka je n M k,m, treba pokazati da je s(n) M k,m. Vrijedi: i Dobivamo: (k + m) + s(n) = f(k + m, s(n)) = s(f(k + m, n)) = s((k + m) + n) k + (m + s(n)) = k + f(m, s(n)) = k + s(f(m, n)) = f(k, s(m + n)) = s(f(k, m + n)) = s(k + (m + n)). (k + m) + s(n) = s((k + m) + n), k + (m + s(n)) = s(k + (m + n)). Po pretpostavci je n M k,m, pa vrijedi (k + m) + n = k + (m + n), pa je tada i Slijedi da je s((k + m) + n) = s(k + (m + n)). (k + m) + s(n) = k + (m + s(n)), pa je s(n) M k,m. Skup M k,m posjeduje sva svojstva potrebna za primjenu aksioma (A4), pa onda slijedi da je M k,m = N, što smo trebali dokazati. Teorem 5. (Komutativnost zbrajanja) Za proizvoljne brojeve k, m N vrijedi k + m = m + k.

18 Dokaz: Za dani k N s K k označimo skup svih prirodnih brojeva m takvih da je k + m = m + k. S K označimo skup svih prirodnih brojeva k takvih da je K k = N. Treba dokazati da su u skupu K svi prirodni brojevi. Po dokazanoj asocijativnosti prirodnih brojeva imamo: 1 + s(m) = 1 + (m + 1) = (1 + m) + 1, Ako je m K 1, vrijedi m + 1 = 1 + m, pa dobivamo 1 + s(m) = (1 + m) + 1 = s(m) + 1, pa je i s(m) K 1. Kako je 1 + 1 = s(1) = 1 + 1, tada je 1 K 1. Po aksiomu (A4) slijedi da je K 1 = N, pa vrijedi 1 N. Uzmimo neki k N takav da je k K, odnosno K k = N. Tada je za bilo koji m N ispunjeno m + k = k + m. Zbog K 1 = N po dokazanoj asocijativnosti zbrajanja prirodnih brojeva slijedi m + s(k) = m + (k + 1) = (m + k) + 1 = (k + m) + 1 = 1 + (k + m) = (1 + k) + m = (k + 1) + m = s(k) + m, odnosno s(k) K. Po (A3) zaključujemo da je K = N, tj. da vrijedi tvrdnja teorema. 3.3.2 Množenje Množenje je operacija višeg reda od zbrajanja. Operacija množenja m n, s fiksnim brojem m može se definirati počevši od m 1 = m rekurzivnom formulom m (n + 1) = m n + m. Definicija 4. Funkcija g : N N N za koju vrijedi (1) ( m N) g(m, 1) = m, (2) ( m N)( n N) g(m, s(n)) = g(m, n) + m,

19 zove se množenje na skupu N i umjesto g(m, n) pišemo mn. Kod umnoška mn brojeve m i n nazivamo faktorima, m je prvi faktor, a n je drugi faktor. Teorem 6. (Asocijativnost množenja) Za proizvoljne brojeve k, m, n N vrijedi k(mn) = (km)n. Dokaz: Za proizvoljne brojeve k, m N definiramo U skupu M k,m je broj 1 jer je M k,m = {n N : k(mn) = (km)n}. k(m1) = km = (km)1. Ako je n M k,m, ako vrijedi k(mn) = (km)n, korištenjem asocijativnosti tada je k(ms(n)) = k(mn + m) = k(mn) + km = (km)n + km = kms(n), pa je s(n) M k,m. Prema aksiomu (A4) slijedi M k,m = N. Teorem je dokazan te za sve prirodne brojeve k, m, n N vrijedi k(mn) = (km)n. Teorem 7. (Komutativnost množenja) Za proizvoljne brojeve m, n N vrijedi mn = nm. Dokaz: Za prizvoljan broj m N definiramo M m = {n N : mn = nm}. Definiramo M = {m N : M m = N}.

20 U skupu M m je broj 1 jer je 1 1 = 1. Ako je n M 1, ako vrijedi 1n = n1, korištenjem distributivnosti imamo 1s(n) = 1(n + 1) = 1n + 1 = n1 + 1 = n + 1 = s(n) = s(n)1, pa je s(n) M 1. Prema aksiomu (A4) slijedi M 1 = N, odnosno 1 M. Pretpostavimo da je m M, tj. M m = N. Treba pokazati da je s(m) M. s(m)n = (m + 1)n = mn + 1n = mn + n1 = nm + n1 = n(m + 1) = ns(m). Zbog s(m)n = ns(m) je M s(m) = N, tj. s(m) M, Prema aksiomu (A4) slijedi M = N. Dakle, pa vrijedi ( m N) M m = N, ( m N)( n N) mn = nm. Teorem 8. (Distributivnost množenja) Za proizvoljne brojeve k, m, n N vrijedi 1. k(m + n) = km + kn, 2. (k + m)n = kn + mn. Dokaz: Za proizvoljne brojeve k, m N definiramo M k,m = {n N : k(m + n) = km + kn}. Znamo da vrijedi k(m + 1) = ks(m) = km + k = km + k 1, pa je broj 1 u skupu M k,m.

21 Ako je n M k,m, tj. ako je k(m + n) = km + kn, korištenjem asocijativnosti dobivamo: k[m + s(n)] = k[m + (n + 1)] = k[(m + n) + 1] = ks(m + n) = k(m + n) + k = km + kn + k = km + ks(n), pa je s(n) M k,m. Prema aksiomu (A4) slijedi M k,m = N. Prva tvrdnja je dokazana jer za sve prirodne brojeve k, m, n N vrijedi k(m + n) = km + kn. Dokaz druge tvrdnje je sličan, pa ga nećemo navoditi. 3.3.3 Uredenost skupa N Uredaj na skupu prirodnih brojeva definiramo na sljedeći način: Definicija 5. Neka su m, n N. Broj m je manji od broja n, tj. m < n ako i samo ako postoji p N takav da je m + p = n. Broj m je manji ili jednak broju n, tj. m n ako vrijedi m < n ili m = n. Za relaciju uredaja vrijedi: 1. Refleksivnost: n n, ( n N). 2. Antisimetričnost: ako je n m i m n, tada je n = m, ( m, n N). 3. Tranzitivnost: ako je n m i m p, tada je n p, ( m, n, p N). Relacija strogog uredaja < je povezana s operacijama zbrajanja i množenja na skupu N: 1. Ako je m = n + p, onda je pa n < m povlači nk < mk. 2. Ako je m = n + p i m = n + p, tada je mk = (n + p)k = nk + pk, k N, m + m = (n + n ) + (p + p ), pa n < m i n < m povlači n + n < m + m. Ovakav uredaj skupa N nazivamo prirodnim uredajem.

22 4 Cijeli brojevi 4.1 Definicija skupa cijelih brojeva Cijeli brojevi se uvode zbog toga što je oduzimanje neizvedivo u skupu prirodnih brojeva. Svaki cijeli broj se može izraziti kao razlika a b, gdje su a i b prirodni brojevi. Iz ovoga se vidi da cijele brojeve treba promatrati kao uredene parove (a, b). Drugi ureden par (c, d) može opisati isti broj a b = c d ako i samo ako vrijedi a + d = b + c. Za cijele brojeve vrijedi: 1. (a b) + (c d) = (a + c) (b + d), 2. (a b)(c d) = (ac + bd) (ad + bc). Stoga ćemo pomoću relacije ekvivalencije na skupu N N definirati skup cijelih brojeva. Definicija 6. Neka je relacija ekvivalencije na skupu N N definirana s (a, b) (c, d) ako i samo ako je a + d = b + c. Skup N N/ nazivamo skupom cijelih brojeva. Skup cijelih brojeva označavamo sa Z, a njegove elemente nazivamo cijelim brojevima. Skup cijelih brojeva Z unija je skupa prirodnih brojeva N, nule i skupa negativnih cijelih brojeva { 1, 2, 3,... }. 4.2 Zbrajanje i množenje cijelih brojeva Na skupu cijelih brojeva možemo definirati zbrajanje i množenje: (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d), (a, b)(c, d) := (ac + bd, ad + bc). Kao kod skupa prirodnih brojeva N, i u skupu cijelih brojeva Z vrijede komutativnost, asocijativnost i distributivnost. Skup cijelih brojeva sadrži element 0, kojeg zovemo neutralni element za zbrajanje i vrijedi: a + 0 = 0 + a = a za svaki a Z, 0 je jedini element s ovim svojstvom.

23 Neutralni element za množenje kod cijelih brojeva je element 1. Cijeli broj b je inverz cijelog broja a ako vrijedi: a + b = b + a = 0 Element b nazivamo suprotnim ili inverznim elementom elementa a, on je jedinstveno odreden i označavamo ga s b. Kod množenja ne postoji suprotni element jer djeljenje nije definirano u skupu cijelih brojeva. Zbroj b + ( a) piše se kao b a i zove se razlika elemenata b i a. Cijeli brojevi tvore komutativnu grupu s obzirom na zbrajanje. Njen neutralni element je broj nula, a suprotni element od a je a. Definicija 7. Grupa (G, ) se sastoji od nepraznog skupa G i binarne operacije : G G G, koja zadovoljava sljedeće aksiome: (G1) Zatvorenost binarne operacije : ( x, y G) x y G, (G2) Binarna operacija je asocijativna: ( x, y, z G) (x y) z = x (y z), (G3) U G postoji neutralni element e: ( x G) x e = e x = x, (G4) U G postoji inverzni element x od x: ( x G) x x = x x = e. Za grupu (G, ) kažemo da je komutativna ili Abelova 10 ako vrijedi i komutativnost: (G5) ( x, y G) x y = y x. 4.3 Uredenost skupa Z Relaciju uredaja na skupu Z definiramo na sljedeći način: a b ako i samo ako b a N. Za svaka tri cijela broja a, b i c vrijedi: a < b b < c = a < c. Za relaciju uredaja kod cijelih brojeva, kao i kod prirodnih, vrijede refleksivnost, antisimetričnost i tranzitivnost. 10 Niels Henrik Abel (1802. - 1829.) bio je norveški matematičar. Poznat je po radovima na polju više algebre, teorije grupa, integralnog računa i teorije eliptičnih funkcija.

24 Teorem 9. Za elemente skupa Z vrijedi: 1. (a > 0 b > 0) = (a + b > 0), 2. (a > 0 b > 0) = (ab > 0), 3. (a < 0 b < 0) = (ab > 0), 4. (a > 0 b < 0) = (ab < 0), 5. (a < b) = ( c Z)(a + c < b + c), 6. ab = 0 = (a = 0 b = 0), 7. a 0 = a 2 = a a > 0, 8. (ab = ac a 0) = b = c. Dokaz: Dokažimo samo drugu tvrdnju. Neka je τ funkcija projekcije vezana uz relaciju ekvivalencije na skupu N N, tj. projekcija τ svakom uredenom paru prirodnih brojeva (a, b) pridružuje odgovarajući cijeli broj. Neka je Z + = {τ(n + 1, 1) : n N}, Z = {τ(1, n + 1) : n N}, Z 0 = {0}. Neka su a, b Z takvi da je a > 0 i b > 0, znači da je a Z + i b Z +. Postoje m, n N takvi da je a = τ(m + 1, 1), b = τ(n + 1, 1). Izračunajmo ab = τ(m + 1, 1)τ(n + 1, 1) = τ((m + 1)(n + 1) + 1 1, (m + 1) 1 + 1 (n + 1)) = τ(mn + m + n + 1 + 1, m + 1 + n + 1) = τ(mn + 1, 1). Dokazali smo da je ab > 0 jer je τ(mn + 1, 1) Z +.

25 5 Racionalni brojevi 5.1 Definicija skupa racionalnih brojeva Skup racionalnih brojeva uveden je jer operacija dijeljenja nije uvijek moguća na skupu cijelih brojeva. Racionalni broj je broj koji je nastaje dijeljenjem dva cijela broja. Može se napisati u obliku razlomka a, gdje je a brojnik i b 0 nazivnik, ili u obliku decimalnoga broja. b Definicija 8. Neka je relacija ekvivalencije na skupu Z Z \ {0} definirana s (a, b) (c, d) ako i samo ako je ad = bc. Skup Q = Z Z \ {0}/ nazivamo skupom racionalnih brojeva. Skup racionalnih brojeva označavamo sa Q. Za skup racionalnih brojeva vrijedi: a b = c d ad = bc. 5.2 Zbrajanje i množenje racionalnih brojeva Na skupu racionalnih brojeva, kao i na skupu cijelih brojeva, možemo definirati zbrajanje i množenje: (a, b) + (c, d) := (ad + bc, bd), (a, b)(c, d) := (ac, bd). Operacije zbrajanja i množenja racionalnih brojeva defnirane su pomoću zbrajanja i množenja cijelih brojeva. Zbrajanje i množenje su komutativne i asocijativne operacije na skupu racionalnih brojeva. Množenje je i distributivno prema zbrajanju na Q. Skup racionalnih brojeva, kao i skup cijelih brojeva, sadrži neutralne elemente za zbrajanje i množenje. Kao i kod cijelih brojeva, za zbrajanje je to element 0, a za množenje element 1. S obzirom na zbrajanje racionalnih brojeva, za svaki broj x = p postoji suprotni ili inverzni q element y = p koji je jedinstveno odreden: q x + y = y + x = 0.

26 Kod operacije množenja svaki racionalni broj x = p 0 ima inverzni element q x 1 ( jednak q p za p > 0 ili q za p < 0). p x x 1 = x 1 x = 1. Skup racionalnih brojeva sa zbrajanjem i množenjem čini polje. Definicija 9. Kažemo da je skup K polje ako na tom skupu imamo definirane dvije binarne operacije, zbrajanje i množenje, +: K K K, (x, y) x + y, : K K K, (x, y) x y, takve da vrijede sljedeća svojstva za sve elemente x, y, z K: (1) Asocijativnost zbrajanja: (x + y) + z = x + (y + z), (2) neutralni element za zbrajanje: postoji jedinstveni element 0 K takav da je x + 0 = 0 + x = x, (3) suprotni element za zbrajanje: za svaki x postoji jedinstveni element x K takav da je x + ( x) = ( x) + x = 0, (4) komutativnost zbrajanja: x + y = y + x, (5) asocijativnost množenja: (x y) z = x (y z), (6) neutralni element za množenje: postoji jedinstveni element 1 K takav da je x 1 = 1 x = x, (7) recipročni element za množenje: za svaki x 0 postoji jedinstveni element x 1 K takav da je x (x 1 ) = (x 1 ) x = 1, (8) komutativnost množenja: x y = y x, (9) distributivnost množenja prema zbrajanju: x (y + z) = x y + x z.

27 5.3 Uredenost skupa Q Za racionale brojeve x = p q i y = r s definiramo relaciju uredaja: x y ako i samo ako je p s r q. Relacija uredaja na skupu racionalnih brojeva ima niz svojstava naslijedenih od relacije uredaja na skupu cijelih brojeva: svaka su dva racionalna broja usporediva i relacija je antisimetrična i tranzitivna. Relacija je uskladena s operacijama zbrajanja i množenja na skupu racionalnih brojeva. Zbog svih navedenih svojstava kažemo da je skup racionalnih brojeva Q uredeno polje. Definicija 10. Za uredeni skup (S, <) kažemo da je gust ako izmedu svaka dva elementa skupa S postoji treći element skupa S, tj. ako vrijedi Teorem 10. Skup Q je gust. ( a S)( b S)(a < b ( c S)(a < c < b)). Dokaz: Neka su x, y proizvoljni elementi skupa Q za koje vrijedi x < y. Ako definiramo vrijedit će x < z < y. z = x + y 2 Q,

28 5.4 Skup cijelih brojeva kao podskup skupa racionalnih brojeva Cijele brojeve m Z možemo shvatiti kao racionalne brojeve predstavljene razlomcima m 1. Uočimo da vrijedi: m + n m + n 1 m n m n 1 = m 1 + n 1, = m 1 n 1. Kod relacije uredaja vrijedi: m n u Z ako i samo ako je m 1 n 1 u Q. Zbog toga skup cijelih brojeva Z shvaćamo kao podskup skupa racionalnih brojeva Q Z Q s operacijama zbrajanja i množenja racionalnih brojeva i relacijom uredaja na racionalnim brojevima. Kaže se još da operacije zbrajanja i množenja i relacija uredaja na skupu racionalnih brojeva proširuju operacije zbrajanja i množenja i relaciju uredaja na skupu cijelih brojeva.

29 6 Realni brojevi 6.1 Dedekindovi rezovi Osim što je skup racionalnih brojeva Q polje uz standardne operacije zbrajanja i množenja, na skupu Q postoji i uredajna struktura. Pokazali smo da je skup Q ureden i pri tome taj uredaj ima ova svojstva: (a) ( x Q)( y Q)( z Q)(x y y z x z) (tranzitivnost relacije ), (b) ( x Q)( y Q)(x y y x x = y) (antisimetričnost relacije ), (c) ( x Q)( y Q)(x y y x) (usporedljivost), (d) ( x Q)( y Q)( z Q)(x y x + z y + z), (e) ( x Q)( y Q)(0 x 0 y 0 x y). Kažemo da je skup Q uredeno polje. U skupu Q vrijedi i (f) ( x Q)( y Q)(0 < x 0 y ( n N)y nx), pa skup Q nazivamo arhimedskim poljem. Definicija 11. Neka je S ureden skup, A njegov podskup. Kažemo da je skup A omeden (ograničen) odozgo ako postoji barem jedan element s skupa S (zvan majoranta) takav da je za svaki element x skupa A ispunjeno x s. Kažemo da je skup A omeden odozdo ako postoji barem jedan element r skupa S (zvan minoranta) takav da je za svaki element x skupa A ispunjeno d x. Kažemo da je A omeden skup ako postoje elementi r, s skupa S takvi da je za svaki element x skupa A ispunjeno r x s. Definicija 12. Za skup (K, +,, ) kažemo da je skup realnih brojeva ako i samo ako su zadovoljeni sljedeći aksiomi: (R1) (K, +, ) je polje. (R2) je linearna relacija uredaja na K, kompatibilna sa zbrajanjem i množenjem.

30 (R3) Potpunost: Svaki neprazan podskup M od K, ograničen odozdo, ima infimum u K. Definicija 13. Donja granica s nekog uredenog skupa M je infimum od M (inf M) ako su sve donje granice od M s. Inf M je najveća donja granica od M 6.1.1 Skup rezova R Dedekindov rez je ureden par (α, β) dva skupa α, β Q koji zadovoljava uvjete: (1) Svaki racionalan broj pripada jednom od dva skupa α, β. (2) α i β su neprazni skupovi. (3) Svaki element iz α je manji od svakog elementa iz β. (4) β nema minimum. Svaki rez je jedinstveno odreden s njegovim lijevim i desnim skupom od kojih jedan odreduje drugi. Skup α je lijevi skup, a skup β je desni skup. Desni skup β ima sljedeća svojstva: (1 ) Skup β i njegov komplement β = Q \ β su neprazni. (2 ) Ako je r β, s Q i r < s, tada je s β. (3 ) β nema minimum. Dalje ćemo koristiti samo grčka slova α, β,... za označavanje desnog skupa, kojeg ćemo zvati Dedekindov rez. Sa R označavamo skup svih Dedekindovih rezova. Svaki racionalan broj s definira rez: s = {r Q s < r}. Rez α je racionalan ako i samo ako α ima najveći element (maksimum). Q je uložen u R preslikavanjem Q R, s s. Racionalne brojeve možemo shvatiti kao rezove, a skup racionalnih brojeva kao podskup skupa realnih brojeva: Q R, vidjet ćemo kako operacije zbrajanja i množenja na R proširuju operacije zbrajanja i množenja na Q. Nisu svi rezovi racionalni. Na primjer, pomoću 2 dobivamo rez α = {r : r Q, r > 0, r 2 > 2} koji nije racionalan.

31 6.1.2 Relacija uredaja na skupu R Za bilo koja dva reza (mislimo na desne skupove) relacija uredaja α < β je definirana sa β α. Za relaciju uredaja vrijede refleksivnost, tranzitivnost i antisimetričnost. Uredaj je potpun. Pretpostavimo da je α β i neka je r α i r / β. Tada je r β i za svaki s β slijedi da je r < s i zbog toga je s α, odnosno β α. Ulaganje skupa Q u skup R je kompatibilno s relacijom uredaja. Racionalni brojevi su gusti u R: za dana bilo koja dva reza α i β, postoji neki r Q takav da je α < r < β. 6.1.3 Zbrajanje na skupu R Za bilo koja dva reza α i β u R, suma α + β je definirana kao skup {r + s : r α, s β}. Svojstva (1 ) - (3 ) vrijede i za zbrajanje α + β, pa je onda α + β R. Na podskupu Q od R suma se podudara s uobičajenim zbrajanjem racionalnih brojeva. Kod relacije uredaja je jasno da ako su α, β bilo koja dva reza takva da je α < β, onda za svaki γ koji pripada skupu realnih brojeva vrijedi: α + γ < β + γ. Zbrajanje rezova naslijeduje svojstva zbrajanja racionalnih brojeva: asocijativnost i komutativnost. Neutralni element za zbrajanje je Inverzni element za zbrajanje je 6.1.4 Množenje na skupu R 0 = {r Q r > 0}. α = { r : r α, r maxα}. U slučaju kada su α 0, β 0, produkt je definiran na ovaj način: α β = {r s : r α, s β}. Množenje α β zadovoljava aksiome (1 ) - (3 ) za rez. Množenje je asocijativno, komutativno i distributivno u odnosu na zbrajanje. 1 je jedinični element 1 = {r Q r > 1}. Množenje, kako je definirano, čuva uredaj. Ako su α, β bilo koja dva reza takva da je α < β, onda za svaki γ koji pripada skupu realnih brojeva vrijedi: α γ < β γ.

32 Ako je α > 0, inverzni element za množenje definiramo na ovaj način: α 1 = {r 1 : r α, r > 0, r maxα}. Inverzni element α 1 je takoder rez, te je α α 1 = 1. Preostaje definirati α β za proizvoljne rezove α i β. Ranije dana definicija α β prolazi samo u slučaju α 0 i β 0 jer u suprotnom ne definira rez. Može se pokazati da se svaki rez γ može zapisati u obliku razlike dvaju nenegativnih rezova α i β, odnosno γ R, tada je γ = α β, α R, β R, α 0, β 0. Neka su γ i γ dva reza, te neka je γ = α β, γ = α β, α 0, β 0, α 0, β 0, tada definiramo: γ γ = (α β)(α β ) := α α + β β α β β α, a svi ovi produkti su definirani ranije. Direktno se vidi da ovako definirano množenje ne ovisi o odabiru α i β, te α i β. Ukoliko je γ 0, stavimo α = γ i β = 0, te se u tom slučaju nova definicija podudara sa starom. Zbog svih navedenih svojstava, kažemo da skup R uz +,, čini uredeno polje. 6.2 Geometrijski pristup definiranju realnih brojeva Skup realnih brojeva možemo predočiti pomoću pravca p u euklidskoj ravnini na kojem su izabrane medusobno različite točke 0 i 1. Svakom realnom broju odgovara jedna točka brojevnog pravca i obratno, svakoj točki brojevnog pravca odgovara jedan realan broj. Zbroj A + B realnih brojeva A, B p definiramo tako da izmjerimo usmjerenu dužinu 0B i prenesemo njen početak na točku A. Kraj te prenesene usmjerene dužine je zbroj A + B. a) Točke A i B na pravcu p b) Zbroj A + B točaka A i B Slika 15: Geometrijski definirana operacija zbrajanja

33 Množenje A B realnih brojeva A i B definiramo na ovaj način: Neka su A, B p. Odaberimo drugi pravac q p koji pravac p siječe u točki 0. Na pravcu q odaberemo točku 1 tako da su duljine 01 i 01 jednake, te točku B q tako da su duljine 0B i 0B jednake. Treba paziti da su 1 i B na istoj strani pravca q u odnosu na 0 ako i samo ako su 1 i B na istoj strani pravca p u odnosu na 0. Povučemo pravac r kroz točke 1 q i A p i njemu paralelan pravac s kroz točku B q. Pravac s siječe pravac p u točki S, koja je umnožak S = A B p. Slika 16: Geometrijski definirana operacija množenja Geometrijski definirane operacije zbrajanja i množenja su asocijativne i komutativne i množenje je distributivno u odnosu na zbrajanje. Obje operacije imaju neutralne elemente 0 i 1. Kod zbrajanja svaki realni broj A ima suprotni element A, a kod množenja svaki realni broj A 0 ima recipročni element A 1. Nanosimo li više puta usmjerenu dužinu 01, počevši od točke 0, dobivamo brojeve 1, 2, 3,... iz čega slijedi da je N R. Ako usmjerenu dužinu 01 nanosimo na drugu stranu, dobivamo brojeve -1, -2, -3,..., pa slijedi da je Z R. Takoder možemo konstruirati i racionalne brojeve, a to znači da je Q R. 6.3 Intervali Intervali su skupovi realnih brojeva koji imaju svojstvo da njihovi elementi zadovoljavaju odredene nejednakosti. Intervali mogu biti: Zatvoreni interval ili segment realnih brojeva [a, b], odreden s dva realna broja a, b takva da je a b, je skup svih x R za koje vrijedi a x b, tj. [a, b] = {x R : a x b}.

34 Otvoreni interval realnih brojeva (a, b), odreden s dva realna broja a, b takva da je a < b, je skup svih x R za koje vrijedi a < x < b, tj. Poluotvoreni intervali Beskonačni intervali (a, b) = {x R : a < x < b}. (a, b] = {x R : a < x b}, [a, b) = {x R : a x < b}, (, a) = {x R : x < a}, (, a] = {x R : x a}, (a, ) = {x R : x > a}, [a, ) = {x R : x a}. Otvorena okolina realnog broja a je svaki otvoreni interval realnih brojeva koji sadrži broj a. Simetrična otvorena okolina realnog broja a je otvoreni interval kome je a sredina. Simetrične okoline broja a su oblika (a ε, a + ε) i nazivamo ih ε - okolinama broja a. 6.4 Apsolutna vrijednost realnog broja Skup realnih brojeva R možemo zapisati kao R = R {0} R +. Skup R + = {x R : x > 0} = (0, + ) zove se skup pozitivnih realnih brojeva, a njegove elemente nazivamo pozitivnim realnim brojevima. Skup R + {0} = {x R : x 0} = [0, + ) zove se skup svih nenegativnih realnih brojeva. Skup R = {x R : x < 0} = (, 0) zove se skup negativnih realnih brojeva, a njegove elemente nazivamo negativnim realnim brojevima. Očigledno je R R + = R {0} = R + {0} =. Definicija 14. Funkcija : R R + {0} definirana s { x, x 0 x = x, x < 0 zove se apsolutna vrijednost (modul).

35 Broj x nazivamo apsolutna vrijednost broja x. Teorem 11. Za apsolutnu vrijednost vrijedi: 1) ( x R)( a R + )( a x a x a). 2) ( x R)( y R) x + y x + y. 3) ( x R)( y R) x y x y. 4) ( x R)( y R) x y = x y. 5) ( x R)( y R \ {0}) = x x y y. Dokaz: Dokažimo tvrdnje teorema. 1) Neka vrijedi a x a. Ako je x < 0, onda je x = x ( a) = a. Ako je x 0, onda je x = x a. Obrnuto, neka vrijedi x a. Ako je x < 0, onda je x a. Kada x = x a pomnožimo s 1, dobivamo x a, pa je a x a. Ako je x 0, zbog a > 0 je a x. Kako je x = x a, dobivamo a x a. 2) Za svaki x, y R vrijedi x x, x y. Ako je x + y 0, tada je Ako je x + y < 0, tada je 3) Iz dobivamo tj. x + y = x + y x + y. x + y = (x + y) = x y x + y = x + y. x = y + (x y) y + x y x y x y, x y x y.

36 4) Imamo četiri slučaja. Ako je x 0 i y 0, tada je x y 0, pa vrijedi x y = x y = x y. Ako je x < 0 i y < 0, onda je x = x i y = y. Tada je x y > 0, pa vrijedi x y = x y = ( x) ( y) = x y. Ako je x 0 i y < 0, tada je x y 0, pa vrijedi x y = (x y) = x ( y) = x y. Ako je x < 0 i y 0, tada je x y 0, pa vrijedi x y = (x y) = ( x) y = x y. 5) Tvrdnju x y = x možemo zapisati u obliku umnoška y x 1 y = x 1 y. Uvijek je 1 = 1, pa apsolutna vrijednost u izrazu 1 y ovisi o y, pa možemo pisati Vrijedi x 1 y = x 1 y = x 1 y = x y. 1 y = 1 y. Teorem 12. Funkcija d: R R R definirana za sve x, y R izrazom d(x, y) = x y ima svojstva: 1) ( x R)( y R)d(x, y) 0. 2) ( x R)( y R)(d(x, y) = 0 x = y).