PRIMER 0. ) Invesior je sklopio forvard ugovor sa dospećem od godinu dana, za kupovinu obveznice čiji je rok dospeća 0 godina, sa kuponima od po 50 EUR koji se isplaćuju svaka 4 meseca. Sadašnja vrednos obveznice je 820 EUR, a ugovorena cena isporuke 020 EUR. Godišnja kamana sopa iznosi 0,4%. a) Kolika je sadašnja vrednos dividendi (diskonovana vrednos)? b) Izračunaje vrednos forvard ugovora i objasnie ša o predsavlja za kraku, ša za dugu poziciju? c) Izračunaje forvard cenu i vrednos forvard ugovora ako je K = F T? a) D 0 = 50 e -0,04 4/2 + 50 e -0,04 8/2 + 50 e -0,04 = 420,023 Ovoliko iznosi sadašnja vrednos diskonovanih prinosa koje bi duga pozicija mogla osvarii da je odmah izvršila kupovinu obveznice. U našem slučaju ovaj iznos se mora uključii kao fakor koji uiče na vrednos forvard ugovora i o na njegovo smanjenje. r b) VK, ( S, τ ) = S D K e τ V K, (S,τ) = 820 420,023 020 e -0,04 = - 59,27 Ovo je vrednos forvard ugovora za dugu poziciju i ujedno predsavlja iznos preuzeog rizika za ovu poziciju šo u binoj meri određuje prodajnu cenu ovog ugovora. S druge srane, vrednos forvard ugovora za kraku poziciju iznosi 59,27. r c) F = ( S D) e τ F = (820 420,023) e 0,04 = 443,8 V K, (S,τ) = 820 420,023 443,8 e -0,04 = 0 Ukoliko se kao ugovorna cena pojavi prehodno izračunaa forvard cena, vrednos forvard ugovora iznosi 0 i na aj način se izjednačavaju preuzei rizici za obe ugovorne srane. 2) Banka je prodala evropsku prodajnu opciju rgovcu B sa rokom dospeća 6 nedelja, koja glasi na 3000 akcija određene kompanije po ceni od 27000 EUR. Sadašnja cena daih akcija iznosi 40 EUR/akcija, a ugovorena cena 30 EUR/akcija. Isorijska godišnja volailnos sope prinosa iznosi 0,37 a kamana sopa na godišnjem nivou iznosi 6,8%. Da li je banka prodala opciju iznad ili ispod eorijske vrednosi? Koliko je profi, odnosno gubiak za obe ugovorne srane ako je cena na dan dospeća 20EUR/akcija? a) Zadaak rešii pomoću binomnog modela vrednovanja u 5 koraka. b) Zadaak rešii pomoću Black Scholes modela vrednovanja opcija. n = 3000 τ = 6/52 = 0,30769 P 0 = 27000/3000 = 9 EUR po akciji S = 40 K = 30 σ = 0,37 r = 0,068 = 0,30769/5 = 0,06538 a) p = 0,5 + 0,5 (0,068 0,5 0,37 2 ) 0,248068/0,37 = 0,49996 p = 0,50004 u = e 0,09785 =,0963
d = 0,923 e -0,0048458 = 0,9958 Tabela za izračunavanje binomnog modela k S k V k K - S 5 22.5320 0.0000 4 202.042 0.0000 3 84.379 0.0000 0.0000 2 68.2098 0.287 0.0000 53.4580 2.0209 0.5654 0.0000 0 40.0000 5.6070 3.7749.349 27.722 9.2350 7.022 2.2779 2 6.523 4.7644 2.940 3 06.3020 22.6280 23.6980 4 96.9792 32.4870 5 88.474 4.5259 Teorijska vrednos premije evropske kupovne opcije koju izračunavamo je 5,607 EUR po akciji. Pošo je ugovorena premija 9 EUR, možemo reći da je banka prodala evropsku prodajnu opciju za 3,393 EUR po akciji. Ukoliko se cena akcije u momenu dospeća smanji na 20 EUR možemo reći da je unirašnja vrednos, odnosno finansijski efeka (K S T ) = 0 EUR po akciji, odnosno kada o umanjimo za isplaćenu premiju od 9 EUR/akcija osaje profi od EUR po akciji šo ujedno predsavlja poziivan finansijski rezula za dugu poziciju (rgovca), odnosno gubiak za kraku poziciju (banku). b) y = - 0,36 y σ τ = - 0,5656 Φ(- y) = 0,3587 Φ( y σ τ ) = 0,2838 r τ d τ ( τ ) = Φ ( ) Φ ( σ τ ) P S, e K y e S y P(S,τ) = 5,9364 Računajući eorijsku vrednos opcione premije pomoću Black Scholes modela dobili smo probližno isu vrednos kao i pomoću binomnog modela. 3) Na osnovu podaaka iz prehodnog primera a) S obzirom na promenu sadržajne cene pronađie neuralnu poziciju za obe ugovorne srane? b) Ukoliko se nakon dve nedelje dana promeni sadržajna cena na 25, izračunai i objasnii novu neuralnu poziciju? c) Izračunai i objasnii oseljivos vrednosi opcije na promenu volailnosi? d) Izračunai i objasnii oseljivos pri promeni kamane sope? d τ a) P = e Φ ( y σ τ ) P = 0,2838
S obzirom da se radi o 0,2838 možemo zaključii da duga pozicija reba da pokrije prisuan manjak od 28,38% od ukupnog broja akcija navedenih u daom opcionom ugovoru, odnosno duga pozicija reba da dokupi (- 0,2838 3000) = 85 akciju ukoliko želi da se nađe u neuralnoj poziciji. Isi ovaj iznos reba da proda kraka pozicija da bi se našla u neuralnoj poziciji. b) τ = 4/52 = 0,2692 S = 25 y = 0,2047 y σ τ = 0, 027 Φ ( 0,027) = 0, 505 P = 0,505 Ukoliko nakon dve nedelje i promenjene cene sadržanih akcija, duga pozicija želi da se ponovo nađe u neuralnoj poziciji moraće da dokupi dodanih (- 0,505 + 0,2838) 3000 = 664 akcija. r τ c) ( ) ν P = e K ϕ y τ π = 3, 46 0,068 0,30769 ν P = e 30 0,374 0,3077 = 26,485 Pri jediničnoj promeni sope volailnosi može se očekivai da će cena prodajne opcije da se promeni za 26,445 novčanih jedinica u isom smeru. Odnosno, pri jednoprocennoj promeni sope volailnosi može se očekivai promena cene prodajne opcije za 26,485/00 = 0,2642 novčanih jedinica u isom smeru. r τ d) ρ = Kre Φ ( y ) P ρ P = 30 0,068 0,9793 0,3587 = 3,053 Pri jednoprocennoj promeni kamane sope može se očekivai promena cene prodajne opcije za 3,053 novčanih jedinica u supronom smeru. 4) Na osnovu zadaih korelograma odredie kakva forma univarijannog modela najviše odgovara posmaranoj vremenskoj seriji? Na osnovu korelograma podaaka koji prai međuzavisnos promenljivih sa kašnjenjem puem dve funkcije, auokorelacione funkcija (acf) i parcijalne auokorelacione funkcija (pacf), moguće je odredii srukurnu formu univarijannog modela koji odgovara daoj vremenskoj seriji. Pravila za umačenje korelograma su: Za AR(p) auoregresivni proces važe pravila, acf ima geomerijsko opadanje sa uključivanjem dodanih kašnjenja, a pacf ima određeni broj vrednosi različiih od nule. Za MA(q) proces pokrenih sredina važe pravila, acf ima određeni broj vrednosi različiih od nule, a pacf ima geomerijsko opadanje. Za ARMA(p,q) važe pravila, obe funkcije (acf i pacf) geomerijski opadaju. Korelogram.
Na apscisnoj osi navedena su kašnjenja. Korelogram. pokazuje da obe funkcije geomerijski opadaju, pa se može reći da daoj vremenskoj seriji odgovara srukurna forma oblika ARMA(,) Y µ + ϕ Y + θ u Korelogram 2. = Korelogram 2. pokazuje geomerijsko opadanje acf, dok pacf ima vrednosi značajno različie od nule za samo dva kašnjenja. Prema ome, od značaja za formiranje budućih vrednosi su samo prva dva kašnjenja, ako da je red budućeg modela 2. Navedena pravila važe za AR(p), a pošo prva dva kašnjenja igraju ulogu u formiranju budućih vrednosi posmarane vremenske serije, možemo reći da se radi o AR(2) procesu Y µ + ϕ Y + ϕ Y = 2 2 Korelogram 3.
0. 0-0. 2 3 4 5 6 7-0.2-0.3 acf pacf -0.4-0.5-0.6 lag Na osnovu korelograma 3. možemo zaključii da acf ima samo za prvo kašnjenje vrednos značajno različiu od nule, dok su preosale vrednosi približno jednake nuli. Tako da je samo prvo kašnjenje od značaja za formiranje budućih vrednosi posmarane vreemenske serije. Pacf ima geomerijsko opadanje. Imajući u vidu ova dva pravila možemo reći da se radi o srukurnoj formi MA() Y µ θ u = 4) Dai su podaci za 623 osmaranja NASDAQ indeksa cena akcija njujorške berze a) na osnovu dole navedenih modela izaberie dva najbolja prema informacionim krierijumima Y = 3,587 + 0,9824Y - AIC = 6,28 SIC = 5,954 R 2 = 0,98 Y =,894 + 0,9834 Y - 0,0587 u - AIC = 6,227 SIC = 5,962 R 2 = 0,938 Y = 2,34 + 0,958 Y - + 0,0876 Y -2 AIC = 6,203 SIC = 5,93 R 2 = 0,889 Y = 9,92 + 0,9288 Y - + 0,056 Y -2 0,033 u - AIC = 6,28 SIC = 5,82 R 2 = 0,94 Y = 0,29 + 0,7828 Y - + 0,598 Y -2 + 0,0392 u - 0,0593 u -2 AIC = 6,22 SIC = 5,92 R 2 = 0,92 b) izvršie previđanje za naredna ri perioda koriseći dva prehodno izabrana modela i na osnovu dole navedenih originalnih podaaka za vrednosi indeksa i njihovih reziduala. Izračunaje vrednosi MSE i MAPE za oba modela i daje konačnu odluku o ome, koji model ima manje greške u predviđanju? Y - NASDAQ u 62 598,25 3,59 622 596,27-0,65 623 608,2 6,8 624 596,29 625 64,64 626 65,97 a) Na osnovu informacionih krierijuma možemo reći da najbolje karakerisike pokazuju sledeće srukurne forme: AR(2) i ARMA(2,)
Ove dve srukurne forme ćemo korisii za predviđanje vrednosi indeksa NASDAQ b) Za AR(2) Y 624,p = 2,34 + 0,958 608,2 + 0,0876 596,27 = 624,68 Y 625,p = 2,34 + 0,958 624,68 + 0,0876 608,2 = 640,89 Y 626,p = 2,34 + 0,958 640,89+ 0,0876 624,68 = 657,8 Za ARMA(2,) Y 624,p = 9,92 + 0,9288 608,2 + 0,056 596,27 0,033 6,8 = 585,68 Y 625,p = 9,92 + 0,9288 585,68 + 0,056 608,2 = 565,68 Y 626,p = 9,92 + 0,9288 565,68+ 0,056 585,68 = 545,94 Tesiranje kvaliea predviđanja Za AR(2) +s svarne predviđene (Y +s P T,s) 2 (Y +s P T,s) / Y +s 624 596.29 624.68 805.992 0.0778 625 64.64 640.89 689.063 0.0626 626 65.97 657.8 698.26 0.0255 Σ - - 393.32 0.05954 MSE = 064,64 MAPE =,9848% Za ARMA(2,) +s svarne predviđene (Y +s P T,s) 2 (Y +s P T,s) / Y +s 624 596.29 585.68 2.572 0.00665 625 64.64 565.68 2397.08 0.03032 626 65.97 545.94 4904.2 0.04334 Σ - - 743.85 0.0803 MSE = 247,28 MAPE = 2,6768% Poređenjem izračunaih greški predviđanja možemo reći da bolji kvalie predviđanja pruža model AR(2). FINANSIJSKA EKONOMETRIJA MODELIRANJE VOLATILNOSTI Sa predavanja 4.. Implicina volailnos Jedna banka je prodala evropsku kupovnu opciju sa rokom 0 nedelja, koja glasi na 20.000 akcija kompanije X rgovcu A, po ceni od 240.000 EUR. Prompna (ekuća) cena sadržanih akcija je 40 EUR/akcija, a ugovorena cena 80 EUR/akcija. Godišnja koninuelna kamana sopa je 5,2%, dividende se ne isplaćuju. Kolika je implicina volailnos? OPIS OZNAKA IZNOS Jedinica mere Opciona premija po akciji C 0 2 EUR Tekuća (počena) cena S =S 0 40 EUR akcije Ugovorena cena K 80 EUR
Vreme do dospeća τ 0/52=0,923 godina Koninuelna kamana sopa r 0,052 Koninuelna sopa dividende d 0 Ieraivni posupak iz formula:. d τ r τ ( τ ) = Φ ( + σ τ) Φ( C S, e S y e K ( ) ( 0 0,923 0,052 0,923 2= e 40 Φ y+σ 0,923 e 80 Φ 2. S 2 ln + r d σ τ K 2 y = σ τ z 2 y 3. Φ ( y ) = e 2 dz 2 π 2 ( ) y = ln 40 + 0,052 0 σ 0,923 σ 0,923 80 2 U sledećoj abeli su prikazani podaci za dnevne koninuelne sope prinosa neke opcije za 23 radna dana okobra 2008. godine. R ( ) 2 R R j j j λ λ ( R R) 2 0.058 0.0252 22 0.2563 0.0065 2-0.3928 0.0853 2 0.2727 0.0233 3 0.470 0.064 20 0.290 0.078 4-0.8878 0.694 9 0.3086 0.92 5-0.3658 0.0702 8 0.3283 0.0230 6-0.6493 0.3009 7 0.3493 0.05 7-0.7558 0.4290 6 0.376 0.594 8-0.7283 0.3938 5 0.3953 0.557 9 0.850 0.9059 4 0.4205 0.380 0 0.8470 0.8984 3 0.4474 0.409 -.76.0339 2 0.4759 0.492 2-0.98 0.0004 0.5063 0.0002 3 0.222 0.037 0 0.5386 0.0558 4 0.5798 0.4632 9 0.5730 0.2654 5-0.2227 0.049 8 0.6096 0.009 6-0.8677 0.588 7 0.6485 0.384 7 0.38 0.054 6 0.6899 0.0373 8-0.6468 0.298 5 0.7339 0.287 9-0.345 0.0457 4 0.7807 0.0357 20.0589.3449 3 0.8306.70 2 0.3476 0.20 2 0.8836 0.777 22 0.947 0.0873 0.9400 0.082 23 0.333 0.75 0.0000 0.75 ZBIR -2.388 8.96 ZBIR ZBIR 4.5087 PROSEK=ZBIR/23-0.008 0.3726 VARIJANSA=ZBIR/22 ZBIR*0,06 0.2705 4.2. Isorijska volailnos T T j DEVIJACIJA=KOREN VARIJANSE KOREN 0.520 0.604 DNEVNA ISTORIJSKA VOLATILNOST 9.6893 GIV=DIV* 252 GODIŠNJA ISTORIJSKA VOLATILNOST R = R σ = ( ) T R R = T = σ god = σdnevna 252 T 2 4.3. EWMA
Na osnovu podaaka prehodnog primera izračunai eksponencijalno ponderisane pokrene proseke volailnosi za zadnji dan, uz λ = 0,94 2 j ( ) ( j ) σ = λ λ R R, =,2,...,T j= 0 4.4. Auoregresivni model volailnosi p 2 2 j j u j= σ = µ + ϕ σ + Neka se na osnovu podaaka prehodnog primera, za dnevne volailnosi uzimaju kvadrai 2 2 2 sopa prinosa, i ocenjuje model ipa AR(2): σ = µ + ϕ σ + ϕ2 σ 2 + u Ocenjena jednačina: Y i = 0.3908-0.0658*X i2 + 0.498*X i3 Yi Xi2 Xi3 i Y i X i2 X i3 ocena R 2 2 2 2 2 2 2 σ σ σ ˆσ ˆσ e 2 e e e 2 0.058 0.0034 0.589 0.0252 2-0.3928 0.543 0.0034-0.2920 0.0853 0.0252 3 0.470 0.026 0.543 0.0034 0.3747 0.62 0.2478 0.064 0.0853 0.0252 0.3772 4-0.8878 0.7882 0.026 0.543 2 0.4062 0.6373-0.7870 0.694 0.064 0.0853 0.3806 5-0.3658 0.338 0.7882 0.026 3 0.3093 0.556-0.2650 0.0702 0.694 0.064 0.364 6-0.6493 0.426 0.338 0.7882 4 0.467 0.6834-0.5485 0.3009 0.0702 0.694 0.4045 7-0.7558 0.572 0.426 0.338 5 0.362 0.600-0.6550 0.4290 0.3009 0.0702 0.3733 8-0.7283 0.5305 0.572 0.426 6 0.3784 0.65-0.6275 0.3938 0.4290 0.3009 0.3802 9 0.850 0.7242 0.5305 0.572 7 0.3999 0.6324 0.958 0.9059 0.3938 0.4290 0.3870 0 0.8470 0.774 0.7242 0.5305 8 0.3746 0.620 0.9478 0.8984 0.9059 0.3938 0.373 -.76.249 0.774 0.7242 9 0.3976 0.6305 -.068.0339 0.8984 0.9059 0.3946 2-0.98 0.044.249 0.774 0 0.340 0.5832-0.090 0.0004.0339 0.8984 0.3906 3 0.222 0.0489 0.044.249 0.5328 0.7299 0.3220 0.037 0.0004.0339 0.4252 4 0.5798 0.336 0.0489 0.044 2 0.3872 0.6223 0.6806 0.4632 0.037 0.0004 0.3756 5-0.2227 0.0496 0.336 0.0489 3 0.3606 0.6005-0.29 0.049 0.4632 0.037 0.3704 6-0.8677 0.7529 0.0496 0.336 4 0.424 0.652-0.7669 0.588 0.049 0.4632 0.3990 7 0.38 0.074 0.7529 0.0496 5 0.363 0.5624 0.2326 0.054 0.588 0.049 0.3629 8-0.6468 0.483 0.074 0.7529 6 0.4754 0.6895-0.5459 0.298 0.054 0.588 0.4036 9-0.345 0.0989 0.483 0.074 7 0.3482 0.590-0.237 0.0457 0.298 0.054 0.3727 20.0589.22 0.0989 0.483 8 0.4283 0.6544.597.3449 0.0457 0.298 0.3907 2 0.3476 0.208.22 0.0989 9 0.2827 0.537 0.4484 0.20.3449 0.0457 0.3434 22 0.947 0.0379 0.208.22 20 0.5067 0.79 0.2955 0.0873 0.20.3449 0.4338 23 0.333 0.098 0.0379 0.208 2 0.4006 0.6329 0.44 0.75 0.0873 0.20 0.385 24 0.533 0.7302 0.0000 25 0.3453 0.5876 ZBIR 35 0.394 0.6278 Predviđanje 4.5. ARCH Jednačina sredine: ˆR Reziduali: e = R R = Cˆ = R Ocenjena regresiona jednačina: 2 2 2 2 24 e = γ +γ e +γ e + u, Y = 0.3785-0.0276*X + 0.0452*X i i2 i3 0 2 2 Predviđanje: σ = 0,3785 0,02760,75 + 0,04520,0873 = 0,3777 σ= 0,3777 = 0,646