SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t) σ(t ), t R, c. f(t) e t, t R, d. f(t) σ(t)e at, t R, a >, e. f(t) σ( t)e at, t R, a > ; f. f(t) e a t, t R, a >, g. f(t) a a, + t t R, a >, h. f(t) sin t, t R, i. f(t) cos t, t R, j. f(t) e jt, t R, k. f(t) e jt, t R.. Să se determine transformata Fourier a funcţiei f : R R, f (t) e t. Să se deducă apoi transformata Fourier a funcţiei f : R R, f (t) e at, a >. 3. Dacă f(t) F (ω), să se determine transformatele Fourier ale funcţiilor f (t) f(t) cos at, f (t) f(t) sin at. 4. Calculaţi transformatele Fourier ale următoarelor funcţii: a. f(t) u(t)t 3 e t, t R, b. f(t) e (t 3), t R, c. f (t) e t cos t şi f (t) e t sin t, t R. 5. Fie f : R C o funcţie continuă, absolut integrabilă cu proprietatea că tf este absolut integrabilă. Dacă f(t) F (ω) atunci are loc j F (ω) F[tf](ω). 6. Fie f : R C o funcţie derivabilă pe R astfel încât funcţiile f şi f sunt absolut integrabile pe R. Dacă lim f(t), atunci are loc t F[f ](ω) (jω)f[f](ω).
Daniela Roşu 7. Dacă f : R C este absolut integrabilă pe R, iar F (ω) este transformata sa Fourier să se arate că lim F (ω). ω 8. Fie f : R C o funcţie absolut integrabilă pe R, având transformata Fourier F. Să se arate că, dacă f(t) dt, atunci [ x ] F f(t)dt (ω) jω F (ω). 9. Arătaţi că produsul de convoluţie a două funcţii absolut integrabile este comutativ.. Determinaţi dacă este posibil produsele de convoluţie ale următoarelor funcţii. Calculaţi apoi transformatele Fourier ale acestor produse de convoluţie. a. f(t) g(t) e t, t R, b. f(t) g(t) σ(t)e [ ( t, t R, c. f(t) g(t) σ t + ) ( σ t )], t R.. Rezolvaţi ecuaţia integrală g(ω)e jtω dω f(t) unde t, t < a. f(t), t, t > t, t < b. f(t), t, t >.. Fie f, g : [, + ) C şi fie F c, G c transformatele lor prin cosinus iar F s, G s transformatele lor prin sinus. Să se demonstreze formulele lui Parseval F c (ω)g c (ω) dω f(t)g(t) dt () F s (ω)g s (ω) dω f(t)g(t) dt. () 3. Să se calculeze transformatele Fourier prin cosinus şi prin sinus pentru funcţia f : [, + ) R f(t) {, < t < a, t > a, a > şi, folosind formulele Parseval, să se deducă relaţiile sin at sin bt t dt ( cos at)( cos bt) t dt min{a, b}
Seminar. Transformarea Fourier 3. Soluţii. a. Nu este { absolut integrabilă., t [, ] b. f(t), t [, ] Funcţia este absolut integrabilă şi transformata Fourier este F (ω) c. Nu este absolut integrabilă. + d. F (ω) e (a + jω)t dt a + jω. e. F (ω) e (a jω)t dt a jω. e jωt dt j e jω. ω f. f(t) σ(t)e at + σ( t)e at şi, prin adunarea transformatele precedente, se obţine a a + ω. g. Folosim formula de inversiune, rezultatul precedent şi deducem F (ω) e a ω. + + h., i. sin t dt cos t dt. Integralele de mai sus se numesc integralele lui Fresnel. Demonstrăm convergenţa lor. Considerăm originalul Transformata Laplace este I(x) L[I(x)](s) L[I(x)](s) sin(t x)dt, x >. e sx e sx sin(t x) dx dt ( sin(t x) dt dx L[sin(t x)](s) dt t t t + ( L[I(x)](s) ln t st + s t + t + + arctg. Folosim inversa transformatei Laplace L [ s ] (x) x t t s + t 4 dt. t + t + t + arctg ) dt t + ) + şi obţinem I(x) x iar pentru x găsim sin t dt.
4 Daniela Roşu Deoarece integrantul este o funcţie pară, rezultă j. F (ω) e jt jtω dt e jω 4 sin t dt. e j(t ω ) dt, iar pentru ultima integrală folosim definiţia exponenţialei în complex şi integralele lui Fresnel. Rezultă F (ω) e j 4 ( ω). k. Ca la punctul precedent rezultă F (ω) e j 4 ( ω).. Avem [ F e t] (ω) e ω 4 e t e jωt dt e (t+ ω j) dt. e (t+ ω j) ω 4 dt Dacă notăm z t + ω j integrala se face pe o dreaptă paralelă cu axa x, iar daca folosim teorema lui Cauchy din teoria funcţiilor complexe, alegând drumuri convenabile, rezultă că integrala are aceeaşi valoare cu integrala reală e x dx. Deci F [f (t)] (ω) F [e t] (ω) F (ω) e ω 4. Avem f (t) f ( a t) şi folosind Teorema asemănării, obţinem F [e at] (ω) ( ) ω a F a deci e at a e ω 4. (3) 3. Folosim formula lui Euler cos at ejat + e jat, proprietatea de liniariatate a transformării Fourier şi Teorema deplasării. Rezultă f(t) cos at (ejat f(t) + e jat f(t)) (F (ω ja) + F (ω + ja). Analog, folosim formula lui Euler şi găsim sin at ejat e jat j f(t) sin at j (ejat f(t) e jat f(t)) (F (ω ja) F (ω + ja). j 4. a. Din exerciţiul.d cunoaştem că transformata funcţiei σ(t)e t este +jω. Folosind teorema ( ) de derivare a transformatei rezultă că t 3 σ(t)e t j 3. + jω b. Folosind exerciţiul şi proprietatea ce vizează întârzierea argumentului, găsim transformata e 3jω F (ω), unde F (ω) e ω 4.
Seminar. Transformarea Fourier 5 c. Din exerciţiul.f avem f(t) e t F (ω) iar din exerciţiul şi 3 deducem + ω f (t) f(t) cos t F (ω) (F (ω ) + F (ω + )] + (ω ) + + (ω + ). 5. Avem F (ω) f (t) f(t) sin t F (ω) [F (ω ) + F (ω + )] j j ( + (ω ) + (ω + ) e jωt f(t) dt. Deoarece f(t)e jωt f(t) rezultă că integrala improprie converge uniform în raport cu parametrul ω, iar integrantul este funcţie derivabilă în raport cu parametrul ω. Folosim teorema de derivare a integralelor improprii cu parametru deducem F (ω) jte jωt f(t) dt j Prin multiplicare cu j rezultă formula. 6. Aplicăm formula de integrare prin părţi şi deducem F[f ](ω) f (t)e jωt dt f(t)e jωt + ). te jωt f(t) dt jf[tf](ω). + jω f(t)e jωt dt jωf[f](ω). 7. Fie ε > arbitrar; deorece f este absolut integrabilă există A ε >, astfel ca Are loc F (ω) Aplicăm Lema lui Riemann. A ε f(t) dt + A ε f(t) dt < ε. f(t)e jωt Aε dt f(t) dt + lim ω A ε A ε A ε A ε f(t)e jωt dt, rezultă că există β ε > astfel ca pentru orice ω > β ε avem Aε f(t)e jωt dt A ε < ε. f(t)e jωt dt + În concluzie, pentru ω > β ε rezultă F (ω) < ε, de unde afirmaţia. 8. Folosim formula de integrare prin părţi şi putem scrie x F f(t)dt (ω) x f(t)dt e jωx dx A ε f(t) dt.
6 Daniela Roşu x f(t)dt e jωx jω + 9. Cu substituţia s t y putem scrie (f g)(t) f(s)g(t s)ds f(x) e jωx jω dx jω + f(t y)g(y)dy f(x)e jωx dx jω F[f](ω). f(t y)g(y)dy (g f)(t).. a. Produsul în convoluţie există, funcţiile fiind absolut integrabile pe R. (f g)(t) e t e y e (t y) dy e t e y ty dy e (y+ t ) dy e t. Transformata Fourier a convoluţiei este produsul transformatelor şi, folosind Exerciţiul., obţinem (f g) e ω 4 e ω 4 e ω. b. Funcţiile nu sunt absolut integrabile pe R, totuşi fiind nule pentru t <, există produsul de convoluţie şi acesta este (f g)(t) t e y e t y dy σ(t)te t. Rezultatul nu este funcţie absolut integrabilă pe R, deci nu putem calcula transformata Fourier. [, t, ] c. Funcţiile sunt f(t) g(t) [, t, ] iar produsul în convoluţie este (f g)(t) t f(t y)dy t+ f(x)dx. t+ t (am efectuat schimbarea de variabilă t y x.) Comparând t + şi t cu şi obţinem (f g)(t), t < t +, t < t, t <, t. Deducem apoi [ ( )] ω f g ω sin.. a. g(ω) F[f](ω) ( ω sin ω ω ) ω sin. b. g(ω) F[f](ω) t e jωt dt ( ω ω 3 sin ω + ) ω cos ω.
. Avem F c (ω)g c (ω) dω Analog şi pentru (). 3. Avem g(t) Seminar. Transformarea Fourier 7 F c (ω) F s (ω) F c (ω) F c (ω) cos ωt dω dt a a cos ωt dt sin ωt dt g(t) cos ωt dt dω sin ωa ω, cos ωa. ω f(t)g(t)dt. Aplicăm formulele lui Parseval () şi () pentru funţiile { {, < t < a, < t < b f(t) şi g(t), t > a,, t > b, cu a, b >. de unde Înlocuim în () şi avem Din a doua formulă Parseval avem Pentru a b deducem sin ωa sin ωb ω dω sin ωa sin ωb ω ( cos at)( cos bt) t min{a,b} dt, dω min{a, b}. sin at t dt a. dt min{a, b}.