1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3
Catedra de Matematică 2011
Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2 (x) + + a 1n y n + f 1 (x) y 2 (x) = a 21y 1 (x) + a 22 y 2 (x) + + a 2n y n + f 2 (x) y n(x) = a n1 y 1 (x) + a n2 y 2 (x) + + a nn y n + f n (x) (1) unde f i sunt funcţii continue pe intervalul (a, b).
Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2 (x) + + a 1n y n + f 1 (x) y 2 (x) = a 21y 1 (x) + a 22 y 2 (x) + + a 2n y n + f 2 (x) y n(x) = a n1 y 1 (x) + a n2 y 2 (x) + + a nn y n + f n (x) (1) unde f i sunt funcţii continue pe intervalul (a, b).
Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2 (x) + + a 1n y n + f 1 (x) y 2 (x) = a 21y 1 (x) + a 22 y 2 (x) + + a 2n y n + f 2 (x) y n(x) = a n1 y 1 (x) + a n2 y 2 (x) + + a nn y n + f n (x) (1) unde f i sunt funcţii continue pe intervalul (a, b).
Notăm Y (x) = y 1 (x) y 2 (x) y n (x) F(x) = f 1 (x) f 2 (x) f n (x) A = (a i,j ), i, j = 1,, n. Sistemul devine Y (x) = AY (x) + F(x). (2)
Sistem liniar omogen Dacă F = 0 atunci sistemul se numeşte omogen. Definiţia Soluţiile Y 1,, Y n formează un sistem fundamental de soluţii pentru sistemul omogen dacă W (x) = W (x) se numeşte wronskian. y 1,1 y 1,2 y 1,n y 2,1 y 2,2 y 2,n y n,1 y n,2 y n,n 0
Soluţia generală Teorema Soluţia generală a sistemului liniar este de forma Y = c 1 Y 1 + + c n Y n + Y p unde Y 1,, Y n formează un sistem fundamental de soluţii ale sistemului omogen, iar Y p este o soluţie particulară.
Problema Cauchy Problema Cauchy inseamnă determinarea unei soluţii a sistemului diferenţial liniar care să satisfacă condiţiile iniţiale y 1 (x 0 ) = y 1,0 y n (x 0 ) = y n,0 (3)
Metoda eliminării Metoda constă în derivări succesive ale ecuaţiilor şi eliminarea a n 1 funcţii necunoscute; se ajunge la o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul n.
Exemple Metoda eliminării 1. Să se rezolve sistemul { y 1 = y 2 y 2 = y 1 2. Să se rezolve sistemul y 1 = y 2 + y 3 y 2 = y 1 + y 3 y 3 = y 1 + y 2 Determinaţi un sistem fundamental de soluţii.
Să se rezolve problema Cauchy y 1 + 3y 1 + 4y 2 = 2x y 2 y 1 y 2 = x y 1 (0) = 0 y 2 (0) = 0
Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale Presupunem că matricea A admite formă diagonală. Există o bază de vectori proprii şi o matrice notată D care are pe diagonală valorile proprii, astfel că are loc D = C 1 AC. (4) unde C este matricea de schimbare de bază.
Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale Presupunem că matricea A admite formă diagonală. Există o bază de vectori proprii şi o matrice notată D care are pe diagonală valorile proprii, astfel că are loc D = C 1 AC. (4) unde C este matricea de schimbare de bază.
Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale Presupunem că matricea A admite formă diagonală. Există o bază de vectori proprii şi o matrice notată D care are pe diagonală valorile proprii, astfel că are loc D = C 1 AC. (4) unde C este matricea de schimbare de bază.
Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale Presupunem că matricea A admite formă diagonală. Există o bază de vectori proprii şi o matrice notată D care are pe diagonală valorile proprii, astfel că are loc D = C 1 AC. (4) unde C este matricea de schimbare de bază.
Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale Considerăm transformarea Y = CU (5) care duce la noi funcţii necunoscute u i, i = 1,..., n. Substituim în ecuaţia (2) şi avem CU = ACU + F(x) (6)
Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale Considerăm transformarea Y = CU (5) care duce la noi funcţii necunoscute u i, i = 1,..., n. Substituim în ecuaţia (2) şi avem CU = ACU + F(x) (6)
Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale Dar matricea C este inversabilă şi obţinem U = C 1 ACU + C 1 F(x) (7) care devine, dacă folosim (4) U = DU + C 1 F(t). (8) Vectorul soluţiilor Y rezultă din rezolvarea sistemului Y (t) = CU(x).
Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale Dar matricea C este inversabilă şi obţinem U = C 1 ACU + C 1 F(x) (7) care devine, dacă folosim (4) U = DU + C 1 F(t). (8) Vectorul soluţiilor Y rezultă din rezolvarea sistemului Y (t) = CU(x).
Exemple Metoda eliminării Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale Rezolvaţi sistemul prin metoda diagonalizării matricei 1. { y 1 + 2y 1 + 4y 2 = 1 + 4x y 2 + y 1 y 2 = 3/2x 2 2. { y 1 = y 1 + y 2 y 2 = y 1 + y 2 + x
Exemple Metoda eliminării Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale Rezolvaţi sistemele prin metoda diagonalizării matricei 1. { y 1 + 2y 1 y 2 = sin x y 2 + 4y 1 + 2y 2 = cos x 2. { y 1 = 7y 1 + y 2 y 2 = 2y 1 5y 2
Matricea e Ax Metoda eliminării Fie A o matrice pătratică; definim matricea exponenţială e Ax = I + xa + x 2 2! A2 + x 3 3! A3 + Matricea e Ax are proprietăţile 1. Toate elementele sunt serii absolut convergente pentru orice x fixat 2. Are loc d dx n (eax ) = A n e Ax, n = 1, 2,
Matricea e Ax Metoda eliminării Fie A o matrice pătratică; definim matricea exponenţială e Ax = I + xa + x 2 2! A2 + x 3 3! A3 + Matricea e Ax are proprietăţile 1. Toate elementele sunt serii absolut convergente pentru orice x fixat 2. Are loc d dx n (eax ) = A n e Ax, n = 1, 2,
Matricea e Ax Metoda eliminării Fie A o matrice pătratică; definim matricea exponenţială e Ax = I + xa + x 2 2! A2 + x 3 3! A3 + Matricea e Ax are proprietăţile 1. Toate elementele sunt serii absolut convergente pentru orice x fixat 2. Are loc d dx n (eax ) = A n e Ax, n = 1, 2,
Presupunem că A este diagonalizabilă. Există deci o matrice C inversabilă şi o matrice diagonală λ 1 0 0 D = 0 λ 2 0 astfel ca 0 0 λ n Observând că A = CDC 1 A n = CD n C 1
Presupunem că A este diagonalizabilă. Există deci o matrice C inversabilă şi o matrice diagonală λ 1 0 0 D = 0 λ 2 0 astfel ca 0 0 λ n Observând că A = CDC 1 A n = CD n C 1
Presupunem că A este diagonalizabilă. Există deci o matrice C inversabilă şi o matrice diagonală λ 1 0 0 D = 0 λ 2 0 astfel ca 0 0 λ n Observând că A = CDC 1 A n = CD n C 1
Presupunem că A este diagonalizabilă. Există deci o matrice C inversabilă şi o matrice diagonală λ 1 0 0 D = 0 λ 2 0 astfel ca 0 0 λ n Observând că A = CDC 1 A n = CD n C 1
Avem e Ax = I +(CDC 1 )x + (CD 2 C 1 ) x 2 C(I + Dx + D 2 x 2 = C 2! + + Dn x n e λ 1x 0 0 0 e λ 2x 0 0 0 e λnx 2! + +(CDn C 1 ) x n n! + )C 1 = C 1 n! + =
Rezolvarea sistemelor diferenţiale liniare Fie sistemul diferenţial Vectorul Y (x) = AY (x) Y (x 0 ) = Y 0 Y (x) = e Ax Y 0 este soluţia problemei iniţiale Cauchy, deoarece dy dx = d dx (eax )Y 0 = Ae Ax Y 0.
Rezolvarea sistemelor diferenţiale liniare Fie sistemul diferenţial Vectorul Y (x) = AY (x) Y (x 0 ) = Y 0 Y (x) = e Ax Y 0 este soluţia problemei iniţiale Cauchy, deoarece dy dx = d dx (eax )Y 0 = Ae Ax Y 0.
Exemple Metoda eliminării Rezolvaţi prin metoda diagonalizării 1. { y 1 = 2y 1 3y 2 y 2 = 6y 1 + 7y 2 2. { y 1 = 3y 1 4y 2 y 2 = 2y 1 + y 2